命题逻辑公理系统
2022年同等学力申硕计算机科学考试全套复习资料
2022年同等学力申硕计算机科学考试全套复习资料2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》全套资料【考点手册＋真题精选＋题库】内容简介【全套产品】•2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》考点手册•2022年同等学力申硕《计算机科学与技术学科综合水平考试》题库【真题精选＋专题题库】•试看部分内容第1章离散数学与组合数学【考点1】命题逻辑的等值演算与推理演算1命题逻辑的基本概念、命题逻辑联结词与真值表，重言式（1）命题逻辑的基本概念命题是一个非真即假的陈述句，与事实相符的陈述句为真语句，记为T；与事实不符的陈述句为假语句，记为F。
命题逻辑为二值逻辑。
只由一个主语和一个谓语构成的最简单的陈述句，称为简单命题或原子命题或原始命题。
若干个简单命题通过联结词联结而成的更为复杂的新命题称为复合命题或分子命题。
（2）常用的逻辑联结词常用的逻辑联结词如表1-1所示。
表1-1 常用的逻辑联结词（3）真值表把命题公式A在一切可能的赋值下取得的值列成表，该表称为A的真值表。
（4）重言式（也叫永真式）若命题公式A在任何一个赋值下的值都是真，则A称为重言式或永真式。
（5）矛盾式（也叫永假式）若命题公式A在任何一个赋值下的值都是假，则A称为矛盾式或永假式。
（6）可满足式若命题公式A在至少一个赋值下的值是真，则A称为可满足式。
即当A不是矛盾式时，A为可满足式。
2简单命题的形式化命题逻辑的自然语言形式化的基本过程分为三步：（1）确定子命题，用命题形式p，q，……表示；（2）确定联结词；（3）按照自然语言语义构成复合命题。
3等值定理、基本等值公式以及等值演算（1）等值定义设A和B是命题公式，若A↔B是重言式，则称A和B等值或逻辑等价，记作AóB，Aó称为等值式或逻辑等价式。
（2）基本等值公式一些基本等值式如表1-2所示。
表1-2 基本等值式4命题公式与真值表的关系、联结词的完备集（1）命题公式与真值表的关系含n个变元的命题公式可以视为一个n元真值函数F：{0，1}n→{0，1}。
《逻辑学》完整版笔记整理
第一章绪言第一节“逻辑”的含义一、逻辑的词源1. 逻辑一词源出于希腊文的“逻各斯”（logos，复数形式是logoi).·古希腊的哲学家赫拉克利特据说有专论逻各斯的著作《逻各斯》。
·逻各斯的基本词义是言辞、秩序和规律。
言语是这一语词的原创义，然后在此基本词义基础上派生出理性、理想、推理论证等词义.2。
逻各斯演变为“逻辑”一词·最先是由斯多葛学派使用；看作是由论辩术和修辞学两部分构成的理论。
·古罗马和欧洲中世纪的逻辑学家也在这种意义上来看待“逻辑”一词.·其后，逻辑一词的含义就一直和推理与论辩的方法和原则相关。
3。
逻辑一词传入中国·严复开始，“按逻辑此翻名学。
其名义始于希腊,为逻各斯一根之转”.·严复翻译的时间大约在19世纪末;·再过十多年后,由章士钊正式在汉语中定名，作为讨论思维、讨论推理的规范和秩序的学问4. 为什么logic要翻译为逻辑？逻辑学是有点特殊的学科。
特殊在什么地方？学科名的特殊和学科内容的特殊。
中国历史上和逻辑对应的学科?逻辑究竟研究什么?二、什么是逻辑？1. 逻辑是一门和方法、原则、规范紧密相关的人文学科。
她探索和研究的是我们进行推理（reasoning，inference）时应该使用的方法、技巧、标准和原则。
逻辑是一门讲道理的学科. 逻辑总是和语言相关.逻辑总是和论证证明推理相关。
p2 2。
三个方向的推理追寻历史:一个事件出现了，我们寻求其产生的原因，案件、历史、文物等，向后的推导.确定目标：未来可能出现的事件,这是向前的推理。
演绎推理:没有时空条件的推理，数学和逻辑。
几何证明和数学计算。
第二节逻辑历史简述一、古典逻辑1. 古希腊哲学家亚里士多德公认为是逻辑学之父.2。
亚里士多德创立逻辑学科的标志是他所撰写的逻辑专著，这些讨论逻辑问题的专著有《范畴篇》、《解释篇》、《分析前篇》、《分析后篇》、《论辩篇》和《辩谬篇》,这些篇章后来合编为《工具论》一书。
命题逻辑的推理理论,证明方法
31
⑨p
前提引入
⑩ pp
⑧⑨合取
推理正确, q是有效结论
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32
课堂实训
应用实例1 分析下列事实“如果我有很高的收 入，那么我就能资助许多贫困学生；如果我能资 助许多贫困学生，那么我很高兴；但我不高兴， 所以我没有很高的收入。”试指明前提和结论， 并给予证明。
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归谬法(反证法)的说明
欲证明
前提：A1, A2, … , Ak 结论：B
将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确.
