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八年级数学上册轴对称难题经典题有难度

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苏科版数学八年级上册第2章轴对称图形章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

苏科版数学八年级上册第2章轴对称图形章末重难点题型(举一反三)(原卷版)

轴对称图形章末重难点题型汇编【举一反三】【苏科版】【考点1 判断轴对称图形】【方法点拨】掌握轴对称图形的概念：把一个图形沿着某一条直线翻折，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴。

注意：理解轴对称图形的定义应注意两点：（1）轴对称图形是一个图形，反映的是这个图形自身的性质。

（2）符合要求的“某条直线”可能不止一条，但至少要有一条。

【例1】（2019春•相城区期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2018秋•思明区校级期中）如图，四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2018秋•开封期中）下列四个图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【变式1-3】（2018秋•宜兴市校级期中）下列图形中，不是轴对称图形的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点2 角平分线的应用】【方法点拨】掌握角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等牢记：（1）角平分线的性质是证明线段相等的一个比较简单的方法；（2）当遇到有关角平分线的问题时，通常过角平分线上的点向角的两边作垂线，构造相等的线段。

【例2】（2019春•港南区期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE ⊥AB于E，若AB＝6cm，则△DBE的周长是（）A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm【变式2-1】（2018秋•九龙坡区校级期中）如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，已知△ABC的面积为28．AC＝6，DE＝4，则AB的长为（）A．6B．8C．4D．10【变式2-2】（2018秋•思明区校级期中）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝4，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝2，则BF的长为（）A．3B．4C．5D．6【变式2-3】（2018秋•西城区校级期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC ＝24，DE＝4，AB＝7，则AC长是（）A．3B．4C．6D．5【考点3 线段垂直平分线性质的应用】【方法点拨】掌握线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等注意：（1）这里的距离指的是点与点之间的距离，也就是两点之间线段的长度。

八年级上册轴对称解答题易错题(Word版 含答案)

八年级上册轴对称解答题易错题(Word版 含答案)

八年级上册轴对称解答题易错题（Word版含答案）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．（1）已知△ABC中，∠A＝90°，∠B＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC中，∠C是其最小的内角，过顶点B的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC与∠C之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠A BC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．2．数学课上，同学们探究下面命题的正确性，顶角为36°的等腰三角形我们称之为黄金三角形，“黄金三角形“具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可以把它分成两个小等腰三角形，为此，请你，解答问题：（1）已知如图1：黄金三角形△ABC中，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D，求证：△ABD和△DBC都是等腰三角形；（2）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你设计三种不同的方法，将△ABC分割成三个等腰三角形，不要求写出画法，不要求证明，但是要标出所分得的每个三角形的各内角的度数．（3）已知一个三角形可以被分成两个等腰三角形，若原三角形的一个内角为36°，求原三角形的最大内角的所有可能值．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°【解析】【分析】（1）通过角度转换得到∠ABD=∠BAD，和∠BDC=72°=∠C，即可判断；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理进行解答即可；（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的，③当分割三角形的直线过点A时，在分别求出最大角的度数即可.【详解】解：（1）证明：∵∠ABC=（180-36）÷2=72；BD平分∠ABC，∠ABD=72÷2=36°，∴∠ABD=∠BAD，∴△ABD为等腰三角形，∴∠BDC=72°=∠C，∴△BCD为等腰三角形；（2）根据等腰三角形的两底角相等及三角形内角和定理作出，如图所示：（3）设原△ABD中有一个角为36°，可分成两个等腰三角形，逐个讨论：①当分割的直线过顶点B时，【1】：第一个等腰三角形ABC以A为顶点:则第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时∠A=36°,∠D=36°，∠B=72＋36=108°，最大角的值为108°；【2】：第一个等腰三角形ABC以B为顶点：第二个等腰三角形BCD只可能以C为顶点此时：∠A=36°,∠D=18°，∠B=108+18=126°，最大角的值为126°；【3】第一个等腰三角形ABC以C为顶点：第二个等腰三角形BCD有三种情况△BCD以B为顶点：∠A=36°，∠D=72°，∴∠ABD=72°，最大角的值为72°；△BCD以C为顶点：∠A=36°，∠D=54°，∴∠ABD=90°，最大角的值为90°；△BCD以D为顶点：∠A=36°，∠D=36°∴∠ABD=108°，最大角的值为108°；②当分割三角形的直线过点D时情况和过点B一样的；③当分割三角形的直线过点A时，此时∠A=36°，∠D=12°，∠B=132°，最大角的值为132°；综上所述：最大角的可能值为72°，90°，108°，126°，132°.【点睛】本题是对三角形知识的综合考查，熟练掌握等腰三角形的性质和角度转换是解决本题的关键，难度较大，分类讨论是解决本题的关键.3．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x2，可得2x＝180?-x2，解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）如图4所示：①当AD＝AE时，∵2x+x＝30°+30°，∴x＝20°；②当AD＝DE时，∵30°+30°+2x+x＝180°，∴x＝40°；综上所述，∠C为20°或40°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．4．如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=12BC，点D为BC的中点，AB =DE，BE∥AC．（1）求证：△ABC≌△DEB；（2）连结AD、AE、CE，如图2．①求证：CE是∠ACB的角平分线；②请判断△ABE是什么特殊形状的三角形，并说明理由．【答案】（1）详见解析；（2）①详见解析；②△ABE是等腰三角形，理由详见解析.【解析】【分析】（1）由AC//BE，∠ACB=90°可得∠DBE=90°，由AC=12BC，D是BC中点可得AC=BD，利用HL即可证明△ABC≌△DEB；（2）①由（1）得BE=BC，由等腰直角三角形的性质可得∠BCE=45°，进而可得∠ACE=45°，即可得答案；②根据SAS可证明△ACE≌△DCE，可得AE=DE，由AB=DE可得AE=AB即可证明△ABE是等腰三角形.【详解】（1）∵∠ACB=90°，BE∥AC∴∠CBE=90°∴△ABC和△DEB都是直角三角形∵AC=12BC，点D为BC的中点∴AC=BD又∵AB=DE∴△ABC≌△DEB（H.L.）（2）①由（1）得：△ABC≌△DEB ∴BC=EB又∵∠CBE=90°∴∠BCE=45°∴∠ACE=90°-45°=45°∴∠BCE=∠ACE∴CE是∠ACB的角平分线②△ABE是等腰三角形，理由如下：在△ACE和△DCE中AC DCACE BCECE CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ACE≌△DCE（SAS）.∴AE=DE又∵AB=DE∴AE=AB∴△ABE是等腰三角形【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及等腰三角形的判断与性质，熟练掌握判定定理是解题关键.5．知识背景：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定，在第十三章《轴对称》中学习了等腰三角形的性质和判定.在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题.问题：如图1，ABC是等腰三角形，90BAC∠=︒，D是BC的中点，以AD为腰作等腰ADE，且满足90DAE∠=︒，连接CE并延长交BA的延长线于点F，试探究BC与CF之间的数量关系.图1发现：（1）BC与CF之间的数量关系为 .探究：（2）如图2，当点D是线段BC上任意一点（除B、C外）时，其他条件不变，试猜想BC与CF之间的数量关系，并证明你的结论.图2拓展：（3）当点D 在线段BC 的延长线上时，在备用图中补全图形，并直接写出BCF 的形状.备用图【答案】（1）BC CF =；（2）BC CF =，证明见解析；（3）画图见解析，等腰直角三角形.【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得BC CF =；（2）由等腰直角三角形的性质可得()ABD ACE SAS ∴≌，再根据全等三角形的性质及等角对等边即可证明；（3）作出图形，根据等腰三角形性质易证()ABD ACE SAS ∴≌，进而根据角度的代换，得出结论．【详解】解：（1）BC CF =.∵△ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（2）BC CF =.证明：ABC 是等腰三角形，且90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠-∠=∠-∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B F ∴∠+∠=︒，45F ∴∠=︒，B F ∴∠=∠，BC CF ∴=.（3）BCF 是等腰直角三角形.提示：如图，ABC 是等腰三角形，90BAC ∠=︒，AB AC ∴=，45B ACB ∠=∠=︒.90DAE ∠=︒，DAE BAC ∴=∠∠，DAE DAC BAC DAC ∴∠+∠=∠+∠，BAD CAE ∴∠=∠.ADE 是以AD 为腰的等腰三角形，AD AE ∴=.在ABD △与ACE △中，AB AC =，BAD CAE ∠=∠，AD AE =，()ABD ACE SAS ∴≌，45ACE B ∴∠=∠=︒.45ACB =︒∠，90BCF ACB ACE ∴∠=∠+∠=︒，90B BFC ∴∠+∠=︒，45BFC ∴∠=︒，BCF ∴是等腰三角形，90BCF ∠=︒，BCF ∴是等腰直角三角形.【点睛】本题考查等腰三角形及全等三角形的性质，熟练运用角度等量代换及等腰三角形的性质是解题的关键．6．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=【解析】【分析】（1）通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC =，同理得到1 2ON OC =，所以OE OD OC +=；方法二：以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌，得到,CD CE OD EF ==，所以OE OD OE EF OF OC +=+==；②图4：以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点，利用ASA 证得△COD ≌△CFE ，即有CD=CE ，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD ；图5:以OC 为一边，作∠OCG=60°与OA 交于G 点，利用ASA 证得△CGD ≌△COE ，即有CD=CE ，OD=EF ，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC 平分AOB ∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC ∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO ∆与CEF ∆中，1346OC FC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA ∴∆∆≌CD CE ∴=(2)如图2，过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，∴90CMD CNE ∠=∠=︒，又∵OC 平分AOB ∠，∴CM CN =，在四边形 O DCE 中，12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD∆与CNE∆中，32CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS∆∆≌，∴CD CE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC+=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点C作C M OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，∴90CMD CNE∠=∠=︒，又∵OC平分AOB∠，∴CM CN=，在四边形ODCE中，12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD ∆与CNE ∆中，13CMD CNE CM CN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS ∆∆≌，∴,CD CE DM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO ∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO ∆与CEF ∆中，1346CO CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA ∆∆≌，∴,CD CE OD EF ==.∴OE OD OE EF OF OC +=+==.-=.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC如图，以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD ≌△COE （ASA ）∴CD=CE ，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.7．如图，已知ABC ∆()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ∆沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点C 能重合，请在图①中作出点M ；（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ∆沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图②中作出点N .【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即可；（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即可．（1）作线段BC的垂直平分线，交BC于点M，即为所求．点M如图①所示：（2）过点B作BO⊥BC，交CA的延长线于点O，作∠BOC的平分线交BC于点N，即为所求．点N如图②所示：【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．8．如图，在等边三角形ABC的外侧作直线AP，点C关于直线AP的对称点为点D，连接AD，BD，其中BD交直线AP于点E．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC＝20°，求∠AEB的度数；（3）连结CE，写出AE，BE，CE之间的数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）补图见解析；（2）60°；（3）CE＋AE＝BE．【解析】【分析】（1）根据题意补全图形即可；（2）根据轴对称的性质可得AC＝AD，∠PAC＝∠PAD=20°，根据等边三角形的性质可得AC＝AB，∠BAC＝60°，即可得AB＝AD，在△ABD 中，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠D的度数，再由三角形外角的性质即可求得∠AEB的度数；（3）CE ＋AE ＝BE ，如图，在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ，类比（2）的方法求得∠AEB ＝60°，从而得到△AME 为等边三角形，根据等边三角形的性质和SAS 即可判定△AEC ≌△AMB ，根据全等三角形的性质可得CE ＝BM ，由此即可证得CE ＋AE ＝BE ．【详解】(1)如图：（2）在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠PAC ＝∠PAD ，∴AB ＝AD∴∠ABD ＝∠D∵∠PAC ＝20°∴∠PAD ＝20°∴∠BAD ＝∠BAC+∠PAC +∠PAD =100°()1180402D BAD ︒︒∴∠=-∠=. ∴∠AEB ＝∠D +∠PAD ＝60°（3）CE ＋AE ＝BE ． 在BE 上取点M 使ME ＝AE ，连接AM ，在等边△ABC 中，AC ＝AB ，∠BAC ＝60°由对称可知：AC ＝AD ，∠EAC ＝∠EAD ，设∠EAC ＝∠DAE ＝x ．∵AD ＝AC ＝AB ，∴()11802602D BAC x x ︒︒∠=-∠-=- ∴∠AEB ＝60－x ＋x ＝60°．∴△AME 为等边三角形．∴AM=AE ，∠MAE=60°，∴∠BAC=∠MAE=60°，即可得∠BAM=∠CAE.在△AMB 和△AEC 中，AB AC BAM CAE AM AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△AMB ≌△AEC .∴CE ＝BM .∴CE ＋AE ＝BE ．【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了轴对称的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，解决第三问时，通过做辅助线，把AE 转化到BE 上，再证明CE ＝BM 即可得结论．9．小明在学习了“等边三角形”后，激发了他的学习和探究的兴趣，就想考考他的朋友小崔，小明作了一个等边ABC ∆，如图1，并在边AC 上任意取了一点F （点F 不与点A 、点C 重合），过点F 作FH AB ⊥交AB 于点H ，延长CB 到G ，使得BG AF =，连接FG 交AB 于点l .（1）若10AC =，求HI 的长度；（2）如图2，延长BC 到D ，再延长BA 到E ，使得AE BD =，连接ED ，EC ，求证：ECD EDC ∠=∠.【答案】（1）HI =5；(2)见解析.【解析】【分析】（1）作FP ∥BC 交AB 于点P ，证明APF ∆是等边三角形得到AH=PH ， 再证明PFI BGI ∆≅∆得到PI=BI ，于是可得HI =12AB ，即可求解；（2）延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，就可以得出BE=BQ，得出△BEQ是等边三角形，就可以得出BE=QE，得出△BCE≌△QDE就可以得出结论．【详解】解：如图1，作FP∥BC交AB于点P，∵ABC∆是等边三角形,∴∠ABC=∠A=60°,∵FP∥BC,∴∠APF=∠ABC=60°, ∠PFI=∠BGI,∴∠APF=∠A=60°,∴APF∆是等边三角形,∴PF=AF,∵FH AB⊥，∴AH=PH,∵AF=BG,∴PF=BG,∴在PFI∆和BGI∆中，PIF BIGPFI BGIPF BG∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴PFI BGI∆≅∆,∴PI=BI,∴PI+PH=BI+AH=12AB,∴HI=PI+PH =12AB=1102⨯=5；(2)如图2，延长BD至Q，使DQ=AB，连结EQ，∵△ABC 是等边三角形，∴AB=BC=AC ，∠B=60°．∵AE=BD ，DQ=AB ，∴AE+AB=BD+DQ ，∴BE=BQ ．∵∠B=60°，∴△BEQ 为等边三角形，∴∠B=∠Q=60°，BE=QE ．∵DQ=AB ，∴BC=DQ ．∴在△BCE 和△QDE 中，BC DQ B Q BE QE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△QDE （SAS ），∴EC=ED ．∴∠ECD=∠EDC.【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时作出相应辅助线构造全等三角形是关键．本题难度较大，需要有较强的综合能力.10．（阅读理解）截长补短法，是初中数学儿何题中一种输助线的添加方法，截长就是在长边上载取一条线段与某一短边相等，补短是通过在一条短边上延长一条线段与另一短边相等，从而解决问题.（1）如图1，△ABC 是等边三角形，点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝120°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.解题思路：延长DC 到点E ，使CE ＝B D ．连接AE ，根据∠BAC ＋∠BDC ＝180°，可证∠ABD ＝∠ACE ,易证得△ABD ≌△ACE ，得出△ADE 是等边三角形，所以AD ＝DE ，从而探寻线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系.根据上述解题思路，请直接写出DA 、DB 、DC 之间的数量关系是___________（拓展延伸）（2）如图2，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝A C ．若点D 是边BC 下方一点，∠BDC ＝90°，探索线段DA 、DB 、DC 之间的数量关系，并说明理由;（知识应用）（3）如图3,一副三角尺斜边长都为14cm ，把斜边重叠摆放在一起，则两块三角尺的直角项点之间的距离PQ 的长为________cm.【答案】（1）DA DB DC =+；（22DA DB DC =+，理由见详解；（3）7276+ 【解析】【分析】（1）由等边三角形知,60AB AC BAC ︒=∠=，结合120BDC ︒∠=知180ABD ACD ︒∠+∠=，则ABD ACE ∠=∠证得ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠,再证明三角形ADE 是等边三角形，等量代换可得结论； （2） 同理可证ABD ACE ≅得,AD AE BAD CAE =∠=∠，由勾股定理得222DA AE DE +=，等量代换即得结论； （3）由直角三角形的性质可得QN 的长，由勾股定理可得MQ 的长，由（2）知2PQ QN QM =+，由此可求得PQ 长.【详解】解：（1）延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，ABC 是等边三角形,60AB AC BAC ︒∴=∠= 120BDC ︒∠=180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠=ABD ACE ∴∠=∠()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠60BAC ︒∠=60BAD DAC ︒∴∠+∠=60DAE DAC CAE ︒∴∠=∠+∠=ADE ∴是等边三角形DA DE DC CE DC DB ∴==+=+ （2）2DA DB DC =+延长DC 到点E ，使CE ＝B D.连接AE ，90BAC ︒∠=，90BDC ︒∠= 180ABD ACD ︒∴∠+∠=又180ACE ACD ︒∠+∠= ABD ACE ∴∠=∠,AB AC CE BD ==()ABD ACE SAS ∴≅,AD AE BAD CAE ∴=∠=∠90DAE BAC ︒∴∠=∠=222DA AE DE ∴+=222()DA DB DC ∴=+2DA DB DC ∴=+（3）连接PQ ，14,30MN QMN ︒=∠=172QN MN ∴== 根据勾股定理得222214714773MQ MN QN =-=-==由（22PQ QN QM =+737276222PQ ∴=== 【点睛】此题是三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等边三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.。

人教版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学 轴对称解答题专题练习(解析版)

人教版八年级上册数学轴对称解答题专题练习（解析版）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1．在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA(如图1)．(1)求证：∠BAD=∠EDC；(2)若点E关于直线BC的对称点为M(如图2)，连接DM，AM．求证：DA=AM．【答案】(1)见解析；(2)见解析【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出∠BAC=∠ACB=60°，然后根据三角形的内角和和外角性质，进行计算即可.（2）根据轴对称的性质，可得DM=DA，然后结合（1）可得∠MDC=∠BAD，然后根据三角形的内角和，求出∠ADM=60°即可.【详解】解：(1)如图1，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠ACB=60°，∴∠BAD=60°﹣∠DAE，∠EDC=60°﹣∠E，又∵DE=DA，∴∠E=∠DAE，∴∠BAD=∠EDC．(2)由轴对称可得，DM=DE，∠EDC=∠MDC，∵DE=DA，∴DM=DA，由(1)可得，∠BAD=∠EDC，∴∠MDC=∠BAD，∵△ABD中，∠BAD+∠ADB=180°﹣∠B=120°，∴∠MDC+∠ADB=120°，∴∠ADM=60°，∴△ADM是等边三角形，∴AD=AM．【点睛】本题主要考察了轴对称和等边三角形的性质，解题的关键是熟练掌握这些性质.2．再读教材:宽与长的比是5-1(约为0.618)的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调,匀称的美感.世界各国许多著名的建筑.为取得最佳的视觉效果,都采用了黄金矩形的设计，下面我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形.(提示; MN=2)第一步,在矩形纸片一端.利用图①的方法折出一个正方形,然后把纸片展平.第二步，如图②.把这个正方形折成两个相等的矩形,再把纸片展平.第三步,折出内侧矩形的对角线 AB,并把 AB折到图③中所示的AD处，第四步,展平纸片,按照所得的点D折出 DE,使 DE⊥ND,则图④中就会出现黄金矩形，问题解决:（1）图③中AB=________(保留根号);（2）如图③,判断四边形 BADQ的形状,并说明理由;（3）请写出图④中所有的黄金矩形,并选择其中一个说明理由.（4）结合图④.请在矩形 BCDE中添加一条线段,设计一个新的黄金矩形,用字母表示出来,并写出它的长和宽.【答案】（15(2)见解析;(3)见解析; (4) 见解析.【解析】分析：（1）由勾股定理计算即可；（2）根据菱形的判定方法即可判断；（3）根据黄金矩形的定义即可判断；（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．详解：（1）如图3中．在Rt△ABC中，AB22AC BC+2212+55（2）结论：四边形BADQ是菱形．理由如下：如图③中，∵四边形ACBF是矩形，∴BQ∥AD．∵AB∥DQ，∴四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，∴四边形ABQD是菱形．（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE ，矩形MNDE ．∵AD =5．AN =AC =1，CD =AD ﹣AC =5﹣1． ∵BC =2，∴CD BC =51-，∴矩形BCDE 是黄金矩形． ∵MN DN =15+=51-，∴矩形MNDE 是黄金矩形． （4）如图④﹣1中，在矩形BCDE 上添加线段GH ，使得四边形GCDH 为正方形，此时四边形BGHE 为所求是黄金矩形．长GH 51，宽HE =35点睛：本题考查了几何变换综合题、黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考创新题目．3．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =. （1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF . 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长. 【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD = AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴== AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中，906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =，则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=- 同理12FN EF m ==，2124CF FG m ==-在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中，EM EN =，BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆BM CN ∴=BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+ 解得1m = 8CF ∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC ∠= 60（3）8CF =. 【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.4．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ． （1）求∠CAM 的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：△ADC ≌△BEC ；（3）当动D 在直线．．AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断∠AOB 是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°． 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC ＝BC ，DC ＝EC ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，由等式的性质就可以∠BCE ＝∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出△ACD ≌△BCE 而有∠CBE ＝∠CAD ＝30°而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出△ACD ≌△BCE 同样可以得出结论． 【详解】（1）∵△ABC 是等边三角形，∴∠BAC ＝60°． ∵线段AM 为BC 边上的中线，∴∠CAM 12=∠BAC ，∴∠CAM ＝∠BAM ＝30°． （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠DCB ＝∠DCB +∠BCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ADC 和△BEC 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ）；（3）∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知△ACD ≌△BCE ，则∠CBE ＝∠CAD ＝30°，又∠ABC ＝60°，∴∠CBE +∠ABC ＝60°+30°＝90°．∵△ABC 是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线，∴AM 平分∠BAC ，即11603022BAM BAC ∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°． 由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°． ③当点D 在线段MA 的延长线上时． ∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．5．已知如图1，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.（1）求证：AE CG=.（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D 是AB 中点，∠ACB =90°，可得出∠ACD =∠BCD =45°，判断出△AEC ≌△CGB ，即可得出AE =CG ；（2）根据垂直的定义得出∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，再根据AC =BC ，∠ACM =∠CBE =45°，得出△BCE ≌△CAM ，进而证明出BE =CM ． 【详解】（1）∵点D 是AB 中点，AC =BC ，∠ACB =90°，∴CD ⊥AB ，∠ACD =∠BCD =45°，∴∠CAD =∠CBD =45°，∴∠CAE =∠BCG ． 又∵BF ⊥CE ，∴∠CBG +∠BCF =90°． 又∵∠ACE +∠BCF =90°，∴∠ACE =∠CBG ．在△AEC 和△CGB 中，∵CAE BCG AC BC ACE CBG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC ≌△CGB （ASA ），∴AE =CG ；（2）∵CH ⊥HM ，CD ⊥ED ，∴∠CMA +∠MCH =90°，∠BEC +∠MCH =90°，∴∠CMA =∠BEC ．在△BCE 和△CAM 中，BEC CMA ACM CBE BC AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE ≌△CAM （AAS ），∴BE =CM ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．6．如图，在平面直角坐标系中，点B 坐标为()6,0-，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，点P 是x 轴上位于点B 右侧的一个动点，设点P 的坐标为()0m ,.（1）点A 的坐标为___________；（2）当ABP △是等腰三角形时，求P 点的坐标；（3）如图2，过点P 作PE AB ⊥交线段AB 于点E ，连接OE ，若点A 关于直线OE 的对称点为A '，当点A '恰好落在直线PE 上时，BE =_____________.（直接写出答案） 【答案】（1）()0,8；（2）()4,0或()6,0或7,03⎛⎫ ⎪⎝⎭；（3）425【解析】 【分析】（1）根据勾股定理可以求出AO 的长，则可得出A 的坐标； （2）分三种情况讨论等腰三角形的情况，得出点P 的坐标； （3）根据PE AB ⊥，点A '在直线PE 上，得到EAGOPG ，利用点A ，A '关于直线OE 对称点，根据对称性，可证'OPG EAO ，可得'8OP OA ，82AP，设BE x =，则有6AE x ，根据勾股定理，有：22222BP BE EP AP AE解之即可． 【详解】解：（1）∵点B 坐标为6,0，点A 是y 轴正半轴上一点，且10AB =，∴ABO 是直角三角形，根据勾股定理有：22221068AOAB BO ，∴点A 的坐标为()0,8； （2）∵ABP △是等腰三角形， 当BPAB 时，如图一所示：∴1064OP BP BO ，∴P 点的坐标是()4,0； 当AP AB =时，如图二所示：∴6OP BO∴P 点的坐标是()6,0；当AP BP =时，如图三所示：设OP x =，则有6AP x∴根据勾股定理有：222OP AO AP +=即：22286x x解之得：73x = ∴P 点的坐标是7,03； （3）当ABP △是钝角三角形时，点A '不存在；当ABP △是锐角三角形时，如图四示：连接'OA ，∵PE AB ⊥，点A '在直线PE 上， ∴AEG △和GOP 是直角三角形，EGA OGP ∴EAG OPG ，∵点A ，A '关于直线OE 对称点， 根据对称性，有'8OA OA ，'EAEA ∴'FAO FAO ，'FAE FAE ∴'EAG EAO 则有：'OPGEAO ∴'AOP 是等腰三角形，则有'8OP OA ， ∴22228882AP AO OP ，设BE x =，则有6AEx ，根据勾股定理，有： 22222BP BE EP AP AE 即：2222688210x x 解之得：425BEx 【点睛】 本题考查了三角形的综合问题，涉及的知识点有：解方程，等腰三角形的判定与性质，对称等知识点，能分类讨论，熟练运用各性质定理，是解题的关键．7．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC和△ADE均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n ，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n .【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.8．如图，△ABC中，AB＝BC＝AC＝12cm，现有两点M、N分别从点A．点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为2cm/s，点N的速度为3cm/s．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．（1）点M、N运动秒后，△AMN是等边三角形？（2）点M、N在BC边上运动时，运动秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN？（3）M、N同时运动几秒后，△AMN是直角三角形？请说明理由．【答案】（1）125；（2）485；（3）点M、N运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN为直角三角形．【解析】【分析】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形．设运动时间为t秒，构建方程即可解决问题；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．构建方程即可解决问题；（3）据题意设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN，分四种情况讨论即可．【详解】（1）当AM＝AN时，△MNA是等边三角形，设运动时间为t秒则有：2t＝12﹣3t解得t＝12 5故点M、N运动125秒后，△AMN是等边三角形；（2）点M、N在BC边上运动时，满足CM＝BN时，可以得到以MN为底边的等腰三角形△AMN则有：2t﹣12＝36﹣3t解得t＝48 5故运动485秒后得到以MN为底边的等腰三角形△AMN；（3）设点M、N运动t秒后，可得到直角三角形△AMN ①当M在AC上，N在AB上，∠ANM＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠AMN＝30°∴AM＝2AN则有2t＝2（12﹣3t）∴t＝3；②当M在AC上，N在AB上，∠AMN＝90°时，如图∵∠A＝60°∴∠ANM＝30°∴2AM＝AN∴4t＝12﹣3t∴t＝127；③当M、N都在BC上，∠ANM＝90°时，如图CN ＝3t ﹣24＝6解得t ＝10；④当M 、N 都在BC 上，∠AMN ＝90°时，则N 与B 重合，M 正好处于BC 的中点，如图此时2t ＝12+6解得t ＝9；综上所述，点M 、N 运动3秒或127秒或10秒或9秒后，△AMN 为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键.9．如图，在△ABC 中，AB =AC =2，∠B =40°，点D 在线段BC 上运动（D 不与B 、C 重合），连接AD ，作∠ADE =40°，DE 交线段AC 于E 点．（1）当∠BDA =115°时，∠BAD =___°，∠DEC =___°；（2）当DC 等于多少时，△ABD 与△DCE 全等？请说明理由；（3）在点D 的运动过程中，△ADE 的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA 的度数；若不可以，请说明理由．【答案】（1） 25，115；（2）当DC =2时，△ABD ≌△DCE ，理由见解析；（3）可以；当∠BDA 的度数为110°或80°时，△ADE 的形状是等腰三角形．【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理，将已知数值代入即可求出BAD ∠，根据平角的定义，可求出EDC ∠的度数，根据三角形内和定理，即可求出DEC ∠．（2）当AB DC =时，利用AAS 可证明ABD DCE ∆≅∆，即可得出2AB DC ==．（3）假设ADE ∆是等腰三角形，分为三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，根据AED C ∠>∠，得出此时不符合；②当DA DE =时，求出70DAE DEA ∠=∠=︒，求出BAC ∠，根据三角形的内角和定理求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出BDA ∠即可；③当EA ED =时，求出DAC ∠，求出BAD ∠，根据三角形的内角和定理求出ADB ∠．【详解】（1）在BAD 中，40B ∠= ，115BDA ∠=，1801804011525BAD ABD BDA ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，1801801154025EDC ADB ADE ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒．AB AC =，40B ∠=，40B C ∴∠=∠=，1801804025115C E DC D E C ︒-∠-∠=︒-︒-︒=∠=︒．故答案为：25，115；（2）当2DC =时，ABD DCE ∆≅∆．理由如下：40C ∠=，140EDC DEC ∴∠+∠=︒，又40ADE ∠=，140ADB EDC ∴∠+∠=︒，ADB DEC ∴∠=∠．在ABD △和DCE ∆中，B C ∠=∠，ADB DEC ∠=∠，当AB DC =时，()ABD DCE AAS ∆≅∆，2AB DC ∴==；（3）AB AC =，40B C ∴∠=∠=︒，分三种情况讨论：①当AD AE =时，40ADE AED ∠=∠=︒，AED C ∠>∠，∴此时不符合； ②当DA DE =时，即1(18040)702DAE DEA ∠=∠=︒-︒=︒，1804040100BAC ∠=︒-︒-︒=︒，1007030BAD ∴∠=︒-︒=︒；1803040110BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；③当EA ED =时，40ADE DAE ∠=∠=︒，1004060BAD ∴∠=︒-︒=︒，180604080BDA ∴∠=︒-︒-︒=︒；∴当110ADB ∠=︒或80︒时，ADE ∆是等腰三角形．【点睛】本题考查了学生对等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识点的理解和掌握，此题涉及到的知识点较多，综合性较强．10．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC中，AB=AC，∠A=45°，请把△ABC分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP，BQ=PQ，PQ=CQ时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ，∴12∠C+∠C=30°，解得：∠C=20°.综上所述：∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.。

