证明数列不等式之放缩技能及缩放在数列中的应用全套整合

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以数列为载体的不等式证明的放缩技巧

以数列为载体的不等式证明的放缩技巧
《放缩技巧证明不等式的应用》
放缩技巧证明不等式是一种非常有效的技巧，它通过对特定类型序列的外拓来证明不等式。

本文介绍了这种技巧的基本概念、原理和应用。

放缩技巧证明不等式的基本思想是：假定可以证明某一类数列中的不等式，若该数列中所
有项都乘以一个正数，则证明的不等式仍然仍然成立。

比如，当a_1、a_2、......、a_n都是正数时，可以证明a_1+ a_2+......+a_n<=a_1a_2a_3......a_n，由于对于所有非零正数c，ca_1、ca_2、......、ca_n也是正数，因此ca_1+ ca_2+......+ca_n<=ca_1ca_2ca_3......ca_n也一样成立。

放缩技巧证明不等式的基本步骤如下：首先，用等式来构造一个等式；其次，将等式乘以
一个正数；最后，将放大后的等式转换为不等式，证明它。

放缩技巧证明不等式有诸多功能，其中最重要的一个就是简化证明的步骤，并可以节省大
量时间。

同时，它还可以有效地避免所有复杂的证明过程，使我们更容易把握证明的思路。

最后，放缩技巧证明不等式还有助于解决复杂的数学问题。

从上述内容可以看出，放缩技巧证明不等式对于简化数学证明具有重要意义。

它不仅可以
帮助我们把握细节，同时还可以有效地节省时间。

随着我们在应用放缩技巧证明不等式方
面的技能不断提升，它会帮助我们解决更多复杂的数学问题，并带来更多知识和智慧。

放缩法证明数列不等式讲义

利用放缩法证明数列不等式讲义姓名班级放缩法的注意问题以及解题策略：1.对于“和式”数列不等式,若能够直接求和，则考虑先求和，再证不等式；若不能或很难求和，则可考虑使用放缩法证明不等式。

而对于“和式”数列不等式,放缩的最主要目的是通过放缩, 把原数列变为可求和、易求和的数列.2、明确放缩的方向：是放大还是缩小。

若要证明小于某值，则放大；若要证明大于某值，则缩小。

3、放缩的项数：不一定对所有项进行放缩，有时从第一项开始，或从第二项，或从第三项等开始。

4.常见的放缩方法有：增加(减少)某些项；增大(减少)分子(分母)；增大(减小)被开方数；增大(减小)底数(指数)；利用不等式的性质或重要不等式；利用函数的单调性等.5、放缩法的常见技巧及常见的放缩式：（1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） 1n n -<，21n n n >+-，111n n +->-，2(1)n n n n +>=（3）若,,a b m R +∈，则,a a a a m b b m b b +><+，11n n n n -<+，212221n n n n +>- （4）1111111112321111nn n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≤++⋅⋅⋅+=<+++++++或11111111123222222n n n n n n n n n +++⋅⋅⋅+≥++⋅⋅⋅+==+++ （5）111111123n n n n n n n+++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅+== （6）21111111(1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n-=<<=->++--（7）2)n<≥(9)<<<=（11）舍掉（或加进）一些项，如：121321||||||||(2)n n na a a a a a a a n--≤-+-++-≥(12)1112(21)212n n n n=---(13)1211222211(2)(21)(21)(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n nn n n n n n n n nn---=<==-≥---------⎛⎫=<==<6、常见的数列不等式大多与数列求和或求积有关，其基本结构形式有如下4种：①形如1niia k=<∑（k为常数）；②形如1()niia f n=<∑；③形如1()niia f n=<∏；④形如1niia k=<∏（k为常数）.途径1.放缩为等差等差⨯1，后用裂项，有些数列不一定从第一项就开始放缩例1：（1）求证：2131211222<++++n（2）求证：2222111171234n++++<途径2：放缩为等比数列，并不一定从第一项起就开始放缩。

数列放缩法技巧全总结

数列放缩法技巧全总结引言数列放缩法（Sequence Squeezing Method）是指在解决数学问题时，通过限制或放缩数列的取值范围，从而简化问题的求解过程。

数列放缩法是数学竞赛和高等数学中常见的一种技巧，本文将总结数列放缩法常用的技巧和应用场景。

1. 加减不等式放缩法加减不等式放缩法是通过对等式进行加减操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的加减不等式放缩技巧有如下几个：1.1. 约束条件加减法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行加减操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

1.2. 平方项加减法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行加减操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，对于a2+b2<2ab，可以将不等式变换为(a−b)2>0，从而得到更容易求解的形式。

1.3. 倒数项加减法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行加减操作，从而放缩不等式。

例如，在2ab<a2+b2中，可以将不等式变换为$\\frac{1}{a}+\\frac{1}{b} > \\frac{2}{a+b}$，从而得到更容易处理的形式。

2. 乘除不等式放缩法乘除不等式放缩法是通过对等式进行乘除操作，使得所得不等式比原来的不等式更易于求解。

常见的乘除不等式放缩技巧有如下几个：2.1. 约束条件乘除法设原不等式为A<B，通过针对不等式的约束条件进行乘除操作，将原不等式放缩为C<D。

常见的约束条件包括正整数、正实数等。

2.2. 平方项乘除法对于不等式中的平方项，可以通过改变平方项的系数进行乘除操作，从而得到一个更易于处理的不等式。

例如，在a2+b2<2ab中，可以将不等式变换为a2−2ab+b2<0，从而得到更容易求解的形式。

2.3. 倒数项乘除法对于不等式中的倒数项，可以通过改变倒数项的系数进行乘除操作，从而放缩不等式。

数列及函数不等式放缩如何一步到位

数列不等式与函数不等式
——如何放缩才能一步到位
数列不等式为高中数学的重点和难点，常出现在高考压轴题中，具有极高的思想性和技巧性。解决数列不等式的一般思想是进行合理地放缩，放缩后能够再运算是解决此类问题的重要原则。
熟记一些常见的放缩结论，掌握一些常见的放缩技巧很重要。在放缩过程中经常用到的方法有：积分（函数法）放缩、裂项放缩、对偶放缩、分类放缩、二项式定理放缩、等比放缩、切线放缩等等。
一、积分放缩
积分法即利用积分的几何意义进行放缩。
基本结论：
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n
nx
1 n 1 dx ln n ln( n 1)
n n1 x
1
n 1
1
dx 2
n
nx
x
| n 1 n
1
n1
dx 2
n n1 x
x
|n n 1
f (x) 1 或 1
x
(
1 2
1 31
)
（1 4
1 5
...
1 32
）
...
（3n11
1
1 3n1
2
...
1 3n
）
n段，每个括号都 5 ？
6
下证f
(n)
1 3n1 1
1 3n1 2
...
1 3n
5 6
1 n1 1 dx ln( n 1) ln n
n nx
1
1
1
1 3n1 2
1 3n1 3
1 3n 1
)
3n
1
5n 6
1 2
1 ... 3
1 3n
5n 6

证明数列不等式之放缩技巧及缩放在数列中的应用大全[精选.]

证明数列不等式之放缩技巧以及不等式缩放在数列中应用大全证明数列型不等式，其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧，充满思考性和挑战性。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，(2)12nn n +<. 证法一：令)6(2)2(≥+=n n n c nn ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++g 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<. 二、借助数列递推关系例2.已知12-=n n a .证明：()23111123n n N a a a *++++<∈L . 证明：nn n n n a a 121121212211211111⋅=-⋅=-<-=+++Θ， ∴32])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=-+n n n a a a a a a S Λ. 例3. 已知函数f(x)=52168xx+-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1) 试比较n a 与54的大小，并说明理由； (2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n－1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

高考亮点：放缩法与数列不等式

直击高考思想方法系列五高考亮点：放缩法与数列不等式对放缩法的准确把握，需要学生有较强的分析判断能力、探索问题、研究问题的能力，而这正是高考能力立意的宗旨。

也就成为考察学生数学素质的一个热点，成为近几年来的高考命题的一个亮点，下面借助几例探讨一下放缩法在数列不等式中的各种应用形式，供同学们参考。

一、构造“和”相消形式通过把一个数列的一项放缩为另一个数列的两项或几项，其和互相抵消，这样由繁到简，以达到证明目的，具体步骤如下：第一步将一般项裂项，即探索关系a n ≤b n -b n-k 或a n >b n -b n-k 等；第二步累加相消，再进一步放缩即得。

尤其要关注恒等式a n =a 1+(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a n -a n-1).例1 已知n ∈N ，求证：.311<∑=nk kk证: 当k≥2时，)111(2)1()1(21)1(221k k k k k k k k k k kk k k kk --=---=-+-<+=∑∑∑===<-=-+=--+<+=∴nk nk nk n n k k k k k k 221.323)11(21)111(21111此题的关键是发现式子).2)(111(21≥--<k kk k k 例2 （05北京）已知数列{a n }中, a 1=1, ),4,3,2(111⋯=+=--n a a a n n n（1）求a 2, a 3的值。

