第2讲 不规则图形面积的计算
第二讲不规则图形面积的计算(二)精选.
第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B 之间有：S A∪B＝S A＋S b-S A∩B）合并使用才能解决。
例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理S阴影＝S扇形ACB＋S扇形ACD-S正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
解：S阴影＝S扇形ABE+S扇形CBF-S矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。
例4 如右图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC长。
分析已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC面积大7平方厘米；又知半圆直径AB＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC的面积，进而求出三角形的底BC的长.＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。
不规则图形面积的解答方法
不规则图形面积的解答方法一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，下图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，下图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求下图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如下图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如下图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如下图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求下图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如下图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求下图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
不规则图形面积的计算-精品文档
法计算组合图形面积．
作业
课本23页练习四1到4题
=105×15÷2×2 =1575(㎝² ) 答：一面锦旗需要1575平方厘 米面料。
60cm
(60＋45) ×(30÷2) ÷2×2
45cm
学校开运动会要制作一 些锦旗，式样如右图。 一面锦旗需要多少平方 厘米面料？
30cm
1、草坪的面积有多少平方米？
草坪的面积=梯形面积+三角形面积 梯形的面积：（4+10）×12÷2=84㎡
三角形的面积：10－4=6m,15×6÷2=45㎡
草坪的面积：84+45=129㎡
答：这块草坪的面积是129㎡
方法四：补的方法
4m
12m
10m
15m
草坪的面积=长方形的面积－梯形的面积
长方形的面积：15×10=150㎡ 梯形的面积：15－12=3m,(4+10) 草坪的面积：150－21=129㎡ 答：这块草坪的面积是129㎡.
2、现在要给小路铺上地砖，如果9块 地砖正好铺1m2，那么至少需要多少 块地砖？
复习旧知:
平行四边形的面积=底×高
用字母表示为S=a×h
三角形面积=底×高÷2
用字母表示为S=a×h÷2
梯形面积=（上底+下底）×高÷2
用字母表示为S=(a+b)h÷2
长方形面积=长×宽用字母表示为S=a×b
×3÷2=21㎡
“割”、“补”的方法是我们今后计算复 杂图形时常用的方法，方法越简单越好。
在进行图形计算割补时，要注意以下几点：
(1)要根据原来图形的特点进行思考。 (2)要便于利用已知条件计算简单图形的面积。 (3)可以用不同的方法进行割补。
不规则图形面积的求法
不规则图形面积的求法求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。
一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ， 由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O CD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。
连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等）∴＝＝扇形阴影O M D S S 43601902ππ=⨯⨯ (２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。
例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴CDB 11S CD BD 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。