八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练(带答案)

八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练(带答案)

八年级数学上册第十三章轴对称考点精题训练单选题1、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜2、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．3、如图，在△ABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，过点D分别作DE⊥AB,DF⊥AC，垂足分别是点E，F，则下列结论错误．．的是（）A．∠ADC=90∘B．DE=DF C．AD=BC D．BD=CD答案：C分析：根据等腰三角形底边上的高线、顶角的角平分线、底边上的中线这三线合一及角平分线的性质即可判断求解．解：∵AB=AC,AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC,BD=CD，∴∠ADC=90∘，故选项A、D结论正确，不符合题意；又AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB,DF⊥AC，∴DE=DF，故选项B结论正确，不符合题意；由已知条件推不出AD=BC，故选项C结论错误，符合题意；故选：C．小提示：本题考察了等腰三角形的性质及角平分线的性质，属于基础题，熟练掌握其性质即可．4、已知等腰三角形的其中二边长分别为3，6，则这个等腰三角形的周长为（）A．12或15B．12C．13D．15答案：D分析：因为已知长度为3和6两边，没有明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．解：①当3为底时，其它两边都为6，3、6、6可以构成三角形，周长为15；②当3为腰时，其它两边为3和6，∵3+3=6=6，∴不能构成三角形，故舍去，∴答案只有15．故选：D．小提示：本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5、在平面直角坐标系中，点A的坐标为（－2，－3），点B的坐标为（3，－3），下列说法不正确的是（）A．点A在第三象限B．点B在第二、四象限的角平分线上C．线段AB平行于x轴D．点A与点B关于y轴对称答案：D分析：根据点坐标特征、特殊直线的解析式可以作出判断．解：A、根据点坐标的符号特征，点A在第三象限，正确；B、第二、四象限的角平分线为y=-x，并且点B坐标符合y=-x，正确；C、线段AB为y=-3，平行于x轴，正确；D、与点A关于y轴对称的点为（2，-3），错误；故选D．小提示：本题考查点坐标的应用，熟练掌握点坐标特征及特殊直线的解析式是解题关键．6、某市计划在公路l旁修建一个飞机场M，现有如下四种方案，则机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短的是（）A．B．C．D．答案：B分析：用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两点之间的距离．作点A关于直线的对称点A′，连接BA′交直线l于M，根据两点之间线段最短，可知选项B机场M到A，B两个城市之间的距离之和最短．故选B小提示：本题考查了最短路径的数学问题，这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”，由于所给条件的不同，解决方法和策略上有所差别．7、如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A的坐标为（﹣5，12），它关于y轴的对称点为B，则△ABO的周长为（）A．24B．34C．35D．36答案：D分析：平面直角坐标系中点关于y轴的对称点B的坐标为（5，12），到坐标轴的距离分别为5和12，利用勾股定理算出OA和OB的长度，最后加上AB，即可得到△ABO的周长．解：∵点A与点B关于y轴对称，A（﹣5，12），∴B（5，12），∴AB＝10，∵A（﹣5，12），∴OA＝13，∴OB＝13，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝26+10＝36，故选D．小提示：本题考查了关于y轴的对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，本题还考查了勾股定理的运用．明确点到坐标轴的距离是本题的关键．8、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，CD//AB，则∠BCD=（）A．40°B．50°C．60°D．70°答案：D分析：先根据等腰三角形的性质得到∠B的度数，再根据平行线的性质得到∠BCD.解：∵AB=AC，∠A=40°，∴∠B=∠ACB=70°，∵CD∥AB，∴∠BCD=∠B=70°，故选D.小提示：本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.9、如图，在由小正方形组成的网格图中再涂黑一个小正方形，使它与原来涂黑的小正方形组成的新图案为轴对称图形，则涂法有（）A．1种B．2种C．3种D．4种答案：C分析：根据轴对称图形的概念，找到对称轴即可得答案．解：如下图，∵图形是轴对称图形，对称轴是直线AB，∴把1、2、3三个正方形涂黑，与原来涂黑的小正方形组成的新图案仍然是轴对称图形，故选：C．小提示：本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是找到对称轴．10、如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若AB＝5，AC＝8，BC＝10，则△AEF的周长为（）A．5B．8C．10D．13答案：C分析：根据线段垂直平分线的性质得到EA=EB，FA=FC，根据三角形的周长公式计算，得到答案．解：∵EG是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，同理，FA＝FC，∴△AEF的周长＝EA＋EF＋FA＝EB＋EF＋FC＝BC＝10，故选：C．小提示：本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．填空题11、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，EF是BC的垂直平分线，P是直线EF上的一动点，则PA+PB 的最小值是 ___．答案：4分析：根据题意知点B关于直线EF的对称点为点C，故当点P为EF和AC的交点时，AP+BP值最小为AC的长为4．解：如图：连结BP，CP，∵EF垂直平分BC，∴B、C关于EF对称，∴BP=CP，∴AP+BP=AP+CP，根据两点之间相等最短AP+PC≥AC，∴当点P在AC与EF交点时，AP+BP最小=AC，最小值等于AC的长为4．故答案为4．小提示：本题考查轴对称——最短路线问题的应用，解决此题的关键是能根据想到垂直平分线的性质和两点之间线段最短找出P点的位置．12、如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠，点D与点C分别落在点D′和点C′的位置上，ED′与BC的交点为G，若∠EFG=55°，则∠1为______度．答案：70分析：由折叠的性质可以得∠EFC=∠EFC′，从而求出∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，再由平行线的性质得到∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘．解：由折叠的性质可知，∠EFC=∠EFC′，∵∠EFG=55°，∴∠EFC=∠EFC′=180∘−∠EFG=125∘，∴∠C′FG=∠EFC′−∠EFG=70∘，∵四边形ABCD是长方形∴AD∥BC，DE∥FC′，∴∠1=∠EGF=∠GFC′=70∘，所以答案是：70．小提示：本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，等边三角形纸片ABC的边长为6，E，F是边BC上的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA 方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是_____ ．答案：6分析：先说明△DEF是等边三角形，再根据E，F是边BC上的三等分求出BC的长，最后求周长即可.解：∵等边三角形纸片ABC∴∠B=∠C=60°∵DE∥AB，DF∥AC∴∠DEF=∠DFE=60°∴△DEF是等边三角形∴DE=EF=DF∵E，F是边BC上的三等分点,BC=6∴EF=2∴DE=EF=DF=2∴△DEF= DE+EF+DF=6故答案为6．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质、三等分点的意义，灵活应用等边三角形的性质是正确解答本题的关键．14、如图，已知AD是△ABC的中线，E是AC上的一点，BE交AD于F，AC=BF，∠DAC=24°，∠EBC=32°，则∠ACB=__________．答案：100°分析：延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，证△BDM≌△CDA（SAS），得BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，再证△BFM是等腰三角形，求出∠MBF的度数，即可解决问题．解：如图，延长AD到M，使得DM=AD，连接BM，如图所示：在△BDM和△CDA中，{DM=DA∠BDM=∠CDABD=CD，∴△BDM≌△CDA（SAS），∴BM=AC=BF，∠M=∠DAC=24°，∠C=∠DBM，∵BF=AC，∴BF=BM，∴∠M=∠BFM=24°，∴∠MBF=180°-∠M-∠BFM=132°，∵∠EBC=32°，∴∠DBM=∠MBF-∠EBC=100°，∴∠C=∠DBM=100°，所以答案是：100°．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．15、如图，△ABC为等边三角形，若∠DBC=∠DAC=α(0°<α<60°)，则∠BCD=__________（用含α的式子表示）．答案：120°−α##−α+120°分析：在BD上截取BE=AD，连结CE，可证得△BEC≅△ADC，从而得到CE=CD，∠DCE=∠ACB=60°，从而得到△DCE是等边三角形，进而得到∠BDC=60°，则有∠BCE=60°−α，即可求解．解：如图，在BD上截取BE=AD，连结CE，∵△ABC为等边三角形，∴BC=AC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，∵∠DBC=∠DAC=α，BE=AD，∴△BEC≅△ADC，∴CE=CD，∠BCE=∠ACD，∴∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE，∴∠DCE=∠ACB=60°，∵CE=CD，∴△DCE是等边三角形，∴∠BDC=60°，∴∠BCD=180°−60°−α=120°−α．所以答案是：120°−α小提示：本题主要考查了等边三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是做出辅助线构造全等三角形是解题的关键．解答题16、如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，E是BD上一点，EA⊥AB，且EB＝EC，∠EBC＝∠ECB．(1)如果∠ABC＝40°，求∠DEC的度数；(2)求证：BC＝2AB．答案：(1)40°(2)见解析分析：（1）根据角平分线的定义求出∠EBC，根据等腰三角形的性质得到∠ECB=∠EBC=20°，根据三角形的外角性质计算，得到答案；（2）作EF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到BC=2BF，证明Rt△ABE≌Rt△FBE，根据全等三角形的性质证明结论．（1）解：∵∠ABC=40°，BD平分∠ABC，∴∠EBC=1∠ABC=20°，2∵EB=EC，∴∠ECB=∠EBC=20°，∵∠DEC是△EBC的一个外角，∴∠DEC=∠ECB+∠EBC=40°；（2）证明：过点E作EF⊥BC于点F，∵BD平分∠ABC，EA⊥AB，∴EA=EF，在Rt△AEB和Rt△FEB中，∵{EA=EF，EB=EB∴Rt△AEB≌Rt△FEB（HL），∴AB=FB（全等三角形的对应边相等），∵EB=EC，EF⊥BC，∴BC=2FB，∴BC=2AB．小提示：本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键．17、如图1，将长方形ABEF的一角向长方形内部折叠，使角的顶点A落在点A′处，OC为折痕，则OC平分∠AOA′．(1)若∠AOC＝25°，求∠A′OB的度数；(2)若点D在线段BE上，角OBD沿着折痕OD折叠落在点B′处，且点B′在长方形内．①如果点B′刚好在线段A′O上，如图2所示，求∠COD的度数；②如果点B′不在线段A′O上，且∠A′OB′＝40°，求∠AOC+∠BOD的度数．答案：(1)130°(2)①90°；②70°或110°分析：（1）根据折叠的性质，可得∠AOA′=2∠AOC=50°，即可求解；（2）①根据折叠的性质，可得∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，从而得到∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)，即可求解；②分两种情况：当OB′在OA′右侧时，当OB′在OA′左侧时，即可求解．（1）解：∵OC平分∠AOA′．∠AOC＝25°，∴∠AOA′=2∠AOC=50°，∴∠A′OB=180°−∠AOA′=130°；（2）解：①根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∴∠COD=∠A′OC+∠B′OD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×180°=90°；②如图，当OB′在OA′右侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°−∠A′OB′=140°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×140°=70°；如图，当OB′在OA′左侧时，根据题意得：∠A′OC=∠AOC=12∠AOA′,∠B′OD=∠BOD=12∠BOB′，∵∠A′OB′＝40°，∴∠AOA′+∠BOB′=180°+∠A′OB′=220°，∴∠AOC+∠BOD=12(∠AOA′+∠BOB′)=12×220°=110°；综上所述，∠AOC+∠BOD的度数70°或110°．小提示：本题主要考查了折叠的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握图形折叠前后对应角相等，对应线段相等是解题的关键．18、如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，∠B=32°，∠BAD=42°，求∠DAC的度数．答案：∠DAC＝74°分析：根据等边对等角可得∠C＝∠B＝32°，然后根据三角形的内角和定理，即可求出∠BAC，从而求出∠DAC 的度数．解：∵AB＝AC，∠B＝32°，∴∠C＝∠B＝32°，∴∠BAC＝180°﹣32°﹣32°＝116°，∵∠DAB＝42°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝116°﹣42°＝74°．小提示：此题考查的是等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，掌握等边对等角和三角形的内角和等于180°是解决此题的关键．。

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05 轴对称重难点题型分类(解析版)—八年级数学上册重难点题型分类高分必刷题(人教版)

专题05轴对称重难点题型分类-高分必刷题（解析版）专题简介：本份资料包含《轴对称》这一章除各类压轴题之外的六种主流题型，所选题目源自各名校期中、期末试题中的典型考题，具体包含的题型有：轴对称图形、垂直平分线的性质与判定、尺规作图、最短路径问题、等腰三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定。

适合于培训机构的老师给学生作培训时使用或者学生考前刷题时使用。

题型一轴对称图形1．（2021·湖南）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；B．不是轴对称图形，故B不符合题意；C．不是轴对称图形，故C不符合题意；D．是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．2．（2021·辽宁）若点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a、b的值为（）A．a=3，b=－5B．a=－3，b=5C．a=3，b=5D．a=－3，b=1【详解】解：根据题意，点M(2，a)和点N(a+b，3)关于y轴对称，则a+b=-2，a=3,解得b=-5,故选：A．3.如图，是小亮在镜中看到身后墙上的时钟，此时时钟的实际时刻是（）A．3：55B．8：05C．3：05D．8：55【详解】解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，分针指向11实际对应点为1，故此时的实际时刻是：8点5分．故选：B．4．（2022·浙江）如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N 的位置上，若55∠-∠的值为（）∠=︒，则21EFGA．35︒B．40︒C．45︒D．55︒【详解】解： 四边形ABCD 是长方形，∴AD BC ，∴55DEF EFG ∠=∠=︒，由折叠的性质得：55GEF DEF ∠=∠=︒，118070GEF DEF ∴∠=︒-∠-∠=︒，又∵AD BC ，21801110∴∠=︒-∠=︒，211107040∴∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．题型二垂直平分线的性质与判定1.垂直平分线的定义经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）．2.垂直平分线的性质垂直平分线上任意一点,到线段两端点的距离相等.．3.垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．5．（2015·湖北）如图，△ABC 中，AB =5，AC =6，BC =4，边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是（）A ．8B ．9C ．10D ．11【详解】解：∵ED 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，∵△BDC 的周长=DB +BC +CD ，∴△BDC 的周长=AD +BC +CD =AC +BC =6+4=10．故选C ．6.（2017·湖北）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝30°，AB 的垂直平分线l 交AC 于点D ，则∠CBD 的度数为()A ．30°B ．45°C ．50°D ．75°【详解】∵AB =AC ，∠A =30°，∴∠ABC =∠ACB =75°，∵AB 的垂直平分线交AC 于D ，∴AD =BD ，∴∠A=∠ABD=30°，∴∠BDC=60°，∴∠CBD=180°﹣75°﹣60°=45°．故选B．7．如图，∠BAC＝110°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．60°【解答】解：∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝70°，又MP，NQ为AB，AC的垂直平分线，∴∠BAP＝∠B，∠QAC＝∠C，∴∠BAP+∠CAQ＝70°，∴∠PAQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝110°﹣70°＝40°故选：B．8．（2021·宁夏）如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE＝5，求BC长．【详解】解：（1）∵DE垂直平分AC，∴CE＝AE，∴∠ECD＝∠A＝36°；（2）∵AB＝AC，∠A＝36°，∴∠B＝∠ACB＝72°，∴∠BEC＝∠A+∠ECD＝72°，∴∠BEC＝∠B，∴BC＝EC＝5．的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，9．（2021·北京）如图所示，AD是ABC∠=∠．连结AF，求证：BAF ACF【详解】证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠ADF，∵∠FAD＝∠FAC＋∠CAD，∠ADF＝∠B＋∠DAB，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAB＝∠CAD，∴∠FAC＝∠B，∴∠BAC＋∠FAC＝∠B＋∠BAC，即∠BAF＝∠ACF．10．（2021·山东）已知：如图，在△ABC中，∠BAC的平分线AP与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PM⊥AC于点M，PN⊥AB交AB延长线于点N，连接PB，PC．求证：BN=CM．【详解】解：证明：∵AP是∠BAC的平分线，PM⊥AC，PN⊥AB，∴PM=PN，∵PQ是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，在Rt△PBN和Rt△PCM中，PB PCPM PN=⎧⎨=⎩，∴Rt△PBN≌Rt△PCM（HL），∴BN=CM．11．如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．（1）求证：BD＝CE；（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．【解答】（1）证明：连接BP、CP，∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，在Rt△BDP和Rt△CEP中，，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；（2）解：在Rt△ADP和Rt△AEP中，，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．12．已知在△ABC中，∠CAB的平分线AD与BC的垂直平分线D交于点D，DM⊥AB于M，DN⊥AC的延长线于N．（1）证明：BM＝CN；（2）当∠BAC＝70°时，求∠DCB的度数．【解答】（1）证明：连接BD，如图所示：∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵DE垂直平分线BC，∴DB＝DC，在Rt△DMB和Rt△DNC中，，∴Rt△DMB≌Rt△DNC（HL），∴BM＝CN；（2）解：由（1）得：∠BDM＝∠CDN，∵AD是∠CAB的平分线，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN，在Rt△DMA和Rt△DNA中，，∴Rt△DMA≌Rt△DNA（HL），∴∠ADM＝∠ADN，∵∠BAC ＝70°，∴∠MDN＝110°，∠ADM＝∠ADN＝55°，∵∠BDM＝∠CDN，∴∠BDC＝∠MDN＝110°，∵DE是BC的垂直平分线，∴DB＝DC，∴∠EDC＝BDC＝55°，∴∠DCB＝90°﹣∠EDC＝35°，∴∠DCB＝35°．13．（2022·广东）如图，△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，（1）若∠BAC=50°，求∠EDA的度数；（2）求证：直线AD是线段CE的垂直平分线．【详解】（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC=50°，∴∠EAD=12∠BAC=25°，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∴∠ADE=90°-∠EAD=90°-25°=65°；（2）∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，又AD平分∠BAC，∴∠DAE=∠DAC，∵AD=AD，∴△AED≌△ACD，∴AE=AC，DE=DC，∴点A在线段CE的垂直平分线上，点D在线段CE的垂直平分线上，∴直线AD是线段CE的垂直平分线.14．（2019·广东）如图，点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，垂足分别为C 、D ．求证：（1）∠ECD =∠EDC ；（2）OC =OD ；（3）OE 是线段CD 的垂直平分线．【详解】证明：（1）∵OE 平分∠AOB ，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴ED =EC ，即△CDE 为等腰三角形，∴∠ECD =∠EDC ；（2）∵点E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OA ，ED ⊥OB ，∴∠DOE =∠COE ，∠ODE =∠OCE =90°，OE =OE ，∴△OED ≌△OEC （AAS ），∴OC =OD ；（3）∵OC =OD ，且DE =EC ，∴OE 是线段CD 的垂直平分线．题型三尺规作图15．（2022·辽宁）已知在ABC 中，点D 为线段BC 边上一点，则按照顺序，线段AD 分别是ABC 的（）A ．①中线，②角平分线，③高线B ．①高线，②中线，③角平分线C ．①角平分线，②高线，③中线D ．①高线，②角平分线，③中线【详解】解：①由作图方法可知，AD 是BC 边上的垂线，即AD 为△ABC 的高；②由作图方法可知AD 是∠BAC 的角平分线；③由作图方法可知D 在BC 的垂直平分线上，即AD 是BC 的中线；故选D ．16．（2022·山东）如图，在ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交BC 于点D ，连接AD ．若ABC 的周长为12，5AB ，则ADC 的周长为（）A ．10B ．9C ．8D ．7【详解】根据题意可知MN 是AB 的垂直平分线，∴AD=BD ．∵△ABC 的周长为12，∴AB+BC+AC=12．∵AB=5，∴BC+AC=7，即AC+CD+BD=7，∴AC+CD+AD =7，所以△ADC 的周长为7．17．（2022·福建）如图，已知△ABC ．(1)求作BC 边上高AD ，交BC 于点D ，∠BAC 的平分线AE ，交BC 于点E （要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．(2)若∠B ＝35°，∠C ＝65°，求∠DAE 的度数．【答案】（1）解：如图，线段AD ，线段AE 即为所求．（2）解：∵∠CAB =180°-∠B -∠C =80°，AE 平分∠CAB ，∴∠CAE =12∠CAB =40°，∵AD ⊥BC ，∴∠ADC =90°，∴∠CAD =90°-∠C =25°，∴∠DAE =∠CAE -∠CAD =15°．18．按要求完成下列作图，不要求写作法，只保留作图痕迹．（1）已知：线段AB ，作出线段AB 的垂直平分线MN ．（2）已知：∠AOB ，作出∠AOB 的平分线OC ．【解答】解：（1）如图（1），MN为所作；（2）如图（2），OC为所作；19．（2020·北京）如图，已知∠BAC及两点M、N．求作：点P，使得PM＝PN，且P到∠BAC两边的距离相等．【详解】解：作∠BAC平分线，再作线段MN的垂直平分线EF交于点P，如图，点P即为所求．理由：过点P作PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H，连接PM，PN，∵AP平分∠BAC，∴PG=PH，∵EF垂直平分MN，∴PM=PN．题型四最短路径问题=，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，20.（青竹湖）如图，在△ABC中，AB AC则下列线段的长度等于BP EP+最小值的是（）A.BCB.CEC.ADD.AC【解答】解：B点的对称点为C，再连接E,C，故选：B．21．已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是（）A．40°B．100°C．140°D．50°【解答】解：分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″，连接OP′、OP″、P′P″，P′P″交OM、ON于点A、B，连接PA、PB，此时△PAB周长的最小值等于P′P″．由轴对称性质可得，OP′＝OP″＝OP，∠P′OA＝∠POA，∠P″OB＝∠POB，∴∠P′OP″＝2∠MON＝2×40°＝80°，∴∠OP′P″＝∠OP″P′＝（180°﹣80°）÷2＝50°，又∵∠BPO＝∠OP″B＝50°，∠APO＝∠AP′O＝50°，∴∠APB＝∠APO+∠BPO＝100°．故选：B．22．（2020·北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，点O(0，0)，A(－1，2)，B(2，1)．(1)在图中画出△AOB关于y轴对称的△A1OB1，并直接写出点A1和点B1的坐标；（不写画法，保留画图痕迹）(2)在x 轴上画出点P ，使得PA +PB 的值最小．（1）解：如图所示，即为所求，由图形知，()112，A ，()121B -，；（2）解：如图，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接AB '，与x 轴的交点，即为点P ，23．（北雅）阅读下列一段文字：已知在平面内两点P 1（x 1，y 1）、P 2（x 2、y 2），其两点间的距离P 1P 2＝问题解决：已知A （1，5），B （7，3）（1）试求A 、B 两点的距离；（2）在x 轴上找一点P （不求坐标，画出图形即可），使PA +PB 的长度最短，求出PA +PB 的最短长度．（3）在x 轴上有一点M ，在y 轴上有一点N ，连接A 、N 、M 、B 得四边形ANMB ，若四边形ANMB 的周长最短，请找到点M 、N （不求坐标，画出图形即可），求出四边形ANMB 的最小周长．【解答】解：（1）∵A （1，5）、B （7，3），∴AB ＝＝＝2，即A 、B 两点的距离为：2；（2）如右图1所示，作点A 关于x 轴的对称点A ′，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（1，﹣5），∴A ′B ＝＝10，即PA +PB 的最短长度是10；（3）作点A 关于y 轴的对称点A ′，作点B 关于x 轴的对称点B ′，连接A ′B ′于y 轴交于点N ，与x 轴交于点M ，如图2所示，∵A （1，5）、B （7，3），∴A ′（﹣1，5），B ′（7，﹣3），∴AB ＝2，A ′B ′＝＝8，∴四边形ANMB 的最小周长是8+2．题型五等腰三角形的性质与判定1.定义：两条边相等的三角形是等腰三角形。

