双曲线知识点总结 (1)
双曲线知识点总结
双曲线知识点知识点一：双曲线的定义:在平面内,到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数大于0且的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点,两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件：,这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”,常数满足约束条件：,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若,则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；3. 若常数满足约束条件：,则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线包括端点；4．若常数满足约束条件：,则动点轨迹不存在；5．若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线;知识点二：双曲线与的简单几何性质标准方程图形性质焦点,,焦距范围,,对称性关于x轴、y轴和原点对称顶点轴长 实轴长=,虚轴长=离心率 渐近线方程1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长ab 222.等轴双曲线 : 当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b 时,我们称这样的双曲线为等轴双曲线;其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为,焦点在轴上,,焦点在y 轴上4.焦点三角形的面积2cot221θb S F PF =∆,其中21PF F ∠=θ5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0(122<=+mn ny mx 7.椭圆、双曲线的区别和联系：椭圆双曲线根据|MF 1|+|MF 2|=2a根据|MF 1|－|MF 2|=±2aa ＞c ＞0, a 2－c 2=b 2b ＞00＜a ＜c, c 2－a 2=b 2b ＞0,a ＞b ＞0,a ＞0,b ＞0,a 不一定大于b。
双曲线经典知识点总结-双曲线知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一:双曲线的定义在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线。
这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距。
注意:1. 双曲线的定义中,常数应当满足的约束条件:，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值",常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（)，则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支;3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F1、F2为端点的两条射线(包括端点）；4．若常数满足约束条件:,则动点轨迹不存在；5．若常数,则动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二:双曲线的标准方程1．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中；2．当焦点在轴上时,双曲线的标准方程：，其中.注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程;2．在双曲线的两种标准方程中，都有;3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时,焦点在轴上，双曲线的焦点坐标为,；当的系数为正时，焦点在轴上,双曲线的焦点坐标为，。
知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质（1)对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0）,把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b ＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心.(2)范围:双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足x≤—a或x≥a。
（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。
②双曲线（a＞0，b＞0)与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a,0），A2（a，0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
双曲线经典知识点总结
其渐近线方程为t?沪ab n d
