04刚体的转动
大学物理第四章刚体转动
进动和章动在自然界中实例
陀螺仪
地球极移
陀螺仪的工作原理即为进动现象。当 陀螺仪受到外力矩作用时，其自转轴 将绕某固定点作进动，通过测量进动 的角速度可以得知外力矩的大小和方 向。
地球极移是指地球自转轴在地球表面 上的移动现象，其产生原因与章动现 象类似。地球极移的周期约为18.6年 ，且极移的幅度会受到地球内部和外 部因素的影响。
天体运动
许多天体的运动都涉及到进动和章动 现象。例如，月球绕地球运动时，其 自转轴会发生进动，导致月球表面的 某些特征（如月海）在地球上观察时 会发生周期性的变化。同时，行星绕 太阳运动时也会发生章动现象，导致 行星的自转轴在空间中的指向发生变 化。
感谢观看
THANKS
02
刚体定轴转动动力学
转动惯量定义及计算
转动惯量定义
刚体绕定轴转动时，其惯性大小的量度称为转动惯量，用字母$J$表示。它是一个与刚体质量分布和转轴位置有 关的物理量。
转动惯量计算
对于形状规则的均质刚体，可以直接套用公式计算其转动惯量；对于形状不规则的刚体，则需要采用间接方法， 如分割法、填补法等，将其转化为规则形状进行计算。
刚体性质
刚体是一个理想模型，它在力的作用 下，只会发生平动和转动，不会发生 形变。
转动运动描述方式
01
02
03
定轴转动
平面平行运动
ห้องสมุดไป่ตู้
定点转动
物体绕一固定直线（轴）作转动。
物体上各点都绕同一固定直线作 不同半径的圆周运动，同时物体 又沿该固定直线作平动。
物体绕一固定点作转动。此时物 体上各点的运动轨迹都是绕该固 定点的圆周。
非惯性系下刚体转动描述方法
欧拉角描述法
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动
【大题】工科物理大作业04-刚体定轴转动 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN0404 刚体定轴转动班号 学号 姓名 成绩一、选择题（在下列各题中，均给出了4个~5个答案，其中有的只有1个是正确答案，有的则有几个是正确答案，请把正确答案的英文字母序号填在题后的括号内）1．某刚体绕定轴作匀变速转动，对刚体上距转轴为r 处的任一质元来说，在下列关于其法向加速度n a 和切向加速度τa 的表述中，正确的是：A ．n a 、τa 的大小均随时间变化；B ．n a 、τa 的大小均保持不变；C ．n a 的大小变化，τa 的大小保持恒定；D ．n a 的大小保持恒定，τa 大小变化。
（C ）[知识点］刚体匀变速定轴转动特征，角量与线量的关系。
[分析与题解] 刚体中任一质元的法向、切向加速度分别为 r a n 2ω=，r a τβ=当β = 恒量时，t βωω+=0 ，显然r t r a n 202)(βωω+==，其大小随时间而变，ra τβ=的大小恒定不变。
2. 两个均质圆盘A 和B ，密度分别为ρA 和ρB ，且B ρρ>A ，但两圆盘的质量和厚度相同。
若两盘对通过盘心且与盘面垂直的轴的转动惯量分别为A I 和B I ，则 A ．B I I >A； B. B I I <A ；C ．B I I =A ； D. 不能确定A I 和B I 的相对大小。
（B ）[知识点］转动惯量的计算。
[分析与题解] 设A 、B 两盘厚度为d ，半径分别为R A 和R B ，由题意，二者质量相等，即B B A A d R d R ρπρπ22=因为B A ρρ>， 所以22B A R R < 且转动惯量221mR I =，则B A I I <3．在下列关于刚体的表述中，不正确的是：A ．刚体作定轴转动时，其上各点的角速度相同，线速度不同；B ．刚体定轴转动的转动定律为βI M =，式中β,,I M 均对同一条固定轴而言的，否则该式不成立；C ．对给定的刚体而言，它的质量和形状是一定的，则其转动惯量也是唯一确定的；D ．刚体的转动动能等于刚体上各质元的动能之和。
刚体的转动
质心的平动
刚体的转动
+
绕质心的转动
2/31
一、刚体转动的角量描述
角坐标 (t ) 角位移
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
z
(t )
(t t ) (t )
角速度
x
参考平面
d lim t 0 t dt
方向:
角加速度
参考轴
右手螺旋方向
d dt
J m r
j
2 j j
J r dm
M J
刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成 正比 ，与刚体的转动惯量成反比.
