微分算子法
微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,xxe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123xxy C C eC e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x Da x y -≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分算子法典型例题讲解
高阶常微分方程的微分算子法1(n a x -+,()n a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成1()())n a x Da x y ++)x可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
0y =3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法摘要：一、微分算子法的概念1.微分算子的定义2.微分算子在数学中的应用二、多项式除法的基本原理1.多项式的表示方法2.多项式除法的步骤3.多项式除法的应用三、微分算子法在多项式除法中的应用1.微分算子法的基本思想2.微分算子法在多项式除法中的具体应用3.微分算子法与传统多项式除法的比较四、微分算子法在实际问题中的应用1.微分算子在微分方程求解中的应用2.微分算子在数据处理和机器学习中的应用正文：微分算子法是一种在数学领域广泛应用的方法，它涉及到微分算子的定义及其在各种问题中的应用。
其中，多项式除法是微分算子法的一个重要应用方向。
本文将首先介绍微分算子法的相关概念，然后阐述多项式除法的基本原理，接着分析微分算子法在多项式除法中的应用，最后讨论微分算子法在实际问题中的具体应用。
一、微分算子法的概念微分算子是一种在数学中广泛应用的算子，它可以用于表示各种变化率和导数。
给定一个函数f(x)，我们可以定义微分算子Df(x) 为：Df(x) = f"(x)。
其中，f"(x) 表示函数f(x) 在点x 处的导数。
微分算子可以用于表示各种变化率和导数，例如，一阶导数、二阶导数等。
二、多项式除法的基本原理多项式除法是一种基本的数学运算，它可以用于计算两个多项式相除的结果。
给定两个多项式P(x) 和Q(x)，多项式除法的步骤如下：1.将除数Q(x) 的最高次项与被除数P(x) 的最高次项相除，得到商的常数项。
2.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从被除数P(x) 中减去得到一个新的多项式。
3.将新多项式的最高次项与除数的次高次项相除，得到商的次高次项。
4.将商的多项式乘以除数Q(x)，并从新多项式中减去得到一个新的多项式。
5.重复上述过程，直到除数的次数小于被除数的次数，此时多项式除法结束。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在利用微分算子表示多项式的导数，从而简化多项式除法的计算过程。
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法
微分算子法，也称为Heaviside除法，是一种用微分算子来实
现多项式除法的方法。
它基于这样的观察：两个多项式相除的结果可以表示为一个常数乘以指数函数的线性组合。
具体步骤如下：
1. 将被除式和除式表示为微分算子的形式。
例如，对于被除式p(x)和除式q(x)，将它们表示为P(D)和Q(D)，其中D是微分
算子。
2. 将除式Q(D)的次数提取出来。
将Q(D)表示为Q(D) = D^m + a_(m-1)D^(m-1) + ... + a_1D + a_0，并求出m的值。
3. 计算常数乘以指数函数的线性组合。
根据多项式除法的原理，p(x)/q(x)可以表示为：
p(x)/q(x) = C_0 + C_1e^x + C_2e^(2x) + ... + C_me^(mx)
其中，C_0, C_1, ..., C_m是待求的常数。
4. 求解线性组合中的常数。
将p(x)/q(x)代入原方程，并依次对
x求导m次，得到一系列的待定方程。
利用这些方程，可以求解出C_0, C_1, ..., C_m的值。
5. 得到多项式除法的结果。
将求解出的C_0, C_1, ..., C_m带入线性组合中，即可得到p(x)/q(x)的表达式。
需要注意的是，微分算子法多项式除法适用于特定情况，即解决形如常系数线性常微分方程的问题。
在应用这种方法时，要保证被除式和除式都具有相同的形式，即都可以表示为微分算子的形式。
张宇讲的微分算子法
张宇讲的微分算子法一、引言微分算子法（Operator method）是高等数学中的一种常用求解微分方程的方法。
它由中国著名数学家张宇在其讲授的高等数学课程中提出并详细讲解。
本文将对张宇讲的微分算子法进行全面详细、完整且深入的介绍和解析。
二、微分算子法概述微分算子法是一种将微分方程转化为代数方程求解的方法。
通过引入一个特殊的算子，可以将微分方程转化为代数方程，从而简化了问题的求解过程。
三、微分算子在微分算子法中，我们首先需要引入一个特殊的算子——微分算子（Differential Operator）。
对于一个函数f(x)，其对应的微分算子为D，表示为D[f(x)]。
常见的微分算子包括一阶导数算子D、二阶导数算子D²等。
对于一阶导数算子D，其定义为：D[f(x)] = f'(x)其中f’(x)表示f(x)对x的一阶导数。
四、微分方程与代数方程转换通过引入微分算子，我们可以将一个n阶线性常系数齐次微分方程转化为一个n次代数方程。
具体的转换方法如下：1.将微分方程中的函数用微分算子表示，例如对于f(x)，用D表示。
2.将微分方程中的导数用微分算子表示，例如对于f’(x)，用D[f(x)]表示。
3.将微分方程中的常数项移至等号右侧。
4.应用微分算子的性质和运算规则，将微分方程转化为代数方程。
5.求解代数方程，得到原微分方程的解。
五、示例下面通过一个具体的例子来演示如何使用微分算子法求解微分方程。
例题：求解二阶线性常系数齐次微分方程：y'' - 3y' + 2y = 0解答：1.首先引入微分算子D，将函数y(x)表示为D[y]。
2.将导数用微分算子表示，将常数项移至等号右侧，得到：(D² - 3D + 2)y = 03.将方程中的D²、D和常数项2应用到函数y上，得到：(D² - 3D + 2)[y] = 04.根据代数方程的性质和运算规则，我们可以将上述代数方程拆分为两个代数方程：(D - 1)(D - 2)[y] = 05.求解上述代数方程，得到两个根：D = 1和D = 2。
