计算方法分段线性_三次样条插值

• 希望找到一种方便计算机计算简单的构造方法 -显式方法。
2.5.2 三次样条插值函数的求法
记：
S(xi )

f(x i )

yi;
Si (x)

Mi 1
(xi x)3 6hi
hi xi xi1

x 3

2 2
f(3)


1 5
(x
3)
1 10
(x
2)


1 10
x

2 5
在[3,4]上，
S(x)

x 3

4 4
f(3)

x 4
3 -3
f(4)


1 10
(x

4)

1 17
(x

3)


7 170
x

19 85
在[4,5]上，
S(x)

x 4

5 5
f(4)
x4 5-4
f(5)


1 17
(x

5)
1 (x 26

4)
9 x 31 442 221
将这些分段线性函数拼接在一起，得：
S(x)


x 2
1，x
[0,1]
S(x) 3 x 4 , x [1,2]
10
5
S(x)


1 10
x

2 5
,
x
[2,3]
S(x) 7 x 19 , x [3,4]
而不是在整 个区间[a, b] 上做线性插 值。
a
b
2.4.2 分段线性插值
设f(x)在n+1个节点 a x0 x1 … xn b 上的函数值为 f(x0), f(x1), … , f(xn ) 。
在每个小区间
[xk , xk1], k 0,1,..., n
上作线性插值，得
满足自然边界条件的三次样条插值函数称为自然 样条插值函数。
• 这样，由上给定的任一种边界条件加上插值条 件和连接条件，则得出4n个方程，可以唯一确 定4n个系数。
• 从而得到三次样条插值函数S(x)在各个子区间 xi , xi+1上的表达式S(xi）(i=1,2,…,)。
• 但是，这种做法当n较大时，计算工作量很大， 不便于实际应用。
f(x)
S(x)
|
M2 2
max
xk xxk 1
|
(x
-
xk )(x
-
xk1)
|
max | f(x) S(x) | M2 h2
a x b
8
其中：
M2
max | f(x) |, a x b
h mkax(xk1 - xk )
证明： 当x [xk , xk1]时，
计算方法 (Numerical Analysis)
第3次 分段线性插值与三次样条插值
内容
1. 高次插值的龙格现象 2. 分段线性插值与误差估计 3. 三次样条插值与误差估计
高次插值的龙格现象
2.4.1 高次插值的龙格现象
插值多项式余项公式
R(x)

f(n1)(ξ) (x (n 1)!
因此，次数太高的高次插值多项式往往并不实用， 因为节点数增加时，计算量增大了，但插值函数 的精度未必能够提高。称为龙格现象。
Home
分段线性插值与误差估计
为克服龙格现象，可以采用分段插值的方法：
• 将插值区间分成若干个小的区间，在每 个小区间进行线性插值，
• 然后相互连接，用连接相邻节点的折线 逼近被插函数
x x2 x3 x2
f(x3 )

2 3 60
x

33 2
2
将各小区间的线性插值函数连接在一起，得

2 1x 3
30
2
2
S(x)



3 2x2 23
30
2
3
2
3 60
x

33 2

2
30 x 45 45 x 60 60 x 90
称为边界条件。 常用边界条件的三种类型(略去了第3种)
类型1：给定两端点f(x)的一阶导数值：
S(x0 ) f (x0 ), S(xn ) f(xn )
类型2：给定两端点f(x)的二阶导数值：
S(x0 ) f(x0 ), S(xn ) f(xn ) 特别地, S(x0 ) S(xn ) 0 称为自然边界条件。
考察函数
f(x)

1 1 x2
,
5 x 5
右图给出了 P5 (x )
y P10(x)
和 P10(x ) 的图像,当n
f(x)
增大时,Pn(x ) 在两端
会发生激烈的振荡，
称为龙格现象。
P5(x)
-5
0
5x
该现象表明：在大范围内使用高次插值,逼近的 效果往往是不理想的。
另外，从舍入误差来看，高次插值误差的传播也 较为严重，一个节点上产生的舍入误差会在计算 中不断放大，并传播到其它节点上。

