21.1 二次根式(第3课时)教案

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华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2

华师大版数学九年级上册《21.1 二次根式》教学设计2一. 教材分析华东师范大学版数学九年级上册《21.1 二次根式》是学生在初中阶段学习二次根式的起点，也是为高中阶段进一步学习函数、不等式等知识做铺垫。

本节课主要让学生理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法，并能够解决一些实际问题。

教材通过引入二次根式，让学生感受数学与现实生活的联系，提高学生学习数学的兴趣。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数、无理数等基础知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。

但学生对二次根式这一概念较为陌生，对其性质和运算方法的认识需要通过实例和练习逐步建立。

此外，学生对于将实际问题转化为二次根式问题的能力有待提高。

三. 教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式的性质和运算方法。

2.能够将实际问题转化为二次根式问题，并运用二次根式解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和运算能力，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.二次根式的概念及其性质。

2.二次根式的运算方法。

3.将实际问题转化为二次根式问题。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究二次根式的概念、性质和运算方法。

2.利用实例和练习，让学生在实际操作中掌握二次根式的应用。

3.采用小组合作学习，培养学生的团队协作能力和沟通能力。

4.运用多媒体辅助教学，提高课堂趣味性和教学效果。

六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材。

2.设计具有代表性的练习题和实际问题。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量物体高度、计算物体体积等，引导学生思考如何利用数学知识解决这些问题。

然后引入二次根式的概念，让学生初步了解二次根式在实际问题中的应用。

2.呈现（15分钟）讲解二次根式的定义，引导学生通过实例理解二次根式的概念。

同时，介绍二次根式的性质，如：二次根式具有非负性、单调性等。

让学生通过实际问题，运用二次根式的性质解决问题。

九年级数学上册 21.1 二次根式教案新人教版

（1）学生是否联想到刚刚学习过的二次根式有意义的条件，本题中即要满足；
（2）学生是否能分和这两种情况进行讨论．
在教师的引导下，学生很容易得到如下结论：
是一个非负数．
通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生的分类讨论的思想和归纳概括的能力．
活动3
问题
根据算术平方根的意义填空：
21.1 二次根式
教学目标
知识技能
1．了解二次根式的概念．
2．了解二次根式的基本性质．
数学思考
经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力．
解决问题
通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力．
情感态度
学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的快乐，并提高应用的意识．
通过这组题目的练习，加深对这一性质的理解和应用．对于复杂的题目，要学会分解，化难为易．
活动4
问题
（1）填空：
；；
；．
（2）思考：当时，？
（3）与相等吗？
例3化简：
（1）；（2）．
教师首先引导学生比较活动3与活动4中两组题目的不同之处，注意学生是否观察出：活动3中的题目是对非负数先进行开平方运算，再进行平方运算；而活动4中的题目正好相反，是先进行平方运算，再进行开平方运算．
注重新旧知识的连贯性，使学生有一个由浅入深的学习过程，并体会到学习的内容是融会贯通的．
为学生提供练习的时间和空间，调动学生的主观能动性，激发好奇心和求知欲．
通过题目的练习，使学生加深对所学知识的理解，避免一些常见错误．
活动2
问题
请比较与0的大小．

九(上)21[1].1二次根式A版

精锐教育学科教师辅导讲义讲义编号：____________ 学员编号：年级：初三课时数： 3课时学员姓名：辅导科目：数学学科教师：课题21.1二次根式授课日期及时段教学目的 1. 能理解二次根式的意义，代数式的意义；2. 会确定被开方数中字母的取值范围；3. 掌握二次根式的性质，并能用其进行二次根式的化简。

重点二次根式的化简难点二次根式的性质教学内容一、知识框架⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥=⎩⎨⎧<-≥==≥≥）（）（）是一个非负数（性质）的式子叫做二次根式（定义：形如二次根式0)()0(,00.022a a a a a a a a a a a a a a 二、知识概要1. 二次根式的概念一般地，我们把形如)0(≥a a •的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．注意：（1）二次根式必须含有二次根号“”.如：3、9、01.0等都是二次根式，虽然“39=”，但3不是二次根式，因为它不含有二次根号.（2）二次根式的被开方数a 既可以表示一个数，也可以表示一个含有字母的式子，但前提是必须保证a 有意义，即)0(≥a .（3）“”的根指数为2，即“2”，我们一般省略根指数2，写作“”.2. 二次根式有意义的条件二次根式a 有意义的条件是：0≥a .3. 二次根式的性质（1）)0(0≥≥a a ;（2）)0()(2≥=a a a ;(3)⎩⎨⎧<-≥==)0(,)0(,2a a a a a a . 4. 代数式：用运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子叫代数式，单独一个数或字母也是代数式.三、例题选讲例1 判断下列各式，哪些是二次根式？（1）2；（2）38-；（3）12+x ；（4）)0(>x x ；（5）42；（6）2)12(--x .变式练习1. 判断下列各式是否为二次根式?（1）12+m ;（2）2a ;（3）2n -;（4）2-a .例2 当x 取什么实数时，下列各式有意义？（1）x 52-；（2）2)12(+x ；（3）x x 235--+；（4）xx --112.变式练习2. x 为何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）231+x ；（2）xx -+35.例3 若0)1(32=++-n m ，则n m +的值为 .变式练习3. 若320x y x y +-+-=，则x y -的值为（）A ．1-B ．1C ．3D ．3-例4 化简：（1）2)52(-；（2）)31(961222≤≤+-++-x x x x x .变式练习4. 计算：（1）2(4)π-+2(3)π-;（2）2(23)-+2(23)+.四、巩固练习1．函数2y x =+中，自变量x 的取值范围是（）A ．2x >-B ．2x -≥C ．2x ≠-D ．2x -≤ 2. 二次根式2(3)-的值是（）A ．3-B ．3或3-C ．9D ．33. 函数21y x =-中自变量x 的取值范围是（）A ．12x -≥B ．12x ≥C ．12x -≤D ．12x ≤4. 已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a -+的结果为（） A ．1B ．1-C ．12a -D ．21a - 5. 使代数式43--x x 有意义的x 的取值范围是（） A. x>3B. x ≥3C. x>4D. x ≥3且x ≠4 6. 要使式子1x x+有意义，x 的取值范围是（） A ．1x ≠B ．0x ≠C ．10x x >-≠且D ．10x x ≠≥-且 7. 函数y ＝x -2＋31-x 中自变量x 的取值范围是（）A ．x ≤2B ．x ＝3C ．x ＜2且x ≠3D ．x ≤2且x ≠38. 下列运算正确的是（）A ．（5-）2=-5B ．（-5）2=-5C ．-2(5)-=5D ．2(5)-=59. 要使1213-+-x x 有意义，则x 应满足（） A ．21≤x ≤3 B ．x ≤3且x ≠21 C ．21＜x ＜3 D ．21＜x ≤3 10. 要使式子2a a+有意义，a 的取值范围是（） A ．a ≠0B ．a>－2且a ≠0C ．a>－2或a ≠0D ．a ≥－2且a ≠0 11. 已知01b 2a =-++，那么2007)b a (+的值为（）A.－1B.1C.20073D.20073-12. 若a ＜1，化简2(1)1a --＝（）A ．a ﹣2B ．2﹣aC ．aD ．﹣a 13. 若230a b -+-=，则2a b -= ．14. 要使二次根式26x -有意义，x 应满足的条件是．15. 化简11x x -+-= __ ___．16. 当x ≤0时，化简21x x --的结果是． 17. 计算()22的结果等于．1- 1 0 aa -2-121018. 2(7)--（27）2=__________19. 当x =________时，二次根式4x -有意义．20. 若()22340a b c -+-+-=，则=+-c b a ．21. 计算：=+-3)23(2 . 22. 若x y ，为实数，且220x y ++-=，则2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为．23. 若,1<a 化简1)1(2--a .24. 若整数m 满足条件1)1(2+=+m m 且52<m ，求m 的值.25．数a 在数轴上的位置如图所示，化简：212a a ---=________．26. 如果2(5)a -+2b -=0，求以a 、b 为边长的等腰三角形的周长．五、课后作业1. 9的平方根是_________.2. 9的算术平方根是__________；8-的立方根是_________.3. 在函数2-=x y 中，自变量x 的取值范围是_________. 4. 若y y x y 24410++++-=，则xy 的值等于（）A. -6B. -2C. 2D. 6 5. 计算：()012200432212101----+⎪⎭⎫ ⎝⎛-.6. 已知a ，b ，c 为△ABC 的三边长，化简：2()b c a +-+2()c a b ---2()b c a --.7. 若2963a a a -+=-，求a 的取值范围.8. 阅读下面解题过程，并回答问题：化简：2(13)1x x ---．解：由隐含条件1-3x ≥0得 x ≤13∴1-x>0∴原式=（1-3x ）-（1-x ）=1-3x-1+x=-2x按照上面的解法，化简下题：2(3)x --（2x -）2．。