（2）证明当n=2,3,4,…时，.2312-≤<-n a n n 分析: 由111-+=-n n n a a a 可得221122122212+=-⇒+-+=--kk k k k k a a a a a a a 然后实施放缩。

证 : （1）当k=2,3,4,5…时，.2211)1(212212112+>+-+=+=----k k k k k k a a a a a a).,5,4,3,2(2312,23,2333,1,0),4,3,2(1,1,12,12)1(2)1(2)(,22121111112121212212212⋯=-≤<-∴-≤∴-=+-≤∴=≥>∴>∴⋯=+==->∴-=-+>∴->-=-∴>-----=--∑n n a n n a n a n a a a a a k a a a a n a n n a a n a a a a a a n n k k k k k k k n n nk k k kk k二、构造“积”相消的形式此种方法可类比和相消的形式，注意恒等式11223211a a a a a a a a a a n n n n n ⋅⋅⋅⋯⋅⋅=---，并加以灵活运用。

高考数学数列放缩法技巧全总结

高考数学备考之放缩技巧证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。

这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：一、裂项放缩例1.(1)求∑=-nk k12142的值; (2)求证:35112<∑=nk k.解析:(1)因为121121)12)(12(21422+--=+-=-n n n n n,所以122121114212+=+-=-∑=n n n k n k(2)因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk奇巧积累:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-<=1211212144441222n n n n n (2))1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n(3))2(111)1(1!11)!(!!11≥--=-<<⋅-=⋅=+r r r r r r n r n r n n C T r rrn r(4)25)1(123112111)11(<-++⨯+⨯++<+n n nn(5)nn nn 21121)12(21--=- (6)n n n -+<+221(7))1(21)1(2--<<-+n n nn n (8)n n n n n n n 2)32(12)12(1213211221⋅+-⋅+=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-(9)⎪⎭⎫⎝⎛++-+=+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1(10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11)21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n(11) )2(121121)12)(12(2)22)(12(2)12)(12(2)12(21112≥---=--=--<--=----n n n n n n n n n n n n n n(12) 111)1(1)1(1)1)(1(11123--+⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<⋅=n n n n n n n n n n n n(13) 3212132122)12(332)13(2221nn n n n n n n n <-⇒>-⇒>-⇒>⋅-=⋅=+(14) !)2(1!)1(1)!2()!1(!2+-+=+++++k k k k k k (15))2(1)1(1≥--<+n n n n n(15) 111)11)((1122222222<++++=+++--=-+-+j i j i j i j i j i j i j i例2.(1)求证:)2()12(2167)12(151311222≥-->-++++n n n(2)求证:n n 412141361161412-<++++(3)求证:1122642)12(531642531423121-+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅++⋅⋅⋅⋅+⋅⋅+n n n(4) 求证：)112(2131211)11(2-+<++++<-+n nn解析:(1)因为⎪⎭⎫⎝⎛+--=+->-12112121)12)(12(1)12(12n n n n n ,所以)12131(211)12131(211)12(112--+>+-+>-∑=n n i ni(2))111(41)1211(414136116141222n n n -+<+++=++++ (3)先运用分式放缩法证明出1212642)12(531+<⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅n nn ,再结合nn n -+<+221进行裂项,最后就可以得到答案(4)首先nn n n n++=-+>12)1(21,所以容易经过裂项得到nn 131211)11(2++++<-+再证21212121222)1212(21-++=-++=--+<n n n n n n n而由均值不等式知道这是显然成立的，所以)112(2131211-+<++++n n例3.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 解析: 一方面: 因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk另一方面: 1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n nn n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n nn n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n 例4.(2008年全国一卷)设函数()ln f x x x x =-.数列{}na 满足101a <<.1()n n af a +=.设1(1)b a ∈，，整数11ln a bk a b-≥.证明:1k ab+>.解析: 由数学归纳法可以证明{}na 是递增数列, 故若存在正整数k m ≤, 使ba m≥, 则ba ak k ≥>+1,若)(k m b am≤<,则由101<<≤<b a am 知0ln ln ln 11<<≤b a a a a am m m,∑=+-=-=km mm k k k k a a a a a a a 111ln ln ,因为)ln (ln 11b a k a akm m m<∑=,于是ba b a b a k a ak =-+≥+>+)(|ln |11111例5.已知mm m m m n S x N m n ++++=->∈+ 321,1,,,求证:1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n .解析:首先可以证明:nxx n+≥+1)1(∑=++++++++--=-++---+--=nk m m m m m m m m k k n n n n n 111111111])1([01)2()1()1( 所以要证1)1()1(11-+<+<++m n m n S m n 只要证:∑∑∑=+++++++++==++-+=-++--+-+=-+<+<--n k m m m m m m m m m nk m n k m m k k n n n n n k m k k 111111111111111])1[(2)1()1(1)1()1(])1([故只要证∑∑∑=++==++-+<+<--nk m m n k m n k m m k k k m k k 1111111])1[()1(])1([,即等价于mm m m m k k k m k k -+<+<--+++111)1()1()1(,即等价于11)11(11,)11(11++-<+-+<++m m kk m k k m 而正是成立的,所以原命题成立.例6.已知nnna 24-=,nnn a a a T +++=212,求证:23321<++++n T T T T .解析:)21(2)14(3421)21(241)41(4)222(444421321n nn n nnn T -+-=-----=+++-++++=所以123)2(22232234232323422234342)21(2)14(3422111111+⋅-⋅⋅=+⋅-⋅=-+=-+-=-+-=++++++n n nn n n n n n n n n n nnn T从而231211217131311231321<⎪⎭⎫ ⎝⎛---++-+-=+++++n n n T T T T例7.已知11=x ,⎩⎨⎧∈=-∈-==),2(1),12(Z k k n n Z k k n n x n ,求证:*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+证明: nnn n n n x x n n 222141141)12)(12(11424244122=⋅=>-=+-=+,因为 12++<n n n ,所以)1(2122214122n n n n nx x n n -+=++>>+所以*))(11(21114122454432N n n x x x x x x n n ∈-+>++⋅+⋅+二、函数放缩例8.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n n n ∈+-<++++ .解析:先构造函数有xx x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++cause⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n 31121219181716151413121313121 6533323279189936365111nn n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>---所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n n n 例9.求证:(1))2()1(212ln 33ln 22ln ,22≥+--<+++≥n n n n n n ααααααα解析:构造函数xxx f ln )(=,得到22ln ln nnn n ≤αα,再进行裂项)1(1111ln 222+-<-≤n n nn n ,求和后可以得到答案函数构造形式: 1ln -≤x x ,)2(1ln ≥-≤αααn n例10.求证:n n n 1211)1ln(113121+++<+<++++ 解析:提示:2ln 1ln 1ln 1211ln)1ln(++-++=⋅⋅-⋅+=+ n nn n n n n n n函数构造形式:xx x x 11ln ,ln -><当然本题的证明还可以运用积分放缩如图,取函数xx f 1)(=,首先:⎰-<nin ABCF x S 1,从而,)ln(ln |ln 11i n n x x i n n i n nin --==<⋅--⎰取1=i 有,)1ln(ln 1--<n n n,所以有2ln 21<,2ln 3ln 31-<,…,)1ln(ln 1--<n n n ,n n n ln )1ln(11-+<+,相加后可以得到:)1ln(113121+<++++n n 另一方面⎰->ni n ABDEx S 1,从而有)ln(ln |ln 11i n n x x i i n n i n nin --==>⋅---⎰取1=i 有,)1ln(ln 11-->-n n n ,所以有nn 1211)1ln(+++<+ ,所以综上有nn n 1211)1ln(113121+++<+<++++例11.求证:e n <+⋅⋅++)!11()!311)(!211( 和en <+⋅⋅++)311()8111)(911(2 .解析:构造函数后即可证明例12.求证:32)]1(1[)321()211(->++⋅⋅⨯+⋅⨯+n e n n解析:1)1(32]1)1(ln[++->++n n n n ,叠加之后就可以得到答案函数构造形式:)0(13)1ln(1)0(132)1ln(>+>++⇔>+->+x x x x x x x (加强命题)例13.证明:)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n解析:构造函数)1(1)1()1ln()(>+---=x x x x f ,求导,可以得到:12111)('--=--=x xx x f ,令0)('>x f 有21<<x ,令0)('<x f 有2>x ,所以0)2()(=≤f x f ,所以2)1ln(-≤-x x ,令12+=n x 有,1ln 22-≤n n所以211ln -≤+n n n ,所以)1*,(4)1(1ln 54ln 43ln 32ln >∈-<+++++n N n n n n n例14. 已知112111,(1).2n n n a a a n n +==+++证明2nae <.FE D C BAn-inyxO解析:nn n n n a n n a n n a )21)1(11(21))1(11(1+++<+++=+,然后两边取自然对数,可以得到nn n a n n a ln )21)1(11ln(ln 1++++<+然后运用x x <+)1ln(和裂项可以得到答案) 放缩思路：⇒+++≤+n nn a n n a )2111(21⇒++++≤+n nn a n n a ln )2111ln(ln 21nn n n a 211ln 2+++≤。

