概率论与数理统计：6_1数理统计的基本概念
概率论与数理统计的基本概念和原理简介
概率论与数理统计的基本概念和原理简介概率论和数理统计是数学中重要的分支学科，它们在现代科学和生活中扮演着重要角色。
本文将对概率论和数理统计的基本概念和原理进行简要介绍。
一、概率论的基本概念和原理1. 随机试验随机试验是指具有以下特点的试验：在相同条件下可以重复进行，每次试验的结果不确定，但所有可能结果都是事先确定的且互不相容。
2. 随机事件与样本空间试验的每个可能结果称为基本事件，基本事件的集合称为样本空间。
样本空间中的子集称为随机事件。
3. 概率的定义一般来说，事件发生的概率是指该事件发生的可能性大小。
概率的定义可以通过频率的概念来解释：事件A发生的概率等于在多次重复试验中，事件A发生的频率趋近于一个常数。
4. 概率的性质概率具有以下性质：- 0 ≤ P(A) ≤ 1，概率值的取值范围在0到1之间。
- P(Ω) = 1，样本空间发生的概率为1。
- 对于任意的事件序列 {Ai}，若相互不相容，则有 P(A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)。
5. 概率的计算方法计算概率的常用方法有古典概型法、几何概率法、频率概率法和叠加原理等。
二、数理统计的基本概念和原理1. 总体与样本总体是指研究对象的全体，样本是从总体中抽取的一部分个体。
通过对样本的统计分析，可以推断总体的性质。
2. 统计量统计量是样本的函数，用于刻画样本的某种性质。
常见的统计量有样本均值、样本方差等。
3. 参数估计参数估计是通过样本统计量推断总体参数的值。
常用的参数估计方法有点估计和区间估计。
4. 假设检验假设检验是指对于总体参数提出一个假设，并通过对样本进行统计推断来判断是否拒绝假设。
假设检验分为单侧检验和双侧检验。
5. 相关与回归分析相关分析用于刻画两个变量之间的线性关系，回归分析用于建立一个变量与其他变量之间的函数关系。
三、概率论与数理统计的应用领域概率论和数理统计广泛应用于各个领域：1. 金融风险管理概率论和数理统计对金融领域的风险管理起着关键作用，可以通过建立数学模型对金融市场进行预测和评估。
概率论与数理统计-6
一、统计量
定义1 设X1, X2, …, Xn是总体X的样本，样本函数g(X1, X2, …, Xn)是样 本的实体函数，且不含有任何未知参数，则称这类样本函数g(X1, X2, …, Xn)为统计量。
由于样本具有二重性，统计量作为样本的函数也具有二重性，即对 一次具体的观测或试验，它们都是具体的数值，但当脱离开具体的某 次观测或试验，样本是随机变量，因此统计量也是随机变量。
n i 1
( xi
x )2
1n (
n 1 i1
xi2
nx 2 )
。
（3）样本标准差
S
S2
1 n 1
n i 1
(Xi
X
)2
它的观测值记为 s
s2
1 n 1
n i 1
( xi
x )2
。
（6-5）
（4）样本k阶原点矩
Ak
1 n
n i 1
X
k i
(k
1，2 ，3，
)
它的观测值记为 ak
解 将样本的观察值由小到大排列为 1 2 3 3 4 4 4 5 6 8
所以样本的频率分布如表所示
X
1
2
3
4
5
6
8
fn
0.1
0.1
0.2
0.3
0.1
0.1
0.1
例1 设总体服从泊松分布，容量为10的样本观察值如下：
214 3 5 6 4 8 4 3 试构造样本的分布函数F10(x)。
例1 设随机变量 X ~ (0 ，1) 分布，求D(X)。
解 因为 X ~ (0 ，1)
所以 又
E(X ) p E( X 2 ) 0 (1 p) 12 p p
【2024版】概率论与数理统计(数理统计的基本概念)
X
2 n
)
D(
X
2 1
)
D(
X
2 2
)
D(
X
2 n
)
nD (
X
2 i
)
n{ E (
X
4 i
)
[E(
X
2 i
)]2
}
n
x4
1
2
e
x2 2
dx
12
n3
1
2n
23
若 2 ~ 2(n) 分布函数为F ( x)
,0 1 若F ( x) P{ 2 x}
则其解称为 2 分布 的 分位数(临界值)
0.15 00.1.155
000.1..11
N(0,1)
n=10 n=10 nn==33
n增大
000.0..00555
nnn===111
000
-5--55
-4--44
-3-3
-2-2
-1-1
00
11
22
33
444
555
t 分布的密度曲线关于y轴对称 随着n的增大, t 分布的密度曲线越陡
n 时，t 分布趋于标准正态分布N (0,1)
后,还要对数据进行加工和提炼,将样本的有关 信息,利用数学的工具进行加工.