九年级数学上册 21.1《二次根式》(第3课时)教案新人教版

21.1 二次根式教案教学内容a （a ≥0）教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a ≥0）的式子叫做二次根式；2a ≥0）是一个非负数；3．2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：110=23=37．例1 化简（1（2（3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a≥0）•去化简．解：（1（2（3（4三、巩固练习教材P7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？分析（a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a≥0；（2，所以a≤0；（3）因为当a≥0，，即使a>a所以a不存在；当a<0，，即使-a>a，a<0综上，a<0例3当x>2分析：(略)五、归纳小结（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．六、布置作业1．教材P8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1是（）．A．0 B．23C．423D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）．AC．-二、填空题1．．2．若m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│答案:一、1．C 2．A二、1．-0．02 2．5三、1．甲甲没有先判定1-a是正数还是负数2．由已知得a-•2000•≥0，•a•≥2000所以a，a-2000=19952，所以a-19952=2000．3. 10-x。

人教版九年级数学上册《二十一章二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_14

二次根式第一课时一、教学目标1.核心素养：通过学习二次根式的概念，培养学生数感和符号意识．2.学习目标（1）根据算术平方根的意义了解二次根式的概念,能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系.（2）知道被开方数必须是非负数的理由,会求二次根式有意义的条件.3.学习重点从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念.4.学习难点二次根式有意义的条件.二、教学设计（一）课前设计1.预习任务任务1 回顾：什么叫算术平方根？任务2 阅读教程P2，思考：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？2.预习自测1．面积为3的正方形的边长为（）A.3B.3±C. 3-D. 92. 面积为S 的正方形的边长为（） A.s B.s ± C. s -D. 2s 3. 当x 为何值时，x 有意义（）A.0>xB.0<xC. 0≥xD. 0≤x预习自测1.A2.A3.C（二）课堂设计1.知识回顾（1）平方根：25的平方根是±5,3的平方根是3±，0的平方根是0，-5没有平方根.（2）算术平方根：25的算术平方根是5,3的算术平方根是3，0的算术平方根是0，-5没有算术平方根.2.问题探究问题探究一什么样的式子是二次根式？★活动一回顾旧知，整体感受用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点？（1）面积为2的正方形的边长为，面积为S 的正方形边长为；（2）一个长方形硬纸板，长是宽的2倍，面积为130cm2,则它的宽为 cm ；（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用时间t （单位：秒）与开始落下时与地面高度h （单位：米）满足关系h=5t2．如果用含h 的式子表示t ，那么t= .活动二总结反思，得出概念上面结果都是一些正数的算术平方根，我们知道一个正数有两个平方根；0的平方根是0；在实数范围里内负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 二次根式的概念：一般地，我们把形如a (a ≧0)的式子叫做二次根式.二次根式具备哪些特点？（1）有二次根号；（2）被开方数不能小于0.活动三牛刀小试初步运用例1.式子：2，x 1，2x ，5-，32，5a 中，二次根式的个数是（）A.1B.2C.3D.4【知识点：二次根式的定义】详解：2，2x ，5-是二次根式，因此有3个，选C.点拨：二次根式是一种表示方法，既要看形式是否带有二次根号，又要看被开方数是否为非负数.问题探究二二次根式有意义的条件是怎样的？▲活动一回顾旧知开启新知（1）式子：2，0，3-有意义吗？（2）对于任意实数a ，a 一定有意义吗？（3）实数x 满足什么条件，二次根式2-x 有意义？点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，因此，三个问题的结果显而易见.（1）式子：2，0有意义，3-没有意义；（2）对于任意实数a ，a 不一定有意义，因为a 有可能为负数；（3）二次根式2-x 要有意义，只需02≥-x 即可，即2≥x .活动二牛刀小试初步运用例2.当a 取怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？【知识点：二次根式有意义的条件】（1）2a （2）12+a （3）11-a详解：（1）2a 中，无论a 取何值，2a 都有意义；（2）12+a 中，无论a 取何值，12+a 都是一个正数，所以，无论a 取何值，12+a 都有意义；（3）11-a 中，01>-a ，即1>a .点拨：二次根式是否有意义的关键是看被开方数是否为非负数，如果式子中，除了二次根式外，还有其它形式的式子，如（3），还得综合考虑，既要考虑二次根式有意义，还要考虑整个式子有意义.3.课堂小结【知识梳理】形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式.二次根式有意义的条件：被开方数为非负数.【重难点突破】二次根式有意义的条件探究．①当给定的代数式只是二次根式形式时，只需要满足被开方数为即可；②当给定的代数式不只含有二次根式时，则要全面综合考虑，如：代数式21-x 有意义的条件就应同时满足：2-x ≠0和2-x ≥0，即2-x >0. 4.随堂检测1.下列各式不是二次根式的是（） A. 9 B. )0(≥a a C. 3- D. 0【知识点：二次根式的定义】【参考答案】C【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.2.下列式子中，二次根式的个数是（）（1）31；（2）5-；（3）22+x ；（4）3x ；（5）35A. 1B.2C.3D. 4【知识点：二次根式的定义】【参考答案】B【思路点拨】判定一个式子是否是二次根式，首先看是否带有二次根号；然后看被开方数是否为非负数.因此，（1）（3）是二次根式.3.若式子5-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（）A. 5≥xB. 5>xC. 5<xD. 5≤x【知识点：二次根式有意义的条件】【参考答案】A【思路点拨】二次根式有意义的条件就是被开方数要为非负数。

21.1二次根式(共4课时)