理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB)
括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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12
一、自然推理系统P的定义（续）
3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则 (4) 假言推理规则 (5) 附加规则 (6) 化简规则
(7) 拒取式规则 (8) 假言三段论规则 (9) 析取三段论规则 (10)构造性二难推理
规则 (11) 破坏性二难推理
规则 (12) 合取引入规则
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（5）分情况证明法
为了证明 A1 A2 An B , 只需证明对任意的 i (1 i n) ，均有 Ai B 。
（6）附加前提证明法
为了证明 A1 A2 An A B ,
只需证明 A1 A2 An A B
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第三章 形式的命题逻辑系统
(3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形2： B是的一个成员。那么下列是从 到 AB的一个推演： (1) B 的成员 (2) B (AB) A1 (3) AB (1)(2)MP 因此， ├PCAB。 情形3：B就是A。那么下列是从到AB的 一个推演： (1) (A((AA)A))((A(AA))(AA)) A2 (2) A( (AA)A) A1 (3) (A (AA) ) (AA) (1)(2)MP (4) A (AA) A1 (5) (AA) (3)(4)MP
• 未知的 已知的 我们要的
但是，我们从YZ和公理(YZ)(X(YZ))
很容易得到 (X(YZ))
3.3.2 PC中的证明
• 思路贯通了： (X(YZ))也是已知的了。只要利用两 次MP规则，我们就可以从(X(YZ)) ((XY)(XZ)) ，利用XY和YZ，得到 (XZ)， 从而完成这个三段论推理的证明。 • （4）在作业和考卷中正式地写出证明（刚开始还不熟 练，就先写在演草纸上，然后誊写过去）。 • 这种模式的证明步骤是这样的： （1） YZ 已知的公理或定理 （2） (YZ)(X(YZ)) A1 （3） X(YZ) (1)(2)MP （4） (X(YZ)) ((XY)(XZ)) A2
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
②我们在没有括号的时候，逻辑常项结合的
优先秩序是先再；在同一优先秩 序上，遵从向右结合的原则。因此， A表 示(A) ；ABA表示A (BA)；(ABC)(AB)(AC)表示 (A(BC))((AB)(AC))。
3.2 命题逻辑（演算）系统PC
3.2.5 推理规则 在命题演算系统PC中只有一条推理规 则——MP规则，又叫做分离规则。 PC中的MP规则指的是：从“├PC(AB)”
逻辑与科学方法论基础第二章命题逻辑基本知识
排中律（Law of Excluded Middle ）：在同一个思维过程中，不能
同时否定两个相互反对的命题。 形式： A或非A p∨﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
1. 析取定义律： (p∨q ) ↔ ﹁(﹁ p∧﹁ q ) 2. 合取定义律： (p∧q ) ↔ ﹁(﹁ p∨﹁ q ) 3. 德摩根律： ﹁ (p∧q ) ↔ (﹁ p∨﹁ q ) ﹁ (p∨ q ) ↔ (﹁ p∧ ﹁ q ) 4. 蕴涵定义律： (p →q ) ↔ (﹁p∨q) 5. 否定蕴涵律： ﹁ (p →q ) ↔ (p∧﹁q) 6. 逆蕴涵定义律： (p ←q ) ↔ (p∨﹁q) 7. 否定逆蕴涵律： ﹁ (p ←q ) ↔ (﹁p∧q) 8. 蕴涵逆蕴涵交换律： (p →q ) ↔ (q ← p ) (p ←q ) ↔ (﹁ p → ﹁ q ) 9. 等值定义律： (p ↔q ) ↔ ((p∧q )∨(﹁p∧﹁q)) (p ↔q ) ↔ ( p →q )∧(p ←q) 10. 否定等值律： ﹁ (p ↔q ) ↔ ((p∧﹁ q )∨(﹁p∧q))
无效式
联言推理
组合式： p，q├ p∧q
选言推理
否定肯定式： p∨q , ﹁p├ q p ∨ q ∨ r, ﹁ q ├ p ∨ r
