《单调性与最大(小)值》教案
单调性与最大(小)值(第二课时)教案
1.3 函数的基本性质1.3.1 单调性与最大(小)值(第二课时)一、教材分析:二、学习目标:①通过实例,使学生体会、理解函数的最大(小)值及其几何意义,能够借助函数图象的直观性得出函数的最值,培养以形识数的解题意识;②能够用函数的性质解决日常生活中简单的实际问题,使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学生学习函数的紧迫感,激发学生学习的积极性.三、教学重点:理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.四、教学难点:了解函数的最大(小)值与定义区间有关,会求一次函数、二次函数及反比例函数在指定区间上的最大(小)值.五、课时安排:1课时六、教学过程(一)、自主导学(课堂导入)1、设计问题,创设情境某工厂为了扩大生产规模,计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址,新厂址的长为x m,则宽为m,所建围墙y m,假如你是这个工厂的厂长,你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地,使得新厂址的围墙y最短?2、自主探索,尝试解决老师给出学生们一些问题让学生思考,并对学生的回答进行点评,然后一起总结得出结论.层层引入,完成本节课学习的主题.问题1:作出函数y=-x2-2x,y=-2x+1(x∈[-1,+∞)),y=f(x)的图象如图所示.观察这三个图象的共同特征.函数y=-x2-2x图象有最高点A,函数y=-2x+1,x∈[-1,+∞)图象有最高点B,函数y=f(x)图象有最高点C.也就是说,这三个函数的图象的共同特征是都有最高点.问题2:你是怎样理解函数y=f(x)的图象的?函数图象是点的集合,是函数y=f(x)的一种表示形式,其上每一点的坐标(x,y)的意义是:自变量x的取值为横坐标,相应的函数值y为纵坐标.图象从“形”的角度描述了函数的变化规律.问题3:你是怎样理解函数图象最高点的?图象最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值,即函数的最大值.问题4:问题1中,在所作函数y=f(x)的图象上任取一点A,设图像最高点C的坐标为(x0,y0),谁能用数学符号解释:函数y=f(x)的图象的最高点C?由于点C是函数y=f(x)图象的最高点,则点A在点C的下方,即对定义域内任意x,都有y≤y0,即f(x)≤f(x0),也就是对函数y=f(x)的定义域内任意x,均有f(x)≤f(x0)成立.3、信息交流,揭示规律问题5:在数学中,形如问题1中函数y=f(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数y=f(x)的最大值.谁能给出函数最大值的定义?函数最大值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≤M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最大值.问题6:函数最大值的定义中f(x)≤M即f(x)≤f(x0),这个不等式反映了函数y=f(x)的函数值具有什么特点?其图象又具有什么特征?f(x)≤M反映了函数y=f(x)的所有函数值不大于实数M;这个函数的特征是图象有最高点,并且最高点的纵坐标是M.问题7:函数最大值的几何意义是什么?函数图象上最高点的纵坐标,体现了数形结合思想的应用.问题8:函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)有最大值吗?为什么?函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)没有最大值,因为函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的图象没有最高点.问题9:点(-1,3)是不是函数y=-2x+1,x∈(-1,+∞)的最高点?不是,因为该函数的定义域中没有-1.问题10:由这个问题你发现了什么值得注意的地方?讨论函数的最大值,要坚持定义域优先的原则;函数图象有最高点时,这个函数才存在最大值,最高点必须是函数图象上的点.问题11:类比函数的最大值,请大家思考一下给出函数最小值的定义及其几何意义.函数最小值的定义:一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足:(1)对于任意的x∈I,都有f(x)≥M;(2)存在x0∈I,使得f(x0)=M.那么,称M是函数y=f(x)的最小值.函数最小值的几何意义:函数图象上最低点的纵坐标.问题12:类比问题10,你认为讨论函数最小值应注意什么?讨论函数的最小值,也要坚持定义域优先的原则;函数图象有最低点时,这个函数才存在最小值,最低点必须是函数图象上的点.(二)、合作学习 让学生合作做练习,教师巡视指导然后讲解例题. 【例1】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一. 制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂. 如果烟花距地面的高度h m 与时间t s 之间的关系为h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m )?解:作出函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t + 18的图象(如图). 显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.由二次函数的知识,对于函数h (t ) = – 4.9t 2 + 14.7t +18,我们有:当t =14.72( 4.9)-⨯-=1.5时,函数有最大值h =24( 4.9)1814.74( 4.9)⨯-⨯-⨯-≈29.于是,烟花冲出后1.5 s 是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为29m.【例2】已知函数y =21x -(x [2,6]),求函数的最大值和最小值.