计算N阶行列式若干方法
行列式的计算方法(课堂讲解版)04890
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
n阶行列式的计算方法
0 −a12 Dn = −a13 ⋯
−a1n
a12 0 −a23 ⋯
−a2n
a13 a23 0 ⋯
−a3n
⋯ a1n ⋯ a2n ⋯ a3n ⋯⋯
⋯0
由行列式的性质 D = DT
0 −a12 −a13 ⋯ −a1n
a12 0 −a23 ⋯ −a2n
Dn = a13 a23
0 ⋯ −a3n
⋯ ⋯ ⋯⋯⋯
a1n a2n a3n ⋯ 0
0
a12
a13 ⋯ a1n
−a12 0
a23 ⋯ a2n
= (−1)n −a13 −a23 0 ⋯ a3n
⋯ ⋯ ⋯ ⋯⋯
−a1n −a2n −a3n ⋯ 0
= (−1)n Dn
当 n 为奇数时，得 Dn = −Dn ，因而得 Dn = 0 。 4．利用行列式按行（列）展开
= 1× 4 − 3× 2 = −2
24
120 例 2 计算三阶行列式 D = 4 − 3 8 。
0 −1 2
解：
120 D = 4 − 3 8 = 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 × (−3) × 0 − 2 × 4 × 2 − 1× 8× (−1)
a1
a2 ⋯ x + an
1 a1 ⋯ an
0
Dn = ⋮
Dn
0
1 a1 a2 ⋯ an 第i行减第1行 −1 x 0 ⋯ 0 i = 2,⋯, n +1 −1 0 x ⋯ 0 （箭形行列式）
⋯⋯⋯⋯⋯ −1 0 0 ⋯ x
∑ 1+ n a j
j=1 x
a1
a2 ⋯ an
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 00100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
#线性代数技巧行列式的计算方法
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ijD a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由i j j i a a =-知i i i ia a =-，即 0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n nnnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nnn a a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a bbbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a b bD a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+- 11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba =+- 100[(1)]00b bb a b a n b a b a b-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---= .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例：一个n 阶行列式nij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n nnn a a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质A A '=，1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=- 12131122321323312300(1)00n n n n nnn a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例 计算行列式 001002001000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n nD n --=-2．利用行列式的性质计算例： 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称行列式， 证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为121311223213233123000n nn n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----，由行列式的性质T A A =，121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)00n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
化三角形法是将原行列式化为上（下）三角形行列式或对角形行列式计算的一种方法。
[理学]线性代数技巧行列式的计算方法解析