微分算子法求微分方程的特解2022
二阶常系数微分方程的微分算子法求特解二阶常系数非齐次微分方程求特解，在一般的本科教材中均采用设特解再用待定系数法求出待定的系数，计算量往往偏大，考生若掌握了微分算子法，则可以起到事半功倍的效果。
具体做法如下：引入微分算子222222d d d d d d ,,,,,,d d d d d d ====== nn n n n n y y y D Dy D D y D D y x x x x x x因此，n 阶常系数线性非齐次方程()(1)11()−−′++++= n n n n y a y a y a y f x()111()−−⇒++++= n n n n D a D a D a y f x令111()n n n n F D D a D a D a −−=++…++称为算子多项式，则 方程*1()()()()⇒=⇒=F D y f x y f x F D【评注】D 表示求导，1D 表示积分.如()21111,cos 2sin 222==x x x x D D ，不要常数.类型1 ()=e kx f x1.若()0F k ≠，则()()11e e ∗==kx kx y F D F k , 2.若()=0F k ，k 为()0F k =的m 重根，则 ()()()()11e e ∗==m kx m kx m m y x x F D F k ,【例1】求223e x y y y ′′′+−=的一个特解【解析】()2222221111e e e e 2322235x x x x y F D D D ∗====+−+×−【例2】求323e x y y y −′′′+−=的一个特解【解析】由与()3=0F −，3−为()0F k =的单根， ()()()3333311111e e e e e 222324∗−−−−−=====−′+×−+x x x x x y x x x x F D F D D ,【例3】求2+e xy y y ′′′−=的一个特解【解析】由于()1=0F ，1为()0F k =的二重根， ()()2221111e e =e e 22∗===′′x x x x y x x x F D F D .类型2 ()=cos f x ax 或()=sin f x ax1.若2()0F a −≠，则()()2211sin sin y ax ax F D F a ∗==− 或()()2211cos cos y ax ax F D F a ∗==−2.若2()=0F a −，则()()2211sin sin y ax x ax F D F D ∗==′ 或()()2211cos cos ∗==′y ax x ax F D F D【评注】()()212211111sin sin cos n n n ax ax ax D D a a a + ==− −− ()()212211111cos cos sin n n n ax ax ax D D a a a +==−− 由此()()11sin cos ax ax F D F D ，可求，例如 221111sin sin sin 2112121x x x D D D D ==+−−+−− ()()21111sin =1sin cos sin 2144D x D x x x D +=−+=−+−【例4】求+4+5sin 2y y y x ′′′=的一个特解【解析】()22111sin 2sin 2sin 245245y x x x F D D D D ∗===++−++ ()21411sin 2sin 28cos 2sin 24116165D x x x x D D −===−−+−【例5】求+4cos 2y y x ′′=的一个特解【解析】()220F −=()21111cos 2cos 2cos 2sin 24222x y x x x x x F D D D ∗====+类型三 ()()=m f x P x 即自由项为x 的m 次多项式 ()()()()1m m y P x Q D P x F D ∗==，其中()Q D 为1除以()F D 按升幂()1n n n aa D D −+++ （即从低次往高次排列）所得商式，其最高次为m 次，超过m 次的求导后全为零，故略去.【例6】求232231y y y x x ′′′−+=−+的一个特解【解析】()()21231y x x F D ∗=−+()22137231248D D x x =++−+ ()()2137231+434248x x x −+−+×23724x x =++ ()()()2221123123132∗=−+=−+−+y x x x x F D D D ()2211231312122−+ −− x x D D()222231311123122222 =+−+−+−+D D D D x x ()222319112312242=+−++−+ D D D x x ()223711231242=+++−+ D D x x ，下同【例7】求233y y x ′′′−=−的一个特解【解析】1）()()()()22113=33y x x F D D D ∗=−−− ()222111111225=3=39273927D D x x x D D −−−−−+−321125=+9927x x x −−2）()()()()()222111113=33333∗ =−−=−− −− y x x x F D D D D D ()()()22223111111133133939393313=−−−−=−++−−−−D D x x x x x D D 2332122111251253393933927981 =−−++−−=−+−+x x x x x x x【评注】数字1除以23D D −是没法直接除的，因为分母没有最低次常数项.类型四 ()()=e kx f x u x ,其中()u x 为x 的多项式或()sin cos ax ax 【移位定理】()()()()11e =e kx kx v x v x F D F D k +【例8】求+32e sin 2x y y y x −′′′−=的一个特解【解析】()()()211e sin 2=e sin 21312x x y x x F D D D ∗−−=−+−− 2211+8=e sin 2e sin 2e sin 24864x x x D x x x D D D D −−−==+−−−()()11e 2cos 28sin 2e cos 24sin 26834x x x x x x −− =−+=−+【例9】求+3+2ex y y y x −′′′=的一个特解【解析】()()()211e =e 1+312∗−−=−−+x x y x x F D D D ()21111=e e e 11−−−==−++xx x x x D x D D D D D ()211e 1e 2−− −=− xx x x x D类型五 ()()=sin m f x P x ax 或()cos m P x ax【评注】此种情况考试考到的概率几乎为零. （可以不看）. 