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

人教版初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为1：4，则这个等腰三角形顶角度数为（ ） A ．75°B ．90°C ．105°D ．120°或20°D 解析：D【分析】设两内角的度数为x 、4x ，分两种情况，列出方程，即可求解．【详解】解：设两内角的度数为x 、4x ，当等腰三角形的顶角为x 时，x ＋4x ＋4x ＝180°，x ＝20°；当等腰三角形的顶角为4x 时，4x ＋x ＋x ＝180°，x ＝30°，4x ＝120°；因此等腰三角形的顶角度数为20°或120°．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，掌握分类讨论思想方法是解题的关键．2．如图所示，已知ABC 和DCE 均是等边三角形，点B 、C 、E 在同一条直线上，连接AE 、BD 、FG ，AE 与BD 交于点O ，AE 与CD 交于点G ，AC 与BD 交于点F ，则下列结论中：①AE BD =； ②AG BF =； ③FG//BE ； ④CF CG =，以上结论正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个D解析：D【分析】 首先根据等边三角形性质得出BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，即可证明△BCD 与△ACE 全等、△BCF 与△ACG 全等以及△DFC 与△EGC 全等，最后利用全等三角形性质以及等边三角形性质证明即可．【详解】∵△ABC 与△CDE 为等边三角形，∴BC=AC ，CD=CE ，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD ，∠ACD=60°，即：∠ACE=∠BCD ，在△BCD 与△ACE 中，∵BC=AC ，∠ACE=∠BCD ，CD=CE ，∴△BCD ≌△ACE(SAS)，∴AE=BD ，即①正确；在△BCF 与△ACG 中，由①可知∠CBF=∠CAG ，又∵AC=BC ，∠BCF=∠ACG=60°，∴△BCF ≌△ACG(ASA)，∴AG=BF ，即②正确；在△DFC 与△EGC 中，∵△BCF ≌△ACG ，∴CF=CG ．即④正确；∵∠GCF =60°，∴△CFG 为等边三角形，∴∠CFG=∠FCB=60°，∴FG ∥BE ，即③正确；综上，①②③④都正确．故选：D ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，解题的关键是正确寻找全等三角形来解决问题，．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图所示，D 为 BC 上一点，且 AB ＝AC ＝BD ，则图中∠1 与∠2 的关系是（ ）A ．∠1＝2∠2B ．∠1+∠2＝180°C ．∠1+3∠2＝180°D ．3∠2﹣∠1＝180°D 解析：D【分析】根据三角形外角的性质得12C ∠+∠=∠，再根据等腰三角形的性质得B C ∠=∠，2BAD ∠=∠，由180BAC B C ∠+∠+∠=︒即可得出1∠与2∠的关系．【详解】解：∵2∠是ACD △的外角，∴12C ∠+∠=∠，∴∠C=∠2-∠1，∵AB AC =，∴B C ∠=∠，∵AB BD =，∴2BAD ∠=∠，∴112BAC BAD ∠=∠+∠=∠+∠，∵180BAC B C ∠+∠+∠=︒，∴122121180∠+∠+∠-∠+∠-∠=︒，即321180∠-∠=︒．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形的性质得到相等的角． 6．如图，C 是线段AB 上的一点，ACD △和BCE 都是等边三角形，AE 交CD 于M ，BD 交CE 于N ，交AE 于O ，则①DB AE =；②AMC DNC ∠=∠；③60AOB ∠=︒；④DN AM =；⑤CMN △是等边三角形．其中，正确的有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个C解析：C【分析】 易证△ACE ≌△DCB ，可得①正确；即可求得∠AOB ＝120°，可得③错误；再证明△ACM ≌△DCN ，可得②④正确和CM ＝CN ，即可证明⑤正确；即可解题．【详解】解：∵ACD △和BCE 都是等边三角形∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠DCE ＝60°，在△ACE 和△DCB 中，AC DC ACE DCB CB CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACE ≌△DCB （SAS ），∴∠BDC ＝∠EAC ，DB ＝AE ，①正确；∠CBD ＝∠AEC ，∵∠AOB ＝180°−∠OAB−∠DBC ，∴∠AOB ＝180°−∠AEC−∠OAB ＝120°，③错误；在△ACM 和△DCN 中，60BDC EAC DC ACACD DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩， ∴△ACM ≌△DCN （ASA ），∴AM ＝DN ，④正确；∠AMC ＝∠DNC ，②正确；CM ＝CN ，∵∠ACD ＝∠BCE ＝60°，∴∠MCN ＝180°-∠ACD-∠BCE =60°，∴△CMN 是等边三角形，⑤正确；故有①②④⑤正确．故选：C ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ACE ≌△DCB 和△ACM ≌△DCN 是解题的关键．7．北京有许多高校，下面四所高校校徽主体图案是轴对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个B解析：B【分析】 根据轴对称图形的概念对各图案逐一进行判断即可得答案．【详解】第一个图案是轴对称图形，第二个图案不是轴对称图形，第三个图案是轴对称图形，第四个图案不是轴对称图形，综上所述：是轴对称图形的图案有2个，故选：B ．【点睛】本题考查轴对称图形，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠，对称轴两边的图形能够完全重合；熟练掌握轴对称图形的定义是解题关键．8．如图，已知等腰三角形ABC 中，AB AC =，15DBC ∠=︒，分别以A 、B 两点为圆心，以大于12AB 的长为半径画圆弧，两弧分别交于点E 、F ，直线EF 与AC 相交于点D ，则A ∠的度数是（ ）A ．50°B ．60°C ．75°D ．45°A解析：A【分析】 根据中垂线的性质可得DA=DB ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，结合等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，列出方程，即可求解．【详解】又作图可知：EF 是AB 的垂直平分线，∴DA=DB ，∴∠A=∠ABD ，设∠A=x ，则∠ABD=x ，∵15DBC ∠=︒，∴∠ABC=x+15°，∵AB=AC ，∴∠C=∠ABC=x+15°，∴2(x+15°)+x=180°，∴x=50°，故选A ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，中垂线的性质以及三角形内角和定理，掌握中垂线的性质定理以及方程思想，是解题的关键．9．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm D解析：D【分析】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，根据等腰三角形的性质得出AN BC ⊥，BN CN =，根据60EBC E ∠=∠=，得出EBM △是等边三角形，进而得到6EB EM BM cm ===，通过//DF BC ，证明EFD △是等边三角形，进而得到2EF FD ED cm ===，所以求出4DM cm =，根据直角三角形的性质得到MN 的长度，从而得出BN 的长度，最后求出BC 的长度．【详解】延长ED 交BC 于点M ，延长AD 交BC 于点N ，过点D 作//DF BC 交BE 于点F ，如图，AB AC =，AD 平分BAC ∠，∴AN BC ⊥，BN CN =，∴90ANB ANC ∠=∠=，60EBC E ∠=∠=，∴EBM △是等边三角形，6BE cm =，∴6EB EM BM cm ===，//DF BC ，∴60EFD EBM ∠=∠=，∴EFD △是等边三角形，2DE cm =，∴2EF FD ED cm ===，∴4DM cm =，EBM △是等边三角形，∴60EMB ∠=，∴30NDM ∠=，∴2NM cm =，∴4BN BM NM cm =-=，∴28BC BN cm ==．故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和等边三角形的性质，直角三角形中30角所对的直角边是斜边长的一半，求出MN 的长度是解决问题的关键．10．等腰三角形腰上的高与另一腰的夹角为30，则底角度数是（ ）A ．30B ．60︒C ．40︒或50︒D ．30或60︒D解析：D【分析】由三角形的高可在三角形的内部，也可在三角形的外部，所以分锐角三角形和钝角三角形两种情况作出符合题意的图形，再结合等腰三角形的性质与三角形的内角和定理求解即可．【详解】解：如图，分两种情况：①如图，当三角形的高在三角形的内部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°，∴∠A=60°，∴∠C=∠ABC=1802A ︒-∠ =60°； ②如图，当三角形的高在三角形的外部时，AB=AC ，BD ⊥AC ，∠ABD=30°， ∴∠DAB=60°，∠BAC=120°，∴∠C=∠ABC=180302BAC ︒-∠=︒． 故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和直角三角形的两锐角互余，三角形的内角和定理的应用，三角形的高的含义，分类讨论的数学思想，掌握分类讨论解决问题是解题的关键． 二、填空题11．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与x 轴交于点1B ，与y 轴交点于D ，且111,60OB ODB =∠=︒，以1OB 为边长作等边三角形11AOB ，过点1A 作12A B 平行于x 轴，交直线l 于点2B ，以12A B 为边长作等边三角形212A A B ，过点2A 作23A B 平行于x 轴，交直线l 于点3B ，以23A B 为边长作等边三角形323A A B ，…，按此规律进行下去，则点6A 的横坐标是______．5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A过A2作A2B⊥A1B2于B过A3作A3C⊥A2B3于C根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质分别求得A1的横坐标为A2的横坐标为A3的横坐标为进而解析：5【分析】过A1作A1A⊥OB1于A，过A2作A2B⊥A1B2于B，过A3作A3C⊥A2B3于C，根据等边三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质，分别求得A1的横坐标为1212-，，A2的横坐标为2212-，A3的横坐标为3212-，进而得到A n的横坐标为212n-，据此可得点A6的横坐标．【详解】解：如图所示,过A1作A1A⊥OB1于A,则OA=12OB1=12，即A1的横坐标为12=1212-，∵160ODB∠=°，∴∠OB1D=30°，∵A 1B 2//x 轴，∴∠A 1B 2B 1=∠OB 1D =30°，∠B 2A 1B 1=∠A 1B 1O =60°，∴∠A 1B 1B 2=90°，∴A 1B 2=2A 1B 1=2，过A 2作A 2B ⊥A 1B 2于B ,则A 1B =12A 1B 2=1， 即A 2的横坐标为12+1=2212-， 过A 3作A 3C ⊥A 2B 3于C ，同理可得,A 2B 3=2A 2B 2=4,A 2C =12A 2B 3=2， 即A 3的横坐标为12+1+2=3212-， 同理可得,A 4的横坐标为12+1+2+4=4212-， 由此可得,A n 的横坐标为212n -， ∴点A 6的横坐标是62163==31.522-， 故答案为31.5．【点睛】本题是一道找规律问题，涉及到等边三角形的性质、含30度角的直角三角形，解题的关键要利用等边三角形的性质总结出关于点A 的系列点的规律．12．如图，在ABC ∆中，CD 平分,ACB ∠点,E F 分别是,CD AC 上的动点．若6,12,ABC BC S ∆==则AE EF +的最小值是______________．【分析】作A 关于CD 的对称点H 由CD 是△ABC 的角平分线得到点H 一定在BC 上过H 作HF ⊥AC 于F 交CD 于E 连接AE 则此时AE ＋EF 的值最小AE ＋EF 的最小值＝HF 过A 作AG ⊥BC 于G 根据垂直平分线的解析：4【分析】作A 关于CD 的对称点H ，由CD 是△ABC 的角平分线，得到点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，根据垂直平分线的性质和三角形的面积即可得到结论．【详解】作A 关于CD 的对称点H ，∵CD 是△ABC 的角平分线，∴点H 一定在BC 上，过H 作HF ⊥AC 于F ，交CD 于E ，连接AE ，则此时，AE ＋EF 的值最小，AE ＋EF 的最小值＝HF ，过A 作AG ⊥BC 于G ，∵△ABC 的面积为12，BC 长为6，∴AG ＝4，∵CD 垂直平分AH ，∴AC ＝CH ，∴S △ACH ＝12AC•HF ＝12CH•AG ， ∴HF ＝AG ＝4，∴AE ＋EF 的最小值是4，故答案是：4．【点睛】本题考查了轴对称−最短路线问题，解题的关键是正确的作出对称点和利用垂直平分线的性质证明AE ＋EF 的最小值为三角形某一边上的高线．13．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵垂直平分∴∴∵∴∴∵BD 平分∴∴故答案是【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键解析：87︒【分析】根据垂直平分线和角平分线的性质求解即可；【详解】∵DE 垂直平分BC ，∴DB DC =，∴∠=∠DBC C ，∵31C ∠=︒，∴31DBC ∠=︒，∴62ADB C DBC ∠=∠+∠=︒，∵BD 平分ABC ∠，∴31ABD DBC ∠=∠=︒，∴180623187A ∠=︒-︒-︒=︒．故答案是87︒．【点睛】本题主要考查了垂直平分线和角平分线的性质，结合三角形外角性质和三角形内角和定理计算是关键．14．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】 本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．15．若一条长为24cm 的细线能围成一边长等于6cm 的等腰三角形，则该等腰三角形的腰长为__________cm ．【分析】分两种情况根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时底边长=24-6-6=12（cm ）∵6+6=12故不能构成三角形；当6cm 的边为底边时腰长=（cm ）解析：9【分析】分两种情况，根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系解答．【详解】分两种情况：当6cm 的边为腰时，底边长=24-6-6=12（cm ），∵6+6=12，故不能构成三角形； 当6cm 的边为底边时，腰长=1(246)92⨯-=（cm ），由于6+9>9，故能构成三角形， 故答案为：9．【点睛】此题考查等腰三角形的性质：两腰相等，依据三角形三边关系，解题中运用分类思想解答．16．若点P(x-y ，y)与点Q(-1，-5)关于x 轴对称，则x+y=______．9【分析】根据关于x 轴对称的点横坐标相同纵坐标互为相反数可得答案【详解】由点P （x-yy ）与点Q （-1-5）关于x 轴对称得x-y ＝-1y ＝5解得x ＝4y ＝5x+y=4+5=9故答案为：9【点睛】本题解析：9【分析】根据关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，可得答案．【详解】由点P （x-y ，y ）与点Q （-1，-5）关于x 轴对称，得x-y ＝-1，y ＝5．解得x ＝4，y ＝5，x+y=4+5=9，故答案为：9【点睛】本题考查了关于x 轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．17．如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D，O是网格线交点，那么∠___________CODAOB∠（填“＞”，“＜”或“＝”）．>【分析】如图过点B作BE⊥AC于E证明△BOE是等腰直角三角形得到∠BOE=过点C作CF⊥OC使FC=OC证明△OCF是等腰直角三角形得到∠FOC=由图知∠FOC>∠COD即可得到∠AOB>∠CO解析：>【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△BOE是等腰直角三角形，得到∠BOE=45︒，过点C 作CF⊥OC，使FC=OC，证明△OCF是等腰直角三角形，得到∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，即可得到∠AOB>∠COD．【详解】如图，过点B作BE⊥AC于E，∵OB=OE=2，∠BEO=90︒，∴△BOE是等腰直角三角形，∴∠BOE=45︒，过点C作CF⊥OC，使FC=OC，∴∠FCO=90︒，∴△OCF是等腰直角三角形，∴∠FOC=45︒，由图知∠FOC>∠COD，∴∠AOB>∠COD，故答案为：>．．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定及性质,角的大小比较，根据图形确定角的位置关系是解题的关键．18．如图，∠AOB＝45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N 为OB上一动点，当PM＋PN最小时，则∠PMO的度数为___________．45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′过点M′作M′N ⊥OB 于点N 交OC 于点P 则此时PM+PN 的值最小再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案【详解】解：如图找到点M 关于OC 对称点M′过点M解析：45°【分析】找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小，再根据角平分线的性质及三角形内角和即可得出答案．【详解】解：如图，找到点M 关于OC 对称点M′，过点M′作M′N ⊥OB 于点N ，交OC 于点P ，则此时PM+PN 的值最小．∵PM=PM′，∴此时PM+PN=PM′+PN′=M′N′，∵点M 与点M′关于OC 对称，OC 平分∠AOB ，∴OM=OM′，∵∠AOB=45°，∴∠PM'O=∠AOB=45°，∴∠PMO=∠PM'O=45°，故答案为：45°．【点睛】本题考查了利用轴对称的知识寻找最短路径的知识，涉及到两点之间线段最短、垂线段最短的知识，有一定难度，正确确定点P 及点N 的位置是关键．19．如图，25AOB ∠=︒，点M ，N 分别是边OA ，OB 上的定点，点P ，Q 分别是边OB ，OA 上的动点，记MPQ α∠=，PQN β∠=，当MP PQ QN ++的值最小时，βα-的大小=__________（度）．50【分析】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点连接交OB 于点P 交OA 于点Q 连接MPQN 可知此时最小此时再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论【详解】作M 关于OB 的对称点N 关于OA 的对称点解析：50【分析】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，可知此时MP PQ QN ++最小，此时OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，再根据三角形外角的性质和平角的定义即可得出结论．【详解】作M 关于OB 的对称点M '，N 关于OA 的对称点N '，连接M N ''，交OB 于点P ，交OA 于点Q ，连接MP ，QN ，如图所示．根据两点之间，线段最短，可知此时MP PQ QN++最小，即MP PQ QN M N ''++=， ∴OPM OPM NPQ OQP AQN AQN ''∠=∠=∠∠=∠=∠，，∵MPQ PQN αβ∠=∠=，， ∴11(180)(180)22QPN OQP αβ∠=︒-∠=︒-，， ∵QPN AOB OQP ∠=∠+∠，25AOB ∠=︒， ∴11(180)25(180)22αβ︒-=︒+︒- ， ∴50βα-=︒ ． 故答案为：50．【点睛】本题考查轴对称-最短问题、三角形内角和，三角形外角的性质等知识，灵活运用所学知识解决问题是解题的关键，综合性较强．20．如图，ABC ∆中，ABC ∠与ACB ∠的平分线交于点F ，过点F 作//DE BC 交AB 于点D ，交AC 于点E ，那么下列结论：①BDF ∆和CEF ∆都是等腰三角形；②DE BD CE =+；③ADE ∆的周长等于AB 与AC 的和；④BF CF =；⑤若80A ∠=︒，则130BFC ∠=︒．其中正确的有_______．（填正确的序号）．①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DFEF=EC 从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DFEF=EC 所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的解析：①②③⑤【分析】①根据平行线性质和角平分线定义可以得到DB=DF ，EF=EC ，从而得到△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；②同①有DB=DF ，EF=EC ，所以DE=DF+EF=BD+CE ；③由②得：△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；④因为∠ABC 不一定等于∠ACB ，所以∠FBC 不一定等于∠FCB ，所以BF 与CF 不一定相等；⑤由角平分线定义和三角形内角和定理可以得解．【详解】解：∵DE ∥BC ，∴∠DFB=∠FBC ，∠EFC=∠FCB ，∵△ABC 中，∠ABC 与∠ACB 的平分线交于点F ，∴∠DBF=∠FBC ，∠ECF=∠FCB ，∴∠DBF=∠DFB ，∠ECF=∠EFC ，∴DB=DF ，EF=EC ，即△BDF 和△CEF 都是等腰三角形；故①正确；∴DE=DF+EF=BD+CE ，故②正确；∴△ADE 的周长为：AD+DE+AE=AB+BD+CE+AE=AB+AC ；故③正确；∵∠ABC 不一定等于∠ACB ，∴∠FBC 不一定等于∠FCB ，∴BF 与CF 不一定相等，故④错误； 由题意知，1122FBC ABC FCB ACB ∠=∠∠=∠，， ∴()()11801802BFC FBC FCB ABC ACB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠ =()()111801801801808022A ︒-︒-∠=︒-︒-︒ =130°,故⑤正确，故答案为①②③⑤．【点睛】 本题考查了等腰三角形的判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质及三角形的内角和定理；题目利用了两直线平行，内错角相等及等角对等边来判定等腰三角形；等量代换的利用是解答本题的关键．三、解答题21．如图，点E 在ABC 的边AB 上，90ABC EAD ∠=∠=︒，30BAC ADE ∠=∠=︒，DE 的延长线交AC 于点G ，交BC 延长线于点F ．AB=AD ，BH ⊥DF ，垂足为H ．（1）求HAE ∠的度数；（2）求证：DH FB FH =+．解析：（1）=15∠HAE ；（2）见解析【分析】（1）连接BG ，先根据等腰三角形的判定得出AG=AD ，再根据SSS 得出△AGH ≌△ABH ，从而得出=∠∠HAE HAG ，继而得出HAE ∠的度数；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ，根据垂直平分线的性质得出BF=BM ，再根据等腰三角形的判定得出DM=BM ，从而得出结论【详解】解：（1）连接BG∵90EAD ∠=︒，30BAC ∠=︒，∴∠DAG=120°，∵30ADE ∠=︒，∴30∠=∠=︒ADE AGD ，∴AG=AD ，∵AB=AD ，∴AG=AB ，∵30BAC ∠=︒，∴75∠=∠=︒AGB ABG ，∵BH ⊥DF ，90EAD ∠=︒，∴=90∠∠=︒BHE EAD ，∵=∠∠BEH AED ，∴30∠=∠=︒ADE EBH ，∴45∠=∠-∠=︒HBG ABG EBH ，∵90FHB ∠=︒，∴∠=∠HBG HGB ，∴GH=BH ，∵AG=AB ，AH=AH ，∴△AGH ≌△ABH ，∴=∠∠HAE HAG ，∵30BAC ∠=︒，∴=15∠HAE ；（2）在DH 上取HM=HF ，连接BM ；∵90ABC EAD ∠=∠=︒，∴AD//BF ，∴30∠=∠=︒F ADE ，∵BH ⊥DF ，HM=HF ，∴BF=BM∴30∠=∠=︒F BMF∵AB=AD ，90EAD ∠=︒∴45ADB ∠=︒，∵30ADE ∠=︒∴15∠=︒MDB ，∵30∠=︒=∠+∠BMF MBD MDB ，∴==15∠∠MBD MDB ，∴BM=DM=BF ，∵DH=DM+HM ，∴DH=FH+BF【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂直平分线的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 22．如图，ABC 是边长为10的等边三角形，现有两点P 、Q 沿如图所示的方向分别从点A 、点B 同时出发，沿ABC 的边运动，已知点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的运度为每秒2个单位长度，当点P 第一次到达B 点时，P 、Q 同时停止运动． （1）点P 、Q 运动几秒后，可得到等边三角形APQ ？（2）点P 、Q 运动几秒后，P 、Q 两点重合？（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能否得到以PQ 为底边的等腰APQ ？如存在，请求出此时P 、Q 运动的时间．解析：（1）点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ；（2）点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【分析】（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，利用,AP AQ = 列方程，解方程可得答案；（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，由追及问题中的相等关系：Q 的运动路程等于P 的运动路程加上相距的路程，列方程，解方程即可得到答案；（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．先证明：ACP △≌ABQ △，可得CP BQ =，再列方程，解方程并检验即可得到答案．【详解】解：（1）设点P 、Q 运动t 秒后，可得到等边三角形APQ ，如图①，AP t =，102AQ AB BQ t =-=-，∵三角形APQ 是等边三角形，,AP AQ ∴=∴102t t =-，解得103t =， ∴点P 、Q 运动103秒后，可得到等边三角形APQ ．（2）设点P 、Q 运动x 秒后，P 、Q 两点重合，102x x +=，解得：10x =．∴点P 、Q 运动10秒后，P 、Q 两点重合．（3）当点P 、Q 在BC 边上运动时，可以得到以PQ 为底边的等腰三角形．理由如下： 由（2）知10秒时P 、Q 两点重合，恰好在C 处，如图②，假设APQ 是等腰三角形，∴AP AQ =，∴APQ AQP ∠=∠，∴APC AQB ∠=∠，∵ACB △是等边三角形，∴C B ∠=∠，在ACP △和ABQ △中，,,,AC AB C B APC AQB =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩， ∴ACP △≌ABQ △，∴CP BQ =，设当点P 、Q 在BC 边上运动时，P 、Q 运动的时间y 秒时，APQ 是等腰三角形， 由题意得：10CP y =-，302QB y =-，∴ 10302y y -=-， 解得：403y =， P 的最长运动时间为2020,1s = Q 从B A C B →→→的最长时间为30=152s ， 由403＜15， ∴ 403y =符合题意， ∴当点P 、Q 在BC 边上运动时，能得到以PQ 为底边的等腰三角形，此时P 、Q 运动的时间为403秒． 【点睛】 本题考查的是三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，动点问题，掌握以上知识是解题的关键．23．已知AOB ∠及一点P ，利用直尺和圆规，根据下列要求作图（保留作图痕迹，不要求写作法）（1）过点P 作OA 、OB 的垂线，垂足分别为点M 、N ；（2）猜想MPN ∠与AOB ∠之间的数量关系，并说明理由．解析：（1）见解析；（2）∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB，理由见解析【分析】（1）根据垂线的定义画出图形即可解决问题；（2）根据四边形内角和为360°或“8字型”的性质即可解决问题；【详解】（1）过点P作OA、OB的垂线PM、PN如图所示；（2）猜想：∠MPN+∠AOB=180°或∠MPN=∠AOB．理由：左图中，在四边形PMON中，∵∠PMO=∠PNO=90°，∴∠MPN+∠AOB=180°．右图中，∵∠PJM=∠OJN，∠PMJ=∠JNO=90°，∴∠MPN=∠AOB．【点睛】本题考查了作图-基本作图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出EF BC交AC于点F）BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作//（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，ABC 的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．解析：（1）AE＝BD；见解析；（2）成立；AE＝BD；见解析；（3）CD的长为3或1.【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质证得∠ECB＝30°，由DE＝CE，求出∠D＝∠ECB＝30°得到∠DEB＝30°，推出BD＝BE，根据AE＝BE证得结论；（2）过E作EF∥BC交AC于点F，得到△AEF是等边三角形，推出BE=CF，利用∠DBE＝∠EFC＝120°，∠BED＝∠ECF，证得△DEB≌△ECF（AAS），得到BD＝EF=AE；（3）作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，利用∠CEF＝∠EDB，EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，证得△CEF≌△EDB（AAS），得到BD＝EF＝2，求出CD＝BD－BC ＝1，同理可得CD＝3【详解】解：（1）AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°,∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ，∴∠BED ＝∠ECF ，∴△DEB ≌△ECF （AAS ），∴BD ＝EF ，∴AE ＝BD ；（3）CD 的长为3或1如图2，作EF ∥BC 交CA 的延长线于点F ，则△AEF 为等边三角形，∴AF ＝AE ＝EF ＝2，∠BEF ＝60°，∴∠CEF ＝60°＋∠BEC ．∵∠EDC ＝∠ECD ＝∠B ＋∠BEC ＝60°＋∠BEC ，∴∠CEF ＝∠EDB ．又∵EB ＝CF ＝3，∠F ＝∠B ＝60°，∴△CEF ≌△EDB （AAS ），∴BD ＝EF ＝2，∴CD ＝BD －BC ＝1，如图3，同理可得CD ＝3，综上所述，CD 的长为3或1【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，平行线的性质，等腰三角形等边对等角的性质，熟练掌握三角形的知识并熟练应用是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CA CB =，M 是AB 的中点，点D 在BM 上，AE CD ⊥，BF CD ⊥，垂足分别为E ，F ，连接EM ．（1）求证：CE BF =；（2）求证：AEM DEM ∠=∠．解析：（1）证明见解析；（2）证明见解析【分析】（1）先证明CAE BCF ∠=∠，再证明CAE BCF ≌△△，从而可得结论；（2）连接CM ，FM ，先证明ECM FBM ∠=∠，再证明CME BMF ≌△△，可得EM FM =，EMC FMB ∠=∠，再证明FME 是等腰直角三角形，可得45MED ∠=︒，从而可得结论．【详解】证明：（1）AE CD ⊥，BF CD ⊥，90AEC CFB ∴∠=∠=︒．90ACB ∠=︒，90BCF ACE ACE EAC ∴∠+∠=︒=∠+∠CAE BCF ∴∠=∠．CA BC =． ()CAE BCF AAS ∴≌△△．CE BF ∴=．（2）连接CM ，FM在Rt ABC △中，CA CB =，点M 是AB 的中点，90,ACB ∠=︒BM AM ∴=，CM AB ⊥，CM 平分ACB ∠，45ACM BCM CBM CAM ∴∠=∠=∠=∠=︒，CM BM AM ==，由CAE BCF ≌△△可得：ACE CBF ∠=∠．,ACM ECM CBM MBF ∴∠+∠=∠+∠ECM FBM ∴∠=∠．又CE BF =，()CME BMF SAS ∴≌△△．EM FM ∴=，EMC FMB ∠=∠．90EMF FMB DME CME DME ∠=∠+∠=∠+∠=︒．FME ∴△是等腰直角三角形．45MED ∴∠=︒，90AED ∠=︒，45AEM DEM ∴∠=∠=︒．【点睛】本题考查的的三角形全等的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键．26．如图，在所给平面直角坐标系（每小格均为边长是1个单位长度的正方形）中完成下列各题．（1）已知()6,0A -，()2,0B -，()4,2C -，画出ABC 关于y 轴对称的图形△111A B C △，并写出1B 的坐标；（2）在y 轴上画出点P ，使PA PC +最小；（3）在（1）的条件下，在y 轴上画出点M ，使11MB MC -最大．解析：（1）见解析；B 1（2，0）；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0）； （2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短即可；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边即可．【详解】解：（1）先作出点A 、B 、C 关于y 轴的对称点A 1、B 1、C 1，顺次连结，则△111A B C △为所求，点()2,0B -，关于y 轴对称，横坐标符号改变B 1（2，0），如图；B 1（2，0）；（2）连结AC 1，交y 轴于点P ，两用两点之交线段最短知AC 1最短，则PA+PC=PA+PC 1=AC 1，则点P 为所求，如图；（3）延长C 1B 1交y 轴于M ，利用两边之差小于第三边，11MB MC -最大=C 1B 1，如图．【点睛】 本题考查轴对称作图，线段公里，三角形三边关系，掌握轴对称作图，线段公里，三角形三边关系是解题关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．已知ABC 是等边三角形，点D 是AC 的中点，点P 在射线BC 上，点Q 在线段AB 上，120PDQ ∠=︒．（1）如图1，若点Q 与点B 重合，求证：DB DP =；（2）如图2，若点P 在线段BC 上，8AC =，求AQ PC +的值．解析：（1）证明见解析；（2）4．【分析】（1）由等边三角形的性质证明30DBC ∠=︒，再利用三角形的内角和定理求解30DPB ∠=︒，从而可得结论； （2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ，先证明ADE 为等边三角形，再证明QDE PDC ≌，可得QE PC =， 从而可得答案．【详解】证明：（1）∵ABC 为等边三角形，∴,60BA BC ABC =∠=︒∵D 为AC 的中点，∴DB 平分ABC ∠，∴30DBC ∠=︒． ∵120PDB ∠=︒，∴1801203030DPB ∠=︒-︒-︒=︒，∴DBC DPB ∠=∠，∴DB DP =．（2）过点D 作//DE BC 交AB 于点E ．∵ABC 为等边三角形，8AC =，点D 是AC 的中点，∴4,60AD CD ABC ACB A ==∠=∠=∠=︒．∵//DE BC ，∴60AED B ∠=∠=︒．60ADE C ∠=∠=︒，∴ADE 为等边三角形，120EDC ∠=︒，∴4AD ED AE ===，。