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计算n 阶行列式的若干方法举例n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较多时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式001002001000000n D n n =-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-=则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ijji aa =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=-----由行列式的性质A A '=1213112232132331230000n n nn nn n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300(1)0n n n n nnna a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式a b b b ba b b D bb a b bbba=解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b a bb D a n bb a b a n bb b a+-+-=+-+-11[(1)]11b b b a b b a n b b a b b ba=+-100[(1)]000b b b a b a n b a b a b-=+---1[(1)]()n a n b a b -=+--4．降阶法降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含2项，三阶行列式每项含3项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例1计算二阶行列式4231=D 。
解：223414231−=×−×==D 例2计算三阶行列式210834021−−=D 。
解：)1(812420)3(0)1(400822)3(1210834021−××−××−×−×−−××+××+×−×=−−=D 14−=2．利用n 阶行列式的定义n 阶行列式==nnn n nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋮⋮⋯⋯212222111211nn np p p p p p a a a ⋯⋯212121)()1(∑−τ其中)(21n p p p ⋯ττ=，求和式中共有!n 项。
显然有上三角形行列式nnnn nn a a a a a a a a a D ⋯⋮⋱⋯⋯221122211211==下三角形行列式nnnnn n a a a a a a a a a D ⋯⋯⋱⋮⋮221121222111==对角阵nnD λλλλλλ⋯⋱2121==另外nn n nD λλλλλλ⋯⋰212)1(21)1(−−==例3计算行列式001002001000000n D n n=−⋯⋯⋮⋮⋮⋮⋯⋯解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n −−−=⋯.该项列标排列的逆序数t （n －1n －2…1n ）等于(1)(2)2n n −−，故(1)(2)2(1)!.n n n D n −−=−3．利用行列式的性质计算性质1行列式与它的转置行列式相等,即TD D =。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例 1 计算二阶行列式D= 13。
24解：D= 13= 1× 4 − 3 ×2 = −224例 2 计算三阶行列式D= 1204− 38。
0−12解：D = 1204 − 38= 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) −0 ×(−3) × 0 − 2 × 4 × 2 −1× 8 × (−1)0−12= −142．利用 n 阶行列式的定义a 11a12⋯a1nn阶行列式 D = a21a22⋯a2n=∑(−1)τa1p1a2p2⋯a np n⋮⋮⋮( p1p2⋯p n )an1an2⋯ann其中τ=τ(p1p2⋯ p n)，求和式中共有n!项。
显然有a 11a12⋯a1n上三角形行列式D=a22⋯a2n=a11a22⋯ann⋱⋮anna11下三角形行列式D= a21a22⋱=a11a22⋯ann⋮ ⋮an 1 an 2⋯annλ1对角阵 D =λ2= λ1λ2 ⋯ λn⋱λ另外 D =λ2λ1n ( n −1)= (−1) 2λ1λ2 ⋯λn⋰λn例 3 计算行列式⋯ 0 1 00 ⋯ 2 0 0 D n = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮n −1 ⋯0 0 00 ⋯ 0 0 n解D n 中不为零的项用一般形式表示为a 1 n −1 a 2 n − 2 ⋯ a n −11 a nn=n !.该项列标排列的逆序数 t （ n －1 n －2…1 n ）等于 ( n − 1)( n − 2)，故2D n =( −1)( n −1)( n −2) n !.23．利用行列式的性质计算性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = D T。
计算n阶行列式的若干方法举例论文
计算n阶行列式的若干方法举例论文计算n 阶行列式的若干方法举例摘要:行列式是高等代数课程里基本而重要的内容之一，在数学中有着广泛的应用，懂得如何计算行列式显得尤为重要。