附加律：p├ p∨q p∨ q├ p∨ q∨ r
肯定否定式
普通逻辑学基本知识
复合命题推理的有效式
类 型
充分条件假言推理
有效式
肯定前件式： p→q , p├ q 否定后件式： p→q , ﹁q├ ﹁p
普通逻辑学基本知识
逻辑基本规律
检验： 4. 蕴涵定义律：
5. 否定蕴涵律：
(p →q ) ↔ (﹁p∨q)
逻辑的九个核心问题
逻辑的九个核心问题1、逻辑的本质概念、命题、推理是人类思想的三个重要部分。
概念，由命题描述、由命题定义。
命题，由概念组成。
推理，是从“做为前提的”命题到“做为结论的”命题的推导过程。
推理做为人类的思想行动过程，如同人类在未知大陆上的探索。
（这种探索将帮助积累可靠地理知识、绘制地图、寻找路径、扩大已知。
）逻辑学是研究推理的学问。
正如，数学是研究计算的学问。
狭义上的逻辑，是命题推导的法则，即方法和规则。
逻辑不涉及命题的真实含义，但涉及命题的值：真和假。
因此，严格意义上的逻辑又称为形式逻辑（脱离“内容”）。
逻辑必须保证，真前提推理得到真结论。
这里隐含了逻辑的局限性，因为人类大多数命题无法确证永远为真，但人类的探索必须延续。
最基本的法则本质上跟运算对象的定义及值是一体的，是不可分的。
定义或值明确了，基本运算法则也就或隐现地给出了。
（比如，自然数的定义明确了，加减法则也就给出了，可参考皮亚诺的自然数公理体系）今天，逻辑已经成为一门严谨精确的科学，既是数学以及其他科学的基础和重要工具，也是强大的计算机以及现代信息网络的理论基石。
我们简单回顾一下逻辑学的历史：亚里士多德创立形式逻辑，莱布尼兹提出构想并指明现代逻辑的方向，弗雷格创立一阶逻辑（现代逻辑的基础），哥德尔证明了逻辑的局限性。
2、真假是命题的值。
从推理的角度，假命题就是被逻辑否定的，真命题则是被逻辑肯定的。
自然数的值基本被包含在自然数的定义中，命题的真值也是一样。
最基本理性对象，其定义必然同时包含了值和相应的运算。
（先哲们是否有类似见解我不知道）目前被严格证明的一阶逻辑就是真假二值逻辑。
多值逻辑是逻辑学未来发展的可能性。
基于逻辑的理性思维是可靠的，但同时也是有局限的，这是哥德尔定理的主要哲学意义。
人类的思想活动是发明还是发现？充满了争议。
从某种角度说，这是一个形而上学问题。
基于公理所进行的逻辑推理，得到的全新的真命题。
在我看来，属于发现。
也就是说，它揭示了精神世界的客观存在。
命题逻辑公理系统
(¬Q→¬R) →(R →Q)
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5
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缩写公式
Q∨R=(¬Q→R) Q∧R=¬ (Q→¬R) Q↔R=(Q→R) ∧(R→Q) Q⊕R=¬ (Q↔R)
计算机学院
计算机学院
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公式复杂度
公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• 命题变元复杂度为0，如果 是命题变元，则FC (Q)=0。 命题变元复杂度为0 如果Q是命题变元 是命题变元， • 如果公式 ¬R，则FC (Q)=FC(R)+1。 如果公式Q=¬ ， 。 • 如果公式Q=R1→R2，则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。 如果公式 。
定义了所有合式公式
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命题逻辑的公理系统
有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式 有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式 P,Q,R
• 公理模式T1 公理模式T • 公理模式T2 公理模式T
–(P→ (Q→R)) →((P→Q) →(P→R)) (P –Q→ (R→Q) Q
定义3.2 是合式公式集, 定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是 合式公式， 合式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中 公式序列α
• • • •
Γ称为推演的前提集， 称为推演的前提集， 前提集 称α为结论
A1=α1 A2=α2 An=αn
….