为不加重考生负担，仅讨论()=m P x x ，且()20F a −≠否则，要用到欧拉公式，且计算量不比待定系数法简单！ 记()()sin cos u x ax ax =，则()()()()()()11F D x u x x u x F D F D F D ′⋅=−【例10】求+cos 2y y x x ′′=的一个特解【解析】()211cos 2cos 21y x x x x F D D ∗==+2222112cos 2cos 21131D D x x x xD D D=−=−− +++1214cos 2+cos 2cos 2sin 233339Dx x x x x x=−⋅=−+−。
高阶常微分方程的微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,xxe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123xxy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())nn n L y D a x Da x y -≡+++()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+=特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1s i n ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解.docx
微分算子法求解二阶常系数非齐次线性微分方程的特解李绍刚段复建徐安农(桂林电子科技大学，计算科学与数学系，广西桂林，541004)摘要：木文主要介绍了二阶微分算子的性质及其它在一些求解二阶常系数非齐次线性微分方程的常见运算公式，并对其中的大部分重要公式给出了详细的较为简单的证明，并通过具体而翔实的例子加以说明它在解题中的具体应用，大大简化了二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法。
关犍词：线性微分算子非齐次微分方程特解中图分类号：0175.1 引言对于微分方程，尤其是常系数非齐次线性微分方程，算了法求其特解一肓是研究的热点问题，见参考文献［3・9］,有一些是针对一般高阶的常系数非齐次线性微分方程［3-61，文献⑹ 研究了高阶的变系数非齐次线性微分方程的算子特解算法，而［7］是针对二阶的常系数非齐次线性微分方程的算子特解解法，但是理论不是很完善，而微分级数法以及复常系数非齐次线性微分方程在一般教科书很少出现，针对性不够强。
因为在高等数学中，二阶非齐次常系数线性微分方程特解的求法在微分方程屮占有很重要的地位，也是学习的重点和难点，人多高数教材采用待定系数法来求其特解，根据不同情况记忆特解的设法对人多数学生而言述是很有难度的，而且有些题目计算过程非常复朵，本文就针对微分算子法在求解二阶常系数非齐次线性微分方程特解方而的应用做一些讨论，给出理论的详细证明，并通过例子说明理论的的一些具体应用。
我们考虑如下的二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式y"+py'+q = f(x)其中p,q 为常数。
(1)2 2引入微分算子—= D,^ = D2,则有：y=型二Dydx dx" dx dx~于是(1)式可化为：D’y + pDy + qy = f(x) 即：(D2 + pD + q)y = f(x) (2)令F(D) = D24-pD + q 称其为算子多项式。
则(2)式即为：F(D)y = f(x) 其特解为：y = ^—f(x),在这里我们称为逆算子。
谈谈微分算子
谈谈算子SCIbird适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为：()(1)()f x f x f x Δ=+−，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=−，即E I Δ=−容易发现()()mE f x f x m =+，所以00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k −−==⎛⎞⎟⎜Δ=−=−=−+⎟⎜⎜⎟⎝⎠∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==−Δ，()n n I I E ==−Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x −Δ=以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+−=然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。
以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。
实际上还可以进一步挖掘联系。
算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。
深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。
这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。
考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子d D dx =， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D= 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。
微分方程算子法总结
1 1 1 f ( x) = f ( x) f ( x) = F(D) F2 (D) • F1 ( D) F1 (D) • F2 ( D)
(6)性质六:
1 1 1 f1 ( x) + f 2 ( x) ( f1 ( x) + f 2 ( x)) = F(D) F(D) F(D)
三、例题练习 例 1.
