比奥理论与太沙基理论的比较.ppt

当n=3时： x y z
v x y z
v
(1 2) (1 ) 1 (3 2) E
(1 2)
E
成立。
当n=2时，
x y
将：
x
x
E
y
E
v x y
y
y
E
x
E
代入：
v
x
E
y
E
y x
EE
1 ( )
程的。 太沙基建立固结方程时，也用到了
E
1
E
此时n=2，则
v
(1 2) (1 ) 1 (2 2) E
1 2 2 2
E
令： 2 2 0
则：
v
1
E
当n=1时，
x ， v
x
x
E
在
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
中， 取n=1，代入，得：
v
(1 2) (1 ) 1 (1 2)
六、比奥理论与太沙基理论的比较
1.建立方程所依据的假设
相同点：骨架线性、弹性；变形微小；渗流符合达西定律。
不同点：太沙基增加了法向应力之和 x y z
不随时间变化，即法向应力和恒定。
为了分 析，先 利用虎 克定律， 写出体 积应变 的表达 式：
x
x
E
y
E
z
E
z
z
E
x
t 1 (n 2) E t
t
利用式3.36a后得：
1
v (1 2) (1 ) 1 ( n ) K 2
t 1 (n 2) E t
t
w
整理得： 1 K E[1 (n 2) ] 2 t n t w (1 2 ) (1 ) n
令：
(1 )2 2 (2 )2
右边相加，得：
1 [(2 ) X Y Z ] 1 [(2 ) Y Z X ]
1
x y z 1
y z x
1 [(2 ) Z X Y ]
1
z x y
1 [(2 ) X Y Z (2 ) Y Z X
E
y
E
y
y
E
x
E
z
E
v x y z
x y z
EEE
y x z z x y
E EEE E E
v
1 ( 2 )
E
(1 2) (1 2) 1
E
E
1
引入维数n后，硬性写成：
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
间变化假定下的一种简化。
实际的法向总应力之和是否变化呢？ 先看一个例子： 固结仪中的饱和试样当施加垂直压力p时，其应力变化为：
t 0 时， 有效应力： x y z 0 ， 孔隙水压力 p
t 时： z p ， x y ko p ， 0
此处，Ko为静止土压力系数。
作为一维问题考虑， z 在固结过程中随时间不变
Cv
K E[1 (n 2) ] w n (1 2 ) (1 )
t
1 n
t
Cv
2
固结系数，则 2
由固结系数CV的表达式可以看出：
不同的维数，其固结系数CV值不一样。
若令： 0 即 为常数，不随时间而变化，则方程变为 t
t
Cv
2
~太沙基方程
因此说：太沙基方程是比奥方程在法向应力之和不随时
E
1
2 1
2 2
E
同样令：
22 0
则：
v
E
x
E
可见该式
v
(1 2) (1 ) 1 (n 2) E
是在令 2 2 0
后才成立的。
根据有效应力原理： n
所以
v
(1 2) (1 ) n
1 (n 2)
E
v (1 2) (1 ) 1 ( n )
8-12
其中的X、Y、Z为相应的体积力分量，
在空间渗流问题中，渗流体积力（动水力）
X Dx
w Ix
w
w x
x
，即： X 2
x x2
Y 同理：y
2
y 2
， Z z
2
z 2
将三个相容方程左右各自相加，得：
左边相加：
(1 )2 x
2
x 2
(1
)2 y
2 y 2
(1
) 2
z
2 z 2
1
x y z
y z x
(2 ) Z X Y ]
z x y
1 [2(X Y Z ) (X Y Z )]
1 x y z
x y z
1 [(2 )( X Y Z ) 1 [(2 ) 2]
1
x y z 1
所以：
2
1 1
2
将 3 、2 w v
实际上固结初期水头梯度大，排水快、压缩速度也快， ∂εv / ∂t大；
后期随固结度的增加，孔隙水压力消散，水头梯度减小， 排水慢，压缩也慢， ∂εv / ∂t逐渐变小，到达固结稳定时， ∂εv / ∂t=0， ∂εv / ∂t是随时间t而变化的。
由此可以断定： ∇2Θ也是随时间而变的。
在太沙基理论中，假定Θ随时间不变化是不能满足相容方
K t
3 代入上式，得：
2 3 2 1 2 (3 1 ) 2
1
1
2 (1 2 ) w v 1 K t
从上式中可以看出：只有当体积应变εv是时间的线性函数 （即∂εv / ∂t不随时间而变时）,∇2Θ才会不随时间而变。
这意味着固结一开始，以等速率压缩，此后没完没了、 永无休止、终了，而且得在某一时该体积压缩到“0”， 再压缩到负体积，显然这是不可能的，无意义。
化，符合太沙基假定。
同样是此问题，如果按三维问题的一种特殊情况考虑，则：
x y z ，在 t 0 时， 3 即： 3 p ，
t 时， x y ko p ， z p ， 0
则： (1 2 Ko ) p
当时间t从0变化到无穷时，Θ是不断变化的， 严格来讲，对于这样一个简单情况， Θ也不是常量。 我们再用理论推导来说明Θ的变化。
弹性问题的三维相容方程（密切尔方程）
(1 )2 x
2 x 2
1 [(2 ) X
1

2 y 2
1 1
[(2
)
Y y
Z z
X x
]
(1
)2 z
2 z 2
1 [(2 ) Z
1
z
X x
Y ] y
见80年 人教版 徐芝纶 弹性力 学简明 教程 P240式