高中数学选修2-2《数学归纳法》说课设计
数学归纳法-北师大版选修2-2教案
数学归纳法-北师大版选修2-2教案一、教学目标1.了解数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题；3.能够理解和应用数学归纳法解决实际问题。
二、教学内容1.数学归纳法的概念与特点；2.数学归纳法的推广和严密化；3.数学归纳法的应用。
三、教学重点1.数学归纳法的概念与特点；2.能够使用数学归纳法证明简单的命题。
四、教学难点1.数学归纳法的推广和严密化；2.数学归纳法的应用。
五、教学方法1.观察与讨论法：通过生动的例子，引导学生认识和理解数学归纳法的基本概念和特点；2.讲授与演示法：通过讲授和演示归纳法的具体步骤，使学生掌握如何运用归纳法证明命题；3.练习与探究法：通过练习和探究，让学生掌握数学归纳法的应用技巧。
第一步：引入1.引入数学归纳法的基本概念；2.通过实际例子，引导学生理解数学归纳法的重要性。
第二步：讲解1.讲解数学归纳法基本的步骤；2.分析数学归纳法的特点，包括归纳假设、基本步骤、归纳证明、结论；第三步：演示1.带领学生完成归纳法的几个简单例子，让学生深入掌握归纳法的基本操作；2.带领学生完成一道较为复杂的归纳证明练习，让学生掌握归纳法的应用技巧。
第四步：练习1.让学生分组自主练习归纳法的应用；2.教师辅助解答学生的问题。
第五步：总结1.对本节课所学的内容进行总结；2.强调数学归纳法在理解和应用中的重要性。
七、教学评价1.课堂参与度（20%）：检测学生是否认真听讲、积极互动，师生互动是否频繁；2.练习与应用（40%）：检测学生掌握归纳法的技巧和应用能力；3.课堂表现（40%）：检测学生是否能够在课上正确展现自己的学习成果。
通过本节课的教学，我发现学生对于数学归纳法的概念和特点有了更加深入的理解和认识。
同时，在练习中也发现了一些问题，比如有些学生在归纳证明中容易犯错，需要加强指导和训练。
因此，在教学中需要更加强化实践，多引入真实案例来加强学生对归纳法的认识和理解，同时通过练习和探究来让学生得到更好的应用和提高。
选修2-2 2.3.1数学归纳法教案
设计意图： 通过从不同的角度审视， 更有利于学生全面地了解数学归纳法的本质。 （四）方法的应用 例 1 用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，则 an=a1+(n-1)d 对于一切
n∈ N*都成立。（学生板书，教师在教室走动看同学们对数学归纳法的掌握情况 及做题规范）注：张老师建议将本例题换成 1²+2²+3²+.+n²=n（n+1)（2n+1）/6 证明: (1)当 n=1 时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1,
五、教学方法
本节课采用类比启发探究式教学方法，以学生及其发展为本，一切从学生出 发。在教师组织启发下，通过创设问题情境，激发学习欲望。师生之间、学生之 间共同探究多米诺骨牌倒下的原理，并类比多米诺骨牌倒下的原理，探究数学归
纳法的原理、步骤；培养学生归纳、类比推理的能力，进而应用数学归纳法，证 明一些与正整数 n 有关的简单数学命题；提高学生的应用能力，分析问题、解决 问题的能力。既强调独立思考，又提倡团结合作；既重视教师的组织引导，又强 调学生的主体性、主动性、平等性、交流性、开放性和合作性。
在应用数学归纳法时，第一步中的起点 1 可以恰当偏移(如取 k=n0)，那么由 第二步，就可证明命题对 n=n0 以后的每个正整数都成立;而第二步的递推方式也 可作灵活的变动， 如跳跃式前进等，但必须保证第一步中必须含有实现第二步递 推时的基础. 数学归纳法名为归纳法， 实质上与归纳法毫无逻辑联系.按波利亚的说法 “这 个名字是随便起的”.归纳法是一种以特殊化和类比为工具的推理方法，是重要 的探索发现的手段，是一种似真结构；而数学归纳法是一种严格的证明方法，一 种演绎法，它的实质是如庞加莱所说“把无穷的三段论纳入唯一的公式中”，它 得到的结论是真实可靠的.在皮亚诺提出“自然数公理”后，数学归纳法以归纳 公理为理论基础，得到了广泛的确认和应用.而自然数中的“最小数原理”，则 从反面进一步说明了数学归纳法证题的可靠性. 数学归纳法虽不是归纳法，但它与归纳法有着一定程度的关联.在数学结论 的发现过程中， 往往先通过对大量个别事实的观察， 通过归纳形成一般性的结论， 最终利用数学归纳法的证明解决问题.因此可以说论断是以试验性的方式发现的， 而论证就像是对归纳的一个数学补充，即“观察”+“归纳”+“证明”=“发现”.
