2021年中考 二次函数题型分类复习总结
(完整版)二次函数知识点总结和题型总结
二次函数知识点总结和题型总结
一、二次函数概念：
1．二次函数的概念：一般地，形如2
y ax bx c =++（a b c ，
，是常数，0a ≠）的函 数，叫做二次函数。
这里需要强调：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
2. 二次函数
2
y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．
⑵ a b c ，
，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 例题：
例1、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
练习、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围 为 。
二、二次函数的基本形式
1. 二次函数基本形式：2
y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2
y a x h =-的性质：
左加右减。
4. ()2
y a x h k =-+的性质：
（技法：如果解析式为顶点式y=a(x －h)2+k ，则最值为k ；如果解析式为一般式
y=ax 2
+bx+c 则最值为4ac-b 24a
）
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限。
二次函数知识点总结及中考题型总结
二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠． ⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴a bx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k=-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k=-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称 2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a =--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2.抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-32y=3(x+4)22y=3x 2y=-2(x-3)十一、函数的应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少（二）二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数中考题型总结
二次函数常考知识点总结整理一、函数定义与表达式1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3.交点式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化二、函数图像的性质——抛物线（1）开口方向——二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；（2）抛物线是轴对称图形，对称轴为直线一般式：2bx a=-对称轴顶点式：x=h一般式：2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，顶点式：（h、k）顶点坐标y=-2x 2两根式：x=221x x +（3）对称轴位置一次项系数b 和二次项系数a 共同决定对称轴的位置。
（“左同右异”）a 与b 同号（即ab ＞0）对称轴在y 轴左侧a 与b 异号（即ab ＜0）对称轴在y 轴右侧（4）增减性，最大或最小值当a>0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；当a<0时，在对称轴左侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而增大；在对称轴右侧（当2bx a<-时），y 随着x 的增大而减少；当a>0时，函数有最小值，并且当x=a b2-，2min 44ac b y a -=；当a<0时，函数有最大值，并且当x=ab2-，2max 44ac b y a -=；（5）常数项c常数项c 决定抛物线与y 轴交点。
初三二次函数压轴题题型归纳及方法
初三二次函数压轴题题型归纳及方法一、题型归纳初三二次函数压轴题主要包括以下几种题型：1. 解二次方程：给出一个二次方程，要求求出其解。
2. 求顶点坐标：给出一个二次函数，要求求出其顶点坐标。
3. 求零点：给出一个二次函数，要求求出其零点。
4. 求最值：给出一个二次函数，要求求出其最大值或最小值。
5. 综合应用：将上述各种题型结合起来进行综合应用。
二、方法1. 解二次方程（1）将方程化为标准形式ax²+bx+c=0；（2）判断Δ=b²-4ac的正负性：如果Δ>0，则有两个不相等的实数根；如果Δ=0，则有两个相等的实数根；如果Δ<0，则无实数根，但可以得到一对共轭复数根；（3）根据公式x1=(-b+√Δ)/2a和x2=(-b-√Δ)/2a求得解。
2. 求顶点坐标（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）利用公式x=-b/2a求得顶点的横坐标；（3）将横坐标代入原函数中求得顶点的纵坐标。
3. 求零点（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）令y=0，解出方程ax²+bx+c=0；（3）根据解出的方程，用上述方法求出零点。
4. 求最值（1）将二次函数化为标准形式y=ax²+bx+c；（2）如果a>0，则函数有最小值，最小值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)；如果a<0，则函数有最大值，最大值为y0=c-b²/4a，顶点坐标为(-b/2a,y0)。
5. 综合应用综合应用题目一般会给出一个实际问题，并要求利用二次函数进行建模和求解。
解决这类题目需要结合实际情况进行分析，并运用上述各种方法进行计算和推导。
三、注意事项1. 在解二次方程时，需要注意判别式Δ的正负性，以确定是否有实数根。
2. 在求顶点坐标时，需要注意顶点横坐标的符号和范围。
3. 在求零点时，需要注意解方程的过程和方法，并判断是否存在实数根。
2021二次函数知识点总结及中考题型总结(精华版)
二次函数知识点总结及中考题型 ,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y axbx c （ a ，b ，c 是常数， a 0 ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调： 和一元二次方程类似， 二次项系数 0 ，而b ，c a 可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数 bx c 的结构特征：2yax⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式， x 的最高次数是2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2ax的性质：y a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
开口方 顶点坐 对称a 的符 性质号向标轴x 0 时， y 随x 的增大而增大； x 0 时， y 随 x 的增大而减小； 0 时，向上0 ，0y 轴 a 0xy 有最小值 0 ．x 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； 0 时，y 轴 向下0 ，0a 0x2.y 有最大值 0 ．2y axc的性质： 上加下减。
开口方 顶点坐 对称a 的符性质号向标轴0 时， y 随x 的增大而增大； x x 0 向上时， y 随 x 的增大而减小； 0 时，0 ，cy 轴a 0x y 有最小值 c ．x 0 时， y 随x 的增大而减小； x 0 时， y 随 x 的增大而增大； 0 时，向下0 ，cy 轴 a 0x3.y 有最大值 c ．2y a x h的性质：左加右减。
