2015考研数学真题解析反常积分敛散性的判定
2015年考研数学二真题及解析
x⎨⎩22015 年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题一、选择题:1 : 8 小题,每小题 4 分,共 32 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是()(A)+∞1 dx2(B)⎰+∞ln x dx2x(C)⎰+∞1 dx(D)2x ln x+∞x dx2 ex【答案】(D) 【解析】 x dx = -(x + 1)e - x，则+∞xdx = -(x + 1)e - x +∞= 3e -2 - lim (x + 1)e - x = 3e -2 .⎰ ex(2) 函数 f ( x ) = lim(1+ t →0 ⎰2sin t xx) te x2在(-∞, +∞) 内x →+∞()(A) 连续(B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)sin t xlimsin t x 2x【解析】 f (x ) = lim(1 + t →0 ) t = e t →0 x t x= e ， x ≠ 0 ，故 f (x ) 有可去间断点 x = 0 . ⎧x αcos 1 (3) 设函数 f ( x ) = ⎪ x β , x > 0 (α > 0, β > 0) ,若 f ' ( x ) 在 x = 0 处连续则:( ) (A)α - β > 0(C)αβ⎪0, x ≤ 0 (B) 0 < α - β ≤ 1(D) αβ⎰ ⎰ 2【答案】(A)【解析】 x < 0 时， f '(x)= 0 f-'(0)= 0f '(0)= limxαcos1xβ- 0= lim xα-1 cos+x→0+x x→0+xβx > 0 时，f=αxα-1 cosf '(x)在x = 0 处连续则： f '(0)=f '(0)= lim xα-1 cos 1= 0 得α-1 > 0-+f '(0)= lim f '(x)= lim ⎛αxα-1 cos 1x→0++βxα-β-1 sinxβ1 ⎫=0+ +ββ⎪x→0x→0 ⎝ x x ⎭得：α-β-1 > 0 ，答案选择 A(4)设函数f (x) 在(-∞, +∞)内连续，其中二阶导数f ''(x) 的图形如图所示，则曲线y =f (x) 的拐点的个数为( )(A)0(B)1(C) 2(D) 3【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为 2 个。
数学二2015年考研真题及答案解析
x2
2．函数
f
(
x)
lim
t0
1
sin t x
t
在 (, ) 内（
）
（A）连续 （B）有可去间断点（C）有跳跃间断点 （D）有无穷间断点
【详解】
x2
f
(x)
lim
t0
1
sin x
t
t
lim sin t x2
e t0 x t
ex, x 0
5．设函数
f
(u, v) 满足
f
x
y,
y x
x2
y2
，则
f u
|u1 ,
v 1
f v
|u1 依次为（
v 1
）
（Ａ） 1 , 0 （Ｂ） 0, 1 （Ｃ） 1 , 0 （Ｄ） 0, 1
2
2
2
2
【详解】设
x y x
函数在 x 0 处没有定义，而 lim f ( x) lim e x 1 ，所以应该选（B）．
x0
x0
3．设函数
f
(x)
x
cos
1 x
,
x
0 ,(
0,
0) ，若
f
( x) 在
x
0 处连续，则（
）
0, x 0
（A） 1 （B） 0 1 （C） 2 （D） 0 2
当
1 时，
f ( x)
x 1 cos
考研数学(二)真题解析反常积分敛散性的判定
1 / 1 考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定来源：文都教育研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。
从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以考研的同学对此知识点不可小觑。
下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。
【数二】下列反常积分中收敛的是（ ） （）21d x x+∞⎰ （）2ln d x x x +∞⎰ （）21d ln x x x +∞⎰ （）2d x x x e +∞⎰ 解析：221d 2x x x +∞+∞==∞⎰，所以21d x x+∞⎰发散 ()222ln 1d ln 2x x x x +∞+∞==∞⎰，所以2ln d x x x +∞⎰发散 221d ln ln ln x x x x +∞+∞==∞⎰，所以21d ln x x x +∞⎰发散22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e+∞+∞+∞--+∞--=-=-+=⎰⎰⎰收敛. 应选（）本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。
