初三数学 二次函数的大题

二次函数与四边形

一．二次函数与四边形的形状

例 1.（浙江义乌市）如图，抛物线y = x2-2x-3与 x 轴交A、B两点（A点在 B 点左侧），直线l 与抛物线交于 A、C两点，其中 C 点的横坐标为 2．

（1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达式；

（2）P 是线段AC上的一个动点，过P点作y 轴的平行线交抛物线于 E 点，求线段PE 长度的最大值；A

（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．

例 1.解：（1）令y=0，解得x =-1或x = 3 ∴A（-1，0）B（3，0）；

将 C 点的横坐标x=2 代入y = x2- 2x - 3得y=-3，∴ C（2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1

（2）设P 点的横坐标为x（-1≤x≤2）则P、E 的坐标分别为：P（x，-x-1），

E（（x, x -2x -3）∵P 点在E 点的上方，PE= （-x -1）- （x - 2x - 3）= - x + x + 2

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∴当x= 1时，PE的最大值= 9

3)存在4 个这样的点 F，分别是F1(1,0),F2(-3,0),F3(4+ 7，0),F4(4- 7,0)

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练习1.（河南省实验区） 23．如图，对称轴为直线x = 7的抛物线经过点

A（6，0）和B（0，4）．

（1）求抛物线解析式及顶点坐标；

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF 是以OA为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

①当平行四边形OEAF 的面积为24 时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？

②是否存在点E，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E x=

A(6,0) x

2）∵点E（x, y）在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合

∴y<0，即－y>0,－y 表示点 E 到 OA 的距离．∵OA 是Y OEAF的对角线，

∴S = 2S V OAE =2OA y =-6y =-4（- ）+25．因为抛物线与x轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x的取值范围是 1

① 根据题意，当S = 24时，即-4（x - 7）2+25=24．

71 化简，得（x-7）2=1. 解之，得x1= 3,x2= 4.

故所求的点 E 有两个，分别为E1（3，－4），E2（4，－4）．点E1（3，－4）满足 OE = AE，所以Y OEAF是菱形；点E2（4，－4）不满足 OE = AE，所以Y OEAF不是菱形．

②当OA⊥EF，且OA = EF 时，Y OEAF是正方形，此时点E 的

坐标只能是（3，－3）．

而坐标为（ 3 ，－3 ）的点不在抛物线上，故不存在这样的点 E ，使Y OEAF为正方形

x 练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点 A （1，0）和B （5，0）的抛物线l 1的顶点为

抛物线l 2的函数关系式为y = （x -3）2 - 4（或y = x 2 -6x + 5 ）．

（2）Q P 与P 始终关于x 轴对称， PP 与 y 轴平行．

设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为m 2-6m +5，Q OD =4，2m 2-6m +5 =4，即 m 2-6m +5=

2 ．当m 2-6m +5=2 时，解得 m =36．当m 2-6m +5=-2 时，解得 m =

3 2 ．当点P 运动到（3 - 6，2）

或（3 + 6，2）或（3-2，-2）或（3+2，-2）时， P P ∥OD ，以点D ，O ，P ，P 为顶点的四边形是平行四边形．

3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在l 2上，则

AMB =90o ，Q

BAM = 30o （或 ABM = 30o ），

BM = 1AB = 1

4=2． 22 过点M 作ME ⊥ AB 于点E ，可得BME = BAM =30o ．

EB = BM = 2= 1， EM = 3 ， OE = 4 ． 22

C （3，4），抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，顶点为C ．

点M的坐标为（4，- 3）．

但是，当x=4时，y=42-64+5=16-24+5=-3- 3．

不存在这样的点M构成满足条件的直角三角形．

练习 3.（山西卷）如图，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是

A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，

D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为

S．若点A，点D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、

向左运动；与此同时，点M，点N同时以每秒 2 个单位的速度沿坚

直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形

MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值

范围；

（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此

最大值；

（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？若能，求出此

时t的值；若不能，请说明理由．

练习3. ［解］（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．设抛物线C2的解析式是

16a + 4b + c = 0，a =-1，

y = ax2+ bx + c (a0) ，

则 4 a + 2b + c = 0，解得b = 6，

c =-8．c =-8．

所以所求抛物线的解析式是y=-x2+6x-8．