本文先阐述行列式的基本性质，然后介绍各种具体的方法，最后由行列式与其它知识的联系介绍其它几种方法。
通过这 一系列的方法进一步提高我们对行列式的认识，对我们以后的学习带来十分有益的帮助。
关键字:行列式；n 阶行列式；计算；方法 前 言：行列式在高等代数课程中的重要性以及在考研中的重要地位使我们有必要对行列式进行较深入的认识，本文对行列式的解题方法进行总结归纳。
我们可以这样来理解行列式，它是在实数（复数）的基础上定义的一个独立结构。
作为行列式本身而言，我们可以发现它的二个基本特征，当行列式是一个三角形行列式（上三角或下三角形行列式，对角形行列式也是三角形行列式的特殊形式）时，计算将变得十分简单，于是将一个行列式化为三角形行列式便是行列式计算的一个 基本思想。
这也是化三角形法的思想精髓。
行列式的另一特征便是它的递归性，即一个行列式可以用比它低阶的一系列行列式表示，于是对行列式降阶从而揭示其内 部规律也是我们的一个基本想法，即递推法。
这两种方法也经常一起使用。
而其它方法如：加边法、降阶法、数学归纳法、拆行（列）法、析因法等可以看成是它们 衍生出的具体方法。
作为特殊的行列式当然也有其它方法，如用范德蒙公式计算某些行列式。
上面这些方法是基于行列式这一结构内部的，作为行列式与其它知识的 联系，特别是多项式、矩阵的密切关系，我们将得到一些其它的方法，这将在文中一一讨论。
一、利用行列式的定义计算定义: n 阶行列式111212122212n n n n n nna a a a a a D a a a定义为n ！项的代数和，这些项是一切可能的取自D 的不同行与不同列的n 个元素的积1212...n j j nj a a a ，且此项的符号是12(...)(1)n j j j τ-，即 121212(...)12...(1)...n n nj j j n j j nj j j j D a a a τ=-∑ 例1 计算行列式00100201000000n D n n=-解 D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=.该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故 (1)(2)2(1)!.n n n D n --=-计算下列行列式201141183---.解201141183---2(4)31811(4)(1)(1)822484164=⨯-⨯+⨯⨯-⨯-⨯---⨯⨯=-+-+=-. 例2 设ij a 都是整数, ,1,2,...,i j n m =是一个正整数，证明1112121222n 121()21()D 21()2mn mn mn n nn a a a a a a a a a ++=+0≠证明 若n D =0，则(2)m n n D D ==0，即111212122212(21)222(1)2D 22(1)mm m n m m m n m m mn n nn a a a a a a a a a ++=+=显然，在行列式D 中，项1122...nn a a a 为奇数，其余项全为偶数，因此，由行列式的定义，D=奇数+偶数=0，矛盾.所以，n D 0≠. 计算12121212111222...nn nnj j j j j j j j j nj nj nj a a a a a a D a a a =∑解 因为121212111222n n nj j j j j j nj nj nj a a a a a a a a a =(...)12(1)j j j n n D τ-.所以 D=(...)1212 (1)j j j n nn j j j D τ-∑又因为在所有的n ！个排列中，奇偶排列各半，故D=0.二、利用行列式性质计算行列式函数满足以下六条性质： 1、'A A =；2、()111121221i n i nij n nn ni nna ka a a ka a k a a ka a ⨯=，类似地，对行向量，有 ()111211212.................................ni i in ij n nn n nna a a a a a k a a a a ⨯=3、若A 的某列（行）为两列（行）之和，则A 为两个相应的行列式之和；4、A 不满秩，则0A =，特别地，A 有两行（列）相等，则0A =；5、将A 的一行（列）的若干倍加到B 的另一行（列）上去，行列式值不变；6、两行（列）互换，行列式反号. 例4 计算行列式108215123203212 ， 26641212232.解108215123203212=541141215123103123020321243212==26641212232=2133266232=0. 例5 证明332()x y x y y x y x x y x yx y ++=-++证明2()12()2()12()1x y x y x y y x y y x y y x y x x y x yx x y x yx x yx y x y xyxy+++++=++=++++223312()02()()2()0y x yx y xy x y x xy y x y x yx +=+-=+-+-=-+--三、化成三角形行列式法先把行列式的某一行（列）全部化为1，再利用该行（列）把行列式化为三角形行列式，从而求出它的值，这是因为所求行列式有如下特点：1各行元素之和相等；2各列元素除一个以外也相等. 充分利用行列式的特点化简行列式是很重要的.例6 计算123 (12)34...1345 (1)2..................11 (321)2 (2)1n nn n n n n nn n ------.