【数二】设函数()111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨⎪≥⎪⎩若反常积分()1f x dx +∞⎰收敛，则（ ）() 2α<- () 2α>() 20α-<< () 02α<< 解析：1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-⎰⎰⎰ 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--⎰收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞+∞-+∞++==-⎰⎰ 因为1ln e dx x x α+∞+⎰收敛，所以0α>，因此02α<<。
2015年考研数学二真题和答案
2015年考研数学二真题一、选择题：（1~8小题,每小题4分，共32分。
下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。
） (1)下列反常积分中收敛的是 (A)∫√x 2dx (B)∫lnxx +∞2dx (C)∫1xlnx +∞2dx (D) ∫xe x+∞2dx【答案】D 。
【解析】题干中给出4个反常积分，分别判断敛散性即可得到正确答案。
∫√x+∞2dx =2√x|2+∞=+∞；∫lnx x+∞2dx =∫lnx +∞2d(lnx)=12(lnx)2|2+∞=+∞；∫1xlnx+∞2dx =∫1lnx+∞2d(lnx)=ln (lnx)|2+∞=+∞； ∫xe +∞2dx =−∫x +∞2de −x=−xe −x |2+∞+∫e −x+∞2dx=2e −2−e −x |2+∞=3e −2， 因此(D)是收敛的。
综上所述，本题正确答案是D 。
【考点】高等数学—一元函数积分学—反常积分 (2)函数f (x )=lim t→0(1+sin t x)x2t 在(-∞,+∞)(A)连续 (B)有可去间断点 (C)有跳跃间断点 (D)有无穷间断点 【答案】B【解析】这是“1∞”型极限，直接有f (x )=lim t→0(1+sin t x)x 2t=elimt→0x 2t(1+sin t x −1)=ex limt→0sintt=e x (x ≠0),f (x )在x =0处无定义，且lim x→0f (x )=lim x→0e x =1,所以 x =0是f (x )的可去间断点，选B 。
综上所述，本题正确答案是B 。
【考点】高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限 (3)设函数f (x )={x αcos 1x β,x >0，0,x ≤0(α>0,β>0).若f ′(x )在x =0处连续，则(A)α−β>1 (B)0<α−β≤1 (C)α−β>2 (D)0<α−β≤2 【答案】A 【解析】易求出f′(x )={αx α−1cos 1x +βx α−β−1sin 1x ,x >0，0,x ≤0再有 f +′(0)=lim x→0+f (x )−f (0)x=lim x→0+x α−1cos 1x ={0, α>1,不存在，α≤1，f −′(0)=0于是，f ′(0)存在⟺α>1，此时f ′(0)=0. 当α>1时，lim x→0x α−1cos1x β=0，lim x→0βxα−β−1sin1x β={0, α−β−1>0,不存在，α−β−1≤0，因此，f′(x )在x =0连续⟺α−β>1。
反常积分收敛发散怎么判断
反常积分的判敛法，主要考查三类：1.直接计算法 2.比较判敛法的极限形式 3.极限审敛法第一步：先找出来所有的反常点，第一是无穷反常点，也就是积分限中含有+∞，-∞时，他们就是反常点。
第二，找到分母为零的点，注意分母为0的点a，还要分成a+,a-两个反常点，第三，找到ln(□)，使□＝0+的点。
第四，题目声明的反常点。
第二步，对每一个反常点，判断它是否收敛。
第二部的第一点：这里面最容易判别的就是反常点x=+∞，这里我们只讲利用极限比较判别法来进行判别的内容：这时我们找的标杆函数是g(x)=1/x^p，1/{x•(lnx)^p}，1/{x•(lnx)•[ln(lnx)]^p}，………这些标杆函数的收敛性也非常容易记下来，就是p＞1的时候是收敛的，其他的时候是发散。
那么有了这个标杆函数之后，我们就可以利用下列定理：如果lim[x→+∞]{f(x)/g(x)}=L，则（计算这个极限经常使用下面的一个结论就是指数增长快于幂增长，幂增长快于正数增长：好了，关于如何看待极限的速度就到此为止了，下面接的是我们的定理）(1)当L是一个非零常数的时候，两个反常积分在正无穷点的收敛性相同，也就是说p＞1时收敛，其他情况发散。
(2)当L＝0时，在x→＋∞时，|f(x)|≤g(x)，因此反常积分g(x)在正无穷敛收敛时（也就是p＞1时），f(x) 在正无穷大点绝对收敛。
(3)当L＝∞时，在x→＋∞时，|f(x)|≥g(x)，因此，反常积分g(x)在正无穷处发散时（也就是p≤1时），f(x)在正无穷大点是发散的（如果不是标杆函数，那它的发散性还是需要单独考虑）。
第二步的第二点，反常点是x=-∞，这时，只要做一个变换s=-x，就可以变成∫[a→＋∞]f(-s)ds也就是关于s的反常积分，而且反常点也变成了正无穷，这样也就可以用第二部的第一点解决问题了。
