弯曲变形.ppt

M (x) < 0
d2y
dx 2 < 0
x
O
7
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
由弯矩的正负号规定可得，弯矩的符号与挠曲 线的二阶导数符号一致，所以挠曲线的近似微分方 程为：
d2 y M(x) dx2 EIz
由上式进行积分，就可以求出梁横截面的转角 和挠度。
8
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
弯曲变形
•§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分 •§4-5 用叠加法求弯曲变形 •§4-6 简单超静定梁·提高梁的刚度的措施
1
概述
桥式起重机的大梁 2
概述
3
概述
4
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
1.基本概念
y
x
转角 挠度 y
挠曲线方程：
挠曲线
y y(x)
挠度y：截面形心 在y方向的位移
EI
d 2 y2 dx22

M(x2 )

Fb l
x2

F ( x2
a)
EI dy2 dx2
EIy2

EI ( x2 )

Fb 2l
x2 2
Fb 6l
x3 2

F 6
( x2

a)3

F 2
(
x2

a)2
C2 x2 D2
C2
B B x
FBy
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§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
积分常数C、D 由梁的位移边界条件和光滑连续
条件确定。
位移边界条件
光滑连续条件
~
AA
~~
~
~
A
A
A A AA
A AA A
~
~
yA 0
yA 0
A 0
~ ~~ ~~
A
A AAA
A
A AA
A
AAA A
~ ~~
~ ~ ~
~
~
yA
－弹簧变形
yAL yAR
AL AR
yAL yAR
x
y 向上为正
转角θ：截面绕中性轴转过的角度。 逆钟向为正
由于小变形，截面形心在x方向的位移忽略不计
挠度转角关系为： tan dy
dx 5
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
2.挠曲线的近似微分方程
推导弯曲正应力时，得到：
1M

ρ EIz
忽略剪力对变形的影响
1 M(x)
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax b
B B x
FBy
15
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
5）确定转角方程和挠度方程
AC 段： 0 x1 a
y
F
EI1

Fb 2l
x2 1

Fb 6l
(l 2
b2)
A
A
DC
EIy1

Fb 6l
x3 1

Fb 6l
(l 2

b2 )x1
3）列挠曲线近似微分方程并积分
AC 段： 0 x1 a
EI
d 2 y1 dx12

M ( x1 )

Fb l
x1
EI
dy1 dx1

EI ( x1 )
Fb 2l
x2 1
C1
EIy1

Fb 6l
x3 1

C1 x1

D1
CB 段：
a x2 l
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax b
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§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
例1 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知。
解 1）由梁的整体平衡分析可得：
y
F
FAx 0, FAy F (), M A Fl( ) A x
2）写出x截面的弯矩方程
yB
l
Bx
B
M(x) F(l x) F(x l)
CB 段： a x2 l
FAy x1
x2
a
ymax b
EI 2

Fb 2l
x22

F 2
( x2
a)2

Fb 6l
(l 2
b2 )
B B x
FBy
EIy2

Fb 6l
x23

F 6
( x2

a)3

Fb 6l
(l 2

b2 )x2
16
§7-3 用积分法求梁的变形
6）确定最大转角和最大挠度
x 0, A 0
x 0, yA 0
代入求解
C 1 Fl2 , D 1 Fl3
2
6
5）确定转角方程和挠度方程
y
Ax
yB
l
EI 1 F ( x l)2 1 Fl 2
2
2
EIy 1 F ( x l)3 1 Fl 2 x 1 Fl 3
6
2
6
6）确定最大转角和最大挠度
( x) EIz
6
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
由数学知识可知：
d2y
1
dx 2

[1 ( dy )2 ]3
dx
略去高阶小量，得ຫໍສະໝຸດ 1 d2y dx2
所以

d2y dx 2

M(x) EIz
y M (x) > 0
M (x) > 0
d2y
dx 2 > 0
x
O
y
M (x) < 0
x l,
max B
Fl2 , 2EI
ymax
yB
Fl 3 3EI
F Bx
B
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§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
例2 求梁的转角方程和挠度方程，并求最大转角和最大挠度，
梁的EI已知，l=a+b，a>b。
解 1）由梁整体平衡分析得：
FAx
0, FAy

Fb l , FBy
4）由边界条件确定积分常数
位移边界条件
x1 0, y1(0) 0 x2 l, y2(l) 0
光滑连续条件
x1 x2 a, 1(a) 2 (a)
x1 x2 a, y1(a) y2 (a) 代入求解，得
C1

C2


1 6
Fbl

Fb3 6l
D1 D2 0
令 d 0
dx
得，

Fa l
2）弯矩方程
AC 段：
M x1
FAy
x1

Fb l
x1 ,0

x1

a
y
F
A
A
DC
FAy x1
x2
a
ymax b
B B x
FBy
CB 段：
M x2

FAy
x2

F ( x2
a)

Fb l
x2

F ( x2

a),
a x2 l
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§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
3 用积分法求梁的变形
挠曲线的近似微分方程为：
d2 y M(x) dx 2 EIz
积分一次得转角方程为：
EIz
d2y dx 2

M
(
x)
EI z
dy dx

EI z

M ( x)dx C
再积分一次得挠度方程为：
EIz y M( x)dxdx C x D 9
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
3）列挠曲线近似微分方程并积分
EI d 2 y M( x) F( x l)
dx 2
积分一次 EI dy EI 1 F(x l)2 C
dx
2
再积分一次
EIy 1 F (x l)3 Cx D
6
11
§4-4 梁的变形挠曲线微分方程及其积分
4）由位移边界条件确定积分常数