刚体的转动 10/31
五、转动惯量
J m r , J r dm
2 j j 2 j
物理意义：转动惯性的量度.类似于平动的质量
转动惯性的计算方法 质量离散分布刚体的转动惯量
r O
m
刚体的转动
21/31
一根质量为m、长为l的均匀细杆，可在水平桌面上 绕通过其一端的竖直固定轴转动．已知细杆与桌面的 滑动摩擦系数为μ，求杆转动时受的摩擦力矩大小．
刚体的转动
22/31
有一质量为m半径为R的均匀圆形平板平放在水平桌面 上，平板与水平桌面的摩擦系数为μ，若平板绕通过其 中心且垂直板面的固定轴以角速度ω0开始旋转，它将 在旋转几圈后停止？
2m
⅓l
⅓l
O
0 2
2 3
l
0
m
m
刚体的转动
24/31
力的空间累积效应
力矩的空间累积效应
力的功,动能,动能定理.
力矩的功,转动动能,动能定理.
(完整版)刚体的转动习题
17-4图18-4 图F F ρ-O 04 第四章 刚体力学一、选择题：1、如图4-18所示，一圆盘绕通过盘心且与盘面垂直的轴o 以角速度ω针转动。
今将两大小相等、方向相反、但不在同一条直线上的力F 和F -盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度：[ ] （A ）必然减少 （B ）必然增大（C ）不会变化 （D ）如何变化，不能确定 2、如图4-17所示，一质量为m 的匀质细杆AB ，A 端靠在粗糙的竖直墙壁上，B端置于粗糙的水平地面上而静止，杆身与竖直方向成θ角，则A 端对墙壁的压力大小为：[ ]（A ）θcos 41mg （B ）θmgtg 21 （C ）θsin mg （D ）不能唯一确定 3、某转轮直径m d 4.0=,以角量表示的转动方程为t t t 4323+-=θ（SI ）,则：[ ]（A ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.6-s rad ；（B ）从s t 2=到s t 4=这段时间内，其平均角加速度为2.12-s rad ；（C ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.42.3-s m ；（D ）在s t 2=时，轮缘上一点的加速度大小等于2.84.6-s m 。
4、如图4-2所示，一倔强系数为k 轮（转动惯量为J ），下端连接一质量为m 的物体，问物体在运动过程中，下列哪个方程能成立？[ ] （A ）ky mg = （B ）02=-T mg（C ）my T mg =-1 （D ）y R J J βR T T ''⋅==-)(21 5、 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是（A ）只取决于刚体的质量,与质量的空间分布和轴的位置无关．（B ）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关．（C ）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置．（D ）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关．［ ］6、有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：(1) 这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定是零；(2) 这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能是零；(3) 当这两个力的合力为零时，它们对轴的合力矩也一定是零；(4) 当这两个力对轴的合力矩为零时，它们的合力也一定是零．在上述说法中，(A) 只有(1)是正确的．(B) (1) 、(2)正确，(3) 、(4) 错误．(C) (1)、(2) 、(3) 都正确，(4)错误．(D) (1) 、(2) 、(3) 、(4)都正确． ［ ］7、有两个半径相同，质量相等的细圆环A 和B ．A 环的质量分布均匀，B 环的质量分布不均匀．它们对通过环心并与环面垂直的轴的转动惯量分别为J A 和J B ，则(A) J A ＞J B ． (B) J A ＜J B ．