第二步的第三点，反常点x=0+（注意如果函数含有因子ln□，且□→1时，要用ln□～□-1），这时候的标杆函数，我们只推荐一个g(x)=1/x^p，不过要记住了，此时的收敛情况（与x＝+∞的情况正好相反）为p＜1，发散情况为p≥1（另外，其他的g(x)需要自己寻找，总的原则是找出来的函数要容易判别，而且能够使比的极限存在，且最好是非零常数）找到标杆函数g(x)以后，又可以使用极限判别法：如lim[x→0+]{f(x)/g(x)}=L（注意这里一般也是令s＝1/x，然后用s →+∞相关的比较定理，即指数增长快于幂增长，幂增长快于对数增长来判别），同样有三个结论(1)如L≠0，且g(x)不变号（我们的标杆肯定不变号，这里指的是自己找的标杆，不能变号，要么都是大于0的，要么都是小于0的(在x→0+过程中)）则f(x)在x=0+这个反常点，与标杆函数同敛散（如果是我们选择标杆，就是p小于1收敛，p大于等于1发散）；(2)如L=0，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为x→0+时，|f(x)|≤|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+收敛（所以用我们的标杆时，就是p＜1），可以推出f(x)在该反常点也收敛（类似于级数比较判别法：大收小必收）；(3)如L＝∞，且g(x)不变号（解释同(1))，则因为|f(x)|≥|g(x)|，所以g(x)在反常点x=0+发散（如果是我们选择标杆，就是p≥1）时，且f(x)也不变号时，f(x)在反常点也发散（类似于级数比较判别法：小发大必发）。
两种反常积分敛散性的判别方法
两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。
判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。
下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。
一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。
主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。
1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。
比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。
二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。
主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。
1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。
2015年考研数学(二)真题及答案详解
2015年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. (1) 下列反常积分收敛的是 ( )(A)2+∞⎰(B) 2ln x dx x+∞⎰(C)21ln dxx x +∞⎰(D) 2x x dx e+∞⎰【答案】(D) 【解析】(1)xx x dx x e e-=-+⎰，则2222(1)3lim (1)3xx x x x dx x e e x e e e +∞+∞----→+∞=-+=-+=⎰.(2) 函数()2sin lim(1)x tt t f x x→=+在(,)-∞+∞内( )(A) 连续 (B) 有可去间断点 (C) 有跳跃间断点 (D) 有无穷间断点 【答案】(B)【解析】220sin lim 0sin ()lim(1)t x t x x t x tt t f x e e x→→=+==，0x ≠，故()f x 有可去间断点0x =. (3) 设函数()1cos ,00,0x x x f x x α⎧>⎪=⎨⎪≤⎩(0,0)αβ>>,若()'f x 在0x =处连续则:( ) (A)0αβ-> (B)01αβ<-≤ (C)2αβ-> (D)02αβ<-≤ 【答案】(A)【解析】0x <时，()0f x '=()00f -'=()1001cos10lim lim cosx x x x f x x x ααβ++-+→→-'== 0x >时，()()()11111cos1sin f x x x x x x ααβββαβ-+'=+-- 1111cossin x x x xααβββαβ---=+()f x '在0x =处连续则：()()10100lim cos 0x f f x xαβ+--+→''===得10α-> ()()++1100110lim =lim cos sin =0x x f f x x x x x ααβββαβ---→→⎛⎫''=+ ⎪⎝⎭得：10αβ-->，答案选择A(4)设函数()f x 在(),-∞+∞内连续，其中二阶导数()''f x 的图形如图所示，则曲线()=y f x 的拐点的个数为( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【答案】(C)【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.