解123 (123)4...1345...12..................11 (321)2 (2)1n n n n n n n nn n ------=123 (10)11...11011...11(1)..................211...11011...11n n n n n n n n---+-- =(1)11 (1100)...(1)...............20...00...0n n n nn n n n n n ---+--=(1)11...1100 0(1)...............20 (000)...00n n n n n n ---+-- =((1)...21)2(1)(1)(1)()2n n n n n τ--+--- =(1)12(1)(1)2n n n n n --+-. 补充：经过一系列的变化以后，把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
n阶行列式的计算方法
n 阶行列式的计算方法1．利用对角线法则“对角线法则”：（1）二、三阶行列式适用“对角线法则”；（2）二阶行列式每项含 2 项，三阶行列式每项含 3 项，每项均为不同行、不同列的元素的乘积；（3）平行于主对角线的项为正号，平行于副对角线的项为负号。
例 1 计算二阶行列式D= 13。
24解：D= 13= 1× 4 − 3 ×2 = −224例 2 计算三阶行列式D= 1204− 38。
0−12解：D = 1204 − 38= 1× (−3) × 2 + 2 × 8 × 0 + 0 × 4 × (−1) − 0 ×(−3) × 0 − 2 × 4 × 2 −1× 8 × (−1)0−12= −142．利用 n 阶行列式的定义a 11a12⋯ a1nn阶行列式 D = a21a22⋯ a2n=∑(−1)τa1p1a2p2⋯a np n⋮⋮⋮( p1p2⋯p n )an1an2⋯ann其中τ=τ(p1p2⋯ p n)，求和式中共有n!项。
显然有a 11a12⋯ a1n上三角形行列式D=a22⋯a2n=a11a22⋯ann⋱⋮anna11下三角形行列式D= a21a22⋱=a11a22⋯ann⋮ ⋮an 1 a n 2⋯annλ1对角阵 D =λ2= λ1λ2 ⋯ λn⋱λn另外 D =λ2λ1n ( n −1)= (−1) 2λ1λ2 ⋯λn⋰λn例 3 计算行列式⋯ 0 1 00 ⋯ 2 0 0D n = ⋮ ⋮⋮ ⋮n −1 ⋯ 0 0 00 ⋯ 00 n解D n 中不为零的项用一般形式表示为a 1 n −1 a 2 n − 2 ⋯ a n −11 a nn=n !.该项列标排列的逆序数 t （ n －1 n －2…1 n ）等于 ( n − 1)( n − 2)，故2D n =( −1)( n −1)( n −2) n !.23．利用行列式的性质计算性质 1 行列式与它的转置行列式相等, 即 D = D T。
N阶行列式的计算
例4： = = =…
练习：(1) 【160】(2) 【 】
(5)逐行（列）相加（减）（适用于行列式相邻两行相加减后有共同特点时）
例5： =…=0
例6：
= 。
练习： 【 】
(6)拆项计算行列式（适用于行列式中的行（列）元素是两项之和）
例7： = + =
题设行列式正是 ，即y的系数，展开(1)式，得到y的系数为
所以： = 。
7、观察一次因式法
例13：计算 =
解：当 时，第一、第二行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式， ，当 时，第三、第四行对应元素相等，所以 =0，可见 中含有因式 。
由于 中关于 的最高次数是4，所以
中含 的项是 ，
比较上面两式中 的系数，得 ，故 。
N阶行列式的计算
N阶行列式的计算方法主要有以下几种：
1、直接按定义计算：（适用于行列式中非零元素非常少的情形）
例1：计算 = 解：由定义知 = ，因为 ，所以 的非零项中 只能取2或3，同理，有 = = =0，可推出 只能取2或3，又因为 要求各不相同，故 项中至少有一个必须取零，所以 =0.
练习：用行列式的定义计算下列行列式：【1， ， 0， 0】
例14：解方程 =0
解：当 =0,1,2， 时，行列式的两列对应元素相等，行列式的值为0，因此左边行列式可写成 ，
于是原方程变为 ，
所以原方程的解为 。
8、利用数学归纳法进行证明或计算。
例15：证明n阶范德蒙行列式的正确性
+ =0练习:证明 =
3、降阶法：利用行列式按行（列）展开定理进行降阶，这种方法适用于行列式中某一行（列）非零元素较少。
N阶行列式的几种常见的计算方法
利用范德蒙行列式的结果计算 ｎ 阶行列式． 例 ６． 计算 ｎ 阶行列式
２
ｎ
１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
Ｄｎ ＝
１＋ｘ２ …
１＋ｘ２ …
… …
１＋ｘ２ …
２
ｎ
１＋ｘｎ １＋ｘｎ … １＋ｘｎ ．
解： 加边得
１ ０ ０ …０
１ Ｄｎ ＝ １２ｎ１＋ｘ１ １＋ｘ１ … １＋ｘ１
２
ｎ
１＋ｘ２ ＋ｘ２ … ＋ｘ２
ｎ－ １
１ ｘ１ － １ ｘ１ （ｘ１ － １） … ｘ１ （ｘ１ － １）
ｎ－ １
１ ｘ２ － １ ｘ２ （ｘ２ － １） … ｘ２ （ｘ２ － １） ＝
…… … … …
ｎ－ １
１ ｘｎ － １ ｘｎ （ｘｎ － １） … ｘｎ （ｘｎ － １）
# ２ｘ１ ｘ２ …ｘｎ × （ｘｉ － ｘｊ ）－ １"ｊ＜ｉ"ｎ
·１２·
