最新(新课标)高中数学《311变化率问题》课件新人教A版选修1-1
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《3.3.3 函数的最大(小)值与导数》课件
(0，1) 1 (1，2) 2
＋ 0 极 大 值 4 － － 5
f ( x)
－60
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
∴当 x＝－3 时，f(x)取最小值－60； 当 x＝－1 或 x＝1 时，f(x)取最大值 4. (2)f′(x)＝3x2－6x＋6＝3(x2－2x＋2)＝3(x－1)2＋3， ∵f′(x)在[－1，1]内恒大于 0， ∴f′(x)在[－1，1]上为增函数． 故 x＝－1 时，f(x)最小值＝－12； x＝1 时，f(x)最大值＝2. 即 f(x)的最小值为－12，最大值为 2.
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π 在开区间 － 2
π ， 2 内连续不断的，但没有最
(3)若函数 f(x)在开区间 I 上只有一个极值，且是极大(小)值，则这 个极大(小)值就是函数 f(x)在区间 I 上的最大(小)值． (4)开区间(a，b)上连续函数 y＝f(x)的最值的几种情况 图(1)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上有最大值无最小值； 图(2)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上有最小值无最大值； 图(3)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b) 上既无最大值也无最小值； 图(4)中的函数 y＝f(x)在开区间(a，b)上既有最大值又有最小值．
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[规范解答] (1)f′(x)＝3x2－2ax＋b， ∵函数 f(x)在 x＝－1 和 x＝3 处取得极值， ∴－1，3 是方程 3x2－2ax＋b＝0 的两根．(2 分) 2 －1＋3＝3a， a＝3， ∴ ∴ (4 分) b b＝－9. －1×3＝ ， 3 (2)由(1)知 f(x)＝x3－3x2－9x＋c， f′(x)＝3x2－6x－9.(6 分) 当 x 变化时，f′(x)，f(x)随 x 的变化如下表：
最新人教版高中数学选修1.1.1变化率问题. (2)ppt课件
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入
了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然 科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速 度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
v＝Δ Δst＝gt0Δt＋Δ 12gt（Δt）2＝g·t0＋12Δt
变式训练 本例条件不变,求: (1)物体在t＝10 s到t＝10.1 s,这段时间内的平均速度;
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-
2+Δy),则Δy/Δx=( )
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
v h h t2 h t1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知，
，
h( 65) h(0)
所以，
49 h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
t
虽然运动员在
98
0 这t 段46时95 间里的平均速度为
49
，
高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教A版选修1-1
甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教A 版选修1-1一. 设计思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法． 二. 教学目标1．理解平均变化率的概念； 2．了解平均变化率的几何意义；3．会求函数在某点处附近的平均变化率4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述和刻画现实世界的过程，体会数学的博大精深以及学习数学的意义。
三. 教学重点1. 通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2. 掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法； 四. 教学难点：平均变化率的概念． 五. 教学准备1. 认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2. 向有经验的同事请教；3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方． 六. 教学过程 一．创设情景（1） 让学生阅读章引言，并思考章引言写了几层意思？（2） 学生先阅读，思考，老师再提示；①以简洁的话语指明函数和微积分的关系，微积分的研究对象就是函数，正是对函数的深入研究导致了微积分的产生；②从数学史的角度，概括地介绍与微积分创立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家；③概述本章的主要内容，以及导数工具的作用和价值．让学生对这章书先有一个大概认识，从而使学生学习有了方向，能更好地进行以下学习． 二．新课讲授 （一）问题提出问题1气球膨胀率问题：老师准备了两个气球，请两位同学出来吹，请观看同学谈谈看见的情景；再请吹气球同学谈谈吹气球过程的感受，开始与结束感受是否有区别？我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm )之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r = 分析: 343)(πV V r =， ⑴ 当V 从0增加到1时,气球半径增加了)(62.0)0()1(dm r r ≈-气球的平均膨胀率为)/(62.001)0()1(L dm r r ≈--⑵ 当V 从1增加到2时,气球半径增加了)(16.0)1()2(dm r r ≈- 气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水问题：在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在怎样的函数关系？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h(t)= -4.9t2+6.5t+10.）如何计算运动员的平均速度？并分别计算０≤t ≤０.5，1≤t ≤2，1.8≤t ≤2，2≤t ≤2.2，时间段里的平均速度.思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：⑴运动员在这段时间内使静止的吗？⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态． （1）让学生亲自计算和思考，展开讨论；（2）老师慢慢引导学生说出自己的发现，并初步修正到最终的结论上.（3）得到结论是：①平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态，它并不能反映某一刻的运动状态. ②需要寻找一个量，能更精细地刻画运动员的运动状态；（二）平均变化率概念:引出函数平均变化率的概念．找出求函数平均变化率的步骤.ht o1．上述问题中的变化率可用式子 1212)()(x x x f x f --表示, 称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆) 3． 则平均变化率为=∆∆=∆∆x fx y xx f x x f x x x f x f ∆-∆+=--)()()()(111212 思考：观察函数f (x )的图象 平均变化率=∆∆xf 1212)()(x x x f x f --表示什么?（1） 师生一起讨论、分析，得出结果；（2） 计算平均变化率的步骤：①求自变量的增量Δx=x2-x1；②求函数的增量Δf=f(x2)-f(x1)；③求平均变化率2121()()f x f x f x x x -∆=∆-. 注意：①Δx 是一个整体符号，而不是Δ与x 相乘；②x2= x 1+Δx ；③Δf=Δy=y2-y1；三．典例分析例1．已知函数f (x )=x x +-2的图象上的一点)2,1(--A 及临近一点)2,1(y x B ∆+-∆+-,则=∆∆xy． 解：)1()1(22x x y ∆+-+∆+--=∆+-，∴x xx x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 例2． 求2x y =在0x x =附近的平均变化率。
人教A版高中数学选修1-1全册课件
• (4)大角所对的边大于小角所对的边． • (5)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数． • (6)求证方程x2＋x＋1＝0无实根． • 【错解】(1)是真命题． • (2)不是命题． • (3)(4)(5)是假命题． • (6)是祈使句，不是命题． • 【错因分析】只要举出一个反例就能判断命题为假命题．
的是________．
• 【解题探究】根据命题的定义逐个判断． • 【答案】②③⑤
【解析】①不是命题，因为它不是陈述句； ②是命题，是假命题，因为负数没有平方根； ③是命题，是假命题，例如－ 2＋ 2＝0,0 不是无理数； ④不是命题，因为它不是陈述句； ⑤是命题，是假命题，直线 l 与平面 α 可以相交．
• 【解题探究】找准命题的条件和结论，是解决这类问题的关 键．
【解析】①若一个数是 6，则它是 12 和 18 的公约数．是 真命题．
②若 a＞－1，则关于 x 的方程 ax2＋2x－1＝0 有两个不等 实根．是假命题，因为当 a＝0 时，方程变为 2x－1＝0，此时 只有一个实根 x＝12.
• ③已知x，y为非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2.是假 命题．
(5)求证 2是无理数；
(6)x>15.
• 解：(1)(2)(4)是能够判断真假的陈述句，所以是命题．(1)(4) 是真命题．因为－1<0，但(－1)2>0，所以(2)是假命题．(3) 是感叹句，所以不是命题．(5)是祈使句，所以不是命题． (6)中由于x是未知数，x可能大于15，也可能小于15，不能判 断真假，所以不是命题．
2012高中数学 3.1.1、2变化率与导数 精品课件同步导学 新人教A版选修1-1
• 答案： B
• 2．如果质点M按照规律s＝3t2 运动，则在t＝3时的瞬时速
度为( • A．6 • C．54
解析：
) B．18 D．81
2 2 Δs 33＋Δt －3×3 ＝ ＝18＋3Δt Δt Δt
• 答案：
Δs s′＝lim ＝lim (18＋3Δt)＝18.故选 B. Δt Δt→0 Δt→0
• 解答本题，根据瞬时速度和平均速度的意义，准确应用公 式来求．
[解题过程]
(1)当 t 由 t0 取得一个改变量 Δt 时，s 取得的相应改
1 1 2 1 2 变量为 Δs＝2g(t0＋Δt) －2gt0＝gt0Δt＋2g(Δt)2. 因此，在 t0 到 t0＋Δt 这段时间内，物体的平均速度为： 1 gt0Δt＋2gΔt2 Δs 1 v ＝ Δt ＝ ＝g· 0＋2Δt)．① (t Δt
2
即 g(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 4＋2Δx.12 分
[题后感悟]
(1)求函数 f(x)在 x1 到 x2 的平均变化率的步骤：
•
(2)由f(x)在1到1＋Δx之间的平均变化率为3，说明f(x)在x
＝1附近的平均变化率为定值，而g(x)在1到1＋Δx之间的平 均变化率为4＋2Δx，说明g(x)在x＝1附近的平均变化率与Δx 的大小有关．
1 所以 f′(x0)＝ ，故选 D. 3
【错因】
错解虽然注意到了系数关系，但却忽略了分子 Δy 与
fx0＋Δx－fx0 分母 Δx 的对应关系．在导数的定义 f′(x0)＝lim 中， Δx Δx→0 Δx 是分子 f(x0＋Δx)与 f(x0)中此类问题时容易忽略分子与分母相应的符号或 Δx 系数的一 致性．
②∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝[3×(1＋Δx)＋1]－(3×1＋1)＝3·Δx， Δy 3·Δx ∴ ＝ ＝3， Δx Δx 即 f(x)在 1 到 1＋Δx 之间的平均变化率为 3.9 分 ∵Δy＝g(1＋Δx)－g(1)＝[2×(1＋Δx)2 ＋1]－(2×12 ＋1)＝4·Δx＋ 2·(Δx)2， Δx Δy 4·Δx＋2· ∴Δx＝ ＝4＋2·Δx， Δx
高中数学 3.1 第1课时 变化率问题与导数的概念课件 新人教A版选修11
第十二页，共31页。
2．一物体的运动(yùndòng)方程是s＝3＋2t，则在[2,2.1]这
段时间内的平均速度是( )
A．0.41
B．2
C．0.3
D．0.2
[答案] B
[解析] Δs＝(3＋2×2.1)－(3＋2×2)＝0.2， Δt＝2.1－2＝0.1， ∴ΔΔst＝00..21＝2.
