2019届合肥一模数学试题-文科理科数学试题与答案解析

市2019届高三第一次教学质量检测
数学试题(理科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 为虚数单位，4
1i
z =
+，则复数z 的虚部为( ). A.2i - B.2i C.2 D.2-
2.集合}{
220A x x x =--≤，{}10B x x =-<，则A B U = ( ). A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<
3.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.7
4.已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S (n N *∈)，
25760a a a +-=，则11S 的值为( ).
A.11
B.12
C.20
D.22
5.已知偶函数()f x 在[)0+∞，上单调递增，则对实数a b ，，“a b >”是“()()f a f b >”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
6.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
7.平面α外有两条直线a ，b ，它们在平面α的射影分别是直线m ，n ，则下列命题正确的是( ).
A.若a b ⊥，则m n ⊥
B.若m n ⊥，则a b ⊥
C.若//m n ，则//a b
D.若m 和n 相交，则a 和b 相交或异面
8.若6
ax x ⎛
- ⎪⎝⎭
展开式的常数项为60，则a 的值为( ).
A.4
B.4±
C.2
D.2±
9.如图，网格纸上小形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为( ).
A.10
B.43
C.83
D.16
3
10.某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1，2，3，4，5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球.若与第一次取出的两个小球相同，则为中奖.按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ).
A.45
B.1925
C.2350
D.41100
11.设双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右
两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v
，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ).
12.已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12x x ，，若不等式()()12f x f x λ>+恒成立，则实数λ的取值围是( ).
A.[)3-+∞，
B.()3+∞，
C.[)e -+∞，
D.()e +∞，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.
13.设x y ，满足约束条件001030x y x y x y >⎧⎪>⎪⎪
-+>⎨⎪+-<⎪⎪⎩
，则2z x y =-的取值围为 .
14.若非零向量 a b r r ，满足()
2a a b ⊥+r r r
，则a b b
+=r r r .
15.在锐角ABC ∆中，2BC =，sin sin 2sin B C A +=，则中线AD 长的取值围是 . 16.在平面直角坐标系xOy 中，点n A (()12
2
n
n
n n
+-⋅，)(*n N ∈)，记21221n n n A A A -+∆的面积为n S ，则1
n
i
i S
==∑ .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
已知函数()cos 2sin 26f x x x π⎛
⎫=+- ⎪⎝
⎭.
(Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；
(Ⅱ)若0 2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，，()13f α=，求cos2α.
18.(本小题满分12分)
在四棱锥P ABCD -
中，BC BD DC ===， 2AD AB PD PB ====.
(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ；
D
P
C
E
A
(Ⅱ)当平面PBD ⊥平面ABCD 时，求二面角C PD B --的余弦值.
19.(本小题满分12分)
每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠状况是保持身体健康的重要基础.为了做好今年的世界睡眠日宣传工作，某社区从本辖区同一年龄层次的人员中抽取了100人，通过问询的方式得到他们在一周的睡眠时间(单位：小时)，并绘制出如右的频率分布直方图：
(Ⅰ)求这100人睡眠时间的平均数x (同一组数据用该组区间的中点值代替，结果精确到个位)；
(Ⅱ)由直方图可以认为，人的睡眠时间t 近似服从正态分布()2N μσ，，其中μ近似地等于样本平
均数x ，2σ近似地等于样本方差2s ，233.6s ≈.假设该辖区这一年龄层次共有10000人，试估计该人群中一周睡眠时间位于区间(39.2，50.8)的人数.
附：33.6 5.8≈.若随机变量Z 服从正态分布()2N μσ，，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
()220.9544P Z μσμσ-<<+=.
20.(本小题满分12分)
设椭圆22
22:1x y C a b
+=(0a b >>)的离心率为2，圆22:2O x y +=与x 轴正半轴交于点A ，圆O 在
点A 处的切线被椭圆C 截得的弦长为22．
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，试判断PM PN ⋅是否为定值？若为定值，
求出该定值；若不是定值，请说明理由.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()ln 1x f x e x =-+(e 为自然对数的底数).
