第七章LTI离散时间系统在变换域中的分析
离散时间系统的时域分析
第七章离散时间系统的时域分析§7-1 概述一、离散时间信号与离散时间系统离散时间信号：只在某些离散的时间点上有值的信号。
离散时间系统：处理离散时间信号的系统。
混合时间系统：既处理离散时间信号，又处理连续时间信号的系统。
二、连续信号与离散信号连续信号可以转换成离散信号，从而可以用离散时间系统（或数字信号处理系统）进行处理：三、离散信号的表示方法：1、 时间函数：f(k)<——f(kT)，其中k 为序号，相当于时间。
例如：)1.0sin()(k k f =2、 （有序）数列：将离散信号的数值按顺序排列起来。
例如：f(k)={1,0.5,0.25,0.125,……,}时间函数可以表达任意长（可能是无限长）的离散信号，可以表达单边或双边信号，但是在很多情况下难于得到；数列的方法表示比较简单，直观，但是只能表示有始、有限长度的信号。
四、典型的离散时间信号1、 单位样值函数：⎩⎨⎧==其它001)(k k δ 下图表示了)(n k −δ的波形。
这个函数与连续时间信号中的冲激函数)(t δ相似，也有着与其相似的性质。
例如：)()0()()(k f k k f δδ=，)()()()(000k k k f k k k f −=−δδ。
2、 单位阶跃函数：⎩⎨⎧≥=其它001)(k k ε这个函数与连续时间信号中的阶跃函数)(t ε相似。
用它可以产生（或表示）单边信号（这里称为单边序列）。
3、 单边指数序列：)(k a k ε比较：单边连续指数信号：)()()(t e t e t a at εε=，其底一定大于零，不会出现负数。
(a) 0.9a = (d) 0.9a =−(b) 1a = (e) 1a =−(c) 1.1a = (f) 1.1a =−4、 单边正弦序列：)()cos(0k k A εφω+双边正弦序列：)cos(0φω+k A五、离散信号的运算1、 加法：)()()(21k f k f k f +=<—相同的k 对应的数相加。
数字信号处理知识点总结
数字信号处理知识点总结《数字信号处理》辅导一、离散时间信号和系统的时域分析 （一） 离散时间信号（1）基本概念信号：信号传递信息的函数也是独立变量的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
连续信号：在某个时间区间，除有限间断点外所有瞬时均有确定值。
模拟信号：是连续信号的特例。
时间和幅度均连续。
离散信号：时间上不连续，幅度连续。
常见离散信号——序列。
数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连续。
（2）基本序列（课本第7——10页）1）单位脉冲序列 1,0()0,0n n n δ=⎧=⎨≠⎩2）单位阶跃序列 1,0()0,0n u n n ≥⎧=⎨≤⎩3）矩形序列 1,01()0,0,N n N R n n n N ≤≤-⎧=⎨<≥⎩ 4）实指数序列 ()n a u n5）正弦序列 0()sin()x n A n ωθ=+ 6）复指数序列 ()j n n x n e e ωσ= （3）周期序列1）定义：对于序列()x n ，若存在正整数N 使()(),x n x n N n =+-∞<<∞ 则称()x n 为周期序列，记为()x n ，N 为其周期。
注意正弦周期序列周期性的判定（课本第10页）2）周期序列的表示方法： a.主值区间表示法 b.模N 表示法 3）周期延拓设()x n 为N 点非周期序列，以周期序列L 对作()x n 无限次移位相加，即可得到周期序列()x n ，即()()i x n x n iL ∞=-∞=-∑当L N ≥时，()()()N x n x n R n =当L N <时，()()()N x n x n R n ≠（4）序列的分解序列共轭对称分解定理：对于任意给定的整数M ，任何序列()x n 都可以分解成关于/2c M =共轭对称的序列()e x n 和共轭反对称的序列()o x n 之和，即()()(),e o x n x n x n n =+-∞<<∞并且1()[()()]2e x n x n x M n *=+-1()[()()]2o x n x n x M n *=--（4）序列的运算 1）基本运算2）线性卷积：将序列()x n 以y 轴为中心做翻转，然后做m 点移位，最后与()x n 对应点相乘求和——翻转、移位、相乘、求和定义式：1212()()()()()m y n x m x n m x n x n ∞=-∞=-=*∑线性卷积的计算：A 、图解B 、解析法C 、不进位乘法（必须掌握）3）单位复指数序列求和（必须掌握）/2/2/2/2/2/21/2/2/2/2/2/2(1)/21()()/(2)1()()/(2)sin(/2)sin(/2)j N j N j N j N j N j N j N N j nj j j j j j j n j N e e e e e e e j ee e e e e e e j N e ωωωωωωωωωωωωωωωωωω------------=-----===---=∑如果2/k N ωπ=，那么根据洛比达法则有sin(/2)(0)(0)(()())sin(/2)N N k N N k N ωδδω===或可以结合作业题3.22进行练习（5）序列的功率和能量能量：2|()|n E x n ∞=-∞=∑功率：21lim |()|21NN n NP x n N →∞=-=+∑（6）相关函数——与随机信号的定义运算相同（二） 离散时间系统1．系统性质 （1）线性性质定义：设系统的输入分别为1()x n 和2()x n ，输出分别为1()y n 和2()y n ，即1122()[()],()[()]y n T x n y n T x n ==统的输对于任意给定的常数a、b ，下式成立1212()[()()]()()y n T ax n bx n a y n by n =+=+则该系统服从线性叠加原理，为线性系统，否则为非线性系统。
信号与系统课件第七章离散时间系统