数列不等式放缩技巧

数列不等式放缩技巧何谓放缩？就是当要证明不等式A<B成立时，可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A放大成C，即A<C，后证C<B，这种证法便称为放缩法，简称放缩。

在高考数列不等式中，常常伴随着类似形式的不等式证明，这类式子无法通过求和化简或数学归纳法证明，然而通过适当的放缩技巧，却能快速使问题简单化。

【知识技巧】1、放缩的几种形式：①构造特殊数列求和进行放缩；技巧积累：(1)；(2)（3）(4)(5)(6)(7)②应用基本不等式或函数单调性放缩；③加强命题，转化为数学归纳法证明题（注意点：形式、方向、首项）。

2、放缩的注意事项①熟练掌握裂项技巧，如：，这类数列由于可以裂项求和，所以在证明不等式时，大可不必放缩；②放与缩要注意形式、方向和首项，要注意放缩度的把握。

③可以只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项）。

【例题讲解】1、通项公式的放缩1、（2013广东理）设数列的前项和为.已知,,.(Ⅰ) 求的值;(Ⅱ) 求数列的通项公式;(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有.2、求证:3、（2012广东理）设数列{an}的前n项和为Sn，满足，n∈N﹡,且a1，a2+5，a3成等差数列．（1）求a1的值；（2）求数列{an}的通项公式．（3）证明：对一切正整数n，有.2、递推式的放缩1、已知,求证:当时,2、已知数列满足：，．求证：证明：因为，所以与同号，又因为，所以，即，即．所以数列为递增数列，所以，即，累加得：．令，所以，两式相减得：，所以，所以，故得．3、加强命题1、数列中，，对任何，都有。

（1）求通项公式；（2）证明：对任何，4、利用不等式或函数放缩1.设,求证解析: 此数列的通项为，，即2、设，如图，已知直线及曲线：，上的点的横坐标为（）.从上的点作直线平行于轴，交直线于点，再从点作直线平行于轴，交曲线于点.的横坐标构成数列.（Ⅰ）试求与的关系，并求的通项公式；（Ⅱ）当时，证明；（Ⅲ）当时，证明.解析:（过程略）.证明（II）：由知，∵，∴.∵当时，，∴.证明（Ⅲ）：由知.∴恰表示阴影部分面积，显然④∴.【课后练习】1、（2014广东文）设各项为正数的数列的前和为,且满足(1)求的值;(2)求数列的通项公式;(3)证明:对一切正整数,有2、(2014新课标2理)已知数列满足=1，.（Ⅰ）证明是等比数列，并求的通项公式；（Ⅱ）证明：.3、已知,,求证:.4、已知数列中，。

