【数学】数学二次函数的专项培优易错试卷练习题(含答案)及答案

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A 、B 为x 轴上两点，C 、D 为y 轴上的两点，经 过点A 、C 、B 的抛物线的一部分C 1与经过点A 、D 、B 的抛物线的一部分C 2组合成一条封闭曲线，我们把这条封

闭曲线称为“蛋线”．已知点C 的坐标为（0，），点M 是抛物线C 2：

2y mx 2mx 3m =--（m ＜0）的顶点．

（1）求A 、B 两点的坐标；

（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P ，使得△PBC 的面积最大？若存在，求出△PBC 面积的最大值；若不存在，请说明理由；

（3）当△BDM 为直角三角形时，求m 的值．

【答案】（1）A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．S △PBC 最大值为2716 （3）2m 2

=-

或1m =-时，△BDM 为直角三角形． 【解析】

【分析】 （1）在2y mx 2mx 3m =--中令y=0，即可得到A 、B 两点的坐标．

（2）先用待定系数法得到抛物线C 1的解析式，由S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC 得到△PBC 面积的表达式，根据二次函数最值原理求出最大值．

（3）先表示出DM 2，BD 2，MB 2，再分两种情况：①∠BMD=90°时；②∠BDM=90°时，讨论即可求得m 的值．

【详解】

解：（1）令y=0，则2mx 2mx 3m 0--=，

∵m ＜0，∴2x 2x 30--=，解得：1x 1=-，2x 3=．

∴A （，0）、B （3，0）．

（2）存在．理由如下：

∵设抛物线C 1的表达式为()()y a x 1x 3=+-（a 0≠），

把C （0，32-）代入可得，12a =． ∴Ｃ1的表达式为：()()1y x 1x 32=

+-，即213y x x 22=--． 设P （p ，213p p 22

--）， ∴ S △PBC = S △POC + S △BOP –S △BOC =23

327p 4216--+

（）． ∵3a 4=-<0，∴当3p 2=时,S △PBC 最大值为2716

． （3）由C 2可知： B （3，0），D （0，3m -），M （1，4m -），

∴BD 2=29m 9+，BM 2=216m 4+，DM 2=2m 1+．

∵∠MBD<90°, ∴讨论∠BMD=90°和∠BDM=90°两种情况：

当∠BMD=90°时，BM 2+ DM 2= BD 2，即216m 4+＋2m 1+=29m 9+，

解得：12m 2=-,22m 2

=(舍去)． 当∠BDM=90°时，BD 2+ DM 2= BM 2，即29m 9+＋2m 1+=216m 4+，

解得：1m 1=-，2m 1=(舍去) ．

综上所述，2m =-或1m =-时，△BDM 为直角三角形．

2．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．

（1）求点B ，C 的坐标；

（2）判断△CDB 的形状并说明理由；

（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；

(Ⅲ)22333(0)221933(3)2

22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】

【分析】

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：

①当0＜t≤

32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32

＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】

解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2

1y x c =--+上， ∴()2

011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()2

14y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；

令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .

(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.

如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，

则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.

过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆

中，由勾股定理得：BC ===

在Rt CND ∆

中，由勾股定理得：CD ==

在Rt BMD ∆

中，由勾股定理得：BD =

==.

∵222BC CD BD +=，

∴CDB ∆为直角三角形.

(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，

∵()()3,0,0,3B C ，

∴303

k b b +=⎧⎨=⎩， 解得1,3k b =-=，

∴3y x =-+，

直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，

∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；

设直线BD 的解析式为y mx n =+，

∵()()3,0,1,4B D ，

∴304m n m n +=⎧⎨+=⎩

，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.

连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫

⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：

(1)当302

t <≤时，如答图2所示：