两序列的样值 ======= 新序列
2）相乘：z(n) x(n) y(n)
逐项对应相加
两序列的样值 ======= 新序列
3）延时：z(n) x(n m)
逐项对应相乘
原序列 ============ 新序列
2016/1/21 信号与系统 11
逐项依次左移或右移m位
离散信号的运算
4）反褶：z(n) x(n)
1 n 0 u ( n) 0 n 0
n=0,其 值=1
u (n i )
n
1 n i u (n i ) 0 n i
n
3 2 1 0
1
i
u ( n) ( n k ) k 0 (n) u (n) u (n 1)
序列：信号的时间函数只在某些离散瞬时nT 有定义值,即x(nT )
其中T为均匀的离散时刻之间隔隔; nT 称函数的宗量, n 0, 1, 2,
样值：离散信号处理的非实时性 x(n)表示序列
其中n表示各函数值在序列中出现的序号
某序列n的函值x(n)=== 在第n个样值的“样值”
2016/1/21 信号与系统 9
2016/1/21 信号与系统 30
五、离散、时间系统的数学模型联系
离散、连续模型之间联系 差分方程与 微分方程：
对连续y(t ), 若在t nT 各点取样值y(nT ), 且T 足够小
y(nT ) n 1 T dy(t ) y 则 dt T
2016/1/21
x ( n)
6
3
3 2 1 0 1 2 3 4 5 6
n
x(2n)
6 4 2
自动控制理论课件第七章离散系统的时域分析
已知起始状态y(1) 2,试求零输入响应。
解：在无外加输入时系统的零输入响应通常
是指n 0以后的响应起始状态是值y(1),
y(2), 各值。
y(n) y(n 1)
故有 y(n) y(1) y(2)
y(n 1) y(0) y(1)
y(n)是公比为的等比级数，故零输入响应有如下形式
是一阶非齐次差分方程。
梯形电阻网络，设各点 对地电压为 u(n), n 0,1,2,...为各节点
序号，为常数，则求其差分方程。
根据KCL, 有
u(n 1) u(n) u(n) u(n) u(n 1)
R
R
R
整理可得
u(n 1) u(n 1) (2a 1)u(n) 0
是关于节点电压的齐次差分方程。
u(n) (2a 1)u(n 1) u(n 2) 0
差分方程的阶数为未知 序列(响应序列)的最大序号与
最小序号之差。上式为 二阶差分方程。
对于一个线性是不变离散系统，若响应信号为y(n)，
输入信号为f (n)，则描述系统输入- 输出关系的
N阶差分方程为
y(n) a1y(n 1) a2 y(n 2) aN-1y(n N 1) aN y(n N )
an n 1 a 0
1 1 O 1
23
4n
5．正弦序列
xn sinnω0
余弦序列：xn cosn0
sinnω0
1
sin 0 t
O
1
5
10 n
1
0 : 正弦序列的频率, 序列值依次周期性重复的速率。
当
＝2π 0 10
,
则序列每10个重复一次正弦包络的数值。
离散时间LTI系统分析讲义-学生讲解
实验四 离散时间LTI 系统分析实验目的●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的零状态响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的单位冲激响应； ●学会运用MATLAB 求解离散时间系统的卷积和。
●学会运用MATLAB 求离散时间信号的z 变换和z 反变换； ●学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点； ●学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系； ● 学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
实验原理及实例分析1 离散时间系统的响应离散时间LTI 系统可用线性常系数差分方程来描述，即∑∑==-=-Mj jN i i j n x b i n y a 00)()( （1） 其中，i a （0=i ，1，…，N ）和j b （0=j ，1，…，M ）为实常数。
MATLAB 中函数filter 可对式（1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter 的语句格式为y=filter(b,a,x)其中，x 为输入的离散序列；y 为输出的离散序列；y 的长度与x 的长度一样；b 与a 分别为差分方程右端与左端的系数向量。
【实例1】 已知某LTI 系统的差分方程为)1(2)()2(2)1(4)(3-+=-+--n x n x n y n y n y试用MATLAB 命令绘出当激励信号为)()2/1()(n u n x n=时，该系统的零状态响应。
解：MATLAB 源程序为>>a=[3 -4 2];>>b=[1 2];>>n=0:30;>>x=(1/2).^n;>>y=filter(b,a,x);>>stem(n,y,'fill'),grid on>>xlabel('n'),title('系统响应y(n)')程序运行结果如图1所示。
7.3离散时间LTI系统的复频域分析
N ( z) = D( z )
系数
=K
∏(z − z )
j=1
n
m
j
z1, z2 ⋅⋅⋅ zm H 的 点 (z) 零
∏(z − p )
i=1 i
p , p2 ⋅⋅⋅ pn H 的 点 (z) 极 1
H(z)由系数、零点和极点三个参数决定. )由系数、零点和极点三个参数决定. 分子多项式的根称为零点 零点， 分子多项式的根称为零点，分母多项式的根 除一系数外， ZT的完整表示由零极点 除一系数外 称为极点。 信号的ZT 称为极点。 ，信号的ZT的完整表示由零极点 极点 ROC决定 零极点图是Z变换的图示方法 决定。 变换的图示方法。 和ROC决定。零极点图是 变换的图示方法。
−1
单 ZT
已知因果系统 (1)计算h[k ],H ( z ); (2)计算输出y[k ].
