高考数学考前专题复习篇 专题一 数学思想与方法 分类讨论思想1-2 课件
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§2 分类讨论思想 方法解读
1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原 问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各 个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化 解题思路，降低问题难度．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
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变式训练 2 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0(n ＝1,2,3，…)．
(1)求 q 的取值范围； (2)设 bn＝an＋2－23an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较
Sn 与 Tn 的大小．
解 (1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得 a1＝S1＞0，q≠0，
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二、根据运算需要分类
例 2 已知在等比数列{an}中，a1＝1， Sn 是其前 n 项和， 且 ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)试判断 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列， 并说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋1＝qk， ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1， 依题意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1 ＝0，解得 q＝1 或 q＝－12. (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2 ＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3， 故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构精成品课等件差数列；
数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指
数函数 y＝ax 及其反函数 y＝logax 中底数 a＞1 及 a＜1 对 函数单调性的影响；⑦等比数列前 n 项和公式中 q＝1 与
q≠1 的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负
数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系
的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否
综上所述：当 q＝1 时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列； 当 q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比 如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不等式中的恒等变 形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底 数是否大于 1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等， 如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．
综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由 bn＝an＋2－32an＋1，得 bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn， 于是 Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)． 又因为 Sn＞0 且－1＜q＜0 或 q＞0，所以当－1＜q＜－21或
存在．
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4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象 确定讨论的全体
选择分类的标准
逐类进行讨论 获得初步结果
归纳整合 写出结论
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分类突破
一、根据概念分类 例 1 若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，则
实数 a 的取值范围是___a_＞__1__． 解析 设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a.则函 数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y ＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个
当 q＝1 时，Sn＝na1＞0； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＞0，
即1wk.baidu.com－－qqn＞0(n＝1,2,3，…)，
上式等价于①11－－qq＜n＜00
(n＝1,2,3，…) 精品课件
或②11－－qq＞n＞00 (n＝1,2,3，…)
解①式得 q＞1；
解②式，由于 n 可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1.
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3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：
①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根
的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数 y＝kx(x≠0)的反比例系数 k，正比例
函数 y＝kx 的比例系数 k，一次函数 y＝kx＋b 的斜率 k
与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数 y＝xa 的幂指
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整地解决问题．
变式训练 1 设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，比较loga (1－x)与 loga (1＋x)的大小． 解 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当 0＜a＜1 时，loga (1－x)＞0，loga (1＋x)＜0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝loga (1－x)－[－loga (1＋x)]＝loga (1－x2)＞0； ②当 a＞1 时，loga (1－x)＜0，loga (1＋x)＞0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝－loga (1－x)－loga (1＋x)＝－loga (1－x2)＞0. 由①②可知，loga (1－x)＞loga (1＋x).
当
q＝－12时，Sk＋1＝1－1－－－1212k＋
1
＝231－－21k＋1，
同理可得 Sk＋2＝231－－21k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，
