广东省珠海市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省珠海市高二上学期期中数学试卷(理科)
广东省珠海市高二上学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知直线，则该直线的倾斜角为（）A .B .C .D .2. （2分）直线x+2y﹣1=0在y轴上的截距为（）A . ﹣1B .C . -D . 13. （2分） (2017高二下·宜昌期末) 抛物线y= x2的准线方程为（）A .B . y=﹣2C . x=﹣2D . x=﹣4. （2分）经过圆x2﹣2x+y2=0的圆心且与直线x+2y=0平行的直线方程是（）A . x+2y﹣1=0B . x﹣2y﹣2=0C . x﹣2y+1=0D . x+2y+2=05. （2分）在直角坐标平面内，满足方程的点（x，y）所构成的图形为（）A . 抛物线及原点B . 双曲线及原点C . 抛物线、双曲线及原点D . 两条相交直线6. （2分）已知圆C：x2+y2=4，若点P（x0 ， y0）在圆C外，则直线l：x0x+y0y=4与圆C的位置关系为（）A . 相离B . 相切C . 相交D . 不能确定7. （2分）(2017·邯郸模拟) 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣c，0），上顶点为B，若直线y= x与FB平行，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·太原月考) 已知点是圆上的动点，点，则的中点的轨迹方程是（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·宁波期末) 已知两点，，若直线上存在四个点2，3，，使得是直角三角形，则实数k的取值范围是A .B .C .D .10. （2分） (2015高二上·和平期末) 若不等式ax2+bx+c≤0的解集为{x|x≤1或x≥2}，则点P（b，c）的轨迹是（）A .B .C .D .11. （2分）已知A（﹣1，0）、B（2，1）、C（5，﹣8），△ABC的外接圆在点A处的切线为l，则点B到直线l的距离为（）A .B . 1C .D .12. （2分） (2019高二下·瑞安期中) 设为椭圆的左，右焦点，点M在椭圆C上．若△ 为直角三角形，且，则椭圆C的离心率为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知到直线AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)、B(－2,4,3)，则z＝________.14. （1分） (2018高二上·鹤岗期中) 下列命题正确的是________（写出正确的序号）①若、， ,则动点的轨迹是双曲线左边一支；②已知椭圆的长轴在轴上,若焦距为 ,则实数的值是；③抛物线的焦点坐标是.15. （1分） (2019高二下·杭州期中) 已知椭圆长轴的右端点为A，其中O为坐标原点若椭圆上不存在点P，使AP垂直PO，则椭圆的离心率的最大值为________.16. （1分）(2017·南京模拟) 集合L={l|l与直线y=x相交，且以交点的横坐标为斜率}．若直线l′∈L，点P（﹣1，2）到直线l′的最短距离为r，则以点P为圆心，r为半径的圆的标准方程为________．三、解答题 (共4题；共40分)17. （5分） (2016高二上·江北期中) 是否存在过点（﹣5，﹣4）的直线l，使它与两坐标轴围成的三角形的面积为5？若存在，求出直线l的方程（化成直线方程的一般式）；若不存在，说明理由．18. （10分）已知圆，直线l与圆C1相切于点A（1，1）；圆C2的圆心在直线x+y=0上，且圆C2过坐标原点．（1）求直线l的方程；（2）若圆C2被直线l截得的弦长为8，求圆C2的方程．19. （10分）(2020·温岭模拟) 点是抛物线内一点，F是抛物线C的焦点，Q是抛物线C上任意一点，且已知的最小值为2.（1）求抛物线的方程；（2）抛物线C上一点处的切线与斜率为常数的动直线相交于P，且直线l与抛物线C相交于M、N两点.问是否有常数使？20. （15分） (2019高二上·德州月考) 已知点在平行于轴的直线上，且与轴的交点为，动点满足平行于轴，且 .（1）求出点的轨迹方程.（2）设点，，求的最小值，并写出此时点的坐标.（3）过点的直线与点的轨迹交于 . 两点，求证 . 两点的横坐标乘积为定值.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共4题；共40分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：。
珠海一中高二上学期期中考试数学(理)试题
珠海一中2012—2013学年度上学期期中考试高二年级数学（理科）试卷一、选择题(每小题5分,共40分） 1、“012=-x”是“01=-x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、两条直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 垂直的充分不必要条件是（ ）（A ）02121=+B B AA （B)02121=-B B AA（C ）12121-=B B AA（D ）12121=A A BB3、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-= B ． 227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．22(1)(3)1x y -+-=D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4、已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(,12222>>=+b a by ax 上的一点，若tan ,021=⋅PFPF2121=∠F PF ，则此椭圆的离心率为( ）（A ）21 (B)32 （C ）31 （D)35 5、方程13222=-+-m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是（）（A ）3<m (B ）33<<-m （C ）3>m 或23<<-m (D ）2>m 或33<<-m6、过原点且与双曲线12222=-b y a x 只有一个公共点的直线的条数是( )(A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）07、已知圆4)4()3(22=++-y x 和直线kx y =相交于P,Q 两点，则OQ OP •的值为(O 为坐标原点）（ ）（A)12 （B ）16 (C ）21 （D ）258、已知抛物线12+=y x上一定点)0,1(-A 和两动点Q P ,，当PQ PA ⊥时,点Q 的横坐标的取值范围是( )(A ）]3,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）[3-,1］ （D ）),1[]3,(+∞⋃--∞二、填空题（每小题5分,共20分）9、如果)11,8(),,2(),1,3(C k B A -三点在同一条直线上，那么k 的值是 . 10、圆34222=-+++y x y x 上到直线1=++y x 的距离为2的共有个.11、椭圆14922=+y x 的两个焦点为21,F F ,点P 为其上的动点,当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是 ； 12、双曲线的渐近线方程为x y 23±=，两顶点间的距离为6，则它的方程是 ；13、已知A （4，0）,B （2，2），M为椭圆221259x y +=上的点，则MBMA +45的最小值为 。
广东省珠海一中高二数学上学期期中试题 理(无答案)新人教A版
高二年级 数学试卷（理科）本试卷共4面，22小题，满分150分，考试用时120分钟一、选择题：(本大题共10题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1、已知:231,:(3)0p x q x x -<-<，则p 是q 的（）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件2、已知等差数列{}n a 中，378a a +=，则该数列前9项和9S 等于（） A 、18B 、27C 、36D 、453、变量x 、y 满足下列条件：212293623240,0x y x y x y x y +≥⎧⎪+≥⎪⎨+=⎪⎪≥≥⎩，则使32z x y =+的值最小的(,)x y 是（）A 、(4.5,3)B 、(3,6)C 、(9,2)D 、(6,4) 4、如果,a b R ∈，那么，11a b>成立的一个充分不必要条件是 （） A 、a b >B 、()0ab a b -<C 、0a b <<D 、a b <5、已知数列{}n a 的前n 项和223n S n n =-，而1357,,,,......a a a a 组成一新数列{}n b ，则数列{}n b 的前n 项和为（）A 、22n T n n =-B 、243n T n n =+C 、223n T n n =-D 、245n T n n =-6、12x y >⎧⎨<⎩是32x y xy +>⎧⎨>⎩成立的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分又不必要条件7、若等比数列{}n a 的首项10a >，公比0q >，前n 项和为n S ，则6446S S a a 与的大小为（） A 、6446S S a a = B 、6446S S a a > C 、6446S S a a < D 、6446S S a a ≤ 8、已知直线m 、n 和平面α，则m ∥n 的一个必要不充分条件是 （ ）CA 、m ∥α且n ∥αB 、m ∥α且n ⊥αC 、m 、n 与α成等角D 、m ⊥α且n ⊥α 9、若a b c >>，则使不等式110k a b b c c a++>---恒成立的实数k 的取值范围是 （）A 、(,1]-∞B 、(,1)-∞C 、(,4]-∞D、(,4)-∞10、设a 、b 是非负实数，且224a b +=，则2aba b ++（ ）A1 B1 C1 D 、有最小1二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)11、已知{}n a 中，121298,63,(3)n n n a a a a a n --===+≥，则7a 与8a 的最大公约数等于 .12、等差数列1，3，5，7，……2n +1的各项和为 .13、设4()42x x f x =+，那么12399()()()...()100100100100f f f f ++++的值等于 。
广东省珠海市实验中学高二上学期期中考试数学(理)试题
珠海市实验中学2014-2015学年第一学期中考试高二理科数学试题说明：（1）本试卷满分150分，考试时间120分钟。
（2）所有答案一律写在答题卷上，写在试卷上无效一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案的代号填涂在答卷的相应表格内）1.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是（）（A）a n=n2-(n-1)（B）a n=n2-1 （C）a n= （D）a n=2. 数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则（）A．0 B． C．2 D．-13．已知等差数列{a n}的公差d≠0,若a5、a9、a15成等比数列,那么它的公比为( ) A．B．C．D．4.如果等差数列中，++=12，那么++•…+=（）（A）35 (B) 28 (C) 21 (D) 145．△ABC中，，则△ABC一定是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形6.在△ABC中，∠A=60°,a=,b=4,满足条件的△ABC ( )(A)不存在(B)有一个(C)有两个(D)有无数多个7.下列不等式的解集是空集的是( )A.x2-x+1>0B.-2x2+x+1>0C.2x-x2>5D.x2+x>28．若，则下列不等式中，正确的不等式有( )①②③④A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题（本大题共6小题，每题5分，共30分，把答案填在答题卷中相应位置）9.若不等式ax2+bx+2>0的解集为{x|-},则a+b=________.10．140,0,1x yx y>>+=若且，则的最小值是．11．黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n 个图案中有白色地面砖 块. 12． 与的等比中项为13．不等式组202400x y x y y +-≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域的面积为________．14. 已知钝角△ABC 的三边a =k ，b=k+2，c=k+4，求k 的取值范围三、解答题（本大题共6小题，共80分.请将详细解答过程写在答卷上）15. （本小题满分12分）已知函数（1）若b=2，求不等式的解集；（2）若不等式的解集为R ，求实数b 的取值范围。
广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题
广东省珠海市六校联考2024-2025学年高二上学期11月期中学业质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________C ．2470x y z +++=D ．2470x y z +--=四、解答题15．在Rt ABC △中，90BAC Ð=°，BC 边上的高AD 所在直线的方程为220x y -+=，A Ð的平分线所在直线的方程为0y =，点B 的坐标为()1,3.(1)求直线BC 的方程；（1）求证：平面（2）求直线PB与平面PCD由互斥事件及对立事的定义可知事件A 、事件B 与D 均是互斥而非对立的事件.故选：B 4．C【分析】依题意可得23(1)0m m ´-+=，求出m 的值，再检验即可.【详解】直线1l ：2(1)40x m y +++=与直线2l ：320mx y +-=平行，则23(1)0m m ´-+=，解得3m =-或2m =，当3m =-时，此时直线1l ：2240x y -+=与直线2l ：3320x y -+-=平行，当2m =时，此时直线1l ：2340x y ++=与直线2l ：2320x y +-=平行，故3m =-或 2.m =故选：C 5．D【分析】根据向量的平行和垂直的坐标表示，列式计算，可求得向量,b c r r的坐标，从而可得2a b +r r的坐标，根据向量模的计算公式，即可得答案.【详解】因为()1,1,1a =r ，(),4,2c x =-r且a c ^r r ，所以420a c x ×=-+=r r，解得2x =，所以()2,4,2c =-r，又因为()1,,b y z =r，()2,4,22(1,2,1)c =-=-r 且b c ∥r r ，所以2,1y z =-=，所以()1,2,1b =-r，所以23,0,3a b +=r r （），（3）设是棱上一点，则因此点因为平面即所以在棱上存在点考点：1.空间垂直判定与性质；。
广东省珠海二中高二数学上学期期中试题 理(含解析)