(5) 设函数(),f u v 满足22,y f x y x y ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ ，则11u v fu==∂∂与11u v f v==∂∂ 依次是 ( )(A)1,02 (B) 10,2 (C) 1,02- (D) 10,2-【答案】(D)【解析】此题考查二元复合函数偏导的求解. 令,y u x y v x =+=，则,11u uv x y v v ==++，从而22(,)y f x y x y x+=-变为222(1)(,)111u uv u v f u v v v v -⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭.故222(1)2,1(1)f u v f u u v v v ∂-∂==-∂+∂+， 因而111110,2u u v v ff uv ====∂∂==-∂∂.故选（D ）. (6)设D 是第一象限由曲线21xy =，41xy =与直线y x =，y =围成的平面区域，函数(),f x y 在D 上连续，则(),Df x y dxdy =⎰⎰ ( )(A)()13sin2142sin2cos ,sin d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰(B)()34cos ,sin d f r r rdr ππθθθ⎰ (C)()13sin 2142sin 2cos ,sin d f r r drπθπθθθθ⎰⎰(D)()34cos ,sin d f r r dr ππθθθ⎰【答案】(B)【解析】根据图可得，在极坐标系下计算该二重积分的积分区域为(,)43D r r ππθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎩所以34(,)(cos ,sin )Df x y dxdy d f r r rdr ππθθθ=⎰⎰⎰故选B.(7) 设矩阵21111214a a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,21d d ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b .若集合}{1,2Ω=，则线性方程组=Ax b 有无穷多解的充分必要条件为 ( )(A) ,a d ∉Ω∉Ω (B) ,a d ∉Ω∈Ω (C) ,a d ∈Ω∉Ω (D) ,a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)【解析】2211111111(,)1201111400(1)(2)(1)(2)A b ad a d a d a a d d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由()(,)3r A r A b =<，故1a =或2a =，同时1d =或2d =.故选（D ）(8) 设二次型()123,,f x x x 在正交变换=x Py 下的标准形为2221232y y y +-，其中123(,,)=P e e e ，若132(,,)=-Q e e e 则123(,,)f x x x =在正交变换=x Qy 下的标准形为( )(A)2221232y y y -+ (B) 2221232y y y +-(C) 2221232y y y -- (D) 2221232y y y ++【答案】(A)【解析】由x Py =，故222123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-. 且200010001TP AP ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.由已知可得100001010Q P PC ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪-⎝⎭故200()010001T T TQ AQ C P AP C ⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭所以222123()2T T T f x Ax y Q AQ y y y y ===-+.选（A ） 二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 3arctan 3x t y t t=⎧⎨=+⎩ 则 212t d y dx ==【答案】48【解析】 2222333(1)11dy dy t dt t dx dxdt t +===++ 2222[3(1)]d y d t dx dx=+=222222[3(1)]12(1)12(1)11d t t t dt t t dx dt t ++==++ 22148t d ydx ==. (10)函数2()2x f x x =⋅在0x =处的n 阶导数(0)nf =_________ 【答案】()()21ln 2n n n --【解析】根据莱布尼茨公式得：()()()()()(2)222(1)0222ln 2(1)ln 22n n n n x n x n n f C n n ---=-===- (11) 设()f x 连续，()()20x x x f t dt ϕ=⎰，若()()11,15ϕϕ'==，则()1f =【答案】2【解析】 已知2()()x x x f t dt ϕ=⎰，求导得2220()()2()x x f t dt x f x ϕ'=+⎰，故有1(1)()1,f t dt ϕ==⎰(1)12(1)5,f ϕ'=+=则(1)2f =.