a 的符开口方 顶点坐 对称性质号向标轴h 时，y 随 x 的增大而增大； x x h y 随向上时， x 的增大而减小； h 时，h ，0x X=ha 0y有最小值 0 ．h 时，y 随 x 的增大而减小； x x h y 随向下h ，0X=h时， x 的增大而增大； h 时，x a 0y 有最大值 0．2y a x hk的性质 ：4.a 的符 开口方 顶点坐 对称性质号 向 标 轴h 时， y 随x 的增大而增大； x x h y 随向上时， x 的增大而减小； h 时，h ，kX=hx a 0y 有最小值 k．h 时，y 随 x 的增大而减小； x x h y 随向下时， x 的增大而增大； h 时，h ，kX=hx a 0y有最大值 k ．三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：2y a x hk方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标h ，k；2h ，ky ax ⑵ 保持抛物线 的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下：向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2y=ax 2+k向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】平移 |k|个单位向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位向右 (h>0)【或左 (h<0)】平移 |k| 个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】 平移 |k|个单位2 y=a( x-h)y=a (x-h)2+k向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位2. 平移规律h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”． 在原有函数的基础上“ 概括成八个字“左加右减，上加下减” ．方法二：22c 沿 y 轴平移 :向上（下）平移 y ax bx y axbx c 变成m 个单位， ⑴y ax 2ax2bx c m （或 y bx c m ）22y ax bx c 沿轴平移：向左（右）平移 y axbx c 变成m 个单位， ⑵22y a( x m)b(x m) c （或 y a(x m)b( x m) c ）22y a x hky ax bx c 的比较 四、二次函数与22y a x h ky axbx c 是两种不同的表达形式， 从解析式上看，与后者通过222b 2 a4ac 4ab b 2a4ac 4ab y a x，kh配方可以得到前者，即 ，其中．2yaxbx c 图象的画法五、二次函数 22y ax bx c 化为顶点式 y a(x h)k五点绘图法： 利用配方法将二次函数 ，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画0，c 0 ，c 顶点、与 y 轴的交点 图.一般我们选取的五点为：、以及 关于对称轴 2h ，c x 1 ，0 x 2 ，0 对称的点 、与 x 轴的交点 ， （若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .y 轴 画草图时应抓住以下几点： 的交点 . 开口方向， 对称轴， 顶点，与 x 轴的交点， 与2yaxbx c 的性质六、二次函数 2b ，4ac b b2a ，顶点坐标为x2a 4a0 时，抛物线开口向上，对称轴为．当a 1. b2a b2 a 时，y 随 b 2axxx时，y 随 x 的增大而减小； 当当x 的增大而增大； 当24ac 4aby 有最小值时， ．2b4ac b b2a ，顶点坐标为， x2a 4a 0 时，抛物线开口向下， 对称轴为．当当a 2. b2 a 时，b2a b2 a 时，xx x y 随 x 的增大而增大；当 y 随x 的增大而减小；当 时， 24ac 4 aby 有最大值．七、二次函数解析式的表示方法 2y axbx c （ a ， b ， c 为常数， 0 ）；0 ）；1. 一般式：2. 顶点式：3. 两根式： a 2ya( x h) k（a ， h ， k 为常数， a ya( x x 1)( x x 2) （a 0 ， x 1 ， x 2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） . 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次2函数都可以写成交点式，只有抛物线与 x 轴有交点，即 0 时，抛物 b 4ac 线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互 化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 a2y axbx c 中， a 作为二次项系数，显然 二次函数 a 0 ．0 时，抛物线开口向上， a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，⑴ 当 a开口越大；0 时，抛物线开口向下， a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，⑵ 当 a开口越大．a 总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小． 一次项系数 b2. a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴． 在二次项系数 0 的前提下，⑴ 在 ab2a 0y 轴左侧；当b 0时，，即抛物线的对称轴在 b2a 0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0时，b2a，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧．当b 0时， ⑵ 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即b2a 0y轴右侧；当b 0时，，即抛物线的对称轴在 b2a 0，即抛物线的对称轴就是y 轴；当b 0时，b2a，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧．当b 0时，总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置．b2a 在 y 轴左边则 x0 ，在 y 轴的右侧则 ab 的符号的判定： 对称轴ab ab 0 ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐⑴ 当 c标为正；0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵⑵ 当 c坐标为 0 ；0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， 即抛物线与 y 轴交点的纵坐 ⑶ 当 c标为负．c 决定了抛物线与 y 轴交点的位置． 总结起来，a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要二次函数解析式的确定 ：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点， 选择适当的形式， 才能使解题简便． 一 般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；3. 已知抛物线与4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达x 轴对称 1. 关于 22ya xb x关cyaxbx c； x 轴对称后，得到的解析式是 22y a x hk ya x h k关于x 轴对称后，得到的解析式是 ；y 轴对称2. 关于 22ya xb x关cy 轴对称后，得到的解析式是 y axbx c； 22y a x hky a x h ky 轴对称后，得到的解析式是关于 ；3. 