注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方
程中的“常数”换成“0”，然后因式分解即得渐近线方程。
y轴上。注意：对于双 曲线，a不一定大于b，因此不能像椭圆那样通过比较分母的大小来判定焦点在哪一条坐标轴上。
4.方程Ax2+By2=C（A、B C均不为零）表示双曲线的条件
①待定系数法
:由题目条件确定焦点的位置，从而确定方程的类
车车豹
方程可设为总b（A>U，焦点在X轴上，AvU，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线
型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数d
b、C的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；
②定义法：由题目条件判断出动点的轨迹是什么图形,
然后再根据定义确定方程。
2 2
双曲线的实半轴长、虚半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为:
3.如何由双曲线标准方程判断焦点位置
33
-丄二1知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为a， *2，则
双曲线的焦点总在实轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看
2 2
X项的系数是正的，那么焦点在X轴上；如果y项的系数是正的，那么焦点在
(2)范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线
(a>0,b>0),把X换成一
—y，方程都不变，所以双曲线/H且是以原点为对称中心的中心对称图形，
=1
(a>0,b
这个对称中心
x=—a和x=a的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线
围成一个矩形(如图)，
双曲线的渐近线。 注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。
J323
双曲线基本知识点
双曲线基本知识点1. 什么是双曲线？在数学中，双曲线是平面上的一种特殊曲线，它与椭圆和抛物线类似，都是由焦点和直角的性质定义的。
双曲线有许多重要的应用，特别是在几何学、物理学和工程学中。
2. 双曲线的方程双曲线的一般方程可以写成：其中a和b分别是椭圆的半轴长度。
当a和b相等时，我们得到一个标准形式的双曲线：3. 双曲线的性质对称轴双曲线有两条对称轴：x轴和y轴。
对称轴通过焦点，并且与直角垂直。
焦点焦点是双曲线上最重要的点之一。
对于标准形式的双曲线，焦点位于原点的左右两侧。
焦点与直角的距离由半轴长度决定。
集中距离集中距离是指从原点到双曲线上任意一点的距离与该点到焦点的距离之差。
对于标准形式的双曲线，集中距离等于半轴长度。
渐近线双曲线有两条渐近线，分别与双曲线无限接近但永远不会相交。
渐近线的斜率等于b/a或-a/b，取决于椭圆的方程形式。
离心率离心率是描述椭圆形状的一个重要参数。
对于标准形式的双曲线，离心率等于根号下(a^2 + b^2)/a。
4. 双曲线的类型根据椭圆方程中a和b的关系，可以将双曲线分为以下几种类型：横向双曲线当a^2 > b^2时，我们得到一个横向双曲线。
这意味着双曲线在x轴上延伸，并且在y轴上收敛。
纵向双曲线当a^2 < b^2时，我们得到一个纵向双曲线。
这意味着双曲线在y轴上延伸，并且在x轴上收敛。
等轴双曲线当a^2 = b^2时，我们得到一个等轴双曲线。
这意味着双曲线在两个方向上都延伸，并且对称于原点。
5. 双曲函数与双曲线相关的函数被称为双曲函数。
常见的双曲函数包括双曲正弦、双曲余弦和双曲正切。
双曲正弦（sinh）双曲余弦（cosh）双曲正切（tanh）%3D-%20i+%20tan(i x))6. 双曲线的应用由于其特殊的性质，双曲线在许多领域中都有重要的应用。
物理学双曲线经常用于描述电磁波、粒子运动和引力场等物理现象。
例如，电磁波在空间中传播的路径可以由双曲线方程表示。
双曲线知识点总结
双曲线知识点总结1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2) 若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2点)（1）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e= 范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|= |PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)1.等轴双曲线：22(0)x yλλ-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直=±③离心率为y x2.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
高中数学双曲线知识点总结
高中数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义双曲线是由平面上距离不变的所有点的轨迹组成的曲线。
具体地说，双曲线是平面上的一条曲线，其上的每一点到两个给定的不同点F1和F2的距离之差是一个常数。
在平面直角坐标系中，双曲线的定义可以表示为：一个点到两个不同点F1和F2的距离之差是一个常数e，即PF1-PF2=e。
