波动、复振幅的基本概念

(P) k r 0 kx x k y y kz z 0
U (P) A exp[i(k r 0 )]
复振幅
沿z轴正向传播的平面波的复振幅
U (P) A exp[i(kz 0 )]
沿z轴负向传播的平面波的复振幅
U (P) A exp[i(kz 0 )]
1
0 0
c
r 相对电容率
波速：
1 1
r 1 0
c
r 1 0
c v r 0 r 0 r r n
光的检测
光的周期
T 1014 s
探测响应时间 0 109 s
观察时间 0
故一般探测到的是时间的平均效应，即平 均能流密度，称为光强。
U ( x, y,0)
A ( x x0 )2 ( y y0 )2 z02
cos[k ( x x0 ) ( y y0 ) z t 0 ]
2 2 2 0
复振幅:波的复数表示
ei cos i sin
cos Re e i
位相 ( x, y, z) k ( x sin1 y sin2 z sin3 ) 0 通常取波场中任一平面的位置在z=0处，则该 平面上的位相分布为
( x, y,0) k ( x sin 1 y sin 2 ) 0
定态球面波
A( P) a r
( P) kr 0
例题：
已知位相分布 ( P) lx my nz p ，求波的传播 方向和波长 根据
( P) k ( x cos y cos z cos ) 0
解：这是平面波的线性位相分布。波矢的方向余弦为
l m cos cos k k 其中 k 为波矢的大小
波函数相乘一般不是线性运算，即两实波函数的乘积并 不能由其复振幅之积 乘以exp(-it ) 再取实部而得到。
作业：
P147~148：第1、2、3、4、5、6题
表示 2p 长度内的波长数目。
波面的条件为 ( P ) =常数，即 k r 常数，为与波矢垂直的 一系列平面，故名波面。


一维平面波的时空双重周期性
U ( P, t ) A( P)cos[(kz t ) 0 ]
k 2p

2p 2p T
t U ( P, t ) A( P) cos[2p ( ) 0 ] T
A( P) a
若采用直角坐标系，设振源在 ( x0 , y0 , z0 ) 位置上，则 复振幅
U ( x, y , z ) a ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2
exp[i(k ( x x0 )2 ( y y0 )2 ( z z0 ) 2 0 )]
2p

2pf
2p 角频率: kv v T
波数k：2p单位长度内的波周期数变化; 角频率：单位时 间内的角度变化；波数即是“空间上的角频率”。 同理，磁场强度H 也能得到这样的特解。波动方程预言了电 磁波的存在，而且具体给出了波函数表达式。
波速：
真空： 0 , 0 , v 媒质： r 相对磁导率
特解: E( z, t ) E( z) cos k ( z t ) E( z) cos(kz t )
k ，波数； ,波速； ，角频率；
E( z )
,电场振幅矢量；kz t ，相位。
v
根据： vT
波矢：
k 2p

, v

T
（T：周期， : 频率）
z
A exp[ik ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 ] U 0 0 0 r
为从 ( x0 , y0 , z0 ) 点发出的发散球面波。
其共轭波为
A U exp[ik ( x xo ) 2 ( y yo ) 2 ( z zo ) 2 ] r 这是向 ( x0 , y0 , z0 ) 点会聚的球面波。
（2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，在空间 形成一个稳定的振幅分布 满足上述要求的光波应当充满全空间，是无限长的 单色波列。 当波列的持续时间比其扰动周期 长得多时，即可 将其当作无限长波列处理。 任何复杂的非单色波都可以分解为一系列单色波 的迭加。 定态光波不是简谐波，其空间各点的振幅可以不同。
引入复振幅的意义： 考虑单色波迭加时，exp(it ) 相同，故可以提出来； 复波函数满足与波函数相同的波动方程，复、实描述是等价的； 复振幅运算简单； 由复振幅容易得到实波函数。
U (P) A(P)ei ( P)
平面波的复振幅
振幅
位相
A( P) A(常数）
判断依据： 1、振幅为常数； 2、具有线性位相因子
I E
2
普通光源的基本特征： 振动方向和位相无规则——随机性； 不同光源位相差不固定——非相干性； 合成光强为单个光强的相加值——非相干迭加；
波动的概念
标量波： 密度波、温度波
矢量波： 电磁波 球面波 波面 波线 波前 平面波
平面波—球面波
高斯光束*
特性：
定态光波
条件：
（1）空间各点的扰动是同频率的简谐振荡
z 周期: z
z
~ z
t 周期: t ~ t T
( P)改变2p，U(P,t)复原
一维平面波的时空双重周期性的比较
波的时间周期性
周期 T 频率:
1 T
波的空间周期性
空间周期 空间频率:
f 1
角频率: 2p 2p
T
空间角频率: k 2p f 2p