关于原点对称22y a xb x关c于原点对称后，得到的解析式是y ax bx c ；22h y a x 关k 于原点对称后，得到的解析式是y a x h k ； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180°）2b2y axbx c2y a xb x 关c 于顶点对称后，得到的解析式是 ；2a 22y a x hky a x hk关于顶点对称后，得到的解析式是．m ，n 对称5. 关于点22m ，n y a x hk关于点 ya x h 2m2n k对称后，得到的解析式是根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生 a 变化，因此 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或 方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方 向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 x 轴交点情况）：2ax2y bx c y 0一元二次方程 0 是二次函数 当函数值 时的特殊情况 .axbx c 图象与 x 轴的交点个数： A x 1 ，0 ，B x 2 ，0 2x 1 ，x 2(x 1x 2 ) ，其中的 ① 当0 时，图象与 x 轴交于两点 b4ac 2axbx c 0 a 0是一元二次方程的两根．这两点间的距离2b4ac aABx 2x 1.② 当 0 时，图象与 x 轴只有一个交点； ③ 当0 时，图象与 x 轴没有交点 .y 0 ； 0 时，图象落在 x 轴的上方，无论 x 为任何实数，都有 当 a 1' y 0 ．0 时，图象落在 x 轴的下方，无论 x 为任何实数，都有 当 a 2'2y axbx c 的图象与 y 轴一定相交，交点坐标为(0， c) ；2. 抛物线3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式；2y axbx c中⑶ 根据图象的位置判断二次函数a ，b ，c 的符号，或由二次函 数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 .2axbx c(a 0) 本身就是所⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 含字母 x 的二次函数；下面以0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元a二次方程之间的内在联系：抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程有两个不相等实根有两个交点可正、可零、可负0抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程有两个相等的实数根只有一个交为非负点抛物线与x 轴二次三项式的值一元二次方程无实数根.无交点恒为正二次函数图像参考：y=2x 2y=x 2x 2 22y=2x 2y=2(x-4)y=y=2(x-4) 2-3y=2 x 2 +22y=3(x+4)2y=3x x2y=2y=3(x-2) 2 y=2 x 2-4x22y= -y=-2(x+3) 2y= -x 2y=-2(x-3) 2y=-2x 22y=-2x刹车距离 何时获得最大利润最大面积是多少十一、函数的应用（二） 二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中 ，如：22y (m 2) x mm 2 的图像经过原点，已知以 x 为自变量的二次函数 则m 的值 是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是 在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题， 如：kx y(k 0)2y kx k 如图，函数 和在同一直角坐标系中图象可能是图中的()3.考查用待定系数法求二次函数的解析式， 有关习题出现的频率很高， 习题类型 有中档解答题和选拔性的综合题，如：53 ，求这条抛物线的解析式。
中考数学二次函数题型总结一网打尽
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二次函数在历年中考中均为压轴题，区分度较大，通常为三小问，每小问4分，共计11-12分。
第一问较为基础，通常为求，点坐标或函数解析式(二次函数、一次函数)，以及判断三角形形状（通常为判断直角三角形）和求线段长度，求解比较容易。
第二问为动，点双最值问题，难度中上。
通常为“面积最值+线段和差最值”或“线段和差积最值+线段和差最值”组合形式，即先求出使得某三角或四边形面积最大时的动点位置，在此基础上再求相关线段和差最值，如两线段差值最大或线段和最小（如某三角形或四边形周长最小等），计算量偏大，易出错。
常要利用第一问中的条件或结论进行求解。
第三问多为动态背景下的存在性问题，常为两类。
一类是动点，一类是动线（线段运动或是抛物线运动），在此背景下讨论特殊几何图形(等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、矩形、菱形等)的存在性问题，综合性强，难度大。
历来以等腰三角形考察居多。
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2021年中考数学复习讲义-二次函数
二次函数知识梳理要点透析一、二次函数 1.二次函数一般地，形如c bx ax y ++=2(a 、b 、c 是常数，且a ≠0)的函数称为二次函数，其中x 是自变量，y 是x 的函数，2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项.二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的自变量x 可以是任意实数.2.二次函数的图象与性质（1）二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线x =-ab2，顶点坐标为（-ab2，a b ac 442-）.①a ＞0时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，x =-ab2时，y 的值最小，最小值为ab ac 442-.②a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，x =-ab2时，y 的值最大，最大值为ab ac 442-.（2）()k h x a y +-=2(a ≠0）的图象是抛物线，对称轴是直线h x =，顶点坐标为()k h ,.（3）抛物线的绘画：“五点法”即顶点加对称轴两边的各两点. 3. c bx ax y ++=2中a 、b 、c 的取值与函数图象的位置（1）由c bx ax y ++=2的a 、b 、c 的取值可以判断函数图象的位置a ——确定二次函数的开口方向；b ——在a 的值确定的前提下，b 的值确定-ab2的值大于或等于或小于0，从而确定函数图象的对称轴在y 轴的右边、y 轴还是在y 轴的左边.c——二次函数的图象与y 轴的交点坐标为（0，c ），c 的值确定图象与y 轴的交点在x 轴的上方、原点还是在x 轴的下方.（2）由二次函数c bx ax y ++=2（a ≠0）的图象能说明a 、b 、c 的符号开口方向——a ，对称轴的位置——-ab2，与y 轴的交点——c 4.二次函数解析式的确定 （1）二次函数的三种解析式①一般式：c bx ax y ++=2（a ≠0）②顶点式：()k h x a y +-=2(a ≠0）其中（h ，k ）为顶点③双根式：()()21x x x x a y --=(0≠a )其中1x 、2x 为抛物线与x 轴两交点的横坐标 （2）三种解析式的选用当已知条件是“图象过任意三点”或给出的是三组对应的x 、y 的值，用一般式，列出方程组，求出系数a 、b 、c .当已知条件涉及图象顶点、对称轴、最大值或最小值时，用顶点式，求待定系数a 、h 、k .当已知条件为抛物线与x 轴两交点坐标时，用双根式较为简捷. 5.