(Ⅰ)求函数()f x 的单调区间；
(Ⅱ)若()()g x f x ax =-，a R ∈，试求函数()g x 极小值的最大值.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.
(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫
⎪⎝⎭
4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数()1f x x =+.
(Ⅰ)若()22f x x +>，数x 的取值围；
(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12
，求a 的值.
市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(理科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.()1 6-， 14.1 15.⎭ 16.222433n n ⎛
⎫-⋅+ ⎪⎝⎭ 三、解答题：
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)∵()11cos 22cos 22cos 2sin 2226f x x x x x x x π⎛⎫=-=+=+ ⎪⎝
⎭， ∴函数()f x 的最小正周期为T π=. …………………………5分
(Ⅱ)由()13f α=可得，1sin 263πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭.
∵0,2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，∴72 666πππα⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，. 又∵110sin 2632x π⎛
⎫<+=< ⎪⎝
⎭，∴2 62ππαπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，，
∴cos 26πα⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
，
∴cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666ππππππαααα⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+
-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
. ………………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . 由已知得，BCD ∆为等边三角形，BM CD ⊥.
∵2AD AB ==，BD =
∴30ADB ABD ∠=∠=o ， ∴90ADC ∠=o ，∴//BM AD . 又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD . ∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .
∵EM BM M =I ，∴平面BEM ∥平面PAD .
∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分
(Ⅱ)连结AC ，交BD 于点O ，连结PO ，由对称性知，O 为BD 的中点，且AC BD ⊥，PO BD ⊥.
D P C
E M A
∵平面PBD ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，
∴PO ⊥平面ABCD ，1PO AO ==，3CO =.
以O 为坐标原点，OC u u u r
的方向为x 轴向，建立空间直角坐标系D xyz -.
则D (0，3-，0)，C (3，0，0)，P (0，0，1).
易知平面PBD 的一个法向量为()11 0 0n =u u v
，，
. 设平面PCD 的法向量为()2n x y z =u u v
，，，
则2n DC ⊥u u r u u u r ，2n DP ⊥u u r u u u r ，∴22
00n DC n DP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r u u u r
u u r u u u r
， ∵()3 3 0DC =u u u r ，，，()
0 3 1DP =u u u r ，，，∴330
30x y y z ⎧+=⎪⎨
+=⎪⎩
. 令3y =，得13x z =-=-，，∴()
21 33n =--u u r
，
，， ∴121212
13cos 13n n n n n n ⋅==
=-⋅u u r u u r
u u r u u r u u r u u r ，. 设二面角C PD B --的大小为θ，则13
cos θ=. ………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)0.06340.18380.20420.28460.16500.10540.025844.7245x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=≈； …………………………5分 (Ⅱ)由题意得，39.2 50.8μσμσ-≈+≈，，()39.250.80.6826P t <<=，
所以估计该人群中一周睡眠时间在区间()39.2 50.8，
的人数约为100000.68266826⨯=(人)； …………………………12分
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，由椭圆的离心率为2
知， 2b c a b ==，
， ∴椭圆C 的方程可设为22
2212x y b b +=.
易求得(
)2 0A
，，∴点
(
)
2 2，在椭圆上，∴
22
22
12b b +=， 解得2263a b ⎧=⎨=⎩
，∴椭圆C 的方程为22
163x y +=. …………………………5分
(Ⅱ)当过点P 且与圆O 相切的切线斜率不存在时，不妨设切线方程为2x =，由(Ⅰ)知，
()()
2 22 2M N -，，，， ()()
2 2 2 2 0OM ON OM ON ==-⋅=u u u u v u u u v u u u u v u u u v ，，，，，∴OM ON ⊥.
当过点P 且与圆O 相切的切线斜率存在时，可设切线的方程为y kx m =+，()()1122M x y N x y ，，，， ∴
221
m k =+，即()2221m k =+.