山 西 大 同 大 学 学 报（自 然 科 学 版）
２００８ 年
就有 Ｄｎ ＝［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］×
１ ｂ ｂ …ｂ ０ ａ－ ｂ ０ … ０ ０ ０ ａ－ ｂ … ０ ＝ …… ……… ０ ０ ０ … ａ－ ｂ ［ａ＋（ｎ－ １）ｂ］（ａ－ ｂ）ｎ－１．
３ 降阶法
运 用 行 列 式 按 行（ 列） 展 开 的 相 关 定 理 使 高 阶 行列式转化为低阶行列式来计算其值．
将第一列的1倍加到其它各列得dn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn将此?列式拆分为两项得dnv200?01x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn111?11x1x21?xn11x2x22?xn2?????1xnx2n?xnn2x1x2?xn1x1?xn111x2?xn12????1xn?xn1n100?01x11x1x11?xn11x111x21x2x21?xn12x21?????1xn1xnxn1?xn1nxn12x1x2?xn1jinxixjx11x21?xn11jinxixj2x1x2?xnx11x21?xn11jinxixj
n阶行列式万能公式
n阶行列式万能公式在数学的世界里，行列式可是个让人又爱又恨的家伙。
特别是当涉及到 n 阶行列式的时候，那更是让人头大。
不过别担心，今天咱们就来聊聊 n 阶行列式的万能公式。
先来说说什么是行列式。
简单来讲，行列式就是一个数学表达式，它可以用来解决很多线性代数的问题。
比如说判断一个方程组有没有解，解是唯一的还是有无数个。
那 n 阶行列式又是啥呢？其实就是一个 n×n 的矩阵所对应的行列式。
比如说 2 阶行列式，就是一个 2×2 的矩阵对应的行列式；3 阶行列式呢，就是 3×3 的矩阵对应的。
以此类推，n 阶行列式就是 n×n 的矩阵对应的啦。
n 阶行列式的计算方法有很多种，其中有一种被称为“按行展开”的方法。
我记得我当初上学的时候，为了搞懂这个方法，可是费了好大的劲。
有一次上数学课，老师在黑板上写了一个 4 阶行列式，让我们自己计算。
我看着那一堆数字，脑袋都大了。
我就按照老师讲的按行展开的方法，一步一步地算。
先选一行，然后把这一行的每个元素乘以它对应的代数余子式，再把这些乘积加起来或者减起来。
可是我算着算着就乱了，一会儿忘了正负号，一会儿又算错了代数余子式。
我旁边的同桌也和我一样，愁眉苦脸的。
这时候老师走过来，看到我一脸迷茫的样子，笑着说：“别着急，慢慢来。
你看这个元素，它对应的代数余子式应该这样算……”老师耐心地给我讲解，我这才恍然大悟，原来我之前有一步算错了。
经过一番努力，我终于算出了答案，那一刻，心里别提多有成就感了。
说回 n 阶行列式的万能公式。
其实严格来说，并没有一个真正意义上适用于所有情况的万能公式。
但是通过一些方法和技巧，我们可以把复杂的 n 阶行列式转化为比较简单的形式来计算。
比如，如果行列式中有很多零元素，那我们就可以利用这个特点来简化计算。
还有，如果行列式的某一行（列）是另外一行（列）的倍数，那也可以通过一些变换来简化。
另外，还有一种叫做“三角化”的方法。
n阶行列式的若干计算方法
n 阶行列式的若干计算方法n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算例计算行列式001002001000000n D n n=-L LMM M M L L解D n 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=L .该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=-2．利用行列式的性质计算 例：一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ijji a a i j n =-=L 则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==L故行列式D n 可表示为1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -=-----L L L L L L L L L ，由行列式的性质A A '=， 1213112232132331230000n nn n n n na a a a a a D a a a a a a -----=-L L L L L L L L L 12131122321323312300(1)00n n n n n n na a a a a a a a a a a a -=------L L L L L L L L L (1)n n D =-当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.3．化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
n阶行列式的计算方法总结及例题
n阶行列式的计算方法总结及例题n阶行列式的计算方法总结及例题一、引言行列式是线性代数中的重要概念，它是一个数学对象，用来表示一个n阶方阵的一种性质。
在实际应用中，我们经常需要计算n阶行列式来解决各种数学和工程问题。
本文将对n阶行列式的计算方法进行总结，并且通过例题来加深理解。
二、行列式的基本定义在n阶行列式中，其中一个基本概念是排列。