分析:由函数y =21x -(x [2,6])的图象可知,函数y =21x -在区间[2,6])的图象可知,函数y =21x -在区间[2,6]上递减. 所以,函数y =21x -在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值.解:设x 1,x 2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x 1<x 2,则f (x 1) – f (x 2) =122211x x --- =21122[(1)(1)](1)(1)x x x x -----=21122()(1)(1)x x x x ---. 由2≤x 1<x 2≤6,得x 2 –x 1>0,(x 1–1) (x 2–1)>0,于是 f (x 1) – f (x 2)>0,即 f (x 1)>f (x 2).所以,函数y =21x -是区间[2,6]上是减函数. 因此,函数y =21x -在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值与最小值,即在x =2时取得的最大值,最大值是2,在x = 6时的最小值,最小值是0.4(三)、当堂检测1、课本题组题,1,5,3932B p p2、已知函数f (x ) = x 2 – 2x – 3,若x ∈[t ,t +2]时,求函数f (x )的最值.解:∵对称轴x = 1,(1)当1≥t +2即t ≤–1时,f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3,f (x )min = f (t +2) = t 2 +2t –3.(2)当22t t ++≤1<t +2,即–1<t ≤0时,f (x )max = f (t ) = t 2 –2t –3,f (x )min = f (1) = – 4.(3)当t ≤1<22t t ++,即0<t ≤1,f (x )max = f (t +2) = t 2 + 2t – 3,3、.某超市为了获取最大利润做了一番试验,若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时,每天可销售60件,现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每涨1元,其销售量就要减少10件,问该商品售价定为多少时才能赚取利润最大,并求出最大利润.解:设商品售价定为x 元时,利润为y 元,则y=(x-8)[60-(x-10)·10]=-10[(x-12)2-16]=-10(x-12)2+160(10<x<16).当且仅当x=12时,y 有最大值160元,即售价定为12元时可获最大利润160元.(四)、课堂小结(教师根据学生具体的的学习接受情况提问并和学生一起做总结概括)请同学们从下列几方面分组讨论:1.最值的概念2.应用图象和单调性求最值的一般步骤.3..函数的最值及几何意义如何?4..你学了哪几种求函数最值的方法?5..求函数最值时,要注意什么原则?七.课外作业课本P39习题1.3 A组第5题,B组第1,2题.八、教学反思:。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 让学生理解函数的单调性的概念,掌握判断函数单调性的方法。
2. 让学生了解函数的最大值和最小值的概念,掌握求函数最大值和最小值的方法。
3. 培养学生运用函数的单调性和最值解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 函数的单调性1.1 单调增函数和单调减函数的定义1.2 判断函数单调性的方法1.3 单调性在实际问题中的应用2. 函数的最大值和最小值2.1 最大值和最小值的定义2.2 求函数最大值和最小值的方法2.3 最大值和最小值在实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点:函数的单调性的概念及判断方法,函数最大值和最小值的求法及应用。
2. 教学难点:函数单调性的判断方法,求函数最大值和最小值的方法。
四、教学方法1. 采用讲解法,引导学生理解函数的单调性和最值的概念。
2. 采用案例分析法,让学生通过实际问题体验函数单调性和最值的应用。
3. 采用小组讨论法,培养学生合作解决问题的能力。
五、教学准备1. 教学课件:函数单调性和最值的定义、判断方法和求法。
2. 教学案例:实际问题涉及函数单调性和最值的解答。
3. 练习题:针对本节课内容的练习题,巩固所学知识。
六、教学过程1. 导入:通过复习上一节课的内容,引导学生回顾函数的概念和性质,为新课的学习做好铺垫。
2. 讲解:讲解函数的单调性,通过示例让学生理解单调增函数和单调减函数的定义,介绍判断函数单调性的方法。
3. 案例分析:分析实际问题,让学生运用函数的单调性解决实际问题,体会函数单调性的重要性。
4. 讲解:讲解函数的最大值和最小值的概念,介绍求函数最大值和最小值的方法。
5. 案例分析:分析实际问题,让学生运用函数的最值解决实际问题,体会函数最值的重要性。
6. 练习:让学生独立完成练习题,巩固所学知识。
7. 总结:对本节课的内容进行总结,强调函数的单调性和最值在实际问题中的应用。
七、课堂练习1. 判断下列函数的单调性:1. y = x^22. y = -x^23. y = 2x + 32. 求下列函数的最大值和最小值:1. y = x^2 4x + 52. y = -x^2 + 4x 53. 运用函数的单调性和最值解决实际问题。
函数的单调性与最大(小)值教案doc 【完整版】
《ห้องสมุดไป่ตู้调性与最大(小)值》
课前活动
1.函数的最大值、最小值的定义是什么?
2.若函数f(x)在区间[a,b]上单调,且f(x)的图象连续不间断,则函数f(x)的最值必在处取得
课中活动1
二、讲授新课:
1.画出下列函数的图象,指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征
① ②
2,函数最大(小)值定义
单调性与最大(小)值(2)
课题名称
《单调性与最大(小)值》
课型
新授课
年级
高一年级
教学目标
1、理解函数的最大(小)值及其几何意义.