引入统计量的概念
12
定义 设( X1, X 2 ,, X n )为来自总体X的一个样本,
若n元函数f ( X1, X 2 ,, X n )不含任何未知参数,
则
称f
(
X
1
,
X
2
,,
X
n
)为X
1
,
X
2
数理统计基本概念
P{6.262 χ 2 24.996}
2 2
P{χ 6.262} P{χ 24.996}
0.975 0.05 0.925
注意 应注意分布表的定义与查法！
#
数理统计基本概念
3.自由度为 n的 t 分布 作笔名发表文章.
T～t(n)
又称学生氏分布--第一个研究者以Student
( X 1 , X 2 , , X n ) ~ ( 2 ) e
n 2 2
i 1
( xi )2 2 2
n
数理统计基本概念
四、统计量 定义6.1.2 设X1 , X2 , ·, Xn是总体X的样本， · · T为n元实值函数，若样本的函数 T=T(X1 , X2 , ·, Xn) · · 是随机变量且不含未知参数，称 T为统计量. 对相应的样本值( x1 , x2 , … , xn ) ，称 t =T( x1 , x2 , … , xn )
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
某厂生产的一批产品中次品率为 p 。从中 抽取10件产品装箱。 概
1）没有次品的概率 2）平均有几件次品
率
3）为以 0.95的概率保证箱中 有10件正品，箱中至少要装多 少件产品。
数
理
统
计
的
引
入
数理统计基本概念
所有这些问题的关键是 p 是已知的！ 如何获取 p ? 这就是数理统计的任务了！
定的α(0<α<1)，数uα满足
P{ X u } ，
(C ) u1 ;
概率论与数理统计 第六章--数理统计的基本概念
F分布性质2 若X ~t(n)，则X2~F(1,n)
例4.设X1,X2, …,Xn是来自正态总体N(0,1) 的样本，试问c=( )统计量
c
2 X i 3 i 1 n
X
i 4
2 i
服从F分布？
抽样分布的分位点
设α为给定的常数，且0<α<1.若存在χα2(n)使
P ( n)
分位点的性质
(1) u1 u (2)
t1 (n) t (n)
1 (3) F (m, n) F1 (n, m)
回顾1. 设X1 ,X2 ,X3, X4是来自总体N(0,4)的简单 随机样本，X=a(X1-2 X2)2+b(3X3 -4X4)2，问当 a,b为何值时，统计量X服从 2分布 .
Max=1572, Min=738, 组数=6 组距=(Max-Min)/6=139140 取a0=735, 则分组区间及相关数据如下
组序 1 2 分区区间 (735,875] (875,1015] 频数 6 8 频率 0.2 0.27 累计频率 0.2 0.47
3
4 5 6 合计
(1015,1155]
2
所服从的分布为自由度为 n 的 分布 记为
2
~ (n)
2 2
分布的密度函数为
2
n x 1 1 n2 x2 e 2 f ( x; n ) 2 ( n 2 ) 0
x0 x0
其中伽玛函数 ( x )通过积分
( x ) e t dt, x 0 0 来定义.
(1155,1295] (1295,1435] (1435,1575]
9
4 2 1 30
0.3
概率论与数理统计 数理统计的基本概念
6
定义 3 设 X1, X 2 ,, X n 为总体 X 的一个 样本，若 X1, X 2 ,, X n 相互独立且与总体 X 同分布，则称 X1, X 2 ,, X n 为来自总体 X 的 一个简单随机样本，简称样本.
8
常见统计量
设 X1, X 2,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 是 样本的观察值，定义
样本均值 样本方差 样本标准差
X
1 n
n i 1
Xi
S 2
1 n 1
n i 1
(Xi
X )2
1n (
n 1 i1
X
2 i
nX
2)
S
S2
今后不作特殊说明，本书所指的样本 均为简单随机样本.