抛物线的平移与对称（1）上、下平移直接在抛物线的解析式后进行加减，向上为“+”，向下为“-”；左、右移动，在()k h x a y +-=2的括号内进行加减，向左为“+”，向右为“-”.如果所给函数关系式为一般式c bx ax y ++=2，应化为顶点式，也可按照这样的方法实施：向上平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2+m ；向下平移m 个单位（m ＞0），则变为c bx ax y ++=2-m ；向左平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y ++++=2；向右平移m 个单位（m ＞0），则变为()()c m x b m x a y +-+-=2.（2）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于x 轴对称为（h ，-k ），抛物线关于x 轴对称的解析式变为()k h x a y ---=2,y =-〔()k h x a +-2〕，在解析式前添上“-”即可.一般式c bx ax y ++=2关于x 轴对称时，相同的x ，对应的y 正好相反，故-c bx ax y ++=2，即c bx ax y ---=2，所有系数均变为相反数.（3）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于y 轴对称的点的坐标为（-h ，k ），解析式变为()k h x a y ++=2.一般式c bx ax y ++=2关于y 轴对称时，对称的点的纵坐标不变，横坐标互为相反数，故解析式为c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y +-=2，只需把一次项系数变为相反数. （4）抛物线()k h x a y +-=2的顶点为（h ，k ），关于原点对称的点的坐标为（-h ，-k ），解析式变为()k h x a y -+-=2.一般式c bx ax y ++=2关于原点对称，对称点的横、纵坐标均变为其相反数，故解析式为-c x b x a y +-+-=)()(2，即c bx ax y -+-=2，二次项系数、常数项均变为相反数，一次项系数不变. 6．特别提示（1）二次函数的图象用“五点法”绘画，其中关键一点是顶点，然后在顶点两边各取两个点.（2）三元一次方程组的解法课标不作要求，已知任意三点坐标，求二次函数的解析式，一般难以出现.二、二次函数与一元二次方程1.一般地，二次函数c bx ax y ++=2的图象与一元二次方程02=++c bx ax 的根有如下关系：如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个不相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴有一个公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实数根.如果二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴没有公共点，那么一元二次方程02=++c bx ax 没有实数根.反之，根据一元二次方程02=++c bx ax 根的情况也可以知道二次函数的图象c bx ax y ++=2与x 轴的位置关系.2.一元二次方程02=++c bx ax 的近似求解（1）画出c bx ax y ++=2的图象，读出图象与x 轴交点的横坐标，即是对应方程的解. （2）在同一直角坐标系中画出2ax y =与c bx y --=的图象，读出交点的横坐标，即是方程的解.比较方法（1），虽说画了两个函数图象，但相比较而言，这两个图象要容易画得多. 3．特别提示：已知二次函数求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，可以解对应的一元二次方程，但若问，自变量取何值时，函数值大于0或小于0，就不能解对应的一元二次不等式，而应画出函数图象，直接由函数图象读出. 典例演示例1．二次函数c bx ax y ++=2的图象如图5.2-1所示，则一次函数a bx y +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限思路点拨 由二次函数的图象知a ＞0,b ＞0,c ＞0,一次函数a bx y +=的图象过一、二、三象限. 解：选D.例2.已知抛物线c bx ax y ++=2的开口向下，顶点坐标为（2，－3），那么该抛物线有（ ） A. 最小值 －3 B. 最大值－3 C. 最小值2 D. 最大值2 思路点拨 抛物线开口向下，有最大值，最大值为顶点的纵坐标. 解：选B.例3.二次函数5632+--=x x y 的图像的顶点坐标是（ ） A ．（-1，8） B ．（1，8） C ．（-1，2） D ．（1，-4）思路点拨 配方法或直接代入公式（ab 2-，a b ac 442-）求顶点坐标.解：选A.例4.抛物线c bx x y ++=2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322--=x x y ，则b 、c 的值为（ ） A .2=b ，2=c B. 2=b ，0=cC . 2-=b ，1-=c D. 3-=b ，2=c思路点拨 将抛物线322--=x x y 向左平移两个单位，再向上平移三个单位即得到抛物线c bx x y ++=2，有c bx x y ++=2=34)21(2+-+-xx图5.2-1y O图5.2-2解：选B.例5.已知二次函数)1()2(2-+-=a a x y （a 为常数），当a 取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”．图5.2-2分别是当1-=a ，0=a ，1=a ，2=a 时二次函数的图象.它们的顶点在一条直线上，这条直线的解析式是y = .思路点拨 顶点坐标为（a 2，1-a ），a x 2=，1-=a y ，消去a ，就可以得到顶点的横、纵坐标满足的函数关系式. 解：12-=xy 例6.若二次函数k x x y ++-=22的部分图象如图5.2-3所示，则关于x 的一元二次方程022=++-k x x 的一个解31=x ，另一个解=2x ；思路点拨 抛物线关于直线1=x 对称，对应方程的解为抛物线与x 轴的两个交点的横坐标. 解：-1例7.如图5.2-4，是二次函数c bx ax y ++=2图象的一部分，其对称轴为直线1=x ，若其与x 轴一交点为A （3，0），则由图象可知，不等式c bx ax ++2＜0的解集是 . 思路点拨 根据图象读出抛物线与x 轴的另一个交点坐标为（-1，0），不等式的解即为图象在x 轴下方对应的x 的值. 解：－1＜x ＜3.例8.已知二次函数32-+=bx ax y 的图象经过点A （2，－3），B （－1，0）． （1）求二次函数的解析式；（2）填空：要使该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，应把图象沿y 轴向上平移 个单位．思路点拨 （1）函数图象过点，说明点的坐标适合函数解析式，（2）抛物线与x 轴只有一个公共点，对应的ac b 42-=0.解：(1)由已知，有⎩⎨⎧=---=-+033324b a b a ，即⎩⎨⎧=-=+3024b a b a ，解得⎩⎨⎧-==21b a∴所求的二次函数的解析式为322--=x x y . (2) 4y图5.2-3Ox1 3图5.2-4例9．如图5.2-5，已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点. （1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C ， 连结BA 、BC ，求△ABC 的面积.思路点拨 （1）代入求出b 、c.(2)确定对称轴，求出C 点坐标，再求△ABC 的面积.解：（1）把A （2，0）、B （0，－6）代入c bx x y ++-=221 得：⎩⎨⎧-==++-6022c c b 解得⎩⎨⎧-==64c b∴这个二次函数的解析式为64212-+-=x x y（2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24=-⨯-=x∴点C 的坐标为（4，0）∴224=-=-=OA OC AC ∴6622121=⨯⨯=⨯⨯=∆OB AC S ABC 例10.