n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3 n n-1 n-2 n-3
记 F(D)=D +a1D +a2D +a3D + ... +an-1D+an 规定特解：y 3、
*
= F(D)
1
f ( x)
1 的性质 F(D)
(1)性质一：
kx 1 F(D)
e = F(k) ekx
1
1
(F(k) 不等于 0）
取实部为特解 四）
1
1
y*= 4 (xcosx+x2sinx)
1
(性质二、三、
6
2
x d2y +4y = dx 2
e
则(D +4)y=e
(4)
x
,特解 y*=
1 D2
x x x 1 e = e = e (性质一) 5 1 +4 +4
2
4
1
例 2、 y +y=2cos(3x） ，则(D +1)y= 2cos(3x） 特解 y
*
=
1 D 4 +1
2cos(3x）= 2 cos(3x）=
e
-y=sinx
ix 1 3 D -1
,则(D -1)y=sinx ,特解 y*=
微分算子法 多项式除法
微分算子法多项式除法（实用版）目录1.微分算子法简介2.多项式除法原理3.微分算子法在多项式除法中的应用4.微分算子法的优点与局限性正文一、微分算子法简介微分算子法是一种求解微分方程的高效数值方法，它是基于微分算子原理发展起来的。
微分算子法通过将微分方程转化为微分算子方程，进而求解得到原微分方程的解。
这种方法在解决许多实际问题中具有较高的数值稳定性和精度，广泛应用于物理、化学、生物学等领域。
二、多项式除法原理多项式除法是一种数学运算，用于计算两个多项式相除的结果。
在代数学中，多项式除法是将一个多项式除以另一个多项式，得到一个新的多项式。
这个新多项式的每一项都与原多项式的对应项成比例。
在计算机科学中，多项式除法通常采用长除法的形式，通过迭代计算来完成。
三、微分算子法在多项式除法中的应用微分算子法在多项式除法中的应用主要体现在以下几个方面：1.微分算子法可以提高多项式除法的数值稳定性。
在求解微分方程时，多项式除法可能会遇到数值不稳定的问题，而微分算子法通过引入微分算子，可以有效地改善这种情况。
2.微分算子法可以提高多项式除法的计算精度。
由于微分算子法是基于微分算子原理发展起来的，因此在求解微分方程时，它可以提供更高的计算精度。
3.微分算子法可以简化多项式除法的计算过程。
在求解微分方程时，通过引入微分算子，可以将多项式除法转化为微分算子方程，从而简化计算过程。
四、微分算子法的优点与局限性微分算子法作为一种求解微分方程的数值方法，具有以下优点：1.数值稳定性高：微分算子法通过引入微分算子，可以有效地提高数值稳定性。
2.计算精度高：微分算子法基于微分算子原理，可以提供较高的计算精度。
3.适用范围广：微分算子法可以应用于各种微分方程的求解，具有广泛的应用前景。
然而，微分算子法也存在一定的局限性：1.求解过程相对复杂：微分算子法需要引入微分算子，因此求解过程相对复杂。
2.计算成本较高：微分算子法需要进行多次迭代计算，因此计算成本较高。
微分方程算子法总结
微分方程算子法总结微分方程算子法是微分方程的一种解法方法，通过将微分方程中的微分算子用代数符号表示，转化为代数方程的形式来求解微分方程。
这种方法在微分方程的解法中起到了重要的作用。
下面是对微分方程算子法的总结，包括定义、基本原理、解题步骤和应用等方面的内容。
一、定义二、基本原理三、解题步骤1.将微分方程中的微分算子用代数符号表示，一般用p(D)来表示D^k 的形式，其中D表示微分算子，k为一个正整数。
2.对代数符号p(D)进行运算，根据微分算子的运算性质进行替换、展开、相乘等运算。
3.将运算后得到的代数方程转化为普通的代数方程，消去代数符号后求解。
4.最后，根据求得的代数方程解，通过对代数解进行逆运算，将代数解转化为函数解，即为微分方程的解。
四、应用1.线性常微分方程的解法，如齐次线性常微分方程、非齐次线性常微分方程等。
2.偏微分方程的解法，如一维波动方程、一维热传导方程等。
通过微分方程算子法，可以将偏微分方程转化为常微分方程的形式进行求解。
3.变系数微分方程的解法，如变系数线性常微分方程等。
通过微分方程算子法，可以将变系数微分方程转化为常系数微分方程的形式进行求解。
4.高阶微分方程的解法，如二阶、三阶及更高阶微分方程等。
通过微分方程算子法，可以将高阶微分方程转化为一阶微分方程的形式进行求解。
五、优缺点1.能够将微分方程转化为代数方程进行求解，简化了计算过程。
2.适用范围广泛，能够解决多种类型的微分方程问题。
3.理论基础扎实，运算性质清晰，易于理解和应用。
1.对于非线性微分方程或特殊形式的微分方程，微分方程算子法可能不太适用。
2.运算过程中需要进行大量的代数计算，可能存在繁琐的计算步骤。
3.求解过程中可能会出现复杂的代数式，需要一定的代数知识和计算技巧。
六、总结微分方程算子法是一种重要的微分方程解法方法，通过将微分方程转化为代数方程，简化了微分方程的求解过程。
它在数学和工程领域具有广泛的应用和重要的意义。
信号与系统微分算子方程
电路系统算子方程的建立
表 2.2 电路元件的算子模型
在电路分析中，独立源信号代表 系统激励，待求解的电流或电压为系统
3
设系统响应y(t)对输入f(t)的传输算
子H(为p) H B(p( p)，)
A( p)
且 bm pm bm1 pm1
pn an1 pn1
b1 a1 p
p b0 a0
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
yx (t) yx1(t) yx2 (t) c10et (c20 c21t)e2t
其一阶和二阶导函数为 yx' y(tx)(t)c10eett
c(221e2tt
)e2t
2(c20
c2t1t)e02t
系统的微分算子方程
1 微分算子和积分算子
p d dt
1 t ( )d
p
p称为微分算子，1/p称为微分逆
算子或积分算子。
例 ：
微分算子的运 算性质
性质1 以p的正幂多项式出现的运算式，
在形式上可以像代数多项式那样进
( p 2)( p 3) y(t) ( p2 5p 6) y(t)
行展开和因式分解。
pn an1 pn1 an2 pn2 L a1 p a0 y(t) bm pm bm1 pm1 bm2 pm2 L b1 p b0 f (t)
或缩写为
n
ai
pi
y(t
)
m
bj
p
j
f
(t )
i0
j0
A( p) y(t) B( p) f (t)
微分算子方程
n
A( p) ai pi i0
c10et (1 2t)c21e2t 2c20e2t
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法
二阶常系数线性微分方程特解的微分算子法原 迦摘 要 微分算子法是求解常系数非齐次线性微分方程特解的有效方法, 基于算子多项式的理论, 针对二阶常系数线性微分方程, 论文给出了非线性项为指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数的微分算子特解公式, 实例表明特解公式在解题中具有可应用性、有效性和简捷性。
关键词 线性微分方程 常系数 微分算子 特解常系数线性微分方程是常微分方程中的重点内容之一，其求解方法通常是先求对应的齐次 线性方程的通解，再求一特解。
前者用特征方程法容易得到，难点是特解的求法。
多数教材中采用的是待定系数法求其特解, 这不仅要根据非线性项的不同情况做相应的处理, 而且计算过程中需要求导运算和求解线性方程组。
因此, 微分算子法成为求解不同类型的常系数非齐次线性微分方程特的有效方法, 基于上述考虑, 文章针对非线性项的不同情况, 给出微分算子法求 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解公式, 具有记忆方便, 计算简单的特点。