解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，AB AE =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD＝ AC ＋ BD ＝ 1AB CD AC BD 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ CD ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。
不规则图形面积的计算
不规则图形面积的计算我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求及△ACE的面积.例5 如下页右上图，在正方形ABCD中，三角形ABE的面积是8平方厘米，它是△DEC的面积的45，求正方形ABCD的面积。
例6 如右图，已知：S△ABC=1，例7 如下页右上图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？例8 如右图，梯形ABCD的面积是45平方米，高6米，△AED的面积是5平方米，BC=10米，求阴影部分面积.例9 如右图，四边形ABCD和DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等.练习1.如右图，ABCD为长方形，AB=10厘米，BC=6厘米，E、F分别为AB、AD中点，且FG=2GE.求阴影部分面积。
2.如右图，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为12厘米和6厘米.求四边形CMGN（阴影部分）的面积.3.如右图，正方形ABCD的边长为5厘米，△CEF的面积比△ADF的面积大5平方厘米.求CE 的长。
苏教版五年级上册《不规则图形的面积》数学教案
苏教版五年级上册《不规则图形的面积》数学教案一、教学背景和目标1. 教学背景本节课属于苏教版五年级上册数学第三单元“计算面积”中的第二课时：“不规则图形的面积”，要求学生了解什么是不规则图形、如何求不规则图形的面积以及应用不规则图形求解问题。
2. 教学目标通过本课的学习，学生应当能够:•理解什么是不规则图形•掌握如何求解不规则图形的面积•能够应用所学知识解决涉及到不规则图形的问题二、教学内容和方法1. 教学内容本课的教学内容主要包括：•不规则图形的概念和特点•不规则图形的面积计算方法•应用不规则图形计算面积的例题2. 教学方法本课的教学方法主要采用课堂讲解、板书演示、小组讨论、示范演示、集体讨论、练习题讲解等多种形式的教学方法，以让学生更好地理解课程内容。
三、教学流程和授课重点1. 教学流程A. 准备阶段：5分钟•教师介绍本节课的教学目标和教学流程•向学生介绍本课的主要内容和意义B. 讲解阶段：25分钟1.引入：5分钟教师引入不规则图形的概念，并向学生介绍什么是不规则图形、其特点，为后续的讲解做铺垫。
2.讲解求解不规则图形面积的方法：10分钟教师讲解不规则图形面积的计算方法，从面积的概念入手，一步步地教授学生如何求解不规则图形的面积。
3.讲解应用不规则图形计算面积的例题：10分钟以实例的形式，让学生更好地理解和掌握所学知识，通过课堂练习，加深学生的学习印象。
C. 操练阶段：20分钟1.小组讨论：10分钟要求学生分组，自行讨论如何求解所给的不规则图形的面积，并以小组为单位向全班展示其所得到的结果。
2.课堂练习：10分钟由教师出示练习题目，并让学生上台展示出题思路和求解方式，让学生积极参与课堂，使得课程效果更佳。
D. 总结阶段：5分钟1.归纳概括本节课的主要内容和重点。
2.教师对学生表现进行评价和总结，并向学生宣布下节课的内容和任务。
2. 授课重点•不规则图形的概念和特点•不规则图形的面积计算方法•应用不规则图形计算面积的例题四、教学资源和评估方法1. 教学资源•教师准备好《不规则图形的面积》课文讲解PPT；•学生准备好课堂练习练习题册；2. 评估方法•课堂练习：–能够快速准确地回答出题目；–能够独立解决所遇到的困难；•小组讨论：–能够充分表达个人观点，认真听取小组其他成员的意见；–能够在讨论中吸取他人长处，自我改进；–能够独立完成分组任务，并向全班汇报所得到的结果。
不规则图形面积教案
不规则图形面积教案一、教学目标：1. 让学生掌握不规则图形的面积计算方法。
2. 培养学生观察、分析、解决问题的能力。
3. 培养学生的团队合作意识和沟通能力。
二、教学内容：1. 不规则图形的定义及特点。
2. 不规则图形面积的计算方法。
3. 实际问题中的应用。
三、教学过程：1. 导入：通过展示不规则图形，引发学生对不规则图形面积计算的兴趣。
2. 新课讲解：讲解不规则图形的定义、特点和面积计算方法。
3. 案例分析：分析具体的不规则图形，引导学生运用所学方法计算面积。
4. 实践操作：学生分组，合作完成不规则图形面积的计算。
5. 总结提升：师生共同总结不规则图形面积计算的方法和技巧。
四、教学评价：1. 课堂问答：检查学生对不规则图形面积计算方法的掌握程度。
2. 实践作业：布置相关课后练习，巩固所学知识。
3. 小组讨论：评价学生在团队合作中的表现和沟通能力。
五、教学资源：1. 不规则图形的图片和资料。
2. 计算工具（如直尺、三角板等）。
3. 课后练习题。
4. 小组讨论记录表。
六、教学策略：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究不规则图形的面积计算方法。
2. 利用直观教具，帮助学生形象地理解不规则图形的特点和面积计算过程。
3. 组织小组讨论和实践活动，提高学生的合作能力和实践能力。
