同步优化设计2021年高中数学数学文化课后篇巩固提升含解析北师大版选择性必修第一册

数学文化
【数学文化简介】
数学不仅是一门科学,也是一种文化,即“数学文化”;数学文化是人类文化的重要组成部分,是人类精神与社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.对于数学文化,这在近几年的高考试题中有所体现.我国古代数学里有大量的实际问题,世界的数学宝库中也有很多经典的实例,同时也应了解当前的一些新科技和一些优秀科学家的杰出贡献.将数学文化融合到问题当中,这些问题同时也体现了应用性的考查,要引起学生的重视.比如在《九章算术·方田》《九章算术·商攻》《圆锥曲线论》等著作中有较多关于本册知识的典型案例.
【数学文化举例】
第一章直线与圆
1.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥(图1).若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴,桥的拱高OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图2),桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.
(图1)
(图2)
x 2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,
则(y+20.7)2=27.92,
解得y 1=7.2,y 2=-48.6(舍去).
∴|OP|=7.2.
2.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数k (k>0且k ≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中,设A (-3,0),B (3,0),动点M 满足|MA|
|MB|=2,则动点M 的轨迹围成的面积为()
A.64π
B.16π
C.4π
D.2π
M (x ,y ),
则|MA|=√(x +3)2+(y -0)2=√(x +3)2+y 2,
同理|MB|=√(x -3)2+(y -0)2=√(x -3)2+y 2,
而|MA||MB|=2,∴
√(x+3)2+y 222
=2,
化简,得3x 2-30x+27+3y 2=0,即x 2-10x+9+y 2=0,整理,得(x-5)2+y 2=42,
从而M的轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆,
∴动点M的轨迹围成的面积为4×4×π=16π.
第二章圆锥曲线
1.古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题:平面内与两定点距离的比为常数
k(k>0,且k≠1)的点的轨迹是圆,后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆x2
a +y2
b
=1(a>b>0),A,B
为椭圆的长轴端点,C,D为椭圆的短轴端点,动点M满足|MA|
|MB|
=2,△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,则椭圆的离心率为()
A.√2
3B.√3
3
C.√2
2
D.√3
2
A(-a,0),B(a,0),M(x,y).
∵动点M满足|MA|
|MB|
=2,
则√(x+a)2+y2=2√(x-a)2+y2,
化简得x-5a
32+y2=16a2
9
.
∵△MAB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴1
2×2a×4
3
a=8,1
2
×2b×1
3
a=1,
解得a=√6,b=√6
2
,
∴椭圆的离心率为√1-b2
a2=√3
2
.
2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.第九章“勾股”,讲述了勾股定理及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”.设F是椭圆
x2 a2+y2
b2
=1(a>b>0)的左焦点,直线y=√3x交椭圆于A,B两点,若|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”
“股”,则此椭圆的离心率为()
A.√3-1
B.√3
2
C.√3-1
2D.1
2
|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”, ∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.
∴A c
2,√3c
2
,
∴c2
4a2+3c2
4b2
=1,
即a2-b2
a2+3·a2-b2
b2
=4,
b2 a22+6·b2
a2
-3=0⇒b2
a2
=2√3-3,e2=1-b2
a2
=4-2√3,
∴e=√3-1.
3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()
A.a2
8ℎB.a2
4ℎ
C.a2
2ℎD.a2
ℎ
解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,该抛物线
方程可写为x2=-2py(p>0).∵该抛物线经过点a
2,-h,代入抛物线方程可得a2
4
=2hp,解得p=a2
8ℎ
,∴桥
形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a2
8ℎ
.
4.
古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径均为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC,BD),用平行于α的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线Γ的一部分,且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线Γ的离心率为()
A.2√3
3
B.√2
C.√3
D.2
r=1,母线长均为l=2,
可得圆锥的高为h=√22-12=√3,
由双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,
设双曲线的渐近线方程为y=±b
a
x,
即有b
a =√3
3
,则e=c
a
=√1+b2
a2
=√1+1
3
=2√3
3
.