高中数学2.3数学归纳法教学设计新人教B版选修2_2
数学归纳法教学设计课标分析数学归纳法是高中数学选修2-2第二章《推理与证明》中介绍的证明的最后一种方法，在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理）的基础上，又有必修五数列中递推数列的底子，这一部分是归纳法知识的螺旋式上升的升华与最终成果。
这一节要求学生明白数学归纳法的原理，会使用数学归纳法证明一些与自然数有关的简单问题。
教材分析这一节分两个小节，第一小节主要介绍数学归纳法的基本思想及其实施步骤，并在证明等式的过程中简单应用；下一节要在证明不等式问题（用到放缩法）、证明整除问题及几何等问题中显示其巨大的威力。
本课选取第一小节，主要为学生介绍清晰数学归纳法的思想及实施步骤，使学生明白其原理，并会简单操作，证明等式问题。
其中为了帮助学生理解数学归纳法，本课借助了多米诺骨牌等学生比较熟悉的例子引入，主要为学生阐述明白递推这一难于理解的原理。
应用举例主要选取学生比较熟悉的自然数的一些运算公式用数学归纳法加以证明，主要让学生熟悉操作步骤。
并为下一节的深化应用做好准备和铺垫。
学情分析学生们在前一节学过的归纳推理（不完全归纳法推理），又有必修五数列中递推数列对于递推的理解做基础，应该说有一定的理解的基础。
但本节课的主要精力还是放在对数学归纳法原理（尤其是递推关系）的阐述上，使学生知其然，知其所以然。
学习目标：1.通过学习过的归纳推理及几个例子，弄明白数学归纳法的证明原理（重点）2.通过几个证明问题，梳理清楚数学归纳法的一般实施步骤，并会证明等式恒成立问题（难点）目标达成：1.通过思考1、2、3、4完成目标1的达成2.通过思考5、6、7及例1、例2，当堂检测1、2完成目标2的达成 教学设计 新课讲授： 概念形成：问题思考：已知11a =且*121()n n a a n N +=+∈，求通项公式n a .解:∵11a =∴21212113a a =+=⨯+= 32212317a a =+=⨯+= 432127115a a =+=⨯+= 5421215131a a =+=⨯+= … … …∴所求通项公式为*21()n n a n N =-∈以上推测正确吗？在使用归纳法探究数学命题时，必须对任何可能的情况进行论证后，才能判别命题正确与否。
高中数学选修2-2教学设计11：2.3 数学归纳法教案
2.3 数学归纳法(二)教学目标 1.进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题.2.掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等.知识链接1.数学归纳法的两个步骤有何关系？答 使用数学归纳法时，两个步骤缺一不可，步骤(1)是递推的基础，步骤(2)是递推的依据.2.用数学归纳法证明的问题通常具备怎样的特点？答 与正整数n 有关的命题.教学引导数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数有关的数学命题；(2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可；(3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设.课堂讲义要点一 用数学归纳法证明不等式问题例1 用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n(n ≥2，n ∈N *). 证明 (1)当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12. 因为14<12，所以不等式成立. (2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k 2<1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2<1－1k ＋1(k ＋1)2＝1－(k ＋1)2－k k (k ＋1)2＝1－k 2＋k ＋1k (k ＋1)2<1－k (k ＋1)k (k ＋1)2 ＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立.综上所述，对任意n ≥2的正整数，不等式都成立.规律方法 用数学归纳法证明不等式时常要用到放缩法，即在归纳假设的基础上，通过放大或缩小等技巧变换出要证明的目标不等式.跟踪演练1 用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ，不等式⎝⎛⎭⎫1＋13 ⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋12成立. 证明 (1)当n ＝2时，左＝1＋13＝43，右＝52，左>右， ∴不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥2且k ∈N *)时，不等式成立，即⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1>2k ＋12， 那么当n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12(k ＋1)－1 >2k ＋12·2k ＋22k ＋1＝2k ＋222k ＋1＝4k 2＋8k ＋422k ＋1>4k 2＋8k ＋322k ＋1＝2k ＋3·2k ＋12·2k ＋1＝2(k ＋1)＋12， ∴n ＝k ＋1时，不等式也成立.由(1)(2)知，对一切大于1的自然数n ，不等式都成立.要点二 用数学归纳法证明整除性问题例2 用数学归纳法证明：f (n )＝(2n ＋7)·3n ＋9能被36整除.证明 ①当n ＝1时，f (1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除.