二、双曲线的性质1. 双曲线包括两条分支，它们分别靠近两个焦点。
对于双曲线的每个分支来说，离焦点越远，离另一个分支越近。
2. 双曲线的两个焦点之间的距离称为焦距，是双曲线的重要参量，通常用2c表示。
3. 双曲线的渐近线是双曲线的一条特殊的直线，与双曲线有两个不同的交点。
双曲线的两条分支在渐近线上无限趋近。
4. 双曲线具有对称性，关于两个坐标轴都具有对称性，即当双曲线与一个坐标轴相交时，在另一个坐标轴上也有交点。
5. 双曲线有一个中心，它是两个焦点的中点，也是双曲线的对称中心。
6. 双曲线的方程通常可以表示为x^2/a^2-y^2/b^2=1或者y^2/b^2-x^2/a^2=1，其中a 和b分别是椭圆的轴长。
三、双曲线的方程在平面直角坐标系中，双曲线的一般方程可以表示为：1. 若横轴为实轴，纵轴为虚轴，则双曲线的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1；2. 若横轴为虚轴，纵轴为实轴，则双曲线的方程为y^2/b^2-x^2/a^2=1。
在双曲线的方程中，a和b分别代表横轴和纵轴方向的轴长，e为离心率。
四、双曲线的图像1. 当a>b时，双曲线的中心在x轴上，两分支朝向y轴；2. 当a<b时，双曲线的中心在y轴上，两分支朝向x轴。
双曲线的图像可以通过手工绘图或者计算机绘图软件来绘制，使学生更好地理解双曲线的性质和特点。
双曲线的图像在实际生活中也有许多应用，比如在光学中的抛物面镜和双曲面镜、在通信中的双曲线天线和成像原理等。
五、双曲线的相关定理和定律1. 双曲线的面积定理：双曲线的面积等于焦距的一半与两个辅助椭圆的面积之和。
高考双曲线知识点总结
高考双曲线知识点总结一、双曲线的定义和性质1. 双曲线的定义双曲线是平面上的一类曲线，其定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
2. 双曲线的性质（1）双曲线的标准方程双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（横轴为实轴）或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$（纵轴为实轴）。
其中，a和b分别为横轴和纵轴半轴的长度。
（2）双曲线的对称性双曲线关于x轴、y轴、原点对称。
（3）渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
（4）焦点和直焦距双曲线的焦点定义为到两个定点的距离之差的绝对值等于常数的点的集合。
焦点之间的距离称为直焦距。
（5）双曲线的渐近线双曲线有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
双曲线与它的渐近线有如下关系：a）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$时，它的渐近线是x=±a，当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=-1$时，它的渐近线是y=±b;b）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}<1$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}<1$时，它的渐近线是y=ax或x=ay;c）当曲线的方程是$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}>0$或$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}>0$时，它的渐近线是没有。
（６）四条特殊的双曲线内离心双曲线，外离心双曲线，右开弧双曲线，左开弧双曲线。
二、双曲线的图像与方程1. 双曲线的图像（1）当$a>b$时，双曲线的图像为两支开口朝左右的曲线，焦点在横轴上。
双曲线方程知识点详细总结
双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：.一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距（两准线的距离）；通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程（分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）“长加短减”原则：构成满足（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.（2）若直线与双曲线一支有交点，交点为二个，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.简证：= .常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线的标准方程和简单几何性质常见考法在段考中，多以选择题、填空题和解答题的形式考查双曲线的简单几何性质。
职高双曲线知识点总结
职高双曲线知识点总结一、双曲线的基本概念双曲线是平面上一类非常重要的曲线，它的数学定义为轴上两点F1和F2到曲线上任一点P的距离之差等于常数。
双曲线的定义可以表示为：PF1-PF2=2a （a>0）。
双曲线由两个分离的曲线支组成，曲线支之间的距离趋于无穷大。
