极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题

1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2

2

2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

（I ）求12,C C 的极坐标方程.

（II ）若直线3C 的极坐标方程为()π

R 4

θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ∆ 的面积.

解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.

（Ⅱ）将=

4

π

θ代入2

2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得

240

ρ-+=，解得1ρ=，

2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1

1sin 452

⨯=12

.

2.已知曲线194:2

2=+y x C ，直线⎩⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）

（1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；

（2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.

解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为

|4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=

43

.

当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小

值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐

标方程为ρ=2cos θ02πθ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，,

(1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.

解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ

θ=+⎧⎨=⎩ (0≤θ

≤π).

(2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.

因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ=

3

π

.故D 的

直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C.

(1)写出C 的参数方程;

(2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

解：(1)设(x 1,y 1)为圆上的点,经变换为C 上点(x,y),由22x y +=1得x 2

+2

2y ⎪⎭

⎫

⎝⎛=1,即曲线C

的方程为4x 2

+2

y =4.故C 的参数方程为⎩

⎨⎧==θθsin 2cos x y (θ为参数).

(2)由解得或不妨设P 1(1,0),P 2(0,2),则线段P 1P 2的中点坐标为1

2

（，1）

,所求直线斜率为k=12,于是所求直线方程为y-1=12（x-1

2

）,化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=θ

θsin 4cos 23

--.

5.在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C 的极坐标方

程为ρcos ⎝

⎛

⎭⎪⎫θ－π3＝1，M 、N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．

(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标；(2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．

解：(1)由ρcos ⎝

⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝23

3，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233

，π2.

(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)．所以P 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

1，33，

则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233

，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π

6，ρ∈(－∞，＋∞)．

6.在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin (θ－

π4

)＝

2

2

，

(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标．

解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝x ＋y ，即x 2＋y 2－x －y ＝0.直线l ：ρsin(θ－

π4)＝2

2

，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.

(2)由⎩⎨

⎧

x 2＋y 2

－x －y ＝0，

x －y ＋1＝0

得⎩⎨

⎧

x ＝0，y ＝1.

故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为(1，π

2

)．

7.在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆⎩⎨

⎧

x ＝5cos φ，

y ＝3sin φ(φ为参数)的右焦点，且与直线

⎩⎨

⎧

x ＝4－2t ，y ＝3－t

(t 为参数)平行的直线的普通方程．

解：由题设知，椭圆的长半轴长a ＝5，短半轴长b ＝3，从而c ＝a 2－b 2＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y ＋2＝0.

故所求直线的斜率为12，因此其方程为y ＝1

2

(x －4)，即x －2y －4＝0.

8.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨

⎪⎧

x ＝3－22

t ，

y ＝5＋2

2

t (t 为参数)．在极坐标

系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，圆C 的方程为ρ＝25sin θ.