高中数学必修一函数的概念知识点总结

必修一第一章 集合与函数概念
二、函数
知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念
设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域
②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域.
2》区间和无穷大
①设a 、b 是两个实数，且a<b ，则：{x|a ≤x ≤b}＝[a,b] 叫闭区间； ②{x|a<x<b}＝(a,b) 叫开区间；
③{x|a ≤x<b}＝[,)a b ， {x|a<x ≤b}＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.
④符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则
{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.
3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.
典例分析
题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ）
A 、x y x f 21)(=
→ B 、x y x f 31
)(=→ C 、
x y x f 32
)(=→ D 、x y x f =→)(
例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数：
①
}{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方；
③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。

是函数的是_________________。

题型2：区间的表示
例1：用区间表示下列集合 （1）
}{1≥x x =_____________。

（2）}{42≤<x x =____________。

（3）}{2,1≠->x x x 且=_____________。

（4）}{3-≤x x =______________。

题型3：求函数的定义域和值域 例1：求函数的定义域
（1）32+=x y （2）1
21
y x =+- (3)2
1-=
x y (4)y =
(5)
0)1(3
1
4++++
+=x x x y
例2：求下列函数的定义域与值域： 类型1：初级函数 （1）
)11(23≤≤-+=x x y ； （2）1)1(2+-=x y (3)2
2y x x =-++.
类型2：分离常数法 (4)
1
4
5-+=
x x y （5）3254x y x +=
-
类型3：换元法 （6）32+-=x x y （7）1+-=x x y
（8）
x x y 422+--= （9）2
6
2+-=
x x y
题型4：求抽象函数的定义域和值域
（定义域一定是x 的取值范围，f 加工范围不变） 例1：如果函数)(x f 的定义域是[0,1],则函数)21(x f -的定义域为_________________。

例2：若函数)12(-x f 的定义域为[-1,1]，则函数)(x f 的定义域为_________________。

例3：若函数)3(+x f 的定义域为[-4,5]，则函数)32(-x f 的定义域为______________。

例4：若函数)12(-x f 的定义域为(-1,5]，则函数)52(x f -的定义域为______________。

例5：设函数)(x f 的定义域为[0,1],求
（1）函数)(2x f 的定义域
（2）函数
)2(-x f 的定义域
题型5：判断是否为相同的函数
例1：下列各组函数是同一函数的是______________。

①x x x g x x f 2)(2)(3-=-=与 ②2
)()(x x g x x f ==与
③0
01)()(x x g x x f =
=与 ④12)(12)(22--=--=t t x g x x x f 与
知识点9：函数的表示法
1》函数的三种表示方法：解析式法、列表法、图像法 2》求函数解析式的方法：
①待定系数法 ②换元法 ③代入法 ④配凑法 ⑤方程组法
典例分析
题型1：待定系数法求函数解析式
例1：已知二次函数)(x g 满足5)1(,1)1(=-=g g ，图像过原点，求函数)(x g 的解析式
例2：已知二次函数)(x g ，其图像的顶点是（-1,2），且经过原点，求函数)(x g 的解析式
例3：已知二次函数)(x h 与x 轴的两个交点为（-2,0），（3,0），且3)0(-=h ，求)(x h 的解析式 例4：)(x f 是一次函数，且满足172)1(3+=+x x f ，求)(x f 的表达式
例5：已知
)(x f 为一次函数，如果14)]([-=x x f f ，求)(x f 的解析式
题型2：代入法求解析式 例1：已知34)(2+-=x x x f ，求)1(+x f
题型3：换元法和配凑法求解析式 例1：已知1)1(2-=+x x f ，求)(x f 的解析式
例2：若2
21)1(x
x x x f +=+，求
)(x f 的表达式
例3：若
x x x f 2)1(+=+，求)(x f 的表达式
例4：已知函数1(
)1x
f x x
-=+. 求：（1）()f x 的表达式； （2） (2)f 的值
例5：已知函数
23)12(+=+x x f ，且4)(=a f ，则=a _________。

