埃特金逐步线性插值
第三章(二) 埃尔米特-样条插值法
2
x x1 x x 0 h1 ( x ) 1 2 x x . x1 x 0 1 0
2
设
x x1 g 0 (x) a(x x0 ) , x 0 x1
2
∵g0(x0)=g0(x1)=0, g'0(x1)=0
例1 给定 f (− 1)=0, f (1)=4, f '(− 1)=2, f '(1)=0, 求H3(x), 并计算 f (0.5).
解
x0 = − 1, x1 = 1,
H 3 ( x ) h 0 ( x ) 0 h1 ( x ) 4 g 0 ( x ) 2 g 1 ( x ) 0
y0 y1 m0 m1
其解存在唯一, 解 出 a0, a1, a 2, a3, 代 入即得 H3(x).
1 1 0 0
x0 x1 1 1
x0 x1
2 2
x0 x1
3 3 2 2
2 x0 2 x1
3x0 3 x1
( x 0 x1 ) 0 .
4
基函数法
类似于拉格朗日插值多项式的构造手法，我们可以通 过插值基函数作出 。
对给定区间[a,b]作划分
a x 0 x1 x n b
给定 n +1个插值点：(xi , f (xi)), i = 0,1,2,„,n, 在每个小 区间[xi, xi+1]上作线性插值，节点 xi, xi+1上的基函数分别为：
li ( x ) x x i 1 x i x i 1 , 1 ( x ) li x xi x i 1 x i ,
在某些问题中，为了保证插值函数能更好地逼近原函数 ，不仅要求两者在节点上有相同的函数值，而且要求在节点 上有相同的导数值。这类插值称为Hermite插值。 ★ Hermite插值描述：
数值计算方法思考题和习题
(4) 北京理工大学函大2004-2005学年第1学期计算机科学与技术专业专升本数值计算方法思考题和习题教科书：《科学与工程计算》廖晓钟赖汝编国防工业出版社 2003年版第1 章思考题p26 1,2,3,4,5第1 章习题pp26-27 1,3,4,5,6,11第2 章思考题p66 1,3,6,7,8,9,12.13第2 章习题pp67-68 2,3,4,5,7,11,12,13,14,17,18第3 章思考题p119 1,3,4，5，6,10,18,19第3 章习题pp119-121 1，2,3,4,5,12,13第4 章思考题p144 1,2,3,4,5,7,8第4 章习题pp144-146 1,2,3,4,5,6,7,10,11,12,13第5 章思考题p207 1,2,3,4,5,6,7,9,10,11,12.13第5 章习题pp208-209 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,15第6 章思考题p257 1,2,3,4,5,6,7,8,10,11,12.14第6 章习题pp257-259 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,13,15,16,17,18第7 章思考题p292 1,2,3,4,5,6,8,9第7 章习题pp293-295 1,2,3,4,5,6,7,8,11,12,20作业题第1 章习题pp26-27 1(1),(2),3(3),5,6第2 章习题pp67-68 2,4,5,11,13,17第3 章习题pp119-121 1(1),2(1),5(2),12第4 章习题pp144-146 1(1),2,10,11,12,13第5 章习题pp208-209 1,3,4,7,10,13,,15第6 章习题pp257-259 1(2),3,6（1）,12,16第7 章习题pp293-295 1,3,6,11,20数值计算方法复习题第1 章绪论1.说明数值算法的意义，计算机解题步骤和数值算法的特点。
7、解非线性方程的迭代法
(1.1)
2. 超越方程, 如 : x e x 0.
如果f ( x)可以分解为 f ( x) ( x x*)m g ( x), 其中0 | g ( x*) | , m为正整数. 则称x * 为f ( x)的m重零点.
此时 f ( x*) f ( x*) f ( m 1) ( x*) 0, f ( m) ( x*) 0.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 xk 1.5 1.35721 1.33086 1.32588 1.32494 1.32476 1.32473 1.32472
3 (2) xk 1 xk 1, x0 1.5, x1 2.375, x2 12.39, .