联立直线和椭圆的方程得()2
226x kx m ++=，
∴()222
124260k x kmx m +++-=，得()()()2
22122212244122604212621km k m km x x k m x x k ⎧∆=-+->⎪⎪
⎪+=-⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
.
∵()()1122 OM x y ON x y ==u u u u v u u u v
，，
，， ∴()()12121212OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u v u u u v
，
()()()22
2
2
2121222264112121
m km
k x x km x x m k km m k k --=++++=+⋅+⋅+++
()()()()2
2
222222
22222126421322663660212121
k m
k m m k k k m k k k k +--+++----=
===+++，
∴OM ON ⊥.
综上所述，圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于点M N ，，都有OM ON ⊥. 在Rt OM N ∆中，由OMP ∆与NOP ∆相似得，2
2OP PM PN =⋅=为定值.
…………………………12分
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)易知1x >-，且()1
1
x f x e x '=-+.
令()1
1x h x e x =-+，则()()2
101x h x e x '=+>+， ∴函数()1
1
x h x e x =-
+在()1x ∈-+∞，
上单调递增，且()()000h f '==. 可知，当()1 0x ∈-，
时，()()0h x f x '=<，()()ln 1x f x e x =-+单调递减； 当()0x ∈+∞，
时，()()0h x f x '=>，()()ln 1x f x e x =-+单调递增. ∴函数()f x 的单调递减区间是()1 0-，
，单调递增区间是()0+∞，.…………………………5分 (Ⅱ)∵()()()ln 1x g x f x ax e x ax =-=-+-，∴()()g x f x a ''=-.
由(Ⅰ)知，()g x '在()1x ∈-+∞，
上单调递增， 当1x →-时，()g x '→-∞；当x →+∞时，()g x '→+∞，则()0g x '=有唯一解0x . 可知，当()01x x ∈-，时，()0g x '<，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递减；
当()0x x ∈+∞，
时，()0g x '>，()()ln 1x g x e x ax =-+-单调递增， ∴函数()g x 在0x x =处取得极小值()()0
000ln 1x g x e x ax =-+-，且0x 满足0
01
1
x e a x -
=+. ∴()()()0
00001
1ln 111
x g x x e x x =--++-
+. 令()()()1
1ln 111x
x x e x x ϕ=--++-+，则()()2
11x
x x e x ϕ⎡⎤'=-+⎢⎥+⎢⎥⎣⎦
. 可知，当()1 0x ∈-，
时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()0x ∈+∞，
时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减， ∴()()max 01x ϕϕ==.
∴函数()g x 极小值的最大值为1. …………………………12分
22.(本小题满分10分)
(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.
联立方程组得2
2
22
12x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，221 2x y ⎧=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩，
∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭
，1 2⎛ ⎝⎭
，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ.
∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 22
33S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2cos 26πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
∴当2312
π
θ=
时，max 2S =. ………………………10分
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔10 1>22x x x +>⎧⎨
+-⎩或10 122
x x x +<⎧⎨-->-⎩1
3x ⇔>，
∴实数x 的取值围是1 3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，. ………………………5分
(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧
⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡
⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪⎛⎫
++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩
，，
， ，，，，
易知函数()g x 在1x a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，
时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
.
∴11
12a -=，解得2a =. ………………………10分
市2019届高三第一次教学质量检测
数学试题(文科)
(考试时间：120分钟 满分：150分)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合}{12A x x =-≤≤，{}10B x x =-<，则A B U =( ). A.}{1x x < B.}{11x x -≤< C.{}2x x ≤ D.{}21x x -≤<
2.设i 是虚数单位，复数()()i 12i a ++为纯虚数，则实数a 为( ). A.-2 B.2 C.12
- D.12
3.设双曲线22
22:1x y C a b
-=(00a b >>，)的虚轴长为4，一条渐近
线为1
2
y x =，则双曲线C 的方程为( ).