7
定义 4 设 X1, X 2 ,, X n 是来自总体 X 的样本， x1 , x2 ,, xn 为样本观察值，T (X1, X 2 ,, X n ) 是关于 X1, X 2 ,, X n 的样本函数.若T 中不含任何未知参 数，则称T (X1, X 2 ,, X n ) 是统计量，称T (x1, x2 ,, xn ) 是 统计量的观察值.
第六章 数理统计的基本概念
1
什ห้องสมุดไป่ตู้是数理统计学？
数理统计学是这样一门数学分支，它运用概率论 与数学的方法，研究如何有效地收集、整理和分析带 有随机性影响的数据，并由此对所研究的问题作出尽 可能合理的推断和预测，从而为相关决策提供参考和 建议.
2
数理统计和概率论的关系
●数理统计学和概率论是随机数学的姊妹篇 ●有密切的联系却又不是同一学科 ●概率论是数理统计学的理论基础 ●数理统计学是概率论的重要应用.
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计基本概念
概率论与数理统计是研究事件发生的可能性，以及由此衍生的结果
的一门学科。
它可以帮助人们提高分析和预测能力。
可以帮助我们了
解自然界及其客观原理，以及把握当代社会经济实体及其活动。
一、概率概念：
1. 随机事件：指事件发生以来，在所有结果中，用概率值去衡量其发
生的可能性，及其各个单一结果的概率分布情况；
2. 概率：是用来衡量某一随机事件发生的可能性的数值，可以给出这
个事件发生的可能性大小；
3. 概率分布：是某一随机变量及其可能取值之间发生关系的一种描述；
二、数理统计概念：
1、统计：是指对数据进行定量描述，尝试从数据中获得解释性的统计
特征；
2、变量：是指以数值形式表示的某类事物，是研究目标内容分析的一
种实际基础；
3、统计分布：是给定一组数据，通过统计手段，计算出变量的概率分
布情况，及其可能的变化规律；
4、极限定理：是一种概率论的定理，旨在探讨一个系统在重复抽样下，抽样结果的收敛情况；
5、数据描述：是指对数据的描述，可以让人简单明了地理解数据，及
其特征和趋势；
6、统计推断：是指根据统计样本信息，以概率结果作为有效依据，做
出关于总体参数情况的推断；
7、回归分析：是指建立一条回归函数模型，以描述解释变量对被解释
变量的影响；
8、判别分析：是指构建一个准确的模型，能够根据输入的观测值来准
确地判断属于哪一类人或物；
9、聚类分析：是指将一组数据进行分类，从而揭示内部数据间的关系，辅助决策；
10、卡方检验：是指判断某一种统计判断是否证实对某一总体分布结
果的检验，从而决定是否接受或拒绝假设。
概率论与数理统计(叶慈南 刘锡平 科学出版社)第6章 数理统计的基本概念教程
3.样本k阶(原点)矩 Ak = 样本k阶中心矩
Bk =
1 n k ∑ X i 反映总体k阶矩E(Xk)的信息 n i =1 P E ( X k ) = k , k = 1, 2, L →
反映总体k
9
1 n P → ∑ ( X i X )k E {[ X E ( X )]k } = mk n i =1 k=1,2,…
1o
X ~ N ( ,
σ2 ) n
即
X ~ N (0,1) σ/ n
2o 3o
(n 1) S 2 ~ χ 2 ( n 1) σ2 X 与 S 2 相互独立 4o X ~ t ( n 1) S/ n
23
24
4
1o
X ~ N ( , X=
σ2 ) n
即
X ~ N ( 0, 1) σ/ n
4o
正态总体的抽样分布定理
例 设 X1,…,X10 是取自N(0,0.32)的样本,求
P{∑ X i > 1.44}
2 i =1 10
定理一,二,三
2 2 设 X 1 ,..., X n 是来总体 N ( , σ ) 的样本, X , S 分别为样
本均值和样本方差,则
例 设 X 1 , X 2 , L , X 15 是来自总体 N (0,1)的一个简单随 2 2 X 12 + X 2 + L + X 10 机样本, Y= 则 服从 分布. 2 2 2 2( X 11 + X 12 + L + X 15 )
4
个体:组成总体的元素(如:某一个灯泡的寿命)
每个可能的观察值
有限总体 无限总体 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:考察某大学大一2000名男生的身高 如:测量一湖泊任一地点的深度
6-1数理统计学的基本问题与基本概念
Example 2:吸烟与肺癌的关系 • 吸烟增加患肺癌，其他癌症以及诸如心脏病 等严重疾病的危险． • １９４８－１９４９，英国学者多尔与希尔 从伦敦２０家医院中收集了７０９名肺癌病
人以及对照组－另７０９名患肺癌者的吸烟
情况的资料，按吸烟斗还是纸烟，男或女，
将烟吞进肺里与否等指标分类．
统计结论:吸烟与患肺癌呈明显的正相关. 如何理解这个统计规律的意义? 首先,统计规律是关于群体的规律。 对于群体中的个体情况复杂多样,没有一定.拿本例来 说:有吸烟很多而终生保持健康者,也有不吸烟而很早
, xn ) f ( xi )
i 1
n
由于抽样的目的是为 了对总体进行统计推断，为 了使抽取的样本能很好地反 映总体的信息，必须考虑抽 样方法.