y[k ] − 5 y[k − 1] − 6 y[k − 2] = 2 x[k ] − x[k − 1], x[k ] = u[k ] y[−1] = 1, y[−2] = 0,
两边作Z变换有 解:两边作 变换有 两边作
反Z变换 变换
∴ yzs [k] = 7.5⋅ 3 u[k] − 6 ⋅ 2 u[k] + 0.5u[k]
k k
k k
∴ y[k] = yzi [k] + yzs [k] = 16.5× 3 u[k] −10× 2 u[k] + 0.5u[k]
(1)计算h[k ],H ( z );
Y zs [ z ] 2 − z −1 2 − z −1 H (z) = = = −1 −2 −1 −1 X [z] 1 − 5z + 6z (1 − 2 z )(1 − 3 z )
数字信号处理实验离散时间 LTI 系统的时域分析与 Z 域分析
实验一离散时间LTI系统的时域分析与Z域分析一、实验目的1、掌握用MATLAB求解离散时间系统的零状态响应、单位脉冲响应和单位阶跃响应；2、掌握离散时间系统系统函数零极点的计算方法和零极点图的绘制方法，并能根据零极点图分析系统的稳定性。
二、实验原理1、离散时间系统的时域分析（1）离散时间系统的零状态响应离散时间LTI系统可用线性常系数差分方程来描述，即MATLAB中函数filter可对式（1-1）的差分方程在指定时间范围内的输入序列所产生的响应进行求解。
函数filter的语句格式为：y=filter(b,a,x)其中，x为输入的离散序列；y为输出的离散序列；y的长度与x的长度一样；b与a分别为差分方程右端与左端的系数向量。
（2）离散时间系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应定义为系统在 (n)激励下系统的零状态响应，用h(n)表示。
MATLAB求解单位脉冲响有两种方法：一种是利用函数filter；另一种是利用函数impz。
impz函数的常用语句格式为impz(b,a,n)，其中b和a的定义见filter，n表示脉冲响应输出的序列个数。
（3）离散时间系统的单位阶跃响应系统的单位阶跃响应定义为系统在ε(n)激励下系统的零状态响应。
MATLAB求解单位脉冲响应有两种方法：一种是利用函数filter，另一种是利用函数stepz。
stepz函数的常用语句格式为stepz(b,a,N)其中，b和a的定义见filter，N表示脉冲响应输出的序列个数。
2、离散时间系统的Z域分析(1)系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z变换与激励的z变换之比，即如果系统函数H(z)的有理函数表示式为那么，在MATLAB中系统函数的零极点就可通过函数roots得到，也可借助函数tf2zp得到。
roots的语法格式为：Z=roots(b)%计算零点b=[b1b2…bmbm+1]P=roots(a)%计算极点a=[a1a2…anan+1]tf2zp的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(b,a)其中，b与a分别表示H(z)的分子与分母多项式的系数向量。
LTI系统的频域分析
y(t ) h(t )* fT (t ) Fn [h(t )*e jnt ] Fn H ( jn) e jnt n n 若
则可推导出
A0 y(t ) H (0) An | H ( jn) | cos[nt n (n)] 2 n 1
h( ) e j d
y(t ) H ( j) e
j t
H ( j )反映了响应y(t)的幅度和相位。
二、一般信号f(t)作用于LTI系统的响应
e
1 2
j t
H(j ) ej t
1 2
齐次性
1 j t F ( j ) e d 2
F(j )H(j ) ej t d
FT [TS (t )] S
n
( n
S
)
如果f(t)是带限信号[即f(t)的频谱在（- m，m) 为有限值，而其余区间为0]。
设f(t)←→F(j)，取样信号fS(t)的频谱函数
1 FS ( j ) F ( j )* S ( nS ) 2 n 1 F[ j ( n S )] TS n
f (t )
FT FT
F ( )
1 2
相乘
1 Fs ( ) F ( ns ) Ts n
s
相卷积
T (t )
n
(t nT )
FT
FT
p( ) s
n Βιβλιοθήκη ( ns
)
在画取样信号fS(t)的频谱时，设定ωS ≥2ωm ,这时 其频谱不发生混叠，因此能设法(如利用低通滤波器)， 从FS(j)中取出F(j)，即从fS(t)中恢复原信号f(t)。 否则将发生混叠，而无法恢复原信号。
LTI离散时间系统的时域分析
用抽样序列表示任意序列
δ(n) x(n) h(n)
离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