浅谈数列不等式问题的放缩技巧

浅谈数列不等式问题的放缩技巧数列不等式问题是指利用数列中的数据进行推理的问题。

在解决这类问题时，放缩技巧是一种有用的方法。

放缩技巧是指在解决数列不等式问题时，通过对数列中的数据进行放大或缩小来推导结论的方法。

这种技巧可以帮助我们更好地理解问题，并找到更简单的解法。

例如，我们可以对数列中的数据进行放大，从而使问题更加简单。

例如，如果有一个数列{a1, a2,在解决数列不等式问题时，放缩技巧还可以用来缩小数据范围，从而使问题更容易解决。

例如，我们可以选择某些特殊的数列元素进行分析，而不是对整个数列进行分析。

这样，我们就可以避免处理过多的数据，使问题变得更加简单。

此外，我们还可以通过选择合适的数列元素来缩小数据范围，例如选择数列中最小的元素或最大的元素进行分析。

这样，我们就可以避免处理所有的数列元素，使问题变得更加简单。

总的来说，放缩技巧是一种有用的方法，可以帮助我们在解决数列不等式问题时更好地理解问题，并找到更简单的解法。

高考数学复习考点题型专题讲解12 数列中的不等式证明及放缩问题

高考数学复习考点题型专题讲解专题12 数列中的不等式证明及放缩问题数列中的不等式证明问题的常用放缩技巧(1)对1n2的放缩，根据不同的要求，大致有三种情况(下列n∈N*)：1 n2＜1n2－n＝1n－1－1n(n≥2)；1 n2＜1n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1n－1－1n＋1(n≥2)；1 n2＝44n2<44n2－1＝2⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1(n≥1).(2)对12n的放缩，根据不同的要求，大致有两种情况(下列n∈N*)：1 2n ＞1n＋n＋1＝n＋1－n(n≥1)；1 2n ＜1n＋n－1＝n－n－1(n≥1).类型一关于数列项的不等式证明(1)结合“累加”“累乘”“迭代”放缩；(2)利用二项式定理放缩；(3)利用基本不等式或不等式的性质；(4)转化为求最值、值域问题.例1 设正项数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋1a n(n ∈N *).求证：(1)2<a 2n ＋1－a 2n ≤3；(2)3n －13n －2≤a n ＋1a n ≤2n2n －1. 证明 (1)因为a 1＝1及a n ＋1＝a n ＋1a n(n ≥1)，所以a n ≥1，所以0＜1a 2n≤1.因为a 2n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n＋1a 2n ＋2，所以a 2n ＋1－a 2n ＝1a 2n＋2∈(2，3]，即2<a 2n ＋1－a 2n ≤3.(2)由(1)得2<a 22－a 21≤3，2<a 23－a 22≤3，2<a 24－a 23≤3，⋮2<a 2n ＋1－a 2n ≤3，故2n <a 2n ＋1－a 21≤3n ，所以2n ＋1<a 2n ＋1≤3n ＋1，即2n －1<a 2n ≤3n －2(n ≥2)，而n ＝1时，也满足2n －1≤a 2n ≤3n －2，所以2n －1≤a 2n ≤3n －2，所以a n ＋1a n ＝1＋1a 2n ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3n －13n －2，2n 2n －1.即3n －13n －2≤a n ＋1a n ≤2n 2n －1. 训练1(2022·天津模拟)已知数列{a n }满足a n ＝n n －1a n －1－13n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c 1＝12，c n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ＋1a k·c 2n ＋c n ，其中k 为一个给定的正整数，求证：当n ≤k 时，恒有c n <1. (1)解由已知可得：a n n ＝a n －1n －1－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n(n ≥2)，即a n n －a n －1n －1＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n，由累加法可求得a n n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a n n －a n －1n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a n －1n －1－a n －2n －2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22－a 11＋a 11 ＝－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n－13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1－…－13⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋49＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1，即a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ≥2)，又n ＝1时也成立，故a n ＝n ⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋1(n ∈N *).(2)证明由题意知c n ＋1＝1kc 2n ＋c n ，∴{c n }为递增数列， ∴只需证c k <1即可. 当k ＝1时，c 1＝12<1成立，当k ≥2时，c n ＋1＝1k c 2n ＋c n<1kc n c n ＋1＋c n ，即1c n ＋1－1c n>－1k，因此1c k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1c k －1c k －1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1c 2－1c 1＋1c 1>－k －1k ＋2＝k ＋1k ，∴c k <k k ＋1<1，∴当n ≤k 时，恒有c n <1. 类型二对求和结论进行放缩对于含有数列和的不等式，若数列的和易于求出，则一般采用先求和再放缩的策略证明不等式.例2 已知数列{a n }满足a 1＝2，(n ＋1)a n ＋1＝2(n ＋2)a n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 是数列{a n }的前n 项和，求证：S n ＜2a n . (1)解法一由题意得a n ＋1n ＋2＝2·a nn ＋1，又a 11＋1＝1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n ＋1是首项为1，公比为2的等比数列，所以a n n ＋1＝2n －1，所以a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *). 法二由题意得a n ＋1a n ＝2（n ＋2）n ＋1，所以a n a 1＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1＝2（n ＋1）n ·2n n －1·2（n －1）n －2·…·2×32＝(n ＋1)·2n －2.因为a 1＝2，所以a n ＝(n ＋1)·2n －1(n ∈N *).(2)证明因为a n ＝(n ＋1)·2n －1，所以S n ＝2×20＋3×21＋4×22＋…＋n ·2n －2＋(n ＋1)·2n －1，① 2S n ＝2×21＋3×22＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1＋(n ＋1)×2n ，② ②－①得S n ＝－2×20－(21＋22＋…＋2n －1)＋(n ＋1)×2n ＝n ·2n . 因为S n －2a n ＝n ·2n －(n ＋1)2n ＝－2n <0， ∴S n ＜2a n .训练2(2022·广州模拟)在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，－a n ＋1，a n ，a n ＋2成等差数列.等差数列{b n }满足b 1＝a 2＋1，2b 5－3b 2＝a 3－3. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1（2n ＋1）b n 的前n 项和为T n ，证明：T n <16.(1)解设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，因为－a n ＋1，a n ，a n ＋2成等差数列，所以2a n ＝a n ＋2－a n ＋1，所以2a n ＝a n ·q 2－a n ·q . 因为a n >0，所以q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)，又a 1＝2，所以a n ＝2n (n ∈N *). 设等差数列{b n }的公差为d ，由题意，得b 1＝a 2＋1＝5，由2b 5－3b 2＝a 3－3＝5，得2(b 1＋4d )－3(b 1＋d )＝－b 1＋5d ＝－5＋5d ＝5，解得d ＝2，所以b n ＝b 1＋(n －1)d ＝5＋2(n －1)＝2n ＋3(n ∈N *).(2)证明1（2n ＋1）b n ＝1（2n ＋1）（2n ＋3）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3，则T n ＝12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17⎦⎥⎤＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋3＝16－12（2n ＋3）.因为n ∈N *，所以12（2n ＋3）>0，所以T n <16.类型三对通项公式放缩后求和在解决与数列的和有关的不等式证明问题时，若不易求和，可根据项的结构特征进行放缩，转化为易求和数列来证明.例3(2022·济南模拟)在数列{a n }中，a 1＝2，2na n ＋1＝(n ＋1)·a n (n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a 2n16n 2－a 2n ，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <12.(1)解由题知2na n ＋1＝(n ＋1)a n ，所以a n ＋1n ＋1＝12×a n n ，a 11＝2，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n n 是首项为2，公比为12的等比数列，所以a n n ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝22－n ，所以a n＝n·22－n(n∈N*).(2)证明由(1)可知a n＝n·22－n，所以b n＝a2n16n2－a2n＝14n－1＝12n＋1×12n－1，根据指数增长的特征知，对任意n∈N*，2n≥2n恒成立，所以22n≥(2n)2，即4n≥4n2.所以14n－1≤14n2－1＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以b n≤12⎝⎛⎭⎪⎫12n－1－12n＋1，所以数列{b n}的前n项和T n ≤12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－12n＋1<12.训练3 已知数列{a n}的前n项和为S n，3a n＝2S n＋2n(n∈N*). (1)证明：数列{a n＋1}为等比数列，并求数列{a n}的前n项和S n，(2)设b n＝log3(a n＋1＋1)，证明：1b21＋1b22＋…＋1b2n<1.证明(1)∵3a n＝2S n＋2n，n∈N*，∴当n＝1时，3a1＝2S1＋2，解得a1＝2；当n≥2时，3a n－1＝2S n－1＋2(n－1)，两式相减得a n＝3a n－1＋2，∴a n＋1＝3(a n－1＋1)，即an＋1an－1＋1＝3，a1＋1＝3，∴数列{a n＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n＋1＝3n，则a n＝3n－1，∴S n＝3＋32＋…＋3n－n＝3（1－3n）1－3－n＝3n＋12－n－32.(2)b n＝log3(a n＋1＋1)＝log33n＋1＝n＋1，∵1b2n＝1（n＋1）2<1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴1b21＋1b22＋…＋1b2n<⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n－1n＋1＝1－1n＋1<1.类型四求和后利用函数的单调性证明数列不等式若所证的数列不等式中有等号，常考虑利用数列的单调性来证明. 例4 已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2a n－S n＝1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设b n＝an＋1（a n＋1－1）（a n＋2－1），数列{b n}的前n项和为T n，求证：23≤T n<1.(1)解已知2a n－S n＝1，令n＝1，解得a1＝1，当n≥2时，2a n－1－S n－1＝1(n∈N*)，两式相减得a n＝2a n－1，∴数列{a n}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n＝2n－1(n∈N*).(2)证明由(1)可得b n ＝an＋1（a n＋1－1）（a n＋2－1）＝2n（2n－1）（2n＋1－1）＝12n－1－12n＋1－1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1－123－1＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1. ∵⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1－12n ＋1－1是单调递增的数列， ∴1－12n ＋1－1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1.∴23≤T n <1. 训练4 已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列. (1)求使不等式a n ≥0成立的最大自然数n ；(2)记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前n 项和为T n ，求证：－1325≤T n ≤1225.(1)解由题意，可知a 211＝a 1·a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1·(a 1＋12d )， ∴d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，d ≠0，∴d ＝－2，∴a n ＝－2n ＋27， ∴－2n ＋27≥0，∴n ≤13.5，故满足题意的最大自然数为n ＝13. (2)证明1a n a n ＋1＝1（－2n ＋27）（－2n ＋25）＝－12⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25， ∴T n ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋1a 3a 4＋…＋1a n a n ＋1＝－12⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫125－123＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123－121＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1－2n ＋27－1－2n ＋25 ＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫125－1－2n ＋25 ＝－150＋150－4n .从而当n ≤12时，T n ＝－150＋150－4n单调递增，且T n >0；当n ≥13时，T n ＝－150＋150－4n单调递增，且T n <0， ∴T 13≤T n ≤T 12，由T 12＝1225，T 13＝－1325，∴－1325≤T n ≤1225.一、基本技能练1.已知数列{a n }是等差数列，且a 2＝3，a 4＝7，数列{b n }的前n 项和为S n ，且S n ＝1－12b n (n ∈N *).(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)记c n ＝a n b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <2. (1)解因为数列{a n }是等差数列，a 2＝3，a 4＝7，设数列{a n } 的公差为d ，则⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，a 1＋3d ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋2(n －1)＝2n －1(n ∈N *).对于数列{b n }，S n ＝1－12b n (n ∈N *)，当n ＝1时，b 1＝1－12b 1，解得b 1＝23；当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12b n －1，整理得b n ＝13b n －1，所以数列{b n }是首项为23，公比为13的等比数列，所以b n ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝23n (n ∈N *). (2)证明由题意得c n ＝a n b n ＝2（2n －1）3n ＝4n －23n ，所以数列{c n }的前n 项和T n ＝23＋632＋1033＋…＋4（n －1）－23n －1＋4n －23n ，则3T n ＝2＋63＋1032＋…＋4n －23n －1，两式相减可得2T n ＝2＋43＋432＋…＋43n －1－4n －23n ＝2＋4×13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －11－13－4n －23n＝4－4n ＋43n ，所以T n ＝2－2n ＋23n .所以T n <2.2.(2022·石家庄模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝3，a 2＝4，S n ＋1＋2S n －1＝3S n －2(n ≥2).(1)证明：数列{a n－2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；(2)记b n＝2n－1anan＋1，数列{b n}的前n项和为T n，证明：112≤T n<13.证明(1)当n≥2时，由S n＋1＋2S n－1＝3S n－2可变形为S n＋1－S n＝2(S n－S n－1)－2，即a n＋1＝2a n－2，即a n＋1－2＝2(a n－2)，所以an＋1－2an－2＝2(n≥2)，又因为a1＝3，a2＝4，可得a1－2＝1，a2－2＝2，所以a2－2a1－2＝2，所以数列{a n－2}是以1为首项，2为公比的等比数列，所以a n－2＝2n－1，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2＋2n－1(n∈N*).(2)由a n＝2＋2n－1，可得b n＝2n－1anan＋1＝2n－1（2＋2n－1）（2＋2n）＝12＋2n－1－12＋2n，所以T n＝b1＋b2＋b3＋…＋b n＝13－14＋14－16＋16－110＋…＋12＋2n－1－12＋2n＝13－12＋2n，因为12＋2n>0，所以13－12＋2n<13，即T n<13，又因为f(n)＝13－12＋2n，n∈N*，单调递增，所以T n≥b1＝1（2＋1）（2＋2）＝112，所以112≤T n <13.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n 2.(1)求{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足对任意的正整数n ，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n a n＝(n ＋1)2恒成立，求证：b n ≥4.(1)解因为S n ＝n 2＋n 2，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－（n －1）2＋（n －1）2＝n ，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1满足a n ＝n ，所以{a n }的通项公式为a n ＝n (n ∈N *). (2)证明因为b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n a n＝(n ＋1)2，所以当n ≥2时，b 1a 1·b 2a 2·b 3a 3·…·b n －1a n －1＝n 2，所以b n a n ＝（n ＋1）2n 2(n ≥2)，又n ＝1时，b 1a 1＝22＝4，满足b n a n ＝（n ＋1）2n 2，所以对任意正整数n ，b n a n ＝（n ＋1）2n 2，由(1)得，a n ＝n ，所以b n ＝（n ＋1）2n＝n 2＋2n ＋1n＝n ＋1n＋2≥2n ·1n＋2＝4，当且仅当n ＝1时，等号成立. 二、创新拓展练4.(2022·湖州质检)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，4S n ＝a n a n ＋1(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n4n ＋4<T n <12. (1)解∵4S n ＝a n a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2， ∴a 2＝4，当n ≥2时，4S n －1＝a n －1a n ，得4a n ＝a n a n ＋1－a n －1a n . 由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4，∴数列{a n }的奇数项与偶数项分别为等差数列，公差都为4， ∴a 2k －1＝2＋4(k －1)＝2(2k －1)，a 2k ＝4＋4(k －1)＝2·2k ，∴该数列是等差数列，首项为2，公差为2. 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明∵1a 2n ＝14n 2>14n （n ＋1）＝14⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n >14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝14⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋4.又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n<12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12.即得n4n ＋4<T n <12.。