推理序列
(αn =Q) =Q)
• 命题变元p1,p2,…pn • 联结词符号¬，→; • 括号(,) 括号(,)
合式公式
• 命题变元是合式公式； 命题变元是合式公式； • 若Q是公式，则(¬Q)是合式公式； 是公式， 是合式公式； 是合式公式 计算机学院 • 若Q,R是公式，则(Q→R)是合式公式。 是合式公式。 Q,R是公式， 是公式 R)是合式公式
数学中的逻辑-概述说明以及解释
数学中的逻辑-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述数学中的逻辑是一个重要的概念，它帮助我们理解数学的本质和逻辑推理的过程。
逻辑是一种思维方式，通过严密的推理和证明来建立数学系统的基础和结构。
数学逻辑性强，严谨性好，具有普遍性和精确性，因此在数学研究和实际应用中起着至关重要的作用。
数学中的逻辑在数学基础理论和高级数学研究中都扮演着重要角色。
在数学基础理论中，逻辑帮助我们建立起数学的公理系统和推理规则，确保数学系统内部的一致性和完整性。
这些规则包括命题逻辑、谓词逻辑、集合论等，它们为数学提供了一个精确的语言和严密的推导方法。
通过逻辑的引入，我们可以建立符号体系，用符号表示数学对象和关系，通过逻辑语言进行数学推论和证明。
在高级数学研究中，逻辑的重要性更加凸显出来。
高级数学领域的推理和证明经常基于严密的逻辑理论。
逻辑的运用帮助数学家发现问题的本质，构建数学模型，进行假设和证明。
例如，数学分析中的极限理论、代数学中的结构理论、几何学中的公理系统等都是基于逻辑的严密推理。
逻辑推理的严密性使得数学研究结果具有可靠性和可证明性，为数学学科提供了可靠的基础和保证。
数学中的逻辑不仅仅是一种学术上的概念，它在实际应用中也具有重要意义。
逻辑的运用可以帮助我们分析和解决实际问题。
在科学研究和工程技术中，逻辑推理的应用帮助我们理清问题的本质，建立科学模型，预测和解释实验结果。
逻辑思维的训练可以提高我们的分析和推理能力，使我们更好地理解和应用数学。
总之，数学中的逻辑是数学研究和应用的基础，它通过严密的推理和证明建立起数学体系的完整性和一致性。
逻辑在数学研究中起到了不可或缺的作用，帮助数学家发现问题的本质，进行推理和证明。
同时，逻辑在实际应用中也具有重要意义，帮助我们分析和解决实际问题。
深入理解数学中的逻辑将有助于我们更深入地探索数学的奥秘并应用于实践中。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以包括以下内容：文章结构是指文章整体的组织方式和框架，它可以帮助读者更好地理解文章的内容和逻辑关系。
离散数学（1）复习笔记
离散数学（1）复习笔记Ch1 命题逻辑的基本概念1.1 命题命题：能判断真假且⾮真即假的陈述句。
命题的真值，真命题，假命题。
* 真值待定 *简单命题 | 原⼦命题，复合命题。
1.2 常⽤的5个命题联结词否定，合取，析取，蕴涵，双蕴涵。
* 异或 | 排斥或 | 不可兼或 * 注意语义判断。
* p→q = ﹁ p∨q ** 必要条件 * 只有……才……；仅当……，……；……，仅当……。
注意命题符号化的蕴涵⽅向。
* domain * A horse is white. （×）联结词集，⼀元联结词，⼆元联结词。
* 优先顺序 * （），﹁，∧，∨，→，↔1.3 合式公式及其赋值命题常项 | 命题常元（值是确定的），命题变项 | 命题变元（真值可以变化的陈述句）。
合式公式 | 命题公式 | 命题形式 | 公式（wff）（well formed formulas），原⼦命题公式（单个命题变项），⼦公式。
* 单个命题变项是合式公式，没说命题常项。
*赋值 | 解释，成真赋值，成假赋值。
真值表。
* 真值表要点：赋值从00…0开始，按照⼆进制加法，直到11…1为⽌；按照运算的优先次序写出各⼦公式。
*命题公式的分类：重⾔式 | 永真式，⽭盾式 | 永假式，可满⾜式。
1.4 重⾔式与代⼊规则代⼊规则。
* 1. 公式中被代换的只能是命题变项（原⼦命题），⽽不能是复合命题。
2.对公式中某命题变项施以代⼊，必须对该公式中出现的所有同⼀命题变项施以相同的代换。
* 1.5 命题形式化命题形式化 | 符号化。
* 注意充分条件和必要条件的区别 ** 注意语义是否考虑完整 *1.6 波兰表达式中置式 | 中缀式，前置式 | 前缀式 | 波兰式，后置式 | 后缀式 | 逆波兰式。
Ch2 命题逻辑的等值和推理演算2.1 等值定理等值 | 等价，等值定理：设A，B为两个命题公式，A = B的充分必要条件是 A↔B为⼀个重⾔式。
第二讲 命题逻辑基本知识
• 两可说 • 孔子东游，见两小儿辩斗，问其故。一儿曰：“ 我以日始出时去人近，而日中时远也。”一儿以 日初出远，而日中时近也。一儿曰：“日初出大 如车盖，及日中，则如盘盂，此不为远者小而 近者大乎？”一儿曰：“日初出沧沧凉凉，及其 日中如探汤，此不为近者热而远者凉乎？”孔子 不能决也。两小儿笑曰：“孰为汝多知乎！” （《列子·汤问》） “太阳在早晨离我们近”、“太阳中午离我们 近”？
•
命题逻辑公理系统
（1）初始符号：p，q，…… （2）命题连接词： ﹁ ， → ， （3）定义：A ∨ B= ﹁ A → B A ∧ B= ﹁ （A → ﹁ B） A ←→ B= ﹁ （（A → B） → ﹁ （B → A）） （4）形成规则：（a）命题变元是合式公式；（b）如果A、B是 合式公式， ﹁ A，A ∧ B，A ∨ B，A → B，A ←→ B也 是合式 公式；（c）只有按照以上两点组成的符号才是合式公式。 （5）公理： AX1: A → （B → A） AX2: (( A → （B → C）） → （（A → B） → （A → C）） AX3:（ ﹁ A → ﹁ B） → （B → A） （6）推导规则：分离规则：由|-A和|- A → B，|- B；替换规则： A/B。
• 上帝存在的证明（安瑟伦）: 前提1：“可以设想的无与伦比的伟大东西”和 “不可设想的无与伦比的伟大东西”是相同的， 而“不可设想的无与伦比的伟大东西”是“既存 在于心中，也存在于现实中”； 前提2：上帝即是“可以设想的无与伦比的伟大东 西”； 结论：上帝是真实“存在”的。 • 上帝能否制造一个他不能举起的石头；上帝能否 制造一个他不能毁灭的东西。
• 命题联结词： 五个命题联结词： 否定﹁ 、合取∧、析取∨、蕴涵→、等值←→ ﹁ 合式公式: ﹁p, p∧q, p ∨ q, p → q, p←→q ﹁p ∧(p → r ∨ q) • 真值表
命题逻辑的推理理论
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实例
例 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是1号，则明天是5号. 今天是1号. 所 以明天是5号.