最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽 样”，它要求抽取的样本满足下面两点:
1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体X有相同的分布. 2. 独立性： X1, X2,…, Xn是相互独立的随机变量.
简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当 说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别 说明，就指简单随机样本.
在实际问题中如何才能得到简单随机样本呢？
N 10 ），则连续抽取的n个个体就 （一般是 n
可以看成是一个简单随机样本。
当样本容量n相对总体中的个体数N很小时
如果是有放回的抽样，则不必要求n相对小 ，就能得到简单随机样本。
患肺癌者,不能用这类个别例子来否定二和者有正相关
性的结论,因为它讲的是群体中一种趋势。 １．这种规律反映了某种客观存在的现实有科学和认 识意义。 ２．对个体有警戒作用。
统计应用实例：
1． 孟德尔遗传定律的发现； ２．中国患SARS的病人的死亡率是多少；
第六章 数理统计的基本概念(1)
XK
1 n
n i 1
X
k i
（4）样本k阶中心矩：
1 n
n i 1
(Xi
X )k
（5）顺序统计量： X(1) X(2) X(n) . 其中 X(k) 为将 X1, X2 , , Xn 从小到大排列第 k 位值.
18 September 2020
概率论与数理统计
理学院数学系
2、离散型 设总体X的分布律为 P{ X x} p( x)
则样本X1, X2 ,的, 联Xn合分布律为 P{ X1 x1, X2 x2 ,, Xn xn } p( x1 ) p{ x2 ) p( xn )
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理学院数学系
样本分布
第六章 数理统计的基本概念
（1）样本均值：
X
1 n
n i 1
Xi
（2）样本方差：
Sn2
1 n
n
(Xi
i 1
X )2
修正样本方差：
Sn*2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
nSn2 (n 1)Sn*2
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第六章 数理统计的基本概念
第22页
（3）样本k阶原点矩：
第13页
1、样本的联合分布函数 设总体 X 的分布函数为 FX (., ), (X1, X2 ,
则样本的联合分布函数为
, Xn ) 为样本.
FX1,X2 , ,Xn ( x1, x2 , , xn ; ) FX ( x1, )FX ( x2 , ) FX ( xn , )
数理统计的基本概念
另一类是研究如何分析所获得的随机数据，对所研究 的问题进行科学的、合理的估计和推断，尽可能地为 采取一定的决策提供依据，作出精确而可靠的结论. 这部分的内容称为推断统计学，如：参数估计、假设 检验等。
我们主要讨论有关推断统计学中几个最基本的 问题。
在数理统计中总体X的分布永远是未知的，即使 有足够的理由可以认为总体X服从某种类型的分布， 但这个分布的参数还是未知的。
例如本市家庭的月收入X是个随机变量，X服从什么
分布事先是不清楚的，根据资料可确信 X ~ N , 2 .
但 , 2 究竟取什么值还是未知的，
由于总体X的分布是未知的，因此X的数字特征如 均值、方差等往往也是一个未知的值。对于这些未知
不过在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心
其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布
情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体.
称总体中所含个体的数目为总体容量, 总体容量有限的称为有 限总体, 总体容量无限的称为无限总体.
当个体个数很大时通常把有限总体看作无限总体。
从另一方面看： 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本, 去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重， 灯泡的寿命,汽车的耗油量…)， 所谓总体的性质，无非就是这 些指标值集体的性质. 概率分布是刻划这种集体性质最适当的工具. 因此在理论上可 以把总体与概率分布等同起来. 如研究某批灯泡的寿命时, 关心的数量指标就是寿命, 那么, 此 总体就可用描述其寿命的随机变量 X 或用其分布函数 F(x)表示.