二、不动点的存在性与迭代法的收敛性
二、斯蒂芬森迭代法
把不动点迭代与埃特金加速技巧结合，得到斯蒂芬森 ( Steffensen)迭代法 yk ( xk ), zk ( yk ),
( yk xk ) 2 xk 1 xk zk 2 yk xk
改写为另一种不动.4)
k 0 1 2 3 ׃ xk x0 x1 x2 x3 ׃ 迭代法(1) 2 3 9 87 ׃ 迭代法(2) 2 1.5 2 1.5 ׃ 迭代法(3) 2 1.75 1.73475 1.732631 ׃ 迭代法(4) 2 1.75 1.732143 1.732051 ׃
定义2 设迭代过程xk 1 ( xk )收敛于x*,误差ek xk x*, 若 lim
例6 求方程3x 2 e x 0在[3,4]中的解.
解： 取对数得x 2 ln x ln 3 g ( x)， 构造迭代法 xk 1 2 ln xk ln3 2 2 ( x) , max ( x) 1, 当x [3,4], ( x) [3,4], x 3 x 4 3 由定理2迭代收敛. x0 3.5, x16 3.73307 .
第二章插值与拟合
1 不为零。
xn
n xn xn
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
三、线性插值
假定已知区间[xk, xk+1] 的端点处的函数值 yk=f(xk), yk+1=f(xk+1),要求线性插值多项式 L1(x),使它满足 L1(xk)=yk
L1(xk+1)=yk+1
则L1(x)的表达式可按下式给出：
实 用 测 量 数 据 处 理 方 法
中 南 大 学
l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k , k 1) l k ( x k ) 1, l k ( x j ) 0( j k 1, k 1) (28) l k 1 ( x k 1 ) 1, l k 1 ( x j ) 0( j k 1, k ) 满足（28 ）式的插值基函数很容 易求出的，例如求 l k 1 ( x)，因为它有两个零点 k 和x k 1，故可表达为： x l k 1 ( x) A( x x k )(x x k 1 ) 其中A为待定系数可由 k 1 ( x k 1 ) 1定出： l 1 A ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k )(x x k 1 ) 于是l k 1 ( x)＝ ，同理可得 ( x k 1 x k )(x k 1 x k 1 ) ( x x k－1 )(x x k 1 ) ( x x k 1 )(x x k ) l k ( x)＝ ，l k 1 ( x)＝ ( x k x k－1 )(x k x k 1 ) ( x k＋1 x k 1 )(x k 1 x k )
解：2、抛物插值
计算方法与数值计算(2-1插值与逼近)
800 1:42.58 罗达尔
1000
1500 3:32.07 恩格尼
是否能建立竞赛距离与纪录时间之间的 函数关系，并测算男子1000米纪录。
4
200
150
100
400
600
800
1000
1200
1400
散点图
5
引例2 设f ( x) ln x，并假定已给出下列三 点 处的函数值，试近似计 算 ln11.75的值。
30
f ( n1) ( ) n Rn ( x) (x x j ) (n 1)! j 0
不能确定，实际计算时，
在[a, b]上，若有 f ( n1) ( x) M，则
n f ( n1) ( ) n M Rn ( x) ( x x j ) (n 1)! ( x x j ) (n 1)! j 0 j 0
已知函数f(x)在n+1个互异节点ax0<x1 <……< xn b
处的函数值yi = f(xi) (i=0,1,2,……，n)，
则存在唯一一个次数不超过n次的多项式： Pn(x)=a0+a1x+……+anxn 满足条件Pn (xi) = yi = f(xi) 。
11
证明：设所要构造的插值多项式为：
y1 y=P1(x)
y0
x0
线性插值
18
x1
x
L1(x)= l0(x)y0 + l1(x)y1