4. 注重个体差异，给予学生个性化的指导和帮助，使他们在原有基础上得到提高。
七、教学步骤：1. 第一步：让学生观察不同形状的不规则图形，引导学生发现不规则图形的特征。
2. 第二步：讲解不规则图形的面积计算方法，如分割、逼近等方法。
3. 第三步：让学生进行实际操作，用所学方法计算给定的不规则图形的面积。
4. 第四步：组织学生进行小组讨论，分享计算方法和经验，互相学习和提高。
5. 第五步：教师进行总结和点评，指出学生的优点和需要改进的地方。
八、教学拓展：1. 让学生尝试解决更复杂的不规则图形面积计算问题，提高他们的解题能力。
2. 引导学生将不规则图形的面积计算方法应用到实际生活中，如计算物体表面的面积等。
不规则图形面积的求法
不规求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。
一、等积替换（1）三角形等积替换依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
例1、如图1所示，半圆O 中,直径AB 长为4,C 、D 为半圆O 的三等分点.,求阴影部分的面积.解：连结OC 、OD ， 由C 、D 为半圆O 的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°， ∴CD ∥AB ，所以ODC ADC S S ∆∆=（同底等高的三角形面积相等） ∴＝＝扇形阴影OCD S S ππ323602602=⨯⨯例2、如图2所示，在矩形ABCD 中,AB=1,以AD 为直径的 半圆与BC 切于M 点,求阴影部分面积.解：由AB ＝1，半圆与BC 相切，得AD ＝2 取AD 的中点O ，则OD ＝BM ＝1。
连结OM 交 BD 于E; 则△OED ≌△MEB∴MEB OED S S ∆∆= （全等三角形面积相等） ∴＝＝扇形阴影OMD S S 43601902ππ=⨯⨯(２）弓形等积替换依据：等弧所对的弓形面积相等。
例3、 在RT △ABC 中,∠B=90°,AB=BC=4,AB 为直径的⊙O 交AC 于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.解：连结BD ，由AB 为⊙O 的直径得∠ADB ＝90°， RT △ABC 中∠B ＝90°AB ＝BC ＝4，得∠A ＝45°且AC＝，AD ＝BD ＝CD＝∴A D BnD S S 弓形m 弓形＝∴C D B 11S C D B D 422S ∆⨯⨯⨯阴影＝＝＝例4、点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是圆周上四点，且 AB ＋ CD ＝ A C ＋ BD ， 弦ＡＢ＝８，ＣＤ＝４，求两个阴影部分的面积之和。
解：作⊙ O 的直径BE 连结AE ，则∠BAE ＝90°，A B A E =＋半圆；A图2图4又∵ AB ＋ CD ＝ A C ＋ BD ＝ 1A B C D A C B D 2（＋＋＋）＝半圆， ∴ AE ＝ C D ，所以A E C DS m n S 弓形弓形＝，AE=CD=4。
不规则图形面积的计算
不规则图形面积的计算（一）我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
解：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
又因为S甲+S乙=12×12+10×10=244，所以阴影部分面积=244-（50+132+12）=50（平方厘米）。
例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.解：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，所以四边形AECF的面积与△ABE、△ADF的面积都等于正方形ABCD在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，∴△ECF的面积为2×2÷2=2。
所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。
如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
解：在等腰直角三角形ABC中∵AB=10∵EF=BF=AB-AF=10-6=4，∴阴影部分面积=S△ABG-S△BEF=25-8=17（平方厘米）。
例4 如右图，A为△CDE的DE边上中点，BC=CD，若△ABC（阴影部分）面积为5平方厘米.求△ABD及△ACE的面积.解：取BD中点F，连结AF.因为△ADF、△ABF和△ABC等底、等高，所以它们的面积相等，都等于5平方厘米.所以△ACD的面积等于15平方厘米，△ABD的面积等于10平方厘米。
不规则图形面积的计算ppt课件
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
小结
方法：一分图形 二找条件 三算面积
关键：学会运用“分割”与“添补” 的方
法计算组合图形面积．
为深入学习习近平新时代中国特色社 会主义 思想和 党的十 九大精 神,贯彻 全国教 育大会 精神,充 分发挥 中小学 图书室 育人功 能
方法四：补的方法
4m
12m
10m
15m
❖ 草坪的面积=长方形的面积－梯形的面积 ❖ 长方形的面积：15×10=150㎡ ❖ 梯形的面积：15－12=3m,(4+10) ×3÷2=21㎡ ❖ 草坪的面积：150－21=129㎡ ❖ 答：这块草坪的面积是129㎡.