连续时间系统 任意信号由冲激函数的迭加积分公式表示
x(t ) x( ) (t )d
离散时间系统： 用抽样序列表示任意序列
x ( n)
k
x(k ) (n k )
２、单位阶跃序列u(n)
u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
-3 -2 -1
1
……
0 1 2 3
δ (n)和u(n)间的关系为
n
(n) u(n) u(n 1)
u (n) (n m) (n) (n 1) (n 2)
或用极坐标表示为
x(n) x(n) e j arg[ x( n)] ene j0 n
其中 x(n) en , arg[x(n)] 0n
x[n] exp( j 6 )n＝e
1 12
1 n 12
cos 6 n je
1 n 12
sin n 6
Real part
１）差分方程的自变量可以是时间t，也可以是其它的离散变量； ２）差分方程的一般形式
a
k 0
N
k
y(n k ) bk x(n k )
k 0
M
３）差分方程各项序值如果同时加减同一个数，差分方程描述的输入－输出关 系不变． ４）方程若想得到确定的唯一解，必须给出初始条件，这与连续系统是一样 的．
x(t )
x( ) (t )d
不同： （１）连续系统中是积分，离散系统中是累加； （２）连续时间系统中δ(t-τ)是单位冲激函数， 离散系统中δ(n-k)是单位抽样函数，幅度为１．
信号与系统第7章(陈后金)3
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]
LTI离散时间系统在变换域中的分析
pM zM dN zN
zNM
p0zM p1zM 1 p2zM 2 pM d0z N d1z N 1 d2z N 2 dN
M
M
Hz
Y z X z
p0 d0
1 l z1
l 1 N
1 l z1
z N M p0 d0
z l
l 1 N
z l
l 1
l 1
因果系统的ROC为：
z
max k
k
4.3.3 传输函数与频率响应的关系
H e j H z ze j （收敛域包含单位圆）
对实系数的H z
H e j 2 H e j H* e j H e j H e j H zH z1 z e j
对稳定有理的H z
M e j l
H e j
零极点分布
上：幅度 下：相位
（续上图）
（续上图）
（续上图）
（续上图极点位置与稳定性
FIR：当h[n]系数为有限值时总是稳定的
IIR：可能不稳定，或经系数量化后不稳定。其稳定性和因果 性取决于ROC和极点的位置，所有极点在单位园内则系统为 因果稳定的系统。
A
e
j
H(e
jω0)
e
jω n 0
类似地有:
v*[n]
=
(1/2)
A
e
－
j
H(e
－
jω0)
e
－
jω n 0
则输出y[n] 对x[n]的响应是:
y[n] v[n] v[n]
1 Ae j H (e j0n )e j0n 1 Ae j H (e j0n )e j0n
2
2
1 2
A|
H (e j0
离散信号与系统的时域和频域分析
h(k n) an1h(k n 1) an2h(k n 2) ... a0h(k ) 0 K>0时， n 齐次差分方程解： k
h(k ) [ ci ( ) ] (k )
离散信号与系统分析
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本章说明
与连续信号与系统相比较，离散系统的数学描述是激励响应的差分方 程，其系统分析求响应实质是求解描述离散系统的差分方程。离散系 统的零状态响应可以用卷积和来求取。 时域分析： 1.掌握离散信号与系统的基本概念。 2.熟悉并掌握常用基本信号的描述、特性、运算与变换。 3.深刻理解采样定理的意义、内容及应用。 4.掌握离散系统的数学描述方法—差分方程及模拟图 5.掌握离散系统的时域分析—经典法求零输入响应、零状态响应。 6.熟悉卷积和法及其主要性质并会应用卷积和法求零状态响应。
4、图解法卷积
①变量代换 f1(n) 变成f1(k) f2(n) 变成f2( ②反折其中之一信号 ③将反折信号移位 m f2(-k) f2(m-k) 以k代n
④e将平移后的f2(m-k)与对应的f1(k)相乘 ⑤将各乘积值相加可画出全部y(m) ⑥重复步骤③到⑤可画出全部y(n) 5、系统零状态响应为
5、序列的运算
④差分：离散信号的差分运算 f (k ) f (k 1) f (k ) 前向差分： f (k ) f (k ) f (k 1) 后向差分： ⑤反折：将离散信号以纵轴为对称轴反折（转） ⑥压扩：将离散信号中f（k）的自变量k置换为ak得到的过程称为信号的尺 度变换 注意：不存在非整数ak的值！ ⑦求和：离散信号的求和运算是对某一离散信号进行历史推演的求和过程。