第十三页，共31页。
(Δx－3)＝－3.故选 C.
第十五页，共31页。
典例探究学案
第十六页，共31页。
平均(píngjūn)变化率
求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化率， 并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
[分析(fēnxī)] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达 式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．
时平均速度的极限，即 v＝lim Δt→0
ΔΔst为 t 时刻的瞬时速度．
2．求瞬时速度的步骤：
第一步，求平均速度．
第二步，求极限．
第二十三页，共31页。
已知物体的运动方程是S＝－4t2＋16t(S的单位为m；t的单
位为s)，则该物体在t＝2s时的瞬时速度(shùn shísùdù)为( )
A．3m/s
(2Δt2＋18Δt＋54)＝54.
第十四页，共31页。
4．已知f(x)＝x2－3x，则f ′(0)＝( )
A．Δx－3
B．(Δx)2－3Δx
C．－3
D．0
[答案(dáàn)] C
[解析]
f ′(0)＝lim Δx→0
0＋Δx2－30＋Δx－02＋3×0 Δx
＝ lim Δx→0
Δx2－Δx3Δx＝Δlixm→0
最新人教版高中数学选修1.1.1变化率问题.ppt课件
v
h0.5
0.5
h0
0
4.05 m /
s;
在1 t 2这段时间里,
v
h2 h1
21
8.2 m
/
s.
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探究 计算运动员在0 t 65 这段时间 49
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
x2 x1
示, 我 们 把 这 个 式 子 称 为 函 数 f x从 x1到 x2的 average rate of change . 习 惯 上
用x表 示 x2 x1 ,即 x x2 x1 ,
△x≠0
y
fx2 f x 1
y fx
B
A
x2 x1
fx2 fx1
状态有什么问题吗 ?
v h h t2 h t1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知，
，
h( 65) h(0)
所以，
49 h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
x
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方 法:
1.求函数的增量 2. 求函数的增量与自变量增量的比值
3. 求极限，导数
一差、二比、三极限
解 在第2h和第6h时, 原油温度的瞬时变化率就是f ' 2
和 f ' 6. 根据导数的定义, y f 2 x f 2
高中新课程数学(新课标人教A版)选修1-1《第三章 导数及其应用》归纳整合
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2．曲线的切线方程 利用导数求曲线过点 P 的切线方程时应注意： (1)判断 P 点是否在曲线上； (2)如果曲线 y＝f(x)在 P(x0， f(x0))处的切线平行于 y 轴(此时导数 不存在)，可得方程为 x＝x0；P 点坐标适合切线方程，P 点处的 切线斜率为 f′(x0)． 3． 利用基本初等函数的求导公式和四则运算法则求导数， 熟记 基本求导公式，熟练运用法则是关键，有时先化简再求导，会 给解题带来方便．因此观察式子的特点，对式子进行适当的变 形是优化解题过程的关键．
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(2)由 f(x)＝x3－3x2＋2 得，f′(x)＝3x2－6x. 由 f′(x)＝0 得，x＝0 或 x＝2. ①当 0<t≤2 时， 在区间(0， t)上 f′(x)<0， f(x)在[0， t]上是减函数， 所以 f(x)max＝f(0)＝2， f(x)min＝f(t)＝t3－3t2＋2. ②当 2<t<3 时，当 x 变化时，f′(x)、f(x)的变化情况如下表：
(x1，x2) －
x2 0 极小值
(x2，＋∞) ＋
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此时
a－ f(x)在0，
a2－8 上单调递增， 2
a－ 在 a＋ 在
a2－8 a＋ a2－8 ， 上单调递减， 2 2
a2－8 ，＋∞ 上单调递增． 2
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4．判断函数的单调性 (1)在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义 域，解决问题的过程只能在函数的定义域内进行，通过讨论导 数的符号，来判断函数的单调区间； (2)注意在某一区间内 f′(x)＞0(或 f′(x)＜0)是函数 f(x)在该区间上 为增(或减)函数的充分条件．
人教A版高中数学选修1-1第三章3.1.1变化率问题教学课件
我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程， 可以发现，随着气球内空气容量的增加，气 球的半径增加越来越慢.
从数学角度，如何描述这种现象呢?
问题一:气球膨胀率 气球的体积V(单位：L)与半径r(单
位：dm)之间的函数关系是：
V (r) 4 r3
3
用V 表示r得：
r(V ) 3 3V
4
问题一:气球膨胀率
我们称它为函数 y f (x)在x x0处的导数；
例1将原油精练为汽油、柴油、塑胶等各种
不同产品，需要对原由进行冷却和加热。如
果第 x(h)时，原油的温度（单位：0C）
为 y f (x) x2 7x 15(0 x 8).计算第2(h)和第 6(h)时，原油温度的瞬时变化率，并说明它
们的意义。 关键是求出：
则平均变化率为：y 20 5x x
探 究
计算：运动员在 0 t 65
49
这段时间内的平均速度，
并思考下面的问题： P73
（1）运动员在这段 时间里是静止的吗？
（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有 什么问题吗？
平均速度只是粗略地描述这段时间内运动员 运动的快慢，不能反应他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。
x1 x2 x
平均变化率表示函数图像上两点连线的斜
率，即割线的斜率。
随堂练习
1.函数 f (x) x2 在区间 1,3上的平均变化率（ ）
A. 4 B. 2
C. 1
4
D. 3
4
2.求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x]内的平均变化
率。
解：y 5(2 x)2 6 (5 22 6) 20x 5x2
它说明在第2(h)附近，原 油温度大约以3 0C/H的速 度降落；在第6(h)附近， 原油温度大约以5 0C/H的
高二数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案 新人教A版选修1-1
高中数学 3.1.1变化率问题与导数概念导学案知识梳理1．在高台跳水运动中，运动员在t 1≤t ≤t 2这段时间里的位置为s 1≤s ≤s 2，则他的平均速度为 .2．已知函数y ＝f(x)，令Δx ＝ ，Δy ＝ ，则当Δx ≠0时，比值 ＝ΔfΔx ，称作函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率． 3．物体在某一时刻的速度称为 ．4．一般地，如果物体的运动规律是s ＝s (t )，那么物体在时刻t 的瞬时速度v ，就是物体在t 到t ＋Δt 这段时间内，当Δt →0时平均速度的极限，即v ＝lim Δt →0 ΔsΔt＝ 5．一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 ＝lim Δx →0 ΔfΔx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝ . 学习过程1.平均变化率[例1] 求函数y ＝x 3在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并计算当x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．[分析] 直接利用概念求平均变化率，先求出表达式，再直接代入数据就可以得出相应的平均变化率．应用变式1某质点沿曲线运动的方程为f(x)＝－2x2＋1(x 表示时间，f(x)表示位移)，则该质点从x ＝1到x ＝2时的平均速度为 ( )A ．－4B ．－8C ．6D ．－6 2.瞬时变化率[例2] 以初速度v 0(v 0＞0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －12gt 2，求物体在时刻t 0处的瞬时速度．应用变式2一作直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t2，求此物体在t ＝2时的瞬时速度．3.利用定义求函数某点处的导数[例3] 根据导数定义求函数y ＝x 2＋1x＋5在x ＝2处的导数．应用变式3求y ＝f(x)＝123++x x 在x ＝1处的导数．[例4] 设f (x )在x 0处可导，求lim Δx →0 f (x 0－Δx )－f (x )Δx的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则Δy Δx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx)22．如果质点A 按规律s ＝2t3运动，则在t ＝3秒时的瞬时速度为 ( )A ．6B ．18C ．54D ．813．当自变0x 变到1x 时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数 ( ) A ．在区间[0x ，1x ]上的平均变化率 B ．在0x 处的变化率 C ．在1x 处的导数 D ．在区间[0x ，1x ]上的导数4．已知f(x)＝x x 32-，则f ′(0)＝ ( )A ．Δx －3B ．(Δx)2－3ΔxC ．－3D ．0 二、填空题5．已知函数f(x)＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a 等于______．6．球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为____________． 三、解答题7．枪弹在枪筒中的运动可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a ＝5×105m/s2，枪弹从枪口射出所用的时间为1.6×10－3s.求枪弹射出枪口时的瞬时速度．课后强化作业 一、选择题1．在函数变化率的定义中，自变量的增量Δx 满足( )A ．Δx ＜0B ．Δx ＞0C ．Δx ＝0D ．Δx ≠0 2．函数在某一点的导数是( )A ．在该点的函数的增量与自变量的增量的比B ．一个函数C ．一个常数，不是变数D ．函数在这一点到它附近一点之间的平均变化率3．在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数①y ＝x ②y ＝x 2③y ＝x 3④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )A ．