1-4 图5-4图19-4 图 (C) J A = J B ． (D) 不能确定J A 、J B 哪个大． ［ ］8、一力N j i F )53(ϖϖϖ+=，其作用点的矢径为m j i r )34(ϖϖϖ-=，则该力对坐标原点的力矩为：[ ] （A ）m N k ⋅-ϖ3 （B ）m N k ⋅ϖ29 （C ）m N k ⋅ϖ19 （D ）m N k ⋅ϖ39、一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的光滑固定轴O 以角速度ω按图示方向转动.若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面同时作用到圆盘上，则圆盘的角速度ω (A) 必然增大． (B) 必然减少． (C) 不会改变． (D) 如何变化，不能确定． ［ ］10、均匀细棒OA 可绕通过其一端O 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动，如图所示．今使棒从水平位置由静止开始自由下落，在棒摆动到竖直位置的过程中，下述说法哪一种是正确的？(A) 角速度从小到大，角加速度从大到小．(B) 角速度从小到大，角加速度从小到大．(C) 角速度从大到小，角加速度从大到小．(D) 角速度从大到小，角加速度从小到大． ［ ］11、如图4-19所示P 、Q 、R 、S l RS QR PQ ===，则系统对o o '轴的转动惯量为：[ ]（A ）250ml （B ）214ml（C ）210ml （D ）29ml12、如图4-1所示，A 、B 为两个相同的绕着轻绳的定滑轮，A 滑轮挂一质量为M 的物体，B 滑轮受拉力F ，而且Mg F =。
第四章 刚体的转动
m r
2 i i
2
用转动惯量表示
1 2 E k＝ J 2
四、刚体绕定轴转动的动能定理 设在合外力矩M的作用下，刚体绕定轴转过的角 位移为dθ，合外力矩对刚体所作的元功为 d dW =M dθ,由转动定律 M J J dt 得 d d
M＝r F r Fi r Fi M i
M F1 r1 sin 1 F2 r2 sin 2 F3 r3 sin 3
单位： N.m 注意：力矩的单位和功的单位不是一回事，力矩的 单位不能写成焦耳。 与转动垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩； 与转轴平行的力对转轴不产生力矩； 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩。 对于刚体的定轴转动，不同的力作用于刚体上的 不同位置（或不同作用方向）可以产生相同的效 果。
§4－2 力矩
转动定律
转动惯量
一、力矩 从转轴与截面的交点到力的作用线的垂直距离叫做力对 转轴的力臂。力的大小和力臂的乘积，就叫做力对转 轴的力矩。用M表示。 用矢量表示 M rF 或：
M＝Fr sin
若力F不在垂直与转轴的平面内，则可把该力分解为两个 力，一个与转轴平行的分力，一个在垂直与转轴平面 内的分力，只有后者才对刚体的转动状态有影响。 合力矩对于每个分力的力矩之和。
第四章 刚体的转动
§4－1 刚体的定轴转动 一、刚体
定义:在外力作用下形状和大小保持不变的物体称为刚体。 说明: 刚体和质点一样是一个理想化的力学模型； 刚体内任何两点之间的距离在运动过程中保持不变； 刚体可以看成一个包含由大量质点、而各个质点间距 离保持不变的质点系。
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律+=Mi i 对刚体而言：∑(+fi )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑=∑Mi I=∑Mi故：∑F ==M a即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
大学物理04刚体
合外力矩沿着转 轴方向的分量
----微分形式
冲量矩
Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
L2
L1
J2
J1
----积分形式
如果转动惯量变化了
t2
Mdt
t1
L2 L1
dL
J22
J11
二当、刚M体定0 轴转动角动量守恒
B两滑轮的角加速度分别为 A和 B ，不 计滑轮轴的摩擦，这两个滑轮的角加速
度大小满足（A ）
A A B
R
R
B A B
C A B
m
F
A
B