2015-2016学年广东省珠海二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列，的一个通项公式是( )A．B．C．D．2．下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a•cosA=bcosB，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形4．数列1，，，，，，，，，，…前130项的和等于( )A．15B．15C．15D．155．已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜76．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是( )A．4 B．6 C．8 D．97．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况( )A．无解 B．有一解C．有两解D．不能确定8．已知数列{a n}满足a1=1，a n•a n+1=2n，则=( )A．2 B．C．D．9．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为( )A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则△ABC 的面积__________．14．已知x，y，a，b为均实数，且满足x2+y2=4，a2+b2=9，则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=__________．15．数列a n=﹣n2+3λn（n∈N*）为单调递减数列，则λ的取值范围是__________．16．不等式|x﹣1|+|x﹣a|≥3恒成立，则a的取值范围为__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1，BD=．（1）求cosA的值；（2）求sinC的值．18．已知数列{a n}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，若b n=，求数列{b n}的前7项的积T7．19．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2；生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？20．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．21．已知f（x）=（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4，（Ⅰ）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（Ⅱ）当x∈2015-2016学年广东省珠海二中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．数列，的一个通项公式是( )A．B．C．D．【考点】数列的概念及简单表示法．【专题】计算题．【分析】利用不完全归纳法来求，先把数列中的每一项变成相同形式，再找规律即可．【解答】解；∵数列，的第三项可写成，这样，每一项都是含根号的数，且每一个被开方数比前一项的被开方数多3，∴故选B【点评】本题考查了不完全归纳法求数列通项公式，做题时要认真观察，及时发现规律．2．下列不等式中成立的是( )A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞【考点】不等式的基本性质．【专题】不等式的解法及应用．【分析】运用列举法和不等式的性质，逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：对于A，若a＞b，c=0，则ac2=bc2，故A不成立；对于B，若a＞b，比如a=2，b=﹣2，则a2=b2，故B不成立；对于C，若a＜b＜0，比如a=﹣3，b=﹣2，则a2＞ab，故C不成立；对于D，若a＜b＜0，则a﹣b＜0，ab＞0，即有＜0，即＜，则＞，故D成立．故选：D．【点评】本题考查不等式的性质和运用，注意运用列举法和不等式的性质是解题的关键．3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a•cosA=bcosB，则△ABC的形状为( ) A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【考点】三角形的形状判断．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理由a•cosA=bcosB可得sinAcosA=sinBcosB，再利用二倍角的正弦即可判断△ABC的形状．【解答】解：在△ABC中，∵a•cosA=bcosB，∴由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A=π﹣2B，∴A=B或A+B=，∴△ABC的形状为等腰三角形或直角三角形．故选：C．【点评】标题考查三角形的形状判断，考查正弦定理与二倍角的正弦的应用，属于中档题．4．数列1，，，，，，，，，，…前130项的和等于( )A．15B．15C．15D．15【考点】数列的求和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由题意可知，此数列由一个1，两个，3个…组成，欲求前130项的和，需求自然数列前n项和不大于130时的最大n值，即可得出结论．．【解答】解：因为1+2+3+…+n=n（n+1），由n（n+1）≤130，得n的最大值为15，即最后一个是数列的第120项，共有10项，所以，前130项的和等于15+=15．故选B．【点评】本题考查数列的应用．解题时要认真观察，发现规律，利用等差数列知识解答．易错点是找不到规律，导致出错．5．已知（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是( )A．a＜1或a＞24 B．a=7或a=24 C．﹣7＜a＜24 D．﹣24＜a＜7【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．【专题】计算题；转化思想．【分析】将两点坐标分别代入直线方程中，只要异号即可．【解答】解：因为（3，1）和（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，所以有（3×3﹣2×1+a）＜0，解得﹣7＜a＜24故选C．【点评】本题考查线性规划知识的应用．一条直线把整个坐标平面分成了三部分，让其大于0的点，让其大于0的点以及让其小于0的点．6．若正实数a，b满足a+b=1，则+的最小值是( )A．4 B．6 C．8 D．9【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【专题】计算题．【分析】由已知中正实数a，b满足a+b=1，根据基本不等式“1的活用”，我们将分子式中的“1”全部变形成a+b，然后利用分式的性质，化简得到两数为定值的情况，利用基本不等式即可得到答案．【解答】解：∵正实数a，b满足a+b=1，∴+==5+（）≥9故+的最小值是9故选D【点评】本题考查的知识点是基本不等式在最值问题中的应用，其中对于已知两数之和为定值，求两分式之和的最值时，“1的活用”是最常用的办法．7．在△ABC中，∠A=60°，a=，b=3，则△ABC解的情况( )A．无解 B．有一解C．有两解D．不能确定【考点】正弦定理．【专题】计算题；解三角形．【分析】由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，求解即可．【解答】解：由正弦定理得：即，解得sinB=，因为，sinB∈，故角B无解．即此三角形解的情况是无解．故选A．【点评】此题考查学生灵活运用正弦定理化简求值，掌握正弦函数的图象与性质，是一道基础题．8．已知数列{a n}满足a1=1，a n•a n+1=2n，则=( )A．2 B．C．D．【考点】数列递推式．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】由已知条件得a1=1，a2=2，且数列{a n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，由此能求出答案．【解答】解：∵数列{a n}满足a1=1，a n•a n+1=2n，n∈N*，∴n=1时，a2=2，∵a n•a n+1=2n，∴n≥2时，a n•a n﹣1=2n﹣1，∴，∴数列{a n}的奇数列、偶数列分别成等比数列，则=．故选：A．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了等比数列通项公式的求法，是中档题．9．设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为( )A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，2] C．（2，+∞）D．∪∪．故选B．【点评】此题考查了并集及其运算，二次不等式，以及不等式恒成立的条件，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．10．已知数列{a n}的其前n项和S n=n2﹣6n，则数列{|a n|}前10项和为( )A．58 B．56 C．50 D．45【考点】数列的求和．【专题】分类讨论；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系可得：a n．令a n≥0，解得n≥4；可得|a n|=．即可得出数列{|a n|}前10项和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10．【解答】解：∵S n=n2﹣6n，∴当n=1时，a1=S1=﹣5；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣6n﹣=2n﹣7，当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣7．令a n≥0，解得n≥4；∴|a n|=．∴数列{|a n|}前10项和=﹣a1﹣a2﹣a3+a4+a5+…+a10=S10﹣2S3=（102﹣6×10）﹣2（32﹣6×3）=58．故选：A．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式及其前n项和公式、含绝对值数列的求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．已知a＞b＞c，a+b+c=0，当0＜x＜1时，代数式ax2+bx+c的值是( )A．正数 B．负数C．0 D．介于﹣1与0之间【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由a＞0，c＜0，得f（x）=ax2+bx+c，f（0）=c＜0，f（1）=0，由此能求出在（0，1）上代数式ax2+bx+c的值为负数．【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c=0，∴a＞0，c＜0设f（x）=ax2+bx+c，f（0）=c＜0，f（1）=0，由a＞0，得：f（x）在上要么单调，要么先减后增总之f（x）＜max{f（0），f（1）}，∴在（0，1）上代数式ax2+bx+c的值为负数．故选：B．【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题．12．关于x的方程mx2+2（m+3）x+2m+14=0有两个不同的实根，且一个大于4，另一个小于4，则m的取值范围为( )A．∅B．（﹣∞，﹣1） C．（，+∞）D．（﹣，0）【考点】一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】函数的性质及应用．【分析】令f（x）=mx2+2（m+3）x+2m+14，则由题意可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：令f（x）=mx2+2（m+3）x+2m+14，则由题意可得①，或②．解①求得m∈∅，解②求得﹣＜m＜0，故选：D．【点评】本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．二、填空题：本大共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，．则△ABC 的面积2．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】计算题；整体思想；向量法；解三角形．【分析】由已知可得，利用平方关系求出sinA，代入三角形面积公式得答案．【解答】解：在△ABC中，由cosA=，得，且sinA=，∴=．故答案为：2．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角形面积的求法，是中档题．14．已知x，y，a，b为均实数，且满足x2+y2=4，a2+b2=9，则ax+by的最大值m与最小值n的乘积mn=﹣36．【考点】二维形式的柯西不等式．【专题】计算题；转化思想；数学模型法；不等式．【分析】先根据柯西不等式可知（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，求得（ax+by）2的最大值，进而求得ax+by的最大值和最小值，则答案可求．【解答】解：∵a2+b2=9，x2+y2=4，由柯西不等式（a2+b2）（x2+y2）≥（ax+by）2，得36≥（ax+by）2，当且仅当ay=bx时取等号，∴ax+by的最大值为6，最小值为﹣6，即m=6，n=﹣6，∴mn=﹣36．故答案为：﹣36．【点评】本题主要考查了柯西不等式在最值问题中的应用．解题的关键是利用了柯西不等式，达到解决问题的目的，属于基础题．15．数列a n=﹣n2+3λn（n∈N*）为单调递减数列，则λ的取值范围是（﹣∞，1）．【考点】数列的函数特性．【专题】转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】数列a n=﹣n2+3λn（n∈N*）为单调递减数列，可得a n＞a n+1，化简解出即可得出．【解答】解：∵数列a n=﹣n2+3λn（n∈N*）为单调递减数列，∴a n＞a n+1，∴﹣n2+3λn＞﹣（n+1）2+3λ（n+1），化为λ＜（2n+1），∴λ＜1，∴λ的取值范围是（﹣∞，1）．故答案为：（﹣∞，1）．【点评】本题考查了数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．不等式|x﹣1|+|x﹣a|≥3恒成立，则a的取值范围为{a|a≥4，或a≤﹣2}．【考点】绝对值不等式的解法．【专题】计算题；不等式的解法及应用．【分析】由绝对值的意义可得|x﹣1|+|x﹣a|的最小为|a﹣1|，故由题意可得|a﹣1|≥3，解绝对值不等式求得a的范围．【解答】解：由绝对值的意义可得|x﹣1|+|x﹣a|表示数轴上的x对应点到1对应点和a对应点的距离之和，它的最小为|a﹣1|，故由题意可得|a﹣1|≥3，即有a﹣1≥3，或a﹣1≤﹣3，解得a≥4，或a≤﹣2，故a的范围是{a|a≥4，或a≤﹣2}，故答案为：{a|a≥4，或a≤﹣2}．【点评】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．如图，在△ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1，BD=．（1）求cosA的值；（2）求sinC的值．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】（1）由余弦定理列出关系式，将AB，AD，BD的长代入求出cosA的值即可；（2）由cosA的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，根据D为AC中点，得到AC=2AD，求出AC的长，利用余弦定理表示出cosA，将AB，AC代入求出BC的长，再由AB，BC，sinA的值，利用正弦定理即可求出sinC的值．