2、通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的纵坐标。
3、培养学生数形结合分析问题的能力
教学重点
函数的最大(小)值及其几何意义
教学难点
利用函数的单调性求函数的最大(小)值.
体会二次函数的公式法求最值
例4求函数 在区间[2,6]上的最大值和最小值.
体会利用函数单调性求最值方面的作用。
完成P39B组1
完成《创新设计》P24“课堂达标”中1-5题。
课后活动
四、课后作业P3945
完成《创新设计》P24新知导学1,2,3的自学。
五、教学反思:
最大值:一般地,设函数 的定义域为I,如果存在实数M满足:
(1)对于任意的 ,都有 ;
(2)存在 ,使得 .
那么,称M是函数 的最大值.思考:依照函数最大值的定义,结出函数 的最小值的定义.
3、利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法.
①配方法②换元法③数形结合法
课中活动2
三、例题讲解:
例3的讲解。完成P324
人教A版 单调性与最大(小)值 教案
2021届一轮复习人教A 版 单调性与最大(小)值 教案一、教学目标设置1.通过学生画出两个特殊的一次函数、二次函数的图像能直观地判断函数的变化趋势,并 能用文字语言描述函数的变化趋势。
2.通过老师几何画板动画演示和学生的类比探究让学生体会并理解“任意……都……”的含义。
3.通过例题1和定义辨析进一步让学生理解单调性的定义.4.在两个特殊函数探究中归纳抽象出单调性的定义,从而培养学生“数学抽象”这一素养。
5.在类比增函数的探究方法探究减函数定义过程中,让学生体会“类比方法”。
6.通过生活实例引入,让学生感受数学来源于生活高于生活,体会数学的应用价值。
7.通过活动设计,问题串联,让学生经历过程探究、经历从直观到抽象、从特殊到一般、类 比研究的过程,形成理性数学思维,体会事物互相联系互相影响的辩证主义唯物观。
二、学生学情分析(1)学生已有的认知基础学生通过初中阶段对一次函数、二次函数、反比例函数的学习,以及高中阶段对函数概念的学习和函数表示方法的学习,已经明确了研究函数的一些基本思路和基本方法。
初中阶段学生也接触过“单调性”它是用描述性的语言即“y 随x 的增大而增大(或减小)”来描述变量之间的依赖关系,而一次函数、二次函数、反比例函数都可以很好地呈现这一规律,这位我们抽象函数单调性的定义提供了认知基础。
此外通过学生小学初中阶段的学习,学生具备了一定的数学素养:如抽象概括、类比推理、数据处理等,为新知学习提供了一定的保障。
(2)达成教学目标所需要认知基础本节课目标的达成需要学生有一定的“数学抽象”能力和“有限”与“无限”的观点,需要 学生有一定的“数形结合”的思想。
(3)“已有基础”与“需要基础”之间的差异学生对两个具体数据的比较应该是清楚的,但要将具体的数据比较转化为“任意”两个数据大小的比较存在一定认知差异;学生用文字语言描述“y 随x 的增大而增大(或减小)也是没有问题的,但要将“文字语言”的描述抽象为为“符号语言”的描述还存在一定差异。
高中数学人教A版 必修1《3.2.1函数的单调性与最大(小)值》教案 Word
四、教学过程
教学
环节
教学内容设计意图
情境引入
课堂探究通过观察生活中熟悉的事物,引入本节新课。
提高学生概括、推理的能力。
通过思考,观察函数的图象,从特殊到一般,归纳总结最值的定义,提高学生的解决问题、分析问题的能力。
得出定义
类比定义类比得出最小值定义
函数最值的几何意义
常见题型
通过实际问题让学生明白怎样求二次函数在整个定义域上的最值以及利用函数的单调性求函数的最值,提高学生解决问题的能力,进一步掌握单调性与最值的关系。
课堂
小结
通过总结,
让学生进
一步巩固
本节所学
内容,提高
概括能力,
板书设计
课后练习
、
课后提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
通过练习。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标1. 知识与技能:(1)理解函数的单调性的概念,能够判断函数的单调性;(2)掌握利用导数研究函数的单调性;(3)掌握利用函数的单调性求函数的最值。
2. 过程与方法:(1)通过实例引导学生理解函数的单调性,培养学生的抽象思维能力;(2)利用导数研究函数的单调性,提高学生运用数学知识解决问题的能力;(3)通过解决实际问题,培养学生运用函数的单调性求函数最值的能力。
3. 情感态度与价值观:(1)培养学生对数学的兴趣,提高学生学习数学的积极性;(2)培养学生克服困难的意志,提高学生解决问题的能力;(3)培养学生团队协作的精神,提高学生的沟通能力。
二、教学重点与难点1. 教学重点:(1)函数的单调性的概念及判断方法;(2)利用导数研究函数的单调性;(3)利用函数的单调性求函数的最值。
2. 教学难点:(1)函数的单调性的判断方法;(2)利用导数研究函数的单调性;(3)利用函数的单调性求函数的最值。
三、教学过程1. 导入新课:(1)复习相关概念:函数、导数;(2)引导学生思考:函数的单调性是什么?如何判断函数的单调性?2. 知识讲解:(1)讲解函数的单调性的概念及判断方法;(2)讲解利用导数研究函数的单调性;(3)讲解利用函数的单调性求函数的最值。
3. 例题讲解:(1)举例讲解如何判断函数的单调性;(2)举例讲解如何利用导数研究函数的单调性;(3)举例讲解如何利用函数的单调性求函数的最值。
四、课堂练习(1)y = x^2;(2)y = -x^2;(3)y = 2x + 1。
(1)y = x^3;(2)y = -x^3。
(1)y = x^2 4x + 4;(2)y = -x^2 + 4x 4。
五、课后作业(1)y = x^4;(2)y = -x^4;(3)y = 3x^2 + 2x + 1。
(1)y = x^5;(2)y = -x^5。
(1)y = x^2 + 2x + 1;(2)y = -x^2 + 2x 1。
高中数学《单调性与最大小值函数的单调性》教案基于学科核心素养的教学设计及教学反思
(3)增函数、减函数的定义.