解 设 p：今天是1号，q：明天是5号. 证明的形式结构为: (p®q)Ùp®q
证明（用等值演算法）
(p®q)Ùp®q Û Ø((ØpÚq)Ùp)Úq Û ØpÚØqÚq Û 1
得证推理正确
A Þ (AÚB)
附加律
(AÙB) Þ A
化简律
(A®B)ÙA Þ B
假言推理
(A®B)ÙØB Þ ØA
拒取式
(AÚB)ÙØB Þ A
论
析取三段
(A®B)Ù(B®C) Þ (A®C)
假言三段论
(A«B)Ù(B«C) Þ (A«C)
等价三段论
(A®B)Ù(C®D)Ù(AÚC) Þ (BÚD)
难
构造性二
推理的形式结构。
精品课件
说明（2）
设任一A1组，赋A2值，a…1a，2…Aka，n （B中ai＝共0出或现1n，个命i＝题1变，项2，，…对n于），
前提和结论的取值情况有以下四种：
（1） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为0； （2） A1ÙA2Ù…ÙAk 为0，B为1； （3） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为0； （4） A1ÙA2Ù…ÙAk 为1，B为1。
AB
(12) 合取引入规则
CD
课件
构造证明——直接证明法
例3.3 在自然推理系统P中构造下面推理的证明；
（1） 前提：p Ú q， q ® r， p ® s ， Ø s 结论：r Ù （p Ú q）
（2）前提： Ø p Ú q， r Ú Ø q ，r ® s 结论：p ® s
精品课件
第十二章 数理逻辑的公理化理论
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 只要公理系统中有蕴含式为公理, 则可必可同时 得到一个推理规则, 由这种方法所推得的规则叫 导出规则. • 利用导出规则可以从前面15条公理得到15条导 出规则: 规则1 P├P 规则2 P→(Q→R) ├ Q→(P→R) 规则3 P→Q, Q→R ├ P→R 规则4 P→(P→Q) ├ P→Q 规则5 P↔Q ├ P→Q 规则6 P↔Q ├ Q→P
• 3) 系统的独立性
– 系统中的每条公理均不能由其他公理推出 – 一个系统可以是不独立的
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 命题逻辑永真公式的公理系统 1. 系统的组成部分 1) 基本符号 – 命题: P,Q,R,…; – 联结词: ¬,∧,∨,→,↔ – 括号: (,) 2) 公式 – 命题是公式 – 如P,Q是公式, 则(P∧Q), (P∨Q), (P→Q), (P↔Q)是公式 – 公式由且仅由有限次使用(1)(2)而得
12.2.2 谓词逻辑的公理化理论
• 可充分应用UG, US, EG, ES四条规则, 通过 US,ES将公式中的量词全部除去, 从而得到一个 命题逻辑公式，然后用命题逻辑方法推理, 在最 后得到结论前利用UG,EG重新加入量词，恢复 成谓词逻辑公式. • 使用UG时需遵守:
1) 对假设前提中所出现的自由变元不能使用此规则 2) 对额外变元不能使用此规则 3) 一公式中含有额外变元则对此公式中的自由变元亦不 能使用此规则.
12.2.1 命题逻辑的公理化理论
• 例12.1 试证P∨Q → Q∨P • 证明: (1) Q → Q∨P 公(12) (2) P → Q∨P 公(11) (3) (P→Q∨P) → ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 公(13) (4) ((Q→Q∨P)→(P∨Q→Q∨P)) 分(3),(2) (5) P∨Q → Q∨P 分(4),(1) 证明的每一步后面都附有说明叫证明根据.
