背包问题

贪心法求解的问题的特征：
（1）最优子结构性质
当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时， 称此问题具有最优子结构性质，也称此问题满足最 优性原理。
（2）贪心选择性质
所谓贪心选择性质是指问题的整体最优解可以 通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来得到。
动态规划法通常以自底向上的方式求解各个子问 题，而贪心法则通常以自顶向下的方式做出一系列 的贪心选择。
（3）合并：把各个子问题的解合并起来，合并的代价因 情况不同有很大差异，分治算法的有效性很大程度上依赖 于合并的实现。
例：计算an，应用分治技术得到如下计算方法：
an
a
=
a
n
2
´ a n 2
如果 n = 1 如果 n > 1
34
32
32
31
31
31
31
3
3
3
3
9
9
81
分解问题 求解每个子问题 合并子问题的解
（5）可行函数feasible：检查解集合中加入一个候 选对象是否可行，即解集合扩展后是否满足约束条 件。例如，在付款问题中，可行函数是每一步选择 的货币和已付出的货币相加不超过应付款。
贪心法的一般过程
Greedy(C) //C是问题的输入集合即候选集合 {
S={ }; //初始解集合为空集 while (not solution(S)) //集合S没有构成问题的一个解 {
由于原问题的解与较小规模的子问题的解之 间存在这种关系，所以，只需求解其中一个较小 规模的子问题就可以得到原问题的解。
减治法的设计思想
原问题 的规模是n
子问题 的规模是n/2
子问题的解 原问题的解
例：计算an的值，应用减治技术得到如下计算方法：
a
an
=

(an 2 )2
(a( n-1) 2 )2 a´
例：用贪心法求解付款问题。 假设有面值为5元、2元、1元、5角、2角、1角的货币，需 要找给顾客4元6角现金，为使付出的货币的数量最少，首 先选出1张面值不超过4元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过2元6角的最大面值的货币，即2元， 再选出1张面值不超过6角的最大面值的货币，即5角，再选 出1张面值不超过1角的最大面值的货币，即1角，总共付出 4张货币。
例：付款问题： 超市的自动柜员机（POS机）要找给顾客数量最少的现金。
假 定 POS 机 中 有 n 张 面 值 为 pi(1≤i≤n) 的 货 币 ， 用 集 合 P={p1, p2, …, pn}表示，如果POS机需支付的现金为A，那么， 它必须从P中选取一个最小子集S，使得
m
pi S , pi = A (m =| S |) i =1
减治法
普卢塔克说，萨特斯为了告诉他的士兵坚韧和 智慧比蛮力更重要的道理，把两匹马带到他们面前， 然后让两个人扒光马的尾毛．一个人是魁梧的大力 士，他抓住尾巴扒了又扒，但一点效果也没有；另 一个人是一个精明的、长相狡黠的裁缝，他微笑着， 每次扒掉一根毛，很快就把尾巴拔得光秃秃的。
减治法的设计思想
规模为n的原问题的解与较小规模（通常是 n/2）的子问题的解之间具有关系： （1）原问题的解只存在于其中一个较小规模的 子问题中； （2）原问题的解与其中一个较小规模的解之间 存在某种对应关系。
(n
0 / 2)