1 2
,
f(5)

148 17576
max | f(x) S(x) | 2 h2 1 h2 1
a x b
8
4
4
综上可得 max | f(x) S(x) |
2 h2

1
a x b
8
4
y
y=S(x)：分段线性函数
y

1 1 x2
1 23 45 x
现象：在[0, 1]上逼近效果最差，在其 它区间，逐渐变好。
|
f(x)

S(x)
||
f(ξ) 2！
(x
-
xk )(x
-
xk 1)
|
记
g(x)

(x - xk )(x - xk1), 解g(x)

0，得x*

Fra Baidu bibliotek
xk
xk1， 2
得知x*是g(x)的极值点，将x*代入g(x)：
g(x* )

(x *
- xk )(x*
- xk1)

1 2
(x k 1
Home
三次样条插值与误差估计
2.5.1 三次样条函数
在船体、飞机等外形曲线的设计中,不仅要求曲 线连续,而且要有二阶光滑度,即有连续的二阶导 数。
要求分段插值函数在整个区间上具有连续的二 阶导数。
因此有必要寻求一种新的插值方法,这就是样条 函数插值法
样条函 数来历
定义5.4 . 设函数f(x)定义在区间a, b上，在给定
-
xk )
1 2
(xk
- xk1)
|
f(x)
S(x)
|
M2 2
1 4
|
(xk 1
-
xk )(xk
-
xk 1)
|

M2 8
| (xk1 - xk )(xk
- xk1) |
由此，即得结论。
练习：给出本题的S(x)在[0,5]上的误差估计。
max | f(x) S(x) | M2 h2
f(x1)

2 30
1x

3 2

2
S(x)在区间45,60上的线性插值为：
S(x)

x x2 x1 x2
f(x1)
x x1 x2 x1
f(x2 )

3 30
2
x2
2

3 2
3
S(x)在区间60,90上的线性插值为：
S(x)

x x3 x2 x3
f(x2)
Si(x) ai0 ai1x ai2x2 ai3x3 i 0,1,...n, 1
分析：待定系数：ai 0, ai 1, ai 2, ai 3 ，n个子区间，要
确 定S(x)，需要确定4n个待定系数。
已知： 1）要求 S( xi )= f ( xi ), i = 0, 1,…, n
S1(x)

x xk
xk1 xk1
f(x k )

x xk xk1 xk
f(x k1)
(xk x xk1)
在几何上就是用折线替代曲线,如图所示。
y
y=f(x)
y=p(x)
x0 x1
x2
xn x
例2.19 已知f(x)在四个节点上的函数表如下：
xi
30 45 60 90
a x b
8
现在对f(x)的2阶导数进行估计。
f(x)

1 1 x2
, f(x)

6x2 2 (1 x2 )3
g(x)
g(x)

24x
1(1
x2 x2 )4

0, x 0, x
[0,1]，f(x)单调增加 1，f(x)单调减少
f(0)

-2, f(1)
170
85
S(x)


9x 442

31 , x 221
[4,5]
分段线性插值的误差估计（仅对充分光滑的f(x)成立）
定理 设f(x)在a, b有2阶导数，
a x0 x1 … xn b
则在[a, b]上的分段线性插值S(x)，的截断误差满足：
max
xk xxk 1
|
S(x),S' (x),S' ' (x)
在a, b 上连续)
三次样条函数插值
则称S(x)为三次样条插值函数。
比线性插值要求严 苛得多！
y
y=f(x) (黑色)
y=S(x) （蓝色）
x0
xi
xi+1
xn
x
问题：这个S(x)是三次样条插值函数吗？
回答：不是。 原因： 1）在每个区间内都是3次多项式； 2）在小区区间端点xi处连续并且：f(xi)=S(xi) ； 3）S”(x)在xi 点不连续，即不光滑。
能产生多 少个方程？
2）要求 S(x),S' (x),S' ' (x) 在整个插值区间a, b
上连续，因此在连接点 x1, … , x n1 上连续。
满足条件： 1）插值条件(n+1个节点)
S(xi ) f(x i ), i 0,1, … , n
2）连接条件(3n-3个节点) S(xi 0) S(xi 0)

x 0
1 f(0) 1
x 1

0 0
f(1)