其中
x x1 l0 ( x ) x0 x1
x x0 , l1 ( x) x1 x0
l0(x)：点x0的一次插值基函数， l1(x)：点x1的一次插值基函数。
第1章插值方法
3.一般情况 一般情况 一般情况 我们看到， 我们看到 ， 两个插值点可求出一次插值多项 式p1(x)，而三个插值点可求出二次插值多项式 2(x)。 ，而三个插值点可求出二次插值多项式p 。 当插值点增加到n+1个时 ， 我们可以利用 个时， 当插值点增加到 个时 我们可以利用Lagrange 插值方法写出n次插值多项 插值方法写出 次插值多项 式pn(x)，如下所示： ，如下所示：
［例６］ 给定
(x∈［-5,5］)。 ∈ ］。
取等距节点x 取等距节点 i=-5+i(i=0,1,…,10), 试建立插值多项式 L10(x), 并作图形 观察 10(x)对f(x)的逼近效果。 并作图形, 观察L 的逼近效果。 对 的逼近效果
图1-3 例6的图形 的图形
1.6 分段三次埃尔米特插值
Aitken插值算法为二重循环。外循 插值算法为二重循环。 插值算法为二重循环 环为k循环 ， 用于计算Aitken插值表中 环为 循环， 用于计算 循环 插值表中 的第k列 内循环为 循环 循环， 的第 列 ； 内循环 为 i循环 ， 用于计算 Aitken插值表中的第 列中的第 个元素。 插值表中的第k列中的第 个元素。 插值表中的第 列中的第i个元素
Newton插值算法中的 循环由 插值算法中的j循环由 三部分组成： 计算(x-xj)的累积 ， 存 的累积， 三部分组成 ： 计算 的累积 单元； 入t单元；内套一个 循环用来依次计 单元 内套一个i循环用来依次计 算差商表中的各阶差商，存入y 单元； 算差商表中的各阶差商，存入 i单元； y单元用于存放 单元用于存放Newton公式中各项累 单元用于存放 公式中各项累 加之和。 加之和。
1.2 牛顿插值公式
差商表
数值计算_第5章 插 值
第5章插值5.1引言在实际问题中，有时只能给出函数在平面上的一些离散点的值，而不能给出的具体解析表达式，或者的表达式过于复杂而难于运算。
这时我们需要用近似函数来逼近函数，在数学上常用的函数逼近的方法有：∙插值。
∙一致逼近。
∙均方逼近或称最小乘法。
什么是插值？简单地说，用给定的未知函数的若干函数值的点构造的近似函数要求与在给定点的函数值相等，则称函数为插值函数。
例如：在服装店订做风衣时，选择好风衣的样式后，服装师量出并记下你的胸围、衣长和袖长等几个尺寸，这几个尺寸就是风衣函数的插值点数值，在衣料上画出的裁剪线就是服装师构造的插值函数，裁剪水平的差别就在于量准插值点和构造合乎身材的插值函数。
定义5.1为定义在区间上的函数，，为上个互不相同的点，为给定的某一函数类。
若上有函数，满足则称为关于节点在上的插值函数；称点为插值节点；称，为插值型值点，简称型值点或插点；称为被插函数。
这样，对函数在区间上的各种计算，就用对插值函数的计算取而代之。
构造插值函数需要关心下列问题：∙插值函数是否存在？∙插值函数是否唯一？∙如何表示插值函数？如何估计被插函数与插值函数的误差？5.2拉格朗日（Lagrange）插值可对插值函数选择多种不同的函数类型，由于代数多项式具有简单和一些良好的特性，例如，多项式是无穷光滑的，容易计算它的导数和积分，故常选用代数多项式作为插值函数。
5.2.1 线性插值问题5.1 给定两个插值点其中，怎样做通过这两点的一次插值函数？过两点作一条直线，这条直线就是通过这两点的一次多项式插值函数，简称线性插值。
如图5.1所示。
图5.1 线性插值函数在初等数学中，可用两点式、点斜式或截距式构造通过两点的一条直线。
下面先用待定系数法构造插值直线。
设直线方程为，将分别代入直线方程得：当时，因，所以方程组有解，而且解是唯一的。
这也表明，平面上两个点，有且仅有一条直线通过。
用待定系数法构造插值多项式的方法简单直观，容易看到解的存在性和惟一性，但要解一个方程组才能得到插值函数的系数，因工作量较大和不便向高阶推广，故这种构造方法通常不宜采用。
计算方法例题
所求三次多项式为
P3 ( x) yk lk ( x)
k 0
3
5