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径

用放缩法证明数列不等式的几种类型和途径不等式的证明,尤其是利用放缩法证明不等式,很多学生感觉无从下手,教师也感觉教学成效不睬想.那个地址仅用放缩法证明数列不等式谈谈自己的观点,不妥的地方请同行指教.依照建构主义的观点,学生在学习时可将知识分成假设干模块,再对假设干模块进行学习,通过同化和顺应,将知变成自己的一部份.常见的放缩方式有:增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数,增大(减小)底数(指数),利用二式定理,利用不等式的性质或重要不等式,利用函数的性质等.关于“和式”数列不等式,假设能够直接求和，那么考虑先求和，再证不等式；假设不能或甚难求和，那么可虑利用放缩法证明不等式.而关于“和式”数列不等式,放缩的最要紧目的是通过放缩,把原数列变成可求和、易求和的数列.下面依如实施的途径分为以下五类进行讨论:径1:放缩为等差等差⨯1类.1.求证：2131211222<++++n 明：()n n n 113212111131211222-++⨯+⨯+<++++21211131212111<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=n n n注1：此题假设放缩为211211411122+--=-<n n n n ,那么可证明35131211222<++++n . 注2：⑴此类型的实质确实是通过放缩把原数列变成能够用“裂项法”求和的新数列，下面的几个例子并非必然放缩为等差等差⨯1.⑵此类型的特点是：通项的结构常与正整数的幂有关. 类不等式还有：81113121333<++++n（从第三项起放缩为：n n n n ⨯-⨯-<)1()2(113=))1(1)1)(2(1(21nn n n ----）注3：若第三项放缩为()()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-<11112111113n n n n n n n n，那么可证明45131211333<++++n . ⑵47!1!31!211<++++n （从第三项起放缩为()()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=⨯-⨯-<n n n n n n n n 1112121)1()2(1!1） ⑶()()12216712151311222+->-++++n n (n>1) (从第二项起放缩为：()()()⎪⎭⎫⎝⎛+--⋅=+->-12112121121211212n n n n n ，再累加可得) ⑷()()212125323114n 222n n n n <+-++⨯+⨯< (n>1)（从第一项起放缩为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=++<++=12112121141)12(2)22(2)1(42n n n n n n n n n ，再累加得：左式<中式=()<++<++)1(2)1(1222n n n n n n 右式） ⑸333221222<++++nn (n>1) (从第二项起放缩为：)1()1(21)1(2212-+-=-+-<+==n n n n n n n n n n n n n n n n=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=---n n n n n n 11121)1(2，再累加得：左侧<323<-n ) 途径2:放缩为等比类.例2.求证：3512112112112132<-++-+-+-n 证明：()1121741213,24712--⋅≤-→≥⋅≥-n nn n n ⎪⎭⎫⎝⎛++++<-++-+-+-∴-1232212174311121121121121n n35213521347234)211(7234=<=+<-+=n 例3.21)311()311)(311(2>---n证明1：利用不等式：假设),2,1(,10n i a i =<<, 则)(1)1()1)(1(2121n n a a a a a a +++->---那么有：2132121)311(211)313131(1)311()311)(311(22>⋅+=--=+++->---nn n n 证明2：利用3)n11(<+n (后面例8将证)原不等式231331331322<++⋅+⇐n n (真分数的性质) 2)311()311)(311(2<+++⇔n (*)现证(*)：nn n n ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++<+++⇔)311()311()311()311()311)(311(22 (均值不等式)n nn n n n n n )211()311(21131 (31)3112+<⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++< 2321121212<<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛+<nn 注：⑴此类型的实质确实是通过放缩把原数列变成能够用“错位相减法”求和的新数列（常常是等比数列），有的题例子并非严格是放缩为等比数列（犹如类不等式的⑷）.⑵此类型的放缩手法多样：能够简单地放大缩小分子分母（犹如类不等式的⑴），或利用重要的不等式（例3），或采纳固定的程式放缩（如例2，同类不等式的⑵、⑶）等. ⑶此类型的特点是：通项的结构常与正整数的指数式有关. 同类不等式还有：⑴5412112112112132<++++++++n (从第三项起放缩为：n n 21121<+) ⑵342312312312313322<-++-+-+-n n (∵)4(2232532≥>-⇒⋅>+n n n n n n ,∴从第四项起放缩为：221231+<-n n n )⑶23211211211211212222<++-+-+--n (∵123121-≥--n n ,∴从第一项起放缩为：12311211-≤--n n ). ⑷34131213513313132<--++-+-+-n n （从第二项起放缩为：n n n n 321312<--得：左34332343326521323634211132<+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛++++<++n n n n n n ） (从第一项起放缩为：途径3:放缩为(高阶)等差类. 例4.已知n n S n n a ,)1(sin+=π为其前n 项和.⑴求证:当20π≤<x 时,有x x x <<sin 2π; ⑵.1π<≤n S 证明：⑴用导数证明，略. ⑵()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+≤+<+⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∴≤+<11111sin 121112,2)1(0n n n n n n n n n n n n πππππππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-<<⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∴111312121111131212112n n S n n n πππ<≤⇒+-<<+-⇒n n S n S n 1)111()111(2 注：⑴此类型的实质确实是直接利用函数不等式进行放缩.至于何时利用此法，一是看不等式的结构，二是多数情形下题目要给出提示.⑵此类型的特点是：不等式的结构常与函数不等式有关. 常见函数不等式如下: ①)20(tan sin 2ππ<<<<<x x x x x ;②)0(sin 63><<-x x x x x ;③)0(2421cos 21422>+-<<-x x x x x ;④)20(3tan 3π<<+>x x x x ;⑤)0(21,12>++>+>x x x e x e xx ;⑥()02118212>+<+<-+x x x x x ; ⑦()()01ln 22><+<-x x x x x ;⑧()()时取等当且仅当0,11ln 1=->≤+≤+x x x x x x同类不等式还有：1.⑴求证：当x>-1时有：()()时取等当且仅当01ln 1=≤+≤+x x x x x； ⑵求证：()nn n 12111ln 113121+++<+<++++ . 证明：⑴由导数易证，略.⑵由⑴的结论：取nn n x 111ln n 111<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+=有：从而有：()n n n n n n n 1312111ln 34ln 23ln 12ln 11413121111ln 1131311ln 4121211ln 31111ln 21++++<+++++<+++++⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<⎪⎭⎫ ⎝⎛+<<+<n n n n 1312111342312ln 11413121++++<⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅<+++++ ，从而原不等式成立. 途径4:增大（减小）分子（分母）或被开方数放缩类.例5.求证： ()()22)1(322121+<+++⋅+⋅<+n n n n n n 证明：2141)1(22+=++<+<=n n n n n n n nn n n n ⨯++++<+++⋅+⋅<+++∴2121)1(322121()()22)1(322121+<+++•+•<+∴n n n n n n 例6.求证：)21614121(1)121513111(11nn n n ++++>-+++++ 证明：nn 21121,6151,4131,2121<-<<=nn 21614121)1215131(21++++>-++++∴ ① ∵21＞n21614121++++ ② ∴①+②得：121513111-++++n ＞)21614121(1nn n +++++ ⇒原不等式成立. 注：⑴此类型的放缩手法常见的有：增加(减少)某些项,增大(减少)分子(分母),增大(减小)被开方数等.⑵此类型的特点是：通项的结构常与正整数的分式、根式有关. 同类不等式还有：⑴2(11-+n )＜1+n13121+++ ＜2n (从第一项起放缩为：2()1(212112)1n n nn n n n n n +--=+-<<++=++-,再累加可得) ⑵121211121<+++++<nn n (由n n n n n n n n n 121`21,...,12121,11121<=<+<<+<累加可得)途径5:利用二项式定理放缩类.例7.求证：（1+11）（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞12+n证明一：原式⇔（1+11）2（1+31）2（1+51）2…（1+121-n ）2＞2n+1∵（1+121-n ）2=1+2)121(122-+-n n ＞1+1212122-+=-n n n ∴（1+11）2（1+31）2（1+51）2…（1+121-n ）2＞1212573513-+⋅⋅n n =2n+1∴原不等式成立.注1：⑴证明二,证明三别离见例9,例10.⑵也可用对偶式进行放缩：设A=122563412-⋅⋅n n ,B=nn 212674523+⋅⋅显然A ＞B,∴A 2＞AB=n n n n 21212245342312+⋅-⋅⋅⋅ =2n+112+>⇒n A例8.求证：2≤（1+n n)1＜3 (n ≥1)证明：nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11=C 0n +C 1n n 1+C nn n n n C n 1...122++≥C 0n +C 1n n 1=2nn ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11=C 0n +C 1n n 1+C nn n n n C n 1...122++ =1+1+n nn n n n n n n n n n n 1!123)...2)(1(1!3)2)(1(1!2)1(32⋅⋅⋅--++⋅--+⋅- ≤1+1+!1!31!21n +++ ≤2+nn )1(1321211-++⋅+⋅ =3-n1＜3 注2：此类型的特点是：不等式的结构常与二项式有关. 同类不等式还有：⑴①2n≥2n+2 (n ≥3);②2n≥222-+n n (n ≥2);③3n ≥(n+2)21-n (n ≥1)⑵（1+21）（1+51）（1+81）…（1+131-n ）＞2233+n (n ≥1) (从第一项起放缩为:1323133113113-+=-+>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+n n n n ) ⑶n 1+n ＞(n+1)n (n ≥3)（()1!!)!1(2)...1(!2)1(12112211n n n n n n n n n nn n C n C n C n C n n n n n nn n n n n n n n n+--++-++=+++++=+----- ≤1)!2(1!21!11+=⋅=+++++<+-++++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n ）⑷(1+n n )1＜(1+1)11++n n (n ≥1) 法一：(()()()1211121112111121121111122221++⋅+++=++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-≥++⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=++⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n =11332332323>++++++n n n n n n )（法二见途径6练习）途径6:利用均值不等式放缩类.例9.求证：（1+11）（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞12+n (前面例7之证明二)证明二:左侧=)1212()75)(53)(31(122642122563412+⋅-⋅⋅⋅+⋅⋅⋅=-⋅⋅n n n n n n >=+=⋅⋅+⋅⋅⋅=++-+⋅+⋅++⋅⋅⋅1226421226422)12()12(275253231122642n n n n n n n n 右边同类不等式还有:⑴)1(3221+++⋅+⋅n n ＜2)2(+n n (从第一项起放缩为:2122)1()1(+=++<+n n n n n ,再累加) ⑵n n>++++131211 (左>===⋅=⋅⋅⋅>⋅⋅⋅n nnn n n n n n n n n n n n n )1(11111312111 右边)⑶(1+n n )1＜(1+1)11++n n (n ≥1) （(1+nn)1=）途径7:利用数列单调性放缩类.这是证明数列不等式的一大类方式,即构造一个新的数列,通过判定其单调性来证明不等式,很多有关数列的不等式都能够用此法进行证明.常见的构造方式是作差或作商.例10.求证：（1+11）（1+31）（1+51）…（1+121-n ）＞12+n (前面例7之证明三)证明三:设12)1211()511)(311)(111(+-++++=n n a n则13844843212223212)1211(221>++++=+⋅++=++++=+n n n n n n n n n n a ann 从而13211>=>>>-a a a n n ,因此原不等式成立.注:⑴此例中的不等式是“积性的”,从而在构造新数列时作的是商;若是不等式是和性的,那么应考虑作差.⑵能用此法证明的不等式一样左右两边都要含有字母n,而且这时的不等式一样也能够采纳数归法. 如证明不等式: 1+221+231+…+21n ＜2-n 1,可设:)12()131211(222n n a n --++++= ,那么有0)1(1111)1(1221<+-=-+++=-+n n n n n a a n n 从而011=<<<↓⇒-a a a a n n n ,因此原不等式成立.。