一个统计量.
ex1.设 X1, X 2, X3 是取自正态总体 X ~( , 2) 的一个样本,
概率论与数理统计第六章 数理统计的基本概念精品教案
第六章数理统计的基本概念一、内容提要数理统计学是数学的一个分支，它的任务是研究怎样用有效的方法去收集和使用带有随机性的数据，建立数学方法，去揭示所研究问题的统计规律性。
它的主要内容是由样本来推断总体。
（一）基本概率1. 总体、个体与样本：研究对象的全体称为总体，用X、Y等表示。
组成总体的每个元素称为个体或单元。
从总体中按一定的规律抽出一些个体就称为抽样，所抽及的个体称为样本，用X1,X2,…,X n表示。
一般样本容量小于50的样本称为小样本，样本容量大于等于50的样本称为大样本，但在样本不易实现时，样本容量大于30的样本可看作大样本。
包含有限个个体的总体称为有限总体，包含无限个个体的总体称为无限总体。
2. 简单随机抽样与简单随机样本：如果总体中各个个体被抽到的机会是均等的，并且在抽取一个个体后总体的成分不变，那么，抽得的一些个体就能很好地反映总体的情况，基于这种想法抽取个体的方法称为简单随机抽样。
抽得的这些个体构成一个样本，用（X1,X2,…,X n）表示，n为样本容量，X1,X2,…,X n应是n个相互独立的且与总体X同分布的随机变量，并将这种样本称为简单随机样本，简称样本。
本书所讨论的样本，如无特别声明，均指简单随机样本。
样本（X1,X2,…,X n）是n个相互独立的且与总体同分布的随机变量，而一次抽取之后，12（X 1,X 2,…,X n ）又是n 个具体的数据x 1,x 2…,x n ，即样本的一组观测值，在不致引起混淆的情况下，样本和样本值都用（X 1,X 2,…,X n ）表示，这就是样本的二重性。
3. 样本分布函数（或经验分布函数）：设样本（X 1,X 2,…,X n ）的观测值按由小到大次序排列后为：**2*1n x x x ≤≤≤Λ定义()()*1**1*0,,,,1,2,,11,.n k k n x x kF x x x x k n n x x +⎧⎪⎪=≤<=-⎨⎪⎪≥⎩p L ，为样本分布函数对于样本的不同观测值（x 1,x 2…,x n ），我们将得到不同的F n (x )，所以F n (x )是一个随机变量。
概率论与数理统计6-8
无关的样本的连续函数，则称g(X1,X2,…,Xn)为
统计量。 统计量是样本的函数,它是一个随机变量， 如果x1, x2, …, xn是样本观察值, 则g(x1, x2, …, xn)是统计量g(X1, X2, …, Xn)的一个观察值.X i ; n i 1 2 n 1 2 2. 样本方差 S (X i X ) ; n - 1 i 1 1 n k 3. 样本k阶原点矩 A k X i , k 1, 2, ; n i 1 1 n 4. 样本k阶中心矩 Bk (X i X ) k , k 2, 3, . n i 1
§7.1 点估计 一. 问题的提法:
设总体X的分布函数F ( x; θ )的形式为已知 ,
是待估参数， 1 , X 2 , , X n 是X的一个样本， X
x1, x2 , , xn 是相应的一个样本值。
点估计问题就是要构造 一个适当的统计量 ˆ ( X , X , X )，用它的观察值 ˆ( x , x , , x )
2
分布具有可加性，定义 X 1 ,X 2 , ,X n 独立 中 n 1 同服从N (0,1)，所以 ＝ X ~ ( , ) 2 2 i 1
2 2 i n
β α α-1 －x x e , x 0, 分布的概率密度为 f ( x) Γ (α ) : 0 , 其它. n 1 2 2 比较 (n)的密度可知： (n) 分布就是 , 2 2 2 的分布, 即 (n) (n / 2, 1/2).
N (0, 2 ) ，X1，X2，X3 为取自总体的一个样本， 2.设总体 X～
试求：(1)3X1－2X2＋X3 的分布；(2)
2 X1 X 22 X 32
的分布。
《概率论》 第六章 数理统计的基本概念.