二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式为()y py qy f x '''++=， （1）其中,p q 为常数.为了文中需要，我们给出通常教材中所给出的求特解的待定系数法 见下表表中()n R x 为待定的n 次多项式，()k R x , ()k S x 为系数待定的k 次多项式，max k ={},n m .引入微分算子,dD dx= 222,d D dx =则有,dyy Dy dx'== 222,dy y D y dx ''==于是式（1）可化为()()2D pD q y f x ++= （2）令()2,F D D pD q =++称为算子多项式，则式（2）即为()()F D y f x =，其特解为()()1,y f x F D =这里，()1F D 称为逆算子.1．算子多项式1.1 算子多项式的性质引理[]61 设算子多项式()F D 如上定义，()f x ,()g x 为可微函数，则有 (1)()()()()()()()F D f x g x F D f x F D g x αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦; (2) 设 ()()()12F D F D F D =; 则有()()()()()()1221F D F D f x F D F D f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；(3) 设()()()12F D F D F D =+，则有()()()()()()12F D f x F D f x F D f x =+.证明略.1.2算子多项式的公式引理[]72 设算子多项式()F D 如上定义，,k a 为任意实数, ()v x 为二阶可导函数，则有下列结论成立（1） ()()kx kx F D e e F k =；（2） ()()22sin sin F D ax axF a =-； ()()22cos cos F D ax axF a =-； （3） ()()()()kx kx F D e v x e F D k v x =+; （4）()()()()()()F D xv x xF D v x F D v x '=+. 证明略.1.3逆算子多项式的性质引理[]73 设算子多项式()F D 如上定义，,R αβ∈，()f x ,()g x 为可微函数，则有 （1）()()()()1F D f x f x F D =； （2）()()()()()()()111f xg x f x g x F D F D F D αβαβ+=+⎡⎤⎣⎦ ； （3）设 ()()()12F D F D F D =， 则有()()()()()()()()122111111f x f x f x F D F D F D F D F D ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.2. 特解公式利用上述性质，可以得到下面的特解公式。
微分方程的算子算法
4
常系数线性微分方程的算子解法 4．思维方法 导数 的性 质及 求导 法则
P ( D)
求 导 公 式 运 算 公 式
原函 数的 性质 及积 分法
1 P ( D)
积 分 公 式 运 算 公 式
计 算 原 函 数 计 算 特 解
5
的性 质及 运算 法则
的性 质及 运算 法则
常系数线性微分方程的算子解法
1 x 1 x x e xe xe 2 2 ( D 1） （ 2 D 1） 1 D 3!
x 3
15
常系数线性微分方程的算子解法 11．特解的算子解法及例题 类型3 f ( x) fk ( x)e x cos x或f ( x) fk ( x)e x sin x 解法
考虑方程P( D) y e( i ) x fk ( x)特解的实、虚部
例3 求( D2 2D 5) y xe x sin 2 x的特解。 解 考虑( D2 2D 5) y e(12i ) x x的特解
1 y* 2 e (1 2 i ) x x ( D 2 D 5)
1 类似于原函数的概念，定义算子： P ( D) 1 f ( x )表示这样函数：用P ( D)作用它的结果是f ( x )，即 P ( D) 1 若函数F ( x )使得P ( D) F ( x ) f ( x )，则 f ( x) F ( x) P ( D) 1 1 n f ( x ) f ( x )dx, f ( x ) L f ( x )( dx ) D Dn 1 将D与P ( D)类比，将 f ( x )dx与 f ( x )类比 P ( D)
5．n阶导数的基本性质、运算法则及求导公式
(1) Dn[ f1 ( x) f2 ( x)] Dn f1 ( x) Dn f2 ( x)
微分算子法
������ ������ ������������������ ������ ������������ + ������
这里−������������ = ������������
������ ������ ������������������ ������ −������ + ������
������
������������������ （������ + ������）
这里是将������������������ 前移，D 应该加上 m ������∗ = ������������������ ������∗ = ������������������ ������ ∗ (������ + ������) (������ − ������ + ������)������ ������ ∗ (������ + ������） ������������
= ������������������ ������
例题������′′ − ������������′ + ������������ = ������������������������ ������ ，求������∗ ������∗ = ������∗ = ������∗ = ������∗ = ������∗ = ������∗ = ������ ������������������������ ������ ������������ − ������������ + ������ ������ ������������������������ ������ −������ − ������������ + ������ ������ ������������������������ ������ ������ − ������������ ������ + ������������ ������������������������ ������ ������ − ������������������ ������ + ������������ ������������������������ ������ ������������ ������ (������������������������ ������ + ������ ������������������ ������������) ������������
第四节 微分算子法
3 xy 0，
2
u2 ( x, y, z , t ) 3 xyt B( x, y, z )t 代入方程u tt a u xx , 得到：
2
3
6Bt a 0 Bt
2
2
B( x, y, z ) 0 令 B ( x, y , z ) 0
2
故u ( x, y, z, t ) x 3xy 5 xyz a t 2 6 x 10 xy
2 2 2 2
A( x, y, z ) 0 令 A( x, y, z ) a 2 2 6 x 10 xy
二、波动方程Cauchy问题的解法
utt a 2uxx 0 ( x R, t 0) u( x,0) ( x),ut ( x,0) ( x) ( x R) 1 shat u ( x, t ) chat ( x) ( x) a
2
2
k 0
2
a t [ x
2 k k
2
k!