x( x 4)( x 5) ( x 2)( x 4)( x 5) x( x 2)( x 5) ( x 2) x( x 4) (3) 84 40 24 35
5 3 1 2 55 x x x 1 42 14 21 5 1 55 24 P3 (1) 1 42 14 21 7
l0 ( x) l1 ( x)
x( x 4)( x 5) x( x 4)( x 5) (2 0)(2 4)(2 5) 84
( x 2)( x 4)( x 5) ( x 2)( x 4)( x 5) (0 (2))(0 4)(0 5) 40
n
Pn ( x) l0 ( x) y0 l1 ( x) y1 ln ( x) yn lk ( x) yk
k 0
(
k 0
n
n
x xj xk x j
j 0 j k
yk )
2.拉格朗日插值举例
已知函数y=f(x)的观察数据为
试构造拉格朗日插值多项式P3(x)，并计算P3(-1)。 解： 已知4对数据，求得的多项式不超过3次。先构造插值基函数
x x2
x x1
p (0.5) x
2
2
- 3x 8 0.5 - 3 0.5 8 1.125 6 6
2
四.贝齐尔曲线
1.公式
Bn ( P0 , P1 ,, Pn , t ) Pk Bk ,n (t )
k 0
n
(0 t 1)
其中 Bk ,n (t )
数值分析 第1章 插值方法讲解
f (n1) ( )
(n 1)!
n k 0
(x
xk ),
ξ [a,b]
第1章 插值方法
例题1: 令x0=0, x1=1. 写出y=f(x)=e-x的一次插值多项式 P1(x), 并估计误差.
解: x0=0, y0=1; x1=1, y1=e-1.
P1(x) y0l0 (x) y1l1(x)
0, j k lk (x j ) 1, j k
lk (x)
n j 0
x xj xk x j
jk
插值基函数
Pn (x)
n k 0
yklk (x)
n k 0
n
yk (
j0
x xj ) xk x j
jk
第1章 插值方法
§3 插值余项
1.拉格朗日余项定理
l0 (x)
(x ( x0
x1)(x x2 ) x1)(x0 x2 )( x1
x0 )(x x2 ) x0 )(x1 x2 )
;
l2 (x)
(x ( x2
x0 )(x x1) x0 )(x2 x1)
.
插值基函数
第1章 插值方法
3.一般情形 问题的解(插值公式):
第1章 插值方法
f (x) Pn (x)
f
'
' (
2
)
(
x
x0
)(x
x1
)
1 e- (x 0)(x 1), ξ [0,1] 2
max
0 x1
f (x) Pn (x)
1 max e- 2 0x1
第一章 插值方法
(100 121)(100 144)
(121 100) (121 144)
(115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121)
10.7228
例子插值精度分析
线性插值
(100,10), (121,11)得到
10.71428 误差-0.009525
(121,11),(144,12)
(x 121)(x 144) (100 121)(100 144)
10
(x 100)(x 144) (121 100) (121 144)
11
(x 100)(x 121) 12 (144 100)(144 121)
(115 121)(115 144) 10 (115 100)(115 144) 11
如何解决？
埃特金插值公式
埃 特 金 (Aitken) 插 值 公 式 的 构 造 是 基于这样的直观想象：平面上的两个点 可以连成一条直线, 对应一个线性函数； 把线性函数看作形式点, 经线性组合, 可构成二次函数；把二次函数再看作形 式点, 经线性组合, 可构成三次函数。
Aitken 插值表
x f(x)
点个不n次同插）值，多譬项如式选p取n(2x) (1x, )…。,由xn上,x述n+1定，理再，构我造们一有
f ( x) pn(1) ( x)
f (n1) (n
(1)
1)!
(
x
x0
)(
x
x1)(
x
xn
)
f ( x) pn(2) ( x)
f
( ( n 1) 2
(n 1)!