第三章空间向量与立体几何
1.中国古代数学家名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”
翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍就是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图
所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF 1
2
AB,若这个刍
甍的体积为40
3
,则异面直线AB与CF所成角的余弦值为()
A.1
3B.2
3
C.√5
3D.2√2
3
CD,AB的中点M,N,连接FM,FN, 则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,
设E到平面ABCD的距离为h,
则1
2×4×h×2+1
3
×4×2×h=40
3
,
∴h=2,
∵=√16+4=2√5,
∴CF=√5+4=3,
∵CD∥AB,
∴∠FCD为异面直线AB与CF所成角, 在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,
∴cos∠FCD=9+4-9
2×3×2=1
3
.
2.我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?该问题中的羡除是指如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,且AB∥CD∥EF,两个底面为直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,CD=10尺,EF=8尺,AB,CD间的距离为3尺,CD,EF间的距离为7尺,则异面直线DF与AB所成的角的正弦值为()
A.9√130
130B.7√130
130
C.9
7D.7
9
,五面体ABCDEF 中,四边形ABFE ,ABCD ,EFCD 均为等腰梯形,
EF ∥AB ∥CD ,△ADE ,△BCF 均为直角三角形,
AD ⊥DE ,BC ⊥CF ,
CD=10,AB=6,AD=√22+32=√13,DE=CF=√12+72=5√2.
∵sin ∠DCF=7√210,∴cos ∠DCF=√2
10,
∴DF=√100+50-2×10×5√2×cos ∠DCF =√130,
∵AB ∥CD ,
∴∠CDF 是异面直线DF 与AB 所成的角,
∴cos ∠CDF=
CD 2+DF 2-CF 22×CD×DF
=
2×10×√130
=
9√130130,∴sin ∠CDF=(9√130130)=7√130
130,
∴异面直线DF 与AB 所成角的正弦值为
7√130
130
.
3.中国古代数学名著《九章算术·商攻》中,阐述:“斜解立方,得两壍堵.斜解壍堵,其一为阳马,一为鳖臑.阳马居二,鳖臑居一.”若称为“阳马”的某四棱锥如图所示,ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=3,AB=4,则PA与BC所成的角等于;PB与平面PDC所成角的正弦值等于.
底面ABCD为矩形,∴AD∥BC,则∠PAD为PA与BC所成的角,
∵PD⊥平面ABCD,
∴PD⊥AD,
在Rt△PDA中,∵PD=AD,∴∠PAD=45°,即PA与BC所成的角等于45°.
∵PD⊥平面ABCD,PD⊂平面PDC,则平面PDC⊥平面ABCD,
又平面ABCD∩平面PDC=DC,AD⊥DC,可得AD⊥平面PDC,
又AD∥BC,∴BC⊥平面PDC,
∴∠BPC是PB与平面PDC所成的角,
∵PD=3,DC=4,∴PC=5,
又BC=3,∴PB=√32+52=√34.
∴sin∠BPC=BC
PB =
√34
=3√34
34
.
°3√34
34
4.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有仓,广三丈,袤四丈五尺,容粟一万斛,问高几何?”其意思为:“今有一个长方体(记为ABCD-A1B1C1D1)的粮仓,宽3丈(即AD=3丈),长4丈5尺(即AB=4.5丈),可装粟一万斛,问该粮仓的高是多少?”已知1斛粟的体积为
2.7立方尺,一丈为10尺,则下列判断正确的是.(填写所有正确结论的编号)
①该粮仓的高AA1是2丈;
②异面直线AD与BC1所成角的正弦值为3√13
13
;
③长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的表面积为133
4
π平方丈.