②假设n ＝k (k ∈N *)时，f (k )能被36整除，即(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除，则当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝[2(k ＋1)＋7]·3k ＋1＋9＝3[(2k ＋7)·3k ＋9]＋18(3k －1－1)，由归纳假设3[(2k ＋7)·3k ＋9]能被36整除，而3k －1－1是偶数，所以18(3k －1－1)能被36整除，所以f (k ＋1)能被36整除.由①②可知，对任意的n ∈N *，f (n )能被36整除.规律方法 应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n ＝k 时的项从n ＝k ＋1时的项中“硬提出来”，构成n ＝k 的项，后面的式子相对变形，使之与n ＝k ＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的.跟踪演练2 用数学归纳法证明62n －1＋1(n ∈N *)能被7整除.证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，且k ≥1)时，62k －1＋1能被7整除.那么当n ＝k ＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1 ＝36(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除.由(1)，(2)知命题成立.要点三 用数学归纳法证明几何问题例3 用数学归纳法证明凸n 边形的对角线有12n (n －3)条. 证明 (1)当n ＝3时，12n (n －3)＝0，这就说明三角形没有对角线，故结论正确. (2)假设当n ＝k (k ≥3，k ∈N *)时结论正确，即凸k 边形的对角线有12k (k －3)条， 当n ＝k ＋1时，凸(k ＋1)边形是在k 边形基础上增加了一边，增加了一个顶点，设为A k ＋1，增加的对角线是顶点A k ＋1与不相邻顶点的连线再加上原k 边形一边A 1A k ，共增加了对角线的条数为k －2＋1＝k －1.∴f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1 ＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3] 故当n ＝k ＋1时命题成立.由(1)(2)知，对任意n ≥3，n ∈N *，命题成立.规律方法 用数学归纳法证明几何问题，关键在于分析由n ＝k 到n ＝k ＋1的变化情况，即分点(或顶点)增加了多少，直线的条数(或划分区域)增加了几部分等，或先用f (k ＋1)－f (k )得出结果，再结合图形给予严谨的说明，几何问题的证明：一要注意数形结合；二要注意要有必要的文字说明.跟踪演练3 平面内有n (n ∈N *，n ≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，求证交点的个数f (n )＝n (n －1)2. 证明 (1)当n ＝2时，两条直线的交点只有一个，又f (2)＝12×2×(2－1)＝1， ∴当n ＝2时，命题成立.(2)假设当n ＝k (k ∈N *，k ≥2)时命题成立，即平面内满足题设的任何k 条直线的交点个数f (k )＝12k (k －1)， 那么，当n ＝k ＋1时，任取一条直线l ，除l 以外其他k 条直线的交点个数为f (k )＝12k (k －1)， l 与其他k 条直线交点个数为k ，从而k ＋1条直线共有f (k )＋k 个交点，即f (k ＋1)＝f (k )＋k ＝12k (k －1)＋k ＝12k (k －1＋2)＝12k (k ＋1) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－1]， ∴当n ＝k ＋1时，命题成立.由(1)，(2)可知，对任意n ∈N *(n ≥2)命题都成立.要点四 归纳—猜想—证明例4 在数列{a n }，{b n }中，a 1＝2，b 1＝4，且a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列(n ∈N *).(1)求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测{a n }，{b n }的通项公式，并证明你的结论；(2)证明：1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜512. (1)解 由条件得2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n b n ＋1.由此可以得a 2＝6，b 2＝9，a 3＝12，b 3＝16，a 4＝20，b 4＝25.猜测a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2.用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上可得结论成立.②假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立.即a k ＝k (k ＋1)，b k ＝(k ＋1)2，那么当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝2b k －a k ＝2(k ＋1)2－k (k ＋1)＝(k ＋1)(k ＋2)＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1]，b k ＋1＝a 2k ＋1b k＝(k ＋2)2＝[(k ＋1)＋1]2， 所以当n ＝k ＋1时，结论也成立.