)
(
x
x1)(
x
近似值：p3(0.6)=-0.509975， 真 误 差 ： ln(0.6)-p3(0.6)=-0.000851 ，
数字化电能计量算法综述
数字化电能计量算法综述肖勇;赵伟;罗睿希;庄双勇;黄松岭;张翔【摘要】数字化电能计量算法不仅是数字化电能表内的相关算法,还包括合并单元内的相关算法;数字化电能计量的被测对象因要遵从IEC61850通信规约,致使其采样率已被固定、采样数据之间时间不同步、采样数据传输中可能丢帧等.针对这些数字化电能计量算法研究所必须面对的问题,对当前应用于数字化电能计量系统的拉格朗日、埃特金等同步插值算法,点积和、牛顿-柯特斯积分等全电能计量算法,以及准同步、加窗插值傅里叶等电参量分析算法等进行了梳理和对比;盘点了数字化电能计量算法的最新研发进展;并探讨了研发数字化电能计量系统专用算法的必要性、可行性和努力方向.【期刊名称】《电测与仪表》【年(卷),期】2018(055)007【总页数】7页(P1-7)【关键词】IEC 61850-9-2LE;同步插值;电能计量;合并单元;数字化电能表【作者】肖勇;赵伟;罗睿希;庄双勇;黄松岭;张翔【作者单位】清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京100084;清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京100084;国网四川省电力公司计量中心,成都610045;清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京100084;清华大学电机系电力系统国家重点实验室,北京100084;国网四川省电力公司计量中心,成都610045【正文语种】中文【中图分类】TM9330 引言传统变电站进行电能计量时，对电压、电流数据的采集、转换和分析处理，由电子式电能表一并完成，所用算法主要是数值积分算法。
而在智能变电站[1]中，数字化电能计量系统的拓扑结构和功能定义均发生了改变，所用算法也随之转变为同步插值算法、数值积分算法以及电参量分析算法的组合。
国内智能变电站的大力建设，使得数字化电能计量系统的应用日益广泛，但在其最为关键的算法方面，还较缺乏专门、深入的研究。
目前合并单元和数字化电能表中广泛使用的插值算法、电能计量算法、电参数分析算法等，主要是一些传统算法，其大多未考虑数字化电能计量特有的采样率固定、采样值时间同步、谐波电能计量等情况，也未分析合并单元和数字化电能表的实时性要求和计算能力，以致于截至目前，数字化电能计量系统具有的智能化、高准确度等优势难以在实际中真正发挥作用。
ch1.4 埃特金算法
算法的承袭性在计算方法中有很重要的作用，这样可 以节省计算量。这里介绍一种具有这种性质的算法： 埃特金算法 .
一、符号说明 对于给定的插值点 x ，如果除顺序排列的 k 个节点
x0 , x1,, xk 1
xi
外，再增加一个节点 xi (i k )
进行 k 次插值，则插值结果依赖于所给定的次数k 与节点 ，记为 f k ( xi ) 。
或（改变记号）
x x2 x x1 f 2 ( x2 ) f1 ( x1 ) f1 ( x2 ) x1 x2 x2 x1
线性插值 内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一般地有
f k ( xi ) x xi x xk 1 f k 1 ( xk 1 ) f k 1 ( xi ), i k xk 1 xi xi xk 1
约定： f 0 ( xi ) f ( xi )
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
例5
利用下表左部所给数据求正弦积分
f ( x)
在x=0.4t t
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
已知
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
二、例子分析
f1 ( xi ) 表示取 例如，
x0 , xi 进行线性插值，即
x xi x x0 f1 ( xi ) f ( x0 ) f ( xi ) i 1 x0 xi xi x0
特别地
x x0 x x1 f1 ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) x0 x1 x1 x0 x x0 x x2 f1 ( x2 ) f ( x0 ) f ( x2 ) x0 x2 x2 x0
第4章4-03,04埃特金,牛顿插值
4.4 牛顿插值
牛顿插值解决拉格朗日插值为提高精度增加插 值节点时，要重新计算全部基函数，整个插值多 项式的结构都会改变的问题。 差商及其性质,牛顿插值多项式。
4.4.1 差商（均差）及其性质 1 差商的定义 差商是函数增量与其自变量的增量的比(商)。 函数f关于点xi ,xj的一阶差商 二阶差商
f [ 0 , 2 , 4 ] ( f [ 2 , 4 ] f [ 0 , 2 ]) ( 4 0 ) 0
函数f的n阶差商
f [,, x , ][ f x , x ,, x ] k 1 xx k n 1 k n kk 1 k n 1 f [ x , x ,, xx , ] kk 1 k n 1 k n xx k n k
f [x1, x2, x3]
…….