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
命题逻辑的推理理论
10:44:53
16
直接证明法
(2) 写出证明的形式结构
前提：(pq)r, rs, s
结论：pq (3) 证明 ① r s ② s ③ r ④ (p q) r 前提引入 前提引入 ①②拒取式 前提引入
⑤ (p q)
⑥ pq
③④拒取式
⑤置换
10:44:53
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附加前提证明法
可见，推理的有效性是一回事，前提与结论的 真实与否是另一回事。所谓推理有效，指它的结 论是它的前提的合乎逻辑的结果，也即，如果它 的前提都为真，那么所得结论也必然为真，而并 不是要求前提或结论一定为真或为假。如果推理 是有效的话，那么不可能它的前提都为真时而它 的结论为假。
10:44:53
4
推理的形式结构
10:44:53
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练习1解答
方法二：主析取范式法， (pq)qp ((pq)q)p pq M2 m0m1m3 未含m2, 不是重言式, 推理不正确.
10:44:53
26
10:44:53
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练习1解答
(2) 前提：qr, pr 结论：qp 解 推理的形式结构： (qr)(pr)(qp) 用等值演算法
附加前提证明法: 适用于结论为蕴涵式
欲证
前提：A1, A2, …, Ak
结论：CB 前提：A1, A2, …, Ak, C 结论：B
等价地证明
理由：(A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…Ak)(CB) ( A1A2…AkC)B
(A1A2…AkC)B
10:44:53
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推理定律——重言蕴涵式
1. A (AB)
附加律
2. (AB) A
3. (AB)A B 4. (AB)B A
形式逻辑的公理系统和形式系统
形式逻辑的公理系统和形式系统形式逻辑是一种研究逻辑关系的学科，它试图通过使用形式符号和公理系统来建立逻辑推理的准确性和可靠性。
形式逻辑的公理系统是一种形式化的推理系统，它建立了一组公理和规则，用来推导逻辑论断。
一、形式逻辑的公理系统形式逻辑的公理系统是建立在形式符号和逻辑操作上的一种推理系统。
它通过公理和规则来推导逻辑论断，并确保推理的准确性和精确性。
公理是一组基本原理，它们被假定为真实并用来推导其他命题。
规则是推理过程中的操作步骤，用来控制推理的正确性和合法性。
在形式逻辑的公理系统中，通常包括以下几个要素：1. 符号系统：形式逻辑使用符号来表示逻辑关系和论断。
符号系统包括逻辑操作符、量词、谓词、变量等。
2. 公理：公理是形式逻辑公理系统的基础，它们是被假定为真实并用来推导其他命题的基本原理。
公理通常是逻辑推理的基本规则，它们被作为推理的起点。
3. 规则：规则是推理过程中的操作步骤，用来控制推理的正确性和合法性。
规则可以是代换规则、引入规则、消去规则等，它们确保推理过程中逻辑关系的保持和准确性。
二、形式系统形式系统是形式逻辑的一种表达方式，它使用符号和规则来表示逻辑关系和推理过程。
形式系统可以用来描述和分析各种逻辑概念，并进行逻辑推理。
形式系统通常包括以下几个要素：1. 符号集合：符号集合是形式系统中所使用的符号的集合。
它包括逻辑操作符、量词、谓词、变量等。
2. 公式集合：公式集合是形式系统中表示逻辑论断的集合。
公式可以使用符号集合中的符号进行组合，并通过逻辑操作符来表示逻辑关系。
3. 推演规则：推演规则是形式系统中的推理规则，它用来推导公式之间的逻辑关系。
推演规则可以是代换规则、引入规则、消去规则等，它们确保推理过程中逻辑关系的保持和准确性。
形式系统通过使用符号和规则来描述和分析逻辑关系，并进行逻辑推理。
它提供了一种形式化的方法来研究逻辑问题，确保推理的准确性和可靠性。
总结：形式逻辑的公理系统和形式系统是研究逻辑推理的基本工具。
离散数学要点
1.1 命题1-1-1 命题命题是一个能表达判断并具有确定真值的陈述句。
1-1-2 真值作为命题的陈述句所表达的判断结果称为命题的真值。
真值只有真和假两种，通常记为T和F。
真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。
真命题表达的判断正确，假命题表达的判断错误。
任何命题的真值都是唯一的。
1-1-3 命题变项用命题标识符（大写字母）来表示任意命题时，该命题标识符称为命题变项。
1-1-4 简单命题无法继续分解的简单陈述句称为简单命题或原子命题。
(不包含任何与、或、非一类联结词的命题)1-1-5 复合命题由一个或几个简单命题通过联结词复合所构成的新的命题，称为复合命题，也称分子命题。
1.2 命题联结词及真值表1-2-1 命题联结词命题联结词可将命题联结起来构成复杂的命题，是由已有命题定义新命题的基本方法。
命题联结词又可分为一元命题联结词、二元命题联结词和多元命题联结词。
常用的命题联结词包括否定词、合取词、析取词、蕴涵词和双条件词。
其它联结词还包括异或（不可兼或）、与非和或非等。
1-2-2 否定词否定词是一元命题联结词。