[例12]质量为mA的物体A静止在光滑水平面 上，它和一质量不计的绳索相连接，此绳 索跨过一半径为R、质量为mc的圆柱形滑 轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，B 竖直悬挂。圆柱形滑轮可绕其几何中心轴
0.5m
JC 1 0.32 2 0.52
0.59kg m2
例4质量m,长度L 的均质细杆的转动惯量 （1）转轴过杆的端点
dm m
dl L
dm
dx
x
J L x2dm L x2dx 1 mL2
0
0
3
（2）转轴过杆的中点
dm dx x
J
单位：kg m2
连续分布有
r 2dl 线分布，为线密度
J
r
2dm
r
2
ds
面分布， 为面密度
r 2 dV 体分布，为体密度
举例说明刚体的转动
举例说明刚体的转动刚体的转动是物理学中的一个重要概念，描述了一个物体围绕某一点或某一轴线进行旋转运动的特性。
在我们的日常生活中，刚体的转动现象并不罕见，比如旋转门、旋转木马、钟表指针的转动等。
本文将通过具体的例子，详细解释刚体转动的原理、特点以及应用。
一、刚体转动的原理和特点刚体转动的原理可以归结为力矩的作用。
当一个力作用于刚体上，并且力的作用点不在刚体的质心上时，就会产生一个力矩，使刚体绕质心旋转。
刚体转动的特点包括：1.角动量守恒：在没有外力矩作用下，刚体的角动量保持不变。
2.转动惯量：刚体转动时的惯性大小与其质量分布和旋转轴的位置有关，用转动惯量来描述。
3.旋转方向：刚体转动时，可以顺时针或逆时针方向旋转。
二、刚体转动的应用举例1.旋转门旋转门是一种常见的刚体转动应用。
它通常由一扇或多扇门组成，围绕中心点旋转。
当人们推动旋转门时，门受到推力作用，产生一个力矩，使门绕中心点旋转。
旋转门的转动惯量和旋转方向取决于门的质量分布和推力的方向。
2.钟表指针的转动钟表指针的转动也是刚体转动的典型例子。
钟表的时针、分针和秒针都围绕表盘中心旋转。
当钟表内部的齿轮机构驱动指针时，指针受到力矩作用，开始绕中心旋转。
不同长度的指针具有不同的转动惯量，因此它们旋转的速度也不一样。
3.地球的自转和公转地球自转和公转也是刚体转动的例子。
地球绕自身轴线自转一周需要24小时，形成了昼夜交替的现象。
同时，地球还绕太阳公转一周需要365.25天，形成了四季变化。
地球的自转和公转都是刚体绕固定轴线的旋转运动。
三、刚体转动的物理分析通过对以上几个实例的分析，我们可以得知刚体的转动涉及到了力矩、角动量以及转动惯量等重要物理量。
首先，力矩是导致刚体转动的直接原因，它的方向决定了刚体的旋转方向。
其次，角动量是描述刚体转动状态的物理量，它在没有外力矩作用下保持恒定。
最后，转动惯量反映了刚体对于转动的抵抗程度，与刚体的质量分布及旋转轴位置密切相关。
第4章刚体转动-精选
对质量连续分布的刚体
∑
所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动
2019/11/17
35
长江大学物理教程
刚体的角动量定理
质点的角动量定理
（微分形式） （积分形式）
1.刚体的
合外力矩
冲量矩
2019/11/17
（微分形式）
角动量的时间变化率
（积分形式）
角动量的增量
36
长江大学物理教程
（微分形式） （积分形式）
刚体平动 质点运动
刚体平动的运动规律与质点的运动规律相同。
2019/11/17
7
长江大学物理教程
转动：分定轴转动和非定轴转动
刚体的平面运动
2019/11/17
8
长江大学物理教程
刚体的一般运动可看作：
随质心的平动 + 绕质心的转动 的合成
2019/11/17
9
长江大学物理教程
定轴转动参量
1. 角位置
解 细杆受重力和 铰链对细杆的约束力FN
作用，由转动定律得
1mgslinq J
2
m,l FN
θ mg
O
式中 J 1 ml 2 3
得 3g sinq
2l
2019/11/17
31
长江大学物理教程
由角加速度的定义
dωdωdθ ω d ω
m,l FN
dt dθ dt d θ
∑
∑
∑
是矢量式
与质点平动对比
2019/11/17
37
长江大学物理教程
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律 由
若
刚体所受合外力矩
则
即
刚体的转动定律
6
例2、求质量为 ， 、求质量为m， 长度为l的均匀细棒 的均匀细棒， 长度为 的均匀细棒， l/2 h 对下列转轴C、 、 对下列转轴 、G、H H G C 的转动惯量。 的转动惯量。 设棒的线密度为λ， 解：设棒的线密度为 ，由转动惯量的定义式 2 J = ∫ x λdx 对C点： 点