“割”、“补”的方法是我们今后计算 为深入学习习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神,贯彻全国教育大会精神,充分发挥中小学图书室育人功能 复杂图形时常用的方法，方法越简单越 好。
❖ 长方形的面积：12×4=48㎡
❖ 梯形的面积：10－4=6m (12+15) ×6=81㎡
❖ 草坪的面积：48+81=129㎡
❖ 答：这块草坪的面积是129㎡
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方法三：分割法
4m
12m
10m
15m
❖ 草坪的面积=梯形面积+三角形面积 ❖ 梯形的面积：（4+10）×12÷2=84㎡ ❖ 三角形的面积：10－4=6m,15×6÷2=45㎡ ❖ 草坪的面积：84+45=129㎡ ❖ 答：这块草坪的面积是129㎡
不规则图形面积的计算(方法总结及详解)
不规则图形计算的方法总结总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
不规则图形面积公式
不规则图形面积公式
不规则图形面积公式是指用于计算任意多边形的面积的数学公式。
它可以用来计算任何形状的多边形的面积，即使不是规则的多边形也是如此。
这个公式的基本原理是：将不规则的多边形分割成一系列的三角形，然后根据三角形的面积公式求出每个三角形的面积，再将每个三角形的面积相加得到多边形的面积。
不规则图形面积公式：S = 1/2 ∑i=1n(xi*yi+1−xi+1*yi) 其中，x、y分别表示多边形的每个顶点的横纵坐标，n表示多边形的顶点数量，S表示多边形的面积。
面积计算学习如何计算不规则形的面积
面积计算学习如何计算不规则形的面积对于不规则形的面积计算，我们可以通过多种方法进行求解，例如将不规则形分割成几何图形再计算各个图形的面积，或者利用数学公式进行计算。
下面将介绍两种常用的计算不规则形面积的方法：多边形拆分法和积分法。
一、多边形拆分法这种方法适用于边界为折线的不规则形。
我们可以将不规则形分割成多个规则的图形，如三角形、矩形或梯形，然后计算各个图形的面积之和即可得到整个不规则形的面积。
举个例子，假设我们需要计算以下图形的面积：（插入图片）首先，我们可以将该图形分割成两个三角形和一个矩形。
计算每个图形的面积并求和：三角形1的面积：S1 = 0.5 ×底边1 ×高1三角形2的面积：S2 = 0.5 ×底边2 ×高2矩形的面积：S3 = 长 ×宽最后，将三个图形的面积相加即可得到整个图形的面积：总面积 = S1 + S2 + S3二、积分法积分法适用于边界为曲线的不规则形，它通过数学上的积分运算来求解面积。
以一个弯曲的河岸线为例，我们可以使用积分法计算其封闭区域的面积。
首先，我们需要找到曲线方程 y=f(x)。
然后，确定积分的上下界，即曲线的起点和终点。
根据曲线的形状，我们可以设置适当的积分上下界。
接下来，使用面积元素的微元法。
将曲线上的微小线段 dx 划分为无穷多个小段，计算每个面积元素的面积 dS，然后对这些微小的面积元素进行累加，即可得到整个曲线封闭区域的面积。
面积元素的面积 dS 可以通过微积分中的曲线积分公式进行计算：dS = y dx最后，进行积分运算，在给定的积分上下界内对面积元素的微小面积 dS 进行累加，得到整个不规则形的面积。
需要注意的是，在使用积分法时，曲线方程的选择和确定积分上下界的方法取决于具体的不规则形状。
总结：不规则形的面积计算可以通过多边形拆分法和积分法进行求解。
多边形拆分法适用于边界为折线的不规则形，将不规则形分割成规则的图形进行面积计算；积分法适用于边界为曲线的不规则形，通过积分运算对面积元素进行累加得到整个不规则形的面积。
不规则图形面积教案
一、教案基本信息教案名称：不规则图形面积教案学科领域：数学年级：五年级教学时间：2课时教学目标：1. 让学生理解不规则图形的面积概念，掌握计算不规则图形面积的方法。
2. 培养学生的观察能力、动手操作能力和解决问题的能力。
3. 培养学生合作学习、积极思考的良好学习习惯。
二、教学重点与难点重点：1. 不规则图形面积的概念。
2. 计算不规则图形面积的方法。
难点：1. 理解不规则图形面积的计算原理。
2. 灵活运用多种方法计算不规则图形面积。
三、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究不规则图形面积的计算方法。
2. 利用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解不规则图形的面积概念。
3. 组织学生进行小组讨论和动手操作，培养学生的合作意识和解决问题的能力。
四、教学准备1. 准备一些不规则图形卡片或实物模型。
2. 准备多媒体教学设备。
3. 准备练习题和答案。
五、教学过程第一课时：一、导入（5分钟）1. 引导学生回顾规则图形的面积概念，如正方形、长方形等。
2. 提问：我们学过哪些方法来计算规则图形的面积？二、新课导入（15分钟）1. 展示不规则图形卡片或实物模型，引导学生观察。
2. 提问：这些图形的面积该如何计算呢？3. 讲解不规则图形面积的概念和计算方法。
4. 举例讲解如何将不规则图形分割成规则图形，并计算面积。
三、动手操作（15分钟）1. 让学生分组进行动手操作，尝试将不规则图形分割成规则图形。
2. 指导学生使用多媒体教学设备，进行互动操作和演示。
四、练习巩固（10分钟）1. 出示练习题，让学生独立完成。
2. 集体讲评，纠正错误。
第二课时：一、复习导入（5分钟）1. 回顾上节课所学内容，提问：不规则图形的面积是如何计算的？2. 提问：你们在日常生活中有没有遇到过需要计算不规则图形面积的情况？二、拓展学习（15分钟）1. 讲解不规则图形面积的计算方法。
2. 引导学生思考：还有哪些方法可以用来计算不规则图形的面积？3. 让学生进行小组讨论，分享各自的方法。
六年级上册奥数第二讲不规则图形面积的计算
第二讲不规则图形面积的计算
例1如图所示，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径，向内作三个半圆，求阴影部分的面积。
例2.如图所示,正方形ABCD的边长为4厘米,分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆,求阴影部分面积。
例题3、如图所示,矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=4厘米,扇形ABE半径AE=6厘米,扇形CBF的半径CB=4厘米,求阴影部分的面积。
例4.如图所示,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20厘米,如果阴影(I)的面积比阴影(II)的面积大7平方厘米,求BC长。
同步训练
1.如图所示,大扇形半径是6厘米,小扇形半径是3厘米,求阴影部分的面积。
2.如图所示,三个同心圆的半径分别是2、6、10,求图中阴影部分占大圆面积的百分之几?