21．1 二次根式（共四课时）第一课时:二次根式的概念及其运用教学目标理解二次根式的概念，并利用a≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．a≥0）的式子叫做二次根式的概念；a≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）1、用带根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点：（题目见教科书4页“思考”栏目）（1）所填的结果有什么特点？二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，（a≥0）•的式子叫做二次根式，议一议：（学生活动）1．-1有算术平方根吗？2．0的算术平方根是多少？3．当a<0x>0）、例1．下列式子，哪些是二次根式，、1x（x≥0，y•≥0）．、1+x y例2．当x三、巩固练习当x在实数范围内有意义？四、应用拓展在实数范围内有意义？例3、当x1x+1的值．例4(1)已知，求xy(2)，求a2004+b2004的值．五、归纳小结（学生活动，老师点评）1a≥0）的式子叫做二次根式，2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、课后练习一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A． C．．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A．1x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）D．以上皆不对A．5 B．15二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a的正方形的边长为________．3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？+x2在实数范围内有意义？2．当xx_____．3134.x有（）个．A．0 B．1 C．2 D．无数5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．第二课时：二次根式的意义和性质（1）教学内容1a≥0）是一个非负数；2．2=a（a≥0）．教学目标1、（a≥0）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．2、通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出（2=a（a≥0）；最后运用结论严谨解题．a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用．难点：用分类思想的方法导出a≥0）是一个非负数；•用探究的方法导2=a（a≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当a≥0a<0二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）a≥0）是一个什么数呢？2、根据算术平方根的意义填空：2=；2=；2=；2=．一般地，你能得到什么结论？例1 计算（1）2；（2）2．）2（ 3）．2（ 4）．（2三、巩固练习计算下列各式的值：2）2）24）2（ 2 22-四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0） 2．23．（）2 4．2五、能力提高在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3五、归纳小结1a≥0）是一个非负数；2．）2=a（a≥0）;反之:a=2（a≥0）．六、课后练习一、选择题1次根式的个数是（）．A．4 B．3 C．2 D．12．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（）．A．a>0 B．a≥0 C．a<0 D．a=0二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题1．计算（1）2（2）-2（3）（1）2（4）（ 22(5)2．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（4）x（x≥0）（1）5 （2）3.4 （3）163=0，求x y的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5第三课时：二次根式的意义和性质（2）教学内容a（a≥0）教学目标1（a≥0）并利用它进行计算和化简．2、通过具体数据的解答，探究（a≥0），并利用这个结论解决具体问题．a（a≥0）．难点：探究结论．讲清a≥0a才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1a≥0）的式子叫做二次根式；2a≥0）是一个非负数；3．2＝a（a≥0）．那么，我们猜想当a≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；例1 化简（1（2（3（4三、巩固练习教材P5练习2．四、应用拓展1、当a≥0；当a<0，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？2、当x>2．五、归纳小结1（a≥0）及其运用，同时理解当a<0a的应用拓展．2、让学生认识到当0a≥时，2=六、课后练习一、选择题1）．A．0 B．23 C．423D．以上都不对2．a≥0正确的是（）．AC．二、填空题1．．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式（1-a）=1；乙的解答为：原式（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│第4课时：复习二次根式的意义和性质一、教学目标1、二次根式的意义2、二次根式的性质二、教学重点：根据二次根式的性质计算难点根据二次根式的性质计算三、复习回顾：二次根式二次根式的意义11。

21.1 二次根式华师大版数学九年级上册教案

第21章二次根式21.1 二次根式※教学目标※【知识与技能】1.了解二次根式的定义.2.会求二次根式被开方数中字母的取值范围.3.会利用二次根式的非负性解题.4.理解二次根式的基本性质：,并能利用它们进行化简或计算.【过程与方法】1.经历观察、比较，总结二次根式的定义，培养学生的归纳能力.2.通过对二次根式性质的探究，提高数学探究能力和归纳能力.【情感态度】经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性和创造性，体验发现的快乐，并提高应用意识.【教学重点】二次根式的概念，二次根式性质的应用.【教学难点】1.利用二次根式的非负性解决具体问题.2.二次根式性质的应用.※教学过程※一、复习引入1.什么是平方根、算术平方根？2.你能举出几个这样的代数式，并说明其意义吗？【教学说明】教师鼓励学生大胆表述意见，然后作适当点评，引出新课.二、探索新知1.二次根式的概念（1）引导学生概括二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式大于等于0，这样的式子叫做二次根式.为了方便，我们把一个数的算术平方根也叫做二次根式.因此我们把形如的式子叫做二次根式.(2)思考：根据你已有知识，说说你对二次根式的认识.（学生分组讨论、回答，最后教师总结）①表示a的算术平方根；②a可以是数，也可以是代数式；③从形式上含有二次根号；≥0；⑤表示开平方运算，也可表示运算结果.【例1】下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0.解：二次根式有：;不是二次根式的有：.交流归纳：从形式上看，一个代数式是二次根式必须具备以下两个条件：（1）必须有二次根号；（2）被开方数不能小于0.【例2】x是怎样的实数时，二次根式有意义？分析：要使二次根式有意义，被开方数必须是非负数.解：被开方数x-1≥0,即x≥1.所以，当x≥1时，二次根式有意义.交流归纳：由于二次根式的被开方数只能取非负值，因此二次根式要有意义就必须满足被开方数大于等于0，因此求二次根式被开方数中字母取值范围可列不等式求解.2.二次根式的性质：的探究（1）做一做：根据算术平方根的意义填空:（2）思考：根据上面的计算，你得出了什么结论？学生讨论，得出结论：.【例3】计算：分析：我们可以直接利用的结论解题.解：3.二次根式的性质的探究（1）做一做：根据算术平方根的意义填空：(2)根据上面的计算你得出了什么结论？学生讨论得出：一般地，(3)思考：当a<0时，还成立吗？学生小组讨论，教师举反例说明结论不成立，最后得出结论：(4)通过上面的学习，你认为等于多少？得出：【例4】化简：分析：因为所以都可运用去化简.解：三、巩固练习1.计算：2.计算：3.4.x是怎样的实数时，下列二次根式有意义？5.当x是多少时，在实数范围内有意义？6.已知的值.答案：四、应用拓展【例5】已知2<x<3,化简：分析：先由,再判断(x-2)与(x-3)的正负，进而去掉绝对值符号，并合并同类项.解：∵2<x<3,∴x-2>0,x-3<0,∴原式=.五、归纳小结1.式子叫做二次根式，实质是一个非负实数的算术平方根的表达式.2.式子中，被开方数（式）必须大于等于零.3.求二次根式中字母取值范围的方法：（1）观察配方法;（2）列不等式或不等式组求解.4.区分※课后作业※教材习题21.1第1、2题.。

第21章二次根式全章教案(人教九年级)