【解答】解：（1）在△ABD中，AB=AD=1，BD=，∴cosA===；（2）由（1）知，cosA=，且0＜A＜π，∴sinA==，∵D是边AC的中点，∴AC=2AD=2，在△ABC中，cosA===，解得：BC=，由正弦定理=得，sinC==．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18．已知数列{a n}是递增数列，且满足a3•a5=16，a2+a6=10．（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）若{a n}是等比数列，若b n=，求数列{b n}的前7项的积T7．【考点】数列的求和．【专题】计算题；方程思想；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）由题设知：a2+a6=10=a3+a5，a3•a5=16，由a3，a5是方程x2﹣10x+16=0的两根，且a3＜a5，解得a3，a5，利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．（II）利用等比数列的性质即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由题设知：a2+a6=10=a3+a5，a3•a5=16，∴a3，a5是方程x2﹣10x+16=0的两根，且a3＜a5，解得a3=2，a5=8，∴公差为，∴a n=3n﹣7；．（Ⅱ）由题设知：a3•a5=16=a2•a6，0＜a2＜a4＜a6，∴，∴．【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列与等比数列的通项公式性质及其前n项和公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某家具厂有方木料90m3，五合板600m2，准备加工成书桌和书橱出售．已知生产每张书桌需方木料0.1m3，五合板2m2；生产每个书橱需方木料0.2m3，五合板1m2，出售一张书桌可获利80元，出售一个书橱可获利120元，怎样安排生产，可使获利最大？【考点】根据实际问题选择函数类型；基本不等式在最值问题中的应用．【专题】应用题．【分析】此是一线性规划的问题，据题意建立起约束条件与目标函数，作出可行域，利用图形求解．【解答】解：设生产书桌x张，书橱y张，利润z元，则目标函数z=80x+120y，约束条件为作出上可行域：作出一组平行直线2x+3y=t，此直线经过点A（100，400）时，即合理安排生产，生产书桌100张，书橱400张，有最大利润为z max=80×100+400×120=56000（元）【点评】考查线性规划的问题，将应用题转化为线性约束条件，再作出其图形，从图形上找出目标函数取最大值的点．算出最大值．20．已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，sin（2C﹣）=，且a2+b2＜c2．（1）求角C的大小；（2）求．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（1）由余弦定理表示出cosC，根据已知不等式得到cosC的值小于0，C为钝角，求出2C﹣的范围，再由sin（2C﹣）的值，利用特殊角的三角函数值很即可求出C的度数；（2）由cosC的值，利用余弦定理列出关系式，利用完全平方公式变形，求出的范围，再根据三边之和大于第三边，即可求出的具体范围．【解答】解：（1）∵a2+b2＜c2，∴由余弦定理得：cosC=＜0，∴C为钝角，∴＜2C﹣＜，∵sin（2C﹣）=，∴2C﹣=，则C=；（2）由（1）得C=，根据余弦定理得：c2=a2+b2﹣2abcos=a2+b2+ab=（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（）2=（a+b）2，即（）2≤，≤，又a+b＞c，即＞1，则的范围为（1，]．【点评】此题考查了余弦定理，基本不等式的运用，以及完全平方公式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．21．已知f（x）=（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4，（Ⅰ）当x∈R时，恒有f（x）＜0，求a的取值范围；（Ⅱ）当x∈．（Ⅱ）当a=2时，f（x）=﹣4＜0成立，当a﹣2＜0，即a＜2时，f（x）图象对称轴为x=﹣1，∴f（x）在（﹣1，+∞）上为减函数，∴当x∈．（Ⅲ）设f（x）=（x2+2x）a﹣2x2﹣4x﹣4=g（a），由题设知：当a∈（1，3）时，恒有g（a）＜0，又g（1）=﹣x2﹣2x﹣4=﹣（x﹣1）2﹣3＜0，∴g（3）=x2+2x﹣4≤0，∴．【点评】本题考查了二次函数的图象，最小值和单调性，属于中档题．22．已知数列{a n}满足：a1=3，a n=a n﹣1+2n﹣1（n≥2，n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）若b n=n（a n﹣1）（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）设c n=，T n=2c1+22c2+…+2n c n（n∈N*），求证：T n＜（n∈N*）．【考点】数列的求和；数列递推式．【专题】综合题；转化思想；数学模型法；等差数列与等比数列．【分析】（I）利用“累加求和”即可得出；（Ⅱ）由（Ⅰ）及题设知：，利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出；（III）利用“裂项求和”即可得出．【解答】（I）解：∵，∴当n≥2时，a n=a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+…+（a n﹣1﹣a n﹣2）+（a n﹣a n﹣1）=；又，故．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及题设知：，∴∴∴．（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）及题设知：，∴，∴即，∴．【点评】本题考查了“累加求和”方法、“错位相减法”、等比数列的前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．。
2022-2023学年广东省珠海市斗门区高二年级上册学期期中数学试题【含答案】
2022-2023学年广东省珠海市斗门区第一中学高二上学期期中数学试题一、单选题1．某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。
现用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【答案】C【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系进行求解即可.【详解】设在高二年级的学生中应抽取的人数为，依题意可得，解得.n 64030n =8n =故选：C.2．若直线与圆相切，则（ ）y =()()2220x a y a -+=>=aA B ．2C ．3D ．【答案】A【分析】利用圆心到直线的距离为半径可求.a【详解】因为圆心坐标为(),0a的距离解得0y -=d 0a >a =故选：A.3．如图，已知直线PM 、QP 、QM 的斜率分别为、、，则、、的大小关系为（ ）1k 2k 3k 1k 2k 3kA ．B ．C ．D ．123k k k <<132k k k <<213k k k <<321k k k <<【答案】B【分析】首先判断三条直线的倾斜角，进而根据倾斜角与斜率的关系即可得出结论..【详解】由于直线PM 的倾斜角为钝角，QP 、QM 的倾斜角为锐角，当倾斜角为锐角时，斜率为正，即，当倾斜角为钝角时，斜率为负，即，320,0k k >>10k <又因为倾斜角为时，倾斜角越大，斜率越大，即；0,2π⎡⎫⎪⎢⎣⎭32k k <所以.132k k k <<故选：B.4．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）l ()1,0,2a =α()2,1,1n =-A ．B ．C ．或D ．与斜交l α∥l a ⊥l α⊂l α∥l α【答案】C【分析】利用直线的方向向量和平面的法向量垂直来判断直线和平面的位置关系.【详解】∵，，()1,0,2a =()2,1,1n =-∴即，0a n ⋅=a n ⊥ ∴∥或.l αl ⊂α故选：C.5．若点是圆上任一点，则点到直线距离的最大值为（ ）P 22:(3)(2)1C x y ++-=P 1y kx =-A ．5B ．6C ．D ．11【答案】C【分析】连接圆心和直线的定点，当直线与此线段垂直时圆心到直线的距离最大，再加半径即为圆上点到直线距离的最大值【详解】由题知，直线过定点（0，-1），所以圆心()3,2-=所以点到直线距离的最大值为P 1y kx =-1故选：C.6．如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点.若，，AB a = AD b =，则下列向量中与相等的向量是（ ）.1AA c=BMA ．B ．1122-++ a b c1122a b c ++C ．D ．1122a b c--+ 1122a b c -+ 【答案】A【分析】根据空间向量线性运算的定义进行求解即可.【详解】，1111111111=()()2222BM BA AA A M a c A B A D a c a b a b c++=-+++=-+++=-++故选：A7．已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是y =10kx y k -+-=k （ ）A ．B ．C ．D ．13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭30,4⎛⎫⎪⎝⎭12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭12,43⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A【分析】作出曲线（上半圆），直线过定点，求出图中两条y =10kx y k -+-=(1,1)--的斜率可得所求范围．【详解】解：曲线整理得，则该曲线表示圆心为，半径y =22(2)1(0)x y y -+=≥(2,0)为1的圆的上半部分，直线过定点，如图，当时，曲线与直线有10kx y k -+-=(1,1)--[)12,k k k ∈两个不同的交点，，得或，所以，34k =0k =234k =，1101112k --==--所以实数的取值范围是.k 13,24⎡⎫⎪⎢⎣⎭故选：A ．【点睛】方法点睛：本题考查直线与曲线的位置关系，解题方法是数形结合思想，即作出曲线（半圆），而直线是过定点的动直线，由直线与半圆的交点个数可得直线的位置，求出临界点直线的斜率后可得结论．8．如图，已知正方体的棱长为2，M ，N 分别为，的中点．有下列结论：1111ABCD A B C D -1BB CD①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；11A MND -11D DCC ②直线平面；//MN 11A DC ③在棱BC 上存在一点E ，使得平面平面；1AEB ⊥MNB④若F 为棱AB 的中点，且三棱锥．M NFB -其中正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【分析】对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，D 1,,DA DC DD ,,x y z 11A DC 得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而MN 得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球M NFB -O 半径，得出外接球体积.【详解】对于①，设的中点为，连接，，，1CC 1M 1MM 11D M 1NM 如图，为的中点，，M 1BB 11111////A D B C MM ∴又平面，平面，11A D ⊥11D DCC 1MM ∴⊥11D DCC 点，在平面上的正投影分别为，∴1A M 11D DCC 11,D M 且点在平面上的正投影分别为其本身，1,D N 11D DCC 三棱锥在平面上的正投影图为，∴11A MND -11D DCC 11D M N又111D N D M ===即为等腰三角形，①正确；11D M N 对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，D 1,,DA DC DD ,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，则，()()()()()()()1110,0,0,2,0,2,0,2,2,2,2,0,0,0,2,2,2,1,0,1,0D A C B D M N ，()()()()1112,1,1,2,0,2,0,2,2,2,2,2MN DA DC D B ∴=---===-，，即， ()112202220D B DA ⋅=⨯+⨯+⨯-=11D B DA ∴⊥ 11D B DA ⊥，，即，()110222220D B DC ⋅=⨯+⨯+⨯-=11D B DC ∴⊥ 11D B DC ⊥又，平面，平面，11DA DC D ⋂=1DA ⊂11A DC 1DC ⊂11A DC 平面，1D B ∴⊥11A DC即是平面的一个法向量，()12,2,2D B =-11A DC 而，()()()()122121240D B MN ⋅=-⨯+-⨯+-⨯-=-≠与不垂直，不与平面平行，②错误；1D B∴ MNMN ∴11A DC 对于③，如图设的中点为，连接，由②知，，BC E AE ()()1,2,0,1,2,0E AE =-，，()2,1,0BN =--()2,1,1MN =---，，即，()()()122100AE BN ⋅=-⨯-+⨯-+=AE BN ∴⊥AE BN ⊥，，即，()()()122100AE MN ⋅=-⨯-+⨯-+=AE MN ∴⊥AE MN ⊥又，平面，平面，BN MN N ⋂=BN ⊂MNB MN ⊂MNB 平面，又平面，平面平面，③正确；AE ∴⊥MNB AE ⊂1AEB ∴1AEB ⊥MNB 对于④，如图，若为棱AB 的中点，又为棱的中点，，F N CD //NF BC ∴平面，平面，BC ⊥ 11A ABB NF ∴⊥11A ABB 平面，，MF ⊂ 11A ABB NF MF ∴⊥又，和有公共的斜边，MB BN ⊥Rt NFM ∴ Rt MBN △MN 设的中点为，则点到的距离相等，MN O O ,,,M N B F为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，M NFB -MN，2R∴===R =该球的体积为，④正确.3344ππ33V R ==⨯=综上所述，正确的结论为①③④.故选：D.二、多选题9．新冠肺炎疫情防控期间，进出小区､超市､学校等场所，我们都需要先进行体温检测.某班级体温检测员对一周内甲､乙两名同学的体温进行了统计，其结果如图所示，则下列结论正确的是（ ）A ．甲同学体温的极差为0.4℃B ．乙同学体温的众数为，中位数与平均数不相等36.4℃C ．乙同学的体温比甲同学的体温稳定D ．甲同学体温的第60百分位数为36.5℃【答案】ACD【分析】利用折线图，对图中数据进行分析，依次分析各选项即可得答案.【详解】对于A ：甲同学体温的极差为-=，故A 选项正确；36.6℃36.2℃0.4℃对于B ：乙同学体温为36.4，36.3，36.5，36.4，36.4，36.3，36.5，其众数为，中位数、平36.4℃均数均为，故B 选项错误；36.4℃对于C ：根据图中数据，甲同学的体温平均数为，与乙同学的体温平均数相同，但甲同学的36.4℃体温极差为，大于乙同学的体温极差，故乙同学的体温比甲同学的体温稳定，C 选项正0.4℃0.2℃确；对于D ：甲同学的体温从小到大排序为36.2，36.2，36.4，36.4，36.5，36.5，36.6.7×60%=4.2，故甲同学体温的第60百分位数为，故D 选项正确.36.5℃故选：ACD10．