3.如下图,正方形ABCD边长为1厘米,依次以A、B、C、D为圆心,以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形,求阴影部分的面积。
4.如下图,大圆的直径为4厘米,求阴影部分的面积。
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第2讲不规则图形面积的计算（二）解题思路：先考虑图中每条线的来源，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常结合“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：S AUB＝S A＋S B-S A∩B）例1 如图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
例2 如图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
例3 如图，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半径AE＝6厘米，扇形CBF的半径CB=4厘米，求阴影部分的面积。
例4 如图，直角三角形ABC中，AB是圆的直径，且AB＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC的长。
例5 如图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
例6 如图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.例7 如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.例8 如图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。
习题一．填空题（根据图中所给的数据求阴影部分面积）二、解答题：1.如图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。
2.如图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面积。
3.如图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求图中阴影部分占大圆面积的百分之几？4.如图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG为半径画出扇形，求阴影部分的面积.5.如下图（a），求阴影部分的面积。
6.如下图（b），把OA分成6个等份，以O为圆心画出六个扇形，已知最小的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。
7.如下图（a），△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，BE、BD分别为以C、A为圆心，BC、AB为半径所作的弧.求阴影部分面积.8.如下图（b），已知半径OA=OB=OC=9=厘米，∠1=∠2=15°，求阴影部分的面积.第二讲不规则图形面积的计算（二）不规则图形的另外一种情况，就是由圆、扇形、弓形与三角形、正方形、长方形等规则图形组合而成的，这是一类更为复杂的不规则图形，为了计算它的面积，常常要变动图形的位置或对图形进行适当的分割、拼补、旋转等手段使之转化为规则图形的和、差关系，同时还常要和“容斥原理”（即：集合A与集合B之间有：SAUB ＝SA＋SB-SA∩B）合并使用才能解决。
例1 如右图，在一个正方形内，以正方形的三条边为直径向内作三个半圆.求阴影部分的面积。
解法1：把上图靠下边的半圆换成（面积与它相等）右边的半圆，得到右图.这时，右图中阴影部分与不含阴影部分的大小形状完全一样，因此它们的面积相等.所以上图中阴影部分的面积等于正方形面积的一半。
解法2：将上半个“弧边三角形”从中间切开，分别补贴在下半圆的上侧边上，如右图所示.阴影部分的面积是正方形面积的一半。
解法3：将下面的半圆从中间切开，分别贴补在上面弧边三角形的两侧，如右图所示.阴影部分的面积是正方形的一半.例2 如右图，正方形ABCD的边长为4厘米，分别以B、D为圆心以4厘米为半径在正方形内画圆，求阴影部分面积。
解：由容斥原理S 阴影＝S 扇形ACB ＋S 扇形ACD -S 正方形ABCD例3 如右图，矩形ABCD 中，AB ＝6厘米，BC ＝4厘米，扇形ABE 半径AE ＝6厘米，扇形CBF 的半CB=4厘米，求阴影部分的面积。
解：S 阴影＝S 扇形ABE +S 扇形CBF -S 矩形ABCD＝13π-24=15（平方厘米）（取π=3）。
例4 如右图，直角三角形ABC 中，AB 是圆的直径，且AB ＝20厘米，如果阴影（Ⅰ）的面积比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，求BC 长。
分析 已知阴影（Ⅰ）比阴影（Ⅱ）的面积大7平方厘米，就是半圆面积比三角形ABC 面积大7平方厘米；又知半圆直径AB ＝20厘米，可以求出圆面积.半圆面积减去7平方厘米，就可求出三角形ABC 的面积，进而求出三角形的底BC 的长.＝（157-7）×2÷20=15（厘米）。
例5 如右图，两个正方形边长分别是10厘米和6厘米，求阴影部分的面积。
分析阴影部分的面积，等于底为16、高为6的直角三角形面积与图的以6为半径的圆的面积。