3 xy 5 xyz ]
2 2
at 2 2 2 x 3xy 5 xyz x 3xy 5 xyz 0 1!2 x 2 3 xy 2 5 xyz 2 a t 2 6 x 10 xy
at k [ ( x)] 1 at k [ ( x)] 2k 1! 2k ! a k 0 k 0
2k 2 k 1
( x)
t k 1
2k
A2k ( x) ( x)t
u1
t k 1
微分算子法中D的运算
微分算子法中D 的运算D ：微分的意思，如Dx 2=2x , D 3x 2=0D 1：积分的意思，如D 1x=2x 2**＊*＊＊**＊＊*＊*＊*＊＊＊*＊*＊＊＊＊*＊**＊*＊＊＊**＊＊*＊＊******＊＊***＊＊*＊＊***＊*＊*＊*＊＊＊*＊＊＊******定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+推论:)(1)(F 1k F e e D kx kx = （F(k ）≠0） 例：x e y y 2=+''x e y D 22)1(=+x x x e e e D y 22222*51121)1(1=+=+= ＊＊＊**＊*＊＊*＊＊＊**＊＊＊＊**＊*＊＊＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊*＊*****＊＊＊******＊**＊＊***＊＊＊＊＊＊*＊＊***＊*＊定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -⋅=)(cos cos )(F 22a F ax ax D -⋅= 注意使用公式时的前后顺序 推论：)(1sin sin )(F 122a F ax ax D -⋅= (F （—a 2) ≠0) 例：x y y 3cos 24=+）（x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=⋅⋅=+-⋅⋅=⋅+⋅=⋅+⋅=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。
F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D ）。
***＊＊＊＊＊*＊**＊＊**＊＊****＊＊**＊*＊＊*＊*＊*＊＊*＊＊*＊＊＊＊＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊***＊*＊**＊＊＊＊*＊***＊*定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论：)()(1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx +=例：x e x y y 22y 44⋅=+'-''x e x y D D 222)44(⋅=+-42222222222*1211)2)2((1)2(1x e x D e x D e x e D y x x x x ⋅=⋅⋅=⋅-+=⋅-= 例：x e y y y =-'+''-'''y 33x e y D =-3)1(x e D y 3*)1(1-= 此时不能用定理1，故 3333*61111)1)1((1x e D e D e D e y x x x x ⋅⋅=⋅=⋅=-+= ＊＊＊*＊*＊**＊*＊＊****＊＊＊＊＊*****＊**＊*＊*＊＊**＊＊＊＊＊＊*＊***＊*＊**＊＊*＊*＊***＊＊＊**＊**＊**＊＊**例： x y y e 4=-）（x e D e D e e D e D e D D e D D D e D y x x x x x x x x ⋅==-+⋅=-⋅=+⋅⋅⋅-=⋅⋅+⋅-=⋅+⋅-⋅+=⋅-=411411114111411112111211111111111)1(12224*例:22+-=+''x x y y2)1(22+-=+x x y D)2()1(122*+-+=x x D y 用长除法：按幂次增加排列，至得出的D 的最高幂次与x 的最高幂次相同。
微分算子与内积
微分算子与内积微分算子和内积是数学中两个重要的概念，它们在不同领域的数学和物理问题中都有广泛的应用。
本文将介绍微分算子和内积的概念、性质以及它们在数学和物理中的应用。
一、微分算子微分算子是一种对函数进行微分运算的操作符。
它可以将一个函数映射成另一个函数或者一个函数的导数。
微分算子常见的表示方法有微分符号“d/dx”或者“∂/∂x”。
微分算子有很多种，常见的有导数算子、梯度算子、拉普拉斯算子等。
导数算子是最基本的微分算子，它表示了函数在某一点处的变化率。
梯度算子表示了函数在某一点处的变化方向和速率。
拉普拉斯算子表示了函数在某一点处的曲率。
微分算子具有一些重要的性质。
首先，微分算子满足线性性质，即对于任意的函数f和g以及实数a和b，有微分算子对函数的和的作用等于对函数分别作用再求和的结果的线性组合。
其次，微分算子满足链式法则，即对于复合函数，微分算子的作用等于内层函数的微分算子和外层函数的微分算子的乘积。
微分算子在数学和物理中有广泛的应用。
在微积分中，微分算子用于求解函数的导数和微分方程。
在物理学中，微分算子用于描述物理量的变化和运动。
例如，在流体力学中，梯度算子用于描述流体的速度场和压力场的分布。
在电磁学中，拉普拉斯算子用于描述电场和磁场的分布。
二、内积内积是向量空间中的一种运算，它将两个向量映射成一个实数。
内积常用的表示方法有点乘符号“·”或者尖括号“<,>”。
内积具有一些重要的性质。
首先，内积满足对称性，即对于任意的向量u和v，有内积等于内积。
其次，内积满足线性性质，即对于任意的向量u、v和w以及实数a和b，有内积等于内积的线性组合。
最后，内积满足正定性，即对于任意的非零向量u，有内积大于零。
内积在数学和物理中有广泛的应用。
在线性代数中，内积用于定义向量的长度和夹角。
在几何学中，内积用于计算向量的投影和距离。
在量子力学中，内积用于描述量子态和量子测量。
例如，在薛定谔方程中，内积用于计算波函数的模长和碰撞概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高阶常微分方程的微分算子法撰写摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。
但是有一个例外：常系数线性微分方程。
我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐次方程的特解。
本节主要讨论微分算子法。