增(减)函数:如果对于定义域I内
某个区间D上的任意两个自变量x1,x2
,当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)
(f(x1பைடு நூலகம்>f(x2))就说函数f(x)在区间D上是增(减)函数.
二、概念深化
(1)强调定义中“任意”二字,它仅
对于区间D而不是定义域I.
(1)锻炼学生的动手实践能力,为下一步问题的提出做好准备,让学生从形的角度认识函数的性质.
/(2)培养学生数形结合的思想.
(3)从形象到抽象,培养
学生的逻辑思维能力,类比归纳能力.
(4)理解增减性定义.
为证明单调性打下基础
掌握证明单调性的方法
理解证明单调性的歨骤
通过分层作业使学生巩
固所学内容,并为有余力的学生提供进一步学习的机会.
学生练习教材练习1,2.
(2)教材例2
学生练习教材练习3.
用定义法证明增(减)函数的步骤.
/
四、归纳小结
(1)知识:
/①概念:增(减)函数;
②证明增(减)函数(定义法)步骤:
取值(设)→作差变形→定号→
结论
(2)方法.
五、布置作业
(1)教材习题1.3A组1、2、3题.
(2)补充题:函数f(x)=/卡的定义
(2)一致性:自变量x1,x2与因变
量f(x1),f(.x2),若x1<.x2且f(x1)<f(x2)则为增函数,反之为减函数.
(3)如果对于定义域Ⅱ内某个区间
D上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1≠x2时,总有/(或<)0,那么就说函数f(x)在区间D上是增(或减)函数.
函数的单调性与最大(小)值 高中数学获奖教案
、3.2.1单调性与最大(小)值(第一课时)(人教A 版普通高中教科书数学必修第一册第三章)一、教学目标1.借助函数图像,会用符号语言表达函数的单调性、最大(小)值,理解它们的作用与实际意义;2.会用定义简单证明函数的单调性;3.通过函数的单调性可以画出函数图像;4.在探究抽象函数单调性的过程中感受数学概念的抽象过程及符号表示的作用.二、教学重难点1.函数的单调性精确定义;2.利用函数定义判断函数单调性.三、教学过程1.研究函数单调性的过程1.1创设情境,引发思考【实际情境】 前面我们学习了函数的定义、表示方法,知道函数是描述客观世界中变量之间的一种对应关系,这样可以通过研究函数性质来把握世界的一般规律.什么是函数性质呢?比如随着自变量的增大函数值是增大还是减小的,或者有没有最大值?总的来说函数的性质就是”变化中的规律,变化中的不变性”.今天我们来研究一下函数的一个很重要的性质—函数的单调性.2019新型冠状病毒爆发(2019-nCoV ,世卫组织2020年1月命名;SARS-CoV-2,国际病毒分类委员会2020年2月11日命名 ).面对疫情政府采取了积极、高效、公开、透明的举措,不仅全力维护人民群众生命安全和身体健康,也为维护全球和地区公共卫生安全做出重大贡献,给世界带来信心.我们要为我们生在中国而自豪.要为我们是中国人而自豪!下面函数图像是截取4月16日-6月10日的数据,图1是全国现有确诊趋势;图2本土新增确诊趋势,从这两幅函数图像中我们可以直观的感受疫情的变化.全国现有确诊趋势本土新增确诊趋势问题1:(1)请看这两幅函数图像,从中你发现了图像的哪些特征?你觉得他们反映了函数哪方面的性质?【预设的答案】第一幅函数图像是上升的趋势,也就是函数值随自变量的增大而增大,但是第二幅图有上升有下降.总的来说这两幅图体现函数变化趋势比如上升下降,我们把这种性质叫做函数的单调性.【设计意图】让学生从直观的图像上感知函数的单调性.问题2:下面我们进一步用符号语言刻画函数的单调性.我们先来看一个简单的例子:f(x) =x2,在初中的时候我们就学习了这函数图像,你能现在画出这个图像吗?请在草稿纸上画出来.我们一般都用的是五点作图,在(0,+∞]上我们取的两个点满足随自变量的增大而增大,你能能否证明在(0,+∞]上所有点变化趋势也是这样的吗?也就是说明我们还有必要用代数的方法证明一下.请大家思考一下如何证明.【活动预设】我们不可能把所有的点取一遍,因为区间上的点是有无穷多个,那我们怎么把”无限”的问题转化为一种”有限”的问题?(让学是感受数学符号语言的作用)那我们可以用x1, x2来表示,请大家看一下几何画板我们发现只要x1<x2时,都有f(x1)<f(x2).(这里可以让学生用之前学习的不等式的性质证明一下f(x1)<f(x2))【设计意图】主要是引导学生如何定量的刻画函数的单调性,这个过程要让学知道定量刻画函数单调性的必要性.体会形少数时难入微.同时感受符号语言巨大的作用.1.2探究典例,形成概念活动1:通过以上活动,请同学们用符号语言总结一下上面函数的性质.【活动预设】∀x1,x2∈(0,+∞),当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),这时我们就说函数在区间(0,∞)上是单调递增的.【设计意图】让学生更加熟悉符号语言的表示方法.问题3:通过上述例子给出函数f(x)在区间D上单调性的符号表述.【活动预设】一般的,设函数f(x)的定义域为I,区间D⊆I:如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递减. 