用长度为20m 的金属材料制成如图5.2-6所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m ．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．思路点拨 用x 表示出金属框围成图形的面积S ，得到一二次函数，二次项系数为负，有最大值.配方或公式求出何时取得最大值. 解：根据题意可得：等腰直角三角形的直角边为x 2cm ，矩形的一边长为x 2cm ．其相邻边长为x x)22(102)224(20+-=+-该金属框围成的面积[]x x x x S 2221)22(102•⨯++-•==x x 20)223(2++-（25100-<<x ） 当2203022310-=+=x 时, 金属框围成的面积最大，此时矩形的一边是220602-=x （m ）,相邻边长为10210)223(10)22(10-=-⨯+-(m)∴)22-(3100=最大S (2m )答：当矩形的一边是（22060-）m ,相邻边长为（10210-）米时，面积最大，y xCAO B图5.2-5 图5.2-6为)22-(31002m .例11.某商店经营一种小商品，进价为2.5元，据市场调查，销售单价是13.5元时平均每天销售量是500件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出100件.(1)假定每件商品降价x 元，商店每天销售这种小商品的利润是y 元，请写出y 与x 间的函数关系式，并注明x 的取值范围．(2)每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大？最大利润是多少？(注：销售利润＝销售收入－购进成本)思路点拨 （1）用每件利润乘以销售件数就得到利润.（2）函数关系式为二次函数，二次项系数为负有最大值.解：(1)设降价x 元时利润最大．依题意：)100500)(5.25.13(x x y +--=整理得：)556(1002++-=x x y (0＜x ≤1) (2)由(1)可知，当x ＝3时y 取最大值，最大值是6400即降价3元时利润最大，∴销售单价为10.5元时，最大利润6400元 答：销售单价为10.5元时利润最大，最大利润为6400元. 方法归纳一、二次函数的图象位置与字母系数取值a :开口方向 c :与y 轴的交点的纵坐标 a 、b ：对称轴的位置 b 2-4ac :与x 轴的交点个数 a+b+c :x=1时，y 的值 a-b+c :x =-1时，y 的值 2a+b:对称轴在直线x=1的左边还是右边 2a-b: 对称轴在直线x=-1的左边还是右边. 二、二次函数的图象变换二次函数的图象变换，关键是顶点的变换，结合考虑抛物线的开口方向. 三、二次函数的实际应用1.根据题意，布列出函数关系式，再利用二次函数的知识解决相关问题；2.已知实际生活中的抛物线，建立坐标系解决问题时，坐标系的建立力求简单，通常以抛物线的顶点为坐标原点，水平直线为x 轴，竖直直线为y 轴.此处提醒注意的是：距离与点的坐标之间的关系.四、二次函数中存在性题的处理基本思路：先对结论作肯定存在的假设，然后由此肯定的假设出发，结合已知条件进行推理论证，若导出矛盾，则否定先前的假设；若推出合理的结论，则说明假设正确，由此得出问题的结论.。
二次函数知识点总结——题型分类总结
二次函数知识点总结——题型分类总结一、二次函数的定义（考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 .①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ； ④y=－3x ； ⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =(4,x) ； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
[4、若函数y=(m －2)x m－2+5x+1是关于x 的二次函数，则m 的值为 。
6、已知函数y=(m －1)x m2 +1+5x －3是二次函数，求m 的值。
二、二次函数的对称轴、顶点、最值}记忆：如果解析式为顶点式：y=a(x －h)2+k ，则对称轴为： ，最值为： ；如果解析式为一般式：y=ax 2+bx+c ，则对称轴为： ，最值为： ； 如果解析式为交点式：y=(x-x 1)(x-x 2), 则对称轴为： ，最值为： 。
1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 （4y ＝ax 2－6x 经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( )5．若直线y ＝ax ＋b 不经过二、四象限，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c( ) A.开口向上，对称轴是y 轴 B.开口向下，对称轴是y 轴 C.开口向下，对称轴平行于y 轴 D.开口向上，对称轴平行于y 轴6．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ . 7．抛物线y=x 2+2x －3的对称轴是 。
2021年九年级数学中考复习——二次函数基础复习
2021年人教版中考复习——22章二次函数基础复习一、选择题1. 要由抛物线得到抛物线 ，则抛物线 必须A. 向左平移 个单位，再向下平移 个单位B. 向右平移 个单位，再向上平移 个单位C. 向右平移 个单位，再向下平移 个单位D. 向左平移 个单位，再向上平移 个单位2．设函数221y x kx k =++-（k 为常数），下列说法正确的是（ ）． A ．对任意实数k ，函数与x 轴都没有交点B ．存在实数n ，满足当x n ≥时，函数y 的值都随x 的增大而减小C ．k 取不同的值时，二次函数y 的顶点始终在同一条直线上D ．对任意实数k ，抛物线221y x kx k =++-都必定经过唯一定点3.若抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴的公共点的坐标是（﹣1，0），（5，0），则这条抛物线的对称轴是直线（ ）A. x ＝1B. x ＝2C. x ＝3D. x ＝﹣24．点A ，B 的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax 2+bx+c （a ＜0）的顶点在线段AB 上运动时，形状保持不变，且与x 轴交于C ，D 两点（C 在D 的左侧），给出下列结论：①c ＜3；②当x ＜﹣3时，y 随x 的增大而增大；③若点D 的横坐标最大值为5，则点C 的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB 为平行四边形时，43a =- ．其中正确的是（ ） A ．②④B ．②③C ．①③④D ．①②④5.关于函数y=x 2的性质表达正确的一项是（ ）A. 无论x 为任何实数，y 值总为正B. 当x 值增大时，y 的值也增大C. 它的图象关于y 轴对称D. 它的图象在第一、三象限内6. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的底边长为A. B. C. D. 或 7．正实数x ，y 满足xy=1，那么44114x y 的最小值为（ ）A ．12 B ．58 C ．1 D 8.抛物线y=(x-1)2+2的顶点坐标是（ ） A. (1，2) B. (-1，2) C. (1，-2) D. (-1，-2)9. 下列函数中，属于二次函数的是A.B. C.D.10．已知二次函数y=-x 2+（a -2）x+3，当x ＞2时，y 随x 的增大而减小，并且关于x 的方程ax 2-2x+1=0无实数解。
二次函数知识点总结及中考题型总结
二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结（一）二次函数知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2=++（a b cy ax bx c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2=++的结构特征：y ax bx c⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2=的性质：y axa 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