(必考题)初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

(必考题)初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典习题(含答案解析)

一、选择题1．如图，在△ABD 中，分别以点A 和点D 为圆心，大于12AD 的长为半径画弧，两弧相交于点M 、N ，作直线MN 分别交BD 、AD 于点C 、E ．若AE=5cm ，△ABC 的周长=15cm ，则△ABD 的周长是（ ）A ．35cmB ．30cmC ．25cmD ．20cm2．如图，已知30MON ︒∠=，点123,,...A A A 在射线ON 上，点123,,B B B …在射线OM 上，112223334,,...A B A A B A A B A ∆∆∆1n n n A B A +∆均为等边三角形，若11OA =，则778A B A ∆的边长为（ ）A ．16B ．32C ．64D ．128 3．如图，已知等腰ABC 的底角15C ︒∠=，顶点B 到边AC 的距离是3cm ，则AC 的长为（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm 4．若实数a ，b 满足a 2－4a ＋4+(b －4)2=0，且a ，b 恰好是等腰△ABC 两条边的长，则△ABC 周长为（ ） A ．8 B ．8或10 C ．12 D ．105．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为()4,3-，点P 在x 轴上，且使AOP 为等腰三角形，符合题意的点P 的个数为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．56．如图，在ABC ∆中，90,30C B ︒︒∠=∠= ，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB AC 、于点M 和N ，再分别以M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP ，并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 是BAC ∠的平分线；②60ADC ︒∠=；③点D 在AB 的垂直平分线上﹔④若2AD =，则点D 到AB 的距离是1，:1:2DAC ABC S S ∆∆=A ．2B ．3C ．4D ．5 7．剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图①，②中的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知点(),3M a ，点()2,N b 关于x 轴对称，则2020()a b +的值（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．39．下列推理中，不能判断ABC 是等边三角形的是（ ）A ．ABC ∠=∠=∠B ．,60AB AC B =∠=︒ C ．60,60A B ∠=︒∠=︒D ．AB AC =，且B C ∠=∠10．如图，在△ABC 中，∠C ＝84°，分别以点A ，B 为圆心，以大于12AB 的长为半径画弧，两弧分别交于点M ，N ，作直线MN 交AC 于点D ；以点B 为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA ，BC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧交于点P ．若此时射线BP 恰好经过点D ，则∠A 的大小是（ ）A ．30°B ．32°C ．36°D ．42°11．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．10312．如图，AEC BED △△≌，点D 在AC 边上，AE 和BD 相交于点O ，若30AED ∠=︒，120∠=︒BEC ，则ADB ∠的度数为（ ）A ．45°B ．40°C ．35°D ．30°13．如图，在ABC ∆中，5AC =，线段AB 的垂直平分线交AC 于点,D BCD ∆的周长是9，则BC 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 14．如果等腰三角形两边长分别是8cm 和4cm ，那么它的周长（ ） A ．8cmB ．20cmC ．16cm 或20cmD ．16cm 15．已知等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为（ ）A ．50°B ．80°C ．65°或80°D ．50°或80°二、填空题16．如图，在ABC 中，90ACB ︒∠=，30B ，6AC =，P 为BC 边的垂直平分线DE 上一个动点，则ACP △周长的最小值为________．17．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．18．如图，在ABC ∆中，90,BAC ∠=︒点D 在BC 上，BD BA =，点E 在BC 的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠的度数为_____________．19．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．20．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠BAD ＝80°，AB ＝AD ＝DC ，则∠C ＝________21．如图，等边△ABC 的边长为4，点D 在边AC 上，AD ＝1．（1）△ABC 的周长等于_____；（2）线段PQ 在边BA 上运动，PQ ＝1，BQ ＞BP ，连接QD ，PC ，当四边形PCDQ 的周长取得最小值时，请在如图所示的矩形区域内，用无刻度的直尺和圆规，画出线段PC ，QD ，并简要说明点P 和点Q 的位置是如何找到的（保留作图痕迹，不要求证明）_____．22．如图30AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，P 为OC 上一点，//PD OA 交OB 于点D ，PE OA ⊥于E ，6cm OD =，则PE =________．23．嘉嘉和淇淇下棋，嘉嘉执圆形棋子，淇淇执方形棋子，如图，棋盘中心的圆形棋子的位置用()1,1-表示，右下角的圆形棋子用()0,0表示，淇淇将第4枚方形棋子放入棋盘后，所有棋子构成的图形是轴对称图形．则淇淇放的方形棋子的位置是__________．24．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．25．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．26．如图，∠ABC 的平分线BF 与△ABC 中∠ACB 的相邻外角∠ACG 的平分线CF 相交于点F ，过F 作DF ∥BC ，交AB 于D ，交AC 于E ，若BD ＝8cm ，DE ＝3cm ，AE ＝2，求AC 的长为_____cm ．三、解答题27．如图1，△ABC 中AB =AC ，DE 垂直平分AB 分别交AB ，AC 于点D ，E ．（1）若∠C =70°，则∠A 的大小为 ；（2）若AE =BC ，求∠A 的度数；（3）如图2，点M 是边BC 上的一个定点，若点N 在直线DE 上，当BN +MN 最小时，点N 在何处？请用无刻度直尺作出点N 的位置．（不需要说明理由，保留作图痕迹）28．如图，ABC 中，,90,AB AC BAC =∠=︒点D 是直线AB 上的一动点(不和A B 、重合)，BE CD ⊥交CD 所在的直线于点,E 交直线AC 于F ．()1点D 在边AB 上时，证明:AB FA BD =+；()2点D 在AB 的延长线或反向延长线上时，()1中的结论是否成立?若成立，请给出证明；若不成立，请画出图形，并直接写出,,AB FA BD 三者之间数量关系．29．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．．（_______）（填推理的依据）∴DC DA△都是等腰三角形．∴DCB和DCA30．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．。

八年级数学上册重难点分析

八年级数学上册重难点分析

F 八年级上册数学重难点分析第一章 轴对称图形知识点:重难点：轴对称与轴对称图形的概念及识别以及轴对称与轴对称图形的区别和联系;考点：轴对称的性质、轴对称图形的折叠问题;易混点：角平分线、垂直平分线的性质、对称轴是一条直线而非线段经典考题：如图,小红用一张长方形纸片ABCD 进行折纸,已知该纸片宽AB 为8cm,长BC 为10cm;当小红折叠时,顶点D 落在BC 边上的点F 处折痕为AE,想一想,此时EC 有多长 用你学过的方法进行解释. 提示：AF 多长BF 呢FCEF第二章 勾股定理与平方根知识点：勾股定理、实数的概念及分类、平方根、算数平方根和立方根、实数大小的比较、实数的运算重 难点:勾股定理的应用、平方根与立方根的计算学上第一次接触根式难 点:勾股定理的应用易混点：平方根与立方根的区别实数、有理数、无理数概念问题经典考题：一架方梯长25米,如图,斜靠在一面墙上,梯子底端离墙7米.1这个梯子的顶端离地面有多高2如果梯子的顶端下滑了4米,那么梯子的底端在水平方向滑动了几米第三章 中心对称图形一知识点:平移、旋转、四边形的相关概念、平行四边形的性质、矩形的性质、菱形的性质、正方形的性质、梯形的性质、中心对称图形的概念及性质重难点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定平行四边形、矩形、菱形、正方形考点：中心对称图形的性质、平行四边形的性质及判定、图形的旋转易混点：平行四边形的判别；特别平行四边形的判别;经典考题：下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是．A．正方形、菱形、矩形、平行四边形 B．正三角形、正方形、菱形、矩形C．正方形、矩形、菱形 D．平行四边形、正方形、等腰三角形第四章数量、位置变化知识点：平面直角坐标系及有关概念、坐标变化与图形变化的规律重难点：平面直角坐标系的引入及有关概念的认识象限、点的坐标等、坐标变化与图形变化的规律学生第一次接触直角坐标系考点：关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征易混点：平面直角坐标系中坐标的表示；坐标变化的情况;下表为坐标变化与图形变化的规律坐标变化与图形变化的规律坐标 x , y 的变化图形的变化x × a或y × a 被横向或纵向拉长压缩为原来的 a倍x × a, y × a 放大缩小为原来的 a倍x × -1或y × -1 关于 y 轴或 x 轴对称x × -1, y × -1 关于原点成中心对称x +a或 y+ a 沿 x 轴或 y 轴平移 a个单位x +a, y+ a 沿 x 轴平移 a个单位,再沿 y 轴平移 a个单经典考题：点P-5,1沿x轴正方向平移2个单位,再沿y轴负方向平移4个单位,所得到的点的坐标为_______;第五章一次函数知识点：函数的概念、自变量取值范围、函数的三种表示法、由函数关系式画其图像的一般步骤、正比例函数和一次函数概念及性质重难点：函数概念的引入、一次函数与正比例函数的性质及图像、一次函数与一元一次方程的关系考点：一次函数与正比例函数的性质、一次函数图像的应用易混点：一次函数的表达式及用待定系数法确定一次函数的表达式;经典考题：如图,直线OC、BC的函数关系式分别是y1=x和y2=-2x+6,动点Px,0在OB上运动0<x<3,过点P作直线m与x轴垂直．1求点C的坐标,并回答当x取何值时y1>y22设△COB中位于直线m左侧部分的面积为s,求出s与x之间函数关系式． 3当x为何值时,直线m平分△COB的面积第六章数据的集中度知识点：平均数、众数、中位数的概念及算法重难点：平均数、中位数与众数概念的理解；计算器求平均数；考点：加权平均数、中位数的理解;易混点：中位数、平均数的计算；用计算器求平均数;经典考题：有10个数据的平均数为6,另有20个数据的平均数为3,那么所有这30个数据的平均数是________;。

2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷《 轴对称》综合能力拔高卷原卷

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【高效培优】2022—2023学年八年级数学上册必考重难点突破必刷卷（人教版）【单元测试】第十三章轴对称（综合能力拔高卷）（考试时间：90分钟试卷满分：100分）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．日常生活中，我们会看到很多标志，在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．如图，等腰ABC的底边BC长为4cm，面积为216cm，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则CDM周长的最小值为（）A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm3．下列说法不正确的有（）A．三边相等的三角形是等边三角形B．三个角相等的三角形是等边三角形C．有一个角是60︒的三角形是等边三角形D．顶角为60︒的等腰三角形是等边三角形4．如图，若△ABC与'''A B C关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法不一定正确的是（）A．AC＝''AC B．'BO B O＝C．'AB B C＝D．'AA MN⊥5．如图，△ABC中，△C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．136．如图，等边ABC∆和等边CDE∆中，B、C、D共线，且3BC CD=，连接AD和BE相交于点F，则下列结论中：△AD BE=；△60AFB∠=︒；△连接FC，则FC平分BFD∠；△3BF DF=．正确的有（）个．A．1B．2C．3D．47．如图，在△ABC中，分别以点A和B为圆心，大于12AB和长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，若△ABC的周长为17，AB＝7，则△ADC的周长是（）A．7B．10C．15D．178．如图，在△ABC中，点D是边AB、AC的垂直平分线的交点，已知△A＝80°，则△BDC＝（）A．80°B．100°C．150°D．160°9．如图，点A的坐标为()2,2，若点P在坐标轴上，且APO△为等腰三角形，则满足条件的点P有（）A ．4个B ．6个C ．7个D ．8个10．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 关于直线m （直线m 上各点的横坐标都为1）对称，点C 的坐标为（4，1），则点B 的坐标为（ ）A ．（﹣2，1）B ．（﹣3，1）C ．（﹣2，﹣1）D ．（2，1）二、填空题（本大题共有8小题，每题3分，共24分）11．如图的三角形纸片中，AB ＝c 、BC ＝a 、AC ＝b 、沿过点A 的直线折叠这个三角形，使点C 落在AB 上的点E 处，折痕为AD ，则△BDE 的周长为_____（用含a 、b 、c 的式子表示）12．如图，在等边ABC 中，BD 是ABC ∠的平分线，点E 是BC 的中点，点P 是BD 上的一个动点，连接PE ，PC ，当PE PC +的值最小时，EPC ∠的度数为__________．13．如图，在ABC 中，AB AC =，AB 边的垂直平分线DE 交AC 于点.D 已知BDC 的周长为14，6BC =，则AB =______ ．14．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（0，1），点B 的坐标为（3，1），C 的坐标为（4，3），如果存在点D ，要使△ABD 与△ABC 全等，那么点D 的坐标是_______．15．如图，在34⨯的正方形网格中已有2个正方形涂黑，再选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成轴对称图形，选择的位置共有______处．16．如图，在△ABC 中，△C =90°，△B =30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连接AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的是______．△线段AD 是△ABC 的角平分线； △△ADC =60°； △点D 在AB 的中垂线上； △12DACABDSS=：：．17．如图，已知正方形纸片ABCD ，将正方形纸片沿过点A 的直线折叠，使点B 落在正方形ABCD 的内部，点B 的对应点为点M ，折痕为AE ，再将纸片沿过点A 的直线折叠，使AD 与AM 重合，折痕为AF ，则EAF ∠=___________度．18．如图，直线L 为线段AB 的垂直平分线，交AB 于M ，在直线L 上取一点1C ，使得1MC MB ＝，得到第一个三角形1ABC ；在射线1MC 上取一点2C ，使得121C C BC ＝；得到第二个三角形2ABC △；在射线1MC 上取一点C 3，使得232C C BC ＝，得到第三个三角形3ABC △…依次这样作下去，则第2022个三角形2022ABC △中2022AC B ∠的度数为_____．三、解答题（本大题共6小题，共46分；第19-20小题每小题6分，第21-22小题每小题7分，第23小题8分，第24小题10分）19．如图，已知△ABC ，AD 是△BAC 的角平分线，DE △AB 于点E ，DF △AC 于点F ，连接EF 交AD 于点G .(1)求证：AD 垂直平分EF ；(2)若AB ＋AC ＝10，DE ＝3，求△ABC 的面积.20．图△中所示的遮阳伞，伞柄垂直于地面，其示意图如图△．当伞收紧时，点P 与点A 重合；当伞慢慢撑开时，动点P 由A 向B 移动；当点P 到过点B 时，伞张得最开．已知伞在撑开的过程中，总有PM ＝PN ＝CM ＝CN ＝6.0分米，CE ＝CF ＝18.0分米，BC ＝2.0分米．(1)求AP 长的取值范围；(2)当△CPN ＝60°时，求AP 的值．21．已知如图，ABC 在平面直角坐标系xOy 中，其中A （1，2），B （3，1），C （4，3），试解答下列各题：(1)作出△ABC关于y轴对称的A B C'''：(2)写出A B C'''三个顶点的坐标：A'（________）﹔B'（________）﹔C'（________）﹔(3)BB'=________．22．如图，△ABC与△ADE关于直线MN对称，BC与DE的交点F在直线MN上．若ED＝4cm，FC＝1cm，△BAC ＝76°，△EAC＝58°．(1)求出BF的长度；(2)求△CAD的度数；(3)连接EC，线段EC与直线MN有什么关系？23．新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“兄弟三角形”．(1)如图1，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点．求证：BD＝CE．(2)如图2，△ABC和△ADE互为“兄弟三角形”，点A为重合的顶角顶点，点D、E均在△ABC外，求证：△ABD＝△ACE．24．如图，在55⨯的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，如图点A、B、C、D、E、F均为格点请用无刻度的直尺完成下列作图（画图过程用虚线，结果用实线）(1)如图1，过C点作直线AB的平行线；(2)如图2，点M为线段AB上一动点，连接MD、MC，作出当MD MC+最小时，M点位置；(3)如图3，在线段AB上找一点(P不与点A重合)，使得PE PF⊥．。

人教版数学八年级上册 轴对称解答题(篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 轴对称解答题(篇)(Word版 含解析)

人教版数学八年级上册 轴对称解答题（篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．（问题情境）学习《探索全等三角形条件》后，老师提出了如下问题：如图①，△ABC 中，若AB=12，AC=8，求BC 边上的中线AD 的取值范围．同学通过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使DE=AD ，连接BE.根据SAS 可证得到△ADC ≌△EDB ，从而根据“三角形的三边关系”可求得AD 的取值范围是 ．解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中.（直接运用）如图②，AB ⊥AC ，AD ⊥AE ，AB=AC ，AD=AE ，AF 是ACD 的边CD 上中线.求证：BE=2AF.（灵活运用）如图③，在△ABC中，∠C=90°，D为AB的中点，DE⊥DF，DE交AC于点E，DF交AB于点F，连接EF，试判断以线段AE、BF、EF为边的三角形形状，并证明你的结论.【答案】（1）2＜AD＜10；（2）见解析（3）为直角三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据△ADC≌△EDB，得到BE=AC=8，再根据三角形的构成三角形得到AE的取值，再根据D为AE中点得到AD的取值；（2）延长AF到H，使AF=HF，故△ADF≌△HCF，AH=2AF，由AB⊥AC，AD⊥AE，得到∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，根据∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，得到∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，再根据AB=AC，AD=AE即可利用SAS证明△BAE≌△ACH，故BE=AH,故可证明BE=2AF.（3）延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，证明△DBF≌△DAG，故得到FD=GD，BF=AG,由DE⊥DF，得到EF=EG,再求出∠EAG=90°，利用勾股定理即可求解.【详解】（1）∵△ADC≌△EDB，∴BE=AC=8，∵AB=12，∴12-8＜AE＜12+8，即4＜AE＜20，∵D为AE中点∴2＜AD＜10；（2）延长AF到H，使AF=HF，由题意得△ADF≌△HCF，故AH=2AF，∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAD=180°，又∠ACH+∠CAH+∠AHC=180°，∵∠D=∠FCH，∠DAF=∠CHF，∴∠ACH+∠CAD=180°，故∠BAE= ACH，又AB=AC，AD=AE∴△BAE≌△ACH（SAS），故BE=AH,又AH=2AF∴BE= 2AF.（3）以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形，理由如下：延长FD到点G，使DG=FD，连结GA，GE，由题意得△DBF≌△ADG，∴FD=GD，BF=AG,∵DE⊥DF，∴DE垂直平分GF,∴EF=EG,∵∠C=90°，∴∠B+∠CAB=90°，又∠B=∠DAG，∴∠DAG +∠CAB=90°∴∠EAG=90°，故EG2=AE2+AG2，∵EF=EG, BF=AG∴EF2=AE2+BF2，则以线段AE、BF、EF为边的三角形为直角三角形.【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，根据垂直平分线与勾股定理进行求解.3．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．4．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE=BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】（1）见解析，（2）BFC ∠=60（3）8=CF .【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合一，易得AB=AC ，BAD CAD ∠=∠；（2）在图2中，连接CE ，可证得BCE ∆是等边三角形，60BEC ∠= ，30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠，可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=；（3）连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N ，可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆，BM CN =，BF FM CF CN -=+，可得线段CF 的长.【详解】解：（1）证明：如图1，AD BC ⊥，BD CD =AB AC ∴= BAD CAD ∴∠=∠；图1（2）解：在图2中，连接CEED BC ⊥，BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由（1）可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2（3）解：连接CE ，过点E 分别作EH AB ⊥于点H ，EM BF ⊥于点M ，EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠，BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM∆中，906030FEM∠=-=2EF FM∴=令FM m=，则2EF m=62FG EG EF m∴=-=-同理12FN EF m==，2124CF FG m==-在Rt BEM∆和Rt CEN∆中，EM EN=，BE CE=Rt BEM Rt CEN∴∆≅∆BM CN∴=BF FM CF FN∴-=+10124m m m∴-=-+解得1m=8CF∴=图3故答案为（1）见解析，（2）BFC∠=60（3）8CF=.【点睛】本题考查翻折的性质，涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点，属于较难的题型.5．已知在△ABC中，AB＝AC，射线BM、BN在∠ABC内部，分别交线段AC于点G、H．（1）如图1，若∠ABC＝60°，∠MBN＝30°，作AE⊥BN于点D，分别交BC、BM于点E、F．①求证：∠1＝∠2；②如图2，若BF＝2AF，连接CF，求证：BF⊥CF；（2）如图3，点E为BC上一点，AE交BM于点F，连接CF，若∠BFE＝∠BAC＝2∠CFE，求ABFACFSS的值．【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）2【解析】【分析】（1）①只要证明∠2+∠BAF＝∠1+∠BAF＝60°即可解决问题；②只要证明△BFC≌△ADB，即可推出∠BFC＝∠ADB＝90°；（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．只要证明△ABK≌CAF，可得S△ABK＝S△AFC，再证明AF＝FK＝BK，可得S△ABK＝S△AFK，即可解决问题；【详解】（1）①证明：如图1中，∵AB＝AC，∠ABC＝60°∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD⊥BN，∴∠ADB＝90°，∵∠MBN＝30°，∠BFD＝60°＝∠1+∠BAF＝∠2+∠BAF，∴∠1＝∠2②证明：如图2中，在Rt△BFD中，∵∠FBD＝30°，∴BF＝2DF，∵BF＝2AF，∴BF＝AD，∵∠BAE＝∠FBC，AB＝BC，∴△BFC≌△ADB，∴∠BFC＝∠ADB＝90°，∴BF⊥CF（2）在BF上截取BK＝AF，连接AK．∵∠BFE＝∠2+∠BAF，∠CFE＝∠4+∠1，∴∠CFB＝∠2+∠4+∠BAC，∵∠BFE＝∠BAC＝2∠EFC，∴∠1+∠4＝∠2+∠4∴∠1＝∠2，∵AB＝AC，∴△ABK≌CAF，∴∠3＝∠4，S△ABK＝S△AFC，∵∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠CFE＝∠AKB，∠BAC＝2∠CEF，∴∠KAF＝∠1+∠3＝∠AKF，∴AF＝FK＝BK，∴S△ABK＝S△AFK，∴ABFAFCS2S∆∆=．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质等知识，解题的关键是能够正确添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．6．已知如图1，在ABC∆中，AC BC=，90ACB∠=，点D是AB的中点，点E是AB边上一点，直线BF垂直于直线CE于点F，交CD于点G.（1）求证：AE CG=.（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【详解】（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．在△AEC和△CGB中，∵CAE BCGAC BCACE CBG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC．在△BCE和△CAM中，BEC CMAACM CBEBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．7．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB＝DC，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ），∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ），∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD ＝2DO ＝6，∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP ≌△ADB ，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝12OF ＝32则OP 的最小值为32．【点睛】 本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．8．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴ BD=CE.② 由△CAE ≌△BAD ，∴ ∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴ ∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.9．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两．条线段．．．叫做这个三角形的三分线.（1）图①是顶角为36︒的等腰三角形，这个三角形的三分线已经画出，请你在图②中用不同于图①的方法画出顶角为36︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种）；（2）图③是顶角为45︒的等腰三角形，请你在图③中画出顶角为45︒的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数.（3）ABC 中，30B ∠=︒，AD 和DE 是ABC 的三分线，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，且AD BD =，DE CE =，设c x ∠=︒，则x 所有可能的值为_________.【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）20或40.【解析】【分析】(1)作底角的平分线，再作底边的平行线，即可得到三分线；(2)过底角定点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和一个直角三角形，然后再构造一个等腰直角三角形，即可.(3)根据题意，先确定30°角然后确定一边为BA ，一边为BC ，再固定BA 的长，进而确定D 点，分别考虑AD 为等腰三角形的腰和底边，画出示意图，列出关于x 的方程，即可得到答案. 【详解】（1）如图所示：（2）如图所示：（3）①当AD=AE 时，如图4，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠ADE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30=2x+x ，解得：x=20；②当AD=DE 时，如图5，∵DE CE =，c x ∠=︒，∴∠EDB=x °，∴∠DAE=∠AED=2x °，∵AD BD =，∴∠BAD=∠B=30°，∴30+30+2x+x=180，解得：x=40.③当AE=DE 时，则∠EAD=∠EDA=1802(90)2x x -=-， ∴∠ADC=∠EDA+∠EDC=(90-x)+x=90°又∵∠ADC=30+30=60°，∴这种情况不存在.∴x 所有可能的值为20或40.故答案是：20或40图4 图5【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质定理的综合应用，分类讨论，画出图形，是解题的关键.=. 10．已知ABC为等边三角形，E为射线AC上一点，D为射线CB上一点，AD DE=时，AD是ABC的中线吗？请说明（1）如图1，当点E在AC的延长线上且CD CE理由；AB BD AE之间的数量关系，请说明理（2）如图2，当点E在AC的延长线上时，写出,,由；（3）如图3，当点D在线段CB的延长线上，点E在线段AC上时，请直接写出AB BD AE的数量关系.,,+=，理由详见【答案】（1）AD是ABC的中线，理由详见解析；（2）AB BD AE=+.解析；（3）AB AE BD【解析】【分析】（1）利用△ABC是等边三角形及CD=CE可得∠CDE=∠E=30°，利用AD=DE，证明∠CAD=∠E =30°，即可解决问题．（2）在AB上取BH=BD，连接DH，证明AHD≌△DCE得出DH=CE，得出AE=AB+BD，（3）在AB上取AF=AE，连接DF，利用△AFD≌△EFD得出角的关系，得出△BDF是等腰三角形，根据边的关系得出结论AB=BD+AE．【详解】（1）解：如图1，结论：AD是△ABC的中线．理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠B=∠ACB=60°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠E，∵∠ACD=∠CDE+∠E=60°，∴∠E=30°，∵DA=DE，∴∠DAC=∠E=30°，∵∠BAC=60°，∴∠DAB=∠CAD，∵AB=AC，∴BD=DC，∴AD是△ABC的中线．（2）结论：AB+BD=AE，理由如下：如图2，在AB上取BH=BD，连接DH，∵BH=BD，∠B=60°，∴△BDH为等边三角形，AB-BH=BC-BD，∴∠BHD=60°，BD=DH，AH=DC，∵AD=DE，∴∠E=∠CAD，∴∠BAC-∠CAD=∠ACB-∠E∴∠BAD=∠CDE，∵∠BHD=60°，∠ACB=60°，∴180°-∠BHD=180°-∠ACB,∴∠AHD=∠DCE，∴在△AHD和△DCE，BAD CDEAHD DCEAD DE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AHD≌△DCE（AAS），∴DH=CE，∴BD=CE，∴AE=AC+CE=AB+BD．（3）结论：AB=BD+AE，理由如下：如图3，在AB上取AF=AE，连接DF，∵△ABC 为等边三角形，∴∠BAC=∠ABC=60°，∴△AFE 是等边三角形，∴∠FAE=∠FEA=∠AFE=60°，∴EF ∥BC ，∴∠EDB=∠DEF ，∵AD=DE ，∴∠DEA=∠DAE ，∴∠DEF=∠DAF ，∵DF=DF ，AF=EF ，在△AFD 和△EFD 中，AD DE DF DF AF EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩, ∴△AFD ≌△EFD （SSS ）∴∠ADF=∠EDF ，∠DAF=∠DEF ，∴∠FDB=∠EDF+∠EDB ，∠DFB=∠DAF+∠ADF ，∵∠EDB=∠DEF ，∴∠FDB=∠DFB ，∴DB=BF ，∵AB=AF+FB ，∴AB=BD+AE ．【点睛】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的判定与性质，解题的关键是正确作出辅助线，运用三角形全等找出对应的线段．。