④B ．③C ．②D ．①4．质点M 的运动规律为s ＝4t ＋4t 2，则质点M 在t ＝t 0时的速度为( )A ．4＋4t 0B ．0C ．8t 0＋4D ．4t 0＋4t 25．函数y ＝x ＋1x在x ＝1处的导数是( )A ．2B.52C ．1D ．0 6．函数y ＝f (x )，当自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，Δy ＝( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)7．一个物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则物体在t ＝2时的瞬时速度为( )A ．3B ．4C ．5D ．78．f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( ) A ．与x 0，Δx 有关 B ．仅与x 0有关，而与Δx 无关 C ．仅与Δx 有关，而与x 0无关 D ．与x 0，Δx 均无关9．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b10．f (x )在x ＝a 处可导，则lim h →0 f (a ＋3h )－f (a －h )2h等于( ) A ．f ′(a ) B.12f ′(a ) C ．4f ′(a ) D ．2f ′(a )二、填空题11．f (x 0)＝0，f ′(x 0)＝4，则lim Δx →0 f (x 0＋2Δx )－f (x 0)Δx＝________. 12．某物体做匀速运动，其运动方程是s ＝vt ＋b ，则该物体在运动过程中其平均速度与任何时刻的瞬时速度关系是________．13．设x 0∈(a ，b )，y ＝f (x )在x 0处可导是y ＝f (x )在(a ，b )内可导的________条件．14．一球沿斜面自由滚下，其运动方程是S ＝t 2(S 的单位：m ，t 的单位：s)，则小球在 t ＝5时的瞬时速度为______． 三、解答题15．一物体作自由落体运动，已知s ＝s (t )＝12gt 2.(1)计算t 从3秒到3.1秒、3.01秒，两段内的平均速度；2)求t ＝3秒时的瞬时速度．16．若f ′(x )＝A ，求lim h →0f (x ＋h )－f (x －2h )h.17．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．18．路灯距地面8m ，一个身高1.6m 的人以84m/min 的速度在地面上从路灯在地面上的射影C 沿某直线离开路灯，(1)求身影的长度y 与人距路灯的距离x 之间的关系式；(2)求人离开路灯第10秒时身影的瞬时变化率．3.1.2导数的几何意义 学习目标1．知识与技能：了解导函数的概念，理解导数的几何意义．2．过程与方法：会求导函数，根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．学习重、难点重点：导数的几何意义．难点：对导数几何意义的理解． 知识梳理1．导数的几何意义 ①割线斜率与切线斜率设函数y ＝f (x )的图象如图所示，AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0＋Δx ，f (x 0＋Δx ))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝ 当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的极限位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 处的 ．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率无限趋近于过点A 的切线AD 的斜率k ，即k ＝ = ②导数的几何意义函数y ＝f(x)在点x 0处的导数的几何意义是曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的 ．也就是说，曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线的斜率是 ．相应地，切线方程为 ． 2．函数的导数 学习过程1.求割线的斜率[例1] 过曲线y ＝f(x)＝3x 上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．2.用定义求切线方程[例2] 已知曲线C ：y ＝13x 3＋43.(1)求曲线C 上的横坐标为2的点处的切线方程；(2)第(1)小题中的切线与曲线C 是否还有其他的公共点？应用变式1 已知曲线y ＝23x 上一点A(1,2)，则点A 处的切线斜率等于 ( ) A ．2 B ．4 C ．6＋6Δx2D ．63.求切点坐标[例3] 抛物线y ＝2x 在点P 处的切线与直线2x －y ＋4＝0平行，求P 点的坐标及切线方程．应用变式2 若抛物线y ＝2x 与直线2x －y ＋m ＝0相切，求m.4.导数几何意义的应用[例4] 若抛物线y ＝42x 上的点P 到直线y ＝4x －5的距离最短，求点P 的坐标．应用变式3 求抛物线y ＝42x 上的点到直线y ＝4x －5的距离的最小值．[例5] 曲线y ＝3x 在x 0＝0处的切线是否存在，若存在，求出切线的斜率和切线方程；若不存在，请说明理由．应用变式4已知曲线y ＝4x在点(1,4)处的切线与直线l 平行且距离等于17，则直线l 的方程为( )A ．4x －y ＋9＝0或4x －y ＋25＝0B ．4x －y ＋1＝0C ．4x ＋y ＋9＝0或4x ＋y －25＝0D ．以上都不对 [例6] 试求过点M(1,1)且与曲线y ＝3x ＋1相切的直线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．曲线y ＝－22x ＋1在点(0,1)处的切线的斜率是( )A ．－4B ．0C ．4D ．不存在2．曲线y ＝12x 2－2在点(1，－32)处切线的倾斜角为( )A ．1 B.π4 C.5π4 D ．－π43．若曲线y ＝h(x)在点P(a ，h(a))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么 ( ) A ．h ′(a)＝0 B ．h ′(a)<0 C ．h ′(a)>0 D ．h ′(a)不确定 4．曲线y ＝3x 在点P 处的切线斜率为3，则点P 的坐标为( )A ．(－2，－8)B ．(1,1),(－1，－1)C ．(2,8)D ．(－12，－18)二、填空题5．已知曲线y ＝1x －1上两点A (2，－12)，B (2＋Δx ，－12＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________．6．P 是抛物线y ＝x 2上一点，若过点P 的切线与直线y ＝－12x ＋1垂直，则过点P 的切线方程为________．三、解答题7．求曲线y ＝1x －x 上一点P (4，－74)处的切线方程．课后强化训练 一、选择题1．曲线y ＝x 3－3x 在点(2,2)的切线斜率是( )A ．9B ．6C ．－3D ．－12．曲线y ＝13x 3－2在点(－1，－73)处切线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．135°D ．60°3．函数y ＝－1x 在点(12，－2)处的切线方程是( )A ．y ＝4xB ．y ＝4x －4C ．y ＝4(x ＋1)D ．y ＝2x ＋4 4．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＞0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在 5．下列说法正确的是( )A ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处就没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f ′(x 0)必存在C ．若f ′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在，则曲线在该点处就没有切线6．设f (x )为可导函数且满足lim x →0 f (1)－f (1－2x )2x ＝－1，则过曲线y ＝f (x )上点(1，f (1))处的切线斜率为( )A ．2B ．－1C ．1D ．－27．在曲线y ＝x 2上的点________处的倾斜角为π4( )A ．(0,0)B ．(2,4)C ．(14，116)D ．(12，14)8．若函数f (x )的导数为f ′(x )＝－sin x ，则函数图像在点(4，f (4))处的切线的倾斜角为( ) A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角9．曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线平行于直线y ＝4x －1，则点P 0的坐标是( )A ．(0,1)B ．(－1，－5)C ．(1,0)或(－1，－4)D ．(0,1)或(4,1)10．设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a 等于( )A ．1 B.12 C ．－12D ．－1二、填空题11．已知函数f (x )＝x 3＋2，则f ′(2)＝________.12．曲线y ＝x 2－3x 的一条切线的斜率为1，则切点坐标为________．13．曲线y ＝x 3在点(1,1)处的切线与x 轴，x ＝2所围成的三角形的面积为________．14．曲线y ＝x 3＋x ＋1在点(1,3)处的切线是________． 三、解答题15．求曲线y ＝x 2＋3x ＋1在点(1,5)处的切线的方程．16．直线l ：y ＝x ＋a (a ≠0)和曲线C ：y ＝x 3－x 2＋1相切．(1)求a 的值；(2)求切点的坐标．17．求过点(2,0)且与曲线y ＝1x相切的直线方程．18．曲线y ＝x 2－3x 上的点P 处的切线平行于x 轴，求点P 的坐标．3.2导数的计算3.2.1几个常用函数的导数及基本初等函数的导数公式 学习目标1．知识与技能：了解常数函数和幂函数的求导方法和规律，会求任意y ＝x α(α∈Q)的导数．2．过程与方法:掌握基本初等函数的导数公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数． 学习重、难点重点：常数函数、幂函数的导数难点：由常见幂函数的求导公式发现规律，得到幂函数的求导公式． 知识梳理1．若f(x)＝c ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝nx (n ∈N*)，则f ′(x)＝ .2．若f(x)＝sinx ，则f ′(x)＝ .若f(x)＝cosx ，则f ′(x)＝ . 3．若f(x)＝xa ，则f ′(x)＝．若f(x)＝xe ，则f ′(x)＝ .4. 若f (x )＝log a x ，则f ′(x )= ．若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝ . 学习过程1.导数公式的直接应用[例1] 求下列函数的导数．(1)y ＝2a (a 为常数)． (2)y ＝12x . (3)y ＝cosx.