双曲线的数学表达形式很多，其中最常见的是：1. (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1（横轴为实数轴的双曲线）；2. (y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1（纵轴为实数轴的双曲线）；3. (x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1（横轴为实数轴的双曲线）；4. (y^2/a^2) - (x^2/b^2) = -1（纵轴为实数轴的双曲线）。
二、双曲线的性质1. 定义域和值域：对于横轴为实数轴的双曲线来说，定义域为x∈R，值域为y∈（-∞，+∞）；对于纵轴为实数轴的双曲线来说，定义域为y∈R，值域为x∈（-∞，+∞）。
2. 对称性：双曲线以两个焦点F1和F2为中心对称。
3. 渐近线：双曲线的两支有两条共同的渐近线，横轴为实数轴的双曲线的渐近线方程为y=±b/a*x；纵轴为实数轴的双曲线的渐近线方程为y=±a/b*x。
4. 顶点和焦点：双曲线的两支与x轴和y轴所交点分别是顶点和焦点。
5. 复数形式：当双曲线的方程有一个实轴和一个虚轴时，双曲线可以表示为复数形式。
三、双曲线的图像与方程性质1. 横轴为实数轴的双曲线：其图像为两支分离的开口朝左右的曲线，方程为(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1或(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = -1。
其中，a为横轴方向上的半轴长，b为纵轴方向上的半轴长。
2. 纵轴为实数轴的双曲线：其图像为两支分离的开口朝上下的曲线，方程为(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = 1或(y^2/a^2) - (x^2/b^2) = -1。
其中，a为纵轴方向上的半轴长，b为横轴方向上的半轴长。
数学双曲线知识点 总结
数学双曲线知识点总结一、双曲线的定义1. 定义：双曲线是平面上一个点到两个给定点的距离之差等于一个常数的动点轨迹。
这两个给定点称为焦点，常数称为离心率。
双曲线的离心率小于1。
双曲线有两个分支，每个分支有一组渐近线。
2. 方程：双曲线的标准方程为x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标。
3. 参数方程：双曲线的参数方程为x = a·secθ, y = b·tanθ。
其中，a和b分别为双曲线在x 轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
4. 极坐标方程：双曲线的极坐标方程为r^2 = a^2·sec^2θ - b^2·tan^2θ。
其中，a和b分别为双曲线在x轴和y轴上的焦点坐标，θ为参数。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴均对称。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线。
两条渐近线的夹角等于双曲线的离心率e的反正切值。
第一条渐近线的斜率为b/a，第二条渐近线的斜率为-b/a。
3. 凹凸性：双曲线的两个分支分别为凹曲和凸曲。
4. 渐进性质：当x趋于正无穷时，双曲线的y趋于无穷；当x趋于负无穷时，双曲线的y 趋于无穷。
当y趋于正无穷时，双曲线的x趋于无穷；当y趋于负无穷时，双曲线的x趋于无穷。
5. 双曲线的离心率e的物理意义：离心率e表示焦距和直距的比值，即e=c/a。
其中，c 为焦点之间的距离，a为双曲线在x轴上的焦点坐标。
6. 双曲线的离心率与点到焦点的距离的关系：双曲线上任意一点P到两个焦点F1和F2的距离之差等于一个常数2a。
即|PF1 - PF2| = 2a。
三、双曲函数1. 双曲正弦函数：sinh x = (e^x - e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y>0。
2. 双曲余弦函数：cosh x = (e^x + e^(-x))/2，定义域为x∈R，值域为y≥1。
3. 双曲正切函数：tanh x = sinh x / cosh x = (e^x - e^(-x))/(e^x + e^(-x))，定义域为x∈R，值域为y∈(-1, 1)。
双曲线经典知识点总结
双曲线知识点总结班级姓名知识点一：双曲线的概念在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的核心，两核心的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的概念中，常数应当知足的约束条件：，这能够借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来明白得；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数知足约束条件：（），那么动点轨迹仅表示双曲线中靠核心的一支；假设（），那么动点轨迹仅表示双曲线中靠核心的一支；3. 若常数知足约束条件：，那么动点轨迹是以F1、F 2为端点的两条射线（包括端点）；4．假设常数知足约束条件：，那么动点轨迹不存在；5．若常数，那么动点轨迹为线段F1F2的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1．当核心在轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2．