圆锥曲线方程知识点总结

圆锥曲线方程知识点总结-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

§8.圆锥曲线方程 知识要点

一、椭圆方程.

1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段

以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2,

2,

2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+

=+

⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12

2

22

b a b

y a

x =+.

ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12

22

2

b a b x a y

=+

.

②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：

122

2

2=+

b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θ

θ

sin cos b y a x （一象限θ应是属于2

0π

θ

）.

⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±.

②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==.

⑤准线：c

a x 2±=或c a y 2

±=.

⑥离心率：)10( e a

c

e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆

)0(12222 b a b y a x =+

上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 ii.设),(00y x P 为椭圆

)0(12

22

2 b a a

y b

x =+

上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002

200201 x a ex x c

a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加

右减”.

注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222

2a b c a b d -=

和),(2

a

b c

⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF ⇒

-=+=0201,ey a PF ey a PF

⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆

)0(12

22

2 b a b y a x =+

的离心率是)(22b a c a

c

e -==

，方程t t b y a x (2

22

2=+是大于

0的参数，)0 b a 的离心率也是a

c e = 我们称此方程为共离心率的椭

圆系方程. ⑸若P 是椭圆：

12

22

2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ

=∠21PF F ，则21F PF ∆的面积为

2

tan

2θ

b （用余弦定理与a PF PF 221=+可得）. 若是双曲线，则面积为2

cot 2θ

⋅b .

二、双曲线方程.

1. 双曲线的第一定义：

以无轨迹

方程为双曲线

21212121212121,222F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==-=-=- ⑴①双曲线标准方程：

)0,(1),

0,(12

22

22

22

2 b a b x a y b a b y a x =-

=-

一般方程：)0(122 AC Cy Ax =+.

⑵①i. 焦点在x 轴上：

顶点：)0,(),0,(a a - 焦点：)0,(),0,(c c - 准线方程c a x 2±= 渐近线方程：0=±b

y

a x 或

02

22

2=-b y a x

ii. 焦点在y 轴上：

顶点：),0(),,0(a a -. 焦点：),0(),,0(c c -. 准线方程：c a y 2

±=. 渐近线方程：0=±b

x a y 或

022

2

2=-

b x a y ，参数方程：⎩⎨⎧==θ

θ

tan sec b y a x 或⎩⎨

⎧==θ

θ

sec tan a y b x .

②轴y x ,为对称轴，实轴长为2a , 虚轴长为2b ，焦距2c. ③离心率a

c e =.

④准线距c a 22（两准线的距离）；通径a

b 2

2.

⑤参数关系a

c e b a c =+=,222.

asin α,)bsin α)N 的轨迹是椭圆

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

1

2

22

2=-

b y a x

（21,F F 分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点）

“长加短减”原则：（与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号）

a

ex MF a ex MF -=+=0201 构成满足a MF MF 221=-

M a

ex F M '--='01a

ey F M a

ey F M a

ey MF

a ey MF -'-=

'+'

-='+=-=020102

01 ⑶等轴双曲线：双曲线222a y x ±=-称为等轴双曲线，其渐近线方程为x y ±=，离心率

2=e .

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的

共轭双曲线.λ=-2222b y a x 与λ-=-22

22b

y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

02

22

2=-

b

y a

x .

⑸共渐近线的双曲线系方程：

)0(2

22

2≠=-λλb y a x 的渐近线方程为

02

22

2=-b y a x 如果双曲线的

渐近线为0=±b y

a x 时，它的双曲线方程可设为(2222≠=-λλb

y a x 例如：若双曲线一条渐近线为x y 21

=且过)2

1,3(-p

解：令双曲线的方程为：)0(42

2≠=-λλy x ，代入)2

1,3(-得82x ⑹直线与双曲线的位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条； 区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；