ABCD-A1B1C1D1中,AD=3丈,AB=4.5丈,V=10000×2.7×10-3=27(立方丈),
粮仓的高AA1=V
AD·AB =27
3×4.5
=2(丈),①正确;
如图所示,AD∥BC,
∴∠CBC1是异面直线AD与BC1所成的角,
∴sin∠CBC1=CC1
BC1=
√22+32
=2√13
13
,②错误;
长方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的直径的平方为(2R)2=(AC1)2=22+32+4.52=33.25=133
(丈),
4
∴外接球的表面积为4πR2=133
π(平方丈),③正确.
4
综上,正确的结论是①③.
5.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,在第一卷《方田》中,将直角梯形称之为“邪田”,当直角梯形底边横放时,以“头”称其上下底,以“正从”称其高,如图(1),在“邪田”ABCD 中,E,F分别在“正从”和“下头”上,沿EF,FD,DE将图形翻折起来,使A,B,C重合为一点O.
(1)求证:OE⊥DF;
(2)若在“邪田”ABCD中,“正从”AB=4,“上头”AD=5,试求二面角O-DF-E的平面角的余弦值.
(2),依题意E,F分别为AB,BC的中点,且由AD⊥AE,BF⊥BE,得OD⊥OE,OE⊥OF,
∵OF∩OD=O,
∴OE⊥平面ODF,
∵DF⊂平面ODF,∴OE⊥DF.
(3),过D作DG⊥BC于G,则AD=5,DG=AB=4,
图(3)
∵OD=DA=DC,
∴DC=5,∴CG=3,
∵F为BC的中点,
又BF+CF=8,∴CF=4,
∴FG=1,∴DF=√17,
由(1)知OE⊥平面ODF,所以OE为平面ODF的一个法向量.
如图(4),以O为原点,在平面OED中垂直于OF的直线为x轴,OF为y轴,OE为z轴,建立空间直角坐标系,
图(4)
则F(0,4,0),E(0,0,2),设D(x,y,0),OE⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2),
则由|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=5,|FD⃗⃗⃗⃗⃗ |=√17,
联立方程组{x 2+y 2=25,
x 2+(y -4)2=17,
解得{x =4,y =3,{x =-4,y =3
舍去.
∴D (4,3,0).
设平面EFD 的一个法向量m =(a ,b ,c ),
则{m ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =4a +3b -2c =0,m ·EF
⃗⃗⃗⃗⃗ =4b -2c =0,
令a=1,得m =(1,4,8).
设所求二面角的平面角为θ,由图形知θ为锐角,
则cos θ=|cos <OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,m >|=|OE
⃗⃗⃗⃗⃗ ·m||OE ⃗⃗⃗⃗⃗ ||m|
=8
9. ∴二面角O-DF-E 的平面角的余弦值为8
9.
6.木工技艺是我国传统文化瑰宝之一,体现了劳动人民的无穷智慧.很多古代建筑和家具不用铁钉,保存到现代却依然牢固,这其中,有连接加固功能的“楔子”发挥了重要作用.如图,是一个楔子形状的直观图.其底面ABCD 为一个矩形,其中AB=6,AD=4.顶部线段EF ∥平面ABCD ,棱
EA=ED=FB=FC=6√2,EF=2,二面角F-BC-A 的余弦值为√17
17,设M ,N 是AD ,BC 的中点.
(1)证明:BC ⊥平面EFNM ;
(2)求平面BEF 和平面CEF 所成锐二面角的余弦值.
(1)证明 ∵EF ∥平面ABCD ,且EF ⊂平面EFAB ,
又平面ABCD ∩平面EFAB=AB ,
∴EF ∥AB.
又M ,N 是平行四形ABCD 两边AD ,BC 的中点,
∴MN ∥AB ,∴EF ∥MN ,
∴E ,F ,M ,N 四点共面.
∵FB=FC ,∴BC ⊥FN ,
又∵BC ⊥MN ,且{
FN ⊂平面EFNM,
MN ⊂平面EFNM,FN⋂MN =N,
∴BC ⊥平面EFNM.