当核心在轴上时，双曲线的标准方程：，其中. 注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴成立直角坐标系时,才能取得双曲线的标准方程；2．在双曲线的两种标准方程中，都有；3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，核心在轴上，双曲线的核心坐标为，；当的系数为正时，核心在轴上，双曲线的核心坐标为，.知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a＞0，b＞0）的简单几何性质（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成―x，或把y换成―y，或把x、y 同时换成―x、―y，方程都不变，因此双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，那个对称中心称为双曲线的中心。
（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的双侧，是无穷延伸的。
因此双曲线上点的横坐标知足x≤-a或x≥a。
（3）极点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的极点。
②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个极点，坐标别离为A1（―a，0），A2（a，0），极点是双曲线两支上的点中距离最近的点。
数学双曲线知识点总结(一)
数学双曲线知识点总结(一)前言在数学学科中，双曲线是一种非常重要的曲线形态。
它具有许多有趣的特性和应用，掌握了双曲线的知识，不仅可以帮助我们更好地理解曲线的性质，还能在应用问题中有所运用。
本文将为大家概括和总结数学双曲线的知识点。
正文1. 双曲线的定义•双曲线是平面上一组点P(x, y)，满足 |PF1|-|PF2|=2a（a>0）的点集。
其中F1和F2是平面上的两个定点，a是一个正实数。
2. 双曲线的方程•常见的双曲线方程有以下几种形式：–标准方程：x 2a2−y2b2=1，其中a和b是正实数，确定了双曲线的形状和大小。
–中心在原点的方程：x 2a2−y2b2=1–中心不在原点的方程：(x−ℎ)2a2−(y−k)2b2=1，其中(h, k)是中心的坐标。
3. 双曲线的性质•双曲线有以下特性：–双曲线在x轴和y轴上有渐近线，分别为直线y = ±b/a 和x = ±a/b。
–双曲线关于x轴和y轴对称。
–双曲线的离心率e=√1+b2，离心率决定了双曲线的形状。
a2–双曲线的焦点为F1和F2，焦距为2c，满足c^2 = a^2 + b^2。
4. 双曲线的应用•双曲线在科学和工程领域中有着广泛的应用，例如：–电磁波的传播和反射。
–行星运动轨迹的描述。
–声音的扩散和聚焦。
结尾通过本文的概述，我们对数学双曲线的知识点有了更全面的了解。
双曲线作为一种重要的数学曲线形态，具有丰富的特性和应用。
希望本文能够帮助读者加深对数学双曲线的理解，并在实际问题中有所运用。
(完整版)双曲线经典知识点总结,推荐文档
双曲线知识点总结班级 姓名知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （ 大 于0 且 ）的动点 的轨迹叫作双曲线.这两个定点 、 叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.注意：1. 双曲线的定义中，常数 应当满足的约束条件： ，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数 满足约束条件：（ ）， 则 动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支；若 （ ），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点 的一支； 3. 若常数 满足约束条件：，则动点轨迹是以 F 1、F 2 为端点的两条射线（包括端点）；4. 若常数 满足约束条件： ，则动点轨迹不存在；5. 若常数 ，则动点轨迹为线段 F 1F 2 的垂直平分线。
知识点二：双曲线的标准方程1. 当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：，其中；2. 当焦点在 轴上时，双曲线的标准方程：，其中 .注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程；2. 在双曲线的两种标准方程中，都有；3. 双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， ；当 的系数为正时，焦点在 轴上，双曲线的焦点坐标为 ， .知识点三：双曲线的简单几何性质双曲线（a ＞0，b ＞0）的简单几何性质（1） 对称性：对于双曲线标准方程（a ＞0，b ＞0），把 x 换成―x，或把 y 换成―y，或把 x 、y 同时换成―x、―y，方程都不变，所以双曲线（a ＞0，b ＞0）是以 x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。
（2） 范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线 x=―a 和 x=a 的两侧，是无限延伸的。
因此双曲线上点的横坐标满足 x≤-a 或x≥a。