第二十一章二次根式教材内容1．本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式． 2．本单元在教材中的地位和作用：二次根式是在学完了八年级下册第十七章《反比例正函数》、第十八章《勾股定理及其应用》等内容的基础之上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础．教学目标1．知识与技能（1）理解二次根式的概念．（2（a ≥0）是一个非负数，）2=a （a ≥0）（a≥0）．（3（a ≥0，b ≥0）；a ≥0，b>0）a ≥0，b>0）．（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减．2．过程与方法（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念．再对概念的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简．（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计算．（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简．（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念．利用最简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的．3．情感、态度与价值观通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力．教学重点1（a ≥0（a ≥0）是一个非负数；）2＝a （a ≥0）；（a ≥0）及其运用．2．二次根式乘除法的规定及其运用． 3．最简二次根式的概念． 4．二次根式的加减运算．教学难点1（a ≥0）2＝a （a ≥0（a ≥0）的理解及应用．2．二次根式的乘法、除法的条件限制．3．利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式．教学关键1．潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点．2．培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神．单元课时划分本单元教学时间约需11课时，具体分配如下： 21．1 二次根式 3课时 21．2 二次根式的乘法 3课时 21．3 二次根式的加减 3课时教学活动、习题课、小结 2课时21．1 二次根式第一课时教学内容二次根式的概念及其运用教学目标（a ≥0）的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．教学重难点关键1（a ≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0）”解决具体问题．教学过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________．问题2：如图，在直角三角形ABC 中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB 边的长是__________．3xAC问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S 2，那么S=_________．老师点评：问题1：横、纵坐标相等，即x=y ，所以x 2=3．因为点在第一象限，所以，所以）．问题2：由勾股定理得问题3：由方差的概念得S=二、探索新知，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）的式子叫做二次根式，（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？3．当a<0有意义吗？老师点评:（略）例1、x>0）、、、（x ≥0，y ≥0）．分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号；第二，被开方数是正数或0．（x>0）、（x ≥0，y≥0）；不是二次、．例2．当x分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，1x1x y+1x 1x y+才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x ≥当x ≥三、巩固练习教材P 练习1、2、3．四、应用拓展例3．当x +在实数范围内有意义？分析 +中的≥0和中的x+1≠0．解：依题意，得由①得：x ≥-由②得：x ≠-1当x ≥-且x ≠-1+在实数范围内有意义．例4(1)已知+5，求的值．(答案:2) (2)=0，求a+b 的值．(答案:)五、归纳小结（学生活动，老师点评）本节课要掌握：1（a ≥0）的式子叫做二次根式，”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．六、布置作业1．教材P 8复习巩固1、综合应用5．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》131311x +11x +11x +23010x x +≥⎧⎨+≠⎩323211x +xy25第一课时作业设计一、选择题1．下列式子中，是二次根式的是（）A ．BCD ．x2．下列式子中，不是二次根式的是（）A BCD ．3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A．5 BC ．D ．以上皆不对二、填空题1．形如________的式子叫做二次根式．2．面积为a 的正方形的边长为________． 3．负数________平方根．三、综合提高题1．某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？ 2．当x +x 2在实数范围内有意义？ 3=_______．4.有意义的未知数x 有（）个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．无数5.已知a 、b =b+4，求a 、b 的值．第一课时作业设计答案: 一、1．A 2．D 3．B二、1（a ≥0） 2 3．没有三、1．设底面边长为x ，则0.2x 2=1，解答：2．依题意得：， ∴当x>-且x ≠0时，＋x 2在实数范围内没有意义．1x152300x x +≥⎧⎨≠⎩320x x ⎧≥-⎪⎨⎪≠⎩32x3.4．B5．a=5，b=-421.1 二次根式(2)第二课时教学内容1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a（a ≥0）．教学目标（a ≥0）2=a （a ≥0），并利用它们进行计算和化简．（a ≥0）是一个非负数，用具体）2=a （a ≥0）；最后运用结论严谨解题．教学重难点关键1（a ≥0）是一个非负数；）2=a （a ≥0）及其运用．2a ≥0）是一个非负数；用探究的方法导）2=a （a ≥0）．教学过程一、复习引入（学生活动）口答 1．什么叫二次根式？2．当a ≥0叫什么？当a<0有意义吗？老师点评（略）．二、探究新知议一议：（学生分组讨论，提问解答）（a ≥0）是一个什么数呢？老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出做一做：根据算术平方根的意义填空：13）2=_______；）2=_______；2=______；2=_______；2=______；）2=_______；）2=_______．是4是一个平方等于4的）2=4．同理可得：）2=2，2=9，2=3，）2=，2=，）2=0，所以例1计算1．22．（23．24．（）2分析）2=a（a≥0）的结论解题．解：2 =，（2 =32·2=32·5=45，2=，）2．三、巩固练习计算下列各式的值：）2）2）2）2（2四、应用拓展例2 计算1．2（x≥0）2．23．）24．）2分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a2≥0；（3）a2+2a+1=（a+1）≥0；（4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．所以上面的4）2=a（a≥0）的重要结论解题．13722325674=22-解：（1）因为x ≥0，所以x+1>02=x+1（2）∵a 2≥02=a 2 （3）∵a 2+2a+1=（a+1）2又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0 =a 2+2a+1（4）∵4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x ·3+32=（2x-3）2又∵（2x-3）2≥0∴4x 2-12x+9≥0）2=4x 2-12x+9例3在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4(3) 2x 2-3分析：(略)五、归纳小结本节课应掌握：1（a ≥0）是一个非负数；2．）2=a （a ≥0）;反之:a=）2（a ≥0）．六、布置作业1．教材P 8 复习巩固2．（1）、（2） P 9 7．2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1的个数是（）．A ．4B ．3C ．2D ．12．数a 没有算术平方根，则a 的取值范围是（）． A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a<0 D ．a=0 二、填空题1．（2=________．2_______数．三、综合提高题 1．计算（1）2 （2）-2 （3）（）2 （4）（-2(5)122．把下列非负数写成一个数的平方的形式:（1）5 （2）3.4 （3）（4）x （x ≥0）3=0，求x y 的值．4．在实数范围内分解下列因式:（1）x 2-2 （2）x 4-9 3x2-5第二课时作业设计答案:一、1．B 2．C二、1．32．非负数三、1．（1）2=9 （2）-）2=-3 （3）（）2=×6=（4）（-2=9×=6 (5)-6 2．（1）5=2 （2）3.4=2（3）=2 （4）x=）2（x ≥0）3． x y =34=81 4.（1）x 2-2=（）（x ）（2）x 4-9=（x 2+3）（x 2-3）=（x 2+3）（（x ） (3)略21.1 二次根式(3)第三课时教学内容a （a ≥0）161214322316103304x y x x y -+==⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩教学目标（a ≥0）并利用它进行计算和化简．（a ≥0），并利用这个结论解决具体问题．教学重难点关键1a （a ≥0）．2．难点：探究结论．3．关键：讲清a ≥0a 才成立．教学过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容； 1（a≥0）的式子叫做二次根式；2（a ≥0）是一个非负数；3．)2＝a （a ≥0）．那么，我们猜想当a ≥0是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题．二、探究新知（学生活动）填空：=_______=______；=________=_______．（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：=0.01===．例1 化简（1（2 （3 （4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52，（4）（-3）2=32（a ≥0）去化简．解：（1=3 （21102337（3（4=3三、巩固练习教材P 7练习2．四、应用拓展例2 填空：当a ≥0；当a<0，并根据这一性质回答下列问题．（1，则a 可以是什么数？（2，则a 可以是什么数？（3，则a 可以是什么数？分析（a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a ≤0-a ≥0．（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0．解：（1，所以a ≥0；（2，所以a ≤0；（3）因为当a ≥0，即使a>a 所以a 不存在；当a<0=-a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0例3当x>2．分析：(略)五、归纳小结（a ≥0）及其运用，同时理解当a<0a 的应用拓展．六、布置作业1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8．2．选作课时作业设计．3.课后作业:《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1的值是（）．A．0 B．C．4D．以上都不对2．a≥0比较它们的结果，下面四个选项中正确的是（）． AC．二、填空题1．=________．2是一个正整数，则正整数m的最小值是________．三、综合提高题1．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．2．若│1995-a│，求a-19952的值．（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a 的值是正数还是负数，去掉绝对值）3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。