1 x
x 2


x 2
1
在[1,2]上，
S(x)

x 1

2 2
f(1)

x 1 f(2) 21


1 2
(x
2)
1 (x 5
1)
3 x4 10 5
在[2,3]上，
S(x)

x 2

3 3
f(2)
的n+1个节点xi,(i=0,…,n)上的函数值为f(xi)。
若存在函数S(x)，满足:
a) 在每个小区间 xi, xi+1 (i=0,1,…,n-1)上是一 个三次多项式（注意：一共是n个区间）。
b) 在每个节点上满足 S(xi) = f(xi) (i=0,1,…,n) c) 在a, b上有连续的二阶导数（隐含：
0x
1
设 | f(4)(x) | 1, x (0,1)
则3次插值多项式的误差
|
R(x)
||
f(4)(ξ) (x 4!

x0 )(x

x1)(x

x2 )(x

x3 )
|
41！| (x x0 )(x x1)(x x2 )(x x3 ) |

41！
1 3

1 3

2 3

1
y
1
0.87
y=S(x)
0.7
连续但不光滑
0.5
30
45
60
90
x
练习
函数f(x)

1 1 x2
, 求其在[0,5]上的 分段
线性插值多项式。插值 节点取为0，1,2, 3,4,5。
xi
0
f(xi) 1
12345
111 1 1 2 5 10 17 26
解：在[0, 1]上（课堂练习）
S(x)

2 648

0.0031
但是当区间[a, b]比较大的时候，误差可能很大。
影响误差的因素：一般地说
• 插值节点的个数：插值节点越多，即使用高 次插值，误差越小
• f(x)的高阶导数绝对值：越小，误差越小
适当提高插值多项式的次数，有可能提高 计算结果的准确程度，但并非次数越高越 好。
当插值节点增多时，也不能绝对保证非节 点处的插值精度得到改善，有时反而误差 更大。
f(xi) 1 2
22
31
2
求f(x)在区间30,90上的分段连续线性插值函数 S(x)。
解：将插值区间30,90分成连续的三个小区间 30, 45, 45, 60, 60, 90
则S(x)在区间30,45上的线性插值为：
S(x)

x x0

x1 x1
f(x0 )

x x0 x1 x0

x0 )(x

x1)
(x

xn )，
ξ (a, b)
例：设函数f(x)定义在区间[0, 1]上 ，并且满足 |f(4) (x)|<1，xϵ[0, 1]。在4个插值节点 x0=0, x1=1/3, x2=2/3, x3=1, 对f(x)进行插值得多项式P3(x)，估计误差。
下面讨论误差的情况：
y
y=f(x)
y=S(x)
S(xi) = f(xi) (i=0, 1, 2, 3)
x
S(x)是三次样条插值函数：在每个区间内 都是3次多项式，在小区区间端点处连续、 光滑。
确定多项式的系数
S(x)是分段3次多项式，在每个小区间xi, xi+1上要确 定4个待定参数。用Si(x)表示在xi, xi+1上的表达式：
S(xi 0) S(xi 0) i 1,2, … , n 1
S(xi 0) S(xi 0) 不包括端点a, b
上述二式共给出了4n-2个条件,而待定系数有4n
个,因此还需要2个条件才能确定S(x)。
x0 x1 x2 x3 x4 x5
x6 x
通常在区间端点 a x 0, b x n上各加一个条件,