人教版八年级数学上册第十三章 轴对称经典题型专项练习(含解析)

人教版八年级数学上册第十三章 轴对称经典题型专项练习(含解析)

人教版八年级数学上册第十三章轴对称经典题型专项练习题型1：对轴对称图形的认识【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.题型2：轴对称图形的对称轴【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )A.30°B.50°C.90°D.100°题型4：线段垂直平分线的性质应用【例4】如图(1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)(1) 题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP题型6：作图形的对称轴【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.题型7：利用作对称轴解决实际问题【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.题型9：利用轴对称图形的性质割补图形【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.题型10：坐标系中的轴对称变换【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题A(a,b)和点3a+3c+的值：利用三角形的性质解决实际问题A C(1)BC=AD;(2)△题型16：等边三角形的边角计算【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )A. B. C. D.不能确定题型17：利用等边三角形证线段和差【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.(1) (2) (3)题型18：含30°角的直角三角形的边角关系【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE.(2)求AD的长.题型19：特殊直角三角形性质的实际应用【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.题型20：解决实际生活中的最短路径问题【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q 所在的位置.人教版八年级数学上册经典题型汇编第十三章轴对称题型1：对轴对称图形的认识【例1】如图,在由小正方形组成的L形图中,请你用三种方法分别在图中添画一个小正方形,使它成为轴对称图形.解:根据图中三个图形的特征,利用轴对称的知识可以得到如图13.1-14所示的补充后的轴对称图形.点拨:本题不同于直接作出一个图形的轴对称图形,而是需要先找准对称轴,然后才能把轴对称图形补充完整.题型2：轴对称图形的对称轴【例2】找出图中的轴对称图形,并说出有几条对称轴.点拨:轴对称图形的特征是将该图形沿某一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合.因此,判定一个图形是不是轴对称图形的关键是看能否找到一条直线,使得沿此直线折叠时,直线两侧的部分能够重合.解:(1)是轴对称图形,有3条对称轴;(2)是轴对称图形,有5条对称轴;(3)是轴对称图形,有4条对称轴;(4)是轴对称图形,有1条对称轴;(5)是轴对称图形,有2条对称轴;(6)不是轴对称图形;(7)是轴对称图形,有1条对称轴;(8)是轴对称图形,有1条对称轴;(9)、(10)都不是轴对称图形.题型3：有关轴对称图形及轴对称的性质应用【例3】如图,△ABC与△A'B'C' 关于直线l对称,则∠B的度数为( )A.30°B.50°C.90°D.100°答案:D点拨:根据轴对称的定义可知,两个图形成轴对称,则它们是全等图形,从而对应元素相等.题型4：线段垂直平分线的性质应用【例4】如图(1),有分别过A,B两个加油站的公路l1,l2,l1,l2相交于点O,现准备在∠AOB内建一个油库,要求油库的位置点P满足到A,B两个加油站的距离相等,而且P到两个公路l1,l2的距离也相等.请用尺规作图,作出点P.(不写作法,保留作图痕迹)解:作出的点P如图(2)所示.(1) (2)点拨：到两点距离相等的点,在这两点所连线段的垂直平分线上.在角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.这两条线的交点就是加油站的位置.题型5：利用线段垂直平分线的性质及判定解题【例5】如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A,B.下列结论中不一定成立的是( )A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP答案:D点拨：∵OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,∴在△AOP与△BOP中,∴△AOP≌△BOP,∴结论A,B,C均正确,故选D.题型6：作图形的对称轴【例6】如图,已知线段AB和线段A'B'关于某条直线对称,请你画出这条对称轴.解:如图所示:点拨:连接AA'或BB'作它们的线段垂直平分线,就是对称轴所在直线.题型7：利用作对称轴解决实际问题【例7】如图,校园内有两条路OA、OB,在交叉口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路灯,要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远,并且到两条路的距离也一样远,请你帮忙画出灯柱的位置P,并说明理由.解:到∠AOB两边距离相等的点在这个角的平分线上,而到宣传牌C、D的距离相等的点则在线段CD的垂直平分线上,于是如图,交点P即为所求.点拨:本题根据角的平分线和线段的垂直平分线的性质作图即可.题型8：利用作图形的轴对称图形补全图形【例8】如图,把下列图形补成关于直线l对称的图形.解:如图:点拨:该图形均由线段构成,可以利用找特殊点(端点)的对称点的方法画轴对称图形,要注意图(2)中图形被直线l穿过的情况.题型9：利用轴对称图形的性质割补图形【例9】请你将一个等边三角形分割成三角形或四边形(至少4块),然后将它们重新组合,拼成不同形状的轴对称图形.解:答案不唯一,如图:点拨:根据轴对称图形的性质,先分割,再验证,最后确定分法.题型10：坐标系中的轴对称变换【例10】在平面直角坐标系中,对于平面内任一点(m,n),规定以下两种变换:①f(m,n)=(m,-n),如f(2,1)=(2,-1);②g(m,n)=(-m,-n) ,如g(2,1)=(-2,-1).按照以上变换有:f=f=,那么g等于( )A.(3,2)B.(3,-2)C.(-3,2)D.(-3,-2)解:由题意可得f(-3,2)=(-3,-2),从而g[f(-3,2)]=g(-3,-2)=(3,2),故选A.点拨：本题定义了两种变换,只要正确理解给出的定义,其中f(m,n)表示将一个点的横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数,g(m,n)表示将一个点的横坐标与纵坐标均变为原来的相反数,从而模仿套写即可.题型11：在坐标系中利用轴对称解决问题【例11】已知点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,试求3a+3c+的值.解:∵　点A(a,b)和点B(c,d)关于y轴对称,∴　a+c=0,b=d.∴　3a+3c+=3+=0+2=2.点拨:两点关于y轴对称,横坐标互为相反数,纵坐标相等.题型12：在等腰三角形中求边的长度【例12】已知等腰三角形的底边长为10,周长不大于40,求腰长的取值范围.解:设腰长为x.∵　等腰三角形两腰相等,∴　2x+10≤40.∴　x≤15.又　底边长为10,两边之和要大于第三边,∴　x+x>10.∴　x>5.∴　腰长的取值范围是5<x≤15.点拨:由等腰三角形的周长不大于40和三角形的两边之和大于第三边可确定两个不等式,腰长的取值范围就是这两个不等式的公共解.题型13：利用等腰三角形的性质求角的度数【例13】如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80°.则∠B的度数是( )A.40°B.35°C.25°D.20°点拨：法一:∵AC=AD,∠DAC=80°,∴∠A DC=∠ABD,∴∠ABD=25°,故选C.法二:设ABD=x°,∵∵AC=AD,ACD=∠∵∠2x+2x+80=180.C.欲求三角形中的某个内角可从已知条件出发也可利用方程思想设所求的角的度数为再执果索因A C(1)BC=AD;(2)△∵　AC⊥BC,BD⊥AD,B DA(HL) .∴　BC=AD.(2)由△ACB≌Rt△BDA得∠CAB=∠DBA,∴　△OAB是等腰三角形.点拨:(1)证△ACB≌Rt△BDA ,根据全等三角形的对应边相等可得;(2)证∠OAB=∠OB A,根据等角对等边可得.题型16：等边三角形的边角计算【例16】如图,过边长为1的等边三角形ABC的边AB上一点P,作PE⊥AC于E,Q为BC延长线上一点,当PA=CQ时,连PQ交AC边于D,则DE的长为( )A. B. C. D.不能确定答案:B点拨：如图所示,作PF∥BC交AC于F,∵△ABC是等边三角形,∴∠APF=∠ABC=60°,∠AFP=∠ACB=60°,∴△APF是等边三角形,∴AP=PF,∵PA=CQ,∴PF=CQ.在△DPF和△DQC中,∴△DPF≌△DQC,∴DF=DC,∵PE⊥AC,∴E是AF中点,从而ED=AC=,故选B.因为本题中DE与等边三角形ABC的边长之间无直接联系,所以通过分割,将其分成两部分后,分别证DF=DC和EF=EA,从而求之.题型17：利用等边三角形证线段和差【例17】如图,在△ABC中,AB=AC,D是CB延长线上的一点,∠ADB=60°,E是AD上的一点,且DE=DB.求证:AE=BE+BC.(1) (2) (3)证明：证法一:如图(1),延长DC到F,使CF=BD,连接AF,∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴BE=DB.∴BE=CF.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,∴∠ABD=∠ACF.∵BD=CF,∴△ABD≌△ACF.∴∠F=∠D=60°,∴△ADF是等边三角形,∴AD=DF,∴AD-DE=DF-DB,即AE=BF,∴AE=BC+CF=BC+BE.证法二:如图(2),延长EB到P,使BP=BC,连接AP,CP.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴∠CBP=∠DBE=60°,∴△BPC为等边三角形,∴BP=PC.∵AB=AC,AP=AP,∴△BAP≌△CAP,∴∠BPA=∠CPA,∵∠PCB=∠D=60°,∴PC∥AD,∴∠CPA=∠EAP,∴∠EAP=∠BPA,∴AE=EP=BE+BC.证法三:如图(3),过C作CM∥BE,交AD于M.∵∠ADB=60°,DE=DB,∴△DBE是等边三角形,∴∠DBE=60°.∵CM∥BE,∴∠MCD=∠DBE=60°,∠DMC=∠DEB=60°,∴△DCM为等边三角形,∴CD=MD,∴CD-DB=DM-DE,即BC=EM.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.∴∠D+∠DAB=∠DCM+∠MCA.∵∠D=∠MCD=60°,∴∠DAB=∠MCA.∵MC∥BE,∴∠CMA=∠AEB,∴△ABE≌△CAM.∴AM=BE,∴AE=AM+EM=BE+BC.点拨：欲证一线段等于另两线段之和,可利用“截长补短”之法.本题条件蕴含着等边三角形,所以有相等的边与角,从而有全等的三角形,由此得证.题型18：含30°角的直角三角形的边角关系【例18】如图,△ABC为等边三角形,AE=CD,AD,BE相交于点P,BQ⊥AD于Q,PQ=3,PE=1.(1)求证:AD=BE.(2)求AD的长.解：(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠B AC=∠C=60°,AB=AC.又AE=CD,∴△ABE≌△CAD(SAS),∴BE=AD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BPQ=∠BAP+∠ABE=∠BAP+∠PAE=∠BAC=60°,又∵BQ⊥AD,∴∠PBQ=30°,∴PB=2PQ=6,∴BE=PB+PE=7,∴AD=BE=7.点拨：因为等边三角形的三条边都相等,三个角都等于60°,所以在等边三角形中容易找到全等三角形,本题第(1)题就是通过全等三角形证两线段相等;在第(1)题的基础上,可求得∠BPQ的度数,从而联想直角三角形中含30°角的性质求得PB之长,再求AD的长.题型19：特殊直角三角形性质的实际应用【例19】如图,一艘轮船早上8时从点A向正北方向出发,小岛P在轮船的北偏西15°方向,轮船每小时航行15海里,11时轮船到达点B处,小岛P此时在轮船的北偏西30°方向.(1)求PB的距离;(2)在小岛P的周围20海里范围内有暗礁,如果轮船不改变方向继续向前航行,是否会有触礁危险?请说明理由.解:(1)过点P作PE⊥AB,垂足为E,由题意,得∠PAB=15°,∠PBC=30°.∴　∠BPA=∠PBC-∠A=15°.∴　BP=BA.又AB=3×15=45海里,∴　BP=45海里.(2)∵　PE⊥AB,∠PBC=30°,∴　PE=BP=22.5海里,∵　22.5海里>20海里,∴　如果轮船不改变方向继续向前航行,不会有触礁危险.点拨:过点P作PE垂直于AB的延长线,垂足为E,根据三角形的外角可知∠BPA=∠A,使得BP=AB,所以可以求出BP的距离;在(2)中,只要求出PE的长即可,可以根据直角三角形中30°角的性质解决.题型20：解决实际生活中的最短路径问题【例20】如图,在河岸l的同侧有亚运村A和奥运村B,现计划在河边修建一座小型休闲中心P,使P到两村的距离之和最短;另在河两岸架起一座桥Q,使Q与A、B两村的距离相等,试画出P、Q 所在的位置.解:如图.(1)作点B关于直线l的对称点B';(2)连接AB',交直线l于点P,则点P就是所求的小型休闲中心的位置;(3)连接AB;(4)作线段AB的垂直平分线,交直线l于点Q,则点Q就是所求的桥的位置.点拨:要使点P到两村的距离最短,可知点P一定是点B关于河岸l的对称点B'和点A的连线与河岸l的交点;点Q与A、B两村的距离相等,则表明点Q在线段AB的垂直平分线上.。

(必考题)初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试题(含答案解析)

(必考题)初中八年级数学上册第十三章《轴对称》经典测试题(含答案解析)

一、选择题1．若a ，b 是等腰ABC 的两边长，且满足()2370a b -+-=，此三角形的周长是（ ）A ．13B ．13或17C ．17D ．202．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，E 为AB 上一点，连接DE ，则下列四个结论正确的有（ ）．①∠CAD ＝30° ②AD ＝BD ③BD ＝2CD ④CD ＝EDA ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 3．如图，AD 是ABC 的角平分线，DE AC ⊥，垂足为E ，//BF AC 交ED 的延长线于点F ，若BC 恰好平分ABF ∠，2AE BF =．下列四个结论中：①DE DF =；②DB DC =；③AD BC ⊥；④3AB BF =．其中正确的结论共有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 4．下列命题正确的是（ ）A ．全等三角形的对应边相等B ．面积相等的两个三角形全等C ．两个全等三角形一定成轴对称D ．所有等腰三角形都只有一条对称轴 5．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…，在射线ON 上，点B ，1B ，2B ，3B ，…，在射线OM 上，112A B B ，223A B B △，334A B B △，…，均为等边三角形．若11OB =，则202020202021A B B △的边长为（ ）A ．20192B ．20202C ．20212D ．20222 6．在等腰ABC ∆中，80A ∠=︒，则B 的度数不可能是（ ）A ．80︒B ．60︒C ．50︒D ．20︒7．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- 8．如图，△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，则sin B 的值为（ ）A ．58B ．45C ．35D ．129．如图，∠MON =30°，点A 1、A 2、A 3…在射线ON 上，点B 1、B 2、B 3…在射线OM 上，△A 1B 1A 2、△A 2B 2A 3、△A 3B 3A 4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a 1，第2个等边三角形的边长记为a 2，以此类推．若OA 1=1，则a 2019=（ ）A ．22017B ．22018C ．22019D ．2202010．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．10311．如图所示，在△ABC 中，内角∠BAC 与外角∠CBE 的平分线相交于点P ，BE ＝BC ，PB 与CE 交于点H ，PG ∥AD 交BC 于F ，交AB 于G ，连接CP ．下列结论：①∠ACB ＝2∠APB ；②BP 垂直平分CE ；③PG ＝AG ；④CP 平分∠DCB ；其中，其中说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个12．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．13．如图，在锐角ABC 中，AB AC =，D ，E 是ABC 内的两点，AD 平分BAC ∠，60EBC E ∠=∠=，若6BE cm =，2DE cm =，则BC 的长度是（ ）A ．6cmB ．6.5cmC ．7cmD ．8cm 14．如图，在等腰ABC 中，118ABC ︒∠=，AB 垂直平分线DE 交AB 于点D ，交AC 于点E ，BC 的垂直平分线PQ 交BC 于点P ，交AC 于点Q ，连接BE ，BQ ，则EBQ ∠=（ ）A ．65︒B ．60︒C ．56︒D ．50︒15．已知等边△ABC 的边长为6，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G ．当G 与D 重合时，AD 的长是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题16．如图，点C 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），在AB 的上方分别作△ACD 和△BCE ，且AC =DC ，BC=EC ，∠ACD =∠BCE =α，连接AE ，BD 交于点P ．下列结论：①AE=DB ；②当α=60°时，AD =BE ；③∠APB =2∠ADC ；④连接PC ，则PC 平分∠APB ．其中正确的是__________．（把你认为正确结论的序号都填上）17．如图，长方形纸片ABCD ，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，连接EF ，将BEF ∠对折B 落在直线EF 上的点'B 处，得折痕EM ；将AEF ∠对折，点A 落在直线EF 上的点'A 得折痕EN ，若6215'BEM ∠=︒，则AEN ∠=____．18．如图，在ABC ∆中，31C ∠=︒，ABC ∠的平分线BD 交AC 于点D ，如果DE 垂直平分BC ，那么A ∠的度数为_______．19．如图，线段AB ，BC 的垂直平分线1l ，2l 相交于点O ．若135∠=︒，则A C ∠+∠的度数为______．20．如图：已知在ABC 中，90ACB ︒∠=，36BAC ︒∠=，在直线AC 上找点P ，使ABP △是等腰三角形，则APB ∠的度数为________．21．如图，等腰ABC 底边BC 的长为4cm ，面积是12cm 2，腰AB 的垂直平分线EF 交AC 于点F ，若D 为BC 边上的中点，M 为线段EF 上一动点，则BDM 的周长最小值为_____cm ．22．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________． 23．如图，AOB 与COB △关于边OB 所在的直线成轴对称，AO 的延长线交BC 于点D .若46BOD ∠=︒，22C ∠=︒，则ADC ∠=______°．24．如图，E 是腰长为2的等腰直角ABC 斜边上一点，且BE BC P =，为CE 上任意一点，PQ BC ⊥于点Q PR BE ⊥，于点R ，则PQ PR +的值是___________．25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为（2，0），若点A 在第一象限内，且AB =OB ，∠A =60°，则点A 到y 轴的距离为______．26．如图，在四边形ABCD 中，130DAB ∠=︒，90D B ∠=∠=︒，点M ，N 分别是CD ，BC 上两个动点，当AMN 的周长最小时，AMN ANM ∠+∠的度数为_________．三、解答题27．在等边ABC ∆中，（1）如图1，P ，Q 是BC 边上两点，AP AQ =，20BAP ∠=︒，求AQB ∠的度数； （2）点P ，Q 是BC 边上的两个动点（不与B ，C 重合），点P 在点Q 的左侧，且AP AQ =，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM ，PM ．①依题意将图2补全；②求证：PA PM =．28．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．29．如图，在ABC 中，AB AC =，D 为AC 的中点，DE AB ⊥于点E ，DF BC⊥于点F ，且DE DF =，连接BD ，点G 在BC 的延长线上，且CD CG =． （1）求证：ABC 是等边三角形；（2）若2CG =，求BC 的长．30．如图，在8×8的网格中，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，Rt △ABC 的每个顶点都在格点上，利用网格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图．（1）画△ABC 的角平分线CD 交AB 于点D ；（2）画AB 边的垂直平分线l 交直线CD 于点P ．。