1
n =1 n >1
所以，通常来说，应用减治法处理问题的效率 是很高的，一般是O(log2n)数量级。
动态规划法
思想，就像幽灵一样…… 在它自己解释自己之前，必须 先告诉它些什么。
－－狄更斯
概述
1 最优化问题 2 最优性原理 3 动态规划法的设计思想
1 最优化问题
最优化问题：有n个输入，它的解由这n个输入 的一个子集组成，这个子集必须满足某些事先给定 的条件，这些条件称为约束条件，满足约束条件的 解称为问题的可行解。满足约束条件的可行解可能 不只一个，为了衡量这些可行解的优劣，事先给出 一定的标准，这些标准通常以函数的形式给出，这 些标准函数称为目标函数，使目标函数取得极值 （极大或极小）的可行解称为最优解，这类问题就 称为最优化问题。
w1=7 v1=42
物品1
w2=3 v2=12
物品2
w3=4 v3=40
物品3
w4=5 v4=25
物品4
总重量
0 7 3 4 5 10 11 12
总价值
0 42 12 40 25 54 不可行 不可行
序号
9 10 11 12 13 14 15 16
子集 总重量 总价值
{2,3} 7 {2,4} 8 {3,4} 9 {1,2,3} 14 {1,2,4} 15 {1,3,4} 16 {2,3,4} 12 {1,2,3,4} 19
贪心法的求解过程
用贪心法求解问题应该考虑如下几个方面：
（1）候选集合C：为了构造问题的解决方案，有一 个候选集合C作为问题的可能解，即问题的最终解 均取自于候选集合C。例如，在付款问题中，各种 面值的货币构成候选集合。
（2）解集合S：随着贪心选择的进行，解集合S不 断扩展，直到构成一个满足问题的完整解。例如， 在付款问题中，已付出的货币构成解集合。
（3）解决函数solution：检查解集合S是否构成问 题的完整解。例如，在付款问题中，解决函数是已 付出的货币金额恰好等于应付款。
（4）选择函数select：即贪心策略，这是贪心法 的关键，它指出哪个候选对象最有希望构成问题的 解，选择函数通常和目标函数有关。例如，在付款 问题中，贪心策略就是在候选集合中选择面值最大 的货币。
0/1 背包问题
0/1背包问题
0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、 价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包， 求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够 装到背包中。
10 背包
w1=7 v1=42
物品1
w2=3 v2=12
物品2
w3=4 v3=40
在付款问题每一步的贪心选择中，在不超过应付款 金额的条件下，只选择面值最大的货币，而不去考虑在 后面看来这种选择是否合理，而且它还不会改变决定： 一旦选出了一张货币，就永远选定。付款问题的贪心选 择策略是尽可能使付出的货币最快地满足支付要求，其 目的是使付出的货币张数最慢地增加，这正体现了贪心 法的设计思想。
用蛮力法求解
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个 物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重 量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价 值，然后在他们中找到价值最大的子集。
10
背包
序号
1 2 3 4 5 6 7 8
子集
φ {1} {2} {3} {4} {1,2} {1,3} {1,4}
启发式规则：
1. 平衡子问题：最好使子问题的规模大致相同。也就是将一 个问题划分成大小相等的k个子问题（通常k＝2），这种使子 问题规模大致相等的做法是出自一种平衡（Balancing）子问 题的思想，它几乎总是比子问题规模不等的做法要好。
2. 独立子问题：各子问题之间相互独立，这涉及到分治法的 效率，如果各子问题不是独立的，则分治法需要重复地解公 共的子问题。
an=a×a×…×a n次
蛮力法所赖的基本技术——扫描技 术
关键——依次处理所有元素 基本的扫描技术——遍历
（1）集合的遍历 （2）线性表的遍历 （3）树的遍历 （4）图的遍历
虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，基于 以下原因，蛮力法也是一种重要的算法设计技术：
（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题。 （2）蛮力法经常用来解决一些较小规模的问题。 （3）对于一些重要的问题蛮力法可以产生一些合理的算 法，他们具备一些实用价值，而且不受问题规模的限制。 （4）蛮力法可以作为某类问题时间性能的底限，来衡量 同样问题的更高效算法。
n =1 n >1且是偶数 n >1且是奇数
O (log2n)
应用分治法得到an的计算方法是：
an
=

a
n
a 2 an
2
n =1 n >1
O (nlog2n)
减治法只对一个子问题求解，并且不需要进行 解的合并。应用减治法（例如减半法）得到的算法 通常具有如下递推式：
T
(n)
=
T
（式6.1）
如果用向量X=( x1, x2, …, xn)表示S中所选取的货币，则
1 xi = 0
pi S pi S
概述
贪心法的设计思想 贪心法的求解过程
贪心法的设计思想
贪心法在解决问题的策略上目光短浅，只根据当 前已有的信息就做出选择，而且一旦做出了选择， 不管将来有什么结果，这个选择都不会改变。换言 之，贪心法并不是从整体最优考虑，它所做出的选 择只是在某种意义上的局部最优。
这种局部最优选择并不总能获得整体最优解 （Optimal Solution），但通常能获得近似最优解 （Near-Optimal Solution）。
x=select(C); //在候选集合C中做贪心选择 if feasible(S, x) //判断集合S中加入x后的解是否可行
S=S+{x}; C=C-{x}; } return S; }
用贪心法解
至少有三种看似合理的贪心策略： （1）选择价值最大的物品，因为这可以尽可能快
地增加背包的总价值。但是，虽然每一步选择获得 了背包价值的极大增长，但背包容量却可能消耗得 太快，使得装入背包的物品个数减少，从而不能保 证目标函数达到最大。
物品3
w4=5 v4=25
物品4
蛮力法
就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少使用蛮力。 －－－Edward Lytton