Array2.2=+y ax c 的性质：上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k=-+的性质：三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k=-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y axbx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，．五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a-．2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y axbx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a ->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02b a ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02b a -<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴a bx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2y ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=---；()2y a x h k=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=---；2. 关于y轴对称2y ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+；()2y a x h k=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k=++；3. 关于原点对称2y ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c=-+-；()2y a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=-+-；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c=++关于顶点对称后，得到的解析式是222by ax bx ca=--+-；()2y a x h k=-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k=--+．5. 关于点()m n ，对称()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k=-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数： ① 当240bac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y axbx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y axbx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)axbx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：二次函数图像参考：2-32y=3(x+4)22y=3x 2十一、函数的应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少（二）二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，函数2y kx k =-和(0)ky k x=≠在同一直角坐标系中图象可能是图中的( )3.考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数中考复习题型总结归纳
中考专题之二次函数考点一：二次函数解析式【知识点】三种解析式形式 1.一般式：2+y ax bx c =+(a ≠0)．若已知条件是图象上的三个点，则设所求二次函数为2y ax bx c =++，将已知条件代入，求出a 、b 、c 的值．2.交点式（双根式）：12()()(0)y a x x x x a =--≠．若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为(x 1，0)，(x 2，0)，设所求二次函数为12()()y a x x x x =--，将第三点(m ，n)的坐标(其中m 、n 为已知数)或其他已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 3.顶点式：2()(0)y a x h k a =-+≠．若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(或最小值)，设所求二次函数为2()y a x h k =-+，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式． 【经典例题】例1 已知一条抛物线经过点 （0，0），（2，4），（4，0）,求这个函数关系式。
【变式练习】1．已知二次函数的图象经过A （0，3）、B （1，3）、C （－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
2．已知抛物线过A （1，0）和B （4，0）两点，交y 轴于C 点且BC ＝5，求该二次函数的解析式。
3．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
4．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－3），且经过点P（2，0）点，求二次函数的解析式。
5．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。
考点二：二次函数图像【知识点】一、各种形式的二次函数的图像性质如下表：1.抛物线c bx ax y ++=2中的系数c b a ,,（1）a 决定开口方向，几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.当0>a 时，抛物线开口向上，顶点为其最低点；当0<a 时，抛物线开口向下，顶点为其最高点. （2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置：当0=b 时，对称轴为y 轴；当a 、b 同号时，对称轴在y 轴左侧；当a 、b 异号时，对称轴在y 轴右侧.（3）c 决定抛物线与y 轴交点位置：当0=c 时，抛物线经过原点； 当0>c 时,相交于y 轴的正半轴；当0<c 时,则相交于y 轴的负半轴. （4）.抛物线与x 轴的交点设二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ，是对应一元二次方程02=++c bx ax 的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式来判定： （1）240b ac ->⇔抛物线与x 轴有两个交点；（2）240b ac -=⇔抛物线与x 轴有一个交点（顶点在x 轴上）； （3）240b ac -<⇔抛物线与x 轴没有交点. 要点诠释：当x ＝1时，函数y ＝a+b+c ； 当x ＝-1时，函数y ＝a-b+c ； 当a+b+c ＞0时，x ＝1与函数图象的交点在x 轴上方，否则在下方； 当a-b+c ＞0时，x ＝-1与函数图象的交点在x 轴的上方，否则在下方． 2.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=，顶点是），（ab ac a b 4422--，对称轴是直线ab x 2-=。
【数学知识点】2021中考二次函数复习知识点