1 3 2λ l 3 ml 2 J C = x λdx = λx = ( ) = 3 3 2 12 −l / 2 −l / 2
θ
dω dω dθ dω β= = =ω dt dθ dt dθ
得
两边乘以dθ后积分得： 两边乘以 后积分得： 后积分得
1 2 3g cosθ 3g sin θ ∫ ωdω = 2 ω = ∫ 2l dθ = 2l 0 0
ω=
3g sin θ l
用能量守恒原理也可以解出ω 用能量守恒原理也可以解出 下降时重力做的功为: 由于均匀细棒的质心在 l/2 处，下降时重力做的功为: 下降时重力做的功为
在机械能守恒定律中， 在机械能守恒定律中，刚体定轴转动的动能由上式 12 计算。 计算。
的均匀细直棒， 例4、一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。 滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位 角时的角加速度和角速度。 置，求它由此下摆θ角时的角加速度和角速度。 解：棒下摆为加速过程，外力 棒下摆为加速过程， 矩为重力对O的力矩。 矩为重力对O的力矩。 在棒上 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， dm,当棒处在下摆 取质元dm,当棒处在下摆θ角时， 质元的重力为： 质元的重力为： dM=ldm g sin(900-θ) =λgldlcos(θ)
dt
角加速度 切向加速度为
刚体的定轴转动
r1
r2
d
f1
内力中任一对作用力与反作用力大小 相等，方向相反，则任一对作用力与反作 用力的力矩相加为零。
f r sin 0 F r sin f r sin (
合内力矩
i i
i i i
f2
2
i
i i
i
刚体定轴转动的转动定律
M J
mi ri )
dV 2rdr
2 R2
1
J r dV R 2r dr
3
l
R1
R2
1 4 4 R2 R1 2
1 mR12 R22 2
1 2 2 2 2 l R2 R1 R1 R2 2
小结：
10.刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给 定转轴的分布情况。 (1) 与刚体的质量有关 （2) 在质量一定情况下，还与质量的分布有关， 亦即与刚体的形状、大小和各部分的密度有关。 (3) 转动惯量与转轴的位置有关 20.Ｊ的单位: SI 千克·米2(kg·m2) ；
ω v
动平 面 转
ω
0
θ
P
X
方向：当刚体转动加快时角加速度方向与角速度 方向相同；当刚体转动减慢时两者方向相反。
d d 2 2 dt dt
ω
与 方向相同
设向上为正方向
角速度增量 2 1
ω2 ω1
当刚体转动加快ω 2＞ω 1，则Δ ω ＞0，β 为正值，方向向上； 当刚体转动减慢ω 2＜ω 1，则Δ ω ＜0，β 为负值，方向向下。 若角加速度为恒矢量，这种变 速转动称为匀变速转动 0 t 运动方程：
4第四章 刚体的定轴转动
第 1 讲 刚体的定轴转动
预习要点 1. 理解刚体的运动； 2. 掌握描述刚体定轴转动的运动学方法； 3. 理解力矩的概念及力矩的功；
式中 mi ri2 表示第i个质点对转轴的转动惯量；
对质量连续分布的刚体，任取质量元 dm ，其到轴的
距离为 r ，则转动惯量：
J r2dm 单位：kg ·m2
若系统由多个刚体组成，则系统对转轴的总转动惯量， 等于各部分对同一转轴的转动惯量之和
一个长为4L的轻杆，连有两个质量都是m的小球（大小可 忽略），此系统可绕垂直于杆的轴转动，求下列转动惯量；
在转动平面内，O为转动平面与转轴的焦点，r 为从O 点指向
M 力的作用点 A 的位矢，两矢量的夹角为 ；
力 F 对定轴 OZ 的力矩 ：
（力臂：力的作用线到转轴的距离）
z
M Z Fd Fr sin
通常，从OZ轴正向俯视，有 逆时针转动（趋势）力矩为正， 反之为负；
单位：牛·米（N ·m）
F
Or
例:一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮，绳的两端分别悬
有质量为m1和m2的物体，滑轮可视为均质圆盘， 质量 为m，半径为r，绳子不可伸长而且与滑轮之间无相对 滑动.求物体加速度、滑轮转动的角加速度和绳子的张
力. 设 m2 m1
解: 受力分析如图：