盒子里有2个红球和2个白球，从中不放回地依次取出2个球，设事件“两个球颜色相同”，A ==“第1次取出的是红球”，=“第2次取出的是红球”，=“两个球颜色不同”．则下列说法正确B C D 的是（ ）A ．A 与相互独立B ．A 与互为对立B D C ．与互斥D ．与相互独立B C B D 【答案】ABD 【分析】设2个红球为，2个白球为，运用列举法可得样本空间，后由事件相互独立，12，a a 12b b ，对立，互斥相关概念可得答案.【详解】2个红球为，2个白球为，则样本空间为：12，a a 12b b ，，()()()()()(){()()()121112212122111212Ω,,,,,,,,,a a a b a b a a a b a b b a b a b b =，，，，，，，，，()()()}212221,,,b a b a b b ，，共12个基本事件.事件A ，共4个基本事件.()()()(){}12211221,，,，,，,a a a a b b b b =事件B ，共6个基本事件.()()()()()(){}121112212122,，,，,，,，,，,a a a b a b a a a b a b =事件C ，共6个基本事件.()(){()()()()}122111122122,,,,,,a a a a b a b a b a b a =，，，，，事件D，共8个基本事件.()()()(){()()()()}1112212211122122,,,,,,,,a b a b a b a b b a b a b a b a =，，，，，，，对于A 选项，因，()()()416121123122126，，P A P B P A B ====⋅==则，故A 与相互独立.故A 正确；()()()P A P B P A B ⋅=⋅B 对于B 选项，注意到，得A 与互为对立.故B 正确；∩，∪AD A D =∅=ΩD 对于C 选项，注意到，则与不互斥.故C 错误.∩B C ≠∅B C 对于D 选项，因，()()()618241122123123，，P B P D P B D ====⋅==则，故D 与相互独立.故D 正确.()()()P D P B P D B ⋅=⋅B 故选：ABD 11．有一组样本数据，，…，，由这组数据得到的另一组数据，，…，，满足1x 2x n x 1y 2y n y （为非零常数），则下列结论一定成立的是（ ）i i y x c =+c A ．两组数据的样本平均数不同B ．两组数据的中位数相同C ．两组数据的样本方差相同D ．两组数据的样本标准差不同【答案】AC【分析】根据平均数、方差的性质判断即可.【详解】解：对于A ，设样本数据，，，的平均数为，1x 2x ⋯n x x 则新样本数据，，，的平均数是，平均数不同，故A 正确；1y 2y ⋯n y x c +对于B ，设样本数据，，，的中位数为，1x 2x ⋯n x A 则新样本数据，，，的中位数是，中位数不同，故B 错误；1y 2y ⋯n y A c +对于C ，样本数据，，，，由这组数据得到新样本数据，，，，1x 2x ⋯n x 1y 2y ⋯n y 两组数据的波动性相同，所以方差、标准差相同，故C 正确，D 错误；故选：AC ．12．关于正方体，下列说法正确的是（ ）1111ABCD A B C D -A ．直线平面1AC ⊥1A BDB ．若平面与平面的交线为l ，则l 与所成角为1A BD 11AB D AD 45︒C ．棱与平面1CC 1A BD D ．若正方体棱长为2，P ，Q 分别为棱的中点，则经过A ，P ，Q的平面截此正方体所得11,BB DD 截面图形的周长为【答案】ABD【分析】对于A ：利用空间向量可得∥，即直线平面；对于B ：结合图形可得交1AC n1AC ⊥1A BD 线为l 即直线，利用空间向量求异面直线夹角；对于C ：，利用空间向量处理线面夹MN 11CC AA = 角问题；对于D ：通过平行分析可知经过A ，P ，Q 的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形．1AQC P 【详解】如图1，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则()()()12,2,02,0,0,2,,0,0A B D ()()12,0,2,2,2,0DA B D ==设平面的一个法向量，则有1A BD (),,n x y z = 1220220n DA x z n DB x y ⎧⋅=+=⎨⋅=+=⎩ 令，则，即=1x -1y z ==()1,1,1n =-∵，则，即()()12,0,0,0,2,2A C ()12,2,2AC =-12AC n= ∴∥，则直线平面，A 正确；1AC n1AC ⊥1A BD结合图形可知为平面与平面的交点，则交线为l 即为直线,M N 1A BD 11AB D MN∴，则()()1,0,1,2,1,1M N ()()1,1,0,2,0,0MN DA ==cos ,MN DA MN DA MN DA ⋅==∴l 与所成角为，B 正确；AD 45︒∵，则()110,0,2CC AA ==111cos ,CC n CC n CC n⋅==∴棱与平面，C不正确；1CC 1A BD如图2，取棱的中点，连接1CC E 11,,,PC QC PE BE ∵分别为的中点，则∥且,P E 11,DD CC PE DC PE DC =又∵∥且，则∥且AB DC AB DC =PE AB PE AB =∴为平行四边形，则∥ABEP AP BE ∵分别为的中点，则∥且,Q E 11,BB CC 1C E BQ 1C E BQ=∴为平行四边形，则∥1BEC Q BE 1C Q ∴∥AP 1C Q 同理可证：∥AQ 1C P∴经过A ，P ，Q 的平面截此正方体所得截面图形为平行四边形1AQC P∵D正确；AP AQ ==故选：ABD ．三、填空题13．若直线与直线平行，则__________.20x ay ++=230x y --==a 【答案】2-【分析】利用两直线平行的充要条件即可.【详解】由直线与直线平行，可得:20x ay ++=230x y --=，()()12103220a a ⎧⨯--⨯=⎪⎨-⨯--⨯≠⎪⎩解得，243a a =-⎧⎪⎨≠⎪⎩所以，.2a =-故答案为：2-14．将写有1，2，3，4的4张卡片中不放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的概率为______．【答案】13【分析】利用列举法写出基本事件，再结合古典概型的计算公式即可求解.【详解】从4张卡片中不放回地抽取2张，共有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）这6种情况，设抽到的2张卡片上的数字之积是6的倍数的事件为,其中包含的基本事件有（2，3），A A （3，4）这2种情况，由古典概型的计算公式得故概率为．()2163P A ==故答案为：.1315．已知圆C 关于直线对称的圆的方程，则圆C 的方程为10x y -+=22(1)(1)1x y -+-=_________.【答案】22(2)1x y +-=【分析】根据给定条件，求出圆的圆心关于直线的对称点即可作答.22(1)(1)1x y -+-=10x y -+=【详解】圆的圆心，半径，22(1)(1)1x y -+-=(1,1)1r =令点关于直线的对称点坐标为，(1,1)10x y -+=(,)a b 于是得，解得，因此圆C 的圆心为，半径，111111022b a a b -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩02a b =⎧⎨=⎩(0,2)1r =所以圆C 的方程为.22(2)1x y +-=故答案为：22(2)1x y +-=16．过直线上动点P 作圆的一条切线，切点为A ，若使得0x y m --=2:(2)(3)1M x y -+-=的点P 有两个，则实数m 的取值范围为___________．1PA =【答案】()3,1-【分析】将使得的点P 有两个，转换为圆心到直线的距离的不等关系式求解1PA =M 0x y m --=即可【详解】由题，使得的点P的点P有两个，即圆心到直1PA ==线的距离小于半径.又圆心到直线的距离，即M 0xy m --=d ，即212m -<+<()3,1m ∈-故答案为：()3,1-四、解答题17．2022年，是中国共产主义青年团成立100周年，为引导和带动青少年重温共青团百年光辉历程，某校组织全体学生参加共青团百年历史知识竞赛，现从中随机抽取了100名学生的成绩组成样本，并将得分分成以下6组：[40，50）、[50，60）、[60，70）、、[90，100]，统计结果如图所示：(1)试估计这100名学生得分的平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表）；(2)试估计这100名学生得分的中位数（结果保留两位小数）；(3)现在按分层抽样的方法在[80，90）和[90，100]两组中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加这次竞赛的交流会，试求两组各有一人被抽取的概率.【答案】(1)70.5(2)71.67(3)0.6【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数计算公式可得；（2）根据频率分布直方图中中位数计算公式可得；（3）先计算每个分组中的人数，再根据分层抽样的方法选出[80，90）中3人和[90，100]中2人，再计算两组各有一人被抽取的概率.【详解】（1）由频率分布直方图可得这100名学生得分的平均数(450.01550.015650.02750.03850.015950.01)1070.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（2）因为成绩在[40，70)的频率为0.45，成绩在[70，80)的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈（3）在[80，90）和[90，100]两组中的人数分别为和人，1000.0151015⨯⨯=（）1000.011010⨯⨯=（）故在[80，90）分组中抽取的人数为人，故在[90，100]分组中抽取的人数为2人，两15531015⨯=+组各有一人被抽取的概率为.3232545p =⨯⨯=18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是34，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．11214(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)；3283、(2).1532【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；,,A B C （2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概ABC ABC ABC ++率求法计算即可.【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确=A =B =C 这道题”，由于相互独立，所以和相互独立，,,A B C A C 则，解得，()()()()()()()()()()()3=41==11=121==4P A P AC P A P C P A P C P BC P B P C ⋅--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩()()3=82=3P B P C ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.32,83（2）因为相互独立，且相互互斥，,,A B C ,,ABC ABC ABC 所以()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++，3333232151114834834833223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为．153219．已知圆过点，，，直线过点且与直线相互平C ()4,6-()2,2-()5,1--1l (2,1)--2:340l x y +=行．（1）求圆的标准方程；C（2）求直线与圆相交所得的弦长．1lC 【答案】（1）；（2）8.22(1)(2)25x y ++-=【分析】（1）设出圆的一般方程，代入点的坐标，解方程组可得圆的一般式方程，再化为标准方程即可；（2）设出直线，求出，结合点到直线的距离和勾股定理可得弦长.1:340l x y m ++=10m =【详解】（1）设圆的方程为，,C 220x y Dx Ey F ++++=()2240DEF +->则5246082202650D E F D E F D E F -++=⎧⎪+-+=⎨⎪--+=⎩解得2,4,20,D E F =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩则圆的一般方程为，C 2224200x y x y ++--=所以圆的标准方程为．C 22(1)(2)25x y ++-=（2）设直线，代入可得，，1:340l x y m ++=(2,1)--10m =直线的方程为：，1l34100x y ++=故圆心到直线的距离,(1,2)C -1l1535d ==故直线与圆形成的弦长为．1lC 8==20．已知四面体的各棱长均为1，D 是棱OA 的中点，E 是棱AB 的中点．设，O ABC -OA a =，．OB b = OC c = (1)用向量、、表示、；a b cBD CE (2)判断与是否垂直；BD CE(3)求异面直线BD 与AC 所成角的余弦值．【答案】(1)，；12BD a b =- ()122CE a b c=+- (2)与不垂直；BD CE﹒【分析】(1)根据空间向量的线性运算即可求解；(2)判断是否为零即可判断与是否垂BD CE ⋅ BD CE直；(3)根据向量数量积公式即可求解.cos ,BD AC BD AC BD AC⋅=【详解】（1），1122BD OD OB OA OB a b=-=-=- ；()()()1112222CE CA CB a c b c a b c=+=-+-=+- （2）()22111112222222BD CE a b a b c a a b a c b b c ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+-=-⋅-⋅-+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，11111112222222⎛⎫=-⨯--+⨯ ⎪⎝⎭108=-≠∴与不垂直；BD CE （3），，AC OC OA c a =-=- 1AC = 且，()211111112222224BD AC a b c a a c a b c b a ⎛⎫⋅=-⋅-=⋅--⋅+⋅=⨯-=-⎪⎝⎭于是，cos ,BD ACBD AC BDAC⋅=== ∴异面直线BD 与AC ．21．如图，等腰直角△ACD 的斜边AC 为直角△ABC 的直角边，E 是AC 的中点，F 在BC 上．将三角形ACD 沿AC 翻折，分别连接DE ，DF ，EF ，使得平面平面ABC ．已知，DEF ⊥2AC =，30B ∠=︒(1)证明：平面ABD ；EF ∥(2)若，求二面角的余弦值．DF =A BC D --【答案】(1)证明见解析；.