(12)设函数()y y x =是微分方程'''20y y y +-=的解，且在0x =处()y x 取得极值3，则()y x = .【答案】22x x e e -+【解析】由题意知：()03y =，()00y '=，由特征方程：220λλ+-=解得121,2λλ==- 所以微分方程的通解为：212x x y C e C e -=+代入()03y =，()00y '=解得：12C =21C = 解得：22xxy e e-=+(13)若函数(),Z z x y =由方程231x y ze xyz +++=确定，则()0,0dz = .【答案】()1d 2d 3x y -+ 【解析】当0,0x y ==时0z =，则对该式两边求偏导可得2323(3)x y z x y z ze xy yz e x++++∂+=--∂ 2323(3)2x y z x y z ze xy xz e y++++∂+=--∂.将（0,0,0）点值代入即有 12,.(0,0)(0,0)33z z x y ∂∂=-=-∂∂则可得()(0,0)121|d 2d .333dz dx dy x y =--=-+ (14) 若3阶矩阵A 的特征值为2,2,1-，2B A A E =-+，其中E 为3阶单位阵，则行列式B = .【答案】21【解析】A 的所有特征值为2,2,1.-B 的所有特征值为3,7,1. 所以||37121B =⨯⨯=.三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15) (本题满分10分）设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx =.若()f x 与()g x 在0x →时是等价无穷小，求,,a b k 的值.【答案】111,,32a kb =-=-=- 【解析】 方法一：因为233ln(1)()23x x x x o x +=-++，33sin ()3!x x x o x =-+， 那么，23333000(1)()()()ln(1)sin 231lim lim lim ()x x x a aa xb x x o x f x x a x bx x g x kx kx→→→++-+++++===， 可得：100213a ab ak⎧⎪+=⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，所以，11213a b k ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=-⎪⎩．方法二： 由题意得300sin )1ln(lim )()(lim1kx xbx x a x x g x f x x +++==→→203cos sin 11limkx x bx x b x ax ++++=→由分母03lim 2=→kx x ，得分子)cos sin 11(lim 0x bx x b xax ++++→0)1(lim 0=+=→a x ，求得c ；于是)()(lim10x g x f x →=23cos sin 111lim kx x bx x b x x +++-=→）（x kx xx bx x x b x x +++++=→13cos )1(sin )1(lim20 203c o s )1(s i n )1(lim kx xx bx x x b x x ++++=→kxxx bx x bx x x b x x b x b x 6sin )1(cos cos )1(cos )1(sin 1lim0+-++++++=→由分母06lim 0=→kx x ，得分子]sin )1(cos cos )1(2sin 1[lim 0x x bx x bx x x b x b x +-++++→0)cos 21(lim 0=+=→x b x ，求得21-=b ； 进一步，b 值代入原式)()(lim 10x g x f x →=kxx x x x x x x x x 6sin )1(21cos 21cos )1(sin 211lim0++-+--=→ kxx x x x x x x x x x x x x x 6cos )1(21sin 21sin )1(21sin 21cos 21sin )1(cos cos 21lim 0++++++-++--=→k621-=，求得.31-=k(16) (本题满分10分)设A>0，D 是由曲线段sin (0)2y A x x π=≤≤及直线0y =，2x π=所围成的平面区域，1V ，2V 分别表示D 绕x 轴与绕y 轴旋转成旋转体的体积，若12V V =，求A 的值.【答案】8π【解析】由旋转体的体积公式，得dx x f ⎰=2021)(V ππdx x A ⎰=202)sin (ππdx x A⎰-=20222cos 1ππ422A π=dx x xf ⎰=22)(2V ππA x d x A -πππ2c o s 220==⎰由题,V V 21=求得.8A π=(17) (本题满分11分)已知函数(,)f x y 满足"(,)2(1)x xy f x y y e =+，'(,0)(1)xx f x x e =+，2(0,)2f y y y =+，求 (,)f x y 的极值. 