离散时间LTI系统的时域分析
z z 0.8 z z 1.2 z 0.72
2
(2) H 2 ( z ) (4) H 4 ( z ) (6) H 6 ( z )
z z 0.8
z z 1
z z 1.2
z z 1.6 z 1
2
z z 2 2 z 1.36
解：MATLAB 源程序为 >> b1=[1 0]; >> a1=[1 -0.8]; >> subplot(121) >> zplane(b1,a1) >> title('极点在单位圆内的正实数') >> subplot(122) >> impz(b1,a1,30);grid on; >>figure >> b2=[1 0]; >> a2=[1 0.8]; >> subplot(121) >> zplane(b2,a2) >> title('极点在单位圆内的负实数') >> subplot(122) >> impz(b2,a2,30);grid on; >> figure >> b3=[1 0]; >> a3=[1 1.2 0.72]; >> a3=[1 -1.2 0.72]; >> subplot(121) >> zplane(b3,a3) >> title('极点在单位圆内的共轭复数') >> subplot(122) >> impz(b2,a2,30);grid on; >> figure >> b4=[1 0];
实验三 LTI 离散系统的频域分析
实验三 LTI 离散系统的频域分析一、实验目的 1、 利用 Matlab 绘制 LTI 离散系统的零极图；2、 根据离散系统的零极点分布，分析系统单位响应 h(n) 的时域特性；3、 利用 Matlab 求解 LTI 离散系统的幅频特性和相频特性。
二、实验原理 1、离散系统的零极点LTI 离散系统可采用(4-1)所示的线性常系数差分方程来描述，其中y(n)为系统输出信号，x(n)为系统输入信号。
1()()N Mk m k m a y n k b x n m ==-=-∑∑将上式两边进行z 变换得：10111(1)()()()/()()(1)MMjjmj j N Ni kii i q zbzB z H z Y z X z KA z a zp z--==--==-====-∑∏∑∏上式中，A(z)和B(z)均为z 的多项式，可分别进行式因式分解。
c 为常数， q j (j ＝1，2，…，M)为H(z)的M 个零点， p i (i ＝1，2，…，N )为H(z)的N 个极点。
H(z)的零、极点的分布决定了系统的特性，若某离散系统的零、极点已知，则系统函数便可确定。
因此，通过对H(z)零极点的分析，可以分析离散系统以下几个方面的特性：离散系统的稳定性；系统单位响应h(n)的时域特性；离散系统的频率特性(幅频响应和相频响应)。
2、离散系统的因果稳定性离散系统因果稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点均位于z 平面的单位圆内。
对于三阶以下的低阶系统，利用求根公式可方便地求出离散系统的极点位置，判断系统的因果稳定性。
对于高阶系统，手工求解极点位置则非常困难，这时可利用MATLAB 来实现。
3、离散系统的频率响应()j ωH e()()[()]()|()j j j j z e H e DTFT h n H z H e eωϕωωω====()j ωH e 称为离散系统的幅频响应，决定了输出序列与输入序列的幅度之比； ()ϕω称为离散系统的相频响应，决定了输出序列和输入序列的相位之差；()j H e ω随ω而变化的曲线称为系统的幅频特性曲线，()ϕω随ω而变化的曲线称为系统的相频特性曲线。
第七章 z变换、离散时间系统的z域分析 PPT课件
1
n
u(n)的z变换，
2
3
并标明收敛域，绘出零极点图。
解：Zx(n)
x(n)zn
1
n
z
＋
n
1
n
z
n
1
n
＋
1
n
n－
n0 2
n0 3
n0 2z n0 3z
当 1 2z
1即 z
1时，
1
n
2 n0 2z
1 1－1/(2z)
z z1
2
当1 3z
1即 z
1时，
1
n
X (z) k A
m
z
m0 z z
m
其中，z 是 X (z)的极点，z 0。
m
z
0
A m
z
z m
X (z) z
zzm
k
X (z)
Az m
m0 z z
m
k
m0
A m
z m
n
u
(
n)，
（右边Fra bibliotek序列
）
x(n)
Z
X 1
(z)
Z
1
k
m0
A m
z
z z
m
k
m0
A m
z m
n
u(n
1)，（左边序列）
级数的系数就是序列x(n)。
• 右边序列，N(z)、D(z)按z的降幂（或z-1的升幂）排列
X (z) x(n)zn x(0)z0 x(1)z1 x(2)z2 n0
• 左边序列，N(z)、D(z)按z的升幂（或z-1的降幂）排列
