江苏省2020学年高二数学上学期期中试题

高二数学上学期期中试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．命题“2
R,0x x ∀∈≥”的否定为（ ）
A ．
2R,0x x ∀∉≥ B ．2R,0x x ∀∈< C ．2R,0x x ∃∈≥ D ．2R,0x x ∃∈< 2．已知函数()()4
0f x x x x
=+
<，则下列结论正确的是（ ） A ．()f x 有最小值4 B ．()f x 有最大值4 C ．()f x 有最小值-4 D ．()f x 有最大值-4
3．已知数列{}n a 的首项11a =，且满足11133
n n a a +=+，则此数列的第三项是（ ）
A ．1
B ．
13 C ． 23 D ．59
4．已知,a b 为实数，M <，:N a b <，则M 是N 的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分又不必要条
件
5．关于x 的不等式
1026
x
x -≥+的解集是（ ）
A ．{}|1x x ≤
B ．{}|3x x >-
C ．{}|31x x -<≤
D ．{}|31x x x <-≥或
6．已知,a b 为非零实数，且0a b -≥，则下列结论一定成立的是（ ）
A ．22a b ≥
B ．22ab ba ≥
C ．
22
11ab ba ≥ D ．
b a a b
≥
7．已知数列{}n a ，其任意连续的四项之和为20，且1238,7,2a a a ===，则2020a ＝（ ）
A ．2
B ．3
C ．7
D ．8
8．“[]2
1,2,10x ax ∃∈+≤”为真命题的充分必要条件是（ ）
A ．1a ≤-
B ． 1
4
a ≤-
C ．2a ≤-
D ．0a ≤
9．已知实数12,,,x x m n 满足12,x x m n <<，且()()()()11220,0m x n x m x n x --<--<，
则下列结论正确的是（ ）
A ．12m x x n <<<
B ．12m x n x <<<
C ．
12x m x n <<< D ．12x m n x <<<
10．已知数列{}n a 、{}n b 均为等差数列，其前n 项和分别记为n A 、n B ，满足
4123
n n A n B n +=+，则
5
7
a b 的值为（ ） A ．
2117 B ．3729
C ．
5329 D ．41
31
11．设正实数,x y 满足21x y +=，则
2x
x y
+的最小值为（ ） A ．4 B ．6 C ．7
D ．8
12．已知数列{}n a 的通项2020220212n
n n
a -=-，且存在正整数,T S 使得T n S a a a ≤≤对任意的
*N n ∈恒成立，则T S +的值为（ ）
A ．15
B ．17 C
．19 D ．21
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卷中的横线上．
13．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若4681016a a a a =，则2
1115
a a 的值为 ．
14．函数()()221
11
f x x x x =+
>-的最小值为 ． 15．已知数列{}n a 满足11
2
a =
，()()111n n n n n n a a a a +++-=，则该数列{}n a 的通项公式n a = ．
16．已知关于x 的不等式()2
2434x ax -≤的解集中的整数解恰好有三个，则实数a 的取值范
围是 ．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分10分)
已知数列{}n a 是一个公差为)0(≠d d 的等差数列，前n 项和为n S ，2a 、4a 、5a 成等比数列，且515S =-．
(1)求数列{}n a 的通项公式；
(2)求数列n S n ⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
的前10项和．
18．(本小题满分10分)
已知2
:2350p x x --≤，()()2
:32110q x mx m m -+-+≤．(其中实数2m >)
(1)分别求出,p q 中关于x 的不等式的解集M 和N ； (2)若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
19．(本小题满分12分)
已知函数2
()|3|9f x x a x =-+-+． (1)2a =时，解关于x 的不等式()0f x ≥；
(2)若不等式()0f x ≤对任意R x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．
20．(本小题满分12分)
已知数列{}n a 中，14a =，()()()
2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅．
(1)设1
n
n a b n =
+，求数列{}n b 的通项公式； (2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．
21．(本小题满分12分)
已知某工厂要设计一个部件（如图阴影部分所示），要求从圆形铁片上进行裁剪，部件由
三个全等的矩形和一个等边三角形构成，设矩形的两边长分别为,AD y CD x ==（单位：
cm ），且要求y x >
2cm ． (1)求y 关于x 的函数表达式，并求定义域；
(2)为了节省材料，请问x 取何值时，所用到的圆形铁片面积最小，并求出最小值．
22．(本小题满分14分)
已知数列{}n a ，11a =，前n 项和为n S ，对任意的正整数n ，都有()21n n S n a =+恒成立．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)已知关于n
的不等式
3434222...n n a a a a a a ---⋅<对一切*
3,N n n ≥∈恒成立，求实数a 的取值范围；
(3)已知2
11n n c a ⎛⎫= ⎪+⎝⎭
，数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n T 与2
3的大小并证明．
参考答案
一、选择题：
1.D
2.D
3.D
4.A
5.C
6.C
7.B 8.B 9.A 10.B 11.B 12.D
二、填空题：
13.2 14.3 15.