题型4：方程组法求函数解析式
例1：已知函数)(x f 满足条件x x
f x f =+)1
(2)(，则)(x f =_________________。

例2：已知12)()(2-=--x x f x f ，求)(x f 的表达式
例3：已知函数)(x f 满足条件x x
f x f 3)1
()(2=+，求)(x f 的表达式
例4：若x x f x f 2)1(2)1(3=-+-，求)(x f 的表达式
知识点10：分段函数
1》分段函数定义：在函数的定义域内，对于自变量x 在不停的取值范围内，函数有不同的对应关系，这样的函数通常叫作分段函数。

2》分段函数的三要素：
①分段函数的对应关系：在定义域的不同部分上，有不同的解析式 ②分段函数的定义域：分段函数的定义域是各段定义域的并集 ③分段函数的值域：值域是各段值域的并集
典例分析：
题型1：求函数值
例1：已知函数)(x f =
1
,1
1
1
,
212
>+≤--x x x x ，则
)]2
1
([f f 的值为______。

例2：已知函数)(x f =
1
,1
,232≥+<+x ax x x x ，若
a f f 4)]0([=，则实数a 的值为________。

例3：已知函数
)(x f = 2
,1221,
31
,12>-≤≤---<+-x x x x x ，则))5)2
3
(((+f f f =______________。

题型2：画分段函数的图像 例1：画出函数①
x y = ②1+=x y ③-=x y
___________________________。

例3：请画出函数
x
x
x
y
2
+
=的图像
y
知识点11：映射
1》映射的概念：一般的，设A,B 都是非空集合，如果按某一种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中
都有唯一确定的元素
y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

2》映射的分类（了解）：
①单射 ②满射 ③双射（一 一映射） 3》判断映射个数
若集合A,B 的元素分别为m,n,那么，从集合A 到集合B 的映射的个数为m
n 。

典例分析
题型1：映射定义的考察
例1：若A=R ，B=R ，B y A x ∈∈,，下列从A 到B 的对应法则中，是从A 到B 的映射的是（ ） A 、x
y x f ±=→: B 、
2:x y x f =→
C 、
x y x f =→: D 、
x
y x f 1
:=→
例2：下列对应不是A 到B 的映射的是（ ）
A 、A={0≥x x }，B={
0≥y y }，2:x y x f =→
B 、A={00<>x x x 或}，B={1}，0:x y x f =→
C 、A={2,3}，B={4,9}，)(:的整数倍是x y y x f →
D 、A=R ，B=R ，
)y A (2:B x y x f x ∈∈=→，以上
例3：下列对应是从集合A 到集合B 的映射的是（ ）
A 、A={0,>∈x Q x x }，B={
Q y y ∈}，对应法则是：求绝对值为x 的有理数y
B 、A=R ，B=R ，对应法则是：求倒数
C 、A={三角形}，B=R ，对应法则是：求三角形的面积
D 、A={圆}，B={三角形}，对应法则是：求圆的内接三角形
例4：设集合A={c b a ,,}，B={0,1}，试问：从A 到B 的映射共有__________个。

例5：已知集合A={1,2,3,4}，集合B ＝{3,4}，若令B A M =，B C N A =，那么从M 到N 的映射有____________个。

知识点12：函数的单调性 1》增函数与减函数的定义 ①增函数：一般地，设函数
)(x f 的定义域为I
：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，
都有
)()(21x f x f <，那么就说函数)(x f 在区间D 上是增函数
②减函数：一般地，设函数
)(x f 的定义域为I
：
如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ，当21x x <时，
都有
)()(21x f x f >，那么就说函数)(x f 在区间D 上是减函数
2》单调性与单调区间 ①如果函数
)(x f y =在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数)(x f y =在这个区间具有单调性
②函数的单调区间的书写方式
一个函数有两个或两个以上的单调区间时，用“和”或者“，”连接。

单调区间两端的开闭没有严格规定
典例分析
题型1：判断函数的增减性 例1：设区间ax x x f -+=1)(2，证明：当1≥a 时，函数)(x f 在区间[)+∞,0上是减函数。