1
X (z) x(n)zn x(1)z1 x(2)z2 x(3)z3 n
LTI系统的时域频率复频域分析
一、LTI系统时域分析
1. 用单位冲激响应和单位脉冲响应表示LTI系统
x ( t ) h ( t ) y(t)x(t)h(t)
x[n] h[n]
y[n]x[n]h[n]
3
2. 用微分和差分方程描述的因果LTI系统
一个LTI系统的数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常 系数差分方程来描述。分析这类系统，就是要求解线性常系数 微分方程或差分方程。 对于因果系统，当输入为0时，输出也为0。也就是说对于因 果LTI系统，其输出的初始状态为零，此时的输出常称为系统 的零状态响应。 系统分析时，往往不是通过微分/差分方程的时域求解，而是 通过频域或复频域分析来求解方程。但是对离散LTI系统，其 差分方程的时域递归解法在数字滤波器的设计中有非常重要的 应用。
4
4 4
4
4 4
依此 ,可 y [n 类 ]得 1 n 1 推 ,n 1 . 或者 y [n ] 1 写 n 1 u [n 成 1 ]
4
4
8
3. LTI系统的方框图表示
（1） 离散时间系统
一阶差分方程 : y [n ] a[n y 1 ]b[n x ]
2. 根据系统的描述，求出 H ( j )
3. Y (j)X (j)H (j)
4. y(t)F1[Y(j)]
16
从信号分解观点分析
若 x ( t) ： e j t
则 y ( t) ： h ( t) x ( t) h () e j ( t ) d h () e jd e j t H (j) e j t
x[n][n1] 1,n1,
对于因果y系 [n]统 0,n必 1. 有
0,n1
信号与系统连续时间LTI系统时域分析教材
信号与系统连续时间LTI系统时域分析教材尊敬的读者，在学习信号与系统时域分析，特别是连续时间线性时不变（LTI）系统方面，我理解教材的重要性。
在本文中，我将简要介绍信号与系统连续时间LTI系统的时域分析内容。
时域分析是研究信号在时间轴上的变化如何影响系统响应的一种方法。
在连续时间LTI系统中，我们主要关注信号的时间变化如何影响系统的输出。
时域分析的目标是通过观察系统的输入与输出信号之间的关系，从而推断系统功能。
首先，我们需要了解连续时间信号的概念。
信号可以是任何与时间相关的量，例如声音、电压等。
连续时间信号可以用一个连续的实变量表示，通常用时间t表示。
我们可以通过绘制信号的图形来直观地了解其特点和行为。
接下来，我们需要探讨系统的概念。
系统是对信号进行处理或变换的工具。
在连续时间LTI系统中，输入信号与输出信号之间存在线性关系，并且系统的性质不随时间变化而改变。
连续时间LTI系统的输入输出关系可以用微分方程或差分方程表示。
通过求解这些方程，我们可以获得系统的输出信号。
在时域分析中，我们主要关注系统的单位冲激响应。
单位冲激是一个在时间上非常短暂、幅度为1的信号。
通过将单位冲激信号输入到系统中，并观察系统的输出，我们可以得到系统的单位冲激响应。
单位冲激响应是系统的重要特性之一，它包含了系统对于各种输入信号的响应信息。
通过卷积运算，我们可以将输入信号与单位冲激响应进行卷积，从而得到系统的输出信号。
卷积运算表示了输入信号对于单位冲激的加权和，因此可以视为系统对不同时间的输入信号的加权响应。
时域分析还涉及到系统的稳定性和因果性。
稳定性指的是当输入信号有界时，系统的输出是否也有界。
因果性则指的是当输入信号在某一时刻发生变化时，系统的输出是否立即响应。
最后，时域分析还包括激励与响应之间的关系。
通过将系统的输入信号与单位冲激响应进行卷积，我们可以得到系统对于任何输入信号的响应。
这可以帮助我们了解系统对不同频率和幅度的输入信号的处理方式。
信号与系统王明泉第七章习题解答
第7章离散时间系统的Z域分析7.1 学习要求（1）深刻理解z变换的定义、收敛域及基本性质，会根据z变换的定义和性质求解一些常用序列的z变换，能求解z反变换，深刻理解z变换与拉普拉斯变换得关系；（2）正确理解z变换的应用条件；（3）能用z域分析分析系统，求离散系统的零状态响应、零输入响应、完全响应、单位样值响应；（4）深刻理解系统的单位样值响应与系统函数H(z)之间的关系，并能用系统函数H(z)求解频率响应函数，能用系统函数的分析系统的稳定性、因果性。
7.2 本章重点（1）z变换（定义、收敛域、性质、反变换、应用）；（2）z域分析（求解分析系统）；（3）系统的频率响应函数。
7.3 本章的知识结构7.4 本章的内容摘要7.4.1 Z变换（1）定义∑∞-∞=-=n nzn x z X )()( 表示为：)()]([z X n x Z =。