FT1 m1g m1a m2g FT2 m2a
FT2R FT1R J a r
m2
)
gl
sin
α
刚体的转动
解 以m1 ， m2 ， m 为研究对象
m1g T1 m1a
T2 m2 g m2a
T1r
T2r
J
1 mr2
2
a r
T2
T2
m2
m2 g
(m1 m2 )g
(m1
m2
1 2
m)r
0
t
(m1 m2 )gt
(m1
m2
1 2
m)r
mr
T1
T1
m1
m1 g
17
例4-3:一长为l 质量为m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固
0
3
平行轴定理 J z' J z Md2
J z' 刚体绕任意轴的转动惯量
J z 刚体绕通过质心的轴
d 两轴间垂直距离
z
x M,L
O dx
x
L
J
2 L
x2dx
1 12
ML2
2
z' z
M
d C
13
例如圆环绕中心轴旋转的转动惯量
J L R2dm m R2 0
例如圆盘绕中心轴旋转的转动惯量
dl m
R
O
ds 2 rdr
dm ds
dJ r2dm
J
R
dJ
1
mR2
0
2
m
R2
Rm dr
r O
14
例4-1:一轻绳绕在半径r =20 cm的飞轮边缘,在绳端施以F=98 N的拉力, 飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2,飞轮与转轴间的摩擦不计,求(1)飞轮的 角加速度 (2)如以重量P =98 N的物体挂在绳端,计算飞轮的角加速度
需将力分别向垂直于轴以及平行于轴方向 做正交分解，如图所示
第4章 刚体的运动
角动量的时间变化率。
非相对论情况d下L ， 转I d动惯量II为常量：
dt dt 所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
M I
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题 4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M 而半径为r 。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，
Li ri pi
对时间求导： dLi
dt
d dt ( ri pi
)
dri dt
pi
ri
dpi dt
vi mivi ri fi ri fi Mi
其中：
fi
dpi dt
Mi ri fi
为第i个质元所受的作用力； 为fi对转轴的力矩。
对整个刚体： dL d
外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。
由转动定理： Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2dL
L1
L2
L1
I 2
I 1
式中
t2 t1
Mdt
称为合外力矩在
Δt
=
t2-t1内的冲量矩(N·m
·s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一
时间内角动量的增量。
➢角动量定理对非刚体也成立，此时：
由平行轴定理：
z
I
Ic
Mh 2
1 12
ML2
Mh 2
当h=L/2时，与(1)的情况相同，由上式：
zc h
C
L、M
I 1 ML2 Mh 2 1 ML2 M( 1 L )2 1 ML2
12
12
2
第4章 刚体的转动
d2t
v rω
at r
at r
an
ra
an rω2
a r 2 rω2 2
et
at v
(3) 角速度矢量
O’
O
简化 加速
减速 转动平面
4.2 刚体的定轴转动定律
4.2.1 力对转轴的力矩
v M
rv
v F
大小: M rF sin
自然界中存在多种守恒定律
动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律
电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
例1 如图所示，一竖直悬挂的木杆，可绕杆端O处的水平
固定轴转动. 开始时，木杆竖直下垂. 质量m1=50g的小球 以v0=30m·s-1的水平速度与木杆的下端相碰，碰后小球以 v1=10m·s-1的速度向反方向弹回. 杆长l=40cm ，木杆质量 m2=600g. 设碰撞时间极短，求碰撞后木杆获得的角速度.