应用变式1求下列函数的导数(1)y ＝1x2 (2)y ＝3x (3)y ＝2x(4)y ＝log 2x2.求某一点处的导数 [例2] 求函数f (x )＝1x在x ＝1处的导数．应用变式2 已知f (x )＝n x1，且f ′(1)＝－13，求n .3.利用导数求切线的斜率及方程 [例3] 求过曲线y ＝cos x 上点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,3π且与在这点的切线垂直的直线方程．应用变式3 求曲线y ＝32x 的斜率等于12的切线方程．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x )＝0的导数是 ( )A ．0B ．1C ．不存在D ．不确定2．抛物线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线方程是( )A ．x －y －1＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x ＋y －1＝03．已知函数f (x )＝1x，则f ′(－2)＝( )A ．4B.14 C ．－4 D ．－144．下列结论中不正确的是 ( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x，则y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′|x ＝1＝3二、填空题5．曲线y ＝xn 在x ＝2处的导数为12，则n 等于________． 6．若函数y ＝sint ，则y ′|t ＝6π＝________. 三、解答题7．求抛物线y ＝2x 上的点到直线x －y －2＝0的最短距离．课后强化训练 一、选择题1.lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx表示( ) A ．曲线y ＝x 2的斜率 B ．曲线y ＝x 2在点(1,1)处的斜率C ．曲线y ＝－x 2的斜率D ．曲线y ＝－x 2在(1，－1)处的斜率2．若y ＝cos 2π3，则y ′＝( )A ．－32B ．－12C ．0D.123．下列命题中正确的是( )①若f ′(x )＝cos x ，则f (x )＝sin x ②若f ′(x )＝0，则f (x )＝1 ③若f (x )＝sin x ，则f ′(x )＝cos xA ．①B ．②C ．③D ．①②③ 4．若y ＝ln x ，则其图象在x ＝2处的切线斜率是( )A ．1B ．0C ．2D.125．已知直线y ＝kx 是y ＝ln x 的切线，则k 的值为( )6．已知函数f (x )＝21x ，则'⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛21f ＝( )7．y ＝1x在点A (1,1)处的切线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x －y ＋2＝0C ．x ＋y ＋2＝0D ．x －y －2＝08．下列结论中正确的个数为( )①y ＝ln2，则y ′＝12 ②y ＝1x 2，则y ′|x ＝3＝－227③y ＝2x ，则y ′＝2xln2 ④y ＝log 2x ，则y ′＝1x ln2A ．0B ．1C ．2D ．3 9．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝0，则y ′＝0B ．若y ＝33x ，则y ′＝－1x 3xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x 3，则y ′＝3x 210．若y ＝sin x ，则y ′|x ＝π3＝( )A.12 B ．－12 C.32D ．－32二、填空题11．曲线y ＝ln x 与x 轴交点处的切线方程是 ．12．质点沿直线运动的路程与时间的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝32时的速度等于 ．13．在曲线y ＝4x2上求一点P ，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°，则P 点坐标为 ．14．y ＝10x在(1,10)处切线的斜率为 ． 三、解答题 15．已知曲线C ：y ＝x 3(1)求曲线C 上点(1,1)处的切线方程(2)在(1)中的切线与曲线C 是否还有其它公共点？16．求下列函数的导数(1)y ＝ln x (2)y ＝1x4 (3)y ＝55x17．已知点P (－1,1)，点Q (2,4)是曲线y ＝x 2上两点，求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．18．求过曲线y ＝sin x 上的点P ⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,4π且与在这点处的切线垂直的直线方程．3.2.2 导数的运算法则 学习目标能利用给出的基本初等函数的导数公式表和导数的四则运算法则求简单函数的导数 学习重、难点重点：导数的四则运算及其运用． 难点：导数的四则运算法则的推导． 知识梳理1．设函数f(x)、g(x)是可导函数，(f(x)±g(x))′＝ ；(f(x)·g(x))′＝ ． 2．设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，()()'⎥⎦⎤⎢⎣⎡x g x f ＝ 学习过程1.导数公式法则的直接应用 [例1] 求下列函数的导数：(1)y ＝()()112-+x x ；(2)y ＝x x sin 2；(3)y ＝1x ＋2x 2＋3x 3；(4)y ＝x tan x －2cos x .应用变式1求下列函数的导数：(1)y ＝2x －2＋3x －3 (2)y ＝(2x 2＋3)(3x －2) (3)y ＝x －sin x 2·cos x 22.求导法则的灵活运用[例2] 求函数y ＝sin 4x4＋cos 4x4的导数．应用变式2求函数y ＝－sin x2(1－2sin 2x4)的导数．3.利用导数求有关参数[例3] 偶函数f(x)＝e dx cx bx ax ++++234的图象过点P(0,1)，且在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2，求y ＝f(x)的解析式．应用变式3已知抛物线y ＝72-+bx ax 通过点(1,1)，过点(1,1)的切线方程为4x －y －3＝0，求a 、b 的值．[例4] 给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3，其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4 课堂巩固训练 一、选择题1．函数y ＝2sinxcosx 的导数为 ( )A ．y ′＝cosxB ．y ′＝2cos2xC ．y ′＝2(sin2x －cos2x)D ．y ′＝－sin2x2．函数f (x )＝1x 3＋2x ＋1的导数是( )A.1(x 3＋2x ＋1)2B.3x 2＋2(x 3＋2x ＋1)2C.－3x 2－2(x 3＋2x ＋1)2D.－3x2(x 3＋2x ＋1)2 3．函数y ＝(x －a)(x －b)在x ＝a 处的导数为 ( )A ．abB ．－a(a －b)C ．0D ．a －b 4．函数y ＝x ·lnx 的导数是 ( )A ．x B.1xC ．ln x ＋1D ．ln x ＋x二、填空题5．函数y ＝143223-+-x x x 的导数为 6．函数y ＝xsinx －cosx 的导数为__________________． 三、解答题7．函数f(x)＝123+--x x x 的图象上有两点A(0,1)和B(1,0)，在区间(0,1)内求实数a ，使得函数f(x)的图象在x ＝a 处的切线平行于直线AB.课后强化作业 一、选择题1．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x 2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos x x 2D ．－x cos x ＋cos xx 22．已知f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，若f ′(－1)＝4，则a 的值是( )A.193B.163C.133D.1033．曲线运动方程为s ＝1－t t2＋2t 2，则t ＝2时的速度为( )A ．4B ．8C ．10D ．124．函数y ＝(2＋x 3)2的导数为( )A ．6x 5＋12x 2B ．4＋2x 3C ．2(2＋x 3)2D ．2(2＋x 3)·3x 5．下列函数在点x ＝0处没有切线的是( )A ．y ＝3x 2＋cos x B ．y ＝x sin x C ．y ＝1x ＋2x D ．y ＝1cos x6．函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-x 4π的导数为( ) A ．－cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+x 4π B ．cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π C ．－sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 4π D ．－sin ⎪⎭⎫⎝⎛+x 4π7．已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，函数g (x )在x ＝x 0处不可导，则F (x )＝f (x )±g (x )在x＝x 0处( )A ．可导B ．不可导C ．不一定可导D ．不能确定 8．(x －5)′＝( )A ．－15x －6 B.15x －4 C ．－5x －6 D ．－5x 49．函数y ＝3x (x 2＋2)的导数是( )A ．3x 2＋6B ．6x 2C ．9x 2＋6D ．6x 2＋6 10．已知函数f (x )在x ＝1处的导数为3，则f (x )的解析式可能为( )A ．f (x )＝(x －1)2＋3(x －1)B ．f (x )＝2(x －1)C ．f (x )＝2(x －1)2D ．f (x )＝x －1 二、填空题11．若函数f (x )＝1－sin xx，则f ′(π)= ．12．曲线y ＝1x和y ＝x 2在它们交点处的两条切线与x 轴所围成的三角形面积是 ．13．设f (x )＝(ax ＋b )sin x ＋(cx ＋d )cos x ，若已知f ′(x )＝x cos x ，则f (x )＝ .14．设f (x )＝ln a 2x(a >0且a ≠1)，则f ′(1)＝ . 三、解答题15．求下列函数的导数．(1)f (x )＝(x 3＋1)(2x 2＋8x －5)；(2)1＋x 1－x ＋1－x 1＋x；(3)f (x )＝ln x ＋2xx 2.16．已知f (x )＝x 2＋ax ＋b ，g (x )＝x 2＋cx ＋d ，又f (2x ＋1)＝4g (x )，且f ′(x )＝g ′(x )，f (5)＝30，求g (4)．17．设函数f (x )＝13x 3－a 2x 2＋bx ＋c ，其中a >0，曲线y ＝f (x )在点P (0，f (0))处的切线方程为y ＝1.求b ，c 的值．18．已知函数f (x )＝2x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象都过点 P (2,0)，且在点P 处有公共切线，求f (x )、g (x )的表达式．