双曲线文科知识点总结
双曲线文科知识点总结一、双曲线的定义双曲线是一个重要的二次曲线，在解析几何中占有特殊的地位。
通常情况下双曲线的定义是：在直角坐标系中，满足方程x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的曲线叫做双曲线。
其中a和b都是正实数。
当a>b时，双曲线的两个支线平行于x轴，当a>b时，双曲线的两个支线平行于y轴。
双曲线还可以由双曲函数通过图像展开得到。
双曲函数sinh(x)和cosh(x)的图像分别对应于双曲线的两个分支。
在文科领域中，双曲函数也有一定的应用，特别是在统计学和经济学中。
二、双曲线的性质1. 对称性：双曲线关于x轴和y轴都有对称性。
也就是说，如果(x, y)在双曲线上，那么(x, -y)和(-x, y)也在双曲线上。
2. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别平行于x轴和y轴。
这两条渐近线的方程分别为y=b/a*x和y=-b/a*x。
3. 渐近线交点：双曲线的两条支线与渐近线的交点分别为(a, 0)、(-a, 0)、(0, b)和(0, -b)。
4. 整体形状：双曲线的整体形状为两个分离的支线，形成一个对称的曲线图形。
5. 焦点和直径：双曲线的两个支线之间的距离叫做双曲线的直径，而双曲线的两个焦点分别在支线的两侧，且到支线的距离相等。
6. 弦斜率性质：一条通过双曲线的弦的斜率总是大于双曲线的渐近线的斜率，这也是双曲线与其渐近线不同于椭圆和抛物线的一个重要性质。
三、双曲线在文科领域中的应用双曲线在文科领域中有着广泛的应用，特别是在经济学和社会学方面。
双曲线的特性使其能够描述许多经济和社会现象，并且为研究者提供了重要的分析工具。
1. 经济学中的应用在经济学中，双曲线经常被用来描述一些数量的增长或者减少的趋势。
比如，双曲线可以用来描述某种商品的销售量随时间的变化趋势，也可以用来描述某种经济指标随着人口增长的变化趋势。
双曲线的对称性和渐近线性质使得它能够较好地描述这些复杂的经济现象。
2. 社会学中的应用在社会学中，双曲线也有重要的应用价值。
双曲线知识点总结1
1 双曲线知识点归纳总结1、第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线（定义表达式描述为：21212F F a PF PF <=-（a 为正常数））。
这两个定点叫双曲线的焦点。
要注意两点：（1）距离之差的绝对值。
（2）2a ＜|F 1F 2|。
当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支；当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在。
2、第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线。
这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线。
3、双曲线的标准方程（222a c b -=，其中|1F 2F |=2c ） 焦点在x 轴上：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）焦点在y 轴上：12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0） 注意;如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上。
a 不一定大于b 。
4、点与双曲线点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的内部2200221x y a b ⇔->; 点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ⇔-<; 点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上220022-=1x y a b ⇔ 5. 双曲线的方程与渐近线方程的关系(1）若双曲线方程为12222=-by a x ⇒渐近线方程：22220x y a b -=⇔x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=⇔0=±b y a x ⇒双曲线可设为λ=-2222by a x . ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率2=e .⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-2222by a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222=-b y a x .。
双曲线结论知识点总结
双曲线结论知识点总结一、双曲线的定义双曲线是平面上一种特殊的曲线，其定义是动点到两个不相交定点的距离的差等于常数的轨迹。
双曲线有两支，分别称为实轴和虚轴，其中实轴是连接两焦点的直线，虚轴是与实轴垂直的直线。
二、双曲线的性质1. 双曲线是一种非闭合曲线，其两支无交点。
2. 双曲线的轴线是连接两焦点的直线，在坐标系中通常与x轴或y轴平行。
3. 双曲线在两支的极限位置有渐近线，实轴和虚轴分别为双曲线的渐近线。
4. 双曲线的焦点到曲线上任意一点的距离之和等于常数，即双曲线的定义。
5. 双曲线具有反射性质，通过焦点发出的光线被双曲线反射后会聚于另一焦点。