(2)解 在平面EFNM 内过点F 作MN 的垂线,垂足为H ,则由第(1)问可知:BC ⊥平面EFNM ,则平面
ABCD ⊥平面EFNM ,
所以FH ⊥平面ABCD ,
又因为FN ⊥BC ,HN ⊥BC ,则二面角F-BC-A 的平面角为∠FNH.
在Rt △FNB 和Rt △FNH 中,FN=√FB 2-BN 2=√68,HN=FN cos ∠FNH=√68·
√17
17
=2, ∴FH=8,
过H 作边AB ,CD 的垂线,垂足为S ,Q ,连接FS ,FQ ,则AB ⊥SQ ,AB ⊥FH ,则AB ⊥平面FSQ ,
由第(1)问,EF ∥AB ,∴EF ⊥平面FSQ ,
∴∠SFQ 是所求二面角B-EF-C 的平面角.
在△SFQ 中,tan ∠FSQ=tan ∠FQS=8
2
=4,
∴tan ∠SFQ=tan(π-∠FSQ-∠FQS )=-
tan ∠FSQ+tan ∠FQS
1-tan ∠FSQ ·tan ∠FQS
=
8
15
,
∴cos ∠SFQ=1517,即二面角B-EF-C 的余弦值是15
17.
第五章计数原理
1.我国古代有着辉煌的数学研究成果.《周髀算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》……《缉古算经》等10部专著,有着十分丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这10部专
著中有7部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的选法为()
A.45种
B.42种
C.28种
D.16种
1部是魏晋南北朝时期专著的选法为C71C31=21(种),有2部是魏晋南北朝时期专著的选法为C72=21种,共有21+21=42(种).
2.杨辉三角如图所示,杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外,均能被行数5整除,则具有类似性质的行是()
A.第6行
B.第7行
C.第8行
D.第9行
,第6行为1615201561
第7行为172135352171
故第7行除去两端数字1以外,均能被7整除.
3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的种数是.
30的素数中和等于30的有(7,23),(11,19),(13,17),共3种.
4.桌上有十个苹果,要把这十个苹果放到九个抽屉里,无论怎样放,我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果.这一现象就是我们所说的“抽屉原理”.现已知某市一中有2 556名学生,假设没有同学在2月29号过生日,那么在一年365天中最多人过生日的那天,至少有人同时过生日.
2556÷365≈7.00274,∴在一年365天中最多人过生日的那天,至少有8人同时过生日.
5.已知大夫、不更、簪袅、上造、公士是古代五个不同爵次的官员,现皇帝将大夫、不更、簪枭、上造、公士这5人分成两组(一组2人,一组3人),派去两地执行公务,则大夫、不更恰好在同一组的种数为.
m=C22C33A22+C22C31C22A22=8.
6.《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.其中的一道题“今有木,方三尺,高三尺,欲方五寸作枕一枚.问:得几何?”意思是:“有一块棱长为3尺的正方体方木,要把它作成边长为5寸的正方体枕头,可作多少个?”已知1尺为10寸,现有这样的一个正方体木料,其外周已涂上油漆,则从切割后的正方体枕头中任取一块,恰有一面涂上油漆的块数为.
,可知一面带有油漆的木块是每个面的中间那16块,共有6×
16=96(块).
7.《周易》历来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认
识,是中华人文文化的基础,它反映出中国古代的二进制计数的思想方法.我们用近代术语解释为:把阳
爻“”当作数字“1”,把阴爻“”当作数字“0”,则八卦中的四卦所代表的数表示如下:
000
001
010
011
依此类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“”表示的十进制数是.
解析由题意类推,可知六十四卦中的“屯”卦符合“”表示二进制数的010001,转化为十进制数的计算为1×20+0×21+0×22+0×23+1×24+0×25=17.
8.杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、教育家.杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果,它的许多性质与组合数的性质有关,杨辉三角中蕴藏了许多优美的规律.如图是一个11阶杨辉三角:
(1)求第20行中从左到右的第4个数;
(2)若第n行中从左到右第14与第15个数的比为2
3
,求n的值.
