导数题型分类大全

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导数题型分类(A )

题型一:导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则

(一)导数的定义:函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x

x f x x f x y

o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数,记作)(0/

x f 或0

/

x x y =,即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数,此时对于每一个),(b a x ∈,都对应着一个确定的导数)(/

x f ,从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数

)(x f y =在开区间内的导函数,简称导数,也可记作/y ,即)(/x f =/y =

x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

导数与导函数都称为导数,这要加以区分:求一个函数的导数,就是求导函数;求函数

)(x f y =在0x 处的导数0

/

x x y =,就是导函数)(/

x f 在0x 处的函数值,即0

/

x x y ==)(0/

x f 。

例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ,求

()()t

t a f t a f t 54lim

+-+→。

例2.2

3

33

x y x x +=

=+求在点处的导数。 (二)常见基本初等函数的导数公式和运算法则 :

+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数; ;sin )(cos ;

cos )(sin ''x x x x -==

a a a e e x

x x

x ln )(;

)('

'

==; e x

x x

x a a

log 1

)(log ;1

)(ln ''=

=

法则1: )()()]()(['

'

'

x v x u x v x u ±=± 法则2: )()()()()]()(['

'

'

x v x u x v x u x v x u +=

法则3: )0)(()

()()()()(])()([2'

''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u

(理)复合函数的求导:若(),()y f u u x ϕ==,则'()'()x y f x x ϕ'=g

如,sin ()'x

e

=_______________;(sin )'x e =_____________

公式1

/

)(-=n n nx

x 的特例:①=')x (______; ②='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛x 1_______, ③=')x (_________.

题型二:利用导数几何意义及求切线方程

导数的几何意义:函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此,如果)(0x f '存在,则曲线)(x f y =在点()(,00x f x )处的切线方程为______________________

例1.若函数()f x 满足,3

21()(1),3

f x x f x x '=

-⋅-则(1)f '的值 例2.设曲线ax

y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直,则a = .

练习题

1.曲线在点处的切线方程是

2.若曲线在P 点处的切线平行于直线,则P 点的坐标为 (1,0) 3.若曲线的一条切线与直线垂直,则的方程为 4.求下列直线的方程:(注意解的个数)

(1)曲线在P(-1,1)处的切线; (2)曲线过点P(3,5)的切线; 解:(1)

所以切线方程为

(2)显然点P (3,5)不在曲线上,所以可设切点为,则①又函数的导数为,

所以过点的切线的斜率为,又切线过、P(3,5)点,所以有②,由①②联立方程组得,,即切点为(1,1)时,切线斜率为;当切点为(5,25)时,切线斜率为;所以所求的切线有两条,方程分别为

5.设P 为曲线C :y =x 2

+2x +3上的点,且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0,π4],

则点P 横坐标的取值范围为( ) A .[-1,-1

2

]

B .[-1,0]

C .[0,1]

D .[1

2

,1]

6.下列函数中,在(0,+∞)上为增函数的是( )

=sinx B. x

y xe = C. 3

y x x =- =ln(1+x)—x

7. 设f(x),g(x)是R 上的可导函数,(),()f x g x ''分别为f(x),g(x)的导数,且

()()()()0f x g x f x g x ''+<,则当a

(x)g(b)>f(b)g(x) (x)g(x)>f(b)g(b) (x)g(a)>f(a)g(x) (x)g(x)>f(b)g(a)

题型三:利用导数研究函数的单调性

1. 设函数)(x f y =在某个区间(a,b )内有导数,如果在这个区间内____,则)(x f y =在这个区间内单调递增;如果在这个区间内____,则)(x f y =是这个区间内单调递减.

2. 求函数的单调区间的方法: (1)求导数)x (f y '='; (2)解方程0)x (f ='; (3)使不等式0)x (f >'成立的区间就是递增区间,使0)x (f <'成立的区间就是递减区间

3.若函数)(x f y =在区间(,)a b 上单调递增,则'()__0f x 在(,)a b 恒成立.

例:1.函数y =x cos x -sin x 在下面哪个区间内是增函数( )

(A )(

2π,23π) (B )(π,2π) (C )(2

3π,25π) (D )(2π,3π)

2. 函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是_________________.

3.已知函数()1x

f x e ax =-+在R 上单调递增,则a 的取值范围是________. 题型四:利用导数研究函数的极值、最值。

1. 在区间上的最大值是 2 2.已知函数处有极大值,则常数c = 6 ; 3.函数有极小值 -1 ,极大值 3

4.已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示, 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )

5.已知函数3

2

()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则实数a 的取值范围是( )

A

B

C

D

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