活动2:请同学们判断下列命题知否正确(1) 设A是区间D上某些自变量的值组成的集合,而且∀x1,x2∈A,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),我们能说函数f(x)在区间D上单调递增吗?你能说明理由吗?(2) 如果∀x1,x2∈D,当x1<x2时,都有f(x1)≤f(x2),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗?(3) 如果∀x,x+1∈D, 都有f(x)<f(x+1),那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.这种说法正确吗?(4) 函数的单调性是对定义域的某个区间而言,您能举出在整个定义域内单调递增的函数例子吗?你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的例子吗?【活动预设】(1)第一问构造了函数f(x)=xsinx+2x,取整函数就可以说明(2)和(3)不正确.(4)让学进一步感知“增函数”、“单调递增”的概念,以及在不同区间上单调递增时,它们的并集不一定保证单调递增,递减同理.【设计意图】(1)引导学生辨析概念中“任意”两个字;(2)在不同区间上单调递增时,它们的并集不一定保证单调递增,递减同理.2.初步应用,理解概念例1 根据定义证明函数y=1在区间(0,+∞)上是单调递减的.x【预设的答案】略【设计意图】(1)进一步的熟悉定义,通过定义画出图像(2)单调区间不能并.练1 根据定义证明函数y=x+1在区间(1,+∞)上单调递增.x【预设的答案】略【设计意图】(1)让学生自己动手练习;(2)进一步熟悉定义.例2 根据定义,研究f(x)=kx+b(k≠0)的单调性.【预设的答案】略【设计意图】体会如何求解含参函数的单调性.3.归纳小结,文化渗透1. 什么叫函数的单调性?你能举出一些具体例子吗?2. 你认为在理解函数单调性的时候应把握好哪些关键问题?3. 结合本节课学习过程你对函数性质的研究内容和方法有什么体会?【设计意图】(1)进一步让学生强化对单调性定义的准确把握;(2)进行数学文化渗透,鼓励学生积极攀登知识高峰,进一步体会函数性质的研究方法,体会数学语言的强大,体会数形结合的重要.四、课外作业。
《单调性与最大(小)值》教案
《单调性与最大(小)值》教案教学目标1、理解增函数、减函数、单调区间、单调性等概念.2、掌握增(减)函数的证明和判别.3、学会运用函数图像进行理解和研究函数的性质.教学重难点重点:判断函数单调性,找出单调区间,熟练求函数的最大(小)值.难点:理解函数的最大(小)值,能利用单调性求函数的最大(小)值.教学过程在教法学法方面,采用启发式、探讨式的教学方法,引导学生自主探究,合作交流。
通过学生身边熟悉的事物,教师创造疑问,学生想办法解决疑问,通过教师的启发点拨,学生以自己的努力找到了解决问题的方法。
一、情景导入问题:1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:(1)随x 的增大,y 的值有什么变化?(2)能否看出函数的最大、最小值?二、新课教学(一)函数单调性定义1.增函数一般地,设函数y =f(x)的定义域为I ,如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2),那么就说f(x)在区间D 上是增函数(increasing function ).思考:仿照增函数的定义说出减函数的定义.(学生活动)注意:○1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;单调性是与“区间”紧密相关的概念,一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性。
○2 必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2;当x 1<x 2时,总有f(x 1)<f(x 2) .注意“任意”两字绝不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换,两个任意的自变量是属于同一个单调区间。
2.函数的单调性定义如果函数y =f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y =f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,区间D 叫做y =f(x)的单调区间:3.判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:○1 任取x 1,x 2∈D ,且x 1<x 2;○2 作差f(x 1)-f(x 2);○3 变形(通常是因式分解和配方);○4 定号(即判断差f(x 1)-f(x 2)的正负);○5 下结论(即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性).4、判定函数单调性的常见方法(1)定义法:如上述步骤,这是证明或判定函数单调性的常用方法(2)图象法:根据函数图象的升降情况进行判断。
单调性与最大(小)值 精品教案
单调性与最大(小)值【教学目标】1.巩固函数单调性的概念;熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤;初步了解复合函数单调性的判断方法。