二次根式教案【必备7篇】

二次根式教案【必备7篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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人教版初中数学九年级上册《21.1二次根式》3课时教学设计

21． 1二次根式第一课时教课内容二次根式的观点及其运用教课目的理解二次根式的观点，并利用a （ a ≥ 0）的意义解答详细题目．提出问题，依据问题给出观点，应用观点解决实质问题．教课重难点要点 1．要点：形如a （ a ≥0）的式子叫做二次根式的观点；2．难点与要点：利用“ a （ a ≥ 0）”解决详细问题．教课过程一、复习引入（学生活动）请同学们独立达成以下三个问题：1 ：已知反比例函数 y= 3，那么它的图象在第一象限横、 ? 纵坐标相等的点的坐标是 x___________ ．b5E2RGbCAP问题 2：如图，在直角三角形 ABC 中，AC=3 ，BC=1 ，∠ C=90°，那么 AB 边的长是 __________ ．p1EanqFDPwAB C问题 3：甲射击 6 次，各次击中的环数以下：8、 7、 9、 9、 7、 8，那么甲此次射击的方差是 S 2，那么S=_________ ． DXDiTa9E3d老师评论：问题 1：横、纵坐标相等，即 x=y ，所以 x 2 =3．由于点在第一象限，所以 x=3 ，所以所求点的坐标（ 3 ，3 ）．问题 2：由勾股定理得AB= 10问题 3：由方差的观点得4S=.6二、研究新知很显然 3、 10、4，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就6把它称二次根式．所以，一般地，我们把形如 a （ a ≥ 0 ） ?的式子叫做二次根式， “”称为二次根号． RTCrpUDGiT（学生活动）议一议：1． -1 有算术平方根吗？ 2． 0 的算术平方根是多少？ 3．当 a<0， a 存心义吗？老师评论 :（略）例 1．以下式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2 、 33 、 1、 x （ x>0）、 0、4 2、-2 、x1 、 x y （ x ≥ 0，y?≥ 0）．x y剖析：二次根式应知足两个条件：第一，有二次根号“ ”；第二，被开方数是正数或 0．解：二次根式有： 2 、 x （ x>0 ）、 0 、- 2 、 x y （ x ≥ 0，y ≥ 0）；不是二次根式的有： 3 3 、1、42、1 ．xx y例 2．当 x 是多少时，3x 1 在实数范围内存心义？剖析：由二次根式的定义可知，被开方数必定要大于或等于0，所以 3x-1 ≥0， ? 3x1 才能存心义．1解：由 3x-1 ≥ 0，得： x ≥1时，3当 x ≥3x 1 在实数范围内存心义．3三、稳固练习教材 P 练习 1、2、3．四、应用拓展例 3．当 x 是多少时，2x 3 +1 在实数范围内存心义？x 1剖析：要使2x 3 +1在实数范围内存心义，一定同时知足2x3中的≥0和 1中的 x+1≠0．x1 x12x 3 0解：依题意，得1x3由①得： x ≥ -2由②得： x ≠ -1当 x ≥- 3 且 x ≠ -1 时，2x 3 +1 在实数范围内存心义．2x 1例 4(1)已知 y=2 x + x 2 +5 ，求 x的值． ( 答案 :2)y(2) 若a 1 + b20042004的值． (答案 :2 1 =0 ，求 a +b)5五、概括小结（学生活动，老师评论）本节课要掌握：1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式， “”称为二次根号．2．要使二次根式在实数范围内存心义，一定知足被开方数是非负数．六、部署作业1．教材 P 8 复习稳固 1、综合应用 5． 2．采用课时作业设计． 3.课后作业 :《同步训练》第一课时作业设计一、选择题1．以下式子中，是二次根式的是（）A ．- 7B ．37C ． xD ． x2．以下式子中，不是二次根式的是（）A ． 4B ． 16C ． 81 D ． x3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（）A ．5B ． 5C ．1D ．以上皆不对5二、填空题1．形如 ________的式子叫做二次根式．2．面积为 a 的正方形的边长为 ________． 3．负数 ________平方根．三、综合提升题1．某工厂要制作一批体积为1m 3 的产品包装盒，其高为，按设计需要， ?底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？5PCzVD7HxA2．当 x 是多少时， 2x 3 +x 2在实数范围内存心义？x3．若 3 x + x 3 存心义，则x 2 =_______．4.使式子 ( x 5) 2 存心义的未知数 x 有（）个．A ． 0B ．1C ． 2D ．无数5.已知 a、 b 为实数，且 a 5 +2102a =b+4，求a、b的值．第一课时作业设计答案:一、1．A 2．D 3．B二、 1． a （a≥0）2． a 3．没有三、 1．设底面边长为x，则2，解答： x= 5 ．=12x 3 0 ，x 32．依题意得： 2x 0x 0∴当 x>- 3且 x≠0 时，2x 3＋x2在实数范围内没存心义．2x13.34． B5． a=5， b=-4二次根式(2)第二课时教课内容1．a（ a≥ 0）是一个非负数；2．（a）2=a（ a≥0）．教课目的理解 a （a≥0）是一个非负数和（ a ）2=a（a≥0），并利用它们进行计算和化简．经过复习二次根式的观点，用逻辑推理的方法推出 a （a≥0）是一个非负数，用详细数据联合算术平方根的意义导出（ a ）2=a（a≥0）；最后运用结论谨慎解题．jLBHrnAILg教课重难点要点1．要点： a （a≥0）是一个非负数；（ a ）2=a（a≥0）及其运用．2．难点、要点：用分类思想的方法导出 a （a≥0）是一个非负数；?用研究的方法导出（ a ）2=a （ a≥ 0）．教课过程一、复习引入（学生活动）口答1．什么叫二次根式？2．当 a≥ 0 时， a 叫什么？当a<0 时， a 存心义吗？老师评论（略）．二、研究新知议一议：（学生疏组议论，发问解答）a（ a≥ 0）是一个什么数呢？老师评论：依据学生议论和上边的练习，我们能够得出a（ a≥ 0）是一个非负数．做一做：依据算术平方根的意义填空：（ 4 ）2=_______ ；（ 2 ）2=_______；（9 ）2=______；（3 ）2=_______；（1 2 7 2 23 ） =______；（ 2 ） =_______ ；（0 ）=_______．老师评论： 4 是4的算术平方根，依据算术平方根的意义， 4 是一个平方等于 4 的非负数，所以有（ 4 ）2=4．同理可得：（ 2 2，（9 ）232 1）2 1，（7 2 7，（02，所以）=2 =9，（） =3，（3 = 3 2 ） = 2 ） =0（ a ）2=a（a≥0）例 1 计算1．（3） 2 2．（3 5）2 3．（5） 2 4．（7） 2 2 6 2剖析：我们能够直接利用（ a ）2=a（a≥0）的结论解题．解：（3）2=3，（3 5 ）2 =3 2·（ 5 ）2=32· 5=45，2 2（5 2=5，（7 2=( 7) 2 7．）