f ( x ) P ( x ) R ( x ) ， 且 f ( x ) P ( x ) R ( x ) P ( xi ) (0 , 1 ,, n ) i i i i R ( x ) f [ x ,,,,] x x ( x x ) ( x x ) ( x x ) 0 1 x n 0 1 n
n次牛顿插值多项式
P ( x ) f ( x ) f [ x , x ] () x x f [ x , x , x ] () x x () x x 0 0 1 0 0, x ]( x x )( x x ) ( x x ) 0 1 n 0 1 n 1
上式即是拉格朗日二次插值多项式。
两个线性插值的结果再进行线性插值，得到抛物线性插值。
三个节点的情形写成表格的形式
x
k
函数值
f (x0 )
一阶插值
二阶插值
实验报告
实验实验题一实验题1 水手、猴子和椰子问题：五个水手带了一只猴子来到南太平洋的一个荒岛上，发现那里有一大堆椰子。
由于旅途的颠簸，大家都很疲倦，很快就入睡了。
第一个水手醒来后，把椰子平分成五堆，将多余的一只给了猴子，他私藏了一堆后便又去睡了。
第二、第三、第四、第五个水手也陆续起来，和第一个水手一样，把椰子分成五堆，恰好一只给猴子，私藏一堆，再去入睡。
天亮以后，大家把余下的椰子重新等分成五堆，每人分一堆，正好余一只再给猴子。
试问原来共有几只椰子？试分析椰子数目的变化规律，利用逆向递推的方法求解这一问题。
实验题2 设，。
（1）从I0尽可能精确的近似值出发，利用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（2）从I30较粗糙的估计值出发，用递推公式：计算从I1到I20的近似值：（3）分析所得结果的可靠性以及出现这种现象的原因。
实验题3 递推计算的稳定性计算积分其中a为参数，分别对a =0.05及a =15按下列两种方案计算，列出其可靠性进行分析比较，说明原因。
方案I 用递推公式递推初值可由积分直接得。
方案II 用递推公式根据估计式或取递推初值为或计算中取n =13开始。
实验课题4 三种求ln2的算法比较按下列三种方案构造逼近ln2的数列，用以求出ln2的近似值，要求精度。
观察和比较三种计算方案的收敛速度。
方案I 利用级数设则可取。
方案II 对方案I中的数据，按下列公式生成新数列。
称为数列的埃特金(Aitken)外推数列。
可以证明。
因此可取。
方案III 利用级数设则可取。
实验课题5 值的计算下面给出了三种求的近似值的计算方案，试比较它们的收敛速度和精度。
方案I 利用逼近单位圆半周长的方法。
单位圆半周长的值为，图1所示为一单位半圆，设为将半圆弧分成等份得以的角，其对应的弦线长度是。
则这样的弦线之和为(1-5)P n就是单位圆半周长的一个近似值由三角公式知（1-6）记，则由式（1-5）,（1-6）可建立如下迭代公式（1-7）（1-8）则P n就是的逼近值。
数值计算 各种插值法与最小二乘法
f1( n) ( ) f 2( n) ( )
证明： 设 g ( x) f1 ( x) f 2 ( x) ，则 g(x)存在 n+1 个零点，由罗尔定理可知 g ( x) 存在 n 个零 点，反复用罗尔定理，则 g
( n)
( x) 存在一个零点，即存在中值ξ 有
－3. 5－
数值计算基础讲义
例：用抛物插值求 115 ， （x* = 10.7238） 解：设 y
x ，函数表为
x y 100 10 121 11 144 12
115 P2 (115)
(115 121)(115 144) 10 (100 121)(100 144) (115 100)(115 144) 11 (121 100)(121 144) (115 100)(115 121) 12 (144 100)(144 121) 10.7228
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g ( n) ( ) f1( n) ( ) f 2( n) ( ) 0
即：
f1( n) ( ) f 2( n) ( )
定理：设区间[a, b]含有 n+1 个互异的节点 x0 , x1 , , xn ，而 f(x)在[a, b]内有直到 n+1 阶导 数，且 f ( xi ) yi (i 0,1, , n) 已给，则当 x∈[a, b]时，有如下估计：