时空联系：
共轭波
平面波：
k1 在 z 0的复振幅
U ( x, y) A exp(ikx sin 1 )
U ( x, y) A exp[ikx sin(1 )]
k 2 在 z 0的复振幅
定义： 复振幅互为复数共轭的波 注： 共轭波一般指来自波前的同一侧的波
共轭波
对于球面波，
x
(xo , yo , zo )
U (P, t ) A(P)cos(kr t 0 ) Re{A(P)exp[i(k r t 0 )]}
在考察单色简谐波的波函数时，各场点复函数中 的时间相因子 exp(it ) 都是相同的，故可以将它分离 出来。 故复波函数 U ( P, t ) A( P)ei ( P) eit 复振幅
2010年秋季本科课程《光学》
II 波动光学基本概念
波动光学：
以光的波动性为基础，研究光的传 播及其规律。
主要内容：
•光的干涉 •光的衍射 •光的偏振 •光的电介质表面的反射折射
光学现象
日常生活中的肥皂膜干涉
模拟圆孔衍射图样
2010年秋季本科课程《光学》
II 波动光学基本概念
定态光波与复振幅描述 波前的概念
(0,0, z0 )点发出的球面波在 ( x, y ) 平面上的振动亦为
（0，0，zo）
U ( x, y,0)
A
2 x2 y 2 z0
2 cos[k x 2 y 2 z0 t 0 ]
( x0 , y0 , z0 ) 点发出的球面波在
z0
平面上的振动为（xo，y源自，zo）定态光波的时空双重周期性
定态光波的描述
电磁波是矢量波，应该用矢量表达式描述。 但对符合上述条件的定态光波，通常用标量表 达式 描述：
U ( P, t ) A( P) cos[t ( P)] A( P) cos[ ( P) t ]
A( P ) ：振幅的空间分布； ( P ) ：直角坐标的线
例题：
写出向 P( x0 , y0 , z0 )点会聚的球面波的复振幅
根据球面波的复振幅
U ( P) a exp[i(kr 0 )] r
r ( x x0 ) ( y y0 ) ( z z0 )
2 2
2
( P ) a exp[ ik ( x x ) 2 ( y y ) 2 ( z z ) 2 ] U 0 0 0 0 r
*
~
强度的复振幅表示
光强 I 等于振幅 A 的平方
I ( P) [ A( P)]
A(P)是复振幅
2
U ( P) 的模，因此
~ * ~
I ( P) U ( P) U ( P)
复振幅小结
1. 提出复振幅的原因
2. 复振幅的数学表述和计算
3. 对同频率波函数的线性运算（包括加、减、与 常数相乘、对空 间坐标的微分与积分），可以直 接用复振幅计算；其结果乘以 exp(it ) 再取实 部，即可 以得到结果的实数表达式。
v

T


k

平面波矢的方向角
波矢的方向可以用方向余弦角表示为 ( , , ) 在光学中，习惯用上述三个角的余角表示方向为
(1 ,2 ,3 )
平面波矢的数学表述
波矢 k k (cos i cos j cos k ) 0 方向余弦 k k (sin1i sin2 j sin3k ) 0 余角表示
1 2E 2E 2 0 2 v t 1 2H 2 H 2 0 2 v t
其中 v
1
通解
E( z, t ) C1g1 ( z vt ) C2g2 ( z vt )
g为任意函数，1 :以v向z正向传播的波； 2 :以v g g
向z负向传播的波。 因任意波可看作简谐波 的迭加，取平面简谐波作为特解方便。