数列不等式证明的十种放缩技巧

数列不等式证明的十种放缩技巧
数列不等式的证明是高中数学教学的重点和难点，也是历年高考考查的热点，虽然现在高考对数列考察的难度有所降低，但该类问题依旧是考察的重点．证明此类不等式最常用的手段是放缩策略，但放缩策略的思维跨度大、构造性强，除要求解题者时刻注意把握好放缩的“尺度”外，还需要具有较强的拆分组合能力，本文结合新课程介绍数列不等式证明中的十种放缩技巧，供师生参考．
用通项放缩技巧证明数列不等式的关键在于观察通项特征和所证结论，适当调整放缩幅度，做到放缩得恰到好处，同时还要做到放缩求和两兼顾．将不等式加强主要是为了方便使用数学归纳法证明不等式，加强不等式的形式有多种，解答时要注意观察不等式的结构，仔细推敲，大胆猜想，找出简洁合理的加强方式加以证明．。

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放缩法在数列不等式中的应用数列不等式是高考大纲在知识点交汇处命题精神的重要体现，在高考试题中占有重要地位，在近几年的高考试题中，多个省份都有所考查，甚至作为压轴题。

而数列不等式的求解常常用到放缩法，笔者在教学过程中发现学生在用放缩法处理此类问题时，普遍感到困难，找不到解题思路。

现就放缩法在数列不等式求解过程中常见的几种应用类型总结如下。

1.直接放缩，消项求解例1在数列中,,且成等差数列,成等比数列. {}{},n n a b 112,4a b ==1,,n n n a b a +11,,n n n b a b ++,*N n ∈（Ⅰ）求及,由此猜测的通项公式,并证明你的结论;234,,a a a 234,,b b b {}{},n n a b （Ⅱ）证明:.1122111512n n a b a b a b +++<+++ 分析：（Ⅰ）数学归纳法。

（Ⅱ）本小题的分母可化为不相同的两因式的乘积，可将其放缩为等差型两项之积，通过裂项求和。

（Ⅰ）略解．2(1)(1)n n a n n b n =+=+，（Ⅱ）．n ≥2时，由（Ⅰ）知．11115612a b =<+(1)(21)2(1)n n a b n n n n +=++>+故112211111111622334(1)n n a b a b a b n n ⎛⎫+++<++++ ⎪+++⨯⨯+⎝⎭……111111116223341n n ⎛⎫=+-+-++- ⎪+⎝⎭…，综上，原不等式成立． 111111562216412n ⎛⎫=+-<+= ⎪+⎝⎭点评：数列和式不等式中，若数列的通项为分式型，可考虑对其分母进行放缩，构造等差型因式之积。

再用裂项的方法求解。

另外，熟悉一些常用的放缩方法，如：,),,2,1(11121n k n k n n =+≤+≤nn n n n n n n n 111)1(11)1(11112--=-≤<+=+-例2设数列满足其中为实数{}n a *,1,1311N c c ca a a n n ∈-+==+c （Ⅰ）证明：对任意成立的充分必要条件是；[0,1]n a ∈*n N ∈[0,1]c ∈（Ⅱ）设，证明：;103c <<1*1(3),n n a c n N -≥-∈分析：（Ⅰ）数学归纳法证明（Ⅱ）结论可变形为，即不等式右边为一等比1)3(1-≤-n n c a 数列通项形式，化归思路为对用放缩法构造等比型递推数列，n a -1即)1(3)1)(1(112111-----≤++-=-n n n n n a c a a a c a 解：（Ⅰ）解略。

放缩法证明数列不等式[巧用放缩法解数列不等式]