一个排列是指1, 2, ..., n 的一种次序。
当n=3时，有6个排列{1,2,3}、{1,3,2}、{2,1,3}、{2,3,1}、{3,1,2}和{3,2,1}。
在行列式中，每个排列的正负号是由该排列的逆序数来决定的。
逆序数是指在一个排列中，逆序对的个数。
若逆序数为奇数，则该排列为负排列；若逆序数为偶数，则该排列为正排列。
三、n阶行列式的计算方法1. 代数余子式法代数余子式法是一种递归的方法，可以用来计算n阶行列式。
我们选择矩阵的某一行（或某一列），然后对该行（或列）中的每个元素，每个元素对应一个代数余子式。
根据代数余子式的定义和符号来计算每个元素的代数余子式。
将这些代数余子式与对应的元素相乘，并相加起来，即得到行列式的值。
2. 公式法当n=2时，行列式的计算方法非常简单，即ad-bc。
当n>2时，可以利用展开定理，将n阶行列式展开为n-1阶行列式的和。
通过递归的方法，最终可以将n阶行列式转化为2阶行列式的组合。
3. 三角形法三角形法是一种几何方法，通过对矩阵进行初等行变换，将矩阵化为上（下）三角矩阵。
根据上（下）三角矩阵的特殊性，可以直接求出行列式的值。
四、例题我们通过以下例题来加深对n阶行列式计算方法的理解：例题1：计算3阶行列式给定矩阵 A =\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix} \]我们可以使用代数余子式法，按照第一行展开，得到\[ |A| = 1*|M11| - 2*|M12| + 3*|M13| \]其中，M11、M12、M13分别为A的三个元素对应的代数余子式，根据代数余子式的定义和符号，可以计算得到|A|的值。
n阶行列式的计算方法
n阶行列式的计算方法行列式是线性代数中的重要概念，它在矩阵运算和方程组求解中有着重要的应用。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算n阶行列式的情况。
本文将介绍n阶行列式的计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用行列式的概念。
首先，我们来看n阶行列式的定义。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|，可以表示为一个由n个元素构成的表达式。
在这个表达式中，每个元素都属于不同的行不同的列，并且每个元素都有一个符号因子。
符号因子的取值规则是，当元素的行标和列标的奇偶性不同时，符号因子为正；当元素的行标和列标的奇偶性相同时，符号因子为负。
通过这个规则，我们可以得到n阶行列式的表达式。
接下来，我们将介绍n阶行列式的计算方法。
对于一个n阶方阵A，其行列式的计算可以通过以下步骤进行：1. 代数余子式法。
代数余子式法是一种常用的计算n阶行列式的方法。
该方法的核心思想是将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算。
具体步骤如下：对于n阶方阵A的第i行第j列的元素aij，其代数余子式记作Aij，其计算公式为Aij = (-1)^(i+j) Mij，其中Mij为去掉第i行第j列后得到的n-1阶行列式。
利用代数余子式计算n阶行列式的公式为，|A| = a1j A1j + a2j A2j + ... + anj Anj，其中a1j、a2j、...、anj为第j列的元素，A1j、A2j、...、Anj为对应元素的代数余子式。
通过代数余子式法，我们可以将n阶行列式的计算转化为n-1阶行列式的计算，从而简化了计算的复杂度。
2. 数学归纳法。
数学归纳法是一种递归的思想，可以用来计算n阶行列式。
该方法的核心思想是通过计算n阶行列式的各个元素的代数余子式，从而逐步简化问题规模，最终得到行列式的值。
具体步骤如下：针对n阶行列式，首先计算第一行（或第一列）的各个元素的代数余子式，然后利用代数余子式的值计算n阶行列式的值。
假设我们已经知道了n-1阶行列式的计算方法，那么我们可以利用n-1阶行列式的计算方法来计算n阶行列式。
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网上搜集的计算行列式方法总结, 还算可以.
计算n 阶行列式的若干方法举例
闵 兰
摘 要：《线性代数》是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。
行列式的计算是线性代数中的难点、重点，特别是n 阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。
计算n 阶行列式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。
关键词：n 阶行列式 计算方法
n 阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算（①按照某一列或某一行展开②完全展开式）外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点，灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。
下面介绍几种常用的方法，并举例说明。
1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式
00100200
10
000
00n D n n
=
-
解 D n 中不为零的项用一般形式表示为
1122
11!n n n nn a a a a n ---=.