部编数学八年级上册专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(解析版)含答案

部编数学八年级上册专题03轴对称十大重难题型(期末真题精选)(解析版)含答案

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！专题03 轴对称十大重难题型一．轴对称图形的存在性之格点类（钥匙---对称轴）1．如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（ ）实战训练A．3个B．4个C．5个D．6个试题分析：解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．答案详解：解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG、△CDF、△AEF、△DBH，△BCG共5个，所以选：C．2．如图，在3×3的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有　5　个．试题分析：根据轴对称图形的定义与判断可知．答案详解：解：与△ABC成轴对称且也以格点为顶点的三角形有5个，分别为△ABD，△BCE，△GHF，△EMN，△AMQ，共有5个．所以答案是：5．二．轴对称的性质3．如图，把一张长方形纸片ABCD的一角沿AE折叠，点D的对应点D′落在∠BAC的内部，若∠CAE＝2∠BAD′，且∠CAD′＝n，则∠DAE的度数为　n5+36°　（用含n的式子表示）．试题分析：由矩形的性质和折叠的性质即可得出答案．答案详解：解：如图，设∠BAD ′＝x ，则∠CAE ＝2x ，由翻折变换的性质可知，∠DAE ＝∠EAD ′＝2x +n ，∵∠DAB ＝90°，∴4x +2n +x ＝90°，∴x =15（90°﹣2n ），∴∠DAE ＝2×15（90°﹣2n ）+n =n 5+36°．所以答案是：n 5+36°．4．如图，点P 为∠AOB 内部任意一点，点P 与点P 1关于OA 对称，点P 与点P 2关于OB 对称，OP ＝8，∠AOB ＝45°，则△OP 1P 2的面积为 32　．试题分析：根据轴对称的性质，可得OP 1、OP 2的长度等于OP 的长，∠P 1OP 2的度数等于∠AOB 的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式解答即可．答案详解：解：∵点P 1和点P 关于OA 对称，点P 2和点P 关于OB 对称，∴OP 1＝OP ＝OP 2＝8，且∠P 1OP 2＝2∠AOB ＝90°．∴△P 1OP 2是直角三角形，∴△OP 1P 2的面积为12×8×8＝32，所以答案是：32．三．尺规作图：轴对称，角平分，垂直平分线5．已知直线l 及其两侧两点A 、B ，如图．（1）在直线l上求一点P，使PA＝PB；（2）在直线l上求一点Q，使l平分∠AQB．（以上两小题保留作图痕迹，标出必要的字母，不要求写作法）试题分析：（1）作线段AB的垂直平分线与l的交点即为所求；（2）作点A关于l的对称点A′，连接BA′并延长交l于点Q，点Q即为所求．答案详解：解：6．已知：如图，∠AOB及M、N两点．请你在∠AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M、N 的距离分别相等（保留作图痕迹）．试题分析：点P是∠AOB的平分线与线段MN的中垂线的交点．答案详解：解：点P就是所求的点．（2分）如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分7．线段的垂直平分线的性质1：线段垂直平分线上的点与这条线段　两个端点　的距离　相等　．如图，△ABC中，AB＝AC＝16cm，（1）作线段AB的垂直平分线DE，交AB于点E，交AC于点D（用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接BD，如果BC＝10cm，则△BCD的周长为　26　cm．试题分析：根据线段的垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等）求解即可求得答案；（1）利用线段垂直平分线的作法进而得出即可；（2）由线段的垂直平分线的性质可得：AD＝BD，从而将△BCD的周长转化为：AD+CD+BC，即AC+BC＝16+10＝26cm．答案详解：解：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等，所以答案是：两个端点；相等；（1）如图所示，（2）连接BD，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD ＝BD ，∵△BCD 的周长＝BD +DC +BC ，∴△BCD 的周长＝AD +DC +BC ，即AC +BC ＝16+10＝26cm ．所以答案是：26．8．如图，在正方形网格中，△ABC 的三个顶点分别在正方形网格的格点上，△A ′B ′C ′和△ABC 关于直线l 成轴对称，其中A ′点的对应为A 点．（1）请画出△A ′B ′C ′，并标出相应的字母；（2）若网格中最小正方形的边长为1，求△A ′B ′C ′的面积．试题分析：（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）直接利用三角形面积求法得出答案．答案详解：解：（1）如图所示：△A ′B ′C ′，即为所求；（2）△A ′B ′C ′的面积为：12×2×4＝4．9．如图，△ABC 的三个顶点在边长为1的正方形网格中，已知A （﹣1，﹣1），B （4，﹣1），C （3，1）．（1）画出△ABC 及关于y 轴对称的△A 1B 1C 1；（2）请直接写出以AB 为边且与△ABC 全等的三角形的第三个顶点（不与C 重合）的坐标．试题分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于y轴的对称点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；（2）利用轴对称性确定出另一个点，然后根据平面直角坐标系写出坐标即可．答案详解：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图，第三个点的坐标为（0，1）或（0，﹣3）或（3，﹣3）．四．坐标的轴对称10．已知点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，则a+b的值为（ ）A．1B．−1C．5D．﹣5试题分析：关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数得出a，b的值，进而得出a+b的值．答案详解：解：∵点P（a，3），Q（﹣2，b）关于x轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．所以选：D．11．已知点P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，则（a+b）2021的值为（ ）A．0B．﹣1C．1D．（﹣3）2021试题分析：根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出a、b的值，然后代入计算即可得解．答案详解：解：∵P1（﹣1，﹣2）和P2（a，b﹣1）关于y轴对称，∴a＝1，b﹣1＝﹣2，解得a＝1，b＝﹣1，∴a+b＝0，∴（a+b）2021＝02021＝0．所以选：A．12．若点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，点P的坐标为（2，﹣3），那么点N 的坐标为（ ）A．（2，3）B．（2，﹣3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）试题分析：作出相关对称后可得点P与点N关于原点对称，那么依据点P的坐标为（2，﹣3），可得点N的坐标．答案详解：解：∵点M与点N关于x轴对称，点M和点P关于y轴对称，∴点N与点P关于原点对称，又∵点P的坐标为（2，﹣3），∴点N的坐标为（﹣2，3），所以选：D．13．已知点A（a﹣5，1﹣2a），解答下列问题：（1）若点A到x轴和y轴的距离相等，求点A的坐标；（2）若点A向右平移若干个单位后，与点B（﹣2，﹣3）关于x轴对称，求点A的坐标．试题分析：（1）直接利用点A在第一象限或第三象限或点A在第二象限或第四象限，分别得出答案；（2）直接利用平移的性质结合关于x轴对称点的性质得出答案．答案详解：解：（1）若点A在第一象限或第三象限，则a﹣5＝1﹣2a，解得：a＝2，则a﹣5＝1﹣2a＝﹣3，∴点A 的坐标为（﹣3，﹣3），若点A 在第二象限或第四象限，则a ﹣5+1﹣2a ＝0，解得a ＝﹣4，则a ﹣5＝﹣9，1﹣2a ＝9，∴点A 的坐标为（﹣9，9），综上所述，点A 的坐标为（﹣3，﹣3）或（﹣9，9）；（2）∵若点A 向右平移若干个单位，其纵坐标不变为（1﹣2a ），又∵点A 向右平移若干个单位后与点B （﹣2，﹣3）关于x 轴对称，∴1﹣2a +（﹣3）＝0，a ＝﹣1，a ﹣5＝﹣1﹣5＝﹣6，1﹣2a ＝1﹣2×（﹣1）＝3，即点A 的坐标为（﹣6，3）．14．已知有序数对（a ，b ）及常数k ，我们称有序数对（ka +b ，a ﹣b ）为有序数对（a ，b ）的“k 阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数”对为（1×3+2，3﹣2）即（5，1）．若有序数对（a ，b ）（b ≠0）与它的“k 阶结伴数对”关于y 轴对称，则此时k 的值为（ ）A ．﹣2B ．−32C ．0D ．−12试题分析：根据新定义可得：有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），并根据y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标相等，可列方程组，从而可解答．答案详解：解：∵有序数对（a ，b ）（b ≠0）的“k 阶结伴数对”是（ka +b ，a ﹣b ），∴a −b =b a +ka +b =0，解得：k =−32．所以选：B ．五．格点等腰三角形15．如图，在4×3的正方形网格中，点A 、B 分别在格点上，在图中确定格点C ，则以A 、B 、C 为顶点的等腰三角形有　3　个．试题分析：首先由勾股定理可求得AB的长，然后分别从AB＝BC，AB＝AC，AC＝BC去分析求解即可求得答案．答案详解：解：如图，则符合要求的有：C1，C2，C3共3个点；所以答案是：3．16．如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知点A、B是两格点，若点C也是图中的格点，则使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形时，点C的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4试题分析：根据AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，答案详解：解：如图，以AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．所以选：D．17．如图是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且边长为1，点A，B均在格点上，在网格中建立平面直角坐标系．如果点C也在此4×4的正方形网格的格点上，且△ABC是等腰三角形，请写出一个满足条件的点C的坐标　（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），　；满足条件的点C一共有　8　个．试题分析：根据题意，画出图形，由等腰三角形的判定找出满足条件的C点，选择正确答案．答案详解：解：满足条件的点C的坐标为（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），满足条件的点C一共有8个，所以答案是：（﹣2，0），（﹣2，1），（﹣2，2），（2，2），（2，0），（1，0），（1，﹣1），（1，﹣2），8．六．规律类--坐标与图形的变化18．如图，已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点M，顶点A、B、C的坐标分别为（1，3）、（1，1）、（3，1），规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向右平移1个单位”为一次变换，如此这样，连续经过2020次变换后，点M的坐标变为（ ）A．（2022，2）B．（2022，﹣2）C．（2020，2）D．（2020，﹣2）试题分析：首先由正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），继而求得把正方形ABCD连续经过2015次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．答案详解：解：∵正方形ABCD，顶点A（1，3），B（1，1），C（3，1），∴对角线交点M的坐标为（2，2），根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为（2+1，﹣2），即（3，﹣2），第2次变换后的点M的对应点的坐标为：（2+2，2），即（4，2），第3次变换后的点M的对应点的坐标为（2+3，﹣2），即（5，﹣2），第n次变换后的点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为（2+n，﹣2），当n为偶数时为（2+n，2），∴连续经过2020次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为（2022，2）．所以选：A．19．如图，将边长为1的正方形OABC沿x轴正方向连续翻转2020次，点A依次落在点A1、A2、A3、A4…A2020的位置上，则点A2020的坐标为（ ）A．（2019，0）B．（2019，1）C．（2020，0）D．（2020，1）试题分析：探究规律，利用规律即可解决问题．答案详解：解：由题意A1（0，1），A2（2，1），A3（3，0），A4（3，0），A5（4，1），A6（5，1），A7（6，0），A8（7，0），A9（8，1），…每4个一循环，∵2020÷4＝505则2020个应该在x轴，坐标应该是（2019，0），所以选：A．20．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A坐标是（1，2），则经过第2021次变换后点A的对应点的坐标为（ ）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（1，2）试题分析：观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2021除以4，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可．答案详解：解：点A第一次关于y轴对称后在第二象限，点A第二次关于x轴对称后在第三象限，点A第三次关于y轴对称后在第四象限，点A第四次关于x轴对称后在第一象限，即点A回到原始位置，所以，每四次对称为一个循环组依次循环，∵2021÷4＝505余1，∴经过第2021次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第二象限，坐标为（﹣1，2）．所以选：C．七．等腰三角形判定与性质21．如图，在△ABC中，∠ABC的角平分线和∠ACB相邻的外角平分线CD交于点D，过点D作DE∥BC交AB于E，交AC于G，若EG＝2，且GC＝6，则BE长为　8　．试题分析：根据角平分线+平行可以证明等腰三角形，所以可得EB＝ED，GC＝GD，从而求出DE的长，最后求出BE的长．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∵DE∥BC，∴∠EDB ＝∠DBC ，∴∠ABD ＝∠EDB ，∴EB ＝ED ，∵CD 平分∠ACF ，∴∠ACD ＝∠DCF ，∵DE ∥BC ，∴∠EDC ＝∠DCF ，∴∠EDC ＝∠ACD ，∴GC ＝GD ＝6，∵EG ＝2，∴ED ＝EG +GD ＝2+6＝8，∴BE ＝ED ＝8，所以答案是：8．22．如图，△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，CP 平分∠ACB ，BD ，CD 分别是△ABC 的两外角的平分线，下列结论中：①CP ⊥CD ；②∠P =12∠A ；③BC ＝CD ；④∠D ＝90°−12∠A ；⑤PD ∥AC ．其中正确的结论是 ①②④⑤　（直接填写序号）．试题分析：根据角平分线的定义得到∠PCB =12∠ACB ，∠BCD =12∠BCF ，根据垂直的定义得到CP ⊥CD ；故①正确；延长CB ，根据角平分线的定义和三角形外角的性质得到∠P =12∠A ，故②正确；根据平行线的判定定理得到AB ∥CD ，推出△ABC 是等边三角形，而△ABC 中，∠A ＝∠ACB ，于是得到假设不成立，故③错误；根据角平分线的定义得到∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，推出∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，求得∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；根据三角形的外角的性质得到∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，求得∠EBD ＝∠A ，于是得到PD∥AC．故⑤正确．答案详解：解：∵CP平分∠ACB，CD平分∠BCF，∴∠PCB=12∠ACB，∠BCD=12∠BCF，∵∠ACB+∠BCF＝180°，∴∠PCD＝∠PCB+∠BCD=12∠ACB+12∠BCF=12（∠ACB+∠BCF）＝90°，∴CP⊥CD；故①正确；延长CB，∵BD平分∠CBE，∠CBE＝∠ABH，∴BP平分∠ABH，∴∠PBH＝∠BCP+∠P，∵∠A+2∠PCB＝2∠PBH，∴∠A+2∠PCB＝2∠BCP+2∠P，∴∠A＝2∠P，即：∠P=12∠A，故②正确；假设BC＝CD，∴∠CBD＝∠D，∵∠EBD＝∠CBD，∴∠EBD＝∠D，∴AB∥CD，∴∠DCF＝∠A，∵∠ACB＝∠A，CD平分∠BCF，∴∠ACB＝∠BCD＝∠DCF，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，而△ABC中，∠A＝∠ACB，∴△ABC是等腰三角形，∴假设不成立，故③错误；∵BD、CD分别是△ABC的两个外角∠EBC、∠FCB的平分线，∴∠EBD ＝∠DBC ，∠BCD ＝∠DCF ，∴∠DBC +∠DCB +∠D ＝180°，∴∠A +∠ABC +∠ACB ＝180°，而∠ABC ＝180°﹣2∠DBC ，∠ACB ＝180°﹣2∠DCB ，∴∠A +180°﹣2∠DBC +180°﹣2∠DCB ＝180°，∴∠A ﹣2（∠DBC +∠DCB ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2（180°﹣∠D ）＝﹣180°，∴∠A ﹣2∠D ＝180°，∴∠D ＝90°−12∠A ，故④正确；∵∠EBC ＝∠A +∠ACB ，∠A ＝∠ACB ，∴∠A =12∠EBC ，∵∠EBD =12∠EBC ，∴∠EBD ＝∠A ，∴PD ∥AC ．故⑤正确；所以答案是：①②④⑤．23．Rt △ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 、∠ACB ，EO ∥AB ，FO ∥AC ，若S △ABC ＝32，则△OEF 的周长为　8　．试题分析：根据已知条件得到BC＝8，根据平行线的性质得到∠ABO＝∠BOE由角平分线的定义得到∠ABO＝∠OBE，等量代换得到∠ABO＝∠BOE于是得到BE＝OE，则同理可得CE＝OE即可得到结论．答案详解：解：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，S△ABC＝32，∴12BC2＝32，∴BC＝8，∵OE∥AB∴∠ABO＝∠BOE∵OB平分∠ABC∴∠ABO＝∠OBE∴∠ABO＝∠BOE∴BE＝OE，则同理可得OF＝CF，∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝BE+EF+FC＝BC＝8．所以答案是：8．24．如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．那么下列结论：①BD＝DC；②△BED和△CFD都是等腰三角形；③点D是EF的中点；④△AEF的周长等于AB与AC的和．其中正确的有　②④　．（只填序号）试题分析：利用角平分线的定义可得∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，然后根据∠ABC≠∠ACB，从而可得∠DBC≠∠DCB，进而可得DB≠DC，即可判断①；利用平行线的性质可得∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，从而可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，进而利用等角对等边可得ED＝EB，FD＝FC，即可判断②；根据EB≠FC，可得ED≠FD，即可判断③；利用等量代换可得△AEF的周长＝AB+AC，即可判断④．答案详解：解：∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC=12∠ABC，∠ACD＝∠DCB=12∠ACB，∵∠ABC≠∠ACB，∴∠DBC≠∠DCB，∴DB≠DC，故①不正确；∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，∴ED＝EB，FD＝FC，∴△BED和△CFD都是等腰三角形，故②正确；∵EB≠FC，∴ED≠FD，故③不正确；∵EB＝ED，FD＝FC，∴△AEF的周长＝AE+EF+AF＝AE+ED+DF+AF＝AE+EB+AF+FC＝AB+AC，故④正确；综上所述：上列结论其中正确的有②④，所以答案是：②④．八．等边三角形的判定与性质25．如图，已知AB＝AC，AD平分∠BAC，∠DEB＝∠EBC＝60°，若BE＝5，DE＝2，则BC＝　7　．试题分析：作出辅助线后根据等腰三角形的性质得出△BEM 为等边三角形，得出BM ＝EM ＝BE ＝5，从而得出BN 的长，进而求出答案．答案详解：解：延长ED 交BC 于M ，延长AD 交BC 于N ，如图，∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴AN ⊥BC ，BN ＝CN ，∵∠EBC ＝∠DEB ＝60°，∴△BEM 为等边三角形，∴BM ＝EM ＝BE ＝5，∠EMB ＝60°，∵DE ＝2，∴DM ＝3，∵AN ⊥BC ，∴∠DNM ＝90°，∴∠NDM ＝30°，∴NM =12DM =32，∴BN ＝BM ﹣MN ＝5−32=72，∴BC ＝2BN ＝7．所以答案是：7．26．已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．试题分析：（1）根据等边三角形性质得出AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，求出∠ACD＝∠BCE，证△ACD≌△BCE即可；（2）根据全等求出∠ADC＝∠BEC，求出∠ADE+∠BED的值，根据三角形的内角和定理求出即可；（3）求出AM＝BN，根据SAS证△ACM≌△BCN，推出CM＝CN，求出∠NCM＝60°即可．答案详解：解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中AC=BC∠ACD=∠BCECD=CE，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE．（2）解：∵△ACD≌△BCE，∴∠ADC＝∠BEC，∵等边三角形DCE，∴∠CED＝∠CDE＝60°，∴∠ADE+∠BED＝∠ADC+∠CDE+∠BED，＝∠ADC+60°+∠BED，＝∠CED+60°，＝60°+60°，＝120°，∴∠DOE＝180°﹣（∠ADE+∠BED）＝60°，答：∠DOE的度数是60°．（3）证明：∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD＝∠CBE，AD＝BE，AC＝BC又∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，∴AM=12AD，BN=12BE，∴AM＝BN，在△ACM和△BCN中AC=BC∠CAM=∠CBNAM=BN，∴△ACM≌△BCN，∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN，又∠ACB＝60°，∴∠ACM+∠MCB＝60°，∴∠BCN+∠MCB＝60°，∴∠MCN＝60°，∴△MNC是等边三角形．27．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．（1）求证：AE＝2CE；（2）连接CD，请判断△BCD的形状，并说明理由．试题分析：（1）连接BE，由垂直平分线的性质可求得∠EBC＝∠ABE＝∠A＝30°，在Rt△BCE 中，由直角三角形的性质可证得BE＝2CE，则可证得结论；（2）由垂直平分线的性质可求得CD＝BD，且∠ABC＝60°，可证明△BCD为等边三角形．答案详解：（1）证明：连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；（2）解：△BCD是等边三角形，理由如下：连接CD．∵DE垂直平分AB，∴D为AB中点，∵∠ACB＝90°，∴CD＝BD，∵∠ABC＝60°，∴△BCD是等边三角形．九．直角三角形斜中线的灵活运用。

人教版八年级上册数学 轴对称解答题单元测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级上册数学 轴对称解答题单元测试卷 (word版,含解析)

人教版八年级上册数学 轴对称解答题单元测试卷 （word 版，含解析）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．（1）问题发现．如图1，ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，点A 、D 、E 均在同一直线上，连接BE ．①求证：ADC BEC ∆∆≌．②求AEB ∠的度数．③线段AD 、BE 之间的数量关系为__________．（2）拓展探究．如图2，ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，点A 、D 、E 在同一直线上，CM 为DCE ∆中DE 边上的高，连接BE ．①请判断AEB ∠的度数为____________．②线段CM 、AE 、BE 之间的数量关系为________．（直接写出结论，不需证明）【答案】（1）①详见解析；②60°；③AD BE =；（2）①90°；②2AE BE CM =+【解析】【分析】（1）易证∠ACD ＝∠BCE ，即可求证△ACD ≌△BCE ，根据全等三角形对应边相等可求得AD ＝BE ，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 的大小；（2）易证△ACD ≌△BCE ，可得∠ADC ＝∠BEC ，进而可以求得∠AEB ＝90°，即可求得DM ＝ME ＝CM ，即可解题．【详解】解：（1）①证明：∵ACB ∆和DCE ∆均为等边三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵60ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠=︒，∴ACD ECB ∠=∠，∴()ADC BEC SAS ∆∆≌．②∵CDE ∆为等边三角形，∴60CDE ∠=︒．∵点A 、D 、E 在同一直线上，∴180120ADC CDE ∠=︒-∠=︒，又∵ADC BEC ∆∆≌，∴120ADC BEC ∠=∠=︒，∴1206060AEB ∠=︒-︒=︒．③AD BE =ADC BEC ∆∆≌，∴AD BE =．故填：AD BE =；（2）①∵ACB ∆和DCE ∆均为等腰直角三角形，∴AC CB =，CD CE =，又∵90ACB DCE ∠=∠=︒，∴ACD DCB ECB DCB ∠+∠=∠+∠，∴ACD ECB ∠=∠，在ACD ∆和BCE ∆中，AC CB ACD ECB CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴E ACD BC ∆∆≌，∴ADC BEC ∠∠=．∵点A 、D 、E 在同一直线上， ∴180********ADC BEC CDE ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒，∴1351354590AEB CED ∠=︒-∠=︒-︒=︒．②∵CDA CEB ∆∆≌，∴BE AD =．∵CD CE =，CM DE ⊥，∴DM ME =．又∵90DCE ∠=︒，∴2DE CM =，∴2AE AD DE BE CM =+=+．故填：①90°；②2AE BE CM =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等、对应角相等的性质，本题中求证△ACD ≌△BCE 是解题的关键．2．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）求∠CAM 的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM12=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即11603022BAM BAC∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACB +∠DCB ＝∠DCB +∠DCE ，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ＝30°．由（1）得：∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．③当点D 在线段MA 的延长线上时．∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC ＝BC ，CD ＝CE ，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，∴∠ACD +∠ACE ＝∠BCE +∠ACE ＝60°，∴∠ACD ＝∠BCE ．在△ACD 和△BCE 中，∵AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD ≌△BCE （SAS ），∴∠CBE ＝∠CAD ．由（1）得：∠CAM ＝30°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝150°，∴∠CBO ＝30°，∠BAM ＝30°，∴∠BOA ＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D 在直线AM 上时，∠AOB 是定值，∠AOB ＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．3．已知如图1，在ABC ∆中，AC BC =，90ACB ∠=，点D 是AB 的中点，点E 是AB 边上一点，直线BF 垂直于直线CE 于点F ，交CD 于点G .（1）求证：AE CG =.（2）如图2，直线AH垂直于直线CE，垂足为点H，交CD的延长线于点M，求证：BE CM=.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）首先根据点D是AB中点，∠ACB=90°，可得出∠ACD=∠BCD=45°，判断出△AEC≌△CGB，即可得出AE=CG；（2）根据垂直的定义得出∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，再根据AC=BC，∠ACM=∠CBE=45°，得出△BCE≌△CAM，进而证明出BE=CM．【详解】（1）∵点D是AB中点，AC=BC，∠ACB=90°，∴CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°，∴∠CAD=∠CBD=45°，∴∠CAE=∠BCG．又∵BF⊥CE，∴∠CBG+∠BCF=90°．又∵∠ACE+∠BCF=90°，∴∠ACE=∠CBG．在△AEC和△CGB中，∵CAE BCGAC BCACE CBG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△AEC≌△CGB（ASA），∴AE=CG；（2）∵CH⊥HM，CD⊥ED，∴∠CMA+∠MCH=90°，∠BEC+∠MCH=90°，∴∠CMA=∠BEC．在△BCE和△CAM中，BEC CMAACM CBEBC AC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCE≌△CAM（AAS），∴BE=CM．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．4．如图，在平面直角坐标系中，A（﹣3，0），点 B是 y轴正半轴上一动点，点C、D在 x 正半轴上．（1）如图，若∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，BD、CE 是△ABC的两条角平分线，且BD、CE交于点F，直接写出CF的长_____．（2）如图，△ABD是等边三角形，以线段BC为边在第一象限内作等边△BCQ，连接 QD并延长，交 y轴于点 P，当点 C运动到什么位置时，满足 PD＝23DC？请求出点C的坐标；（3）如图，以AB为边在AB的下方作等边△ABP，点B在 y轴上运动时，求OP的最小值．【答案】（1）6；（2）C的坐标为（12，0）；（3）3 2 .【解析】【分析】（1）作∠DCH＝10°，CH 交BD 的延长线于H，分别证明△OBD≌△HCD 和△AOB≌△FHC，根据全等三角形的对应边相等解答；（2）证明△CBA≌△QBD，根据全等三角形的性质得到∠BDQ＝∠BAC＝60°，求出CD，得到答案；（3）以OA 为对称轴作等边△ADE，连接EP，并延长EP 交x 轴于点F．证明点P 在直线EF 上运动，根据垂线段最短解答．【详解】解：（1）作∠DCH＝10°，CH 交 BD 的延长线于 H，∵∠BAO＝60°，∴∠ABO＝30°，∴AB＝2OA＝6，∵∠BAO＝60°，∠BCO＝40°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣40°＝80°，∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD＝40°，∴∠CBD＝∠DCB，∠OBD＝40°﹣30°＝10°，∴DB ＝DC ，在△OBD 和△HCD 中，==OBD HCD DB DC ODC HDC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△OBD ≌△HCD （ASA ），∴OB ＝HC ，在△AOB 和△FHC 中，==ABO FCH OB HC AOB FHC ∠∠⎧⎪=⎨⎪∠∠⎩∴△AOB ≌△FHC （ASA ），∴CF=AB=6，故答案为6；（2）∵△ABD 和△BCQ 是等边三角形，∴∠ABD ＝∠CBQ ＝60°，∴∠ABC ＝∠DBQ ，在△CBA 和△QBD 中，BA BD ABC DBQ BC BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△CBA ≌△QBD （SAS ），∴∠BDQ ＝∠BAC ＝60°，∴∠PDO ＝60°，∴PD ＝2DO ＝6，∵PD ＝23DC ， ∴DC ＝9，即 OC ＝OD+CD ＝12，∴点 C 的坐标为（12，0）；（3）如图3，以 OA 为对称轴作等边△ADE ，连接 EP ，并延长 EP 交 x 轴于点F ．由（2）得，△AEP ≌△ADB ，∴∠AEP ＝∠ADB ＝120°，∴∠OEF ＝60°，∴OF ＝OA ＝3，∴点P 在直线 EF 上运动，当 OP ⊥EF 时，OP 最小，∴OP ＝12OF ＝32 则OP 的最小值为32．【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．5．(1)问题发现:如图1, ABC 和ADE 均为等边三角形，点B D E 、、在同一直线上，连接.CE①求证: BD CE =; ②求BEC ∠的度数.(2)拓展探究:如图2, AB C 和ADE 均为等腰直角三角形，90BAC DAE ∠=∠=︒,点B D E 、、在同一直线上AF ，为ADE 中DE 边上的高，连接.CE①求BEC ∠的度数:②判断线段AF BE CE 、、之间的数量关系(直接写出结果即可).()3解决问题:如图3，AB 和ADE 均为等腰三角形，BAC DAE n ∠=∠=,点B D E 、、在同一直线上，连接CE .求AEC ∠的度数(用含n 的代数式表示，直接写出结果即可).【答案】（1）①证明见解析；②60°；（2）①90°；②BE =CE+2AF ；（3）∠AEC =90°+12n ︒. 【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=60°,根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE,依据其性质可得 BD CE =，再根据对应角相等求出BEC ∠的度数；（2）根据等腰直角三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=90°，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出BEC ∠的度数；因为DE=2AF,BD=EC,结合线段的和差关系得出结论；（3）根据等腰三角形的性质得AB=AC,AD=AE, ∠DAE=∠BAC=n °，根据SAS 进一步证明△BAD ≌△CAE ，根据对应角相等求出得出∠ADB=BEC ∠的度数,结合内角和用n 表示∠ADE 的度数，即可得出结论.【详解】（1）①∵△ABC 和△ADE 均为等边三角形(如图1)，∴ AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE=60°，∴ ∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC ，∴ ∠BAD=∠CAE.∴ △BAD ≌△CAE （SAS ）∴ BD=CE.②由△CAE≌△BAD，∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=120°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=120°-60°=60°.（2）①∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形(如图2)，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=45°，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴ BD=CE，∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=135°.∴∠BEC=∠AEC-∠AED=135°-45°=90°.② BE=CE+2AF.（3）如图3：∠AEC=90°+12n︒，理由如下，∵△ABC和△ADE均为等腰直角三角形，∴ AB=AC，AD=AE，∠ADE=∠AED=n°，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE.∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴∠AEC=∠ADB=180°-∠ADE=180°-1801809022n n.∴∠AEC=90°+12n︒.【点睛】本题考查等边三角形、等腰直角三角形的性质及旋转型三角形全等，掌握全等常见模型及由特殊到一般找出解题规律是解答此题的关键.6．八年级的小明同学通到这样一道数学题目：△ABC为边长为4的等边三角形，E是边AB 边上任意一动点，点D在CB的延长线上，且满足AE＝BD．（1）如图①，当点E为AB的中点时，DE＝；（2）如图②，点E在运动过程中，DE与EC满足什么数量关系？请说明理由；（3）如图③，F是AC的中点，连接EF．在AB边上是否存在点E，使得DE+EF值最小？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由．（直角三角形中，30°所对的边是斜边的一半）【答案】（1）32）DE＝CE，理由见解析；（3）这个最小值为7；【解析】【分析】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，由等边三角形的性质可得BE=DB=AE=2，由直角三角形的性质可求BH=1，EH3（2）如图②，过E作EF∥BC交AC于F，可证△AEF是等边三角形，AE=EF=AF=BD，由“SAS”可证△DBE≌△EFC，可得DE=CE；（3）如图③，将△ABC沿AB翻折得到△ABC'，连接C'F交AB于点E'，连接CE'，DE'，过点F作FH⊥AC'于点H，由“SAS”可证△ACE'≌△AC'E'，可得C'E'=CE'，可得当点C'，点E'，点F三点共线时，DE+EF的值最小，由勾股定理可求最小值.【详解】（1）如图①，过点E作EH⊥BC于H，∵△ABC 为边长为4的等边三角形，点E 是AB 的中点，∴AE =BE =2=DB ，∠ABC =60°，且EH ⊥BC ，∴∠BEH =30°，∴BH =1，EH 3=BH 3=，∴DH =DB +BH =2+1=3，∴DE 2293DH EH =+=+=23.故答案为：23；（2）DE =CE.理由如下：如图②，过E 作EF ∥BC 交AC 于F .∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC =∠ACB =∠A =60°，AB =AC =BC.∵EF ∥BC ，∴∠AEF =∠ABC =60°，∠AFE =∠ACB =60°，∴∠AEF =∠AFE =∠A =60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE =EF =AF ，∴AB ﹣AE =AC ﹣AF ，∴BE =CF.∵∠ABC =∠ACB =∠AFE =60°，∴∠DBE =∠EFC =120°，且AE =EF =DB ，BE =CF ，∴△DBE ≌△EFC (SAS)，∴DE =CE ，（3）如图③，将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，连接C 'F 交AB 于点E '，连接CE '，DE '，过点F 作FH ⊥AC '于点H.∵将△ABC 沿AB 翻折得到△ABC '，∴AC =AC '=BC =BC '=4，∠BAC =∠BAC '=60°，且AE '=AE '，∴△ACE '≌△AC 'E '(SAS)，∴C 'E '=CE '，由（2）可知：DE '=CE '，∴C 'E '=CE '=DE '.∵DE +EF =C 'E +EF =C 'E '+EF ，∴当点C '，点E '，点F 三点共线时，DE +EF 的值最小.∵F 是AC 的中点，∴AF =CF =2，且HF ⊥AC '，∠FAH =180°﹣∠CAB ﹣∠C 'AB =60°，∴AH =1，HF 3=AH 3=，∴C 'H =4+1=5，∴C 'F 22'253C H HF =+=+=27，∴DE +EF 的最小值为27.【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，添加恰当辅助线是解答本题的关键.7．在等边ABC ∆中，点O 在BC 边上，点D 在AC 的延长线上且OA OD =.（1）如图1，若点O 为BC 中点，求COD ∠的度数；（2）如图2，若点O 为BC 上任意一点，求证AD AB BO =+.（3）如图3，若点O 为BC 上任意一点，点D 关于直线BC 的对称点为点P ，连接,AP OP ，请判断AOP ∆的形状，并说明理由.【答案】（1）30；（2）见解析；（3）AOP ∆是等边三角形，理由见解析.【解析】【分析】（1）根据三角形的等边三角形的性质可求1302CAO BAC ∠=∠=︒且,90AO BC AOC ⊥∠=︒，根据OA OD =，等腰三角形的性质得到D ∠的度数，再通过内角和定理求AOD ∠，即可求出COD ∠的度数.（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E 先证明COE ∆为等边三角形，再根据等边三角形的性质求120AEO ∠=︒，120DCO ∠=︒，再证明()AOE DOC AAS ∆≅∆，得到CD EA =，再通过证明得到EA BO =、AB AC =通过，又因为AD AC CD =+，通过等量代换即可得到答案.（3）通过作辅助线先证明()ODF OPF SAS ∆≅∆，得到OP OD =，又因为OA OD =，得到AO=OP ，证得AOP ∆为等腰三角形，如解析辅助线，由（2）可知得AOE DOC ∆≅∆得到AOE DOC ∠=∠,通过角的关系得到60AOP COE ∠=∠=°，即可证得AOP ∆是等边三角形.【详解】（1）∵ABC ∆为等边三角形∴60BAC ∠=︒∵O 为BC 中点∴1302CAO BAC ∠=∠=︒ 且,90AO BC AOC ⊥∠=︒∵OA OD =∴AOD ∆中，30D CAO ∠=∠=︒∴180120AOD D CAO ∠=︒-∠-∠=︒∴30COD AOD AOC ∠=∠-∠=︒（2）过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E∵//OE AB∴60EOC ABC ∠=∠=︒60CEO CAB ∠=∠=︒∴COE ∆为等边三角形∴OE OC CE ==180120AEO CEO ∠=︒-∠=︒180120DCO ACB ∠=︒-∠=︒又∵OA OD =∴EAO CDO ∠=∠在AOE ∆和COD ∆中AOE DOC EAO CDO OA OD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()AOE DOC AAS ∆≅∆∴CD EA =∵EA AC CE =-BO BC CO =-∴EA BO =∴BO CD =，∵AB AC =，AD AC CD =+∴AD AB BO =+（3）AOP ∆为等边三角形证明过程如下：连接,PC PD ，延长OC 交PD 于F∵P D 、关于OC 对称∴,90PF DF PFO DFO =∠=∠=︒在ODF ∆与OPF ∆中，PF DF PFO DFO OF OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()ODF OPF SAS ∆≅∆∴OP OD =,POC DOC ∠=∠∵OA OD =∴AO=OP∴AOP ∆为等腰三角形过O 作//OE AB ，OE 交AD 于E由（2）得AOE DOC ∆≅∆∴AOE DOC ∠=∠又∵POC DOC ∠=∠∴AOE POF ∠=∠∴AOE POE POF POE ∠+∠=∠+∠即AOP COE ∠=∠∵AB ∥OE ，∠B=60°∴60COE B ∠=∠=︒∴60AOP COE ∠=∠=°∴AOP ∆是等边三角形.【点睛】本题是考查了全等三角形和等边三角形的综合性问题，灵活应用全等三角形的性质得到边与角的关系，以及等边三角形的性质是解答此题的关键.8．如图，在等边△ABC 中，线段AM 为BC 边上的高，D 是AM 上的点，以CD 为一边，在CD 的下方作等边△CDE ，连结BE ．（1）填空：∠ACB =____；∠CAM =____；（2）求证：△AOC ≌△BEC ；（3）延长BE 交射线AM 于点F ，请把图形补充完整，并求∠BFM 的度数；（4）当动点D 在射线AM 上，且在BC 下方时，设直线BE 与直线AM 的交点为F ．∠BFM 的大小是否发生变化？若不变，请在备用图中面出图形，井直接写出∠BFM 的度数；若变化，请写出变化规律．【答案】（1）60°，30°；（2）答案见解析；（3）60°；（4）∠BFM＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质即可进行解答；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC=AC ，DC=EC ，∠ACB=∠DCE=60°，由等式的性质就可以∠BCE=∠ACD ，根据SAS 就可以得出△ADC ≌△BEC ；（3）补全图形，由△ADC ≌△BEC 得∠CAM=∠CBE=30°,由三角形内角和定理即可求得∠BFM 的度数；（4）画出相应图形，可知当点D 在线段AM 的延长线上且在BC 下方时，如图，可以得出△ACD ≌△BCE ，进而得到∠CBE=∠CAD=30°，据此得出结论．【详解】(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°；∴线段AM 为BC 边上的高，∴∠CAM=12∠BAC=30°， 故答案为60，30°； （2）∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠BCE ，∴∠ACD=∠BCE.在△ADC 和△BEC 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)；（3）补全图形如下：由（1）（2）得∠CAM=30°，△ADC ≌△BEC ，∴∠CBE=∠CAM=30°，∵∠BMF=90°，∴∠BFM=60°；（4）当动点D 在射线AM 上，且在BC 下方时，画出图形如下：∵△ABC 与△DEC 都是等边三角形，∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACB+∠DCB=∠DCB+∠DCE ，∴∠ACD=∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ACD ≌△BCE(SAS)，∴∠CBE=∠CAD=30°，又∵∠AMC=∠BMO ，∴∠AOB=∠ACB=60°.即动点D 在射线AM 上时,∠AOB 为定值60°.【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键.解题时注意：全等三角形的对应角相等，等边三角形的三个内角都相等，等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.9．（1）操作：如图，在已知内角度数的三个三角形中，请用直尺从某一顶点画一条线段，把原三角形分割成两个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数（2）拓展，△ABC 中，AB=AC ，∠A=45°，请把△ABC 分割成三个等腰三角形，并在图中标注相应的角的度数.（3）思考在如图所示的三角形中∠A=30°.点P和点Q分别是边AC和BC上的两个动点.分别连接BP和PQ把△ABC分割成三个三角形.△ABP，△BPQ，△PQC若分割成的这三个三角形都是等腰三角形，求∠C的度数所有可能值直接写出答案即可.【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）∠C所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°.【解析】【分析】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质及外角的性质求出各角度数即可；（2）分别作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC可得三角形OAB、OAC、OBC为等腰三角形，根据等腰三角形的性质及外角性质求出各角度数即可；（3）分PB=PA、AB=AP、BA=BP时，PB=PQ、BP=BQ、QB=QP，PQ=QC、PC=QC、PQ=PC等10种情况，根据等腰三角形的性质分别求出∠C的度数即可.【详解】（1）在图1、图2、图3中，分别作AB、AB、BC的垂直平分线，如图1，∵∠ABC=23°，∠BAC=90°，∴∠C=90°-23°=67°，∵MN垂直平分AB，∴BD=AD，∴△ABD是等腰三角形，∴∠BAD=∠ABC=23°，∴∠ADC=2∠ABC=46°，∵∠BAC=90°，∴∠DAC=∠BAC-∠BAD=67°，∴∠DAC=∠C，∴△DAC是等腰三角形，同理：图2中，∠ADC=46°，∠DAC=88°，∠C=46°，△ABD和△ACD是等腰三角形，图3中，∠BCD=23°，∠ADC=46°，∠ACD=46°，△BCD和△ACD是等腰三角形.（2）作AB、BC的垂直平分线，交于点O，连接OA、OB、OC，∵点O是三角形垂直平分线的交点，∴OA=OB=OC，∴△OAB、△OAC、△OBC是等腰三角形，∵AB=AC，∠BAC=45°，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD=22.5°，∴∠OBA=∠OAB=22.5°，∠OCA=∠OAC=22.5°，∴∠OBC=∠OCB=45°.（3）①如图，当PB=PA，PB=PQ，PQ=CQ时，∵∠A=30°，PB=PQ，∴∠ABP=∠A=30°，∴∠APB=120°，∵PB=PQ，PQ=CQ，∴∠PQB=∠PBQ，∠C=∠CPQ，∴∠PBQ=2∠C，∴∠APB=∠PBQ+∠C=3∠C=120°，解得：∠C=40°.②如图，当PB=PA，PB=BQ，PQ=CQ时，∴∠PQB=2∠C，∠PQB=∠BPQ，∴∠PBQ=180°-2∠PQB=180°-4∠C，∴180°-4∠C+∠C=120°，解得：∠C=20°，③如图，当PA=PB，BQ=PQ，CQ=CP时，∵∠PQC=2∠PBQ，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBQ=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=120°，解得：∠C=100°.④如图，当PA=PB，BQ=PQ，PQ=CP时，∵∠PQC=∠C=2∠PBQ,又∵∠C+∠PBQ=120°，∴∠C=80°；⑤如图，当AB=AP，BP=BQ，PQ=QC时，∵∠A=30°，∴∠APB=12（180°-30°）=75°，∵BP=BQ，PQ=CQ，∴∠BPQ=∠BQP，∠QPC=∠QCP，∴∠BQP=2∠C，∴∠PBQ=180°-4∠C，∴∠C+180°-4∠C=75°，解得：∠C=35°.⑥如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QC时，∴∠PQC=2∠PBC，∠PQC=12（180°-∠C），∴∠PBC=14（180°-∠C），∴14（180°-∠C）+∠C=75°，解得：∠C=40°.⑦如图，当AB=AP，BQ=PQ，PC=QP时，∵∠C=∠PQC=2∠PBC，∠C+∠PQC=75°，∴∠C=50°；⑧当AB=AP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∠A=30°，∴∠ABP=∠APB=75°，又∵∠PBQ=∠PQB=2∠C，且有∠PBQ+∠C=180°-30°-75°=75°，∴3∠C=75°，∴∠C=25°；⑨当AB=BP，BP=PQ，PQ=CQ时，∵AB=BP，∴∠BPA=∠A=30°，∵∠PBQ=∠PQB=2∠C ，∴2∠C+∠C=30°，解得：∠C=10°.⑩当AB=BP ，BQ=PQ ，PQ=CQ 时，∴∠PQC=∠C=2∠PBQ ，∴12∠C+∠C=30°， 解得：∠C=20°.综上所述：∠C 所有可能的值为10°、20°、25°，35°、40°、50°、80°、100°. 【点睛】本题考查复杂作图及等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键.10．如图，在 ABC 中，已知 AB AC =，AD 是 BC 边上的中线，点 E 是 AB 边上一动点，点 P 是 AD 上的一个动点．（1）若 37BAD ∠=，求 ACB ∠ 的度数；（2）若 6BC =，4AD =，5AB =，且 CE AB ⊥ 时，求 CE 的长；（3）在（2）的条件下，请直接写出 BP EP + 的最小值．【答案】（1）53ACB ∠=．（2）245CE =．（3） 245. 【解析】【分析】（1）由已知得出三角形ABC 是等腰三角形，ACB ABC ∠∠=,AD 是BC 边的中线，有AD BC ⊥，求出ABC ∠的度数，即可得出ACB ∠的度数.（2）根据三角形ABC 的面积可得出CE 的长（3）连接CP ，有BP=CP ，BP+EP=EP+CP ，当点E ，P ，C 在同一条直线上时BP+EP 有最小值，即CE 的长度.【详解】解：（1）AB AC =，ACB ABC ∴∠=∠，AD 是 BC 边上的中线， 90ADB ∴∠=，37BAD ∠=，903753ABC ∴∠=-=，53ACB ∴∠=．（2）CE AB ⊥， 1122ABC S BC AD AB CE ∴=⋅=⋅， 6BC =，4=AD ，5AB =， 245CE ∴=． （3） 245【点睛】 本题考查的知识点主要有等腰三角形的“三线合一”，三角形的面积公式等，充分利用等腰三角形的“三线合一”是解题的关键.。