3.3导数在研究函数中的应用 3.3.1函数的单调性与导数知识梳理1．设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≥0，则f(x)在此区间是 的；(2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)≤0，则f(x)在此区间内是 的．2．如果函数y ＝f(x)在x 的某个开区间内，总有f ′(x)＞0，则f(x)在这个区间上严格增加，这时该函数在这个区间为 ；如果函数当自变量x 在某区间上，总有f ′(x)＜0，则f(x)在这个区间为 ． 学习过程1.用导数求函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝133+-x x (2)f (x )＝x ＋b x(b ＞0)应用变式1求下列函数的单调区间：(1)f(x)＝x x x 9323-+ (2)f(x)＝sinx －x ，x ∈(0，π)2.利用导数证明不等式[例2] 已知x ＞1，求证x ＞lnx.应用变式2已知：x ＞0，求证：x ＞sinx.3.已知函数的单调性，确定参数的取值范围[例3] 若函数f (x )＝13x 3－12ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内单调递减，在(6，＋∞)上单调递增，试求a 的范围． 应用变式3已知f (x )＝13x 3＋12ax 2＋ax －2(a ∈R )．若函数f (x )在(－∞，＋∞)上为单调递增函数，求a 的取值范围．[例4] 已知函数f(x)＝32x a x-，x ∈(0,1]，a>0，若f(x)在(0,1]上单调递增，求a 的取值范围．课堂巩固训练 一、选择题1．函数f(x)＝2x －sinx 在(－∞，＋∞)上 ( ) A ．是增函数 B ．是减函数C ．在(0，＋∞)上增，在(－∞，0)上增D ．在(0，＋∞)上减，在(－∞，0)上增 2．函数y ＝xlnx 在区间(0,1)上是 ( )A ．单调增函数B ．单调减函数C ．在(0，1e )上是减函数，在(1e，1)上是增函数D ．在(0，1e )上是增函数，在(1e，1)上是减函数3．若在区间(a ，b)内有f ′(x)＞0，且f(a) ≥0，则在(a ，b)内有 ( )A ．f(x)＞0B ．f(x)＜0C ．f(x)＝0D ．不能确定 4．在下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( ) A ．sin2xB ．x xeC ．3x x -3D ．－x ＋ln(1＋x)二、填空题5．函数f(x)＝x x -3的增区间是 和 ，减区间是 ． 6．已知函数y ＝322++x ax 在(－1，＋∞)上是减函数，则a 的取值范围是 ． 三、解答题7．已知函数f(x)＝83++ax x 的单调递减区间为(－5,5)，求函数f(x)的递增区间．课后强化作业 一、选择题1．设f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d (a ＞0)，则f (x )为增函数的一个充分条件是( )A ．b 2－4ac ＞0B ．b ＞0，c ＞0内部C ．b ＝0，c ＞0D ．b 2－3ac ＞02．函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调递增区间是( )A ．(0，12)B ．(0，24)C ．(12，＋∞)D ．(－12，0)及(0，12)3．(2009·广东文，8)函数f (x )＝(x －3)e x的单调递增区间是( )A ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 4．函数y ＝x sin x ＋cos x ，x ∈(－π，π)的单调增区间是( ) A.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π B.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0πC.⎪⎭⎫⎝⎛--2,ππ和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 D.⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π和⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2 5．函数f (x )＝ax 3－x 在R 上为减函数，则( )A ．a ≤0B ．a <1C ．a <2D ．a ≤136．已知a >0，函数f (x )＝－x 3＋ax 在[1，＋∞)上是单调减函数，则a 的最大值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．设f (x )在(a ，b )内可导，则f ′(x )<0是f (x )在(a ，b )上单调递减的( )A ．充分不必要条件你B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．若函数y ＝x 2－2bx ＋6在(2,8)内是增函数，则( )A ．b ≤2B ．b ＜2C ．b ≥2D ．b ＞2 9．(2009·湖南文，7)若函数y ＝f (x )的导函数．．．在区间[a ，b ]上是增函数，则函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象可能是( )10．设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能为( )二、填空题11．函数y ＝x 3－x 2－x 的单调递增区间为 ．12．若函数y ＝x 3－ax 2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a 的取值范围是 ．13．若函数f (x )＝x 3＋x 2＋mx ＋1是R 上的单调函数，则m 的取值范围是 ．14．若函数y ＝－43x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围 ．三、解答题 15．讨论函数f (x )＝bxx 2－1(－1＜x ＜1，b ≠0)的单调性．16．已知曲线y ＝x 3＋3x 2＋6x －10，点P (x ，y )在该曲线上移动，在P 点处的切线设为l . (1)求证：此函数在R 上单调递增；(2)求l 的斜率的范围．17．已知向量a ＝(x 2，x ＋1)，b ＝(1－x ，t )，若函数f (x )＝a ·b 在区间(－1,1)上是增函数，求t 的取值范围．18．设函数f (x )＝(ax 2－bx )e x(e 为自然对数的底数)的图象与直线ex ＋y ＝0相切于点A ，且点A 的横坐标为1.(1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出在每个区间上的增减性．3.3.2函数的极值与导数，函数的最大（小）值与导数知识梳理1．已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x.对于包含x0在内的开区间内的所有点x ，如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得，并把0x 称为函数f(x)的一个；如果都有，则称函数f(x)在点0x 处取得 ，并把0x 称为函数f(x)的一个 ．极大值与极小值统称为 ，极大值点与极小值点统称为 ．2．假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条 ，该函数在[a ，b]上一定能够取得 与 ，该函数在(a ，b)内是 ，该函数的最值必在 取得． 3．当函数f(x)在点0x 处连续时，判断f(0x )是否存在极大(小)值的方法是： (1)如果在0x 附近的左侧，右侧，那么f(0x )是极值；(2)如果在0x 附近的左侧 ，右侧 ，那么f(0x )是极 值； (3)如果f ′(x)在点0x 的左右两侧符号不变，则f(0x ) 函数f(x)的极值． 学习过程1.利用导数求函数的极值[例1] 求函数y ＝133+-x x 的极值．应用变式1函数y ＝x x x 9323--(－2＜x ＜2)有( )A ．极大值为5，极小值为－27B ．极大值为5，极小值为－11C ．极大值为5，无极小值D ．极大值为－27，无极小值 2.利用导数求函数的最大值与最小值[例2] 求函数f(x)＝1223+-x x 在区间[－1,2]上的最大值与最小值．应用变式2求函数f(x)＝2824+-x x 在[－1,3]上的最大值与最小值．3.求函数极值的逆向问题[例3] 已知f(x)＝cx bx ax ++23(a ≠0)在x ＝±1时取得极值，且f(1)＝－1， (1)试求常数a 、b 、c 的值；(2)试判断x ＝±1时函数取得极小值还是极大值，并说明理由．应用变式3设a >0，(1)证明f (x )＝ax ＋b1＋x2取得极大值和极小值的点各有1个；(2)当极大值为1，极小值为－1时，求a 和b 的值．[例4] 已知函数f(x)＝c bx x ax -+44ln (x>0)在x ＝1处取得极值－3－c ，其中a 、b 、c 为常数．(1)试确定a ，b 的值；(2)若对任意x>0，不等式f(x)≥22c -恒成立，求c 的取值范围．[例5] 已知f(x)＝2233a bx ax x +++在x ＝－1时有极值0，求常数a 、b 的值．课堂巩固训练 一、选择题1．若函数y ＝f(x)是定义在R 上的可导函数，则f ′(x)＝0是x0为函数y ＝f(x)的极值点( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．函数f (x )＝x 2－x ＋1在区间[－3,0]上的最值为 ( )A ．最大值为13，最小值为34B ．最大值为1，最小值为－17C ．最大值为3，最小值为－17D ．最大值为9，最小值为－19 3．函数y ＝3x ＋1 的极大值是( )A ．1B ．0C ．2D ．不存在4．y ＝f(x)＝a x x +-2332的极大值是6，那么a 等于 ( ) A ．6 B ．0 C ．5D ．1二、填空题5．(2009·辽宁文，15)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1在x ＝1处取极值，则a ＝ .6．函数y ＝x ·ex 的最小值为________． 三、解答题7．设y ＝f (x )为三次函数，且图象关于原点对称，当x ＝12时，f (x )的极小值为－1，求出函数f (x )的解析式．课后强化作业 一、选择题1．设x 0为f (x )的极值点，则下列说法正确的是( )A ．必有f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 2．对于可导函数，有一点两侧的导数值异号是这一点为极值的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( )A ．有极大值，没有极小值B ．有极小值，没有极大值C ．既无极大值也无极小值D ．既有极大值也有极小值4．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如图所示，则函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．下列命题：①一个函数的极大值总比极小值大；②可导函数导数为0的点不一定是极值点；③一个函数的极大值可以比最大值大；④一个函数的极值点可在其不可导点处达到，其中正确命题的序号是( )A ．