4.2.3 转动惯量
J miri2 i
J r2dm
转动惯量的单位：kg·m2
转动惯量的物理意义：转动惯性的量度
(1) 转动惯量的计算
质量离散体
i3
J miri2 m1r12 m2r22 m3r32 i 1
质量连续体 J r2dm
线分布 质量为线分布
面分布
体分布
——质量线密度
质量为面分布 质量为体分布
——质量面密度 ——质量体密度
(2) 转动惯量与下列因素有关：
A 刚体的质量；B 刚体的质量分布；C 定轴的位置。
(3) 计算转动惯量的两个定理
平行轴定理
物体绕某一转轴的转动惯量 J 等于绕过质心并与该轴平行的
力学 第五章刚体的转动
J 2 mR2 511
* 平行轴定理
以 m 表示刚体的质量，Jc 表示它通过其质心 c 的轴
的转动惯量。若另一轴与此轴平行并且相距为d，则此刚
体对于后一轴的转动惯量为：J
例：
L
c
m
Jc
Jc 1
12
md mL2
2
L
J ( 1 mL2 ) m( L)2 1 mL2
t1
2．刚体定轴转动的角动量
L J （Pv mvv）
3．刚体系定轴转动的角动量定理
vv 微分形式 Mdt dL
v M
v dL dt
积分形式
t2 t1
v M 外 dt
n 1
v Li 2
n 1
v Li1
Jv2 Jv1
40
4．刚体系角动量守恒定律
mr，2 则挖去小圆盘后剩余
部分对于过o点且垂直于盘面的转轴的转动惯量为多少？
答案：
R
o
r
J 1 (4M 3m)r2 2
13
四、 转动定律的应用
刚体定轴转动的两类问题：
M J d J
dt
(t ) (t ) (t ) J M 用求导的方法
M
J
(t
)
(t )
xdm m
N
yimi
ydm
yc i1 m
m
N
zimi zdm
zc i1 m
m
质心是相对于质点系本身的一个特定位置, 其相对位置不随坐标系选择而变化。
26
例：任意三角形的每个顶点有一质量m，求质心。
4_刚体的定轴转动
从以上各式即可解得
m2 m1 g M r / r m2 m1 g M / r a
J m 2 m1 2 r 1 m 2 m1 m 2
37
若m=0，Mr=0，则
1 m1 2 m 2 m g M / r 2 T1 m1 g a 1 m 2 m1 m 2 1 m2 2m1 m g＋M / r 2 T2 m1 g－a 1 m 2 m1 m 2
物体转动与否不仅与力的方向大小有关还与力作用的位置有关定轴转动的力矩只能引起物体变形对转动无贡献转动平面内a力与转轴平行b力与转轴垂直对转动无贡献仅使物体发生形变只有与转轴垂直的分力产生力矩使物体绕轴转动的垂直距离转轴到力在定轴动问题中如不加说明所说的力矩是指力在转动平面内的分力对转轴的力矩
第三章
刚体的定轴转动
l/2 2
28
(2)建立坐标系，分割质量元
x J x 2 dm l o 2 m x dx dx x 0 l 1 3 2 l 2 1 2 ml J C m ml 12 3 2
J x 2 dm
(3)建立坐标系，分割质量元
x
2
m x dx l / 2 h l 1 2 2 2 ml mh J C mh 12
25
转动惯量
多个质点组成的系统：
J mi ri
i
2
质量连续分布的刚体：
J r dm
2
平动 m 转动 J
v w
a a
mv Jw
dv F ma m dt d M z J J dt
26
小结
• • • • • 刚体的概念 刚体的运动自由度 刚体定轴转动的自由度 刚体定轴转动的运动方程 刚体定律转动定律
第四章 刚体的转动
四、角量与线量的关系
v r 2 an r
11
例1 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形转子可 绕垂直其横截面并通过中心的转轴旋转。开始起动时， 角速度为零。起动后其转速随时间变化关系为：
m (1 e
t /
1 式中 : 540 r s ， 2.0 s ) m
平动与转动的叠加
5
随质心的平动
+
绕质心的转动
合成
6
5.刚体定轴转动的特点
(1)任一质点都是在某个垂直 转轴的平面内作圆周运动。 (2)各质点的轨迹是半径大小 不一的圆周。在同一时间内， 各质点转过的圆弧长度不相 同。
A
A
z
r1
O1B rFra bibliotek2 O2 B
(3)各质点半径所扫过的角度
z
0
z
0
8
2.角加速度
d lim dt t 0 t
1
O
2 1
0
2
O
1 1
O
2
2 1
0
2
O
1
2
9
3.角速度矢量和线速度矢量的关系
v r
v
O
O
v
10
三、匀变速转动公式
1 1 2 3 p0 Lh gLh 2 6
y
2.14 10 N m
12
h dF
O
dy
y
Q
22
二、转动定律
1.受力分析
Fi、Fi 均在与Oz轴相垂直 的平面内。 2.运动方程
刚体的转动
第三章 刚体的转动出发点：牛顿质点运动定律刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。
（理想模型）二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。
受力：内力和外力对每一个质元：满足牛顿运动定律Fi +=Mi a i 对刚体而言：∑(+ )=∑Mi i⇒∑+∑=∑Mi i显然∑=0 ⇒∑Fi =∑Mi a I=a ∑Mi故：∑F ==M即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。