解 (1)由题意,得第n行的从左到右第m+1个数为m(n∈N+,m∈N且m≤n),
∴第20行中从左到右的第4个数为C203=1140;
(2)由题意,得第n行中从左到右第14与第15个数的比为2
3
,
∴13
14=2
3
,可化简14
n-13
=2
3
,解得n=34.
第六章概率
1.如图,我国古代珠算算具——算盘每个档(挂珠的杆)上有7颗算珠,用梁隔开,梁上面2颗叫上珠,下面5颗叫下珠.若从某一档的7颗算珠中任取3颗,至少含有一颗上珠的概率为()
A.5
7B.4
7
C.2
7D.1
7
7颗算珠中任取3颗,样本点总数n=C73=35, 至少含有一颗上珠包含的样本点个数m=C22C51+C21C52=25,
∴至少含有一颗上珠的概率为m
n =25
35
=5
7
.
2.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案,蕴含了深奥的宇宙星象之理,被誉为“宇宙魔方”,是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中,如图,白圈为阳数,黑点为阴数,若从阴数和阳数中各取一数,则其差的绝对值为3的概率为()
A.1
5B.6
25
C.7
25D.8
25
1,3,5,7,9,阴数为2,4,6,8,10,所以从阴数和阳数中各取1个的所有组合共有5×
5=25(个),满足差的绝对值为3的有:(1,4),(3,6),(5,2),(5,8),(7,10),(7,4),(9,6),共7个,则所求概率是7
25
.
3.中国古代的“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”合称“六艺”.某校国学社团准备于周六上午9点分别在6个教室开展这六门课程讲座,每位同学只能选择一门课程,则甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是()
A.5
6B.25
36
C.1
3
D.11
36
,甲乙各选择一门课程的选法总数为6×6=36(种);甲乙两人至少有一人选择“礼”
的总数选法为36-5×5=11(种);所以甲乙两人至少有一人选择“礼”的概率是11
36
.
4.1654年,法国贵族德·梅雷骑士偶遇数学家布莱兹·帕斯卡,在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事:某天在一酒吧中,肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛,约定胜者可以喝杯酒,当肖恩赢20局且尤瑟纳尔
赢40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒.此时酒吧老板和伙计提议两人采用七局四胜制的方法比赛,两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒,如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由
肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费,梅雷由于接到命令需要觐见国王,没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆.请利用数学知识做出合理假设,猜测最后付酒资的最有可能是()
A.肖恩
B.尤瑟纳尔
C.酒吧伙计
D.酒吧老板
,肖恩每局获胜的概率为20
20+40=1
3
,尤瑟纳尔每局获胜的概率为40
20+40
=2
3
,
设决出胜负的场数为X,
则P(X=4)=C441
34+C442
3
4=17
81
,
P(X=5)=C431
33×2
3
×1
3
+C432
3
3×1
3
×2
3
=72
243
,
P(X=6)=C531
33×2
3
2×1
3
+C532
3
3×1
3
2×2
3
=200
729
,
P(X=7)=C631
33×2
3
3=160
729
,
∵17
81<160
729
<200
729
<72
243
,
∴P(X=4)<P(X=7)<P(X=6)<P(X=5),
∴最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.
5.田忌赛马是《史记》中记载的一个故事,说的是齐国将军田忌经常与齐国众人赛马,孙膑发现田忌与他们的马脚力都差不多,都分为上、中、下三等.于是孙膑给田忌将军制定了一个必胜策略:比赛即
将开始时,他让田忌用下等马对战他们的上等马,用上等马对战他们的中等马,用中等马对战他们的下等马,从而使田忌赢得许多赌注.假设田忌的各等级马与某人的各等级马进行一场比赛获胜的概率如表所示:
比赛规则规定:一次比赛由三场赛马组成,每场由公子和田忌各出一匹马出赛,结果只有胜和负两种,并且每一方三场赛马的马的等级各不相同,三场比赛中至少获胜两场的一方为最终胜利者.