【数学知识点】2021中考二次函数复习知识点一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.)则称y为x的二次函数。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)顶点式：y=a(x-h)^2+k [抛物线的顶点P(h，k)]交点式：y=a(x-x?)(x-x ?) [仅限于与x轴有交点A(x? ，0)和 B(x?，0)的抛物线]注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a x?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛物线。
、考点1：函数以及函数的定义域、函数值等有关概念，函数的表示法，常值函数考核要求：(1)通过实例认识变量、自变量、因变量，知道函数以及函数的定义域、函数值等概念;(2)知道常值函数;(3)知道函数的表示方法，知道符号的意义。
考点2：用待定系数法求二次函数的解析式考核要求：(1)掌握求函数解析式的方法;(2)在求函数解析式中熟练运用待定系数法。
注意求函数解析式的步骤：一设、二代、三列、四还原。
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
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(2021年整理)初三数学二次函数知识点总结
初三数学二次函数知识点总结编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初三数学二次函数知识点总结）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为初三数学二次函数知识点总结的全部内容。
初三数学 二次函数 知识点总结一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项．二、二次函数的基本形式二次函数的基本形式()2y a x h k =-+的性质：a 的绝对值越大,抛物线的开口越小。
三、二次函数图象的平移1。
平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移；k 值正上移，负下移"． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移：向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点）。
2021中考数学知识点总结 二次函数 （4大知识点，细分小知识点） (1)
二次函数考点一、二次函数的概念和图像 （3~8分） 一、二次函数的概念一样地，若是)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，，那么y 叫做x 的二次函数。
)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一样式。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于abx 2-=对称的曲线，这条曲线叫抛物线。
抛物线的要紧特点：①有开口方向；②有对称轴；③有极点。
3、二次函数图像的画法 五点法：（1）先依照函数解析式，求出极点坐标，在平面直角坐标系中描出极点M ，并用虚线画出对称轴 （2）求抛物线c bx ax y ++=2与坐标轴的交点：当抛物线与x 轴有两个交点时，描出这两个交点A,B 及抛物线与y 轴的交点C ，再找到点C 的对称点D 。
将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就取得二次函数的图像。
当抛物线与x 轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y 轴的交点C 及对称点D 。
由C 、M 、D 三点可粗略地画出二次函数的草图。
若是需要画出比较精准的图像，可再描出一对对称点A 、B ，然后按序连接五点，画出二次函数的图像。
考点二、二次函数的解析式 （10~16分） 二次函数的解析式有三种形式：（1）一样式：)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，（2）极点式：)0,,()(2≠+-=a k h a k h x a y 是常数，（3）当抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有交点时，即对应二次好方程02=++c bx ax有实根1x 和2x 存在时，依照二次三项式的分解因式))((212x x x x a c bx ax --=++，二次函数c bx ax y ++=2可转化为两根式))((21x x x x a y --=。
若是没有交点，那么不能如此表示。
考点三、二次函数的最值 （10分）若是自变量的取值范围是全部实数，那么函数在极点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，a b ac y 442-=最值。
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二次函数考点分类复习知识点一：二次函数的定义考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式。
备注：当b=c=0时，二次函数y=ax2是最简单的二次函数． 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x 2－4x+1； ②y=2x 2； ③y=2x 2+4x ；④y=－3x ；⑤y=－2x －1； ⑥y=mx 2+nx+p ； ⑦y =； ⑧y=－5x 。
2、在一定条件下，若物体运动的路程s （米）与时间t （秒）的关系式为s=5t 2+2t ，则t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 。
3、若函数y=(m 2+2m －7)x 2+4x+5是关于x 的二次函数，则m 的取值范围为 。
课后练习：（1）下列函数中，二次函数的是（ ）A ．y=ax 2+bx+cB 。
2)1()2)(2(---+=x x x y C 。
xx y 12+= D 。
y=x(x —1) （2）如果函数1)3(232++-=+-mx xm y m m 是二次函数，那么m 的值为知识点二：二次函数的对称轴、顶点、最值1、二次函数 c bx ax y ++=2，当0>a 时⇔抛物线开口向上⇔顶点为其最低点；当0<a 时⇔抛物线开口向下⇔顶点为其最高点2、对于y=ax 2+bx+c 而言，其顶点坐标为（ ，）．对于y=a （x －h ）2+k 而言其顶点坐标为（ ， ）。
二次函数c bx ax y ++=2用配方法或公式法（求h 时可用代入法）可化成：k h x a y +-=2)(的形式，其中h= ,k= 练习：1．抛物线y=2x 2+4x+m 2－m 经过坐标原点，则m 的值为 。
2．抛物y=x 2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3），则b ＝ ，c ＝ . 3．抛物线y ＝x 2＋3x 的顶点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4．已知抛物线y ＝x 2＋(m －1)x －14 的顶点的横坐标是2，则m 的值是_ .5．若二次函数y=3x 2+mx －3的对称轴是直线x ＝1，则m ＝ 。
6．当n ＝______，m ＝______时，函数y ＝(m ＋n)x n＋(m －n)x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________.。
7．已知二次函数y=x 2－4x+m －3的最小值为3，则m ＝ 。
知识点三：函数y=ax 2+bx+c 的图象和性质 1．抛物线y=x 2+4x+9的对称轴是 。
2．抛物线y=2x 2－12x+25的开口方向是 ，顶点坐标是 。
3．试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x ＝－2，且与y 轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式 。