2. 抽样原则 为使抽取的样本能很好地反映总体的特征，
一般要求抽取样本时遵循以下两点原则：
(1) 代表性 要求样本中的每个样品都是从总体 中 完全随机地抽出的，即每个样品与总体 具有相同
的分布；
(2) 独立性 要求每个样品的抽出相互之间是互不 影响的，即要求每个样品之间相互独立.
满足以上两点要求的样本称为简单随机样本.
1n
n 1 i1
i
2
(4) 样本 k 阶原点矩
Mk
1 n
n
i 1
k i
,
k
1,
2, ;
(5)样本 k 阶中心矩
M
k
1 n
n
(i
i 1
)k
, k 2, 3, ;
注 1. 上述几个统计量统称为样本矩；
2.
X
M1 ,
S2
M
2
.
三、样本矩的性质
2. 2分布的性质
性质1 ( 2 分布的可加性)
设 ~ 2(n1 ), ~ 2(n2 ), 并且 , 独立, 则 ~ 2(n1 n2 )
推广： 设 i ~ 2(ni ), 并且 i (i 1, 2,, m) 相互
独立,
则
m
i
~
2 (n1
2π
标准正态分布的上侧分位点
定义 设 U ~ N (0,1) ，对给定的正数(0 1)，
若实数u 满足
P{U u }
则称点 u为标准正态分布U的 上侧分位点（或称 上 分位数或 临界值）.
概率论与数理统计 第6章
6.1 基本概念 6.2 抽样分布 习题 ６
数理统计是具有广泛应用的一个数学分支，它以概率论 为基础，根据试验或观察得到的数据来研究随机现象，对研 究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。数理统计 的内容包括:如何收集、整理数据资料；如何对所得的数据
资料进行分析、研究，从而对所研究的对象的性质、特点作
设总体 X 的分布律为 P ( X = x ) = p ( x )， X 1 ， X
2
，…， X n为来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， ， X 2 ，…， X n)的联合分布律为
X n的分布律都是 P ( X i = x ) = p ( x )，从而 n 维随机变量(X
1
设总体 X 的概率密度为 f ( x )， X 1 ， X 2 ，…， X n为 来自总体 X 的一个样本，则 X 1 ， X 2 ，…， X n的概率密度 都是 f ( x )，从而 n 维随机变量(X 1 ， X 2 ，…， X n)的联合 概率密度为
( n ) ，则称函数
为总体 X 的经验分布函数。
需要指出的是，若在 F n (x )的定义中将样本值换成对 应的样本，则当 n 固定时，它是一个随机变量，此时仍称之 为总体 X 的经验分布函数。所以用样本值定义的 F n (x )其 实是经验分布函数的观察值，在不致混淆的情况下统称为总 体 X 的经验分布函数。
出推断。数理统计的重要分支有统计推断、试验设计、多元 分析等，其具体方法甚多，应用相当广泛，已成为各学科从
事科学研究及生产、经济等部门进行有效工作的必不可少的
数学工具。
本章从数理统计的基本概念开始，讨论抽样分布及其重 要定理，这些抽样分布及其重要定理在概率论中尚未提到，
《概率论与数理统计》学习笔记
《概率论与数理统计》（19）电子科技大学应用数学学院，徐全智吕恕主编。
2004版第6章数理统计的基本概念概率论与数理统计是两个紧密联系的姊妹学科，概率论是数理统计学的理论基础，而数理统计学则是概率论的重要应用.数理统计学是使用概率论和数学的方法，研究如何用有效的方式收集带有随机误差的数据，并在设定的模型下，对收集的数据进行分析，提取数据中的有用信息，形成统计结论，为决策提供依据. 这就不难理解，数理统计应用的广泛性，几乎渗透到人类活动的一切领域! 如：农业、生物和医学领域的“生物统计”，教育心理学领域的“教育统计”，管理领域的“计量经济”，金融领域的“保险统计”等等，这些统计方法的共同基础都是数理统计.数理统计学的内容十分丰富，概括起来可以分为两大类：其一是研究如何用有效的方式去收集随机数据，即抽样理论和试验设计；其二是研究如何有效地使用随机数据对所关心的问题做出合理的、尽可能精确和可靠的结论，即统计推断.本书主要介绍统计推断的基本内容和基本方法. 在这一章中先给出数理统计中一些必要的基本概念，然后给出正态总体抽样分布的一些重要结论.6.1总体、样本与统计量一、总体在数理统计中，我们将研究对象的全体称为总体或母体，而把组成总体的每个基本元素称为个体.二、样本样本是按一定的规定从总体中抽出的一部分个体" 这里的“按一定的规定”，是指为保证总体中的每一个个体有同等的被抽出的机会而采取的一些措施" 取得样本的过程，称为抽样.三、统计量6.2抽样分布统计量是我们对总体的分布规律或数字特征进行推断的基础. 由于统计量是随机变量，所以在使用统计量进行统计推断时必须要知道它的分布. 统计量的分布称为抽样分布.一、三个重要分布二、抽样分布定理6.3应用一、顺序统计量及其应用二、极值的分布及其应用。