【分析】（1）过D 作，垂足为G ，根据线面垂直的性质与判定可得平面DEF ，进DG EF ⊥AC ⊥而证明即可；EF AB ∥（2）先根据（1）结合，，，再以E 为原点，建立空间DF DE DF ⊥DG =EG =直角坐标系，求解平面CDF 的法向量，再根据面面垂直的向量求法求解即可【详解】（1）证明：过D 作，垂足为G ，DG EF ⊥∵平面平面ABC ，平面平面，平面DEF ，DEF ⊥DEF ⋂ABC EF =DG ⊂∴平面ABC ，∵平面ABC ，∴，DG ⊥AC ⊂DG AC ⊥∵E 是等腰直角三角形ADC 斜边AC 的中点，∴，又，DE ，平面DEF ，DE AC ⊥DE DG D = DG ⊂∴平面DEF ，∵平面DEF ，∴，AC ⊥EF ⊂AC EF ⊥∵，∴，AC AB ⊥EF AB ∥∵平面ABD ，平面ABD ，∴平面ABD ．EF ⊄AB ⊂EF ∥（2）由题意可知，在等腰直角三角形ADC 中，∵，∴，2AC =112DE AC ==由（1）可知，EF 为直角三角形BAC 的中位线，∵，∴，∴30B ∠=︒2==AB EF EF=∵，∴，∴，DF =222EF DE DF=+DE DF ⊥∴，．DG =EG =以E 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设平面CDF 的法向量，则，(),,n x y z =()1,0,0C ，，，，()F ⎛⎝D ()=- CF ⎛=- ⎝ CD 由得，令，则，00n CD n CF ⎧⋅=⎨⋅=⎩0,0,y x x-=-=1y =n = 显然，平面ABC 的法向量，()0,0,1m =cos ,m n二面角A BC D --22．如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的22430M x y x +-+=：()1P t -，1l x =-：P M两条切线，切点分别为，．A B(1)求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；AB AB (2)求线段中点的轨迹方程；AB (3)若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．PA PB y S T ST【答案】(1)，过定点，350x ty --=503⎛⎫ ⎪⎝⎭，(2)()22111()2636x y x -+=≠【分析】（1）求出以为圆心，为半径的圆的方程，再根据线段为圆和圆的公共弦，P PAP AB P M 将两圆的方程相减可得直线的方程，再令直线中参数项的自变量为0求解定点即可；AB （2）设的中点为点，直线过的定点为点，根据几何性质可得始终垂直于，进AB F AB H HF FM 而求得方程即可；（3）设切线方程为，根据直线与圆相切化简可得，设，的()1y t k x -=+228610k kt t ++-=PA PB 斜率分别为，，则，为的两根，表达出，再代入韦达定理，1k 2k 1k 2k 228610k kt t ++-=12ST k k =-结合函数的范围求解即可.【详解】（1，，，1AM =2222||||8PA PM AM t =-=+故以为圆心，为半径的圆的方程为，P PAP 222(1)()8x y t t ++-=+显然线段为圆和圆的公共弦，AB P M则直线的方程为，即，AB 22222(1)(2)()81x x y t y t +--+--=+-350x ty --=经判断直线过定点，即所以直线过定点AB 5350300x x y y ⎧-==⎧⎪⇒⎨⎨-=⎩⎪=⎩，，AB 503⎛⎫⎪⎝⎭，；（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，AB 503⎛⎫⎪⎝⎭，AB AB MP 设的中点为点，直线过的定点为点，AB F AB H 易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆HF FM F HM 503H ⎛⎫⎪⎝⎭，()20M ，点，半径，且不经过.11,06⎛⎫ ⎪⎝⎭111266-=()2,0M 点的轨迹方程为∴F ()22111(2636x y x -+=≠；（3）设切线方程为，即，()1y t k x -=+0kx y k t -++=故到直线的距离，即，()20M ，0kx y k t -++=1d 228610k kt t ++-=设，的斜率分别为，，则，，PA PB 1k 2k 1234tk k +=-21218t k k -=把代入，得，0x =0kx y k t -++=y k t =+则()1212ST k t k t k k =+-+=-===故当时，取得最小值为．0=t ST。
2021-2022学年广东省珠海二中高二(上)期中数学试卷(解析版)
2021-2022学年广东省珠海二中高二（上）期中数学试卷一、选择题（每小题只有一个正确的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则用“＜”号将它们的斜率k1，k2，k3，k4连接起来后，得到的结果为（）A．k1＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k3＜k4C．k4＜k3＜k1＜k2D．k3＜k4＜k1＜k22．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．3．如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2， (8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数（）A．1B．2C．4D．85．设平面α的法向量为，直线l的方向向量为，那么“”是“直线l与平面α夹角为30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0关于直线x﹣y﹣2＝0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2＝1B．（x+4）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y+4）2＝1D．（x﹣2）2+（y+1）2＝17．如图，已知点P在正方体ABCD﹣A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC＝60°．设＝λ，则λ的值为（）A．B．C．D．8．已知点M（a，b），ab≠0在圆x2+y2＝r2（r＞0）内，直线l1是以M为中点的弦所在的直线，直线l2的方程为ax+by+r2＝0，则（）A．l1∥l2且直线l2与圆相离B．l1⊥l2且直线l2与圆相切C．l1∥l2且直线l2与圆相交D．l1⊥l2且直线l2与圆相离二、多选题（每小题有2个或3个正确的选项，本大题共4小题，每小题5分，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分）9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（）A．点B1的坐标为（4，5，3）B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）10．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），且点P是圆M：x2+y2＝4上的一个动点，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的值可以是（）A．66B．79C．86D．8911．已知圆x2+y2﹣2ax+4a﹣4＝0在曲线|x|+|y|＝4的内部，则实数a的值可以是（）A．0B．1C．2D．312．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作ED⊥AC于D．把△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，连结A1C．翻折过程中，其中正确的结论是（）A．DE⊥A1CB．存在某个位置，使A1E⊥BEC．若，则BF的长是定值D．若，则四面体C﹣EFB的体积最大值为三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l的方向向量为＝（﹣1，1，2），平面α的法向量为＝（，λ，﹣1）（λ∈R），若l⊥α，则实数λ的值为．14．已知直线l1：x﹣y﹣5＝0，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角大小为．15．在空间直角坐标系中，点P（0，0，1）为平面ABC外一点，其中A（1，1，0），B（0，2，3），若平面ABC的一个法向量为（1，m，1），则点P到平面ABC的距离为．16．若直线x+y+m＝0上存在点P可作圆O：x2+y2＝1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为．四、解答题（本大题共6小题，第一题10分，其余各题12分，共70分）17．如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），求：（1）AB边上的中线CM所在直线的方程．（2）求△ABC的面积．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，∠DAB＝45°，AA1＝AB＝2，AD＝2，点E是C1D1的中点，点F在B1C1上且B1F＝2FC1．（Ⅰ）证明：AC1⊥平面EFC；（Ⅱ）求锐二面角A﹣FC﹣E平面角的余弦值．19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣3，0），C（3，0），且|AB|＝2|AC|．（1）设△ABC的外接圆为⊙M，请写出⊙M周长最小时的⊙M标准方程；（2）设顶点A（x，y），求顶点A的轨迹方程及△ABC面积的最大值．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．21．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆T位于y轴右侧，且与直线x﹣相切．（1）在圆T上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．（2）将圆T向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到圆H，若四边形CDEF为圆H 的内接正方形，P、Q分别是边FC、CD的中点，当正方形CDEF绕圆心H转动时，求的取值范围．参考答案一、选择题（每小题只有一个正确的选项，本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．如图，设直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，则用“＜”号将它们的斜率k1，k2，k3，k4连接起来后，得到的结果为（）A．k1＜k2＜k3＜k4B．k2＜k1＜k3＜k4C．k4＜k3＜k1＜k2D．k3＜k4＜k1＜k2【分析】由题意，根据直线的倾斜角和斜率的关系，数形结合，可得结论．解：∵直线l1，l2，l3，l4的斜率分别为k1，k2，k3，k4，如图，∴k2＞k1＞0，k3＜k4＜0，则用“＜”号将它们的斜率k1，k2，k3，k4连接起来后，可得k3＜k4＜k1＜k2，故选：D．2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是（）A．﹣++B．C．﹣﹣+D．【分析】利用向量的平行四边形法则、平行六面体的性质即可得出．解：＝+＝+＝+（+）＝+（+），故选：B．3．如果ac＜0，bc＜0，那么直线ax+by+c＝0不通过（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】先把直线ax+by+c＝0化为y＝﹣再由ac＜0，bc＜0得到﹣＜0，﹣＞0，数形结合即可获取答案．解：∵直线ax+by+c＝0可化为y＝﹣，ac＜0，bc＜0∴ab＞0，∴﹣＜0，﹣＞0，∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．故选：C．4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2， (8)是上底面上其余的八个点，则集合{y|y＝，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数（）A．1B．2C．4D．8【分析】根据空间向量的线性运算，向量的垂直和向量的数量积即可求出解．解：∵＝+，∴＝•（+）＝+•，∵⊥，∴•＝0，∴＝+•＝＝1，即集合{y|y＝，i＝1，2，3，…，8}中的元素个数为1，故选：A．5．设平面α的法向量为，直线l的方向向量为，那么“”是“直线l与平面α夹角为30°”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】先化简命题，再求充要性．解：直线l与平面α夹角为30°，则设平面α的法向量为，直线l的方向向量为，那么“或120°，故”是“直线l与平面α夹角为30°”的充分而不必要条件，故选：A．6．圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0关于直线x﹣y﹣2＝0对称的圆的方程为（）A．（x﹣4）2+（y+1）2＝1B．（x+4）2+（y+1）2＝1C．（x+2）2+（y+4）2＝1D．（x﹣2）2+（y+1）2＝1【分析】求出已知圆的圆心坐标与半径，再求出圆心关于直线的对称点，则答案可求．解：化圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0为（x﹣1）2+（y﹣2）2＝1，该圆表示以A（1，2）为圆心，以1为半径的圆．设A（1，2）关于直线x﹣y﹣2＝0对称的点为B（a，b），则有．解得：a＝4，b＝﹣1，故B（4，﹣1）．圆x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0关于直线x﹣y﹣2＝0对称的圆的方程为（x﹣4）2+（y+1）2＝1．故选：A．7．如图，已知点P在正方体ABCD﹣A'B'C'D'的对角线BD'上，∠PDC＝60°．设＝λ，则λ的值为（）A．B．C．D．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出λ的值解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD′为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，点P在正方体ABCD﹣A′B′C′D′的对角线BD′上，且∠PDA＝60°，∵＝λ，（0＜λ＜1），则A（1，0，0），C（0，1，0），D′（0，0，1），B（1，1，0），P（λ，λ，1﹣λ），∴＝（λ，λ，1﹣λ），＝（0，1，0），∴cos＜，＞＝＝＝cos60°＝，由0＜λ＜1，解得λ＝．故选：C．8．已知点M（a，b），ab≠0在圆x2+y2＝r2（r＞0）内，直线l1是以M为中点的弦所在的直线，直线l2的方程为ax+by+r2＝0，则（）A．l1∥l2且直线l2与圆相离B．l1⊥l2且直线l2与圆相切C．l1∥l2且直线l2与圆相交D．l1⊥l2且直线l2与圆相离【分析】利用点在圆内，得到a2+b2＜r2，由点到直线l2的距离公式即可判断直线与圆的位置关系，求出直线l1的方程，即可判断两条直线的位置关系．解：因为点M（a，b）在圆x2+y2＝r2（r＞0）内，则a2+b2＜r2，因为圆心（0，0）到直线l2的距离，故直线l2与圆相离，又直线l1的方程为y﹣b＝，即ax+by﹣a2﹣b2＝0，所以l1∥l2．故选：A．二、多选题（每小题有2个或3个正确的选项，本大题共4小题，每小题5分，全对得5分，部分对得2分，选错得0分，共20分）9．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直线DA，DC，DD1分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则（）A．