放缩法证明数列不等式[巧用放缩法解数列不等式]不等式与数列的结合问题，既是中学数学教学的重点、难点，也是高考的热点．近年来的高考中，屡屡出现不等式与数列结合的证明问题．笔者通过分析，发现对这类问题的处理方法中，以放缩法较为常用，其放缩的目标一般是转化为特殊数列（利用特殊数列的可求和，可求积性质解决问题）．下面例谈借用“放缩”转化为特殊数列求和的一些技巧与策略．?1 通过“放缩”转化为等差等比数列求和?例1求证：11+11×2+11×2×3+…+1n!＜2.?证明：因为 1n!＜11×2×2×…×2=12??n-1?.?所以 11+11×2+11×2×3+…+1n!＜?11+12+12?2+…+12??n-1?=?1-(12)?n1-12=2-12??n-1?＜2.?例2 若n∈N?*，求证：1×2+2×3+…+n(n+1)＜(n+1)?22.?证明：因为 n(n+1)＜?n+n+12=2n+12.?所以 1×2+2×3+…+n(n+1)＜32+52+…+2n+12=n(3+2n+1)22=n(n+2)2=n?2+2n2＜(n+1)?22.?评析：观察数列的构成规律，采用通项放缩的技巧把一般数列转化成等差等比数列，从而利用求和达到简化证题的目的．?例3 （xx浙江卷21题）已知数列{a?n}中的相邻两项a??2k-1?,a??2k?是关于x的方程 x?2-(3k+2?k)x+3k×2?k=0的两个根，且a??2k-1?≤2??2k? (k=1,2,3,…). (Ⅰ) 求a?1,a?2,a?3,a?7;?(Ⅱ) 求数列{a?n}的前2n项和S??2n?；?（Ⅲ）记f(n)=12(|?sin?n|?sin?n+3)，T?n=(-1)??f(2)?a?1a?2+(-1)??f(3)?a?3a?4+(-1)??f(4)?a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?，求证：16≤T?n≤524 (n∈N?*).?解：（Ⅰ) a?1=2; a?3=4; a?5=8时；a?7=12.?(Ⅱ) S??2n?=a?1+a?2+…+a??2n?=3n?2+3n2+2??n+1?-2.?证明：（Ⅲ) T?n=1a?1a?2+1a?3a?4-1a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?, 所以 ?T?1=1a?1a?2=16，T?2=1a?1a?2+1a?3a?4=524.?当 n≥3时，?T?n=16+1a?3a?4-1a?5a?6+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?≥?16+1a?3a?4-(1a?5a?6+…+1a??2n-1?a??2n?)≥?16+16×2?2-16(12?3+…+12?n)=?16+16×2?n＞16,?同时，T?n=524-1a?5a?6-1a?7a?8+…+(-1)??f(n+1)?a??2n-1?a??2n?≤?524-1a?5a?6+(1a?1a?2+…+1a??2n-1?a??2n?)≤?524-19×2?3+19(12?1+…+12?n)=?524-19×2?n＜524.?综上，当n∈N?*时，16≤T?n≤524．?评析：此题第三小题中，通过观察结构特点，选择适当的放缩目标，把问题转化到求等比数列的和，从而能够判断大小．?2 通过“放缩”转化为用裂项相消求和?例4 求证：11?2+12?2+13?2+…+1n?2＜2.?证明：因为 1n?2＜1n(n-1)=1n-1-1n，?所以 11?2+12?2+13?2+…+1n?2＜1+1-12+12-13+…+1n-1-1n=2-1n＜2.?评析：观察数列的构成规律，可以看成一个数列a?n=1n?2的前n项和，直接求此数列和较困难，但是可通过不等式1n?2＜1n(n-1)=1n-1-1n，放大后，成易可求和数列．?例5 （xx全国卷22题）设数列a?n的前n项的和S?n=43a?n-13×2??n+1?+23,n=1,2,3,…?(1) 求首项a?1与通项a?n;?(2) 设 T?n=2?nS?n,n=1,2,3,…,?证明:∑ni=1T?i＜32.?解：（1） a?n=4?n-2?2;?(2) 将a?n=4?n-2?2代入S?n=?43a?n-13×2??n+1?+23，n=1,2,3,…，得：?S?n=23×(2??n+1?-1)(2?n-1),?T?n=2?nS?n=32×2?n(2?n-1)(2??n+1?-1)=?32×(12?n-1-12??n+1?-1).?所以∑ni=1T?i=32∑ni=1(12?i-1-12??i+1?-1)=?32×(12?1-1-12??n+1?-1)＜32.?评析：本题利用裂项相消的方法，把32×2?n(2?n-1)(2??n+1?-1)分裂成32×(12?n-1-12??n+1?-1)，从而可求和，再利用放缩技巧证明．?3 通过“放缩”转化为特殊数列求积?例6 （xx全国卷20题）已知函数f(x)=x?3+x?2，图1数列{x?n| (x?n)＞0}的第一项x?1=1，以后各项按如下方式取定：曲线y=f(x)在(x??n+1?,f(x??n+1?))处的切线与经过（0，0）和（x?n,f(x?n))两点的直线平行（如图1），求证：当n∈N?*时，（Ⅰ) x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?;?(Ⅱ) (12)??n-1?≤x?n≤(12)??n-2?.?证明：（Ⅰ) 因为 f′(x)=3x?2+2x,?所以曲线 y=f(x)在(x??n+1?,f(x??n+1?))处的切线斜率k??n+1?=3x?2??n+1?+2x??n+1?,?因为过（0，0）和（x?n,f(x?n))两点的直线斜率是x?2?n+x?n，所以 x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?.?(Ⅱ) 因为函数h(x)=x?2+x，当x＞0时单调递增，而x?2?n+x?n=3x?2??n+1?+2x??n+1?≤4x?2??n+1?+2x??n+1?=(x??n+1?)?2+2x??n+1?，所以 x?n≤2x??n+1?，即 x??n+1?x?n≥12，?因此，x?n=x?nx??n-1??x??n-1?x??n-2??…?x?2x?1≥(12)??n-1?.?又因为 x?2?n+x?n≥2(x?2??n+1?+x??n+1?)，?令 y?n=x?2?n+x?n，则 y??n+1?y?n≤12．?因为 y?1=x?2?1+x?1=2，?所以 y?n≤(12)??n-1??y?1=(12)??n-2?,?因此 x?n≤x?2?n+x?n≤(12)??n-2?,?故 (12)??n-1?≤x?n≤(12)??n-2?.?评析：本题第（Ⅱ)问的证明过程中，利用?x??n+1?x?n≥12，将数列x?n转化为x?n=x?nx??n-1??x??n-1?x??n-2??…?x?2x?1，从而变成可求积的问题．?用放缩法解决不等式与数列结合的证明问题一直是个重点、难点，近几年高考题中，大多以较难题的形式出现．因此如何突破这个难点，成为一个重要的内容．笔者认为，关键在于如何恰当选择放缩目标（如果是求和，求积类问题放缩的目标应是使得数列变成易求和，易求积问题）．本文为全文原貌未安装PDF浏览器用户请先下载安装原版全文内容仅供参考。

数列不等式的放缩与导数不等式的证明

数列不等式的放缩与导数不等式的证明一、数列不等式的放缩1.假设法：假设数列的每一项满足其中一条件，通过推导得到结论。

2.数学归纳法：采用数学归纳法来证明数列不等式，即证明当n=k时不等式成立，然后证明当n=k+1时不等式也成立。

3.应用数学方法和技巧：通过使用数学方法和技巧，如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等，对数列不等式进行放缩。

例如，我们考虑数列 a1，a2，...，an，其中 ai > 0（i=1,2,...,n），证明以下不等式成立：（a1 + a2 + … + an）/n ≥ √(a1a2…an)证明：我们使用均值不等式来放缩。

根据均值不等式，有：(a1 + a2 + … + an)/n ≥ √(a1a2…an)即证明得到结论。

导数不等式是通过研究函数的导数，来证明函数的不等式性质。

常用的方法有以下几种：1.函数的单调性：通过研究函数的单调性来证明函数不等式，即证明函数在一些区间内是单调递增或单调递减的。

2.极值点与函数的变化趋势：通过研究函数的极值点和极限，来推导函数的不等式性质。

3.利用导数的性质：通过应用导数的性质，如凹凸性、拐点等，来证明函数的不等式。

例如，我们考虑函数f(x)=x^2，证明以下不等式成立：f(b)-f(a)≥(b-a)(f(b)+f(a))/2证明：首先我们求出函数f(x)的导数f'(x)=2x。

由于f'(x)是正值，因此f(x)是单调递增的。

根据函数f(x)的单调性，对于任意的a<b，有f(b)-f(a)≥0。

同时，由于f(x)是凹函数，根据凹函数的性质，有：f(t)≤f(a)+(t-a)f'(a)f(u)≤f(b)+(u-b)f'(b)其中a<t<b<u。

将两个不等式相加，得到：f(t)+f(u)≤f(a)+f(b)+(t-a)f'(a)+(u-b)f'(b)将f(t)+f(u)替换为2f((t+u)/2)，得到：2f((t+u)/2)≤f(a)+f(b)+(t-a)f'(a)+(u-b)f'(b)即证明得到结论。

放缩法在数列不等式中的应用

解题篇创新题追根溯源
高二使用 2020 年 4 月
放缩法在数列不等式中的应用
■ 浙江省杭州市塘栖中学
在数列与不等式综合性问题中数列不等
力于一题,
这类问题一般与数列求和有关,
具
(
1)求证:
Sn <
类问题最常用的方法之一,
下面举例说明。
Sn
(
2)求证: <
n+1
=
=
2
2
4
n(
n+2)
Tn =
1
1 1 1 1 1
1
1
1- 2 + 2 - 2 + 2 - 2 +…+ 2 2
1
6
3 2 4 3 5
n (
n+2)
1
1
1
1
=
1+ 2 22
(
1
6
2
n+1) (
n+2)
1
1
5
<
1+ 2 = 。
1
6
6
4
2
说明:
本题中的数列{
bn }的前 n 项和为
结合式中结构,
可用裂项相消法求和。当
Tn ,
数列的前n 项和可以求得时,
一般先求和后放
缩证明数列不等式,
即求和后恰当放缩成欲证
的不等式,
这种放缩法在高考中最为常见。
2
2
S3 + …
S1 + S2 +
2
(
证明:
1)在条件中,令 n=1,得 a1 +a1

数列不等式证明中的放缩程度的调整与控制一

数列不等式证明中的放缩程度的调整与控制一
在数列不等式的证明中，同学们确实使用了某种方法或某个放缩策略，但还是超过了证明所给定的界限。

这就涉及到一个问题——数列不等式放缩量的调整与控制。

当我们找到了一条较为合理的放缩路径后，但是放缩的结果还是超出了给定的界限，我们往往采取以下两种调控手段：第一、保持原来的放缩路径，前面保留若干项的原值，从其后项开始放缩；第二、调整放缩路径，控制放缩的程度，从而提高放缩的精度。