2.会求复合函数的单调区间。
明确复合函数单调区间是定义域的子集。
【教学重点】熟练证明函数单调性的方法和步骤。
【教学难点】单调性的综合运用【课时安排】1课时【教学准备】多媒体、实物投影仪【教学过程】一、复习引入:1.对于函数的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值)(x f 21,x x (1)若当<时,都有<,则说在这个区间上是增函数;1x 2x )(1x f )(2x f )(x f (2)若当<时,都有 >,则说在这个区间上是减函数。
1x 2x )(1x f )(2x f )(x f 2.若函数在某个区间是增函数或减函数,则就说函数在这一区间具有)(x f y =)(x f y =(严格的)单调性,这一区间叫做函数的单调区间。
此时也说函数是这一区间上的)(x f y =单调函数。
3.判断证明函数单调性的一般步骤是:(1)设,是给定区间内的任意两个值,且1x 2x <;(2)作差-,并将此差式变形(要注意变形的程度);(3)判断1x 2x )(1x f )(2x f )(1x f -的正负(要注意说理的充分性);(4)根据-的符号确定其增减性。
)(2x f )(1x f )(2x f 二、讲解新课:1.函数单调性的证明例1.判断并证明函数的单调性3)(x x f =证明:设则21x x <)x x x )(x x (x x x )f(x )f(x 22212121223121++-=-=-∵ ∴ ,,21x x <021<-x x 0432(22221222121>++=++xx x x x x x ∴即 (注:关键的判断)021<-)f(x )f(x )f(x )f(x 21<021<-)f(x )f(x ∴在R 上是增函数。
3.2.1函数单调性与最值教案
13.2.1函数单调性与最大(小)值学习目标: (1) 借助函数的图像加深对函数概念的理解;(2) 能够用定义判断或证明函数的单调性,会求一些简单函数的单调区间;(3) 理解函数最大(小)值的含义,会利用函数单调性求最值.学习重点: 函数单调性.学习难点: 增(减)函数的定义,利用增(减)函数的定义判断函数的单调性. 预习案新知预习:请同学们自己预习课本76-80页内容,有困难或疑问请用红笔标注,并独立完成下面的问题1、增函数与减函数一般的,设函数(x)f 的定义域为I ,区间如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数(x)f 在 上单调递增。
特别地,当函数(x)f 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是增函数。
如果 ,当 时,都有 ,那么就称函数(x)f 在 上单调递减。
特别地,当函数(x)f 在它的定义域上单调递增时,我们就称它是减函数。
2、单调性与单调区间如果函数()=y f x 在区间D 上是 或 ,那么就说函数在这一()=y f x 区间上具有 ,区间D 叫做()=y f x 的注:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质思考:下图是定义在区间[]5,5-上的函数)(x f y =,根据图象说出函数的单调区间,以及在每个区间上,它是增函数还是减函数?3、函数的最值一般地,设函数()=y f x 的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)∀∈x I ,都有()≤f x M ;(2)0∃∈x I ,使得()0=f x M那么,我们称M 是函数()=y f x 的最大值。
思考:你能仿照函数最大值的定义,给出函数()=y f x 的最小值的定义吗?探究案探究点1: 判断及证明函数单调性例一、 证明函数()21=+f x x 是增函数。
例二、思考并画出反比例函数1=y x 的图象.则(1)这个函数的定义域是什么? (2)它在定义域上的单调性怎样?证明这个函数在区间()+∞,0上单调递减.总结: 利用定义证明函数f(x)在给定的区间M 上的单调性的一般步骤:小试身手:根据定义证明函数1=+y x x在区间()1,+∞上单调递增。
函数的单调性与最大最小值的教案
函数的单调性与最大最小值的教案一、教学目标:1. 理解函数的单调性的概念,能够判断函数的单调性。
2. 掌握函数最大值和最小值的求法,能够运用单调性求解函数的最值。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容:1. 函数单调性的定义与判断方法。
2. 函数最大值和最小值的求法。
3. 运用单调性求解函数的最值。
三、教学重点与难点:1. 函数单调性的判断方法。
2. 运用单调性求解函数的最值。
四、教学方法:1. 采用讲授法,讲解函数单调性的定义与判断方法。
2. 采用案例分析法,分析具体函数的单调性。
3. 采用练习法,让学生通过练习求解函数的最值。
五、教学准备:1. 教案、PPT、黑板。
2. 相关数学教材、辅导资料。
3. 函数图像展示软件。
4. 练习题。
一、函数单调性的定义与判断方法:1. 引入单调性的概念,通过具体例子讲解单调递增和单调递减的定义。