由①②，可知a n ＝n (n ＋1)，b n ＝(n ＋1)2对一切正整数都成立.(2)证明 1a 1＋b 1＝16＜512. n ≥2时，由(1)知a n ＋b n ＝(n ＋1)(2n ＋1)＞2(n ＋1)n .故1a 1＋b 1＋1a 2＋b 2＋…＋1a n ＋b n ＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×3＋13×4＋…＋1n (n ＋1) ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1 ＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1n ＋1＜16＋14＝512. 综上，原不等式成立.规律方法 探索性命题是试题中经常出现的一种题型，此种问题未给出问题的结论，往往需要由特殊情况入手，归纳、猜想、探索出结论，然后再对探索出的结论进行证明，而证明往往用到数学归纳法.这类题型是考试热点之一，对培养创造性思维具有很好作用. 跟踪演练4 设数列 {a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解 (1)由题意知S 2＝4a 3－20，∴S 3＝S 2＋a 3＝5a 3－20.又S 3＝15，∴a 3＝7，S 2＝4a 3－20＝8.又S 2＝S 1＋a 2＝(2a 2－7)＋a 2＝3a 2－7，∴a 2＝5，a 1＝S 1＝2a 2－7＝3.综上知，a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)由(1)猜想a n ＝2n ＋1，下面用数学归纳法证明.①当n ＝1时，结论显然成立；②假设当n ＝k (k ≥1)时，a k ＝2k ＋1，则S k ＝3＋5＋7＋…＋(2k ＋1)＝k [3＋(2k ＋1)]2＝k (k ＋2).又S k ＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，∴k (k ＋2)＝2ka k ＋1－3k 2－4k ，解得2a k ＋1＝4k ＋6，∴a k ＋1＝2(k ＋1)＋1，即当n ＝k ＋1时，结论成立.由①②知，∀n ∈N *，a n ＝2n ＋1.当堂检测1.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A.1＋12<2 B.1＋12＋13<2 C.1＋12＋13<3 D.1＋12＋13＋14<3 [答案]B[解析]∵n >1且n ∈N *，∴n 取的第一个值n 0＝2.∴第一步应验证：1＋12＋13<2，选B. 2.用数学归纳法证明“当n 为正奇数时，x n ＋y n 能被x ＋y 整除”时，第一步验证n ＝1时，命题成立，第二步归纳假设应写成( )A.假设n ＝2k ＋1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋3时命题正确B.假设n ＝2k －1(k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝2k ＋1时命题正确C.假设n ＝k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确D.假设n ≤k (k ∈N *)时命题正确，再推证n ＝k ＋2时命题正确[答案]B[解析]因n 为正奇数，所以否定C 、D 项；当k ＝1时，2k －1＝1,2k ＋1＝3，故选B.3.用数学归纳法证明3n ≥n 3(n ≥3，n ∈N *)第一步应验证________.[答案]n ＝3时是否成立[解析]n 的最小值为3，所以第一步验证n ＝3时是否成立.4.用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，在第二步证明从n ＝k 到n ＝k ＋1不等式成立时，左边增加的项数为________.[答案]2k[解析]项数为2k ＋1－2k ＝2k .。
数学人教版高中二年级选修2 《数学归纳法》教学设计
《数学归纳法》教学设计人民教育出版社A版教科书数学选修2-2第二章第三节【教材分析】1、教学内容：数学归纳法是人教社全日制普通高级中学教科书数学选修2-2第二章第3节的内容，根据课标要求，本书该节共2课时，这是第一课时，其主要内容是数学归纳法的原理及其应用。
2、地位作用：在已经学习了不完全归纳法的基础上，介绍了数学归纳法，它是一种用于关于正整数命题的直接证法。
教材通过剖析生活实例中蕴含的思维过程揭示数学思想方法，即借助“多米诺骨牌”的设计思想，揭示数学归纳法依据的两个条件及它们之间的关系。
【教学目标】1、知识与技能：（1）了解归纳法，理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤。
（2）会用数学归纳法证明简单的与正整数有关的命题。
2、过程与方法：努力创设课堂愉悦的情境，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围，积极参与，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会类比的数学思想。
3、情感、态度与价值观：通过本节课的教学，使学生领悟数学思想和辩证唯物主义观点，激发学生学习热情，提高学生数学学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意见和数学交流能力。
【教学重点】借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，运用它证明一些简单的与正整数n（n取无限多个值）有关的数学命题。