三 转动和定轴转动定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。
ω=dt d θ, α=dtd ω对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：v=R ωa t=R αa n=ω2R更一般的形式：角速度矢量的定义：=ωγ⨯ ， =dtd 显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=t b at 3+-c t 4,式中abc 都是常量。
求它的角加速度。
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=t b at 3+-c t 4,将此式对t 求导数，即得飞轮角速度的表达式为ω＝(dtdt b at 3+-c t 4）＝a+3b t 2-4c t 3角加速度是角速度对t 导数，因此得α =dt d ω=d td ( a+3b t 2-4c t 3)=6bt-12c t 2由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律一 力矩：设在转动平面内，=⨯是矢量，对绕固定轴转动，只有两种可能的方向，用正负即可表示，按代数求和（对多个力）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 : 用隔离体法分析两个物 体和两个滑轮的受力情况， 画受力图。
A
B
3
前页 后页 目录
2 解: (1)用隔离体方法分析两个物体和组合轮的受力 情况，画受力图。
TB TA B aB A aA 2 J (9 / 2)mr GA G 2 g 2 9 . 8 B 2 解得 10.3(rad/s ) 19r 19 0.1
前页 后页 目录
4
TA mg ma A mg TB ma B TB 2r TA r J aA r aB 2r
T1 m1 a G1
T1 T2
T2 m2 a G2
前页 后页 目录
8
4
T1 m1 a G1
T2 m1 g T1 m1a m2 a T2 m2 g m2a G2 T1r T2 r J
T1 T2
解得
a R
g J r m1 m2 2 r m1 m2
本题完 9
前页 后页 目录
2
本题完 5
前页 后页 目录
3. 一轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量 为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子的A端有一质量为 M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端 B 系了一质量为 M/2 的重物，如图所示。设人从静止开始以相对绳匀 速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求 B端重物上 升的加速度？ ( 已知滑轮对过滑轮中心且垂直于轮面 的轴的转动惯量为(1/4)MR2。) 解 : 用隔离体法分析物体、人和滑轮 的受力情况，画受力图。
本题完
前页 后页 目录
2
2. 两个均质圆盘，一大一小，同轴地粘结在一起构 成一个组合轮。小圆盘的半径为r，质量为m；大圆盘 的半径为r=2r，质量为 m=2m。组合轮可绕通过其中 心且垂直于盘面的光滑水平固定轴 O转动，组合轮对 O轴的转动惯量J=(9/2)mr2。两盘边缘上分别绕有轻质 细绳，细绳下端各悬挂质量为m的物体A和B，如图所 示。这一系统从静止开始运动，绳与盘之间无相对滑 动，绳长度不变。已知r=10cm。求: (1)组合轮的角加速度； O (2)当物体上升h=40cm时，组合轮 的角速度。
前页 后页 目录
7
4. 如图所示，设两重物的质量分别为 m1 和 m2 ，且 m1>m2 ，定滑轮的半径为 r ，对转轴的转动惯量为 J ， 轻绳与滑轮间无滑动，滑轮轴上摩擦不计。设开始时 系统静止，试求t时刻滑轮的角加速度。
解 : 用隔离体法分析两个物体和滑轮的 受力情况，画受力图。
r
m1 m2
TA
TB
2 (2) 以起始位置为重力势能零点，该过程应用机械能 守恒定律
1 1 1 2 2 2 mgh m mg 2h m (2 ) J 0 2 2 2 r
J (9 / 2)mr 1 4 gh 解得 r 19 1 4 9.8 0.4 9.08(rad/s ) 0.1 19
m, r
m
m, r 2m
前页 后页 目录
1
1
T1 m, r T1 m a G1
T T
2mg T2 2ma m, r T2 1 2 Tr T1r mr 2 T2 1 2 2m a T2 r Tr mr 2 G2 a r
T1 mg ma
解得
目录
3 设人相对绳上爬的速度为 ， 三个速度的关系为
A B
a A aB
TA
TB
则
TA Mg TA Ma A TB A A a A B B aB 1 1 TB Mg MaB 2 2 GA GB TA R TB R J aB R 2 a g 解得 B 2 7 本题完 J (1 / 4)mR