2. 讲解单调性的判断方法,如何利用导数或图像判断函数的单调性。
二、函数最大值和最小值的求法:1. 引入函数最值的概念,讲解局部最大值和全局最大值的求法。
2. 讲解利用导数求解函数最值的方法,包括一阶导数法和二阶导数法。
三、运用单调性求解函数的最值:1. 讲解如何利用单调性求解函数的最值,给出求解步骤。
2. 通过具体例子,演示如何运用单调性求解函数的最值。
四、函数单调性的应用:1. 讲解函数单调性在实际问题中的应用,如最优化问题、经济问题等。
2. 通过案例分析,让学生学会如何运用函数单调性解决问题。
2. 提出拓展问题,激发学生的学习兴趣,进一步深入研究函数的性质。
3. 布置作业,巩固所学知识。
六、实例分析与练习:1. 分析具体函数的单调性,通过例题展示如何判断函数的单调递增或单调递减。
2. 提供一组练习题,让学生独立判断给定函数的单调性,并解释判断过程。
七、利用导数找函数的临界点:1. 回顾导数的基本概念,解释导数如何帮助我们研究函数的单调性。
2. 展示如何利用导数找到函数的临界点,即可能的极值点。
《函数的单调性与最大(小)值》教案#优选.
1.3.1 函数的单调性与最大(小)值(1)教案授课人:马山中学蒙立勇1.教学目标(1)知识与技能:使学生理解函数单调性的概念,掌握判别函数的单调性的方法.(2)过程与方法:从生活实际和已有旧知出发,引导学生探索函数的单调性的概念,应用图象和单调性的定义解决函数单调性问题,使学生领会数形结合的数学方法,培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力.(3)情感态度价值观:使学生体验数学的严谨性,培养学生细心观察、归纳、分析的良好习惯和不断探求新知识的精神.2.教学重点(1)函数单调性的概念;(2)运用函数单调性的定义判断和证明一些函数的单调性.教学难点利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性.3.教学方法和教学手段运用导学案方式引导学探索发现新识。
4.教学过程5、教学基本流程:单调性的直观感受---单调性的定性描述-----单调性的定量刻画-----单调性的具体应用合作学习问题探究(2)对于函数f(x),当自变量x在定义域的某个区间上的任取两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),则在这个区间上随着自变量x的增大,函数值f(x)都在逐步增大,则函数在这个区间上是增函数由此可知要确保函数是增函数,x1,x2在这个区间必须是任意才可以归纳总结形成结论一般地,设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数如果对于定义域I内的某个区间D上的自变量的任意两个值x1,x2,当x1<x2时,都有f(x1)> f(x2),那么就说f(x)在区间D上是减函数如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数,那么就说函数在这个区间上是单调函数,区间D叫做函数的单调区间,分为递增区间和递减区间引导学生依据前面的讨论说出增函数的定义,同时让学生模仿增函数的定义叙述出减函数的定义教师引导学生找出定义中的关键词:定义域内的某个区间----自变量的任意两个值-----都有。
单调性与最大(小)值 说课稿 教案 教学设计
单调性与最大(小)值【教学目标】1.知识与技能:(1)通过函数图象了解函数最大值、最小值在图象上的特征。
(2)会用函数的解析式和数学语言刻画函数最大值和最小值的概念。
(3)了解函数最值在实际中的应用,会求简单的函数的最值。
2.过程与方法:从已有知识出发,通过学生的观察、归纳、抽象和推理论证培养学生的数学能力,进一步领会数形结合和分类的思想方法。
3.情感态度价值观:通过知识的探究过程,突出学生的主观能动性,培养学生认真分析、科学论证的数学思维习惯.【重点难点】1.教学重点:理解函数的最值。
2.教学难点:运用函数的单调性求函数的最值。
【教学策略与方法】1.教学方法:问题引导,主动探究,启发式教学.2.教具准备:多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图一、情境引入;喷泉喷出的抛物线型水柱到达“最高点”后便下落,经历了先“增”后“减”的过程,从中我们发现单调性与函数的最值之间似乎有着某种“联系”,让我们来研究——函数的最大值与最小值.1.观察与思考;问题1. 这两个函数图象有何共同特征?问题 2. 设函数y=f(x)图象上最高点的纵坐标为M,则对函数定义域内任意自变量x,学生通过对图像的观察,进行口答。
遵循学生的认知规律,从感性的图像入手来体会函数的单调性,进而为抽象出单调性的数学概念打下基础。
yx o x图M2()([2,6])1=∈-f x x x f(x)与M 的大小关系如何?环节二:二、观察思考,归纳抽象,形成概念; 问题1.函数最大值的“形”的定义: 当函数图象有最高点,我们就说这个函数有最大值。
当函数图象无最高点时,我们说这个函数没有最大值。
问题2.函数图象最高点的数的刻画: 函数图象在最高点处的函数值是函数在整个定义域上最大的值。