【教学难点】（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明。
（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系。
【教学方法】运用类比启发探究的数学方法进行教学；【教学手段】借助多媒体播放人的多米诺骨牌视频；学生动手参与多米诺骨牌游戏等生活素材辅助课堂教学；【教学程序】第一阶段：回顾复习，课前准备复习1：类比推理及其一般步骤1、类比推理是由特殊到特殊的推理。
2、类比推理一般步骤：（1）观察、比较（2）联想、类推（3）猜想新结论复习2：归纳推理归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．（回顾复习类比推理和归纳推理目的是为数学归纳法推理的奠定基础。
人教版高中数学选修(2-2)-2.3《数学归纳法(第1课时)》参考教案
2.3 数学归纳法（1）【学习目标】1. 了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤;2. 能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写;3. 数学归纳法中递推思想的理解.【教学设计】一、导学新知1．在数列{}n a 中，*111,,()1n n na a a n N a +==∈+，先算出a 2，a 3，a 4的值，再推测通项a n 的公式.2．2()41f n n n =++，当n ∈N 时，()f n 是否都为质数？二、探究展示探究任务：数学归纳法问题：在多米诺骨牌游戏中,能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么?新知：数学归纳法两大步：（1）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立;（2）归纳递推：假设n =k （k ≥n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立.原因：在基础和递推关系都成立时，可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.试试：你能证明数列的通项公式1n a n=这个猜想吗?反思：数学归纳法是一种特殊的证明方法,主要用于研究与正整数有关的数学问题.关键：从假设n =k 成立，证得n =k +1成立.三、精讲点拨例1 用数学归纳法证明2222*(1)(21)123,6n n n n n N ++++++=∈变式：用数学归纳法证明2*1427310(31)(1),n n n n n N ⨯+⨯+⨯+++=+∈小结：证n =k +1时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例2 用数学归纳法证明:首项是1a ,公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-,前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+.。
高中数学(北师大版)选修2-2教案：第1章 数学归纳法 第二课时参考教案
数学归纳法一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理与实质。
2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归纳法”证明简单的与自然数有关的命题。
3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。
4、努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。
5、通过对例题的探究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。
二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用。
三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程(一)、复习：1、数学归纳法:对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(k N*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法2、数学归纳法的基本思想：即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N*)时，命题成立.(这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n 0的正整数n 0+1，n 0+2，…，命题都成立.3、用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：(1)证明：当n 取第一个值n 0结论正确；(2)假设当n=k(k ∈N *，且k ≥n 0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确. 由(1)，(2)可知，命题对于从n 0开始的所有正整数n 都正确（二）、探究新课例1、求证：333)2()1(++++n n n 能被9整除，+∈N n 。
证明：（1）当n=1时，36)21()11(1333=++++，36能被9整除，命题成立；（2）假设n ＝k(k ≥1)时，命题成立，即333)2()1(++++k k k 能被9整除。
高中数学新湘教版精品教案《湖南教育出版社高中数学选修2-2 6.3 数学归纳法》
教学设计上杭一中游华秀【教学内容剖析】《数学归纳法》是湘教版选修教材2—2第六章第三节内容，本节课是第一课时。