（2）收敛域 1.有限长序列12(),()0,x n n n n x n n ≤≤⎧=⎨⎩其他 （1）当0,021>>n n 时，n 始终为正，收敛条件为0>z ； （2）当0,021<<n n 时，n 始终为负，收敛条件为∞<z ；（3）当0,021><n n 时，n 既取正值，又取负值，收敛条件为∞<<z 0。
2.右边序列11(),()0,x n n n x n n n ≥⎧=⎨<⎩ （1）当01>n 时，n 始终为正，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >，1x R 为最小收敛半径；（2）当01<n 时，)(z X 分解为两项级数的和，第一项为有限长序列，其收敛域为∞<z ；第二项为z 的负幂次级数，由阿贝尔定理可知，其收敛域为1x R z >；取其交集得到该右边序列的收敛域为∞<<z R x 1。
3．左边序列2(),()0,x n n n x n n ≤⎧=⎨⎩其他（1）当02<n ，n 始终为负，收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径； （2）当02>n ，)(z X 可分解为两项级数的和，第一项为z 的正幂次级数，根据阿贝尔定理,其收敛域为2x R z <，2x R 为最大收敛半径；第二项为有限长序列，其收敛域为0>z ；取其交集，该左边序列的收敛域为20x R z <<。
数字信号处理离散时间LTI系统的z域分析
实验五 离散时间LTI 系统的z 域分析一、 实验目的：学会运用MATLAB 分析离散时间系统的系统函数的零极点；学会运用MATLAB 分析系统函数的零极点分布与其时域特性的关系；学会运用MATLAB 进行离散时间系统的频率特性分析。
二、 实验仪器：电脑一台，MATLAB6.5或更高级版本软件一套。
三、 实验内容：（一） 实验原理及实例分析1. 系统函数的零极点分析离散时间系统的系统函数定义为系统零状态响应的z 变换与激励的z 变换之比，即)()()(z X z Y z H =（5-1） 如果系统函数)(z H 的有理函数表示式为 11211121)(+-+-++++++++=n n n n m m m m a z a z a z a b z b z b z b z H （5-2） 那么，在MATLAB 中系统函数的零极点就可通过函数roots 得到，也可借助函数tf2zp 得到，tf2zp 的语句格式为[Z,P,K]=tf2zp(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子与分母多项式的系数向量。
它的作用是将)(z H 的有理分式表示式转换为零极点增益形式，即)())(()())(()(2121n m p z p z p z z z z z z z k z H ------= （5-3） 【实例5-1】 已知一离散因果LTI 系统的系统函数为16.032.0)(2+++=z z z z H 试用MATLAB 命令求该系统的零极点。
解：用tf2zp 函数求系统的零极点，MATLAB 源程序为>>B=[1,0.32];>>A=[1,1,0.16];>>[R,P,K]=tf2zp(B,A)R=-0.3200P=-0.8000-0.2000K=1因此，零点为32.0=z ，极点为8.01=p 与2.02=p 。
若要获得系统函数)(z H 的零极点分布图，可直接应用zplane 函数，其语句格式为zplane(B,A)其中，B 与A 分别表示)(z H 的分子和分母多项式的系数向量。
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具有理想幅度响应的数字滤波器
• 设计数字滤波器，为了无失真的传输某些 频率上的信号：
–让滤波器的频响在这些频率上为1——通带 –让滤波器的频响在其他频率上为0——阻带
• 四类常见的具有实冲激响应函数的理想数 字滤波器的频响：P284 图7.1
–低通滤波器：通带、阻带 –高通滤波器：通带、阻带 –带通滤波器：通带、阻带 –带阻滤波器：通带、阻带
• 根据滤波器长度为奇或为偶，冲激响应是正对称或 反对称，可以有四种线性相位FIR滤波器
简单数字滤波器
• 满足频率选择要求的滤波器主要在第 九章和第十章讨论
• 本节讨论低阶系统：
–低通FIR数字滤波器 –高通FIR数字滤波器 –低通IIR数字滤波器 –高通IIR数字滤波器
zM zM
即：
AM
z
z M DM (z 1)
DM z
• 若z=rejφ是实系数全通传输函数的一个极点， 则它有一个零点在1/r*e-jφ
M阶因果实系数全通传输函数
• 全通传输函数的分子可以称为分母的镜像 多项式，反之亦然。
AM
M
i 1
*i z 1 1 i z 1
• 由于因果稳定传输函数的极点必须在单位 圆内，因此因果稳定全通传输函数的所有 零点必须在单位圆外，并且和与之对应的 极点成镜像对称。
截止频率：ωcω1ω2