本书从学生的视角，以课堂评析的行文方式，通过将数列不等式证明问题在方法领域上的分解，系统地论述了数列不等式证明的知识、方法、策略和思想。

在具体问题的解析上，不是直接告诉学生这个问题这样做，更多的是我们是怎样想到的，我们为什么这样想，追求思维的自然生成，以及与学生共同经历解决问题的过程。

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这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩. 一、利用数列的单调性例1．证明：当Z n n ∈≥,6时，(2)12nn n +<. 证法一：令)6(2)2(≥+=n n n c nn ，则0232)2(2)3)(1(1211<-=+-++=-+++n n n n n n n n n n c c , 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，66831.644n c c ⨯≤==< 于是当6n ≥时，2(2)1.2n n +< 证法二：可用数学归纳法证.(1)当n = 6时，66(62)48312644⨯+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即(2)1.2kk k +< 则当n =k +1时，1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)1.222(2)(2)2k kk k k k k k k k k k k k++++++++=⨯<<++ 由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2(1)12n n +<. 二、借助数列递推关系例 2.已知12-=n n a .证明：()23111123n n N a a a *++++<∈. 证明：nn n n n a a 121121************⋅=-⋅=-<-=+++， ∴32])21(1[321)21(...12111112122132<-⋅=⋅++⋅+<+++=-+n n n a a a a a a S . 例3. 已知函数f(x)=52168xx +-，设正项数列{}n a 满足1a =l ，()1n n a f a +=．(1) 试比较n a 与54的大小，并说明理由；(2) 设数列{}n b 满足n b =54－n a ，记S n =1ni i b =∑．证明：当n ≥2时,S n ＜14(2n －1)．分析：比较大小常用的办法是作差法，而求和式的不等式常用的办法是放缩法。

解：(1) 因为10,0,n n a a +>>所以1680,0 2.n n a a -><<15548()52553444168432(2)22n n n n n n na a a a a a a +--+-=-==⋅---,因为20,n a ->所以154n a +-与54n a -同号，因为151044a -=-<，250,4a -<350,4a -<…，50,4n a -<即5.4n a <（2）当2n ≥时，1111531531()422422n n n n n n b a a b a a ----=-=⋅⋅-=⋅⋅--113125224n n b b --<⋅⋅=-，所以2131212222n n n n n b b b b ----<⋅<⋅<<=，所以3121(12)11114(21)422124n nn n n S b b b --⎛⎫=+++<++⋅⋅⋅+==- ⎪-⎝⎭.例4. 已知不等式],[log 21131212n n >+++ 其中n 为不大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数。

设数列{}n a 的各项为正且满足111),0(--+≤>=n n n a n na a b b a )2≥n （.证明：][log 222n b ba n +<， 5,4,3=n .证明：由11--+≤n n n a n na a 得：n a a n n 1111+≥-, n a a n n 1111≥-∴- )2(≥n , 111121-≥---n a a n n ,… ,211112≥-a a , 以上各式两边分别相加得：21111111++-+≥- n n a a n ， 2111111++-++≥∴n n b a n ][log 2112n b +>=bn b 2][log 22+， ∴ ][log 222n b ba n +<)3(≥n .三、裂项放缩例5.求证:35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n解析:因为⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=-=-<12112121444111222n n n n n ,所以35321121121513121112=+<⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++-+<∑=n n knk 又1111)1(143132111914112+=+-=+++⨯+⨯+>++++n n n n n n当3≥n 时,)12)(1(61++>+n n n n n ,当1=n 时,2191411)12)(1(6n n n n ++++=++ ,当2=n 时,2191411)12)(1(6nn n n ++++<++ ,所以综上有35191411)12)(1(62<++++≤++n n n n .例6.已知21n n a =+，()12x f x -=，求证：()()()121126n n T b f b f b f n =+++<．证明：由于()()()()()()()11111212111111222212121212121n n n n n n n n n n b f n +-++++-+⎛⎫=⋅=⋅=- ⎪++++++⎝⎭()()()1222311111111122121212122121n n n n T b f b f b f n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭．例7. 已知x x x f +=2)(，数列{}n a 的首项)(,2111n n a f a a ==+. (1) 求证：nn a a >+1；(2) 求证：6n ≥时2112111111<++++++<na a a .证明：⑴ n n n a a a +=+21，∵211=a ，∴n a a a ,,32都大于0，∴02>n a ，∴n n a a >+1. （2）nn n n n n n a a a a a a a +-=+=+=+111)1(11121，∴11111+-=+n n n a a a .故 11113221211211111*********+++-=-=-++-+-=++++++n n n n n a a a a a a a a a a a a ∵4321)21(22=+=a ,143)43(23>+=a ,又∵n n a a n >≥+12，∴131>≥+a a n .∴21211<-<+n a , ∴2111111121<++++++<na a a . 四、分类放缩例8.当,3Z n n ∈≥，时，求证:21214131211nn >-+⋅⋅⋅++++证明:当21==n n ，时不等式显然成立.）（）（）（n n n n 2121212121212121212111214131211333322+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++++++++>-+⋅⋅⋅++++2n >. 例9. 已知22[2(1)]3n n n a -=--.证明：对任意整数4>m ，有8711154<+++m a a a . 分析：不等式左边很复杂，要设法对左边的项进行适当放缩，使之能够求和。

而左边=232451113111[]221212(1)m mm a a a -+++=+++-+--，如果我们把上式中的分母中的1±去掉，就可利用等比数列的前n 项公式求和，由于-1与1交错出现，容易想到将式中两项两项地合并起来一起进行放缩，尝试知：32322121121121+>++-，43432121121121+<-++，因此，可将1212-保留，再将后面的项两两组合后放缩，即可求和。

这里需要对m 进行分类讨论，（1）当m 为偶数)4(>m 时，m a a a 11154+++ )11()11(11654m m a a a a a +++++=- )212121(2321243-++++<m )211(4123214--⨯+=m 8321+<87= （2）当m 是奇数)4(>m 时，1+m 为偶数，8711111111165454<+++++<++++m m m a a a a a a a a . 所以对任意整数4>m ，有m a a a 11154+++ 87<。

五、利用函数单调性（导数）放缩例10. 已知函数()()ln 1f x x x =-+,数列{}n a 满足101a <<, ()1n n a f a +=; 数列{}n b 满足1111,(1)22n n b b n b+=≥+, *n N ∈.求证: （Ⅰ）101;n n a a +<<<（Ⅱ）21;2n n a a +<（Ⅲ）若12a =则当n ≥2时,!n n b a n >⋅.分析：第（1）问用数学归纳法证明；第（2）问利用函数的单调性；第（3）问进行放缩。

证明：(Ⅰ)先用数学归纳法证明01n a <<,*n N ∈.（1）当n=1时,由已知得结论成立；（2）假设当n=k 时,结论成立,即01k a <<.则当n=k+1时, 因为0<x<1时,1()1011x f x x x '=-=>++,所以f(x)在(0,1)上是增函数. 又f(x)在[]0,1上连续,所以f(0)<f(k a )<f(1),即0<11ln 21k a +<-<. 故当n=k+1时,结论也成立. 即01n a <<对于一切正整数都成立.又由01n a <<, 得()1ln 1ln(1)0n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<,从而1n n a a +<. 综上可知10 1.n n a a +<<<(Ⅱ)构造函数g(x)=22x -f(x)=2ln(1)2x x x ++-, 0<x<1, 由2()01x g x x '=>+,知g(x)在(0,1)上增函数. 又g(x)在[]0,1上连续,所以g(x)>g(0)=0. 因为01n a <<,所以()0n g a >,即()22n n a f a ->0,从而21.2n n a a +< (Ⅲ) 因为 1111,(1)22n n b b n b +=≥+,所以0n b >,1n nbb +12n +≥ ,所以1211211!2n n n n n n b b b b b n b b b ---=⋅⋅≥⋅ ————① 由(Ⅱ)21,2n n a a +<知:12n n n a a a +<, 所以1n aa =31212121222nn n a a a a a aa a a --⋅< , 因为12a =, n ≥2, 10 1.n n a a +<<< 所以 n a 1121222n a a aa -<⋅<112n n a -<2122n a ⋅=12n ————②由①② 两式可知: !n n b a n >⋅.例11.求证：)(665333ln 44ln 33ln 22ln *N n n n nn∈+-<++++ . 证明:先构造函数有xx x x x 11ln 1ln -≤⇒-≤,从而)313121(1333ln 44ln 33ln 22ln n n n n +++--<++++因为⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++n n n n311212191817161514131213131216533323279189936365111n n n n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++>--- 所以6653651333ln 44ln 33ln 22ln +-=--<++++n n n n nn高考中利用放缩方法证明不等式，文科涉及较少，但理科却常常出现，且多是在压轴题中出现。