6 2）22 4 6三、稳固练习计算以下各式的值：（ 18）2 （2） 2 （9 ）2 （ 0）2 （47） 2 3 4 8(3 5) 2 (5 3) 2四、应用拓展例 2 计算1．（x 1 ）2（x≥0）2．（a2）2 3．（a2 2a 1 ）24．（4x2 12 x9 ）2剖析：（ 1）由于 x≥ 0，所以 x+1>0 ；（ 2） a2≥ 0；（ 3） a2+2a+1= （ a+1）≥ 0；（4）4x 2-12x+9= （ 2x）2-2· 2x· 3+32=（ 2x-3 ）2≥ 0．2所以上边的 4 题都能够运用（ a ）=a（a≥0）的重要结论解题．解：（1）由于 x≥ 0，所以 x+1>0（x1）2=x+1（ 2）∵ a2≥ 0，∴（a2）2=a22 2（3）∵ a +2a+1= （ a+1）又∵（ a+1）2≥ 0，∴ a2+2a+1≥0 ，∴a22a 1 =a2+2a+1（4）∵ 4x2-12x+9= （2x）2-2· 2x·3+3 2=（ 2x-3 ）2又∵（ 2x-3 ）2≥ 0∴ 4x2-12x+9 ≥ 0，∴（4x2 12x 9 ）2=4x2-12x+9例 3 在实数范围内分解以下因式:（ 1）x2-3 （2） x4-4 (3) 2x 2-3剖析：(略)五、概括小结本节课应掌握：1． a （a≥0）是一个非负数；2．（ a ）2=a（a≥0）;反之:a=（a ）2（a≥0）．六、部署作业1．教材 P8复习稳固2．（ 1）、（ 2）P97．2．采用课时作业设计．3.课后作业 :《同步训练》第二课时作业设计一、选择题1．以下各式中15、3a 、 b2 1 、a2 b2、 m2 20 、144 ，二次根式的个数是（）．A ． 4B ．3 C． 2 D ．12．数 a 没有算术平方根，则 a 的取值范围是（）．A ． a>0B ．a≥ 0 C． a<0 D． a=0二、填空题1．（ -3 ） 2=________ ．2．已知x 1 存心义，那么是一个_______数．三、综合提升题 1．计算（ 1）（ 9 ）2（2）-（ 3 ）2（3）（16 ）2（ 4）（- 32） 223(5)(23 32)(23 32)2．把以下非负数写成一个数的平方的形式 :（ 1）5（2）1（ 4） x （x ≥ 0）（ 3）63．已知x y 1 +x 3 =0，求 x y 的值． 4．在实数范围内分解以下因式 :（ 1）x 2- 2（2） x 4-9 3x2-5第二课时作业设计答案 :一、1．B 2． C二、1．32．非负数三、 1．（ 1）（ 9 ） 2（2）-（ 21 621 3 =93） =-3（ 3）（） =4×6=22（4）（- 32）2=9× 2 =6 (5)-6332．（ 1） 5=（ 5 ）2 （ 2） 3.4=（ 3.4 ）2（3） 1=（1 ）2 （ 4） x=（ x ） 2（ x ≥ 0）66x y 1 0 x 3 x y =34=813．3 0y4 x4.（ 1） x 2- 2=（ x+2 ）（ x- 2 ）（ 2） x 4- 9=（ x 2+3 ）（x 2- 3） =（ x 2+3 ）（x+ 3 ）（ x- 3 ）(3)略二次根式 (3)第三课时教课内容a 2 ＝ a （ a ≥ 0）教课目的理解a 2 =a （ a ≥ 0）并利用它进行计算和化简．经过详细数据的解答，研究a 2 =a （ a ≥0），并利用这个结论解决详细问题．教课重难点要点1．要点：a 2 ＝ a （a ≥ 0）．2．难点：研究结论．3．要点：讲清 a ≥ 0 时， a 2 ＝ a 才建立．教课过程一、复习引入老师口述并板收上两节课的重要内容；1．形如a （ a ≥ 0）的式子叫做二次根式；2． a （ a ≥ 0）是一个非负数；3． ( a )2 ＝a （ a ≥ 0）．那么，我们猜想当a ≥0 时，a 2 =a 能否也建立呢？下边我们就来研究这个问题．二、研究新知（学生活动）填空：22=_______ ； 2 =_______ ；( 1 )2 =______；10( 2 )2 =________ ； 02 =________ ； ( 3) 2 =_______ ． 3 7（老师评论）：依据算术平方根的意义，我们能够获得：22 =2；2； ( 1) 2= 1 ； (2)2= 2 ； 02=0； ( 3)2= 3 ．10 10 3 3 7 7所以，一般地：a2 =a （ a≥ 0）例 1 化简（）9 （） (4)2 （）25（） (3)21 2 3 4剖析：由于（ 1） 9=-3 2，（ 2）（ -4）2=42，（ 3） 25=52，（ 4）（ -3）2=32，所以都可运用a2 =a（ a≥ 0） ?去化简．解：（ 1）9 = 32=3（2）( 4)2 = 42=4（3）25 = 52 =5 （4）( 3)2= 32 =3三、稳固练习教材 P7练习 2．四、应用拓展例 2填空：当a≥ 0 时，a2=_____；当a<0时，a2=_______，?并依据这一性质回答以下问题．（1）若a2 =a，则 a 能够是什么数？（2）若a2 =-a ，则 a 能够是什么数？（3）a2 >a，则 a 能够是什么数？剖析：∵ a2 =a（a≥ 0），∴要填第一个空格能够依据这个结论，第二空格就不可以，应变形，使“（）2 ”中的数是正数，由于，当a≤0 时，22xHAQX74J0X ( a) ，那么≥ ．a = -a 0（ 1）依据结论求条件；（ 2）依据第二个填空的剖析，逆向思想；（ 3）依据（ 1）、（ 2）可知a2 =│ a │，而│ a│要大于 a，只有什么时候才能保证呢？a<0．LDAYtRyKfE解：（1）由于a2=a，所以a≥0；（ 2）由于a2 =-a ，所以 a≤ 0；（ 3）由于当 a≥ 0 时a2 =a，要使a2 >a，即便 a>a 所以 a 不存在；当 a<0 时，a2 =-a ，要使a2 >a，即便 -a>a ，a<0 综上， a<0Zzz6ZB2Ltk例 3 当 x>2，化简(x 2) 2 - (1 2x)2 ．剖析：( 略)五、概括小结本节课应掌握：a2 =a（ a≥ 0）及其运用，同时理解当a<0 时，a2 ＝－ a 的应用拓展．六、部署作业1．教材 P8习题 21． 13、 4、 6、 8．2．选作课时作业设计．3.课后作业 :《同步训练》第三课时作业设计一、选择题1．(2 1)2 ( 2 1)2 的值是（）．3 3A ． 02C． 42D ．以上都不对B．332 ． a≥0 时，a2 、( a)2 、 - a2 ，比较它们的结果，下边四个选项中正确的选项是（）．A ． a2 = ( a)2 ≥ - a2B ．a2 > ( a)2 >- a2C ．a2 < ( a)2 <- a2D ．- a2 > a2 = ( a)2二、填空题1 ． - 0.0004 =________．2．若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ________．三、综合提升题1．先化简再求值：当a=9 时，求 a+ 1 2a a2的值，甲乙两人的解答以下：甲的解答为：原式 =a+ (1 a) 2 =a+（ 1-a ） =1；乙的解答为：原式 =a+ (1 a) 2 =a+（ a-1 ） =2a-1=1 7．两种解答中， _______的解答是错误的，错误的原由是__________．2．若│ 1995-a │ + a 2000 =a，求a- 19952的值．（提示：先由a-200 0≥ 0，判断1995-a? 的值是正数仍是负数，去掉绝对值）3. 若-3 ≤ x≤ 2 时，试化简│ x-2 │+ (x 3)2 + x2 10x 25 。