①④B ．②④C ．①②D ．③④ 6．函数y ＝|x －1|，下列结论中正确的是( )A ．y 有极小值0，且0也是最小值B ．y 有最小值0，但0不是极小值C ．y 有极小值0，但不是最小值D ．因为y 在x ＝1处不可导，所以0既非最小值也非极值7．函数f (x )＝x (1－x 2)在[0,1]上的最大值为( )A.239B.229C.329D.388．已知函数f (x )＝x 3－px 2－qx 的图像与x 轴切于(1,0)点，则函数f (x )的极值是( )A ．极大值为427，极小值为0B ．极大值为0，极小值为427C ．极大值为0，极小值为－427D ．极大值为－427，极小值为09．已知函数y ＝|x 2－3x ＋2|，则( )A ．y 有极小值，但无极大值B ．y 有极小值0，但无极大值C ．y 有极小值0，极大值14D ．y 有极大值14，但无极大值10．设f (x )＝x (ax 2＋bx ＋c )(a ≠0)在x ＝1和x ＝－1处均有极值，则下列点中一定在x 轴上的是( )A ．(a ，b )B ．(a ，c )C ．(b ，c )D ．(a ＋b ，c ) 二、填空题11．函数y ＝2xx 2＋1的极大值为____________，极小值为____________．12．函数y ＝x 3－6x ＋a 的极大值为____________，极小值为____________．13．函数y ＝x －x 3(x ∈[0,2])的最小值是________．14．已知函数f (x )＝x (x －c )2在x ＝2处取极大值，则常数c 的值为________． 三、解答题15．已知函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11.(1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或极小值，如有试写出极值．16．求下列函数的最值(1)f (x )＝3x －x 3(－3≤x ≤3)； (2)f (x )＝sin2x －x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≤≤-22ππx .17．已知a ∈R ，讨论函数f (x )＝e x (x 2＋ax ＋a ＋1)的极值点的个数．18．(2010·江西理，19)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )－ax (a >0)．(提示：[ln(2－x )]′＝－12－x)(1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间；(2)若f (x )在(0,1]上 的最大值为12，求a 的值．3.4生活中的优化问题举例学习过程1.面积、容积最大问题[例1] 在边长为60cm 的正方形铁片的四角上切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？应用变式1已知矩形的两个顶点位于x轴上，另两个顶点位于抛物线y＝4－x2在x轴上方的曲线上，求这个矩形面积最大时的长和宽．2.利用导数解决几何中的问题[例2]将一段长为100cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截法使正方形与圆面积之和最小？应用变式2已知圆柱的表面积为定值S，求当圆柱的容积V最大时圆柱的高h的值．3.获利最大[例3]某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为5000辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相应增加．已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量．应用变式3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日产量x的函数关系是：p＝3x4x＋32(x∈N＋)．[例4] 甲、乙两地相距s 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c 千米/时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比，比例系数为b ；固定部分为a 元．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米/时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？课堂巩固训练一、选择题1．三次函数当x ＝1时,有极大值4;当x ＝3时,有极小值0,且函数过原点，则此函数是( )A ．y ＝x x x 9623++B ．y ＝x x x 9623+-C ．y ＝x x x 9623--D ．y ＝x x x 9623-+2．函数f (x )＝x 3－3bx ＋3b 在(0,1)内有极小值，则( )A ．0<b <1B ．b <1C ．b >0D ．b <123．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总收益R 与年产量x 的关系是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 (0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品是 ( ) A ．100 B ．150 C ．200 D ．300 4．设底为正三角形的直棱柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面边长为 ( ) A.3V B.32V C.34VD ．23V二、填空题5．面积为S 的一切矩形中，其周长最小的是________．6．函数f(x)＝)2(2x x -的单调递减区间是________．三、解答题7．用边长为120cm 的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱．问：水箱底边的长取多少时，水箱容积最大？最大容积是多少？课后强化作业一、选择题1．将8分解为两个非负数之和，使其立方之和为最小，则分法为( )A ．2和6B ．4和4C ．3和5D ．以上都不对2．某箱子的容积与底面边长的关系为V (x )＝x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫60－x 2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为( )A ．30B ．40C ．50D ．以上都不正确3．用边长为48cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒．所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．124．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )A ．RB ．2R C.43R D.34R 5．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积为最大，则高为( )A.33cmB.1033cmC.1633cmD.2033cm 6．圆柱形金属饮料罐的容积一定时，为了使所用材料最省，它的高与底半径应为( )A ．h ＝2RB ．h ＝RC ．h ＝2RD ．h ＝2R7．以长为10的线段AB 为直径画半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A ．10B ．15C ．25D ．508．设圆柱的体积为V ，那么其表面积最小时，底面半径为( )A.3V B.3V π C.34V D ．23V 2π9．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x 小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时变化率的最小值是( )A ．8 B.203C ．－1D ．－8 10．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则其圆柱侧面积最大为( )A ．2πr 2B ．πr 2C ．4πr 2 D.12πr 2 二、填空题11．把长为60cm 的铁丝围成矩形，长为________，宽为________时，矩形的面积最大．12．将长为l 的铁丝剪成2段，各围成长与宽之比为21及32的矩形，则面积之和的最小值为________．13．做一个容积为256的方底无盖水箱，它的高为________时最省料．14.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π,且用料最小,则圆柱的底面半径为___．三、解答题15．某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每件售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过一件，则每件的售价比原来减少1元，试问订购多少件的合同将会使公司的收益最大？16．如图，水渠横断面为等腰梯形，水的横断面面积为S ，水面的高为h ，问侧面与地面成多大角度时，才能使横断面被水浸湿的长度最小？17．某厂生产某种产品的固定成本(固定投入)为2500元，已知每生产x件这样的产品需要再增加可变成本C(x)＝200x＋136x3(元)，若生产出的产品都能以每件500元售出，要使利润最大，该厂应生产多少件这种产品？最大利润是多少？18．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？。
人教A版高中数学选修1-1课件：3-1 变化率与导数 第2课时
如图,当点 Pn(xn,f(xn))(n=1,2,3,4)沿着曲线 f(x)趋近于点 P(x0,f(x0))时,割线 PPn 的变化趋势是什么?
预学 1:导数的求法 计算函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数的步骤 ①求函数的改变量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0);
②求平均变化率:
������ ������ (������ 0 +������ )-������ (������ 0 ) ������
预学 4:曲线上每一点处的切线斜率 曲线上每一点处的切线斜率反映的是函数的瞬时变化情况,体现的 是数形结合、以曲代直的思想. 直线与曲线有且只有一个公共点时,直线不一定是曲线的切线,有 些直线与曲线相交,但只有一个公共点.相反,有些切线与曲线的交点不 止一个.
1.函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)的几何意义是( A.在点 x0 处的函数值 B.点(x0,f(x0))与点(0,0)连线的斜率 C.曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处切线的斜率
������x →0
=-1,
.
(指定小组回答,其他组补充)
【答案】-1
预学 2:切线的概念和导数的几何意义 根据 《问题情境》 ,割线 PPn 的变化趋势:当点 Pn 趋近于点 P 时,割线 PPn 趋近于确定的位置 PT,PT 为曲线的切线,导数 f'(x0)的几何意义是曲 线 y=f(x)上的点(x0,f(x0))处切线的斜率.