前面学生已经学习了推理与证明的各种方法，必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法。
数学归纳法亮点就在于，通过有限个步骤的推理，证明n取无限多个正整数的情形，这也是无限与有限辨证统一的体现。
并且，本节内容是培养学生严谨的推理能力、训练学生的抽象思维能力、体验数学内在美的很好的素材。
【教学目标确定】1、知识和技能1 了解数学归纳法的原理；2 掌握数学归纳法证题的两个步骤和一个结论的模式；3 会用数学归纳法证明一些简单的数学命题。
2、过程与方法通过多米诺骨牌实验引出数学归纳法的原理，使学生体验由实践向理论过度的过程。
在学习中培养学生探索发现问题、提出问题的意识，解决问题和数学交流的能力，学会用总结、归纳、演绎类比探求新知识。
3情感态度价值观通过对问题的探究活动，亲历知识的构建过程，领悟其中所蕴涵的数学思想；体验探索中挫折的艰辛和成功的快乐，感悟“数学美”，激发学习热情，培养多思勤练的好习惯和勇于探索的治学精神。
进一步形成正确的数学观，创新意识和科学精神。
【教学重点和难点】根据教学大纲的要求、本节课内容特点和学生现有知识水平，本节课知识的重点和难点制定如下：教学重点：（1）使学生理解数学归纳法的实质。
（2）掌握数学归纳法证题步骤,尤其是递推步骤中归纳假设和恒等变换的运用教学的难点：（1）学生不易理解数学归纳法的思想实质，具体表现在不了解第二个步骤的作用，不易根据归纳假设作出证明；（2）运用数学归纳法时，在“归纳递推”的步骤中发现具体问题的递推关系．因此，用数学归纳法证明命题的关键在第二步，而第二步的关键在于合理利用归纳假设．如果不会运用“假设当时，命题成立”这一条件，那实际上就是不会运用数学归纳法。
为突破以上教学难点，通过问题的转化，进而把无限的验证转化为对两个命题：“（1）当时，命题成立；（2）假设时，命题成立，求证：当时命题成立”的证明，而且在第二个命题的分析中强调条件的存在与用途，从而突破数学归纳法第二步中证明命题的难点．【教学条件支持】利用视频动态地演示多米诺骨牌游戏，从中体会并理解“归纳奠基”和“归纳递推”，知道只有把“归纳奠基”与“归纳递推”结合起来，才能完成数学归纳法的证明过程，理解数学归纳法的证明步骤．【教学过程设计】一、问题导入在多米诺骨牌游戏过程中，体会所有骨牌都倒下，第1块骨牌必须倒下，这是基础，也是前提条件在多米诺骨牌游戏过程中，第块骨牌倒下，是后一块骨牌倒下的保证，这就是多米诺骨牌游戏的连续性和传递性．问题：数学归纳法与多米诺骨牌有怎样的相似之处呢？探究一：多米诺骨牌都倒下的关键点是什么？（1）使第一张牌能倒下；（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。
高二数学选修2-2《数学归纳法(1)》教案
课题：数学归纳法（1）教学目标：1．理解数学归纳法的概念，掌握数学归纳法的证明步骤． 2．通过数学归纳法的学习，体会从特殊到一般的思想方法．教学重点：掌握数学归纳法的原理及证明问题的方法． 教学难点：数学归纳法中（利用归纳假设）证明归纳递推．教学过程： 一、问题引入1．问题情境：很多同学小时候都玩过这样的游戏，就是一种码放砖头的游戏，码放时保证任意相邻的两块砖头，若前一块砖头倒下，则一定导致后一块砖头也倒下，这样只要推倒第一块砖头就会导致全部砖头都倒下（这种游戏称为多米诺骨牌游戏）．思考 这个游戏中，能使所有砖头全部倒下的条件是什么？ 只要满足以下两个条件，所有的砖头都能倒下： （1）推倒第一块砖头；（2）保证前一块砖头倒下后一定能击倒下一块砖． 思考 你认为条件（2）的作用是什么？确保所有的砖头都能倒下，使得游戏能够进行下去思考 如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？ 若数列{}0()n n a a n N >∈+中，，前n 项和为nn n n a a S S 12,+=且，求它的通项公式。
思考：计算可得12341,1,2a a a a ====猜想：n a =但这种根据前几项得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．要证明这个猜想，同学们自然就会从n ＝5开始一个个往下验证，当n 较小时可以逐个验证，但当n 较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n 取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n 取所有正整数都成立．思考？你认为证明数学的通项公式是n a =，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？1k a +=证明：（1） ．当n=1时，11a ==，成立 （2）假设，假设()*1,n k k k N =≥∈时，k a =则当1n k =+时，11111112k k k k k kk a S S aa a a ++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=+-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以1111k k k k a a a a++-=--==-，所以21110k k a +++-=，其中△()4441k k =+=+，于是12k a +-==10k a +>，所以1k a +=即当1n k =+时结论成立；由（1）（2）得)n a n N +=∈.二、知识生成数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据。
高二数学苏教版选修2-2教学案第2章7数学归纳法(二)
江苏省泰兴中学高二数学讲义（）
数学归纳法（二）
【教学目标】
.了解数学归纳法在证明不等式、整除、几何等问题中的简单应用；
.进一步体会“归纳－猜想－证明”在数学解题中的作用.