于是 Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－21k＋2
＝232－－21k＋1－－12k＋2＝341－－12k＋3＝2Sk＋3，
所以 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
交点．由图象可知，当 0＜a＜1 时，两函数只有一个交 点，不符合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象 过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 的图象与 y 轴的交点一定在 点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数 a 的取
值范围是 a＞1. 归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直 线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有 关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完
1．分类讨论思想就是将一个复杂的数学问题分解成若干个 简单的基础性问题，通过对基础性问题的解答，解决原 问题的思维策略，实质上，分类讨论是“化整为零，各 个击破，再积零为整”的数学策略，分类讨论可以优化 解题思路，降低问题难度．
2．分类的原则是：(1)分类的对象确定，标准统一；(2)不重 复，不遗漏；(3)分层次，不越级讨论．
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变式训练 2 设等比数列{an}的公比为 q，前 n 项和 Sn＞0(n ＝1,2,3，…)．
(1)求 q 的取值范围； (2)设 bn＝an＋2－23an＋1，记{bn}的前 n 项和为 Tn，试比较
Sn 与 Tn 的大小．
解 (1)∵{an}是等比数列，Sn＞0，可得 a1＝S1＞0，q≠0，
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二、根据运算需要分类
例 2 已知在等比数列{an}中，a1＝1， Sn 是其前 n 项和， 且 ak＋1，ak＋3，ak＋2(k∈N)成等差数列． (1)求数列{an}的公比； (2)试判断 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2(k∈N)是否也构成等差数列， 并说明理由．
解 (1)设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)，则 ak＋1＝qk， ak＋3＝qk＋2，ak＋2＝qk＋1， 依题意得 2qk＋2＝qk＋qk＋1，由于 qk≠0，所以 2q2－q－1 ＝0，解得 q＝1 或 q＝－12. (2)当 q＝1 时，Sk＋1＝(k＋1)a1＝k＋1，Sk＋3＝k＋3，Sk＋2 ＝k＋2，显然 Sk＋1＋Sk＋2＝k＋1＋k＋2＝2k＋3≠2Sk＋3， 故 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构精成品课等件差数列；
数 a 的正、负与定义域、单调性、奇偶性的关系；⑥指
数函数 y＝ax 及其反函数 y＝logax 中底数 a＞1 及 a＜1 对 函数单调性的影响；⑦等比数列前 n 项和公式中 q＝1 与
q≠1 的区别；⑧不等式性质中两边同乘(除)以正数或负
数时对不等号方向的影响；⑨直线与圆锥曲线位置关系
的讨论；⑩运用点斜式、斜截式直线方程时斜率 k 是否
综上所述：当 q＝1 时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 不能构成等差数列； 当 q＝－12时，Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
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归纳拓展 分类讨论的许多问题是由运算的需要引发的，比 如：除法运算中分母是否为 0；解方程、不等式中的恒等变 形；用导数求函数单调性时导数正负的讨论；对数运算中底 数是否大于 1；数列运算中对公差、公比限制条件的讨论等， 如果运算需要对不同情况作出解释，就要进行分类讨论．
综上，q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)． (2)由 bn＝an＋2－32an＋1，得 bn＝anq2－32q，Tn＝q2－32qSn， 于是 Tn－Sn＝Snq2－32q－1＝Snq＋12(q－2)． 又因为 Sn＞0 且－1＜q＜0 或 q＞0，所以当－1＜q＜－21或
存在．
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4．分类讨论的一般流程： 明确讨论的对象 确定讨论的全体
选择分类的标准
逐类进行讨论 获得初步结果
归纳整合 写出结论
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分类突破
一、根据概念分类 例 1 若函数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，则
实数 a 的取值范围是___a_＞__1__． 解析 设函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)和函数 y＝x＋a.则函 数 f(x)＝ax－x－a(a＞0 且 a≠1)有两个零点，就是函数 y ＝ax(a＞0 且 a≠1)的图象与函数 y＝x＋a 的图象有两个
当 q＝1 时，Sn＝na1＞0； 当 q≠1 时，Sn＝a1(11－－qqn)＞0，
即1wk.baidu.com－－qqn＞0(n＝1,2,3，…)，
上式等价于①11－－qq＜n＜00
(n＝1,2,3，…) 精品课件
或②11－－qq＞n＞00 (n＝1,2,3，…)
解①式得 q＞1；
解②式，由于 n 可为奇数、可为偶数，故－1＜q＜1.
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3．回顾总结中学数学教材中分类讨论的知识点，大致有：
①绝对值概念的定义；②一元二次方程根的判别式与根
的情况；③二次函数二次项系数的正负与抛物线的开口 方向；④反比例函数 y＝kx(x≠0)的反比例系数 k，正比例
函数 y＝kx 的比例系数 k，一次函数 y＝kx＋b 的斜率 k
与图象位置及函数单调性的关系；⑤幂函数 y＝xa 的幂指
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整地解决问题．
变式训练 1 设 0＜x＜1，a＞0 且 a≠1，比较loga (1－x)与 loga (1＋x)的大小． 解 ∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1,1＋x＞1,0＜1－x2＜1. ①当 0＜a＜1 时，loga (1－x)＞0，loga (1＋x)＜0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝loga (1－x)－[－loga (1＋x)]＝loga (1－x2)＞0； ②当 a＞1 时，loga (1－x)＜0，loga (1＋x)＞0， 所以loga (1－x)－loga (1＋x) ＝－loga (1－x)－loga (1＋x)＝－loga (1－x2)＞0. 由①②可知，loga (1－x)＞loga (1＋x).
当
q＝－12时，Sk＋1＝1－1－－－1212k＋
1
＝231－－21k＋1，
同理可得 Sk＋2＝231－－21k＋2，Sk＋3＝231－－12k＋3，
于是 Sk＋1＋Sk＋2＝231－－12k＋1＋231－－21k＋2
＝232－－21k＋1－－12k＋2＝341－－12k＋3＝2Sk＋3，
所以 Sk＋1，Sk＋3，Sk＋2 能构成等差数列．
交点．由图象可知，当 0＜a＜1 时，两函数只有一个交 点，不符合；当 a＞1 时，因为函数 y＝ax(a＞1)的图象 过点(0,1)，而直线 y＝x＋a 的图象与 y 轴的交点一定在 点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数 a 的取
值范围是 a＞1. 归纳拓展 有许多核心的数学概念是分类的，比如：直 线斜率、指数函数、对数函数等，与这样的数学概念有 关的问题往往需要根据数学概念进行分类，从而全面完