第6章 数理统计的基本概念
(
n1 2
n1
)
+ n2 2
(
)
n2 2
)
(
n1 n2
)(
n1 n2
n1 −1
x) 2 (1 +
n1 n2
−
x)
n1 + n2 2
，x
0
0，
x0
24
f (x) =
(
(
n1 2
0
n1 + n2 2
) ( ，
)
n2 2
)
(
n1 n2
)(
n1 n2
n1 −1
x) 2 (1 +
n1 n2
− n1 + n2
n−2 23
3、F 分布
定义 设 X ~ 2 (n1 ) , Y ~ 2 (n2 ) ,且 X 与 Y 相互
独立,则称随机变量
F = X / n1 Y / n2
服从自由度为 (n1, n2 )的 F 分布，记为 F ~ F (n1, n2 ) .
F(n1,n2)的概率密度为
f (x) =
(
实际上，每一次测量所得结果是一个个体， 而总体是由“一切可能的测量值”组成。这只是 一个想象中存在的集合，因为不可能去进行无限 次测量。它的个体是通过试验“制造”出来的。
这种情况在实际应用中非常之多。给这种总 体同样可规定分布，例如上述例子中说“测量结 果服从正态分布”是容易理解的。
8
二、样本
一般情况下,对总体的每一个个体都进行观察或试 验是不可能的,这是因为经济上、时间上不允许(如个体 的数量很大),或观察试验是带破坏性的(如灯泡的寿命、 炮弹的射程).因此,必须对总体进行抽样观察.
概率论和数理统计@数理统计的基本概念
X n1 ， 2 X 1 X n +X n +1 ， 2 2 2
n为奇数 n为偶数
样本极差：
R X ( n) X (1)
X n
13
定理（样本均值与样本方差的数字特征）
设总 体 X 的均 值为 ， 方差 为 ， ( X 1 , X 2 ,..., X n )
15
（ 2）
2 1 1 2 2 S (Xi X ) (Xi 2Xi X X ) n i 1 n i 1 2 n n n 2 1 n 1 1 2 Xi 2X Xi X n i 1 n i 1 n i 1 2 1 n 2 Xi X n i 1 n n
, Xn
7
是来自总体 X 、与总体 X 具有相同分布的随机变量.
简单随机抽样
例如：要通过随机抽样了解一批产品的次品率， 如果每次抽取一件产品观测后放回原来的总量中，则
这是一个简单随机抽样。
但实际抽样中，往往是不再放回产品，则这不 是一个简单随机抽样。但当总量N很大时，可近似看 成是简单随机抽样。
8
21
数理统计中常用的分布除正态分布外，还有 三个非常有用的连续型分布，即
2分布
t 分布
F分布
数理统计的三大分布(都是连续型).
1.它们都有直接的数理统计背景。
2.它们都与正态分布有密切的联系。
22
2 ——分布
定义 设总体 X ~ N 0,1 ， X1, X 2 ,..., X n 是 X 的
x0 x 0
其中Gamma函数 Γ(x) 通过下面积分定义
( x) e t dt , x 0
t x 1 0
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方法: f (x, p) px(1 p)1x, x 0,1
设有放回地抽取一个容量为 n 的样本
其样本值为 样本空间为
{(x1, x2,, xn ) xi 0,1, i 1,2,, n}
的联合分布为
若抽样是无放回的,则前次抽取的结果 会影响后面抽取的结果.例如
若总体X 的密 d.f.为 f( x),则样本 的联合 d.f.为
n
f总(x1, x2,, xn ) f (xi ) i1
例如 设某批产品共有N 个,其中的次品数
为M, 其次品率为
pM /N
若 p 是未知的,则可用抽样方法来估计它. 从这批产品中任取一个产品,用随机变量 X来描述它是否是次品:
P(X 2
1
X1
1)
M N
1 1
P( X 2
1
X1 0)
M N 1
p N p
1
1 N
所以, 当样本容量 n 与总体中个体数目N 相比很小时, 可将无放回抽样近似地看作 放回抽样.