人教版九年级数学上册《二十一章二次根式 21.1 二次根式》优质课教案_6

《二次根式》第1课时教案设计一、内容和内容解析1．内容二次根式的概念. 2．内容解析本节课是在学生学习了平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根，知道开方与乘方互为逆运算的基础上，来学习二次根式的概念. 它不仅是对前面所学知识的综合应用，也为后面学习二次根式的性质和四则运算打基础. 教材先设置了三个实际问题，这些问题的结果都可以表示成二次根式的形式，它们都表示一些正数的算术平方根，由此引出二次根式的定义. 再通过例1讨论了二次根式中被开方数字母的取值范围的问题，加深学生对二次根式的定义的理解. 本节课的教学重点是：了解二次根式的概念；二、目标和目标解析 1.教学目标（1）体会研究二次根式是实际的需要．（2）了解二次根式的概念． 2. 教学目标解析（1）学生能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系，体会研究二次根式的必要性．（2）学生能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，知道被开方数必须是非负数的理由，知道二次根式本身是一个非负数，会求二次根式中被开方数字母的取值范围．三、教学问题诊断分析对于二次根式的定义，应侧重让学生理解“的双重非负性，”即被开方数≥0是非负数，的算术平方根≥0也是非负数.教学时注意引导学生回忆在实数一章所学习的有关平方根的意义和特征，帮助学生理解这一要求，从而让学生得出二次根式成立的条件，并运用被开方数是非负数这一条件进行二次根式有意义的判断. 本节课的教学难点为：理解二次根式的双重非负性. 四、教学过程设计1．创设情境，提出问题问题1你能用带有根号的的式子填空吗？（1）面积为3 的正方形的边长为_______，面积为S 的正方形的边长为_______．（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130m?，则它的宽为______m．（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h =5t?，如果用含有h 的式子表示t ，则t= _____．师生活动：学生独立完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价. 【设计意图】让学生在填空过程中初步感知二次根式与实际生活的紧密联系，体会研究二次根式的必要性．问题2 上面得到的式子，，分别表示什么意义？它们有什么共同特征？师生活动：教师引导学生说出各式的意义，概括它们的共同特征：都表示一个非负数（包括字母或式子表示的非负数）的算术平方根．【设计意图】为概括二次根式的概念作铺垫．2．抽象概括，形成概念问题3 你能用一个式子表示一个非负数的算术平方根吗？师生活动：学生小组讨论，全班交流．教师由此给出二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．【设计意图】让学生体会由特殊到一般的过程，培养学生的概括能力．追问：在二次根式的概念中，为什么要强调“a≥0”？师生活动：教师引导学生讨论，知道二次根式被开方数必须是非负数的理由．【设计意图】进一步加深学生对二次根式被开方数必须是非负数的理解．3．辨析概念，应用巩固例1 当时怎样的实数时，在实数范围内有意义？师生活动:引导学生从概念出发进行思考，巩固学生对二次根式的被开方数为非负数的理解．例 2 当是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？师生活动:先让学生独立思考，再追问．【设计意图】在辨析中，加深学生对二次根式被开方数为非负数的理解．问题4你能比较与0的大小吗？师生活动：通过分和这两种情况的讨论，比较与0的大小，引导学生得出≥0的结论，强化学生对二次根式本身为非负数的理解，【设计意图】通过这一活动的设计，提高学生对所学知识的迁移能力和应用意识；培养学生分类讨论和归纳概括的能力. 4．综合运用，巩固提高练习1 完成教科书第3页的练习. 练习2当x 是什么实数时，下列各式有意义. （1）；（2）；（3）；（4）. 【设计意图】辨析二次根式的概念，确定二次根式有意义的条件. 【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维. 5．总结反思教师和学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题. （1）本节课你学到了哪一类新的式子？（2）二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？（3）二次根式与算术平方根有什么关系？师生活动：教师引导，学生小结. 【设计意图】：学生共同总结，互相取长补短，再一次突出本节课的学习重点，掌握解题方法. 6．布置作业：教科书习题16.1第1，3，5，7，10题．五、目标检测设计 1. 下列各式中，一定是二次根式的是（） A. B. C. D. 【设计意图】考查对二次根式概念的了解，要特别注意被开方数为非负数． 2. 当时，二次根式无意义．【设计意图】考查二次根式无意义的条件，即被开方数小于0，要注意审题． 3.当时，二次根式有最小值，其最小值是．【设计意图】本题主要考查二次根式被开方数是非负数的灵活运用． 4.对于，小红根据被开方数是非负数，得出的取值范围是≥．小慧认为还应考虑分母不为0的情况．你认为小慧的想法正确吗？试求出的取值范围．。