(1)如果按孙膑的策略比赛一次,求田忌获胜的概率;
(2)如果比赛约定,只能同等级马对战,每次比赛赌注1 000金,即胜利者赢得对方1 000金,每月比赛一次,求田忌一年赛马获利的数学期望.
记事件A 表示“按孙膑的策略比赛一次,田忌获胜”.
对于事件A ,三次比赛中,由于第三场必输,则前两次比赛中田忌都胜.
因此,P (A )=0.8×0.9=0.72;
(2)设田忌在每次比赛所得奖金为随机变量ξ,则随机变量ξ的可能取值为-1000和1000,
若比赛一次,田忌获胜,则三场比赛中,田忌输赢的分布为:胜胜胜、负胜胜、胜负胜、胜胜负,
设比赛一次,田忌获胜的概率为P ,则P=12×12×25×3+12×12×35=9
20.
随机变量ξ的分布列如下表所示:
所以,E (ξ)=-1000×1120+1000×9
20=-100.
因此,田忌一年赛马获利的数学期望为-100×12=-1200(金).
6.京剧是我国的国粹,是“国家级非物质文化遗产”,某机构在网络上调查发现各地京剧票友的年龄ξ服从正态分布N (μ,σ2),同时随机抽取100位参与某电视台《我爱京剧》节目的票友的年龄作为样本进行分析研究(全部票友的年龄都在[30,80]内),样本数据分别在区间
[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80]内,由此得到如图所示的频率分布直方图.
(1)若P (ξ<38)=P (ξ>68),求a ,b 的值;
(2)在样本年龄在[70,80]的票友中组织了一次有关京剧知识的问答,每人回答一个问题,答对赢得一台老年戏曲演唱机,答错没有奖品,假设每人答对的概率均为2
3,且每个人回答正确与否相互之间没有
影响,用η表示票友们赢得老年戏曲演唱机的台数,求η的分布列及数学期望.
∵P (ξ<38)=P (ξ>68),
∴μ=
38+682
=53.
由频率分布直方图的性质可得:(0.01+0.03+b+0.02+a )×10=1,0.1×35+0.3×45+10b ×55+0.2×65+10a ×75=53,
联立解得a=0.005,b=0.035.
(2)样本年龄在[70,80]的票友共有0.005×10×100=5(人),
由题意可得η=0,1,2,3,4,5,η~B 5,
23
,
P (η=k )=C 5
k 23k 135-k ,P (η=0)=1
243
, P (η=1)=10
243,P (η=2)=40243,P (η=3)=80
243, P (η=4)=80
243,P (η=5)=32
243.
∴η的分布列为:
可得E (η)=5×23=
10
3
.
第七章统计案例
1.地摊经济作为推进地方经济社会发展的一个支点,有利于促进经济社会秩序的恢复,小李的流动摊位某商品的售价X 元和销售量Y 件之间的一组数据如下表所示:
由散点图可知,销售量Y 与价格X 之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:Y=-3.2X+a ^
,则a ^
=.
=10,
x=9+9.5+10+10.5+11
5
=8,
y=11+10+8+6+5
5
将点(x,y)的坐标代入回归直线方程得-3.2×10+a^=8,解得a^=40.
3.2019年春节期间,某支付软件公司推出“红包大行动”,用发红包的方法刺激支付软件的使用.某商家统计前5名顾客扫描红包所得金额分别为5.2元,2.9元,3.3元,5.9元,
4.8元,商家从这5名顾客中随机抽取3人赠送饮水杯.
(1)求获得饮水杯的三人中至少有一人的红包超过5元的概率;
(2)统计一周内每天使用该支付软件付款的人数X与商家每天的净利润Y元,得到7组数据,如表所示,并作出了散点图.
①直接根据散点图判断,Y=a ^
+b ^
X 与Y=e c+dX 中哪一个适合作为每天的净利润的回归方程类型.