【预习导引】
.用数学归纳法证明时，由到，不等式左端变化是增加两数，减少一数.
.用数学归纳法证明时，第一步即证不等式
..用数学归纳法证明: 设,求证:
【典型例题】
例1已知，求证：
例2设
（）当，，，时，计算（）的值；
（）你对（）的值有何猜想，用数学归纳法证明你的猜想.
例3在平面上画条直线，且任何两条直线都相交，其中任何三条都不共点，
问：这条直线将平面分成多少个部分？
变：设个半圆的圆心在同一条直线上，这个半圆每两个都相交，且都在的同侧，问：这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？
选讲
已知△的三边长都是有理数.
（1）求证是有理数；（）求证：对任意正整数，是有理数.。
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（二）探题，创造新知
设问1： 等于多少？为什么？ 呢？大家有什么发现，有什么困难？
强化两个条件．
明白 的意思．
深化递推原理的理解，强调证 时，须将假设结论作为条件，参与证明．防止出现＂伪数学归纳法证明＂．
（学生活动）通过交流，争论，梳理出结论．
只要满足两个条件，所有的多米诺骨牌都倒下
(1)第一块骨牌倒下；
(2)任意一块倒下，一定导致相邻的下一块倒下．
通过类比，学生会发现仅由设问2，还不能证明猜想正确．
设问4：类比设问3的结论，写出完整的证明过程．
多米诺骨牌效应
通项公式的证明方法
（1）第一块骨牌倒下；
3．阅读自学：让学生学会有目的、带问题阅读；
4．学会用科学方法论解决问题．
说教学
程序
（一）引题，温故知新
数列 中，已知 ， ．
(1) 求 ， ， ， ．
(2) 猜想通项公式
(3) 猜想正确吗？系式，独立完成前两问．共同讨论，得出各种可能思路．
（教师活动）与学生一起分析各种思路的可行性及可能会遇到的障碍，复习归纳法及其局限性，指出为弥补归纳法的局限性，我们将学习一种新的证明方法．
（学生活动）算出 ， 后，再一起讨论，教师适度引导，会发现，如果某项满足猜想，通过递推关系式，推出下一项也会满足猜想．困难在于项数是无限的，不可能实现逐项验证．
设问2： 假设当 时，猜想正确，即 ．那么当 时， 是否正确？为什么？同学们从中发现了什么？
（师生活动）实际上，假设当 时，猜想正确，即：
则当 时，
学情分析
本课的对象为高二学生，在初中阶段及本章第一节，已经对归纳法有较深入的认识，也接触过大量的证明．而数学归纳法却完全不同，学生也许从来没有想过可以这样来说明一件事的真实性．这也叫“证明”吗？为什么证明了“两个步骤”就可以断言命题对一切自然数 都成立呢？为什么只须验证“ ”的情况呢？为什么可以“假设 时结论正确”呢？正是这些困惑, 构成了教学的难点.