例2：已知函数
)(x f 对任意R y x ∈,，总有)()()(y x f y f x f +=+，且当0>x 时，3
2
)1(,0)(-=<f x f （1）求证：)(x f 在R 上是减函数
（2）求)(x f 在[-3,3]上的最大值与最小值
题型2：确定单调区间 例1：求函数①1)(+=
x x x f ②112)(+-=x x x f ③1
2)(+-=x x x f 的单调区间。

例2：作出函数)1(2+-=x x y 的图像，并根据函数的图像找出函数的单调区间。

例3：写出下列函数的单调区间 （1）x
x f 3)(= （2）
32)(2++-=x x x f
例4：判断函数①2
23x x y --= ②
2
1x y -=的单调性
题型3：根据增减性求参数的取值范围 例1：若函数b x k y +-=)12(在实数集R 上是增函数，则k 的取值范围为_______________。

例2：若函数
)(x f 在区间[-2,3]上是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是______________。

例3：定义在（-1,1）上的函数)(x f 是减函数，且满足)()1(a f a f <-，则实数a 的取值范围___________。

题型4：函数的最值问题 例1：已知函数a x x x f ++-=4)(2，[]1,0∈x ，若)(x f 有最小值-2，则)(x f 的最大值为______。

例2:已知函数[])6,2(1
2
)(∈-=
x x x f ，求函数的最小值和最大值
例3：求函数
=)(x f 1
,510,30
,32>+-≤<+≤+x x x x x x ，的最大值
例4：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，总有)()()(y x f y f x f +=+，且当3
2)1(,0)(0-
=<>f x f x 时， （1）求证：)(x f 在R 上是减函数
（2）求)(x f 在[-3,3]上的最大值与最小值
知识补充：复合函数的增减性 1》复合函数定义：如果函数
)(u f y =的定义域为A ，函数)(x g u =的定义域为D ，值域为C ，且A C ⊆时，称函数
))((x g f y =为g f 与在D 上的复合函数，其中u 叫中间变量，)(x g u =叫做内函数，)(u f y =叫做外函数
2》复合函数单调性的判断可以根据下表：
典例分析
题型1：确定复合函数的单调区间 例1：已知228)(x x x f -+=，)2()(2x f x g -=，求函数)(x g 的单调区间
例2：设函数)(x f 的单调递增区间是（2,6），求函数)2(x f -的单调区间。

函数的奇偶性
知识点14：函数的奇偶性
1》偶函数定义：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x 的值，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数
***偶函数的图像特征：函数图像关于
y 轴对称，定义域也关于y 轴对称
2》奇函数定义：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x 的值，都有)()(x f x f -=-，那么函数)(x f 就叫做奇函数
****奇函数的图像特征：①函数图像关于原点成中心对称，定义域关于原点对称。

3》函数奇偶性的运算性质： 21D D )(),(，的定义域分别为设x g x f
,在它们的公共定义域上，有下列结论:
典例分析
题型1:判断奇偶函数
例1：判断下列函数的奇偶性
[)2
2)()3(4,4,3)()2(1
)()1(3+--=-∈+=+=x x x f x x x x f x x f （4）
=)(x f
0,12
1
0,12
122
<-->+x x x x
题型2：抽象函数的奇偶性 例1：已知函数)0,)((≠∈x R x x f 对任意不等于0的实数21,x x 都有)()()(2121x f x f x x f +=⋅，
求证：)(x f 函数为偶函数
例2：已知函数时，当R y x x f ∈,),(恒有)()()(y f x f y x f +=+
（1）求证：)(x f 函数为奇函数
（2）如果0>x 时，0)(<x f ，并且2
1
)1(-
=f ，试求)(x f 在区间[-2,6]上的最值。

题型3：根据奇偶性求参数和解析式 例1：已知定义域为R 的函数
a
b x f x x ++-=+122)(是奇函数，则________,==b a 。

例2：设函数x
a x x x f )
)(1()(++=
是奇函数，则_____=a 。

例3：函数
)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数______=a 。

例4：已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，32)(2--=x x x f ，则)(x f 的解析式为_______________________。