关于二次根式教案9篇

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二次根式教案篇1一、内容解析本节教材是在学生学习二次根式概念的基础上，结合二次根式的概念和算术平方根的概念，通过观察、归纳和思考得到二次根式的两个基本性质．对于二次根式的性质，教材没有直接从算术平方根的意义得到，而是考虑学生的年龄特征，先通过“探究”栏目中给出四个具体问题，让学生学生根据算术平方根的意义，就具体数字进行分析得出结果，再分析这些结果的共同特征，由特殊到一般地归纳出结论．基于以上分析，确定本节课的教学重点为：理解二次根式的性质．二、目标和目标解析1．教学目标（1）经历探索二次根式的性质的过程，并理解其意义；（2）会运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）了解代数式的概念．2．目标解析（1）学生能根据具体数字分析和算术平方根的意义，由特殊到一般地归纳出二次根式的性质，会用符号表述这一性质；（2）学生能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简；（3）学生能从已学过的各种式子中，体会其共同特点，得出代数式的概念．三、教学问题诊断分析二次根式的性质是二次根式化简和运算的重要基础．学生根据二次根式的概念和算术平方根的意义，由特殊到一般地得出二次根式的性质后，重在能灵活运用二次根式的性质进行二次根式的化简和解决一些综合性较强的问题．由于学生初次学习二次根式的性质，对二次根式性质的灵活运用存在一定的困难，突破这一难点需要教师精心设计好每一道习题，让学生在练习中进一步掌握二次根式的性质，培养其灵活运用的能力.本节课的教学难点为：二次根式性质的灵活运用.四、教学过程设计1．探究性质1问题1 你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个非负数的算术平方根的平方.问题2 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质1作铺垫．问题3 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）.【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质1，培养学生抽象概括的能力.例2 计算（1）（2）师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质1，学会灵活运用.2．探究性质2问题4 你能解释下列式子的含义吗？师生活动：教师引导学生说出每一个式子的含义．【设计意图】让学生初步感知，这些式子都表示一个数的平方的算术平方根.问题5 根据算术平方根的意义填空，并说出得到结论的依据.师生活动学生独立完成填空后，让学生展示其思维过程，说出得到结论的依据．【设计意图】学生通过计算或根据算术平方根的意义得出结论，为归纳二次根式的性质2作铺垫．问题6 从以上的结论中你能发现什么规律？你能用一个式子表示这个规律吗？师生活动：引导学生归纳得出二次根式的性质：（≥0）【设计意图】让学生经历从特殊到一般的过程，概括出二次根式的性质2，培养学生抽象概括的能力.例3 计算（1）（2）师生活动：学生独立完成，集体订正.【设计意图】巩固二次根式的性质2，学会灵活运用.3．归纳代数式的概念问题7 回顾我们学过的式子，如 ___________ （≥0），这些式子有哪些共同特征？师生活动：学生概括式子的共同特征，得得出代数式的概念.【设计意图】学生通过观察式子的共同特征，形成代数式的概念，培养学生的概括能力.4．综合运用（1）算一算：【设计意图】设计有一定综合性的题目，考查学生的灵活运用的能力，第（2）、（3）、（4）小题要特别注意结果的符号.（2）想一想：中，的取值范围是什么？当≥0时，等于多少？当时，又等于多少？【设计意图】通过此问题的设计，加深学生对的理解，开阔学生的视野，训练学生的思维.（3）谈一谈你对与的认识.【设计意图】加深学生对二次根式性质的理解.5．总结反思（1）你知道了二次根式的哪些性质？（2）运用二次根式性质进行化简需要注意什么？（3）请谈谈发现二次根式性质的思考过程？（4）想一想，到现在为止，你学习了哪几类字母表示数得到的式子？说说你对代数式的认识．6．布置作业：教科书习题16.1第2，4题.二次根式教案篇21.教学目标(1)经历二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质的形成过程;会进行简单的二次根式的乘法运算;(2)会用公式化简二次根式.2.目标解析(1)学生能通过计算发现规律并对其进行一般化的推广，得出乘法法则的内容;(2)学生能利用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质，化简二次根式.教学问题诊断分析本节课的学习中，学生在得出乘法法则和积的算术平方根的性质后，对于何时该选用何公式简化运算感到困难.运算习惯的养成与符号意识的养成、运算能力的形成紧密相关，由于该内容与以前学过的实数内容有较多的联系，例如，整式中的乘法公式在二次根式的运算中也成立，在教学中，要多从联系性上下力气.，培养学生良好的运算习惯.在教学时，通过实例运算，对于将一个二次根式化为最简二次根式，一般有两种情况：(1)如果被开方数是分数或分式(包括小数)，可以采用直接利用分式的性质，结合二次根式的性质进行化简(例见教科书例6解法1)，也可以先写成算术平方根的商的形式，再利用分式的性质处理分母的根号(例见教科书例6解法2);(2)如果被开方数不含分母，可以先将它分解因数或分解因式，然后吧开得尽方的因数或因式开出来，从而将式子化简.本节课的教学难点为：二次根式的性质及乘法法则的正确应用和二次根式的化简.教学过程设计1.复习引入，探究新知我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.问题1 什么叫二次根式?二次根式有哪些性质?师生活动学生回答。

第21章二次根式(教学案)(学生用)

21.1.1 二次根式⑴一、复习引入：班号姓名： 1、填空：⑴两直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长为；⑵已知反比例函数xy 3=，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是___________． ⑶面积为S 的正方形的边长是。

2、问题：你能通过上面的数据归纳出二次根式的概念吗？二、探究新知：3、阅读课本第2页[回顾]与[概括]部分的内容，并填空：⑴（0≥a ）；⑵二次根式概念：形如（0≥a ）的式子叫做二次根式，”称为。

4、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2，33，x1，x ()0>x ，0，2-，3- 答：是二次根式；不是二次根式。

5、二次根式应满足两个条件：⑴有；⑵被开方数是。

6、例：x 是怎样的实数时，下列的二次根式有意义；⑴1-x ； ⑵x 21-；⑶x 1； ⑷12+x 7、课时练习：课本第3页练习第2题。

8、问题：()2a 等于什么？⑴填空：()=24 ；()=29 ；()=225 。

⑵归纳：()=2a （a 0）⑶练一练：()=216 ；()=22 ；()=23 。

9、课时练习：课本第3页练习第1题。

三、课时小结：10、二次根式概念：形如的式子叫做二次根式，其中a 0。

11、()=2a （a 0）。

四、练习与作业：班号姓名： 1、下列根式中，不一定是二次根式的是（） A ．5 B ．3-π C ．2m D ．m2、在二次根式2-a 中，a 的取值范围是（）A ．2>aB ．2≥aC ．2<aD ．2≤a 3、使式子()21+-x 有意义的未知数x 的个数有（）A ．0B ．1C ．2D ．无数个 4、当x 时，12+x 是二次根式。

5、三角形的三边长分别为a 、b 、c 若()05432=-+-+-c b a ，则该三角形是三角形。

6、能使二次根式x 25-有意义的正整数是：。

7、计算：⑴()=25 ；⑵()=-23；⑶()=232 ；⑷()=-223 ； ⑸=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛232 ；⑹=⎪⎪⎭⎫⎝⎛2212 。

华师大版数学九年级上册21 二次根式教案与反思

第21章二次根式祸兮福之所倚，福兮祸之所伏。

《老子·五十八章》涵亚学校陈冠宇21.1 二次根式【知识与技能】1.理解二次根式的概念，并利用a（a≥0）的意义解答具体题目.2.理解a（a≥0）是非负数和(a)2=a.3.理解2a=a（a≥0）并利用它进行计算和化简.【过程与方法】1.提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题.2.通过复习二次根式的概念，用逻辑推理的方法推出a（a≥0）是一个非负数，用具体数据结合算术平方根的意义导出(a)2=a（a≥0），最后运用结论严谨解题.3.通过具体数据的解答，探究并利用这个结论解决具体问题.【情感态度】通过具体的数据体会从特殊到一般、分类的数学思想，理解二次根式的概念及二次根式的有关性质.【教学重点】1.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.2. a（a≥0）是一个非负数；(a)2=a（a≥0）及其运用.3.【教学难点】利用“a（a≥0）”解决具体问题.关键：用分类思想的方法导出a（a≥0）是一个非负数；用探究的方法导出一、情境导入，初步认识回顾：当a是正数时，a表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根.当a是零时，a等于0，它表示零的平方根，也叫做零的算术平方根.当a是负数时，a没有意义.【教学说明】通过对算术平方根的回顾引入二次根式的概念.二、思考探究，获取新知概括：a（a≥0）表示非负数a的算术平方根，也就是说，a（≥0）是一个非负数，它的平方等于a.即有：（1）a≥0；（2）(a)2=a（a≥0）.形如a（a≥0）的式子叫做二次根式.注意：在a中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数.思考：2a等于什么？我们不妨取a的一些值，如2，-2，3，-3等，分别计算对的2a的值，看看有什么规律.概括：当a≥0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.三、运用新知，深化理解1.x取什么实数时，下列各式有意义？2.计算下列各式的值：【教学说明】可由学生抢答完成，再由老师总结归纳.四、师生互动，课堂小结1.师生共回顾二次根式的概念及有关性质：（1）(a)2=a（a≥0）；（2）当a0时，2a=a；当a＜0时，2a=-a.2.通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流.【教学说明】教师引导学生回顾知识点，让学生大胆发言，进行知识提炼知识归纳.1.置作业：从教材相应练习和“习题21.1”中选取.2.完成《创优作业》中本课时练习的“课时作业”部分.本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.【素材积累】不要叹人生苦短，若把人一生的足迹连接起来，也是一条长长的路；把人一生的光阴装订起来，也是一本厚厚的书。