数学归纳法说课设计
课题
数学归纳法
作者
说课过程
具体内容
设计意图及时间分配
说教材
说课内容
人教版普通高中课程标准实验教科书
数学选修2—2第二章 推理与证明 第三节 数学归纳法
教材分析
数学归纳法是数学中重要而基本的方法．但对初学这一内容的学生而言，却是一个陌生的课题．理解数学归纳法的无穷递推的实质，就成为教学的关键．教材通过类比多米诺骨牌效应，得到数学归纳法的证明方法．但本人认为有两方面的不足：一是这样的处理看似自然，但没有处理好“数学归纳法怎么发生？”这个问题；二是这样的处理易使学生的证明流于形式，出现“伪数学归纳法”．
3．用数学归纳法证明等式 成立的过程中， 第二步的如下证法是否正确．为什么？
（２）假设当 时等式成立，
即 ，
则当 时，
，
即当 时命题也成立，
4．用数学归纳法证明
（师生活动）学生可以独立完成，也可以与同桌讨论完成．教师巡堂，参与学生的讨论，解决学生的疑问．
（五）看书质疑，解答疑问
（六）总结与作业
总结：
（1）（归纳奠基）证明当 取第一个值 时命题成立；
（2）（归纳递推）假设当 时命题成立，
证明当 时命题也成立．
综上(1)，(2)，知对任意的正整数 ，命题都成立．
（师生活动）上述概念由学生总结，抽象，教师给出精确，规范的表述．
（四）课堂练习，巩固新知
1．一串鞭炮全部可以燃放，须具备哪些条件？
2．用数学归纳法证明对于足够大的正整数 ，总有 ，则 的第一个值应取．
学生被抑制的思维得到充分释放，同时也更能接受＂假设当 时＂的意义．
（5分钟）
学生体会数学来自生活的同时，得到数学归纳法的第一步：＂归纳奠基＂．
学生的思维是一波未平一波又起．
（5分钟）
学生对知识的发现过程与思维活动过程都有了明朗的交待，情感上也得到充分的满足．水到渠成，这就是＂流动的课堂＂！（4分钟）
（1）当n=1时， ，猜想正确；
（2）任意一块倒下，一定导致相邻的下一块倒下．
（2）假设当 时，猜想正确，即： ，则当 时，
所以，当 时，猜想也正确．
根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．
根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都正确．
（三）点题，提炼新知．
一般地，证明一个与正整数 有关的命题，可按下列步骤进行：
教学重难点
(1)重点：数学归纳法的发生及对其原理的理解；数学归纳法的证明步骤和书写格式．
(2)难点：数学归纳法原理的理解．
说教法
采用以目标引导为主的“发现式”综合教学模式，利用多媒体辅助教学．
说学法
1．温故知新：学会寻找新旧知识的联系，运用旧知识解决新问题；
2．探索设问：让学生学会通过对设问的分析、抽象，类比，得出结论，再形成理论；
所以，当 时，猜想也正确．
接着，教师引导学生发现引入了 ，由 的任意性，实现了无限自动递推．
设问3：由设问2，是否已经证明了猜想的正确？ 请看多米诺骨牌效应的视频，如何保证所有的多米诺骨牌都倒下？ 并思考与我们研究的问题有何类似？
（教师活动）关于是否已经证明了猜想的正确性，学生在讨论中会存在争议，教师让学生先搁置争议，先看视频．
1．对象：证明与正整数有关的命题．
2．步骤：两步，缺一不可．
3．核心：无限递推，故证 时，须将假设结论作为条件，参与证明．
作业：课本第96页习题2.3 A组1(2)，2．
引导发现递推关系，但不知如何实现无限自动递推．学生思维有了突破口，但仍被抑制．（3分钟）
由 的任意性，实现了无限自动递推，得到数学归纳法的第二步：＂归纳递推＂．
教学目标
(1)知识目标：理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的两个证明步骤，初步会用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题．
(2)能力目标：在数学归纳法知识的形成过程中，在解决数学问题过程中，发现和创造数学归纳法，让学生感知科学的研究方法；同时培养学生的创新能力.
(3)情感目标：通过师生平等合作交流，让学生体会民主的氛围和团结协作的精神；在经历问题的探究过程中，激发学生的求知欲，培养学生不畏困难的意志品质．