②根据①的判断,建立Y 关于X 的回归方程;若商家当天的净利润至少是1 400元,估计使用该支付软件付款的人数至少是多少?(a ^,b ^
,c ,d 的值取整数)
参考数据:
附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u
n ,v n ),其回归直线V=α^
+β^
U 的斜率和截距的最小二乘估计分别
为β^
=
∑i=1
n
(u i -u)(v i -v)
∑i=1
n
(u i -u)2
,α^
=v −β^
u.
由已知5名顾客中红包超过5元的有2人,分别记为A ,B ,不足5元的有3人,分别记为c ,d ,e ,
从这5人随机抽取3人,样本点有ABc ,ABd ,ABe ,Acd ,Ace ,Ade ,Bcd ,Bce ,Bde ,cde 共10种,
设事件M 表示“获得饮水杯的3人中至少有1人的红包超过5元”,
则它的对立事件是M 表示“获得饮水杯的3人中没有1人的红包超过5元”,满足它的是cde ,只有1种,
所以P (M )=1-P (M )=1-110=9
10.
(2)①根据散点图可以判断,选择Y=a^+b^X作为每天的净利润的回归方程类型比较适合;
②由最小二乘法计算系数b^=
∑
i=1
7
(x i-x)(y i-y)
∑
i=1
7
(x i-x)2
=3 484.29
268.86
≈13,
则a^=y−b^ x=194.29-13×22.86≈-103,
所以Y关于X的回归方程是Y=-103+13X.
若商家当天的净利润至少是1 400元,令-103+13X≥1 400,得13X≥1 503,解得X≥115.6≈116.所以若商家当天的净利润至少是1 400元时,估计使用该支付软件付款的人数至少是116人.
4.为大力发展乡村经济,城乡各地区开展农村电商培训,如对电商团队、物流企业、返乡创业群体、普通农户等进行培训.某部门组织A,B两个调查小组在开展电商培训之前先进行问卷调查,从获取的有效问卷中,针对25至55岁的人群,按比例随机抽取400份,进行数据统计,具体情况如下表:
[45,55
]
20 60 20 20
(Ⅰ)先用分层抽样的方法从400人中按“年龄是否达到45岁”抽出一个容量为80的样本,将“年龄达到45岁”的被抽个体分配到“参加电商培训”和“不参加电商培训”中去.
(1)求这80人中“年龄达到45岁且参加电商培训”的人数;
(2)调查组从所抽取的“年龄达到45岁且参加电商培训”的人员中抽取3人,安排进入某互联网公司参观学习,求这3人恰好是A组的人数X的分布列和数学期望;
(Ⅱ)从统计数据可直观得出“参加电商培训与年龄(记作m岁)有关”的结论.请列出2×2列联表,用独立性检验的方法,通过比较χ2的观测值的大小,判断年龄取35岁还是45岁时犯错误的概率哪一个更小?
参考公式:χ2=n(ad-bc)2
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
,其中n=a+b+c+d
Ⅰ)(1)400人中抽取80人,其中年龄达到45岁且参加培训的有40×80
400
=8(人).
(2)抽取的A组人年龄达到45岁参加培训的有4人,
所以抽取的3人中A组人数X的可能取值为0,1,2,3.
P(X=0)=C43
C83=1
14
,P(X=1)=C41C42
C83
=3
7
,
P (X=2)=C 42C 4
1C 83=37,P (X=3)=C 43C 83=114; 所以X 的分布列为
数学期望EX=1×37+2×37+3×114=3
2. (Ⅱ)按年龄是否达到35岁,整理数据得到如下列联表:
所以m=35时,χ2=400×(95×155-45×105)2
140×260×200×200=2 500
91;
按年龄是否达到45岁,整理数据得到如下列联表:
年龄
参加电商培训 不参加电商培训 合
计
所以m=45时,χ2=400×(160×80-120×40)2
280×120×200×200=400
21
.
因为400
21<2 500
91
,欲使犯错误的概率尽可能小,取m=35.。