=
������
;
③求极限:f'(x0)= lim
f (x 0 +������x )-f (x 0 ) . ������ x Δ������ →0
练一练:若可导函数 f(x)的图象过原点,且满足 ������������������ 则 f'(0)=
高中数学 变化率问题课件 新人教A版选修1-1
h(t)=
-1 gt2
2
h(t)=
-1gt2
2
如果用小男孩在某段时间内的平均速度
-v 来描述其运动状态，那么
在0t1这段时间内
-v1
h(1)h(0)4.9(m/s) 10
在1t2这段时间内
-v2
h(2)h(1)1.4 7(m/s) 21
可以看出， 随着跳后的时间的推移，
h(t)=
-1gt2
2
小男孩下落的速度越来越大。
习惯上记： △x=x2-x1 △f=f(x2)-f(x1)
则
平
另一种形式 x2=x1 +△x
均 变
则平均变化率为 f(x1x)f(x1)
化
x
率
r(V ) 3 3V
4
可以看出，随着气球的体积逐渐变大，
气球的平均膨r(胀V2率) 逐r渐(V变1) 小了。
思考
V2 V1
当气球的空气容量从V1增加到V2时， 气球的平均膨胀率是多少？
练习1、求函数y=5x2+6在区间[2，2+△x] 内的平均变化率。
△ y=［5(2+ △x)2+6］-(5×22+6) =20△x+5△x2 所y205x 以x 平
小 结:
函数f(x)从x1到x2的平均变化率：
f (x2) f (x1) x2 x1
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
高中数学 31(平均变化率)教案 新人教A版选修1-1 教案
平均变化率一.教材依据平均变化率二.设计思想指导思想：（1）用已知探究未知的思考方法（2）用逼近的思想考虑问题的思考方法．设计理念：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数．随着对函数的深入研究，产生了微积分．导数概念是微积分的基本概念之一，导数是对事物变化快慢的一种描述，是研究客观事物变化率和优化问题的有力工具．理解和掌握导数的思想和本质显得非常重要．正如《数学课程标准（实验）解读》中所说的，以前是，“先讲极限概念，把导数作为一种特殊极限来讲，于是，形式化的极限概念就成了学生学习的障碍，严重影响了对导数思想和本质的认识和理解；”“…．这样造成的结果是：因为存在着夹生饭现象，大学不欢迎；中学感受不到学导数的好处，反而加重了学生的负担，因此也不欢迎．”故为了让学生充分认识导数的思想和本质，先要理解和掌握平均变化率的概念．在设计这节课时，我把重点放在（1）通过大量实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；（2）掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法．学情分析：我们学校是我市的重点学校，我教的班是政治普通班，学生的基础总体上可以，有个别学生在学习数学时有点困难，他们觉得数学就是太抽象了，所以在教学时要照顾中下的学生，为了加深学生对导数概念的印象，增加上课的气氛，我事先买了两个气球，在上课时准备请两学生上来吹，并让他们谈谈随着气球内空气容量的增加，气球半径变化情况．另我校一节课是40分钟.三.教学目标1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念及其计算步骤，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；3.掌握求函数在指定区间上的平均变化率，能利用平均变化率解析生活中的实际问题；4.通过分析实例，初步探究由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，让学生体会用已知探究未知的思考方法．四.教学重点1.通过实例，让学生明白变化率在实际生活中的需要，探究和体验平均变化率的实际意义和数学意义；2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；五.教学难点1.如何从数学的角度描述吹气球过程中的现象“随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢？”2.掌握平均变化率的概念，体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法；六.教学准备1.认真阅读教材、教参，寻找有关资料；2.向有经验的同事请教；3.从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困惑的地方．七.教学过程1.教学基本流程：2.教学情景设计补充实例例１ 在经营某商品中，甲挣到10万元，乙挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？变式：在经营某商品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个月时间挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人的经营成果？例２ 情境：现有某某市某年3月和4月某天日最高气温记载.观察：3月18日到4月18日与4月18日到4月20日的温度变化，用曲线图表示为：思考 1：“气温陡增”是一句生活用语，若从数学角度描述，那该如何描述？2：如何从数学角度说明曲线上升的陡峭程度？例３ 水经过虹吸管从容器甲中流向容器乙，t s 后容器甲中水的体积V(t)=5×2（单位：3cm ），计算第一个10s 内V 的平均变化率．例4 已知函数2()f xx ，分别计算()f x 在下列区间上的平均变化率：（1）[1，3]；2030340 温度T (℃210时间t （d ）乙（2）[1，2]； （3）[1，1.1]； （4）[1，1.001]. 练习1、某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分别计算从出生到第3个月，从第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率．2、已知函数f （x ）=2x+1，g （x ）=—2x ，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]上f （x ）及g （x ）的平均变化率．思考：y=kx+b 在区间[m ，n]上的平均变化率有什么特点？八. 教学反思1. 按照教参上的意思，约用1~2节课完成变化率的讲授，但我觉得我们学校应该可以用1节课完成，所以我是用1节课完成的，实际上能按计划完成.2. 在阅读教参时，感觉到高台跳水模型的重要性，故我设想了一个高台跳水模型——就是从凳子上跳下来了．从学生反映来说，效果是可以的，而且还有学生说，让他们吹气球做法好.3. 导数确实是个很重要的工具，所以与导数概念教学有关的平均变化率问题讲授显得很重要.63912W(kg)word - 11 - / 11。
高二数学人教A版选修1-1课件：3.1 变化率与导数
迁移应用
二、导数概念的理解与运用
(1)函数在某点处的导数即为函数在这点的瞬时变化率.函数在某点处的导数的概念包含两层含义:
①若 lim Δ ������ →0
������������yx存在,则称
f(x)在
x=x0
处可导并且导数即为极限值;
②若 ������������������ ������x →0
则 f'(x0)=x0+2.
由已知 x0+2=4,∴x0=2,故选 D.
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
一 二三
知识精要
典题例解
迁移应用
质点运动规律s=t2+3t(其中位移单位:m,时间单位:s),那么该物体在2 s时的瞬时速度是( ) A.5 m/s B.6 m/s C.7 m/s D.8 m/s 答案:C
������ ������
=
3Δ������+Δ���1���2+ΔΔ������������=3+1+2Δ������,
∴ lim Δ ������ →0
������y ������x
=
������������������
������x →0
3
+
2 1+������
=5,
∴f'(1)=5.
一 二三
=
(3+������)2-32 ������
=
6Δ������+Δ���(���Δ������)2=6+Δx.
∴k1<取k2<kΔ3.∴x函=数13y时 =x2,在k1x==3附2+近13的平=均73变,k化2率=最4大+.13 = 133,k3=6+13 = 139,
高中数学 变化率问题课件新人教A版选修
• 二、填空题 • 4 ．已知函数 f(x) ＝ x3 － 2 ，则 f(x) 从 2 到 2.1 的 平均变化率为________． f(2.1)－f(2) • [答案 [ 解 ] 析 12.61 ] 平 均 变 化 率 为 ＝
2.1－2 (2.13－2)－(23－2) 2.1－2 9.261－8 ＝ 0.1 ＝12.61.
[点评]
一般地，设曲线 C 是函数 y＝f(x)的图象，点
P(x0，y0)是曲线上的定点，点 Q(x0＋Δx，y0＋Δy)是曲线 上与点 P 邻近的点，则有 y0＝f(x0)，y0＋Δy＝f(x0＋Δx)， Δy f(x0＋Δx)－f(x0) 割线 PQ 的斜率 k＝Δx＝ . Δx
[例 3]
π 试比较正弦函数 y＝sinx 在 x＝0 和 x＝2附近
2 f(x0＋Δx)－f(x0) [2(x0＋Δx)2＋1]－(2x0 ＋1) 变化率为 ＝ Δx Δx
＝4x0＋2Δx.
• [ 点评 ] 式． 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形
• 已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化 率． • (1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1； • (3)a＝－2，b＝1.5. • [解析] (1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3， • f(2)＝22＋2×2＝8， • ∴f(x)从1到2的平均变化率为
• [解析] ∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1 • ＝(Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx，
Δy ∴割线 PQ 的斜率 k＝ Δx (Δx)3＋3(Δx)2＋3Δx 2 ＝ ＝ (Δ x ) ＋3Δx＋3. Δx 设 Δx＝0.1 时割线的斜率为 k1，则 k1＝0.12＋3×0.1＋ 3＝3.31.
高中数学人教A版选修(1-1) 2.1 教学课件 《2.1.1 椭圆及其标准方程》(人民教育出版社)
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)由于动点到F1、F2的距离之和恰巧等于 F1F2的长度，故此动点的轨迹是线段F1F2.