三、双曲线的方程双曲线的标准方程有两种形式：横轴上的双曲线和纵轴上的双曲线。
1. 横轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$。
2. 纵轴上的双曲线的标准方程为：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1$。
其中，a和b分别代表横轴和纵轴上的焦点到曲线的距离之和的一半。
四、双曲线的焦点双曲线有两个焦点，分别位于实轴和虚轴上，距离轴线的距离分别为c和-c。
五、双曲线的渐近线双曲线的渐近线是实轴和虚轴，其方程分别为y=±c/b*x和x=±a/c*y。
六、双曲线的参数方程双曲线的参数方程为$x=a\cdot \cosh t, y=b\cdot \sinh t$或$x=a\cdot \sec t, y=b\cdot \tan t$，其中t为参数。
七、双曲线的应用双曲线在现实生活中有许多应用，例如在天文学中描述行星轨道的形状、在物理学中描述光线的反射和折射等。
总结一下，双曲线是一种重要的曲线，在数学和物理学中有广泛的应用。
我们从双曲线的定义、性质、方程、焦点、渐近线、参数方程以及应用等方面对双曲线进行了总结，希望对读者有所帮助。
双曲线的基本知识点总结
双曲线的基本知识点总结1、双曲线的几何要点：⑴二次函数与一元二次方程相比，双曲线是特殊的函数。
⑵如图1， a点为双曲线与x轴交点（ A点），与y轴交点（ C点）⑶如图2，点D与双曲线的交点为（ D点）⑷如图3，两点O与双曲线有两个交点，分别在双曲线上方和下方。
2、双曲线的图象与性质：双曲线的图象是由实轴与两个互相垂直的轴围成的闭合图形。
轴上的每一点到双曲线上任意一点的距离都相等；双曲线与y轴交于（ 0， b）和（ 0， c）两点。
这样，在双曲线上就可以取到一系列使的中点M， N（ M， N分别为两点的坐标）。
3、二次函数与双曲线的关系：若y=ax+by+c（ a， b， c均为实数），a=0或x=-c，则y=-bx+by+c，其中b， c， d均为常数，为二次函数。
4、双曲线的标准方程：设： x， y为双曲线上的两点，且a(x)>0，b(y)>0，则x^2+y^2=C，即（ a+bx+c)/(2a+b+c)=0（ a、 b、 c取遍），解得a(x)=0， b(y)=-c， c=-2。
根据以上条件，可以得出x，y的坐标为： a=0、 x=-c，当x， y在同一直线上时，此时的标准方程为： y=ax+b， a=0.5、双曲线的判定：⑴有一个公共点时，只要y>-c，即可得到双曲线的一个顶点坐标。
⑵有两个公共点时，由双曲线的图象判断它们的公共点的位置。
⑶无公共点时，设已知条件确定双曲线的图象。
6、二次函数在双曲线上的应用：当x、 y 为某一给定值时， y随x变化而变化的规律，叫做双曲线的“渐近线”。
当x→0时，二次函数y随x变化的规律叫做双曲线的“轴对称图形”，它经过点（ B， B），且（ B， B）=-2。
在研究渐近线时，必须首先画出二次函数y=kx+b（ b=0）的图象，根据它的对称性，求出渐近线，再由双曲线的轴对称图形进行分析研究。
7、二次函数y=kx+b的图象与性质：（ 1） y=kx+b的图象：由于b=0，所以y=kx+b 的图象经过实轴上的两点A(0)， B(-2)（点A， B不在双曲线上），并且这个图象的双曲线部分对称于y轴。
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双曲线知识点
知识点一：双曲线的定义:
在平面内，到两个定点、的距离之差的绝对值等于常数（大于0且）
的动点的轨迹叫作双曲线.这两个定点、叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.
注意：
1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：，这可以借助于三角形中边的相关性质“两边之差小于第三边”来理解；
2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；若（），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点的一支；
3. 若常数满足约束条件：，则动点轨迹是以F
1
、F
2
为端点的两条射线（包括端点）；
4．若常数满足约束条件：，则动点轨迹不存在；
5．若常数，则动点轨迹为线段F
1
F
2
的垂直平分线。
标准方程
图形
性质
焦点，，
焦距
范围，，
对称性关于x轴、y轴和原点对称
顶点
轴长实轴长
=，虚轴长=
离心率
渐近线方
程
1.通径:过焦点且垂直于实轴的弦,其长
a
b2
2
2.等轴双曲线 :当双曲线的实轴长与虚轴长相等即2a=2b时，我们称这样的双曲线为等轴双曲线。
其离心率,两条渐近线互相垂直为,等轴双曲线可设为
3.与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为（，焦点在轴上，，焦点在y轴上）
4.焦点三角形的面积
2
cot
2
2
1
θ
b
S
F
PF
=
∆
，其中
2
1
PF
F
∠
=
θ
5.双曲线的焦点到渐近线的距离为b.
6．在不能确定焦点位置的情况下可设双曲线方程为:)0
(1
2
2<
=
+mn
ny
mx
7.
椭圆双曲线
根据|MF
1
|+|MF
2
|=2a 根据|MF
1
|－|MF
2
|=±2a
a＞c＞0，
a2－c2=b2（b＞0）
0＜a＜c，
c2－a2=b2（b＞0）
，
（a＞b＞0）
，
（a＞0，b＞0，a不一定大于b）。