点B1的坐标为（4，5，3）B．点C1关于点B对称的点为（5，8，﹣3）C．点A关于直线BD1对称的点为（0，5，3）D．点C关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）【分析】利用空间点的对称性即可得出．解：由图形及其已知可得：点B1的坐标为（4，5，3），点C1（0，5，3）关于点B对称的点为（8，5，﹣3），点A关于直线BD1对称的点为C1（0，5，3），点C（0，5，0）关于平面ABB1A1对称的点为（8，5，0）．因此ACD正确．故选：ACD．10．已知点A（﹣2，﹣2），B（﹣2，6），C（4，﹣2），且点P是圆M：x2+y2＝4上的一个动点，则|PA|2+|PB|2+|PC|2的值可以是（）A．66B．79C．86D．89【分析】利用三角方法设出点P的坐标，利用两点间的距离表示出|PA|2+|PB|2+|PC|2，进而根据三角函数的有界性即可得到答案．解：依题意，设P（2cosθ，2sinθ）θ∈[0，2π]，则|PA|2＝（2cosθ+2）2+（2sinθ+2）2＝12+8cosθ+8sinθ，|PB|2＝（2cosθ+2）2+（2sinθ﹣6）2＝44+8cosθ﹣24sinθ，|PC|2＝（2cosθ﹣4）2+（2sinθ+2）2＝24﹣16cosθ+8sinθ，所以|PA|2+|PB|2+|PC|2＝80﹣8sinθ，又sinθ∈[﹣1，1]，则80﹣8sinθ∈[72，88]，故选：BC．11．已知圆x2+y2﹣2ax+4a﹣4＝0在曲线|x|+|y|＝4的内部，则实数a的值可以是（）A．0B．1C．2D．3【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心和半径，由题意，圆心到直线x+y＝±4、x﹣y＝±4的距离大于或等于半径，由此求得a的范围，可得结论．解：圆x2+y2﹣2ax+4a﹣4＝0，即圆（x﹣a）2+y2＝a2﹣4a+4＝（a﹣2）2，表示以（a，0）为圆心，半径为|a﹣2|的圆，∵圆在曲线|x|+|y|＝4的内部，故圆心（a，0）到直线x+y＝±4的距离大于或等于半径|a﹣2|，且圆心（a，0）到直线x﹣y＝±4的距离大于或等于半径|a﹣2|，∴≥|a﹣2|，且≥|a﹣2|，即≥（a﹣2）2，∴，求得8﹣6≤a≤2，故选：ABC．12．如图，在边长为4的正三角形ABC中，E为边AB的中点，过E作ED⊥AC于D．把△ADE沿DE翻折至△A1DE的位置，连结A1C．翻折过程中，其中正确的结论是（）A．DE⊥A1CB．存在某个位置，使A1E⊥BEC．若，则BF的长是定值D．若，则四面体C﹣EFB的体积最大值为【分析】证明DE⊥平面A1CD可判断A；假设A1E⊥BE推出矛盾可判断B；在CD上取一点M，使得＝2，证得△BMF为直角三角形，利用勾股定理求得BF，从而判断C；由C可知当MF⊥平面BCE时，四面体C﹣EFB的体积最大，利用体积公式即可求得最大值，从而判断D．解：对于A，∵ED⊥AC，∴ED⊥CD，ED⊥A1D，又CD∩A1D＝D，CD⊂平面A1CD，A1D⊂平面A1CD，∴ED⊥平面A1CD，∵A1C⊂平面A1CD，∴ED⊥A1C，故A正确；对于B，设A1在平面BCD上的投影为点P，则点P落在线段AC上，假设A1E⊥BE，由三垂线定理知，PE⊥BE，连接CE，在正三角形ABC中，因为E为AB中点．所以CE⊥BE，此时点P与点C重合，而A1在平面BCD上的投影点不可能与点C重合，故B错误；对于C，在CD上取一点M，使得＝2，连接BM，∵E为边AB的中点，且ED⊥AC，∴AE＝2，A1D＝AD＝AE•cos60°＝1，设MD＝x，则CM＝2x，∴AC＝CM+MD+AD＝3x+1＝4，∴x＝1，CM＝2，即M为AC 的中点，∴BM⊥AC，且BM＝2，∵ED⊥AC，∴BM∥DE，由A可知，ED⊥平面A1CD，∴BM⊥平面A1CD，∵MF⊂平面A1CD，∴BM⊥MF，即△BMF为直角三角形，∵，∴MF∥A1D，且MF＝A1D＝，在Rt△BMF中，BF＝＝＝，为定值，故C正确．对于D，若，由C可知MF＝A1D＝，因为S△BCE＝•BE•CE＝×2×2＝2为定值，当MF⊥平面BCE时，四面体C﹣EFB的体积最大，最大值为V C﹣EFB＝V F﹣BCE＝•MF•S△BCE＝××2＝，故D正确．故选：ACD．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知直线l的方向向量为＝（﹣1，1，2），平面α的法向量为＝（，λ，﹣1）（λ∈R），若l⊥α，则实数λ的值为﹣．【分析】由l⊥α，得，由此能求出实数λ．解：∵直线l的方向向量为＝（﹣1，1，2），平面α的法向量为＝（，λ，﹣1）（λ∈R），l⊥α，∴，∴，解得实数λ＝﹣．故答案为：﹣．14．已知直线l1：x﹣y﹣5＝0，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角大小为．【分析】由题意利用两直线垂直的性质，直线的倾斜角和斜率的关系，求得直线l2的倾斜角．解：∵直线l1：x﹣y﹣5＝0，若直线l2⊥l1，则直线l2的斜率为﹣，故它的倾斜角大小为，故答案为：．15．在空间直角坐标系中，点P（0，0，1）为平面ABC外一点，其中A（1，1，0），B（0，2，3），若平面ABC的一个法向量为（1，m，1），则点P到平面ABC的距离为．【分析】由已知求得m，可得平面ABC的法向量，再求出，然后利用向量求距离公式求解．解：∵A（1，1，0），B（0，2，3），∴，而＝（1，m，1）为平面ABC的一个法向量，∴﹣1+m+3＝0，即m＝﹣2．∴平面ABC的一个法向量为，又P（0，0，1），∴，∴点P到平面ABC的距离为d＝＝．故答案为：．16．若直线x+y+m＝0上存在点P可作圆O：x2+y2＝1的两条切线PA、PB，切点为A、B，且∠APB＝60°，则实数m的取值范围为．【分析】当PO和直线x+y+m＝0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO＝30°，PO＝2r＝2，从而圆心O到直线x+y+m＝0的距离小于等于2，再利用点到直线的距离公式求得实数m的取值范围．解：由题意可得，当PO和直线x+y+m＝0垂直时，∠APB的最大值为60°，此时∠APO ＝30°，PO＝2r＝2，则圆心O到直线x+y+m＝0的距离小于等于2，即≤2，解得m∈，故答案为．四、解答题（本大题共6小题，第一题10分，其余各题12分，共70分）17．如图，已知三角形的顶点为A（2，4），B（0，﹣2），C（﹣2，3），求：（1）AB边上的中线CM所在直线的方程．（2）求△ABC的面积．【分析】（1）AB中点M的坐标是M（1，1），利用两点式可得：中线CM所在直线的方程．（2），直线AB的方程是3x﹣y﹣2＝0，利用点到直线的距离可得：点C到直线AB的距离，可得△ABC的面积S＝|AB|d．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，可得：S△ABC＝S△ABD+S△CBD．解：（1）AB中点M的坐标是M（1，1），中线CM所在直线的方程是，即2x+3y﹣5＝0．（2）解法一：，直线AB的方程是3x﹣y﹣2＝0，点C到直线AB的距离是，所以△ABC的面积是．解法二：设AC与y轴的交点为D，则D恰为AC的中点，其坐标是，，∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝|BD|•（x A﹣x C）＝×4＝11．18．如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是平行四边形，∠DAB＝45°，AA1＝AB＝2，AD＝2，点E是C1D1的中点，点F在B1C1上且B1F＝2FC1．（Ⅰ）证明：AC1⊥平面EFC；（Ⅱ）求锐二面角A﹣FC﹣E平面角的余弦值．【分析】（Ⅰ）以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz．利用向量法能证明AC1⊥平面EFC．（Ⅱ）求出平面AFC的法向量和平面EFC的法向量，利用向量法能求出锐二面角A﹣FC﹣E平面角的余弦值．【解答】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：以A为坐标原点，射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．则依题意，得A（0，0，0），C（4，2，0），C1（4，2，2），E（3，2，2），．…∴，∴．∴AC1⊥EF，AC1⊥EC．又EF，EC⊆平面EFC∴AC1⊥平面EFC．…（Ⅱ）解：设向量是平面AFC的法向量，则，而，∴，令x＝1得．…又∵是平面EFC的法向量，∴．…∴锐二面角A﹣FC﹣E平面角的余弦值为．…19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣3，0），C（3，0），且|AB|＝2|AC|．（1）设△ABC的外接圆为⊙M，请写出⊙M周长最小时的⊙M标准方程；（2）设顶点A（x，y），求顶点A的轨迹方程及△ABC面积的最大值．【分析】（1）分析条件可知BC为直径时圆周长最小，根据B，C坐标可得圆心，半径，从而得到圆的方程；（2）根据条件|AB|＝2|AC|，列出方程化简可得A点轨迹方程，因为BC边为定值，故当A（5，±4）三角形面积最大，由此可求得三角形面积的最大值．解：（1）因为B、C是定点，所以BC为直径的圆M半径最小，即周长最小；所以圆心（0，0），半径为3，所以所求圆的标准方程为：x2+y2＝9；（2）因为|AB|＝2|AC|，B（﹣3，0），C（3，0），A（x，y），所以＝2，整理得x2+y2﹣10x+9＝0，即（x﹣5）2+y2＝16（y≠0），所以顶点A的轨迹方程为（x﹣5）2+y2＝16（y≠0），因为|BC|＝6，显然当A点坐标为（5，±4）时，S△ABC有最大值＝＝12．20．已知圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0．（1）若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，求此切线的方程；（2）从圆C外一点P（x1，y1）向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．【分析】（1）利用待定系数法设切线的方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列出方程，求解即可；（2）利用切线PM与半径CM垂直，可得|PC|2﹣|CM|2＝|PO|2，从而求出点P的轨迹方程，|PM|的最小值即为|PO|的最小值，而|PO|的最小值为点O到直线2x﹣4y+3＝0的距离，求出直线OP的方程，联立方程组求解交点坐标，即可得到答案．解：（1）因为圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，且截距不为零，则设切线方程为x+y＝a（a≠0），又圆C：x2+y2+2x﹣4y+3＝0，即（x+1）2+（y﹣2）2＝2，所以圆心C（﹣1，2），半径为，则圆心C到切线的距离d＝，解得a＝﹣1或a＝3，所以所求切线的方程为x+y+1＝0或x+y﹣3＝0；（2）因为切线PM与半径CM垂直，则|PM|2＝|PC|2﹣|CM|2，又|PM|＝|PO|，所以|PC|2﹣|CM|2＝|PO|2，则，整理可得，2x1﹣4y1+3＝0，所以点P在直线2x﹣4y+3＝0上，因为|PM|＝|PO|，所以|PM|的最小值即为|PO|的最小值，而|PO|的最小值为点O到直线2x﹣4y+3＝0的距离，此时直线PO的方程为2x+y＝0，联立方程组，解得，所以使得|PM|取得最小值的点P的坐标为．21．如图所示，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD中点，AE与BD交于点O，将△ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P∉平面ABCE）．（Ⅰ）证明：平面POB⊥平面ABCE；（Ⅱ）若PB＝，试判断线段PB上是否存在一点Q（不含端点），使得直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）连接BE，推导出四边形ABED为菱形，BD⊥AE，OB⊥AE，OP⊥AE，从而AE⊥平面POB，由此能证明平面POB⊥平面ABCE．（Ⅱ）由四边形ABED为菱形，推导出OP⊥OB，以O为原点，分别为x 轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．解：（Ⅰ）证明：连接BE，在等腰梯形ABCD中，AD＝AB＝BC＝2，CD＝4，E为CD 中点，∴四边形ABED为菱形，∴BD⊥AE，∴OB⊥AE，OD⊥AE，即OB⊥AE，OP⊥AE，且OB∩OP＝O，OB⊂平面POB，OP⊂平面POB，∴AE⊥平面POB，又AE⊂平面ABCE，∴平面POB⊥平面ABCE．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知四边形ABED为菱形，∴AD＝DE＝2，在等腰梯形ABCD中AE＝BC＝2，∴△PAE正三角形，∴，同理，∵，∴OP2+OB2＝PB2，∴OP⊥OB，由（Ⅰ）可知OP⊥AE，OB⊥AE，以O为原点，分别为x轴，y轴，为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，由题意得，各点坐标为，A（﹣1，0，0），，，E（1，0，0），∴，，设，，设平面AEQ的一个法向量为＝（x，y，z），则，即取x＝0，y＝1，得，∴＝（0，1，），设直线PC与平面AEQ所成角为，则，即，化简得：4λ2﹣4λ+1＝0，解得，∴存在点Q为PB的中点时，使直线PC与平面AEQ所成角的正弦值为．22．在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在x轴上、半径为2的圆T位于y轴右侧，且与直线x﹣相切．（1）在圆T上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny＝1与圆O：x2+y2＝1相交于不同的两点A，B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB 的面积；若不存在，请说明理由．（2）将圆T向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到圆H，若四边形CDEF为圆H 的内接正方形，P、Q分别是边FC、CD的中点，当正方形CDEF绕圆心H转动时，求的取值范围．【分析】（1）设圆心为（x0，0），x0＞0，利用直线与圆相切，列出等式，求出圆心的坐标，即可得到圆T的方程，将点M代入圆T，得到m，n的关系，结合（0，0）到直线l的距离，列出不等式求出m的范围，由垂径定理求出|AB|和h的关系，由三角形的面积公式结合二次函数的性质求解最值即可；（2）先求出圆H的方程，得到|QH|，|OH|，利用向量的线性运算以及平面向量数量积，得到＝8cos（π﹣∠OHQ），即可求得答案．解：（1）设圆心为（x0，0），x0＞0，则圆心到直线x﹣的距离为，解得x0＝2或x0＝﹣6（舍），所以圆T的方程为（x﹣2）2+y2＝4，因为点M（m，n）在圆T上，则（m﹣2）2+n2＝4，所以n2＝4﹣（m﹣2）2＝4m﹣m2且0≤m≤4，，又因为原点到直线l：mx+ny＝1的距离，解得，又|AB|＝，所以＝＝，因为，所以当，即时取得最大值，故存在点M的坐标为和时，△OAB面积的最大值为；（2）将圆T：（x﹣2）2+y2＝4向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到圆H：（x﹣4）2+（y﹣4）2＝4，则圆心H（4，4），半径r＝2，所以|QH|＝，|OH|＝，又，所以＝＝，因为HQ⊥HP，所以，则＝＝8cos（π﹣∠OHQ），故的取值范围为[﹣8，8]．。
广东省珠海市高二数学上学期期中考试试题 理 新人教A版