滤波器的实现问题
• 理想滤波器的不可实现性
–双边无限长 –非因果 –不绝对可和
• 利用专门方法设计滤波器
–允许过渡地带 –允许通带和阻带上有一定的波动 –以几种简单的低阶FIR和IIR滤波器级联
形成各种功能的滤波器
有界实传输函数(BR)
• 定义： |H(ejω)|≤1
• P285 例7.1 BR函数的构造 • 被动结构：
基于相位的传输函数分类
• 零相位传输函数 • 线性相位传输函数 • 最小相位与最大相位传输函数
零相位传输函数
• 在许多应用中，需要保证所设计的数字滤波器在 通带内不会使输入信号的相位发生失真
• 方法：
–使该滤波器的频率响应是实数且非负 –传输函数的分子分母多项式满足零相位多项式B(z)：
N
简单应用
• 群延时：各频率经LTI系统处理后具有不同的
相位延时
g
d
d
• 延时均衡器 P289
–G(z)是满足所要求幅度响应的数字滤波器的传输函数
–其相位响应是非线性的，即不均衡的
–通过级联一个全通滤波器来校正，如图7.7
–级联后，在幅度响应不变的同时，整体的群延时在感 兴趣频域上近似为常数，结果如图7.8
–输出信号的能量不会大于输入信号的能量
• 无损有界实传输函数(LBR)
全通传输函数
• 定义：传输函数的幅度响应对任何频率都是1
A(e j ) 2 1
• M阶因果实系数全通传输函数的一般形式：
AM
(
z)
dM dM 1z 1 d1z M 1 1 d1z 1 dM 1z M 1 dM
j
• 分配极点和零点以得到H(z):
–取一半的极点和零点，剩下的一半是镜像对称 –为使系统稳定，极点必须在单位圆内 –对于零点的分配一般没有限制
• P291 例7.2 由特定的平方-幅度函数确定传输函数
线性相位传输函数
• 对于一个具有非零相位响应的因果传输函数， 相位失真可以通过允许输出是输入的一个延时 信号来加以避免
• 若： y[n] x[n D]
• 可得输入输出关系为：
Y[e j ] e jD X [e] X [e j ]
e jD
幅度响应： H (e j ) 1
群延迟：
D
不失真传输
• 若需要在某个频率分量上使幅度和相位不失真的 通过，则传输函数在感兴趣频带内具有：
–零点存在于单位圆内和单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25b、式7.25c
• 混合相位、最小相位和最大相位传输函数之间的 关系：P294 例7.4
线性相位FIR传输函数的类型
• 通常可以恰好设计带有线性相位的FIR传输函数， 而几乎不可能设计线性相位的IIR传输函数：
y[n] x[n n0 ] x[n n0 ] z变换 zn0 X(z)
• 幅度函数和相位响应
–幅度函数完全相同 –相位响应：H2比H1相比有滞后 图7.13
最小相位和最大相位传输函数
• 最小相位传输函数：
–所有零点都在单位圆内的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25a
• 最大相位传输函数：
–所有零点都在单位圆外的因果稳定传输函数 –如P291 式7.25d
• 混合相位传输函数
B(z) bl zl zl
l 0
零相位传输函数
• 实现：不可能设计出一个零相位的因果数字 滤波器
• 变通方法：在因果要求宽松的情况下
对零相位滤波方案的验证
• 不同信号之间FT的关系为：
• 可得输入输出关系为：
数字滤波器的设计
• 一般根据给定的滤波器的规格，先得到平方幅度 函数|H(ejω)|2,推导出零相位函数H(z)H(z-1): H (z)H (z 1) H (e j ) 2 |1 ln z
第七章 LTI离散时间系统在变换 域中的分析
概述
• 数字传输函数从其时域序列可分为:
–有限冲激响应 –无限冲激响应
• 其他分类方法：
–传输函数的幅度响应 –传输函数的相位响应
• 简单的实用FIR和IIR数字滤波器 • 数字二端口网络
7.1 基于幅度特征的传输函数分类
• 具有理想幅度响应的数字滤波器 • 有界实传输函数 • 全通传输函数
• 对称关系见图7.3
全通传输函数的特性
1. 因果稳定实系数全通传输函数是无损有界实 （LBR）传输函数，即因果稳定全通滤波器 是一个无损结构。
2. 稳定全通函数AM的幅度：
1,
| AM (z) | 1,
1,
z 1 z 1 z 1
3. 随着ω从0变化到π，M阶全通函数的相 位变化是Mπ。
–单位幅度响应 –线性相位响应
• P292 图7.10 线性相位响应的理想低通滤波器 • P292 例7.3
最小相位和最大相位传输函数
• 传输函数另一种很有用的分类：
–基于其零点的位置即其对相位响应的影响进行
• 考虑两个传输函数：P7.32a和P7.32b • 零点和极点：图7.12
–相同极点：都在单位圆内，故是代表稳定系统。 –不同零点：H1在单位圆内，H2在单位圆外