4．通过配方，写出下列函数的开口方向、对称轴和顶点坐标：（1）y=12 x 2－2x+1 ； （2）y=－3x 2+8x －2； （3）y=－14 x 2+x －4知识点四：函数y=a(x －h)2的图象与性质 1．填表：2．已知函数y=2x 2,y=2(x －4)2，和y=2(x+1)2。
（1）分别说出各个函数图象的开口方、对称轴和顶点坐标。
（2）分析分别通过怎样的平移。
可以由抛物线y=2x 2得到抛物线y=2(x －4)2和y=2(x+1)2？3．试写出抛物线y=3x 2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点坐标。
（1）右移2个单位；（2）左移23 个单位；（3）先左移1个单位，再右移4个单位。
4．试说明函数y=12 (x －3)2的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）。
知识点五：二次函数的增减性1.二次函数y=3x 2－6x+5，当x>1时，y 随x 的增大而 ；当x<1时，y 随x 的增大而 ；当x=1时，函数有最 值是 。
2.已知函数y=4x 2－mx+5，当x> －2时,y 随x 的增大而增大；当x< －2时，y 随x 的增大而减少；则x ＝1时,y 的值为 。
3.已知二次函数y=x 2－(m+1)x+1，当x ≥1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .4.已知二次函数y=－12 x 2+3x+52 的图象上有三点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),C(x 3,y 3)且3<x 1<x 2<x 3，则y 1,y 2,y 3的大小关系为 . 知识点六：二次函数的平移技法：只要两个函数的a 相同，就可以通过平移重合。
将二次函数一般式化为顶点式y=a(x －h)2+k ，平移规律：左加右减，对x ；上加下减，直接加减6.抛物线y= －32 x 2向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
7.抛物线y= 2x 2， ，可以得到y=2(x+4}2－3。
8.将抛物线y=x 2+1向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得到的抛物线的关系式为 。
知识点七：函数的交点11.抛物线y=x 2+7x+3与直线y=2x+9的交点坐标为 。
12.直线y=7x+1与抛物线y=x 2+3x+5的图象有 个交点。
知识点八：函数的的对称13.抛物线y=2x 2－4x 关于y 轴对称的抛物线的关系式为 。
14.抛物线y=ax 2+bx+c 关于x 轴对称的抛物线为y=2x 2－4x+3，则 a= b= c=知识点九：函数的图象特征与a 、b 、c 的关系①a 的符号判别---开口向上⇔ a 0；开口向下⇔ a 0； ②c 的符号判别---由抛物线的与Y 轴的交点来确定：若交点在y 轴的正半轴⇔c 0； 若交点在y 轴的负半轴⇔c 0； 若交点在原点⇔c 0；③b 的符号由对称轴来确定：（左同右异)对称轴在Y 轴的左侧⇔ a 、b 同号； 对称轴在Y 轴的右侧⇔a 、b 异号。
④a+b+c 的符号由x=1时的点的位置决定;a －b+c 的符号由x=－1时的点的位置决定 点（1，a+b+c ）在x 轴上方⇔a+b+c 0点（1，a+b+c ）在x 轴下方⇔a+b+c 0 点（-1，a-b+c ）在x 轴上方⇔a-b+c 0点（-1，a-b+c ）在x 轴下方⇔a-b+c 0⑤b+2a 的符号由对称轴与1的大小关系确定；b －2a 或2a-b 的符号由对称轴与-1的大小关系确定 ⑥△的符号由抛物线与x 轴的交点个数确定⎪⎩⎪⎨⎧0△＜ 个交点00 =△ 个交点1 0△＞ 个交点2轴有抛物线与x1.已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如右图所示，则a 、b 、c 的符号为（ ） A.a>0,b>0,c>0 B.a>0,b>0,c=0C.a>0,b<0,c=0D.a>0,b<0,c<02.抛物线y=ax 2+bx+c 中，b ＝4a ，它的图象如图3，有以下结论：①c>0； ②a+b+c> 0 ③a-b+c> 0 ④b 2-4ac<0 ⑤abc< 0 ；其中正确的为（ ） A ．①②B ．①④C ．①②③D ．①③⑤3.当b<0是一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2+bx+c 在同一坐标系内的图象可能是（ ）4、已知二次函数的图像如图所示，下列结论：⑴a+b+c ﹤0 ⑵a-b+c ﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a其中正确的结论的个数是（ ）A 1B 2C 3D 4知识点十：二次函数与x 轴、y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 知识点：二次函数与x 轴有交点，y=0,；与y 轴有交点，x=0.1. 如果二次函数y ＝x 2＋4x ＋c 图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可） 2. 二次函数y ＝x 2-2x-3图象与x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线y ＝－3x 2＋2x －1的图象与x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点4. 若二次函数y ＝(m+5)x 2+2(m+1)x+m 的图象全部在x 轴的上方，则m 的取值范围是5. 二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，（1）根据图象写出方程20ax bx c ++=的两个根．（2） 根据图象写出不等式20ax bx c ++>的解集．（3） 若方程2ax bx c k ++=有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．-11yx y33 22 11 4 1- 1- 2-O6. 已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ．7. 已知函数2y ax bx c =++的图象如图所示，那么关于x 的方程220ax bx c +++=的根的情况是（ ） 8. A ．无实数根B ．有两个相等实数根9. C ．有两个异号实数根D ．有两个同号不等实数根10. 已知二次函数y=x 2+x+m,当x 取任意实数时,都有y>0,则m 的取值范围是( ) 11. A.m≥14; B.m>14; C.m ≤14; D.m<1412. 已知关于x 的函数y ＝（m －1）x 2＋2x ＋m 图像与坐标轴有且只有2个交点，则m ＝ 13. 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ，且52221=+x x ，m=14. 已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB 5m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.15.如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点A、C的坐标分别是（-1，0）（0，1.5）（1）求此抛物线的函数关系式。
（2）若点P是此抛物线上位于x轴上方的一个动点，求三角形ABP面积的最大值。
（3）问：此抛物线位于x轴的下方是否存在一点Q，，使△ABQ的面积与△ABP的面积相等？如果有，求出该点坐标，如果没有请说明理由。
知识点十一：函数解析式的求法一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式y=ax2+bx+c，然后解三元方程组求解；1．已知二次函数的图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。
二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式y=a(x－h)2+k 求解。
2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。
三、已知抛物线与轴的交点的坐标时，通常设解析式为交点式y=a(x－x1)(x－x2)。