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题(带答案)

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题(带答案)

八年级数学上册第十三章轴对称经典大题例题单选题1、如图，三条笔直的公路两两相交，交点分别在点A、B、C处，有两户村民分别在点D和点E处，现准备建造一个蓄水池，要求水池到两条公路AB、BC的距离相等，且到两户村民D、E的距离相等，则水池修建的位置应该是（）A．在∠B的平分线与DE的交点处B．在线段AB、AC的垂直平分线的交点处C．在∠B的平分线与DE的垂直平分线的交点处D．在∠A的平分线与DE的垂直平分线的交点处答案：C分析：根据角平分线的性质得到水池修建在∠ABC的平分线上，根据线段的垂直平分线的性质得到水池修建在DE的垂直平分线上，从而可对各选项进行判断．解：作∠ABC的平分线和DE的垂直平分线，它们相交于P点，如图，则水池修建的位置应该为P点．故选：C．小提示：本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．2、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=7，BD是△ABC的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且BM=1，则PM+PN的最小值为（）A．3B．2√3C．3.5D．3√3答案：A分析：作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，利用含30°角的直角三角形的性质，即可得到PM+ PN的最小值．解：如图所示，作点M关于BD的对称点M′，连接PM′，则PM′=PM，BM=BM′=1，∴PN+PM=PN+PM′，当N，P，M′在同一直线上，且M′N⊥AC时，PN+PM′的最小值等于垂线段M′N的长，此时，∵Rt△AM′N中，∠A=30°，∴M′N=12AM′=12(7−1)=3，∴PM+PN的最小值为3，故选择A．小提示：本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3、若点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点在第四象限，则a 的取值范围为（ ）A ．a >−1B ．a <1C ．−1<a <1D ．a <−1答案：C分析：根据关于x 轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数，求出对称点，再由第四象限内点的坐标符号为（+，-），据此列不等式解答．解：∵点P (a +1,2−2a )关于x 轴的对称点坐标为（a +1，2a -2），且在第四象限，∴a +1>0，且2a -2<0，解得-1<a <1，故选：C ．小提示：此题考查了轴对称的性质，各象限内点的坐标特点，熟记各象限内点的坐标符号特点是解题的关键．4、将三角形纸片（△ABC ）按如图所示的方式折叠，使点C 落在AB 边上的点D ，折痕为EF ．已知AB =AC =3,BC =4，若以点B 、D 、F 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么CF 的长度是（ ）A ．2B ．127或2C ．127D ．125或2答案：B分析：分两种情况：若∠BFD=∠C或若∠BFD=∠A，再根据相似三角形的性质解题∵△ABC沿EF折叠后点C和点D重合，∴FD=CF，设CF=x，则FD=CF=x,BF=4−x，以点B、D、F为顶点的三角形与△ABC相似，分两种情况：①若∠BFD=∠C，则BFBC =FDAC，即4−x4=x3，解得x=127；②若∠BFD=∠A，则BFAB =FDAC，即4−x3=x3，解得x=2．综上，CF的长为127或2，故选：B．小提示：本题考查相似三角形的性质，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．5、如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF=8，则DE的长为（）A．2B．3C．4D．5答案：C分析：根据等腰三角形的性质可得CD=BD，从而得到S△ABC=2S△ABD，从而得到12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，即可求解．解：∵AB=AC,AD⊥BC，∴CD=BD，∴S△ABC=2S△ABD，∵DE⊥AB，BF⊥AC，∴S△ABC=12AC⋅BF,S△ABD=12AB⋅DE，∴12AC⋅BF=2×12AB⋅DE，∵BF=8，∴DE=4．故选：C小提示：本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．6、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（）A．41°B．42°C．43°D．44°答案：B分析：设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，根据ED是AC的垂直平分线，有AE＝EC，即有∠EAC＝∠C＝7x°，根据直角三角形中两锐角互余建立方程，解方程即可求解．设∠BAE＝x°，则∠C＝7x°，∵ED是AC的垂直平分线，∴AE＝EC，∴∠EAC＝∠C＝7x°，∵∠B＝90°，∴∠C+∠BAC＝90°，∴7x+7x+x＝90，解得：x＝6，∴∠C＝7×6°＝42°，故选：B．小提示：本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识点，能根据线段垂直平分线性质求出AE＝CE是解此题的关键．7、如图，在△ABC中，∠ABC=45°,AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则△FDC周长等于AB的长．其中正确的有（）A．①②B．①③④C．①③D．②③④答案：B分析：证明△BDF≌△ADC，可判断①；求出∠FCD=45°，∠DAC＜45°，延长CF交AB于H，证明∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，可判断③；根据①可以得到E是AC的中点，然后可以推出EF是AC的垂直平分线，最后由线段垂直平分线的性质可判断④．解：∵△ABC中，AD，BE分别为B C、AC边上的高，∠ABC=45°，∴AD=BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB=∠ADC=90°，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴BF=AC，FD=CD，故①正确，∵∠FDC=90°，∴∠DFC=∠FCD=45°，∵∠DAC=∠DBF＜∠ABC=45°，∴∠FCD≠∠DAC，故②错误；延长CF交AB于H，∵∠ABC=45°，∠FCD=45°，∴∠AHC=∠ABC+∠FCD=90°，∴CH⊥AB，即CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC，BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC=1AC，2∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF，BA=BC，∴△FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，即△FDC的周长等于AB，故④正确，综上：①③④正确，故选B．小提示：本题考查了全等三角形的性质与判定，也考查了线段的垂直平分线的性质与判定，也利用了三角形的周长公式解题，综合性比较强，对学生的能力要求比较高．＜8、如图，在等边△ABC中，AB＝4cm，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且∠E=30∘，则CE的长是（）A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm答案：B分析：根据等边三角形的性质得AC=AB=4，由等边三角形三线合一得到CD，由∠ACB=60°，∠E=30°，求出∠CDE，得出CD=CE，即可求解．∵△ABC是等边三角形，∴AC= AB=BC=4cm，∠ACB = 60°，∵BD平分∠ABC，∴AD=CD(三线合一)∴DC=12AC=12×4=2cm，∵∠E = 30°∴∠CDE=∠ACB-∠E=60°-30°=30°∴∠CDE=∠E所以CD=CE=2cm故选：B．小提示：本题考查的是等边三角形的性质、等腰三角形的判定，直角三角形的性质，直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半．9、如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OB、OA的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2=15，则△PMN的周长为（）A．16B．15C．14D．13答案：B分析：根据轴对称的性质可得P1M＝PM，P2N＝PN，然后根据三角形的周长定义，求出△PMN的周长为P1P2，从而得解．解：∵点P关于OB、OA的对称点P1，P2，∴P1M=PM，P2N=PN，∴△PMN的周长=MN+PM+PN=MN+P1M+P2N=P1P2，∵P1P2=15∴△PMN的周长为15．故选：B．小提示：本题考查轴对称的性质，解题时注意：对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．10、△ABC为等边三角形，点E为边AB的中点，点Q为边BC上一动点，以EQ为边作等边△EQF（点F在EQ 的右侧），连接AF、FC，点P在射线CB上，且满足PE=EQ，有以下四个结论①∠FQC＝∠QEB；②FQ＝FC；③PB+QC=AE；④当AF⊥AB时，BC＝4PB，其中正确的结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C分析：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，根据三角形内角和定理和平角的定义得出∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，进而可得∠FQC＝∠QEB，故①正确；根据点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，可得AE＝EB＝BH＝HC，△EBH是等边三角形，然后求出PB＝HQ即可得出PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；通过证明△PEH≌△FEH可得∠EHP＝∠EHF＝60°，求出∠EHF＝∠CHF，再证△EHF≌△CHF，求出FC ＝EF即可得出FQ＝FC，故②正确；当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误．解：取BC中点H，连接EH、FH，作EG⊥BC于G，∵△ABC为等边三角形，△EQF为等边三角形，∴∠EQF＝∠EBQ＝60°，∵∠FQC＋∠EQF＋∠EQB＝∠QEB＋∠EBQ＋∠EQB＝180°，∴∠FQC＝∠QEB，故①正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，∴PG＝GQ，∵点E为边AB的中点，点H为边BC的中点，∠ABC＝60°，∴AE＝EB＝BH＝HC，∴△EBH是等边三角形，∵EG⊥BH，∴BG＝GH，∴PB＝HQ，∴PB＋QC＝HC＝AE，故③正确；∵EG⊥BC，PE=EQ，△EBH是等边三角形，∴∠BEG＝∠HEG，∠PEG＝∠QEG，∠BEH＝∠EHB＝60°，EH＝EB，∴∠PEB＝∠QEH，∵在等边三角形△EQF中，∠FEQ＝60°，EF＝EQ＝FQ，∴∠PEH＝∠FEH，PE＝FE，又∵EH＝EH，∴△PEH≌△FEH（SAS），∴∠EHP＝∠EHF＝60°，∴∠FHC＝60°，即∠EHF＝∠CHF，∵AE＝EB＝BH＝HC，EH＝EB，∴EH＝HC，又∵HF＝HF，∴△EHF≌△CHF（SAS），∴FC＝EF，∴FQ＝FC，故②正确；④∵BH＝CH，BG＝GH，BP＝HQ，∴当CQ＝HQ时，BC＝4PB，由AF⊥AB无法推出Q为HC中点，故④错误；综上，正确的有3个，故选：C．小提示：本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出等边三角形和全等三角形是解题的关键．填空题11、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，连结BD．若CD=1，则AD的长为________．答案：2分析：根据线段垂直平分线的性质得到AD=BD，∠ABD=∠A=30°，求得∠CBD=30°，即可求出答案．解：∵∠C=90°，∴∠A+∠ABC=90°，∵线段AB的垂直平分线分别交AC、AB于点D、E，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=30°，∴∠CBD=30°，∵CD=1，∴AD=BD=2CD=2，所以答案是：2．小提示：此题考查线段垂直平分线的性质，直角三角形30度角的性质，熟记线段垂直平分线的性质是解题的关键．12、在“锐角、五角星、等边三角形、圆、正六边形”这五个图形中，是轴对称图形的有________个，按对称轴条数由多到少排列是_______________．答案： 5 圆、正六边形、五角星、等边三角形、锐角分析：根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线就叫做对称轴，进行求解即可．解：锐角时轴对称图形，对称轴为1条；五角星是轴对称图形，对称轴有5条；等边三角形是轴对称图形，对称轴有3条；圆是轴对称图形，对称轴有无数条；正六边形是轴对称图形，对称轴有6条，所以答案是：5；圆，正六边形，五角星，等边三角形，锐角．小提示：本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．13、如图，在ΔABC中，AB=7cm，BC=5cm，AC的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，点F是DE上的任意一点，则ΔBCF周长的最小值是________cm．答案：12分析：当F点于D重合时，ΔBCF的周长最小，根据垂直平分线的性质，即可求出ΔBCF的周长．∵DE垂直平分AC，∴点C与A关于DE对称，∴当F点于D重合时，即A、D、B三点在一条直线上时，BF+CF=AB最小，（如图），∴ΔBCF的周长为：CΔBCF=BD+CD+BC，∵DE是垂直平分线，∴AD=CD，又∵AB=7cm，∴BD+AD=BD+CD=7cm，∴CΔBCF=7+5=12cm，所以答案是：12．小提示：本题考查最短路径问题以及线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，熟练掌握最短路径的求解方法以及垂直平分线的性质是解题的关键．14、如图，图1是长方形纸带，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，若图3中∠CFE=108°，则图1中的∠DEF的度数是______．答案：24°##24度分析：先根据平行线的性质，设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中根据图形折叠的性质得出∠AEF的度数，再由平行线的性质得出∠GFC，图3中根据∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG即可列方程求得a的值．∵AD∥BC，∴设∠DEF＝∠EFB＝a，图2中，∠GFC＝∠BGD＝∠AEG＝180°﹣2∠DEF＝180°﹣2a，图3中，∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝180°﹣2a﹣a＝108°．解得a＝24°．即∠DEF＝24°，所以答案是：24°．小提示：本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．15、如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交BC、AB于点E、F．若△AFC是等边三角形，则∠B=_________°．答案：30分析：根据垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF，再利用等边三角形的性质得到∠AFC=60°，从而可得∠B.解：∵EF垂直平分BC，∴∠B=∠BCF，∵△ACF为等边三角形，∴∠AFC=60°，∴∠B=∠BCF=30°.所以答案是：30.小提示：本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，外角的性质，解题的关键是利用垂直平分线的性质得到∠B=∠BCF.解答题16、如图：在正方形网格中有一个△ABC，按要求进行下列作图（只能借助于网格）：(1)画出△ABC中BC边上的高AD；(2)画出先将△ABC向左平移5格，再向下平移2格后的△A1B1C1；(3)画一个△BCP（要求各顶点在格点上，P不与A点重合），使其面积等于△ABC的面积．并回答，满足这样条件的点P共______个．答案：(1)见解析；(2)见解析；(3)见解析；2分析：（1）根据三角形高的定义求解可得；（2）根据平移的定义作出变换后的对应点，再顺次连接即可得；（3）过点A作平行于BC的直线，同样结合网格的特点在直线BC的另一侧也可以找出符合条件的格点P，共（1）解：如图：作BF⊥BC，再过A点作BF的平行线，交BC于点D，（2）解：如图：（3）解：如图符合条件的格点共有4个，小提示：本题用到的知识点为：三角形一边上的高为这边所对的顶点向这边所引的垂线段，对称的性质；图形的平移要归结为各顶点的平移，平行线间距离处处相等．17、如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，线段AB的垂直平分线MN交BC于D，求证：CD=2BD．答案：见解析分析：连接AD，首先根据垂直平分线的性质得到∠DAB=∠B=30°，然后根据AB=AC，求出∠B=∠C=30°，∠DAC=90°，最后根据30°角所对的直角边是斜边的一半即可证明出CD=2BD．证明：连接AD，∵直线MN是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠DAB=∠B，又∵∠B=30°，∴∠DAB=30°，又∵AB=AC，∠B=30°，∴∠B=∠C=30°，∠BAC=120°，∴∠DAC=90°，又∵∠C=30°，∴CD=2AD，又∵AD=BD，∴CD=2BD．小提示：此题考查了等腰三角形的性质，30°角直角三角形的性质，解题的关键是连接AD求出∠DAB=∠B=30°．18、如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠2=∠1+∠C．答案：见解析分析：延长AD交BC于点F，由BE是角平分线、AD⊥BE可知△ABF是等腰三角形且∠2＝∠AFB，根据∠AFB＝∠1＋∠C可得证．证明：如图，延长AD交BC于点F，∵BE是∠ABC的角平分线，AD⊥BE，∴AB=FB，∴∠2=∠AFB，∵∠AFB=∠1+∠C，∴∠2=∠1+∠C．小提示：本题主要考查等腰三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质．。

北师大版八年级上册数学 轴对称解答题(提升篇)(Word版 含解析)

北师大版八年级上册数学 轴对称解答题(提升篇)(Word版 含解析)