设P为一命题，P的否定是一个新的命题，记作P，读作非P。
若P为T，P为T；若P为F，P为T。
1-2-3 合取词合取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的合取构成一个新的命题，记作P∧Q。
读作P、Q的合取（或读作P与Q，P且Q）。
当且仅当P、Q 同时为T时，P∧Q为T。
否则，P∧Q的真值为F。
1-2-4 析取词析取词是二元命题联结词。
两个命题P和Q的析取构成一个新的命题，记作P∨Q。
读作P、Q的析取（也读作P或Q）。
当且仅当P、Q同时为F 时，P∨Q的真值为F。
否则，P∨Q的真值为T。
1-2-5 蕴涵词蕴涵词是二元命题联结词。
两个命题P和Q用蕴涵词“→”联结起来，构成一个新的命题，记作P→Q。
读作如果P则Q，或读作P蕴涵Q。
当且仅当P 的真值为T，Q的真值为F时，P→Q的真值为F，否则P∨Q的真值为T。
离散数学定义必须背
命题逻辑▪(论域)定义：论域是一个数学系统，记为D。
它由三部分组成：•(1)一个非空对象集合S，每个对象也称为个体；•(2) 一个关于D的函数集合F；•(3)一个关于D的关系集合R。
▪（逻辑连接词）定义•设n>0,称为{0,1}n到{0,1}的函数为n元函数，真值函数也称为联结词。
•若n =0，则称为0元函数。
▪（命题合式公式）定义：•(1).常元0和1是合式公式；•(2).命题变元是合式公式；•(3).若Q,R是合式公式，则(?Q)、(Q?R) 、(Q?R) 、(Q?R) 、(Q?R) 、(Q?R)是合式公式；•(4).只有有限次应用(1)—(3)构成的公式是合式公式。
▪（生成公式）定义1.5 设S是联结词的集合。
由S生成的公式定义如下：•⑴若c是S中的0元联结词，则c是由S生成的公式。
•⑵原子公式是由S生成的公式。
•⑶若n≥1，F是S中的n元联结词，A1,…,A n是由S生成的公式，则FA1…A n是由S生成的公式。
▪（复杂度）公式A的复杂度表示为FC(A)•常元复杂度为0。
•命题变元复杂度为0，如果P是命题变元，则FC (P)=0。
•如果公式A=?B，则FC (A)=FC(B)+1。
•如果公式A=B1? B2，或A=B1? B2，或A=B1?B2，或A=B1? B2，或A=B1? B2，或则FC (A)=max{FC(B1), FC(B2)}+1。
▪命题合式公式语义•论域：研究对象的集合。
•解释：用论域的对象对应变元。
•结构：论域和解释称为结构。
•语义：符号指称的对象。
公式所指称对象。
合式公式的语义是其对应的逻辑真值。
▪（合式公式语义）设S是联结词的集合是{?，?，?，?，?，?}。
由S生成的合式公式Q在真值赋值v下的真值指派v(Q)定义如下：•⑴v(0)=0, v(1)=1。
•⑵若Q是命题变元p，则v(A)= pv。
•⑶若Q1,Q2是合式公式▪若Q= ?Q1，则v(Q)= ?v(Q1)▪若Q=Q1 ? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2)▪若Q=Q1∨Q2，则v(Q)=v(Q1)∨v(Q2)▪若Q=Q1? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2)▪若Q=Q1 ? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2)▪若Q=Q1? Q2，则v(Q)=v(Q1)? v(Q2)▪（真值赋值）由S生成的公式Q在真值赋值v下的真值v(Q)定义如下：•⑴若Q是S中的0元联结词c，则v(Q)=c。
逻辑公理系统
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逻辑公理—表达思想的初始概念
▪ 自然数公理
• x(s(x)x)
• xy (xys(x)s(y))
• x(x+0=x)
• xy(x+s(y)=s(x+y))
• x(x∘0=0)
• xy(x∘s(y)=x∘y+x)
• (Q(0)x(Q(x)Q(s(x))))xQ(x)
▪ 自然数公理是实质公理
▪ 在整数论域中，
• x(I(x) 0≤x)是假； • xy(I(x) y(I(y) x≤y)是假；计算机学院 • xy(y(I(x) I(y) x+y=y+x)是真； • xy(I(x) I(y) x+y≤y))是假。
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命题形式
▪ 命题抽象变换为命题形式
• x(Q(x) R0 (c,x)) ； • x (Q(x) y(Q(y) R0 (x,y)) ； • xy(Q(x)Q(y) R1(g(x,y),g(y,x)) ； • xy(Q(x) Q(y) R0 (g(x,y),y))
• 推理规则集
–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
• 定理集
–表达了肯定的所有命题。
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命题逻辑公理系统
▪ (1).语言集合：L=<{,},{}, P,{},{}>
• 其中，P是命题变元集合。
▪ (2).公理模式：P,Q,R为任意合式公式
▪ 1). A1： R (QR) ▪ 2). A2： (P (QR))((PQ) (PR)) ▪ 3). A3： (QR)(RQ) ▪ (3).变形规则：推理规则(分离规则MP规则)