(2)由椭圆的定义，|AF1|＋|AF2|＝2a，|BF1|＋|BF1|＝2a， ∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|＝4a＝ 20， ∴△ABF1的周长为20. 【答案】 (1)线段F1F2 (2)20
(1)已知 F1(－4,0)，F2(4,0)，则到 F1、F2 两点的距 离之和等于 8 的点的轨迹是________；
(2)椭圆1x62 ＋2y52 ＝1 的两焦点分别为 F1、F2，过 F2 的直线交 椭圆于 A、B 两点，则△ABF1 的周长为________．
【思路探究】 (1)动点的轨迹是椭圆吗？(2)怎样用椭圆 的定义求△ABF1的周长？
【解】 设P(x0，y0)，AP的中点M(x，y)，则
x＝x0－2 5， y＝y20，
即xy00＝ ＝22xy＋ ，5， 代入椭圆方程2x52 ＋1y62 ＝1，
得2x2＋552＋y42＝1， 所以AP中点M的轨迹方程是2x2＋552＋y42＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
【自主解答】 (1)∵椭圆的焦点在x轴上， ∴设它的标准方程为ax22＋by22＝1(a＞b＞0)， ∴2a＝ 5＋42＋ 5－42＝10， ∴a＝5.又c＝4，∴b2＝a2－c2＝25－16＝9， 故所求椭圆的标准方程为2x52 ＋y92＝1.
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
人民教育出版社 高二年级|选修1-1
1．定义是判断点的轨迹是否为椭圆的重要依据，根据椭圆 的定义可知，集合 P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，a＞0， c＞0，且 a、c 为常数．
【多彩课堂】2015-2016学年高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.1《变化率问题》
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2 同样Δy=f(x2)-f(x1)
1.△x是一个整体符号，而不是△与x相乘； 式子中△x 、△ y的值可正、可负， 但△x值不能为0，△y的值可以为0; 因此，平均变化率可正，可负，也可为零； 2.若函数f(x)为常函数时，△y=0 3.变式
必做题 1．已知函数 ，分别计算 在自变量 从1变到2和从4变到
6时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快． 2．已知某质点按规律 ( ：单位为 m， ：单位为 s)做直线运 动，求： （1）该质点在前3s 内的平均速度； （2）该质点在2s 到3s 内的平均速度．
选做题 如图是函数 率．
y f ( x2 ) f ( x1 ) f ( x1 x) f ( x1 ) x x2 x1 x
y f ( x2 ) f ( x1 ) 观察函数f(x)的图象平均变化率 x x2 x1
表示什么?
Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) A x2-x1=△x x x1 x2 B
导数研究的问题
变化率问题
研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度．
气球膨胀率:我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以
发现 , 随着气球内空气容量的增加 , 气球的半径增加越来越 慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?
气球的体积V(单位:L)与半径r(单位:dm)之间的 4 3 思考:这一现象中，哪些量在改变？变量的变化情况？ V ( r ) r 函数关系是
当 x 0.1 时，设割线 PQ 的斜率为 k， 则k
y (0.1) 2 3 0.1 3 3.31. x
变式训练2 已知曲线 y x 2 1 上两点 A(2,3), A(2 x,3 y).
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题型三 平均变化率的实际应用 【例 3】 (12 分)蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T(t) ＝t1＋205＋15，其中 T(t)为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时 间(单位：min)． 求：(1)从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温 T(t)对时间 t 的变化率．
【变式 1】 在例 1 中，分别求函数在 x0＝1，2，3 附近Δx 取12 时的平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小． 解 由例题可知，函数在[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 6x0＋ 3Δx. 当 x0＝1，Δx＝12时，函数在[1，1.5]上的平均变化率为 k1＝6×1 ＋3×0.5＝7.5； 当 x0＝2，Δx＝12时，函数在[2，2.5]上的平均变化率为 k2＝6×2 ＋3×0.5＝13.5；
审题指导 利用平均变化率的定义求解． [规范解答] (1)ΔΔTt ＝T（10）1－0 T（0）＝11250＋15－ 101250－15＝ －16 ℃/min. ∴从 t＝0 到 t＝10 min，蜥蜴的体温的平均变化率为－16 ℃/min
(6 分)
(2)设时间的增量为Δt，则体温 T(t)的改变量为
规律方法 求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题 的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy，求平均变 化率的主要步骤是： (1)先计算函数值的改变量Δy＝f(x1)－f(x0)； (2)再计算自变量的改变量Δx＝x1－x0； (3)得平均变化率Δ Δyx＝f（x1）x1－ －fx（0 x0）.
3．理解平均变化率要注意以下几点： (1)平均变化率f（x1）x1－ －fx（0 x0）表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1)) 连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”． (2)为求点 x0 附近的平均变化率，上述表达式常写为 f（x0＋ΔΔx）x－f（x0）的形式． (3)函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势．自变量的改 变量Δx 取值越小，越能准确体现函数的变化情况．
[思路探索]
由物体运动方程
→
ห้องสมุดไป่ตู้
写出位移变化量Δs
→
Δs Δt
解 (1)由 t0 到 t0＋Δt，则改变量为Δt. Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0) ＝v0(t0＋Δt)－12g(t0＋Δt)2－v0t0＋12gt20 ＝Δtv0－gt0·Δt－12g(Δt)2. v＝ΔΔst＝Δtv0－gt0·ΔΔtt－12g（Δt）2＝v0－gt0－12gΔt. (2)当 t0＝10 s 时，Δt＝0.4 s， 则物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度 v＝v0－10g－12×g×0.4＝v0－10.2g.
Δ
T
＝
T(t
＋
Δ
t)
－
T(t)
＝
120 t＋Δt＋5
＋
15
－
120 t＋5
－
15
＝
（t＋Δ－t＋1250）Δ（t t＋5），
∴ΔΔTt ＝（t＋Δt＋－51）20（t＋5）.(10 分)
故体温 T(t)对时间 t 的变化率为（t＋Δt＋－51）20（t＋5）.(12 分)．
【题后反思】 平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一 个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平 均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有 不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是 位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨 胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是 从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．
＝10（20＋Δt）＋5（20＋ΔΔt t）2－10×20－5×202 ＝210Δt＋Δ5（t Δt）2＝5Δt＋210， (1)当Δt＝1时，v＝5×1＋210＝215(m/s) (2)当Δt＝0.1时，v＝5×0.1＋210＝210.5(m/s) (3)当Δt＝0.01时，v＝5×0.01＋210＝210.05(m/s)．
规律方法 已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移 与时间的函数关系，求其在[t0，t0＋Δt]内的平均速度，根据平 均速度的意义可知就是求这个函数在[t0，t0＋Δt]内的平均变化 率．
【变式2】 动点P沿x轴运动，运动方程为x＝10t＋5t2，式中t 表示时间(单位：s)，x表示距离(单位：m)，求在20≤t≤20＋ Δt时间段内动点的平均速度，其中 (1)Δt＝1，(2)Δt＝0.1，(3)Δt＝0.01. 解 动点在20≤t≤20＋Δt时间段内的平均速度为
(新课标)高中数学《311变化率 问题》课件新人教A版选修1-1
3．1 变化率与导数
3．1.1 变化率问题
(3)在公式ΔΔyx＝f（x2）x2－－fx（1 x1）＝f（x1＋ΔΔx）x－f（x1）中，当 x1 取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的； 当Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不 同的．特别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔxy＝0. 2．一般地，现实生活中的变化现象和过程可以用函数来描述， 所以这些实际问题的变化率问题可以转化为函数的变化率．
当 x0＝3，Δx＝12时，函数在[3，3.5]上的平均变化率为 k3＝6×3 ＋3×0.5＝19.5，所以 k1<k2<k3.
题型二 求物体运动的平均速度
【例 2】 以初速度 v0 竖直向上抛一物体的位移 s 与时间 t 的关 系为：s(t)＝v0t－12gt2.
(1)求物体从时刻 t0 到时刻 t0＋Δt 这段时间的平均速度 v； (2)求物体在 t＝10 s 到 10.4 s 这段时间的平均速度．
题型一 求平均变化率 【例 1】 求函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均 变化率，并求当 x0＝2，Δx＝0.1 时平均变化率的值． [思路探索] 解答本题可先求自变量的增量和函数值的增量，然 后代入公式求解．
解 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率 为 f（（x0＋x0＋ΔΔx）x）－－f（xx00）＝[3（x0＋Δx）2Δ＋x2]－（3x20＋2） ＝6x0·Δx＋Δ3x（Δx）2＝6x0＋3Δx. 当 x0＝2，Δx＝0.1 时， 函数 y＝3x2＋2 在区间[2，2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.