高二年级数学（理科）试卷一、选择题（每小题5分，共40分）1、“012=-x ”是“01=-x ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2、两条直线0111=++C y B x A 与0222=++C y B x A 垂直的充分不必要条件是（ ） （A ）02121=+B B A A （B ）02121=-B B A A （C ）12121-=B B A A （D ）12121=A A BB 3、若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A ．22(2)(1)1x y -+-=B ． 227(3)13x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭C ．22(1)(3)1x y -+-= D ．223(1)12x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭4、已知P 是以21,F F 为焦点的椭圆)0(,12222>>=+b a by ax 上的一点，若tan ,021=⋅PF PF2121=∠F PF ，则此椭圆的离心率为（ ） （A ）21 （B ）32 （C ）31（D ）355、方程13222=-+-m y m x 表示双曲线，则m 的取值范围是（ ）（A ）3<m （B ）33<<-m （C ）3>m 或23<<-m （D ）2>m 或33<<-m6、过原点且与双曲线12222=-by a x 只有一个公共点的直线的条数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）07、已知圆4)4()3(22=++-y x 和直线kx y =相交于P,Q 两点，则•的值为（O 为坐标原点）（ ）（A ）12 （B ）16 （C ）21 （D ）258、已知抛物线12+=y x 上一定点)0,1(-A 和两动点Q P ,，当PQ PA ⊥时，点Q 的横坐标的取值范围是（ ）（A ）]3,(--∞ （B ）),1[+∞ （C ）[3-，1] （D ）),1[]3,(+∞⋃--∞二、填空题（每小题5分，共20分）9、如果)11,8(),,2(),1,3(C k B A -三点在同一条直线上，那么k 的值是 。
2024学年珠海市高二数学上学期期中联考试卷附答案解析
2024学年珠海市高二数学上学期期中联考试卷一、单选题（本大题共8小题）1．直线20x +-=的倾斜角为（）A ．6πB ．4πC ．3πD ．5π62．样本数据45，50，51，53，53，57，60的下四分位数为（）A ．50B ．53C ．57D ．453．对空中移动的目标连续射击两次，设{A =两次都击中目标},{B =两次都没击中目标),C ={恰有一次击中目标}，{D =至少有一次击中目标}，下列关系不正确的是（）A ．A D ⊆B ．AC BD = C ．A C D⋃=D ．B D =∅4．已知组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数为2,方差为5,则数据21x +1，22x +1，…，2n x +1的平均数x 与方差2s 分别为（）A ．x =4,2s =10B ．x =5,2s =11C ．x =5,2s =20D ．x =5,2s =215．从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人参加普法知识竞赛，则甲被选中的概率为（）A ．15B ．25C ．35D ．456．已知向量()2,1,3a =- ，()1,4,2b =-- ，()1,3,c λ= ，若a ，b ，c 共面，则λ=（）A ．4B ．2C ．3D ．17．已知空间向量()3,4,0a = ，()3,1,4b =- ，则b 在a上的投影向量坐标是（）A ．()3,4,0--B ．34,,055⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．314,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()3,1,4--8．已知直线l 经过定点(0,1)C -，若直线l 与连接(1,0),(2,1)A B -两点的线段总有公共点，则直线l 的斜率k 的取值范围为（）A ．(,1)(1,)-∞-+∞ B ．[1,1]-C ．(,1][1,)∞∞--⋃+D ．(1,1)-二、多选题（本大题共3小题）9．给定一组数5，5，4，3，3，3，2，2，2，1，则（）A ．平均数为3B ．标准差为85C ．众数为2D ．85%分位数为510．有6个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球.用x 表示第一次取到的小球的标号，用y 表示第二次取到的小球的标号，记事件A ：x y +为偶数，B ：xy 为偶数，C ：2x >，则（）A ．()34P B =B ．A 与B 相互独立C ．A 与C 相互独立D ．B 与C 相互独立11．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A ．直线1BD ⊥平面11A C DB ．三棱锥11P ACD -的体积为定值C ．异面直线AP 与1AD 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦D ．直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值的最大值为63三、填空题（本大题共3小题）12．在空间直角坐标系(Oxyz O 为坐标原点）中，点(4,6,3)A --关于y 轴的对称点为点B ，则点B 的坐标为.13．某校学生志愿者协会共有200名成员，其中高一学生100名，高二学生60名，高三学生40名.为了解志愿者的服务意愿，需要用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则高三学生应抽取名.14．如图，电路中A 、B 、C 三个电子元件正常工作的概率分别为()0.8P A =，()()0.6P B P C ==，则该电路正常工作的概率.四、解答题（本大题共5小题）15．已知(2,1,4),(1,,2)a b k =--=-.(1)若()//()a b a b -+，求实数k 的值；(2)若(3)()a b a b +⊥+，求实数k 的值.16．连续抛掷一枚均匀的骰子2次，试求下列事件的概率：(1)第一次掷出的点数恰好比第二次的大3；(2)第一次掷出的点数比第二次的大；(3)2次掷出的点数均为偶数．17．ABC V 的三个顶点是()4,0A ，()6,7B ，()0,3C ，求：（1）边BC 上的中线所在直线的方程；（2）边BC 上的高所在直线的方程；（3）边BC 的垂直平分线的方程．18．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD ，ABEF 的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子M ，N 分别在正方形对角线AC 和BF 上移动，且CM 和BN 的长度保持相等，记CM BN a ==(0a <．（1）求MN 的长；（2）a 为何值时，MN 的长最小？（3）当MN 的长最小时求平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值．19．随着高校强基计划招生的持续开展，我市高中生抓起了参与数学兴趣小组的热潮．为调查我市高中生对数学学习的喜好程度，从甲、乙两所高中各随机抽取了40名学生，记录他们在一周内平均每天学习数学的时间，并将其分成了6个区间：(]0,10、(]10,20、(]20,30、(]30,40、(]40,50、(]50,60，整理得到如下频率分布直方图：(1)求图1中a 的值，并估计甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；(2)估计乙高中学生一周内平均每天学习数学时间的均值x 乙及方差2s 乙（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(3)若从甲、乙两所高中分别抽取样本量为m 、n 的两个样本，经计算得它们的平均数和方差分别为：x 、21s 与y 、22s ，记总的样本平均数为w ，样本方差为2s ，证明：①m nw x y m n m n=+++；②()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+．参考答案1．【答案】D【分析】利用斜率和倾斜角的关系即可求倾斜角.【详解】设斜率为k ，倾斜角为α，∵3y x =tan k α=，[)0,πα∈，∴56απ=.故选D.2．【答案】A.【分析】根据百分位数的概念即可求解.【详解】由这组数据共7个，则7725%4i =⨯=，所以这组数据的下四分位数为第2个数据50.故选A ．3．【答案】B【详解】A.事件D 包含恰好一次击中目标或两次都击中目标，所以A D ⊆，故A 正确；B.A C D ⋃=包含的事件为至少一次击中目标，B D =Ω 为样本空间，所以B 错误，C 正确；D.事件B 与事件D 是对立事件，所以B D =∅ ，故D 正确.故选：B 4．【答案】C【详解】根据题意，数据1x ，2x ，⋯，n x 的平均数为2，方差为5，则数据121x +，221x +，⋯，21n x +的平均数2215x =⨯+=，其方差222520s =⨯=；故选C ．5．【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】从甲、乙、丙、丁、戊五名同学中选2人的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），（乙、丙），（乙、丁），（乙、戊），（丙、丁），（丙、戊），（丁、戊），共10种，甲被选中的基本事件有：（甲、乙），（甲、丙），（甲、丁），（甲、戊），共4种，所以甲被选中的概率为42105P ==，故选：B.6．【答案】D【详解】因为a ，b，c 共面，所以存在两个实数m 、n ，使得c ma nb =+ ，即()()()1,3,2,1,31,4,2m n λ=-+--，即214332m n m n m n λ-=⎧⎪-+=⎨⎪-=⎩，解得111m n λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩.故选：D 7．【答案】B【分析】根据投影向量概念求解即可.【详解】因为空间向量()3,4,0a =，()3,1,4b =- ，所以9405,a b ⋅=-++=-5,a =b =则b 在a上的投影向量坐标是：5134(3,4,0),,0.5555a b a aa⋅-⎛⎫⋅=⨯=-- ⎪⎝⎭故选：B 8．【答案】C【详解】由题设有10111,10102AC BC k k ----==-==+-，而直线l 与连接(1,0),(2,1)A B -两点的线段总有公共点，故1k ≥或1k ≤-，故选：C.9．【答案】AD【分析】根据平均数、方差、众数和百分位数的概念与计算方法，逐项判定，即可求解.【详解】由平均数的计算公式，可得5543332221310x +++++++++==，所以A 正确；由方程的公式，可得()()()()()222222185324333323313105s ⎡⎤=⨯-⨯+-+-⨯+-⨯+-=⎣⎦，所以标准差为B 错误；由众数的定义，可得数据的众数为2和3，所以C 错误；将数据从小到大排序得1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，可得10858.5i =⨯%=，所以第85百分位数为5，所以D 正确.故选：AD.10．【答案】ACD【分析】对A ：借助独立事件乘法公式计算即可得；对B ：借助相互独立事件定义，分别计算出()P A 、()P B 、()P AB 后，验证是否满足()()()P A P B P AB ⋅=即可得，C 、D 同理.【详解】对A ：()3332731666364P B =⨯+⨯==，故A 正确；对B ：()33331816666362P A =⨯+⨯==，()339166364P AB =⨯==，则()()()133248P A P B P AB ⋅=⨯=≠，故A 与B 不相互独立，故B 错误；对C ：()4263P C ==，()23231216666363P AC =⨯+⨯==，则()()()121233P A P C P AC ⋅=⨯==，故A 与C 相互独立，故C 正确；对D ：()2231811666362P BC =⨯+⨯==，则()()()321432P B P C P BC ⋅=⨯==，故B 与C 相互独立，故D 正确；故选ACD.11．【答案】ABD【分析】在选项A 中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B 中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C 中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A 中，因为1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BB D ，所以11AC ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，所以111AC BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，因为1111A C DC C ⋂=，且111,AC DC ⊂平面11A C D ，所以直线1BD ⊥平面11A C D ，故A 正确；在选项B 中，因为11//A D B C ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊄平面11A C D ，所以1//B C 平面11A C D ，因为点P 在线段1B C 上运动，所以P 到平面11AC D 的距离为定值，又11AC D 的面积是定值，所以三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确；在选项C 中，因为11//A D B C ，所以异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角.易知1AB C 为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为π3，故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，所以()1,0,1C P a a =- ，()11,1,1D B =-.由A 选项正确：可知()11,1,1D B =-是平面11AC D 的一个法向量，所以直线1C P 与平面11AC D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅=⋅所以当12a =时，直线1C P 与平面11AC D 所成角的正弦值的最大值为63，故D 正确.故选ABD.12．【答案】()4,6,3--【详解】在空间直角坐标系中，点()4,6,3A --关于y 轴的对称点为()4,6,3B --.故答案为：()4,6,3--.13．【答案】10【详解】根据分层抽样定义及性质,设高三学生应抽取x 名5020040x=，10x =.故答案为：10.14．【答案】0.672/84125【分析】根据独立事件的乘法公式和对立事件的概率计算公式即可得到答案.【详解】由题意，电路能正常工作的条件是：A 必须正常工作，B ，C 至少有一个正常工作，所以电路能正常工作的概率为()()0.8110.610.60.672⨯---=⎡⎤⎣⎦，故答案为：0.672.15．【答案】(1)13,2k λ==；(2)=2k 或23k =-.