导数题型分类大全

导数题型分类（A ）

题型一：导数的定义及计算、常见函数的导数及运算法则

（一）导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率x

x f x x f x y

o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim

lim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/

x f 或0

/

x x y =，即

x

x f x x f x f x ∆-∆+=→∆)

()(lim

)(000

0/

如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/

x f ，从而构成了一个新的函数)(/

x f 。称这个函数)(/

x f 为函数

)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝

x

x f x x f x ∆-∆+→∆)

()(lim

导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数

)(x f y =在0x 处的导数0

/

x x y =，就是导函数)(/

x f 在0x 处的函数值，即0

/

x x y =＝)(0/

x f 。

例1.函数()a x x f y ==在处的导数为A ，求

()()t

t a f t a f t 54lim

+-+→。

例2．2

3

33

x y x x +=

=+求在点处的导数。 （二）常见基本初等函数的导数公式和运算法则 ：

+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数； ;sin )(cos ;

cos )(sin ''x x x x -==

a a a e e x

x x

x ln )(;

)('

'

==； e x

x x

x a a

log 1

)(log ;1

)(ln ''=

=

法则1： )()()]()(['

'

'

x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['

'

'

x v x u x v x u x v x u +=

法则3： )0)(()

()()()()(])()([2'

''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u

（理）复合函数的求导：若(),()y f u u x ϕ==，则'()'()x y f x x ϕ'=g

如，sin ()'x

e

=_______________;(sin )'x e =_____________

公式1

/

)(-=n n nx

x 的特例：①=')x (______; ②='

⎪⎭

⎫ ⎝⎛x 1_______, ③=')x (_________.

题型二：利用导数几何意义及求切线方程

导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率.因此，如果)(0x f '存在，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为______________________

例1．若函数()f x 满足，3

21()(1),3

f x x f x x '=

-⋅-则(1)f '的值 例2．设曲线ax

y e =在点(0,1)处的切线与直线210x y ++=垂直，则a = ．

练习题

1．曲线在点处的切线方程是

2．若曲线在P 点处的切线平行于直线，则P 点的坐标为 （1，0） 3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 4．求下列直线的方程：（注意解的个数）

（1）曲线在P(-1,1)处的切线； （2）曲线过点P(3,5)的切线； 解：（1）

所以切线方程为

（2）显然点P （3，5）不在曲线上，所以可设切点为，则①又函数的导数为，

所以过点的切线的斜率为，又切线过、P(3,5)点，所以有②，由①②联立方程组得，，即切点为（1，1）时，切线斜率为；当切点为（5，25）时，切线斜率为；所以所求的切线有两条，方程分别为

5．设P 为曲线C ：y ＝x 2

＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[0，π4]，

则点P 横坐标的取值范围为( ) A ．[－1，－1

2

]

B ．[－1,0]

C ．[0,1]

D ．[1

2

，1]

6.下列函数中，在（0，+∞）上为增函数的是（ ）

=sinx B. x

y xe = C. 3

y x x =- =ln(1+x)—x

7. 设f(x),g(x)是R 上的可导函数，(),()f x g x ''分别为f(x),g(x)的导数，且

()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当a

(x)g(b)>f(b)g(x) (x)g(x)>f(b)g(b) (x)g(a)>f(a)g(x) (x)g(x)>f(b)g(a)

题型三：利用导数研究函数的单调性

1. 设函数)(x f y =在某个区间（a,b ）内有导数，如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =在这个区间内单调递增；如果在这个区间内＿＿＿＿，则)(x f y =是这个区间内单调递减.

2. 求函数的单调区间的方法： （1）求导数)x (f y '='； （2）解方程0)x (f ='； （3）使不等式0)x (f >'成立的区间就是递增区间，使0)x (f <'成立的区间就是递减区间

3.若函数)(x f y =在区间(,)a b 上单调递增，则'()__0f x 在(,)a b 恒成立.

例：1.函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）

（A ）(

2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(2

3π，25π) （D ）(2π，3π)

2. 函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是_________________.

3.已知函数()1x

f x e ax =-+在R 上单调递增,则a 的取值范围是________. 题型四：利用导数研究函数的极值、最值。

1． 在区间上的最大值是 2 2．已知函数处有极大值，则常数c ＝ 6 ； 3．函数有极小值 －1 ,极大值 3

4．已知函数f (x )的导函数()f x '的图象如右图所示， 那么函数f (x )的图象最有可能的是( )

5.已知函数3

2

()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值，则实数a 的取值范围是（ ）

A

B

C

D