【答案】极小值(0,1)1f -=-【解析】xxye y y xf )1(2),(+=''两边对y 积分，得 )()21(2),(2x e y y y x f x x ϕ++=')()2(2x e y y x ϕ++=， 故x x e x x x f )1()()0,(+=='ϕ， 求得)1()(+=x e x x ϕ，故)1()2(),(2x e e y y y x f x x x +++='，两边关于x 积分，得⎰+++=dx x e e y y y x f x x )1()2(),(2⎰+++=xxde x e y y )1()2(2 ⎰-+++=dx e e x e y y xxx )1()2(2 C )1()2(2+-+++=x x x e e x e y y C )2(2+++=x x xe e y y由y y y y y f 2C 2),0(22+=++=，求得.0=C 所以x x xe e y y y x f ++=)2(),(2.令⎪⎩⎪⎨⎧=+='=+++='0)22(0)2(2xy xx x x e y f xe e e y y f ，求得⎩⎨⎧-==10y x . 又x x x xxxe e e y y f +++=''2)2(2， x xye yf )1(2+=''，xyy e f 2=''， 当1,0-==y x 时，(0,1)1,xxA f ''=-=,0)1,0(B =-''=xy f 2)1,0(=-''=yy fC ， 20,AC B ->(0,1)1f -=-为极小值.(18) (本题满分10分) 计算二重积分()Dx x y dxdy +⎰⎰，其中{}222(,)2,D x y x y y x =+≤≥【答案】245π-【解析】2()DDx x y dxdy x dxdy +=⎰⎰⎰⎰21202xdx dy =⎰12202)x x dx =⎰12240022222sin 2cos 55x t xt tdt π=--⎰⎰22242002222sin 2sin .5545u t tdt udu πππ==-=-=-⎰⎰(19)(本题满分 11 分) 已知函数()21Xf x =+⎰⎰，求()f x 零点的个数？【答案】2个【解析】()21)f x x '=- 令()0f x '=,得驻点为12x =, 在1(,)2-∞,()f x 单调递减,在1(,)2+∞,()f x 单调递增 故1()2f 为唯一的极小值,也是最小值.而112241()2f =+=-⎰⎰⎰1224=--⎰⎰⎰在1(,1)2故0-<从而有1()02f <1lim ()lim[]x x x f x →-∞→-∞=+=+∞⎰⎰22111lim ()lim[]lim[]x x xx x x f x →+∞→+∞→+∞=+=-⎰⎰⎰⎰考虑2lim lim x x x ==+∞，所以lim ()x f x →+∞=+∞.所以函数()f x 在1(,)2-∞及1(,)2+∞上各有一个零点，所以零点个数为2. (20) (本题满分10分)已知高温物体置于低温介质中，任一时刻该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120C ︒的物体在20C ︒的恒温介质中冷却，30min后该物体降至30C ︒，若要将该物体的温度继续降至21C ︒，还需冷却多长时间？ 【答案】30min【解析】设t 时刻物体温度为()x t ，比例常数为(0)k >，介质温度为m ,则()dxk x m dt=--，从而()kt x t Ce m -=+， (0)120,20x m ==，所以100C =，即()10020kt x t e -=+又1()30,2x =所以2ln10k =，所以11()20100t x t -=+ 当21x =时，t =１，所以还需要冷却３０min.(21) (本题满分10分)已知函数()f x 在区间[]+a ∞，上具有2阶导数，()0f a =，()0f x '>，()''0f x >，设b a >，曲线()y f x =在点()(),b f b 处的切线与x 轴的交点是()00x ，，证明0a x b <<.【证明】根据题意得点(,())b f b 处的切线方程为()()()y f b f b x b '-=-令0y =，得0()()f b x b f b =-' 因为(x)0f '>所以(x)f 单调递增，又因为(a)0f = 所以(b)0f >，又因为()0f b '>所以0()()f b x b b f b =-<' 又因为0()()f b x a b a f b -=--'，而在区间（a,b ）上应用拉格朗日中值定理有 (b)f(a)(),(a,b)f f b aξξ-'=∈-所以0()()()()()()()()()()()f b f b f b f b f x a b a f b f b f f b f b f ξξξ''--=--=-=''''' 因为(x)0f ''>所以(x)f '单调递增 所以()()f b f ξ''>所以00x a ->，即0x a >，所以0a x b <<，结论得证.(22) (本题满分 11 分)设矩阵101101a A a a ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭且3A O =.