该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于
(1)(2)
2
n n --，故 (1)(2)
2
(1)
!.n n n D n --=-
2．利用行列式的性质计算
例2 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足
,,1,2,
,,ij ji a a i j n =-=
则称D n 为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明 由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即
0,1,2,
,ii a i n ==
故行列式D n 可表示为
1213112
23213
233123000
n n n n n
n
n
a a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '=
1213112
23213
2331230000
n n n n n
n
n a a a a a a D a a a a a a -----=- 1213112
23213
23312300(1)0
n n n n n
n
n
a a a a a a a a a a a a -=------ (1)n n D =-
当n 为奇数时，得D n =－D n ，因而得D n = 0.
3．化为三角形行列式
若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。
因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。
例3 计算n 阶行列式
a b b b b a b b D b
b a b b
b
b
a
=
解 这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n 列都加到第1列上，行列式不变，得
(1)(1)(1)(1)a n b b b b a n b
a b b D a n b
b a b a n b
b b a
+-+-=+-+- 1
1
[
(1)]1
1b b b a b b a n b b a b b b
a =+- 1
0[(
1)]
000
b b
b a b a n b a b a b
-=+--- 1[(1)]()n a n b a b -=+--
4．降阶法
降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。
例4 计算n 阶行列式
00
1000000000000100
0n a a a D a a
=
解 将D n 按第1行展开
1000000000000(1)000000000
100
n n a a a a D a a
a a
+=+-
12(1)(1)n n n n a a +-=+--
2n n a a -=-.
5．递推公式法
递推公式法：对n 阶行列式D n 找出D n 与D n －1或D n 与Dn －1, D n －2之间的一种关系——称为逆推公式（其中D n , D n －1, D n
－2等结构相同），再由递推公式求
出D n 的方法称为递推公式法。
例5 证明
122
110000100
0001n n
n n x x D x a a a a a x
----=
-+
12121,(2)n n n n n x a x a x a x a n ---=+++
++≥
证明
将D n 按第1列展开得
1
2
3
2
110000
100
0001n n n
n x
x D
x
x a a a a a x
-----=-+
11000100(1)0
1
n n
x a x
+--+--
1n n a xD -=+
由此得递推公式：1n n n D a xD -=+，利用此递推公式可得
112()n n n n n n D a xD a x a xD ---=+=++
212n n n a a x x D --=++ 111n n n n a a x a x x --=
=++
++
6．利用范德蒙行列式 例6 计算行列式
122221122
12
12121122
111
111n n n
n n n n n n n n
x x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=
++++++
解 把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n －1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式
1
22
2212
1
1
1112
1
11()n n i j n i j n n n n
x x x D x x x x x x x x ≥>≥---==
-∏
7．加边法（升阶法）
加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。
例7 计算n 阶行列式
121
21
21
2
n n n n n
x a a a a x a a D a a a a a x a ++=+
解 1
10
0n
n n
a a D D =
121
1
00
2,
,11
001
0n
i a a a x i n x x
-=+--第行减第1行
（箭形行列式）
12
1
10000000
n
j
n j a a a a x
x x x
=+=
∑
11n j n
j a x x =⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭∑
8．数学归纳法 例8 计算n 阶行列式
122
11
00
001
00
0001n n
n n x x D x a a a a a x
----=
-+
解 用数学归纳法. 当n = 2时
21221
1
()x D x x a a a x a -=
=+++ 212x a x a =++
假设n = k 时，有
12121k k k k k k D x a x a x a x a ---=+++
++
则当n = k +1时，把D k +1按第一列展开，得
11k k k D xD a ++=+
1111()k k k k k x x a x a x a a --+=+++++ 12111k k k k k x a x a x a x a +-+=++
+++
由此，对任意的正整数n ，有
12121n n n n n n D x a x a x a x a ---=++
+++
9．拆开法
把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。
例9 计算行列式 n D =
1121221
2
n
n n n
a a a a a a a a a λλλ+++
解 n D =
121221
2
n n n n
a a a a a a a a a λλ++1
222
00
n n n n
a a a a a λλλ+++
12200
n n
n
a a a a λλ=
11n D λ-+
12
11n n a D λλλ-=+
……
12
11n
i
n i i a λλλλ=⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
∑ 上面介绍了计算n 阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。
学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。