对应函数 而言,即对于任意的()y f x = ,都有0()()f x f x ≤函数最大值定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为I ,如果存在实数M 满足:(1)对于任意的x ∈I ,都有________; (2)(2)存在x0∈I ,使得_______。
单调性与最大(小)值 精品教案
单调性与最大(小)值【教学目标】1.知识与技能:(1)建立增(减)函数的概念通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识。
再通过具体函数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调性的定义。
掌握用定义证明函数单调性的步骤。
(2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。
2.过程与方法(1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义;(2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质;(3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性。
3.情态与价值使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性,增强学习函数的紧迫感。
【教学重难点】重点:函数的单调性及其几何意义。
难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性。
【教学准备】投影仪、计算机。
【教学过程】一、问题情境1.情境:第2.1.1小结开头的第三个问题。
2.问题:说出气温在哪些时间段内是升高的,怎样用数学语言刻画“随着时间的增大气温逐步提高”这一特征?二、学生活动问题1:观察下列函数的图象(如图1),指出图象变化的趋势。
f x () = 2⋅x+1ox y(1) (2) (3)(4) 图(1)观察得到:问题2:你能明确说出“图象呈逐渐上升趋势”的意思么?讨论得到:在某一区间内, 图象在该区间内呈逐渐上升趋势⇔ 图象在该区间内呈逐渐下降趋势⇔函数的这种性质称为函数的单调性。
三、建构数学问题3:如何用数学语言来准确地描述函数的单调性呢?例如,在区间(0,)上当x 的值增大时,函数y 的值也增大的事实应当如何表述?+∞能不能由于x=1时,y=3;x=2时,y=5,就说随着x 的增大,函数值y 也随着增大?能不能由于x=1,2,,3,4,5,…,相应地y=3,5,7,9,…,就说随着x 的增大,函数值y 也随着增大?通过讨论,结合(2)给出f (x )在区间I 上是单调增函数的定义从图1(1)可以看出:问题4:如何定义单调减函数?(结合图(3)叙述)单调性、单调区间定义:举例(图1 ):四、数学应用例题例1 作出下列函数的图象,并写出函数的单调区间:(1)y=-x 2+2 ; (2)y=(x 0)1x ≠提问:能不能说,函数y=(x 0)在定义域(-)上是单调减函数?1x ≠,0∞(0,)⋃+∞观察下列函数的图象(如图5),并指出它们是否为定义域上的增函数:图(5)学生总结:证明函数在区间(上是增函数。
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《单调性与最大(小)值》教案 1
1.观察下列各个函数的图象,并说说它
过的函数入手,教师归纳:从上
引出函数单调面的观察分析可
性的概念。
这就以看出:不同的
是我们今天所函数,其图象的
要研究的函数变化趋势不同,
的一个重要性同一函数在不同
质——函数的区间上变化趋势
单调性(引出课也不同,函数图
②在区间____________ 上,随着x 的
②在区间____________ 上,随着x 的增
大,f(x)的值随着________ .
(3)f (x) = x2
①在区间____________ 上,
义,会求简单函数的值域,那么函数有哪些性质呢?这一节课我们研究这一问题.
y 轴右侧是上升的,如何
x ,x ,当x <x 时,都有
1 2 1 2
f(x )< f(x ),那么就说f(x)在区间 D 上是增函数
(increasing function)
如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或
能有(严格的)单调性,区间
例1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数
正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其
体积V 减少时,压强P 将增大.试用函数的单
调性证明之.
分析:按题意,只要证明函数P= 在区间(0,+∞)上是减函数即可.
1 +
在(,∞)
D 上的单调性的一般步骤:
②作差f(x ) f(x )
-;
③变形(通常是因式分解和配方);
④定号(即判断差f(x ) f(x )
②它在定义域I 上的单调性怎样?证明你
1.讨论一次函数y= m x+ b(x R) 的单调性.
1.函数的单调性一般是先根据图象判断,
再利用定义证明.求函数的单调区间时必须要
注意函数的定义域,单调性的证明一般分五
步:取值→作差→变形→定号→下结论
(1)函数y x
x 1
在(-1,+∞)上为
f (x)
在区间 D 上是增函。