记： l 0 ( x)
x x1 x0 x1
l1 ( x)
x x0 x1 x0
则：
l 0 ( x0 ) 1 l1 ( x0 ) 0
l 0 ( x1 ) 0 l1 ( x1 ) 1
即： P 1 ( x) l 0 ( x) y 0 l1 ( x) y1 例：已知有 y=f(x)的函数表 x y 求其近似表达式 解： 1 1 3 2
数值逼近
(x0, y0的),(直x1,线y1，)
因此可表为如下对称形式：
p1 x y0l0 x y1l1 x
其中
l1 x和
l0
x
x x1 x0 x1
, l1
x
x x0 x1 x0
l0 分x别 满足条件
l0 x0 1,l0 x1 0,l1 x1 1,l1 x0 0
n
f x0 , x1,L , xn
f xk
n
k0
xk x j
j0, jk
由此可知，改变式中的节点次序，差商值保持不变。这种性质称
为差商的对称性。
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2.值公式
再考虑拉格朗日插值问题：
问题 求作次数 多n 项式 pn ，x使满足条件， pn xi yi ,i 0,1,L n
本章先讨论代数插值，然后在此基础上进一步研究所谓的样条 插值。
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2.2
王能超 编著
问题的提出
“温故而知新”。本节将从插值方法的角度重新审视泰勒公式，
从而提出所谓的泰勒插值问题，继而在此基础提出拉格朗日插值问
题。
下述插值问题称作泰勒插值问题：
问题 求作次数 多n 项式 pn ，x使满足条件，
可见，插值问题的解 p1 可x以通过插值基函数 l0和 x
的组合得出，且组合系数分别是所给数据 y0 , y1。
l1 x
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2.5
王能超 编著
拋物插值
问题 求作二次式 p2 ，x使满足条件 p2 x0 y0 , p2 x1 y1, p2 x2 y 2
2插值法
18
Ex：已知特殊角300，450，600 的正弦值，分别用一 次插值，二次插值函数近似sin500 的值。
19
3 代数多项式插值的存在唯一性 §2. 2.3
线性插值和二次插值都属于代数多项式插值。 对于一般的代数插值问题,就是寻求一个不高于n次 的代数多项式 Pn(x)=a0+a1x+a2x2+ … +anxn 使其在 给定的n+1个互异的插值基点上满足插值原则 …,n Pn(xi)=yi, i=0,1, i=0,1,…
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23
我们称Rn(x)为插值多项式Pn(x)的余项。 显然有 …,n Rn(xi)=0, i=0,1,2, i=0,1,2,… 下面给出插值多项式Pn(x)余项的表达式。 定理：设函数 f(x) 在区间［ a,b ］上具有 n+1 阶导 数， Pn(x)为次数不高于n的多项式,且 Pn(x0)=y0 Pn(x1)=y1 … Pn(xn)=yn
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利用公式可以给出用多项式 Pn(x) 近似代替 f(x)的误差估计。这里还得说明几点: (1) 插值多项式本身只与插值基点及 f(x)在这些基 点上的函数值有关,而与函数f(x)本身并没有关系。 但余项Rn(x)却与f(x)联系很紧。
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(2)若f(x)为次数不超过 n 的多项式 , 那么以 n+1个点为 ≡f(x)。这 基点的插值多项式就一定是其本身, 即Pn(x) (x)≡ 是因为此时 Rn(x)=0。 (3) 从余项 Rn(x) 中的 ω (n+1)(x) 知 , 当点 x 位于 x0,x1, … ,xn ω n+1(x)|比较小 , 精度要高一些, 而位于两端 的中部时 ,| ,|ω 时,精度要差一些;若x位于x0,x1,…,xn的外部,一般称外 插(或外推),此时精度一般不理想,使用时须注意。