高中数学知识点总结不等式的性质与证明

要点重温之不等式的性质与证明

1．在不等式两边非负的条件下能同时平方或开方，具体的：当a>0,b>0时，a>b ⇔a n >b n ； 当a<0,b<0时，a>b ⇔a 2b 2⇔|a|>|b|。在不等式两边同号的条件下能同时取倒数，但不等号的方向要改变，如：由

x 1<2推得的应该是：x>21或x<0，而由x 1>2推得的应该是： 0

1（别漏了“0

的值域为 ；3)(11)(++=x f x h 的值域为 。

解析：此题可以“逆求”：分别用g(x)、h(x)表示f(x)，解不等式f(x)>0即可。以下用“取倒数”求：3-f(x)<3，分两段取倒数即0<3-f(x)<3得)(31x f ->31或3-f(x)<0得)(31x f -<0, ∴g(x )∈(-∞,0)∪(31,+∞)；f(x)+3>3⇒0<3)(1+x f <31⇒1

4。 [巩固1] 若011<③b a <；④2>+b

a a

b 中，正确的不等式有

（ ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个 [巩固2] 下列命题：①若a>b,则ac 2>bc 2；②若ac 2>bc 2,则a>b ；③若a>b,c>d 则a -d>b -c ； ④若a>b,则a 3>b 3；⑤若a>b,则),1lg()1lg(22+>+b a ⑥若aab>b 2；

⑦若a|b|；⑧若a

b a a b >；⑨若a>b 且b a 11>,则a>0,b<0； ⑩若c>a>b>0,则b

c b a c a ->-；其中正确的命题是 。 [迁移]若a>b>c 且a+b+c=0，则：①a 2>ab ，②b 2>bc ，③bc

a b 的取值范围是：(-21,1)， ⑤a c 的取值范围是：（-2，-2

1）。上述结论中正确的是 。 2．同向不等式相加及不等式的“传递性”一般只用于证明不等式，用它们求变量范围时要求两个不等式中的等号能同时成立。同向不等式一般不能相乘，需增加“两不等式的两边均为正数”才可相乘。

[举例]已知函数c ax x f +=2

)(，且满足－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3,则f(3)的取值范围是： 。

解析：解决本题的一个经典错误如下：－2≤a+c ≤－1 ①； 2≤4a+c ≤3 ② 由①得： 1≤－a －c ≤2 ③ 4≤－4a －4c ≤8 ④

由③+②得：1≤a ≤

35 ⑤ 由④+②得： 3

11-≤c ≤－2 ⑥ 由⑤×9+⑥得：316≤9a+c ≤13 ⑦，即316≤f(3)≤13。错误的原因在于： 当且仅当1=－a －c 且2=4a+c 时⑤式中的1=a 成立，此时，a=1，c=－2；

当且仅当－4a －4c=8 且4a+c=3 时⑥式中的311-

=c 成立，此时，a=35，c=3

11-； 可见⑤⑥两式不可能同时成立，所以⑦中的3

16=9a+c 不成立；同理，9a+c=13也不成立。 正解是待定系数得f(3)=35-f(1)+38f(2)，又：35≤35-f(1)≤310；316≤3

8f(2)≤8 ∴7≤f(3)≤3

34。在此过程中虽然也用了“同向不等式相加”，但由错解分析知：当a=1， c=－2时，不等式35≤35-f(1)和316≤38f(2)中的等号同时成立，即f(3)=7成立；而当a=3

5，c=311-时，不等式35-f(1)≤310和38f(2)≤8中的等号同时成立，即f(3)=334成立；所以这个解法是没有问题的。可见，在求变量范围时也并非绝对不能用“同向不等式相加”，只要“等号”能同时成立即可；对不含等号的同向不等式相加时则需它们能同时“接近”。 注：本题还可以用“线性规划”求解：在约束条件－2≤f(1)≤－1,2≤f(2)≤3下求目标函数f(3)的最大、最小值。

[巩固]设正实数a 、b 、c 、x 、y ，且a 、b 、c 为常数，x 、y 为变量，若x+y=c ，则ax +by 的最大值是：

A ．c b a )(+

B ．2

c b a ++ C ．c b a ⋅+2 D ．2)(2b a + 3．关注不等式||x|-|y||≤|x ±y |≤|x|+|y|及其等号成立的条件；具体的：x y ≥0⇔ |x +y |=|x|+|y|；x y ≥0且|x|≥|y|⇔|x -y |=|x|-|y|；x y ≥0且|x|≤|y|⇔|x -y |=|y|-|x|； xy ≤0⇔|x -y |=|x|+|y|；x y ≤0且|x|≥|y|⇔|x +y |=|x|-|y|；x y ≤0且|x|≤|y|⇔

|x +y |=|y|-|x|。

[举例1]若m>0,则|x -a|

A ．充分而不必要条件，

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不是充分条件也不是必要条件。

解析：|x -a|m ,∴|x -a|

[举例2]不等式|2x -log 2x|<2x+|log 2x|的解集为 。

解析：x>0，不等式|2x -log 2x|<2x+|log 2x|等价于：|2x -log 2x|<|2x|+|log 2x|⇔2xlog 2x>0⇒