A.221164x y -=
B.22
1416x y -= C.2216416x y -= D.22
14
y x -= 4.执行右图所示的程序框图，则输出n 的值为( ). A.63 B.47 C.23 D.7
5.设向量()3 4a =-r ，，向量b r 与向量a r 方向相反，且10b =r
，则向
量b r
的坐标为( ).
A.6855⎛⎫- ⎪⎝⎭，
B.()6 8-，
C.6855⎛⎫
- ⎪⎝⎭， D.()6 8-， 6.设3
0.2a =，2log 0.3b =，3log 2c =，则( ).
A.a b c >>
B.a c b >>
C.b a c >>
D.c a b >>
7.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是( ).
注：90后指1990年及以后出生，80后指1980-1989年之间出生，80前指1979年及以前出生.
A.互联网行业从业人员中90后占一半以上
B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C.互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多
D.互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多
8.已知1cos sin 5αα-=，则cos 22πα⎛
⎫- ⎪⎝
⎭=( ).
A.
24
25
- B.
4
5
- C.
24
25
D.
4
5
9.如图，网格纸上小形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积为( ).
A.6π
B.24π
C.48π
D.96π
10.已知函数()()
x x
f x x e e-
=-，对于实数a b
，，“0
a b
+>”是“()()0
f a f b
+>”的( ).
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
11.已知过抛物线242
y x
=焦点F的直线与抛物线交于点A，B，3
AF FB
=
u u u r u u u r
，抛物线的准线l与x 轴交于点C，AM l
⊥于点M，则四边形AMCF的面积为( ).
A.123
B.12
C.83
D.63
12.若关于x的方程0
x
e ax a
+-=没有实数根，则实数a的取值围是( ).
A.(2 0
e⎤
-⎦
， B.)2
0e
⎡⎣， C.(]
e
-， D.[)
0e
，
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡的相应位置.
13.设x y
，满足约束条件
10
30
x
y
x y
x y
≥
⎧
⎪≥
⎪⎪
-+≥
⎨
⎪+-≤
⎪
⎪⎩
，则2
z x y
=-的取值围为 .
14.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形，如图.
现在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为 .
15.设等差数列{}n a满足25
a=，
68
30
a a
+=，则数列
2
1
1
n
a
⎧⎫
⎨⎬
-
⎩⎭
的前n项的和等于 .
16.设ABC
∆的角A B C
，，的对边长a b c
，，成等比数列，()
1
cos cos
2
A C B
--=，延长BC至D，若2
BD=，则ACD
∆面积的最大值为 .
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分12分)
将函数()sin2
f x x
=的图像向左平移
6
π
个单位后得到函数()
g x的图像，设函数()()()
h x f x g x
=-.
(Ⅰ)求函数()
h x的单调递增区间；
(Ⅱ)若
1
63
g
π
α⎛⎫
+=
⎪
⎝⎭
，求()
hα的值.
D
P
E
A
18.本小题满分12分)
已知：如图，在四棱锥P ABCD -中，BCD ∆为等边三角形，BD =，PA =，AB AD PB PD ===，120BAD ∠=o .
(Ⅰ)若点E 为PC 的中点，求证：BE ∥平面PAD ； (Ⅱ)求四棱锥P ABCD -的体积.
19.(本小题满分12分)
某学校九年级三个班共有学生140人.为了了解学生的睡眠情况，现通过分层抽样的方法获得这三个班部分学生周一至周五睡眠时间的数据(单位：小时)
甲班 30 31 32 32.5 34 35 36； 乙班 30 32 33 35.5 37 39 39.5； 丙班 30 30 31 33.5 39 40. (Ⅰ)试估算每一个班的学生数；
(Ⅱ)设抽取的这20位学生睡眠时间的平均数为x .若在丙班抽取的6名学生中，再随机选取3人作进一步地调查，求选取的这3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的概率.