1n n + 16.9169,464⎡⎫⎪⎢⎣⎭
三、解答题：
17.(1)由2a 、4a 、5a 成等比数列得：
()
()()2
11134a d a d a d +=++，即215d a d =-，
又
0d ≠，∴
15a =-；…………………………………………………2分
而5154
5152
S a d ⨯=+
=-，∴1d =；…………………………………4分 ()116n a a n d n ∴=+-=-，
{}n a ∴的通项公式为6n a n =-.…………………………………………5分
(2)()2111122n n n n n S na d ⋅--=+=,11
2
n S n n -∴=,………………7分 令n n S c n =
，则11
2
n n c c +-=为常数， {}n c ∴是首项为5-，公差为1
2的等差数列，…………………………8分
∴n S n ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前10项和为109155510222⨯-⨯+⨯=-.…………………10分
18.(1)()()2
235750x x x x --=-+≤，[]5,7M ∴=-；…………2分
()()()()232112110x mx m m x m x m -+-+=---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，
又2m >，211m m ∴->+， []1,21N m m ∴=+-.……………………………………………………5分
(2)
p 是q 的必要不充分条件，N M ∴Ø，即[][]1,215,7m m +--Ø，
51
721m m -≤+⎧∴⎨
≥-⎩
，且等号不同时取，…………………………………8分 解得64m -≤≤，又2m >，24m ∴<≤.………………………10分
19.(1)2a =时，2
2390x x -+-+≥，
3x ≥时，()()310x x -+≤，13x ∴-≤≤，3x ∴=； 3x <时，()()350x x -+≤，53x ∴-≤≤，53x ∴-≤<；
综上所述，不等式的解集为[]5,3-. …………………………………6分
（如果解集中不包含3，扣1分）
(2)()0f x ≤恒成立时，2
930x a x ---≥恒成立，
①3x =时，不等式恒成立，R a ∴∈；……………………………7分 ②3x >时，()()330x x a -+-≥恒成立，
30x a ∴+-≥恒成立，6a ∴≤； …………………………………9分
③3x <时，()()330x x a -++≥恒成立，
30x a ∴++≤恒成立，6a ∴≤-；…………………………………11分
综上所述，a 的取值范围是(],6-∞-. ………………………………12分
20.(1)
()()()2112322n n n n a n a n n ++⋅-+⋅=++⋅，等式两边同时除以()()12n n ++得：
1221
n n n a a
n n +-=++，即12n n n b b +-=；………………………………2分 2n ∴≥时，有1212b b -=，
2
322b b -=
...
1
12n n n b b ---=.
累加得11122
2212n n n b b ---==--，又1122
a
b ==， 2n ∴≥时，2n n b =.…………………………………………………5分
又1n =时，12b =也满足上式，*N n ∴∈时，2n
n b =.…………6分
(2)由(1)可得()12n
n a n =+⋅，
()123223242...12n n S n ∴=⋅+⋅+⋅+++⋅， ()23412223242...12n n S n +∴=
⋅+⋅+⋅+++⋅，……………8分
()12312222...212n n n S n +∴-=⋅++++-+⋅，…………………10分
()11122212212
n
n n n n ++-=+-+⋅=-⋅-，
12n n S n +∴=⋅.…………………………………………………………12分
21.(1)23
S xy =⋅+=，2y ∴=，…………3分
由12
y x >
得0x <<
∴函数的定义域为{|0x x <<.……………………………5分
(2)设圆形铁片半径为R ，则面积2S R π=，
过圆心O 作CD 的垂线，垂足为E ，交AB 于点F ，连结OD ，则,
2x DE OF =
=， 2
2
2
2
22
24x x R OD y ⎛⎫⎛
⎛⎫∴==+=+ ⎪ ⎝⎭⎝
，
221313483x x =
++…………………………………………………8分 20x >，由基本不等式得:
22221313483R OD x x ∴==
++≥=，
当且仅当
221313
483x x
=，即(2x =∈时，取“=”.
∴圆形铁片的最小面积为136
(2cm ).………………………11分
答：当2x =时，所用圆形贴片的面积最小，最小面积为
136
+(2cm ). …………………………………………………………………………12分
22.(1)2(1)n n S n a =+ ，2n ∴≥时，()1121n n S n a --=-， 12(1)n n n a n a na -∴=+-，即 1(1)(2)n n n a na n --=≥，………2分 又110a =≠，0n a ∴≠，1(2)(1)
n n a n n a n -∴=≥-， 3212123,,...,121
n n a a a n a a a n -∴===-， 累乘得2n ≥时，123 (121)
n a n n a n =⋅=-，…………………………4分 1n =时，11a =也满足上式，n a n ∴=. …………………………5分 （或构造常数列1(2)(1)
n n a a n n n -=≥-） (2)设(
)3434222...n n
a a a f n a a a ---=⋅ 则()(
)31434122221...n n n n a a a a f n f n a a a a ++⎡----+-=⋅⎢⎣ (
)(
)343411222...1n n n n a a a a a a n ⎡-+---=⋅⎢+⎢⎥⎣⎦
3434222...01n n a a a a a a n ---=⋅<+⎢⎥⎣⎦， ()f n ∴在*3,N n n ≥∈上单调递减， …………………………8分 (
)3a f ∴>=
a ∴>.…………………………………10分 (3)()22211111111121222n n c a n n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫===<=- ⎪ ⎪ ⎪++++⋅++⎝⎭⎝⎭⎝
⎭， 123...n n T c c c c ∴=++++
2311111111111......4422435572n c c c n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++<+-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111112111242231232123n n n n ⎛⎫⎛⎫=++--=-+< ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 23
n T ∴<
.…………………………………………………………14分。