北师大版八年级上册数学 轴对称解答题（提升篇）（Word 版 含解析）一、八年级数学 轴对称解答题压轴题（难）1．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，45C ∠=︒，8AB =，14BC =，点E 、F 分别在边AB 、CD 上，//EF AD ，点P 与AD 在直线EF 的两侧，90EPF ∠=︒，PE PF =，射线EP 、FP 与边BC 分别相交于点M 、N ，设AE x =，MN y =．（1）求边AD 的长；（2）如图，当点P 在梯形ABCD 内部时，求关于x 的函数解析式，并写出定义域； （3）如果MN 的长为2，求梯形AEFD 的面积．【答案】（1）6；（2）y=－3x+10(1≤x ＜103)；（2）1769或32 【解析】【分析】（1）如下图，利用等腰直角三角形DHC 可得到HC 的长度，从而得出HB 的长，进而得出AD 的长；（2）如下图，利用等腰直角三角形的性质，可得PQ 、PR 的长，然后利用EB=PQ+PR 得去x 、y 的函数关系，最后根据图形特点得出取值范围；（3）存在2种情况，一种是点P 在梯形内，一种是在梯形外，分别根y 的值求出x 的值，然后根据梯形面积求解即可．【详解】（1）如下图，过点D 作BC 的垂线，交BC 于点H∵∠C=45°，DH ⊥BC∴△DHC 是等腰直角三角形∵四边形ABCD 是梯形，∠B=90°∴四边形ABHD 是矩形，∴DH=AB=8∴HC=8∴BH=BC －HC=6∴AD=6（2）如下图，过点P 作EF 的垂线，交EF 于点Q ，反向延长交BC 于点R ，DH 与EF 交于点G∵EF ∥AD,∴EF ∥BC∴∠EFP=∠C=45°∵EP ⊥PF∴△EPF 是等腰直角三角形同理,还可得△NPM 和△DGF 也是等腰直角三角形∵AE=x∴DG=x=GF,∴EF=AD+GF=6+x∵PQ ⊥EF,∴PQ=QE=QF ∴PQ=()162x + 同理，PR=12y ∵AB=8，∴EB=8－x∵EB=QR∴8－x=()11622x y ++ 化简得：y=－3x+10 ∵y ＞0，∴x ＜103当点N 与点B 重合时，x 可取得最小值则BC=NM+MC=NM+EF=－3x+10+614x +=，解得x=1∴1≤x ＜103（3）情况一：点P 在梯形ABCD 内，即（2）中的图形 ∵MN=2，即y=2，代入（2）中的关系式可得：x=83=AE∴188176662339ABCD S ⎛⎫=⨯++⨯= ⎪⎝⎭梯形 情况二：点P 在梯形ABCD 外，图形如下：与（2）相同，可得y=3x －10则当y=2时，x=4，即AE=4∴()16644322ABCD S =⨯++⨯=梯形 【点睛】本题考查了等腰直角三角形、矩形的性质，难点在于第（2）问中确定x 的取值范围，需要一定的空间想象能力．2．（1）已知△ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝67.5°，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（2）已知△ABC 中，∠C 是其最小的内角，过顶点B 的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求∠ABC 与∠C 之间的关系．【答案】(1)图形见解析(2) ∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．【解析】试题分析：（1）已知角度，要分割成两个等腰三角形，可以运用直角三角形、等腰三角形性质结合三角形内角和定理，先计算出可能的角度，或者先从草图中确认可能的情况，及角度，然后画上．（2）在（1）的基础上，由“特殊”到“一般”，需要把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形列方程，可得出角与角之间的关系．试题解析：(1)如图①②(共有2种不同的分割法)．(2)设∠ABC＝y，∠C＝x，过点B的直线交边AC于点D.在△DBC中，①若∠C是顶角，如图，则∠CBD＝∠CDB＝90°－12x，∠A＝180°－x－y.故∠ADB＝180°－∠CDB＝90°＋12x＞90°，此时只能有∠A＝∠ABD，即180°－x－y＝y－1902x⎛⎫-⎪⎝⎭，∴3x＋4y＝540°，∴∠ABC＝135°－34∠C.②若∠C是底角，第一种情况：如图，当DB＝DC时，∠DB C＝x.在△ABD中，∠ADB＝2x，∠ABD＝y－x.若AB＝AD，则2x＝y－x，此时有y＝3x，∴∠ABC＝3∠C.若AB＝BD，则180°－x－y＝2x，此时有3x＋y＝180°，∴∠ABC＝180°－3∠C.若AD＝BD，则180°－x－y＝y－x，此时有y＝90°，即∠ABC＝90°，∠C为小于45°的任意锐角．第二种情况：如图，当BD＝BC时，∠BDC＝x，∠ADB＝180°－x＞90°，此时只能有AD＝BD，∴∠A＝∠ABD＝12∠BDC＝12∠C＜∠C，这与题设∠C是最小角矛盾．∴当∠C是底角时，BD＝BC不成立．综上所述，∠ABC与∠C之间的关系是∠ABC＝135°－34∠C或∠ABC＝3∠C或∠ABC＝180°－3∠C或∠ABC＝90°，∠C是小于45°的任意锐角．点睛：本题考查了等腰三角形的性质；第（1）问是计算与作图相结合的探索．本问对学生运用作图工具的能力，以及运用直角三角形、等腰三角形性质等基础知识解决问题的能力都有较高的要求．第（2）问在第（1）问的基础上，由“特殊”到“一般”，“分类讨论”把直角三角形分成两个等腰三角形的各种情形并结合“方程思想”探究角与角之间的关系．本题不仅趣味性强，创造性强，而且渗透了由“特殊”到“一般”、“分类讨论”、“方程思想”、“转化思想”等数学思想，是一道不可多得的好题．3．已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF ≌△DBE （SAS ）,∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角，并且等于底边的一半，还利用了全等三角形的判定和性质，及等腰直角三角形的判定．4．如图，在等边ABC ∆中，线段AM 为BC 边上的中线．动点D 在直线AM 上时，以CD 为一边在CD 的下方作等边CDE ∆，连结BE ．（1）求CAM ∠的度数；（2）若点D 在线段AM 上时，求证：ADC BEC ∆≅∆；（3）当动点D 在直线AM 上时，设直线BE 与直线AM 的交点为O ，试判断AOB ∠是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）证明见解析；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒.【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC AC =，DC EC =，，60ACB DCE ∠=∠=︒，由等式的性质就可以BCE ACD ∠=∠，根据SAS 就可以得出ADC BEC ∆≅∆；（3）分情况讨论：当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，就可以求出结论；当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，可以得出ACD BCE ≅∆∆而有30CBE CAD ∠=∠=︒而得出结论；当点D 在线段MA 的延长线上时，如图3，通过得出ACD BCE ≅∆∆同样可以得出结论．【详解】（1）ABC ∆是等边三角形，60BAC ∴∠=︒．线段AM 为BC 边上的中线，12CAM BAC ∴∠=∠， 30CAM ∴∠=︒．（2）ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACD DCB DCB BCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=．在ADC ∆和BEC ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆；（3）AOB ∠是定值，60AOB ∠=︒，理由如下：①当点D 在线段AM 上时，如图1，由（2）可知ACD BCE ≅∆∆，则30CBE CAD ∠=∠=︒，又60ABC ∠=︒，603090CBE ABC ∴∠+∠=︒+︒=︒，ABC ∆是等边三角形，线段AM 为BC 边上的中线AM ∴平分BAC ∠，即11603022BAM BAC ∠=∠=⨯︒=︒ 903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．②当点D 在线段AM 的延长线上时，如图2，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC ∴=，CD CE =，60ACB DCE ∠=∠=︒，ACB DCB DCB DCE ∴∠+∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD ∆和BCE ∆中AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴∆≅∆，30CBE CAD ∴∠=∠=︒，同理可得：30BAM ∠=︒，903060BOA ∴∠=︒-︒=︒．③当点D 在线段MA 的延长线上时，ABC ∆与DEC ∆都是等边三角形，AC BC∴=，CD CE=，60ACB DCE∠=∠=︒，60ACD ACE BCE ACE∴∠+∠=∠+∠=︒，ACD BCE∠∠∴=，在ACD∆和BCE∆中AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS∴∆≅∆，CBE CAD∴∠=∠，同理可得：30CAM∠=︒150CBE CAD∴∠=∠=︒30CBO∴∠=︒，∵30BAM∠=︒，903060BOA∴∠=︒-︒=︒．综上，当动点D在直线AM上时，AOB∠是定值，60AOB∠=︒．【点睛】此题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形三线合一的性质，解题中注意分类讨论的思想解题.5．如图，△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在BC所在的直线上，点E在射线AC上，且AD=AE，连接DE．⑴如图①，若∠B=∠C=35°，∠BAD=80°，求∠CDE的度数；⑵如图②，若∠ABC=∠ACB=75°，∠CDE=18°，求∠BAD的度数；⑶当点D在直线BC上（不与点B、C重合）运动时，试探究∠BAD与∠CDE的数量关系，并说明理由．【答案】(1)40°；（2）36°；（3）2∠CDE=∠BAD，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（2）根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°，根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论；（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β，分3种情况：①如图1，当点D 在点B的左侧时，∠ADC=x°-α，②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α，③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°-α，根据这3种情况分别列方程组即，解方程组即可得到结论．【详解】解： (1)∵∠B=∠C=35°，∴∠BAC=110°，∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=75°，∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°；(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°，∴∠E=75°−18°=57°，∴∠ADE=∠AED=57°，∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°，∴∠BAD=36°.（3）设∠ABC=∠ACB=y°，∠ADE=∠AED=x°，∠CDE=α，∠BAD=β①如图1，当点D在点B的左侧时，∠ADC=x°﹣α∴y xy xααβ=+⎧⎨=-+⎩①②-②得，2α﹣β=0，∴2α=β；②如图2，当点D在线段BC上时，∠ADC=y°+α∴+y xy xααβ=+⎧⎨=+⎩①②-①得，α=β﹣α，∴2α=β；③如图3，当点D在点C右侧时，∠ADC=y°﹣α∴180180y xy xαβα-++=⎧⎨++=⎩①②-①得，2α﹣β=0，∴2α=β．综上所述，∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．6．定义：如果两条线段将一个三角形分成3个小等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC边上，且AD＝BD＝BC，求∠A的大小；（2）在图1中过点C作一条线段CE，使BD，CE是△ABC的三分线；在图2中画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（3）在△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC 边上，且AD＝BD，DE＝CE，请直接写出∠C所有可能的值．【答案】（1）∠A＝36°；（2）如图所示：见解析；（3）如图所示：见解析；∠C为20°或40°的角．【解析】【分析】（1）利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数．（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线；45°自然想到等腰直角三角形，过底角一顶点作对边的高，发现形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；第二种情形以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）用量角器，直尺标准作30°角，而后确定一边为BA，一边为BC，根据题意可以先固定BA的长，而后可确定D点，再分别考虑AD为等腰三角形的腰或者底边，兼顾A、E、C 在同一直线上，易得2种三角形ABC；根据图形易得∠C的值；【详解】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∵BD＝BC＝AD，∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC，设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C＝180?-x2，可得2x＝180?-x2，解得：x＝36°，则∠A＝36°；（2）根据（1）的解题过程作出△ABC的三等分线，如图1；由45°自然想到等腰直角三角形，有两种情况，①如图2，过底角一顶点作对边的高，形成一个等腰直角三角形和直角三角形．直角三角形斜边的中线可形成两个等腰三角形；②如图3，以一底角作为新等腰三角形的底角，则另一底角被分为45°和22.5°，再以22.5°作为等腰三角形的底角，易得此时所得的三个三角形恰都为等腰三角形；（3）如图4所示：①当AD ＝AE 时，∵2x +x ＝30°+30°，∴x ＝20°；②当AD ＝DE 时，∵30°+30°+2x +x ＝180°，∴x ＝40°；综上所述，∠C 为20°或40°的角．【点睛】本题主要考查了三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．7．已知：等边ABC ∆中．（1）如图1，点M 是BC 的中点，点N 在AB 边上，满足60AMN ∠=︒，求AN BN的值． （2）如图2，点M 在AB 边上（M 为非中点，不与A 、B 重合），点N 在CB 的延长线上且MNB MCB ∠=∠，求证：AM BN =．（3）如图3，点P 为AC 边的中点，点E 在AB 的延长线上，点F 在BC 的延长线上，满足AEP PFC ∠=∠，求BF BE BC-的值． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3）32． 【解析】【分析】（1）先证明AMB ∆，MBN ∆与MAN ∆均为直角三角形，再根据直角三角形中30所对的直角边等于斜边的一半，证明BM=2BN ，AB=2BM ，最后转化结论可得出BN 与AN 之间的数量关系即得；（2）过点M作ME∥BC交AC于E，先证明AM=ME，再证明MEC∆与NBM∆全等，最后转化边即得；（3）过点P作PM∥BC交AB于M，先证明M是AB的中点，再证明EMP∆与FCP∆全等，最后转化边即得．【详解】（1）∵ABC∆为等边三角形，点M是BC的中点∴AM平分∠BAC，AM BC⊥，60B BAC∠=∠=︒∴30BAM∠=︒，90AMB∠=︒∵60AMN∠=︒∴90AMNBAM∠+=︒∠，30∠=︒BMN∴90ANM∠=︒∴18090BNM ANM=︒-=︒∠∠∴在Rt BNM∆中，2BM BN=在Rt ABM∆中，2AB BM=∴24AB AN BN BM BN=+==∴3AN BN=即3ANBN=．（2）如下图：过点M作ME∥BC交AC于E∴∠CME=∠MCB，∠AEM=∠ACB∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒∴60AEM ACB∠=∠=︒，120MBN=︒∠∴120CEM MBN∠==︒∠，60AEM A∠=∠=︒∴AM=ME∵MNB MCB∠=∠∴∠CME=∠MNB，MN=MC∴在MEC∆与NBM∆中CME MNBCEM MBNMC MN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()MEC NBM AAS∆∆≌∴ME BN=∴AM BN=（3）如下图：过点P作PM∥BC交AB于M∴AMP ABC=∠∠∵ABC∆是等边三角形∴∠A=∠ABC=∠ACB=60︒，AB AC BC==∴60AMP A==︒∠∠∴AP MP=，180120EMP AMP=︒-=︒∠∠，180120FCP ACB=︒-=︒∠∠∴AMP∆是等边三角形，120EMP FCP==︒∠∠∴AP MP AM==∵P点是AC的中点∴111222AP PC MP AM AC AB BC======∴12AM MB AB==在EMP∆与FCP∆中EMP FCPAEP PFCMP PC∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EMP FCP AAS∆∆≌∴ME FC=∴1322BF BE FC BC BE ME BC BE MB BC BC BC BC -=+-=+-=+=+=∴3322BCBF BEBC BC-==．【点睛】本题考查全等三角形的判定，等边三角形的性质及判定，通过作等边三角形第三边的平行线构造等边三角形和全等三角形是解题关键，将多个量转化为同一个量是求比值的常用方法．8．如图，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的中线．动点D在直线AM上时，以CD为一边在CD的下方作等边△CDE，连结BE．（1）求∠CAM的度数；（2）若点D在线段AM上时，求证：△ADC≌△BEC；（3）当动D在直线．．AM上时，设直线BE与直线AM的交点为O，试判断∠AOB是否为定值？并说明理由．【答案】（1）30°；（2）答案见解析；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可以直接得出结论；（2）根据等边三角形的性质就可以得出AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°，由等式的性质就可以∠BCE＝∠ACD，根据SAS就可以得出△ADC≌△BEC；（3）分情况讨论：当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，就可以求出结论；当点D在线段AM的延长线上时，如图2，可以得出△ACD≌△BCE而有∠CBE＝∠CAD＝30°而得出结论；当点D在线段MA的延长线上时，如图3，通过得出△ACD≌△BCE同样可以得出结论．【详解】（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°．∵线段AM为BC边上的中线，∴∠CAM12=∠BAC，∴∠CAM＝∠BAM＝30°．（2）∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠DCB＝∠DCB+∠BCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ADC和△BEC中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS）；（3）∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：①当点D在线段AM上时，如图1，由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即11603022BAM BAC∠∠==⨯︒=︒，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．②当点D在线段AM的延长线上时，如图2．∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，∴∠ACD ＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．③当点D在线段MA的延长线上时．∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．在△ACD和△BCE中，∵AC BCACD BCECD CE=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．【点睛】本题考查了等边三角形的性质的运用，直角三角形的性质的运用，等式的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．9．如图，已知DCE ∠与AOB ∠，OC 平分AOB ∠．(1)如图1，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E ，90AOB DCE ∠=∠=︒，试判断线段CD 与CE 的数量关系，并说明理由.以下是小宇同学给出如下正确的解法：解：CD CE =．理由如下：如图1，过点 C 作 C F OC ⊥，交 O B 于点 F ，则90OCF ∠=︒，…请根据小宇同学的证明思路，写出该证明的剩余部分．(2)你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程．(3)若120AOB ∠=︒，60DCE ∠=︒．①如图3，DCE ∠与AOB ∠的两边分别相交于点 D 、E 时，(1)中的结论成立吗？为什么？线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系？说明理由．②如图4，DCE ∠的一边与 AO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系；如图5，DCE ∠的一边与 BO 的延长线相交时，请回答(1)中的结论是否成立，并请直接写出线段 O D 、OE 、OC 有什么数量关系．【答案】(1)见解析；(2)证明见解析；(3)①成立，理由见解析；②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC -=【解析】【分析】（1）通过ASA 证明CDO CEF ∆∆≌即可得到CD=CE ；（2）过点 C 作CM OA ⊥，CN OB ⊥，垂足分别为 M ，N ，通过AAS 证明CMD CNE ∆∆≌同样可得到CD=CE ；（3）①方法一：过点 C 作 C M OA ⊥，CN OB ⊥垂足分别为 M ，N ，通过AAS 得到CMD CNE ∆∆≌，进而得到,CD CE DM EN ==，利用等量代换得到=OE OD ON OM ++，在 Rt CMO ∆中，利用30°角所对的边是斜边的一半得12OM OC=，同理得到12ON OC=，所以OE OD OC+=；方法二：以CO为一边作60FCO∠=︒，交O B于点F，通过ASA证明CDO CEF∆∆≌，得到,CD CE OD EF==，所以OE OD OE EF OF OC+=+==；②图4：以OC为一边，作∠OCF=60°与OB交于F点，利用ASA证得△COD≌△CFE，即有CD=CE，OD=EF得到OE=OF+EF=OC+OD；图5:以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点，利用ASA证得△CGD≌△COE，即有CD=CE，OD=EF，得到OE=OF+EF=OC+OD.【详解】解：(1)OC平分AOB∠，145∠=∠2=︒∴，390245,123︒︒∴∠=-∠=∴∠=∠=∠OC FC∴=又456590︒∠+∠=∠+∠=在CDO∆与CEF∆中，1346OC FC∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()CDO CEF ASA∴∆∆≌CD CE∴=(2)如图2，过点C作CM OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，∴90CMD CNE∠=∠=︒，又∵OC平分AOB∠，∴CM CN=，在四边形O DCE中，12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒，又∵90AOB DCE∠=∠=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵13180∠+∠=︒，∴32∠=∠，在CMD∆与CNE∆中，32CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()CMD CNE AAS∆∆≌，∴CDCE=.(3)①(1)中的结论仍成立.OE OD OC+=.理由如下：方法一：如图3(1)，过点C作C M OA⊥，CN OB⊥，垂足分别为M，N，∴90CMD CNE∠=∠=︒，又∵OC平分AOB∠，∴CM CN=，在四边形ODCE中，12360AOB DCE∠+∠+∠+∠=︒，又∵60120180AOB DCE∠+∠=︒+︒=︒，∴12180∠+∠=︒，又∵23180∠+∠=︒，∴13∠=∠，在CMD∆与CNE∆中，13CMD CNECM CN∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()CMD CNE AAS∆∆≌，∴,CD CEDM EN ==.∴OE OD OE OM DM OE OM EN ON OM +=++=++=+.在 Rt CMO ∆中，1490590302AOB ∠=︒-∠=︒-∠=︒， ∴12OM OC =，同理1 2ON OC =， ∴1122OE OD OC OC OC +=+=. 方法二：如图3（2），以CO 为一边作60FCO ∠=︒，交 O B 于点 F ，∵OC 平分AOB ∠，∴1260∠=∠=︒，∴3180260FCO ∠=︒-∠-∠=︒，∴13∠=∠，32FCO ∠=∠=∠，∴COF ∆是等边三角形，∴CO CF =，∵4560DCE ∠=∠+∠=︒，6560FCO ∠=∠+∠=︒，∴46∠=∠，在CDO ∆与CEF ∆中，1346CO CF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴()CDO CEF ASA ∆∆≌，∴,CD CE OD EF ==.∴OE OD OE EF OF OC +=+==.②在图4中，(1)中的结论成立，OE OD OC -=.如图，以OC 为一边，作∠OCF=60°与OB 交于F 点∵∠AOB=120°，OC 为∠AOB 的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCF=60°∴△COF为等边三角形∴OC=OF∵∠COF=∠OCD+∠DCF=60°，∠DCE=∠DCF+∠FCB=60°∴∠OCD=∠FCB又∵∠COD=180°-∠COA=180°-60°=120°∠CFE=180°-∠CFO=180°-60°=120°∴∠COD=∠CFE∴△COD≌△CFE（ASA）∴CD=CE，OD=EF∴OE=OF+EF=OC+OD即OE-OD=OC-=.在图5中，(1)中的结论成立，OD OE OC如图，以OC为一边，作∠OCG=60°与OA交于G点∵∠AOB=120°，OC为∠AOB的角平分线∴∠COB=∠COA=60°又∵∠OCG=60°∴△COG为等边三角形∴OC=OG∵∠COG=∠OCE+∠ECG=60°，∠DCE=∠DCG+∠GCE=60°∴∠DCG=∠OCE又∵∠COE=180°-∠COB=180°-60°=120°∠CGD=180°-∠CGO=180°-60°=120°∴∠CGD=∠COE∴△CGD≌△COE（ASA）∴CD=CE，OE=DG∴OD=OG+DG=OC+OE即OD-OE=OC【点睛】本题主要考查全等三角形的综合应用，有一定难度，解题关键在于能够做出辅助线证全等.10．如图，已知ABC ∆()AB AC BC <<，请用无刻度直尺和圆规，完成下列作图（不要求写作法，保留作图痕迹）：（1）在边BC 上找一点M ，使得：将ABC ∆沿着过点M 的某一条直线折叠，点B 与点C 能重合，请在图①中作出点M ；（2）在边BC 上找一点N ，使得：将ABC ∆沿着过点N 的某一条直线折叠，点B 能落在边AC 上的点D 处，且ND AC ⊥，请在图②中作出点N .【答案】（1）见详解；（2）见详解．【解析】【分析】（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即可；（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即可．【详解】（1）作线段BC 的垂直平分线，交BC 于点M ，即为所求．点M 如图①所示：（2）过点B 作BO ⊥BC ，交CA 的延长线于点O ，作∠BOC 的平分线交BC 于点N ，即为所求．点N 如图②所示：【点睛】本题主要考查尺规作图，掌握尺规作线段的中垂线和角平分线，是解题的关键．。

八年级数学上册轴对称解答题(培优篇)(Word版含解析)

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八年级数学上册轴对称解答题（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称解答题压轴题（难）1.如图1, ZiABC 中，AB=AC・ ZBAC = 905, D、E 分别在BC、AC 边上，连接AD、BE 相交于点F,且ZCAD =丄ZABE.2⑵如图2,连接CF,若EF = EC,求ZCFD的度数：(3)如图3,在⑵的条件下,若AE = 3,求BF的长.【答案】(1)答案见详解：(2)45。

，(3)4.【解析】【分析】(1)设ZCAD二x,则ZABE=2x, ZBAF二90° -x, ZAFB=180° -2x-(90° -x)= 90° -x,进而得到ZBAF二ZAFB,即可得到结论：(2)由ZAEB=90°-2x t进而得到ZEFC= (90°-2x) +2=45。

-x,由BF=AB,可得：ZEFD=ZBFA=90° 根据ZCFD=ZEFD-ZEFC> 即可求解；⑶设EF=EC二x,则AOAE+EC二3+x・可得BE二BF+EF=3+x+x=3+2x,根据勾股左理列出方程，即可求解.【详解】(1)设ZCAD二x,1VZCAD=-ZABE, ZBAC=90S2AZABE=2x, ZBAF=90° -x,V ZABE+ZBAF+ZAFB=180° ,A ZAFB=180° -2x-(90° ・x)= 90° %AZBAF=ZAFB t•••BF = AB；VAB=AC,ABF = AC：(2)由(1)可知：ZCAD二x, ZABE二2x, ZBAC=90^,•••ZAEB=90°-2x,VEF = EC,AZEFC=ZECF,•/ Z EFC+ Z ECF= ZAEB=90°-2x,AZEFC= (90°-2x) -2=45° -x,VBF=AB,AZBFA=ZBAF=(180a -ZABE)-s-2=(180° -2x)-s-2=90° -x,AZEFD=ZBFA=90° ・x,A ZCFD=ZEFD-ZEFC=(90° -x) -(45。

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第10题 一、 选择题1．已知两条互不平行的线段AB 和A ′B ′关于直线1对称，AB 和A ′B ′所在的直线交于点P ，下面四个结论：①AB=A ′B ′；②点P 在直线1上；③若A 、A ′是对应点，•则直线1垂直平分线段AA ′；④若B 、B ′是对应点，则PB=PB ′，其中正确的是（ ）A ．①③④B ．③④C ．①②D ．①②③④ 2．将两块全等的直角三角形（有一锐角为30 ）拼成一个四边形，其中轴对称图形的四边形有多少个（ ）A 、1B 、2C 、3D 、43.如图所示，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ） A.在AC 、BC 两边高线的交点处 B.在AC 、BC 两边中线的交点处C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处D.在A 、B 两内角平分线的交点处4.下列说法中错误的是（ ）A 成轴对称的两个图形的对应点连线的垂直平分线是它们的对称轴B 关于某条直线对称的两个图形全等C 全等的三角形一定关于某条直线对称D 若两个图形沿某条直线对折后能够完全重合，我们称两个图形成轴对称 5．等腰三角形有两条边长为4cm 和9cm ，则该三角形的周长是（ ） A ．17cm B ．22cm C ．17cm 或22cm D ．18cm7．等腰三角形的顶角是80°，则一腰上的高与底边的夹角是（ ） A ．40° B ．50° C ．60° D ．30°6．等腰三角形的一个外角是80°，则其底角是（ ）A ．100°B ．100°或40°C ．40°D ．80°7.已知：在△ABC 中，AB=AC ，O 为不同于A 的一点，且OB=OC ，则直线AO 与底边BC 的关系为（ ）A ．平行 B.AO 垂直且平分BC C.斜交 D.AO 垂直但不平分BC8．如图，在方格纸中有四个图形<1>、<2>、<3>、<4>，其中面积相等的图形是（ ）A . <1>和<2>B . <2>和<3>C . <2>和<4>D . <1>和<4>轴对称作图题专练1、如图，已知点M 、N 和∠AOB ，求作一点P ，使P 到点M 、N 的距离相等，•且到∠AOB 的两边的距离相等．CB AABMN2、如图1，在一条河的同一岸边有A 和B 两个村庄，要在河边修建码头M ，使M 到A 和B 的距离之和最短，试确定M 的位置；若A 与B 在河的两侧，其他条件不变，又该如何确定M 的位置？2.1如图，在一条河的同岸有两个村庄A 、B ，两村要在河上合修一座桥到对岸去，桥修在什么地方，可以使两个村庄到桥的距离之和最短？3、如图所示，P 和Q 为△ABC 边AB 与AC 上两点，在BC 上求作一点M ，使△PQM 的周长最小。

·B·A1A ··B2AQPB C4、如图，某城市有3个收购站A、B和C，现在要建一座中转站M，使中转站到三个收购站的距离相等，请你设计一下中转M应建在哪个地方合适？并说明理由。

5、如图，OA，OB是两条笔直的交叉公路，M，N是两个实习点的同学参加劳动，现欲建一个茶水供应站，使得此茶水供应站到公路两边的距离相等，且离M，N两个实习点的距离也相等，试问：此茶水供应站应建在何处？不妨说说6、如图7—114，∠XOY内有一点P，在射线OX上找出一点M，在射线OY 上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短．A·B··CA·N·MB二、 填空题9.如图所示，镜子里号码如图，则实际纸上的号码是＿＿＿＿.10.一个汽车车牌在水中的倒影为W ，则该车的牌照号码是______． 11.如图3，在△ABC 中BC=5cm ，BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角的平分线，且PD ∥AB ，PE ∥AC ，则△PDE 的周长是_______cm12.如图4，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，在直线BC 或AC 上取一点P ，使得△PAB 为等腰三角形，则符合条件的点P 共有____个 13．已知等腰三角形的一个角为42°，则它的底角度数_______．14. 如图，ABE △和ACD △是ABC △分别沿着AB AC ，边翻折180形成的，若150BAC ∠=，则θ∠的度数是 ． 15. 如图，在ABC △中，AB AC =，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D ，E 为BC 上的点，连结DN ，EM ．若13cm AB =，10cm BC =，5cm DE =，则图中阴影部分的面积为2cm ．三、解答题16.（6分）如图5，设点P 是∠AOB 内一个定点，分别画点P 关于OA 、OB 的对称点P 1、P 2，连结P 1P 2交于点M ，交OB 于点N ，若P 1P 2=5cm ，则△PMN 的周长为多少？17.（6分）如图7，已知：△ABC 的∠B 、∠C 的外角平分线交于点D 。

求证：AD 是∠BAC 的平分线。

801 AB C图4CDA EB θ18.（10分）如图9，△ABC 是边长为1的等边三角形，BD=CD ，∠BDC=120°，E 、F 分别在AB 、AC 上，且∠EDF=60°，求△AEF 的周长．19．如图所示，△ABC 是等边三角形，延长BC 至E ，延长BA 至F ，使AF =BE ，连结CF 、EF ，过点F 作直线FD ⊥CE 于D ，试发现∠FCE 与∠FEC 的数量关系，并说明理由．20．已知：如图，△ABC 中，∠C =90°，CM ⊥AB 于M ，AT 平分∠BAC 交CM 于D ，交BC 于T ，过D 作DE ∥AB 交BC 于E ，求证CT =BE ．21．如图，已知△ABC 中，AH ⊥BC 于H ，∠C =35°，且AB +BH =HC ，求∠B 度数．B AC DEFAC T EBM D A22. （1）已知ABC △中，90A ∠=，67.5B ∠=，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）（5分）已知AB =AC ，BD =DC ，AE 平分∠FAC ，问：AE 与AD 是否垂直？为什么？19．（5分）如图，已知：△ABC 中，BC ＜AC ，AB 边上的垂直平分线DE 交AB 于D ，交AC 于E ，AC =9 cm ，△BCE 的周长为15 cm ，求BC 的长．ABC备用图①ABC备用图②ABC备用图③ABCDEF20．（5分）如图所示，已知△ABC和直线MN．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC关于直线MN对称．（不要求写作法，只保留作图痕迹）21．（5分）如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水．（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出，并保留作图痕迹．.BA .22．（5分）如图，在∆ABC中，AB=AC，∠A=92︒，延长AB到D，使BD=BC，连结DC．求∠D的度数，∠ACD的度数．23．（5分）有一本书折了其中一页的一角，如图：测得AD=30cm,BE=20cm，∠BEG=60°，求折痕EF的长．24．（8分）如图所示，在△ABC中，CD是AB上的中线，且DA=DB=DC．（1）已知∠A=︒30，求∠ACB的度数；（2）已知∠A=︒40，求∠ACB的度数；（3）已知∠A=︒x，求∠ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论．ADB CA D BC25．（6分）如图所示，在等边三角形ABC 中，∠B 、∠C 的平分线交于点O ，OB 和OC 的垂直平分线交BC 于E 、F ，试用你所学的知识说明BE =EF =FC 的道理．26．（7分）已知AB =AC ，D 是AB 上一点，DE ⊥BC 于E ，ED 的延长线交CA的延长线于F ，试说明△ADF 是等腰三角形的理由．27．（7分）等边△ABC 中，点P 在△ABC 内，点Q 在△ABC 外，且∠ABP =∠ACQ ，BP =CQ ，问△APQ 是什么形状的三角形？试说明你的结论．ABO E FCAFB CD EACBPQ28．（5分）如图①是一张画有小方格的等腰直角三角形纸片，将图①按箭头方向折叠成图②，再将图②按箭头方向折叠成图③．（1）请把上述两次折叠的折痕用实线画在图④中．（2）在折叠后的图形③中，沿直线l剪掉标有A的部分，把剩余部分展开，将所得到的图形在图⑤中用阴影表示出来．新课标第一网25．（14分）如下图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BD⊥DE，AE⊥DE，垂足分别为D、E．(1)图1中，①证明：△ACE≌△CBD；②若AE＝a，BD＝b，计算△ACB的面积．(2)图2中，若AE＝a，BD＝b，（b>a）计算梯形ADBE的面积．11 / 11。

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