解：S阴影=S三角形ACD-（S正方形BCDE-S扇形EBD）=48-9（取π＝3）=39（平方厘米）。
例6 如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60°，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取π=3）.解：整个阴影部分被线段CD分为Ⅰ和Ⅱ两部分，以AB为直径的半圆被弦AD分成两部分，设其中AD右侧的部分面积为S，由于弓形AD是两个半圆的公共部分，去掉AD弓形后，两个半圆的剩余部分面积相等.即Ⅱ=S，由于：Ⅰ+S=60°圆心角扇形ABC面积例7 如右图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积.例8 如下页右上图，ABC是等腰直角三角形，D是半圆周上的中点，BC是半圆的直径，且AB=BC=10，求阴影部分面积（π取3.14）。
解：∵三角形ABC是等腰直角三角形，以AC为对角线再作一个全等的等腰直角三角形ACE，则ABCE为正方形（利用对称性质）。
∴S阴影＝（S正方形ABCE+S半圆-S△ADE÷2＝（100+39.25-75）÷2 ＝64.25÷2＝32.125.总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.常用的基本方法有：一、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了.二、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.三、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分四、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了.五、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，求两个正方形中阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.六、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.七、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
八、旋转法：这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.例如，欲求上图（1）中阴影部分的面积，可将左半图形绕B点逆时针方向旋转180°，使A 与C重合，从而构成如右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.九、对称添补法：这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.例如，欲求右图中阴影部分的面积，沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
十、重叠法：这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分，然后运用“容斥原理”（SA∪B＝SA＋SB-SA∩B）解决。
例如，欲求右图中阴影部分的面积，可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.习题二一、填空题（根据图中所给的数据求阴影部分面积）二、解答题：1.如右图，大圆的直径为4厘米，求阴影部分的面积。
2.如右图，大扇形半径是6厘米，小扇形半径是3厘米.求阴影部分的面积。
3.如左图，三个同心圆的半径分别是2、6、10，求B中阴影部分占大圆面积的百分之几？4.如右图，正方形ABCD边长为1厘米，依次以A、B、C、D为圆心，以AD、BE、CF、DG 为半径画出扇形，求阴影部分的面积.5.如下图（a），求阴影部分的面积。
6.如下图（b），把OA分成6个等分，以O为圆心画出六个扇形，已知最小的扇形面积是10平方厘米，求阴影部分的面积。
7.如下图（a），△ABC是等腰直角三角形，直角边AB=2厘米，BE、BD分别为以C、A 为圆心，BC、AB为半径所作的弧.求阴影部分面积.8.如下图（b），已知半径OA=OB=OC=9=厘米，∠1=∠2=15°，求阴影部分的面积.习题二解答一、填空题：1.阴影部分等于正方形面积的一半，即4.5（平方单位）。
2.阴影部分等于三角形面积的一半，即25（平方单位）。
3.阴影部分等于一个小正方形的面积，即1（平方单位）。
5.阴影部分等于长是b、宽是a的矩形面积，即ab（平方单位）。
（平方单位）。
8.阴影部分面积等于正方形面积减去圆面积，即100-25π（平方单位）。
9.阴影部分面积等于大半圆面积减去中和小两个半圆面积，即18π-10.阴影部分面积等于大半圆面积减去小半圆面积再减去一个直角三角11.阴影部分面积等于两个半圆面积之和减去等腰直角三角形面积，即π10×10=50π-100（平方单位）。
14.阴影部分面积等于2个圆面积加上一个正方形面积，即2×π×42+82=32π+64（平方单位）。
17.阴影部分面积等于小半圆面积加中半圆面积减大半圆面积再加直角（平方单位）。
19.将左边阴影部分割补到右边，所以阴影部分就是这个平行四边形面积，即2（平方单位）.20.扇形面积减去半个圆面积再减去三角形面积等于圆外阴影部分面积，方单位），即为所求阴影部分的面积.或者用圆内两个弓形从下半圆割下，补22.4（平方单位）.阴影面积是以2为边长的正方形面积。