(1) 求a 的值；(2) 若矩阵X 满足22X XA AX AXA E --+=，E 为3阶单位阵，求X .【答案】2010,111211a X -⎛⎫ ⎪==-- ⎪ ⎪-⎝⎭【解析】 (I)323100100111100011a A O A a a a a a a a a=⇒=⇒-=--==⇒=- (II)由题意知()()()()()()()()()222211122212X XA AX AXA E X E A AX E A E E A X E AE X E A E A E A E A X E A A ------+=⇒---=⎡⎤⇒--=⇒=--=--⎣⎦⇒=-- 2011111112E A A -⎛⎫ ⎪--=- ⎪ ⎪--⎝⎭，011100111010111010011100112001112001----⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭M M M M M M111010111010011100011100021011001211------⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭M M M M M M110201100312010111010111001211001211---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭M M M M M M312111211X -⎛⎫ ⎪∴=- ⎪ ⎪-⎝⎭(23) (本题满分11 分)设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角阵.【答案】（1）4,5a b ==；（2）231101011P --⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】(I)~()()311A B tr A tr B a b ⇒=⇒+=++0231201330012031--=⇒--=-A B ba 14235-=-=⎧⎧∴⇒⎨⎨-==⎩⎩a b a a b b (II)023100123133010123123001123A E C ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=--=+--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()123112*********---⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭CC 的特征值1230,4λλλ===0λ=时(0)0-=E C x 的基础解系为12(2,1,0);(3,0,1)ξξ==-T T 5λ=时(4)0-=E C x 的基础解系为3(1,1,1)ξ=--T A 的特征值1:1,1,5λλ=+A C令123231(,,)101011ξξξ--⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭P ，1115-⎛⎫ ⎪∴= ⎪⎪⎝⎭P AP文档内容由金程考研网整理发布。
反常积分敛散性的判别
收敛,因此
a
f ( x ) g( x ) dx 收敛.
推论1 设非负函数 f 和 g 在任何 [a,u] 上可积, 且
f ( x) lim c. x g ( x )
(i ) 若 0 c ， 则
a
f ( x )dx 与
a
g( x )dx 收敛性相同;
(ii) 若c 0, 则由
中南财经政法大学
数学分析
§2 无穷积分的性质及收敛判别
本节讨论无穷积分的性质, 并用这些 性质得到无穷积分的收敛判别法. 一、无穷积分的性质 二、非负函数无穷积分的收敛判别法 三、一般函数无穷积分的收敛判别法
一、无穷积分的性质
定理11.1 (无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分
a
f ( x )dx 收敛的充要条件是: 0, G a ,
u2
b
b a
u2
u1
f ( x )dx .
性质1
设函数 f1 与 f 2 的瑕点同为 x a , k1 , k2
b a
为任意常数, 若 f1 ( x )dx 和 f 2 ( x )dx 都收敛, 则
1
u2
再由柯西准则的充分性, 证得
a
h( x )dx 收敛.
二、非负函数无穷积分的收敛判别法
定理11.2(非负函数无穷积分的判别法) 设定义在
[a , ) 上的非负函数 f 在任何 [a , u] 上可积, 则
a
f ( x )dx 收敛的充要条件是: M 0, 使
u [a , ),
a
a
3c a 2 g( x )dx 收敛,从而 a f ( x )dx 收敛. f ( x) (ii) 由 lim 0, 存在 G a , 使 x G , 有 x g ( x ) f ( x) 1, g( x ) 即 f ( x ) g( x ), x [G , ), 因此由 g( x )dx 收敛
zt8专题八_关于反常积分敛散性的判别
ò
xm
xn
f ¢ x)dx = f ( xn ) - f ( xm ) < e ． (
这即表明 { f ( xn )}收敛．故由 Heine 定理，极限 lim f ( x) = a 存在．
x?
