2008年河南专升本高等数学真题+真题解析

2008河南省普通高等学校

选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试

高等数学试卷

一、选择题 （每小题2 分，共50 分）

1

．函数()ln(1)f x x =-+的定义域是（ ）

A ．[]2,1--

B ．[]2,1-

C ．[)2,1-

D ．()2,1-

【答案】C

【解析】由10

20x x ->⎧⎨+≥⎩

可得21x -≤<，故选C ．

2．312cos lim

sin 3x x

x ππ→

-=⎛⎫- ⎪

⎝⎭（ ）

A ．1

B ．0

C

D

【答案】D

【解析】3312cos 2sin lim

lim sin cos 33x x x x

x x ππππ→→-==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪

⎝⎭⎝

⎭D ．

3．点0x =是函数11

3131

x

x

y -=+的（ ）

A ．连续点

B ．跳跃间断点

C ．可去间断点

D ．第二类间断点

【答案】 【解析】11

311lim 11

31

x

x x

-

→--=

=-+，11

031lim 131

x

x x +→-=+，故选B ．

4．下列极限存在的是（ ）

A ．lim x

x e →+∞

B ．0sin 2lim x x

x →

C ．01

lim cos

x x

+→ D ．22

lim 3

x x x →+∞+-

【答案】B 【解析】0sin 2lim

2x x

x

→=，其他三个都不存在，应选B ．

5．当0x →时，2ln(1)x +是比1cos x -的（ ） A ．低阶无穷小 B ．高阶无穷小

C ．等价无穷小

D ．同阶但不等价无穷小

【答案】D

【解析】0x →时，22ln(1)~x x +，2

11cos ~2

x x -，故选D ．

6．设函数11(1)sin ,11()1,10arctan ,0x x x f x x x x ⎧

++<-⎪+⎪

=-≤≤⎨⎪>⎪⎩，则()f x （ ）

A ．在1x =-处连续，在0x =处不连续

B ．在0x =处连续，在1x =-处不连续

C ．在1,0x =-处均连续

D ．在1,0x =-处均不连续

【答案】A

【解析】1

lim ()1x f x -→-=，1

lim ()1x f x +→-=，(1)1()f f x -=⇒在1x =-处连续；0

lim ()1x f x -

→=，0lim ()0x f x +

→=，(0)1()f f x =⇒在0x =处不连续，应选A ．

7．过曲线arctan x y x e =+上的点(0,1)处的法线方程为（ ）

A ．210x y -+=

B ．220x y -+=

C ．210x y --=

D ．220x y +-=

【答案】D 【解析】2

1

1x y e x

'=

++，0

2x y ='=，法线的斜率12k =-，法线方程为1

12

y x -=-，即

220x y +-=，故选D ．

8．设函数()f x 在0x =处满足，()(0)3()f x f x x α=-+，且0

()

lim

0x x x

α→=，

则(0)f '=（ ） A ．1- B ．1 C ．3-

D ．3

【解析】0

00()(0)3()()

(0)lim

lim 3lim 30x x x f x f x x x f x x x

αα→→→--+'===-+=--，应选C ．

9．若函数()(ln )(1)x f x x x =>，则()f x '=（ ） A ．1(ln )x x - B ．1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -+

C ．(ln )ln(ln )x x x

D ．(ln )x x x

【答案】B

【解析】ln(ln )()(ln )x x x f x x e ==，[]11()(ln )ln(ln )(ln )ln(ln )ln x x f x x x x x x x x x ⎡

⎤''==+⋅⋅⎢⎥⎣

⎦

1(ln )(ln )ln(ln )x x x x x -=+，故选B ．

10．设函数()y y x =由参数方程33

cos sin x t y t ⎧=⎨=⎩

确定，则224|t d y

dx π==（ ） A ．2- B ．1- C

．3

-

D

．

3

【答案】D

【解析】223sin cos sin 3cos sin cos dy dy dt t t t dx dx dt t t t ===--，22d y dx =1d dy dx dt dx dt

⎛⎫⋅ ⎪

⎝⎭2211

cos 3cos sin x t t

-=⋅- 4

1

3cos sin t t =，224

|t d y dx π=

=，故选D ．

11．下列函数中，在区间[]1,1-上满足罗尔定理条件的是（ ）

A ．x y e =

B ．ln ||y x =

C ．21y x =-

D ．21

y x

=

【答案】C

【解析】验证罗尔定理得条件，只有21y x =-满足，应选C ．

12．曲线352y x x =+-的拐点是（ ）

A ．0x =

B ．(0,2)-

C ．无拐点

D ．0,2x y ==-