黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

数学系1302班第五组

07 樊萌

12 韩鸿林

19 兰星

21 李鸿燕

45 王堃

51 武相伶

54 许小亭

57 杨莉

黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系

黎曼积分和勒贝格积分定义的比较

ﻩ

1、黎曼积分定义:设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10，其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ，

(){}

i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11

-=-=∑i i n

i i x x m s

()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,若有

dx s dx S b

a

b a

⎰⎰=

则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.

2、勒贝格积分定义：,

0>∀δ，作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i n

i i mE y ∑=-→110

lim δ存在，则()x f 勒贝格可

积.

3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记

()(){}

0,m ax x f x f

=+

,()(){}

0,m in x f x f

-=-

,则有

()()()

x f x f

x f -+

-=,若

()dx x f E

+⎰

,()dx x f

E

_

⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且

()()()dx x f dx x f dx x f E

E

E

-+⎰⎰

⎰-=.

4、 简单函数的勒贝格积分定义：设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ，n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E n

i i c x f χ∑==1，定义()x f 的勒贝格积

分为()i n

i i E

mE c dm x f ∑⎰==1

,若()∞<⎰dm x f E

，则称()x f 在E 上勒贝格可积．

5、非负可测函数的勒贝格积分定义：取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的

E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为

()()dm x f dm x f E

E

n n ⎰⎰=∞

→lim .

对一般的函数由于()()()x f x f

x f -+

-=,则

()()()dm x f dm x f dm x f

E

E

E

⎰⎰⎰

=--+

．

若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积．

勒贝格积分是对黎曼积分的推广，所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积，但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积．

黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较

黎曼可积的条件

㈠黎曼可积的条件必要条件

定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.

注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件

１、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在

[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即

设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令

(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i n

i i x x m s ，

()11

-=-=∑i i n

i i x x M S ,n i ,2,1=有

dx s dx S b

a

b a

⎰⎰=.

2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ，

总存在某一分割T ,使得

()i i i i

n

i i m M w x

w -=<∆∑=ξ1

．

3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得

()()ξ<-T s T S 成立.

4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.

注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件

１、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数，则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ，总存在E 的某一分割D ,使得

ξ<∑i

i

i mE

w .

２、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.

3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在，且有

()[]

()⎰⎰=b

a b

a dx x f dm x f ,． 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且

()M dx x f E

n <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.

5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.

黎曼积分与勒贝格积分的性质比较