【分析】（1）根据空间平行向量的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式进行求解即可；（2）根据空间向量互相垂直的性质，结合空间向量线性运算坐标表示公式、数量积的坐标表示公式进行求解即可；（1）()()()()()()2,1,41,,23,1,6,2,1,41,,21,1,2a b k k a b k k -=----=---+=--+-=-- ，若()()a b a b -+∥ ，则()a b a b λ-=+，即()3,11,62kk λλλ=--=--=-，解得13,2k λ==；（2）()()()()32,1,431,,21,31,2,1,1,2a b k k a b k +=--+-=--+=-- ，若()()3a b a b +⊥+，则()()30a b a b +⋅+=，即()()()()11311220kk -⨯+-⨯-+⨯-=，化简可得23440k k --=，解得=2k 或23k =-.16．【答案】(1)112(2)512(3)14【详解】（1）连续抛掷一枚均匀的骰子2次，一共有以下情况：()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,1,2,2,2,3,2,4,2,5,2,6,()()()()()()()()()()()()3,1,3,2,3,3,3,4,3,5,3,6,4,1,4,2,4,3,4,4,4,5,4,6,()()()()()()()()()()()()5,1,5,2,5,3,5,4,5,5,5,6,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5,6,6，共36种情况，其中第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的情况有()()()4,1,5,2,6,3，共3种情况，故第一次掷出的点数恰好比第二次的大3的概率为313612=；（2）第一次掷出的点数比第二次的大的情况有()()()()()()()()()()()()()()()2,1,3,1,3,2,4,1,4,2,4,3,5,1,5,2,5,3,5,4,6,1,6,2,6,3,6,4,6,5，共15种情况，故第一次掷出的点数比第二次的大的概率为1553612=；（3）2次掷出的点数均为偶数的情况有()()()()()()()()()2,2,2,4,2,6,4,2,4,4,4,6,6,2,6,4,6,6，共9种情况，故2次掷出的点数均为偶数的概率为91364=.17．【答案】（1）520y x =-+；（2）362y x =-+；（3）31922y x =-+【详解】（1）BC 的中点坐标为6073(,(3,5)22++=则边BC 上的中线所在直线的方程为5(4)52034y x x =⨯-=-+-；（2）边BC 的斜率为732603-=-，则其上的高的斜率为32-，且过()4,0A ，则边BC 上的高所在直线的方程为33(4)622y x x =--=-+；（3）由（1）知BC 的中点坐标(3,5)，由（2）知高的斜率为32-，则边BC 的垂直平分线的方程为3319(3)5222y x x =--+=-+.18．【答案】（1）||MN 2）a =||MN 最小，最小值为；（3）13【分析】以B 为坐标原点，分别以BA 、BE 、BC 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求得A 、C 、F 、E 、M 、N 的坐标．（1）直接由两点间的距离公式可得||MN ；（2）把（1）中求得||MN 利用配方法求最值；（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，MN 最短，求出M 、N 的坐标，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，可得G 的坐标，连接AG ，BG ，得到AGB ∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角，再由GA 与GB 的夹角求解．【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()1,0,0A ，()0,0,1C ，()1,1,0F ，()0,1,0E ，CM BN a == ，M ∴，N ⎫⎪⎭．（1）||MN =（2）||MN ==，当22a =时，||MN 最小，最小值为22；（3）由（2）可知，当M ，N 为中点时，MN 最短，则1(2M ，0，1)2，1(2N ，12，0)，取MN 的中点G ，连接AG ，BG ，则1(2G ，14，14，AM AN = ，BM BN =，AG MN ∴⊥，BG MN ⊥，AGB ∴∠是平面MNA 与平面MNB 的夹角或其补角．111,,244GA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，111(,,244GB =--- ，1·18cos ,3·GA GB GA GB GA GB -∴==- ．∴平面MNA 与平面MNB 夹角的余弦值是13．19．【答案】(1)0.035a =，众数是35(2)27.5x =乙，2178.75s =乙(3)①证明见解析；②证明见解析【分析】（1）利用频率分布直方图中所有矩形面积之和为1可求得a 的值，根据频率分布直方图可计算得出甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数；（2）将图2中每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，可求得x 乙，再利用方差公式可求得2s 乙；（3）①利用平均数公式可证得结论成立；②推导出()()()()11220m m i j i j x x x w y yy w ==--=--=∑∑，再利用方差公式可证得结论成立.(1)解：由频率分布直方图可得()0.0050.020.0250.015101a ++++⨯=，解得0.035a =，甲高中学生一周内平均每天学习数学时间的众数是3040352+=.(2)解：50.1150.2250.3350.2450.15550.0527.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙，()()()()22222527.50.11527.50.22527.50.33527.50.2s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯乙()()224527.50.155527.50.05178.75+-⨯+-⨯=.(3)证明：①mx n ymnw x y m n m n m n +==++++，即得证；②()()222111mn ij i j s x w y w m n ==⎡⎤=-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑()()22111mn ij i j x x x w y y y w m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑，()110m m i i i i x x x mx ==-=-=∑∑ ，()()()()11220m mi i i i x x x w x w x x ==∴--=--=∑∑，同理可得()()120mj j y y y w =--=∑，()()()()2222211111mm n n ij i i j j s x y x y y m n x w w ====⎡⎤∴=-++-+⎢⎥⎣--+⎦∑∑∑∑()()2222121ms m x w ns n y w m n ⎡⎤=+-++-⎢⎥⎣⎦+，所以，()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+，即得证．。
高二理科数学期中考试答案~
珠海市斗门区第一中学2015—2016学年(上) 期中教学质量检测高二理科数学试题【答案】一、选择题：1-5：BDCBC 6-10：ABDDC 11-12：CA12.【解析】由已知得:0767<=-a S S ，75670S S a a -=+>，所以076>->a a ， 所以判断760a a d -=＜，①正确；()011211611111>=+=a a a S ，②正确；()()062127612112>+=+=a a a a S ，③不正确；数列{}n S 中的最大项为6S ，④不正确；因为076>->a a ，所以76a a >，⑤正确． 二、填空题：13、{|26}x x -<< 14、1 15、4(1)n n + 16、4三、解答题：【17题】答案：原不等式可化为222()(2)0x ax a x a x a --=+-<，对应方程两根分别为12,2x a x a =-=，…………………3分①当0a >时，2a a -<，所以2a x a -<<，此时不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；（5分） ②当0a =时，2a a -=，所以解集为∅；……………………（7分）③当0a <时，2a a ->，所以2a x a <<-，此时不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }；（9分） 综上所述：当0a >时，不等式的解集为{x |－a ＜x ＜2a }；当0a =时，解集为∅；当0a <时，不等式的解集为{x |2a ＜x ＜－a }.…………………10分【18题】答案：（1）n a S n n 32-= 对于任意的正整数都成立，当1n =时，由已知得 3211-=a S 即11123,3a a a =-∴=………1分∴()11231n n S a n ++=-+，两式相减，得()n a n a S S n n n n 3213211+-+-=-++，…2分 ∴32211--=++n n n a a a ， 即321+=+n n a a ，()3231+=+∴+n n a a ，……4分∴数列{}3n a +是首项136a +=，公比2=q 的等比数列.………………5分1(2)362n n a -+=⋅，1623323n n n a -∴=⋅-=⋅-。
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广东省珠海市高二上学期期中数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共12题；共24分)
1. （2分） (2016高二上·福州期中) 已知m，n∈R，集合A={2，log7m}，集合B={m，n}，若A∩B={0}，则m+n=（）
A . 1
B . 2
C . 4
D . 8
2. （2分） (2017高一下·西城期末) 如表是某校120名学生假期阅读时间（单位：小时）的频率分布表，现用分层抽样的方法从[10，15），[15，20），[20，25），[25，30）四组中抽取20名学生了解其阅读内容，那么从这四组中依次抽取的人数是（）
A . 2，5，8，5
B . 2，5，9，4
C . 4，10，4，2
D . 4，10，3，3
3. （2分）已知直线平面，直线平面，则下列四个结论：
①若，则②若，则
③若，则④若，则
其中正确的结论的序号是：（）
A . ①④
B . ②④
C . ①③
D . ②③
4. （2分）执行如图所示的程序框图，则输出的k的值是（）
A . 3
B . 4
C . 5
D . 6
5. （2分）(2020·淮南模拟) 在中，，，点为的外心，则的
值为（）
A . 26
B . 13
C .
D . 10
6. （2分）直线与圆相切，则实数等于（）
A . 或
B . 或
C . 或
D . 或
7. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知实数满足，则的最小值是（）
A . 4
B . 5
C . 6
D . 7
8. （2分） (2015高二下·吕梁期中) 下面是关于复数z= 的四个命题：其中的真命题为（），
p1：|z|=2，
p2：z2=2i，
p3：z的共轭复数为1+i，
p4：z的虚部为﹣1．
A . p2 ， p3
B . p1 ， p2
C . p2 ， p4
D . p3 ， p4
9. （2分） A（2，1），B（3，﹣1）两点连线的斜率为（）
A . ﹣2
B . ﹣
C .
D . 2
10. （2分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与平面ACC1A1平行的棱共有（）
A . 2条
B . 3条
C . 4条
D . 6条
11. （2分）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=， AA1=，则异面直线BD1与CC1所成的角等于（）
A . 30°
B . 45°
C . 60°
D . 90°
12. （2分） (2016高二上·黄陵期中) 下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）
A . ①②
B . ①③
C . ①④
D . ②④
二、填空题 (共4题；共8分)
13. （2分） (2016高二上·绍兴期末) 直观图（如图）中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2cm，则在xOy坐标中四边形ABCD为________，面积为________ cm2 ．
14. （1分）已知空间三点A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），则以AB，AC为边的平行四边形的面积是________
15. （4分）设直线l1：x+my+6=0和l2：（m﹣2）x+3y+2m=0，当m=________时l1∥l2；当m=________时l1⊥l2；当m________时l1与l2相交；当m=________时l1与l2重合．
16. （1分） (2015高一下·宜宾期中) 数列{an}中，a1=2，an+1=2an﹣1 则a3=________．
三、解答题 (共6题；共60分)
17. （5分）已知：A（2，5），B（6，﹣1），C（9，1），求证：AB⊥BC．
18. （10分） (2017高三上·苏州开学考) 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bcosC+ccosB=2acosA．
（1）求角A的大小；
（2）若• = ，求△ABC的面积．
19. （10分） (2017高一下·正定期末) 如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）若四边形是正方形，且，求直线与平面所成角的正弦值.
20. （15分） (2017高一下·孝感期末) 已知数列{an};中，a1=1，a2= ，且（n=2，3，4，…）
（1）求a3、a4的值；
（2）设bn= （n∈N*），试用bn表示bn+1并求{bn};的通项公式；
（3）设cn= （n∈N*），求数列{cn}的前n项和Sn．
21. （15分） (2016高二上·平原期中) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD= ，AB=AD，E为PC的中点．
（1）求证：BC⊥AB；
（2）求AB的长；
（3）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．
22. （5分） (2018高三上·湖南月考) 如图，已知是直角梯形，，，
，，平面．
（Ⅰ）上是否存在点使平面，若存在，指出的位置并证明，若不存在，请说明理由；（Ⅱ）证明：；
（Ⅲ）若，求点到平面的距离．
参考答案一、选择题 (共12题；共24分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
11-1、
12-1、
二、填空题 (共4题；共8分)
13-1、
14-1、
15-1、
16-1、
三、解答题 (共6题；共60分) 17-1、
18-1、
18-2、
19-1、19-2、20-1、
20-2、20-3、21-1、21-2、
21-3、
22-1、。