1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n yD y =，将方程写成32230D y D y Dy --=或32(23)0D D D y --=我们熟知，其实首先要解特征方程32230D D D --=得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x xe e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解3123x xy C C e C e -=++注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是1111()()()()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L()f x =可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。
本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。
2.求解 61160y y y y ''''''-+-=解 写成 32(6116)0D D D y -+-=从特征方程3206116D D D =-+-(1)(2)(3)D D D =---解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解23123x x xy C e C e C e =++3.求解 39130y y y y ''''''-++=解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3xe x ，2sin 3x e x 从而通解是22123cos3sin 3x x xy C e C e x C e x -=++4.求(4)45440yy y y y ''''''-+-+=之通解.解 写成432(4544)0D D D D y -+-+=或 22(2)(1)0D D y -+=特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++5.求1(cos )y y x -''+=的通解解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+设原方程有特解形为*12()cos ()sin y C x x C x x =+其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组12112()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''''+=⎪⎩或12112()cos ()sin 0()sin ()cos (cos )C x x C x x C x x C x x x -⎧''+=⎪⎨''-+=⎪⎩(方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得1sin ()cos xC x x'=-，2()1C x '=或 1()ln cos C x x =，2()C x x =最后得通解为1*()()()y x y x y x =+12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x=+++ 注 对常系数方程，在应用上，不常运用常数变异法，对于特殊非齐次项的常系数方程，下文将提供更简捷的办法。
6.求解下列方程(1)(4)24250y y y y y ''''''++--= (2)4850y y y '''-+=解 (1)12x xy C e C e -=+34(cos 2sin 2)xe C x C x -++(2)12(cossin )22xx x y e C C =+ 7.求解下列cauchy 问题(1)330;y y y y ''''''-+-=(0)1,(0)2,(0)3y y y '''===(2)0;(0)1,(0)0,(0)1y y y y y ''''''''+====解 (1) (1)xy e x =+(2) xy x e -=+8.求解非齐次方程21(0)y y y x x x'''++=≠ 解 本题不是常系数方程，为求通解需先知道齐次方程20y y y x'''++=的两个线性无关的特解。
现设用观察法得到两个特解 12sin cos ,x xy y x x== 令12sin cos ()()()x xy x C x C x x x=+ 考虑方程组1212sin cos ()()0sin cos 1()()()()x x C x C x x xx x C x C x x x x ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''''+=⎪⎩最后解得1()sin C x x =，2()cos C x x = 故原方程的通解为 12sin cos 1()x x y x C C x x x=++ 注 我们说过，高阶方程中最重要、研究得最彻底的是线性方程，因此我们就从它开始。
因为有了常数变易法，所以重点似乎应放在齐次方程的求解，但是，齐次常系数线性方程的求解来的太容易(只需要解代数方程)，这就构成了这一单元的特点：我们着力于求解具有特殊右端(物理学中称此种项为强迫项)的任意高阶非齐次常系数线性方程。
这样做既是为了避免使用繁复的常数变易法，也是为了让解题者掌握一种最实用的技巧——微分算子法9.求解256y y y x '''++= 解 写成 2(2)(3)D D y x ++=故对应齐次方程(2)(3)0D D y ++=的通解为23112()x xy x C e C e --=+今用下法求原方程的一个特解*()y x ，显然*()y x 满足*2(2)(3)D D y x ++= 今用下法求出*()y x*21()(2)(3)y x x D D =++222222222222222222222211()23112311112311231(1)2241(1)31(1)2241(1)3111(()())224111(()())33911122()()223391561x D D x x D D x x D DD D x D D x D D x D D xx x x x x x x x x x x =-++=-++=-++=-+---+-=-+--+'''=-+'''--+=-+--+=-L L ３９ ３９ 198108x +通解为*123212()()()1519618108xxy x y x y x C eC ex x --=+=++-+ 注 本题所用的方法即微分算子法，此法核心内容是将求导运算D 同时当作数与运算来处理，上法中1(2)(3)D D ++视为(2)(3)D D ++的逆运算，经分层部分分式后，又将D 作为数，将11D+展开或读作除数，最后，又将2,,D D L 恢复其运算功能。
至此，积分微分方程问题已变为求导问题。
上述方法有其严密的理论根据，但本法早在20世纪30~40年代已在工程师中间广为流传，理论工作于20世纪50年代初才完成。