Hale Waihona Puke 统计量定义设(X1, X 2,,是X取n ) 自总体X 的一个样本,
g(r1, r2,, rn )
为一实值连续函数,且不含有未知参数,
(1.7143) (1.1429)
0.8239
例3 设总体X 的概率密度函数为
x
x 1
f ( x) 0
x 1
( X1, X 2,, X50) 为总体的样本,求
(1) X 的数学期望与方差 (2) E(S 2 )
(3) P( X 0.02)
解(1) E( X ) E( X )
1
x x dx 0
则称随机变量g( X1, X 2,, X n )为统计量. 若 (x1, x2,, xn ) 是一个样本值,
称
为统计量
的一个样本值
例 X ~ N(, 2是) , 未,知2参数, (X1, X 2,, X n ) 是一样本, 则
是统计量, 其中
但
不是统计量.
若 , 已知,则为统计量
常用的统计量
设
则称统计量
为顺序统计量.
其中,
称
为极差
注 样本方差 与样本二阶中心矩
1） 关系式
的不同
推导
故
2）
推导 设
则
例1 从一批机器零件毛坯中随机地抽取 10件, 测得其重量为(单位: 公斤):
210, 243, 185, 240, 215, 228, 196, 235, 200, 199
求这组样本值的均值、方差、二阶原点 矩与二阶中心矩.
1
D(X ) 1 D(X ) 1 E(X 2 )
50
50
1 2 1 x2 x dx 1
50 0
100
(2) E(S 2 ) D(X ) E(X 2 ) 1/ 2.
近似
(3) X ~ N (0,0.01) 由中心极限定理
P( X 0.02) 1 P( X 0.02)
21
0.02 0.1
解令
则
例2 在总体 X ~ N(52中, 6.3,2随) 机抽取一个容量 为36的样本,求样本均值 X落在50.8到53.8 之间的概率.
解 X ~ N(52, 6.32 / 36) 故 P(50.8 X 53.8)
53.8 52 50.8 52 6.3/ 6 6.3/ 6
(2) X1, X 2 ,相,互X独n 立
则称
为简单随机样本.
一般,对有限总体,放回抽样所得到的样 本为简单随机样本,但使用不方便,常用 不放回抽样代替.而代替的条件是
N / n 10.
总体中个体总数 样本容量
设总体 X 的分布函数为F (x),则样本 ( X1, X 2,, X n ) 的联合分布函数为
样本 —— 从总体中抽取的部分个体. 用 (X1, X2,, Xn ) 表示, n 为样本容量.
称 (x1, x2,为, x总n )体 X 的一个容量为n的样本
观测值,或称样本的一个实现.
样本空间 —— 样本所有可能取值的集合.
简单随机样本
若总体 X 的样本 ( X1, X 2,满,足X n:)
(1) X1, X 2,与,XX有n 相同的分布
第六章 数理统计的基本概念
第六章 数理统计的基本概念
描述统计——学
数 理
对随机现象进行观测、试验，
统
以取得有代表性的观测值
计 推断统计—学—
的
对已取得的观测值进行整理、
分
分析,作出推断、决策,从而
类
找出所研究的对象的规律性
推断 统计学
参数估计 (第七章) 假设检验 (第八章) 方差分析 (第九章) 回归分析 (第九章)
§ 6.1 基本概念
总体和样本
总体 —— 研究对象全体元素组成的集合 所研究的对象的某个(或某些)数量指标
的全体,它是一个随机变量(或多维随机变 量).记为X .
X 的分布函数和数字特征称为总体的 分布函数和数字特征.
个体 —— 组成总体的每一个元素 即总体的每个数量指标,可看作随机
变量 X 的某个取值.用 表Xi示.
0
21 Φ0.2
0.8414
作业 习题六 4,7
是来自总体 X 的容量
为 n 的样本,称统计量
为样本均值
为样本方差
为样本标准差
为样本的k 阶原点矩
(4)
1n Bk n i1
Xi
X
k 为样本的k 阶中心矩
例如
A1 X
B2
n 1S2 n
1 n
n i 1
Xi X
2 Sn2
(5) 顺序统计量与极差
设
为样本,
为样本值,且
当
取值为
时,
定义 r.v.