现在来证 a = 0 ． a > 0 ， 若 则由保号性，$D > 0 ， x > D 时， f ( x ) > 当 有
x2
x2 x1
f (t )dt +
x2 x1
e d2 ， f (t )dt < .d + 2 2
e d e + ? 2 2 2
e = e ( x > G时) ,这就证得 lim f ( x) = 0 ． x? 2
若无穷限积分
ò
+
a
f ( x)dx 收敛，函数 f ( x) 在 [a, +
且 lim f ( xn ) = 0 ．
Cauchy 收敛准则， 对上述 d , $ G > a ， x1 , x2 > G 时， 当 有 取 x1 , x2 > G ，使 x1 < x < x2 ，且 x2 - x1 = d ，此时由
ò
x2
f ( x)dx <
x1
f ( x)d =
得 f ( x) < 定理 4
蝌 f ( x)dt x1
+
取的；而在含参变量广义积分
在对函数项级数的和函数的分析性质的研究中， 一致收敛的概念起了关键的作用． 通过 一致收敛，把无穷和的性质化为有限和的研究．在含参变量广义积分的讨论中，我们也引入 一致收敛的概念． 它把广义积分的问题化为含参变量的正常积分， 而后者在我们以前学习中 已经讨论无穷限的情形，但所有的结果都可平行地推广到瑕积分的情形． 定义 1 设 f ( x, y ) 在 [a, b]? [c,
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015考研数学（二）真题解析：反常积分敛散性的判定
来源：文都教育
研究生入学考试大纲数学二对反常积分这个知识点的要求是：了解反常积分的概念，会计算反常积分。
从大纲要求看出，大纲对反常积分敛散性的判定要求比较低，但是近些年数二经常考敛散性的判定，所以2016考研的同学对此知识点不可小觑。
下面文都老师把数二近三年考到的这个知识点的两道真题帮大家分析一下。
【15数二】下列反常积分中收敛的是（ ）
（A ）21d x x
+∞⎰ （B ）2ln d x x x +∞⎰ （C ）21d ln x x x +∞⎰ （D ）2d x x x e +∞⎰ 解析：
221d 2x x x +∞+∞==∞⎰，所以21d x x
+∞⎰发散 ()222ln 1d ln 2
x x x x +∞+∞==∞⎰，所以2ln d x x x +∞⎰发散 221d ln ln ln x x x x
+∞+∞==∞⎰，所以21d ln x x x +∞⎰发散 22222|3,x x x x x dx xde xe e dx e e
+∞
+∞+∞--+∞--=-=-+=⎰⎰⎰收敛. 应选（D ）
本题主要是应用牛顿—莱布尼兹公式的推广来判定反常积分的敛散性，题目比较简单。
【13数二】设函数f (x )=111,1,(1)1,.ln x e x x e x x αα-+⎧<<⎪-⎪⎨
⎪≥⎪⎩若反常积分()1f x dx +∞⎰收敛，则（ ）
(A) 2α<- (B) 2α>
(C) 20α-<< (D) 02α<< 解析：
1111()(1)ln e e dx dx f x dx x x x αα+∞+∞-+=+-⎰⎰⎰ 1111lim(1)1(1)x x x αα--→-=-，因为11(1)e dx x α--⎰收敛，所以11α-<，即2α< 又因为1111(ln )(ln )|ln ln e e e dx d x x x x x αααα+∞
+∞-+∞++==-⎰⎰ 因为1ln e dx x x α+∞+⎰收敛，所以0α>，因此02α<<。
应选（D ）
本题是用反常积分敛散性的判定定理和牛顿—莱布尼兹公式的推广来判断反常积分的敛散性，属中等难度。