10.给定一个微分算子111n n n n n L D a D a D a --=++++L(,1,2,,)i a i n =L 为常数则对任一有n 次导数的函数()g x ，得到唯一的函数()f x(())()n L g x f x = 今定义逆运算1(())()nf xg x L = g 恰为微分方程(())()n L g x f x =的一个特解。
证明下列事实：(1)给定f 后，g 不唯一(2)对任一常数,a b 及连续函数(),()h x g x ，有下式成立111(()())(())(())n n nah x bg x a h x b g x L L L +=+ (3)设有另一微分算子11m m m L D a D -=++L m a +，则1111(())(())m m n ng x g x L L L L = (4)有下式成立1111(())(())()()k n k g x g x L D D ρρλλ=--L 证明 (1)设1()g x 是方程()0n L y =的特解，则有1(()())(())()n n L g x g x L g x f x +== 故11(())()()nf xg x g x L =+ (2)与(3)直接从定义推出；(4)从(3)以及定义推出12.求下面方程的特解2226x d yy e dx-= 解 2222211()(6)62121x x x y x e e e D ===-- 13.求方程2442xy y y e '''-+=的一个特解解 221()244x y x e D D =-+ 22222212(2)121(22)121xx x e D e D e D=-=+-=g g 设211()g x D=g ，则2()1D g x =，即可知 21()2g x x =故最后可得 22()xy x x e = 也可以直接安照文登考研书的解法即222222221()24412(2)122xxx xy x eD D e D x e x e =-+=-== 14.解xy y e ''-=解 2111()1(1)(1)x x y x e e D D D ==--+ 1111112122x x x e e xe D D ===-g得通解为 121()2xx x y x xe C e C e -=++ 15.求下面方程特解2552y y x x '''-=-+解 221()(52)5y x x x D D =-+- 2222222311(52)5111()(52)51511()[1()](52)555111()[52(102)551(10)]2511()[5]5113x x D D x x DD D Dx x D x x x D x D x x D =-+-=--+-=-++-+=--++-++-=--== 16.求26535x y y y e x '''-+=-+ 解 显然12()()()y x y x y x =+其中121()(3)65x y x e D D =--+1(3)(1)(5)x e D D ---221()(5)(1)(5)y x x D D =--今有11111()(3)(3)15115x xy x e e D D D =-=-----3131314144x x x e e xe D D ===-g 22111()()(5)415y x x D D =-+--222221111()(5)415111(1(1))(5)455256212255x D D D DD D x x x =---=++--+=++ 最后得236212()4255x y x xe x x =+++ 17.求6cos 23sin 2y y x x ''+=+的特解 解 12()()()y x y x y x =+2222116cos 23sin 211116cos 23sin 2(2)1(2)12cos 2sin 2x x D D x x i i x x=+++=+++=-- 18.求下面方程的特解13sin 2y y y x '''++=- 解21()(13sin 2)1y x x D D =-++22224224221[()1]()11(13)sin 211[1](13)sin 211(13)(1)sin 2(2)(2)1(1)sin 23sin 22cos 2D D D D xD D D D xD D D D xi i D D x x x=--+--+⨯-++=-+-++=--+++=--+=+ 19.求下面方程的特解44cos 2y y y x '''++=解 2()[(2)]y x D =-+2211cos (2)(2)x D D -++g2221(2)cos 2(4)D x D =-- 222cos 1(2)sin 2((2)4)8x D x i =-=- 20.求2sin y y x ''+=的特解解 因2()10i +=，上法无效，今取1sin []2ix ixx e e i -=-(*) 则特解 211()([])1ix ixy x e e D i -=-+ 2222111([])11111[11]()1()111111[11]22111[]2212[]2ix ix ix ix ix ix ix ix ix e e i D D e e i D i D i e e i D i D D i D e x e x i D i D ilm e x D i----=-++=-++-+=-+-=-+-=+g g g g lmz 表示复数zi 虚部，今1112212ixix ex e x D D i i i=++ 111[1]()222211cos sin (cos sin )422ix ix D e x e x i i i ix x x i x x x =-=-=--+故1()cos sin 2y x x x x =--21.求下面方程的特解cos xy y e x x ''-=g 解 今有(1)(1)1cos ()2xi x i x e x x xe xe +-=+g g(1)Re()i xxe+= (Re z 表示复数z 的实部)故可写成(1)21()Re()1i x y x e x D +=-g而(1)(1)22111(1)1i x i xe x e x D D i ++=-++-g g (1)i x e +=)(1(1)11412(cos sin )[()(2)5]55i x x i x e e e x i x x i x ++==-+-++=故1422()[()cos ()sin ]525525xx y x e x x x =-+++ 22.求解方程33(5)xy y y y e x -''''''+++=-解 3311()(5)(5)(1)x x y x e x e x D D --=-=-+ 设31()(5)g x x D=-，则3()5D g x x =-故知435()246x g x x =- 最后得通解32123()(20)24xxxxx y x C e C xe C x e e x ----=+++- 注 这一批例题充分反映出算子方法的特点，简捷，灵巧，清楚。