20.(本小题满分12分)
设椭圆:E 22
221x y a b
+=(0a b >>)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线交椭圆于A ，B 两点，若
椭圆E ，2ABF ∆的周长为(Ⅰ)求椭圆E 的方程；
(Ⅱ)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB 的直线交椭圆E 于点C ，D ，设弦AB ，CD 的中点分别为M N ，，证明：O M N ，，三点共线.
21.(本小题满分12分)
已知函数()()11ln x f x e a x x -=--+(a R e ∈，是自然对数的底数).
(Ⅰ)设()()g x f x '=(其中()f x '是()f x 的导数)，求()g x 的极小值；
(Ⅱ)若对[)1x ∈+∞，
，都有()1f x ≥成立，数a 的取值围.
请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.
22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为cos sin x y α
α=⎧⎨=⎩
(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极
轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为=2cos ρθ.
(Ⅰ)求1C 、2C 交点的直角坐标；
(Ⅱ)设点A 的极坐标为3π⎛⎫
⎪⎝⎭
4，，点B 是曲线2C 上的点，求AOB ∆面积的最大值.
23.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲
设函数()1f x x =+.
(Ⅰ)若()22f x x +>，数x 的取值围；
(Ⅱ)设()()()g x f x f ax =+(1a >)，若()g x 的最小值为12
，求a 的值.
市2019届高三第一次教学质量检测数学试题(文科)
参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13.[-1，6] 14.
9
16
15.()41n n + 16.3 三、解答题：
17.(本小题满分12分)
(Ⅰ)由已知可得()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()sin 2sin 2sin 233h x x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
令222232
k x k k Z πππ
ππ-+≤-≤+∈，，解得51212k x k k Z ππππ-+≤≤
+∈，. ∴函数()h x 的单调递增区间为()5 1212k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分
(Ⅱ)由163g πα⎛
⎫+= ⎪⎝⎭得21sin 2sin 26333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦
， ∴1sin 233πα⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，即()13h α=-. …………………………12分
18.(本小题满分12分)
(Ⅰ)取CD 的中点为M ，连结EM ，BM . ∵BCD ∆为等边三角形，∴BM CD ⊥. ∵120BAD ∠=o ，AD AB =， ∴30ADB ∠=o ，
∴AD CD ⊥，∴//BM AD .
又∵BM ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ， ∴BM ∥平面PAD .
∵E 为PC 的中点，M 为CD 的中点，∴EM ∥PD . 又∵EM ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ， ∴EM ∥平面PAD .
∵EM BM M =I ，∴平面BEM ∥平面PAD .
又∵BE ⊂平面BEM ，∴BE ∥平面PAD . …………………………5分 (Ⅱ)连结AC 交BD 于O ，连结PO . ∵CB CD AB AD ==，， ∴AD BD ⊥.O 为BD 的中点.
又∵120BAD ∠=o ，23BD =，PBD ABD ∆∆≌，∴1AO PO ==. 又∵2PA =，∴222PA PO OA =+，∴PO OA ⊥.
又∵PO BD ⊥，∴PO ⊥平面ABD ，即四棱锥P ABCD -的高为=1PO ，
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
A
C
D
D
D
C
B
C
A
A
∴四棱锥P ABCD -
的体积(
2
111132V ⎫=⨯+⨯⨯=⎪⎪⎝⎭
. …………………………12分
19.(本小题满分12分)
(Ⅰ)甲班：71404920⨯=(人)，乙班71404920⨯=(人)，丙班6
1404220
⨯=(人). ……………5分
(Ⅱ)34x =.
设事件A =“3名学生睡眠时间既有多于x 、又有少于x 的学生”.丙班睡眠时间少于x 的有4人，设为1234A A A A ，，，，多于x 的有2人，设为12B B ，.从这6名学生中随机选取3人的基本事件共有20种，而不满足条件的基本事件(3人睡眠时间都低于x )有123124134234,,,A A A A A A A A A A A A 共4种情况，所以满足条件的基本事件数为16种，164
()205
P A =
=，即在丙班被抽取的6名学生中，再随机地选取3人作进一步地调查，选取的3人睡眠时间既有多于x 、又有少于x 学生的概率为4
5
.……………………12分
20.(本小题满分12分)
(Ⅰ)
由题意知，4a a ==.
又∵e =
，∴c =
b = ∴椭圆E 的方程为22
163
x y +=. …………………………5分
(Ⅱ)易知，当直线AB CD 、的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M N ，在x 轴上，O M N ，，三点共线；
当直线AB CD ，的斜率存在时，设其斜率为k ，且设()()()112200A x y B x y M x y ，，，，，.
联立方程得22
1122
221631
6
3x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得2222112206363x y x y ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭， ∴()()()()2222
1212121
212126363
x x x x y y y y x x y y -+-+--=-=-， ， ∴1212121236y y y y x x x x -+⋅=--+，0121203
6
y y y x x x -⋅=--，即12OM k k ⋅=-，
∴1
2OM k k
=-
. 同理可得1
2ON k k
=-
，∴OM ON k k =，所以O M N ，，三点共线. ………………………12分
21.(本小题满分12分)
(Ⅰ)()()()110x g x f x e a x x -'==+->，()121
x g x e x -'=-.
令()()()1210ϕ-'==->x x g x e x x ，∴()132
0ϕ-'=+>x x e x
，
∴()g x '在()0+∞，
上为增函数，()10g '=. ∵当()0 1x ∈，
时，()0g x '<；当()1x ∈+∞，时，()0g x '>， ∴()g x 的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为()1+∞，
， ∴()()12g x g a ==-极小. …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()f x '在()1+∞，
上单调递增，在(0，1)上单调递减，
∴()()12f x f a ''≥=-.
当2a ≤时，()0f x '≥，()f x 在[)1+∞，
上单调递增，()()11f x f ≥=，满足条件； 当2a >时，()120f a '=-<.
又∵()ln 11
ln 10ln 1ln 1
a f a e a a a '+=-+
=>++，∴()01 ln 1x a ∃∈+，
，使得()00f x '=， 此时，()01x x ∈，，()0f x '<；()0 ln 1x x a ∈+，
，()0f x '>， ∴()f x 在()01x ，上单调递减，()01x x ∈，，都有()()11f x f <=，不符合题意.
综上所述，实数a 的取值围为(] 2-∞，
. ………………………12分
22.(本小题满分10分)
(Ⅰ)221:1C x y +=，2:=2cos C ρθ，∴2=2cos ρρθ，∴222x y x +=.
联立方程组得2
2
22
1
2x y x y x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩
，解得111 2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，221 2x y ⎧
=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
∴所求交点的坐标为12⎛ ⎝⎭
，1 2⎛ ⎝⎭
，.………………………5分 (Ⅱ)设()B ρθ，，则=2cos ρθ，
∴AOB ∆的面积11sin 4sin 4cos sin 22
33S OA OB AOB ππρθθθ⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅∠=⋅-=-
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2cos 26πθ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
∴当2312
π
θ=
时，max 2S =. ………………………10分
23.(本小题满分10分)
(Ⅰ)()22f x x +>，即1>22x x +-⇔1>22x x +-或122x x +<-1
3
x ⇔>或3x >，
∴实数x 的取值围是1 3⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
，. ………………………5分
(Ⅱ)∵1a >，∴11a -<-，∴()()()()()121111112a x x g x a x x a a x x a ⎧
⎪-+-∈-∞-⎪⎪⎡
⎤=-∈--⎨⎢⎥⎣⎦⎪
⎪⎛⎫
++∈-+∞⎪ ⎪⎝⎭⎩
，，
， ，，，，
易知函数()g x 在1x a ⎛
⎫∈-∞- ⎪⎝
⎭，时单调递减，在1x a ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭，
时单调递增， ∴()min 111g x g a a ⎛⎫
=-=- ⎪⎝⎭
.
∴11
12a -=，解得2a =. ………………………10分。