公理系统l证明双重否定律
公理系统l证明双重否定律1.引言1.1 概述概述部分应该简要介绍文章的主题和内容，向读者说明本文将要讨论的问题以及为什么这个问题具有重要性。
针对本文的主题，公理系统证明双重否定律，可以参考以下写作：概述:公理系统证明双重否定律是数理逻辑领域中一项重要的研究内容。
双重否定律是一条关键的逻辑原理，它是从公理系统中推导出来的，具有重要的理论和实际应用意义。
本文旨在通过对公理系统的定义和作用的介绍，以及双重否定律的概念和重要性的讨论，揭示公理系统证明双重否定律的过程，并探讨双重否定律的应用和影响。
公理系统作为数理逻辑研究中的基础概念，通过一系列公理和推理规则组成，用于推导出逻辑结论。
它在逻辑推理和数学证明过程中扮演着重要的角色。
在本文中，我们将对公理系统的定义和作用进行详细阐述，以帮助读者理解公理系统是如何运作的，以及为什么它对于证明双重否定律至关重要。
双重否定律作为逻辑学中的一条基本原理，它表明一个命题的否定再否定等于原命题本身。
这一原理在逻辑推理和证明中具有广泛应用，不仅在数学领域中，还在自然语言处理、人工智能等领域中发挥着重要作用。
在本文中，我们将深入探讨双重否定律的概念和重要性，阐明它在逻辑学中的作用和实际应用，以及为什么证明双重否定律对于推动逻辑学和相关学科的发展具有重要意义。
通过本文的结构安排，我们将详细介绍公理系统的定义和作用，以及双重否定律的概念和重要性。
随后，我们将详细讨论通过公理系统证明双重否定律的具体过程，并探究它的应用和影响。
通过深入探讨公理系统证明双重否定律的内容，我们期望能够帮助读者更好地理解和应用这一重要的逻辑原理，进一步推动相关领域的发展。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以描述本文的主要结构和各个章节的主题。
例如：文章结构：本文将按照以下结构进行论述。
首先，在引言部分，我们将概述本文的目的和文章结构。
接着，在正文部分，我们将介绍公理系统的定义和作用，以及双重否定律的概念和重要性。
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• 公理集
–公理是用于表达推理由之出发的初始肯定命题；
• 推理规则集
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–推理规则是由公理及已证定理得出新定理的规则；
• 定理集
–表达了肯定的所有命题。
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命题逻辑的公理系统
▪ 定义3.1 命题逻辑的公理系统定义:
▪ 符号
• 命题变元p1,p2,…pn
• 联结词符号，; • 括号(,)
• 命题变元复杂度为0，如果Q是命题变元，则FC (Q)=0。 • 如果公式Q=R，则FC (Q)=FC(R)+1。 • 如果公式Q=R1R2，则FC (Q)=max{FC(R1), FC(R2)}+1。
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推理序列
▪ 已知Q成立， 证明R→Q成立
▪ A1= Q (RQ) ▪ A2= Q ▪ A3= RQ
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▪ 例：├(QR) (QQ)
▪ A1=Q (RQ)
A1
▪ A2= (Q (RQ)) ((QR) (QQ)) A2
▪ A3= (QR) (QQ)
A2=A1A3
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重要定律
▪ 三段论：Q, QR ├R ▪ 传递律：PQ,QR├PR
▪ 反证律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├R,则Γ├ Q ▪ 归谬律：如果Γ, Q├ R, Γ, Q├ R，则Γ├ Q
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▪ P, Q(PR)├QR
▪ A1= P
A1Γ
▪ A2=P (QP)
A1
▪ A3=QP
A2 = A1 A3
▪ A4= Q(PR)
A4 Γ
▪ A5= (Q(PR))((QP)(QR))
A2
▪ A6= (QP)(QR)
计算机学院A5 = A4A6
▪ A7= (QR)
A6 = A3A7
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三段论
▪ Q, QR ├R ▪ A1= QR
▪ A2= Q ▪ A3= R
A1 Γ A2 Γ A1=A2 A3
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传递律
▪ PQ,QR├PR
▪ A1=(QR) (P (QR))
A1
▪ A2=QR
A2 Γ
▪ A3=P (QR)
A1= 若Q是公式，则(Q)是合式公式；计算机学院 • 若Q,R是公式，则(QR)是合式公式。
▪ 定义了所有合式公式
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命题逻辑的公理系统
▪ 有以下三个公理模式，其中P,Q,R可为任意公式
• 公理模式A1
–Q (RQ)
• 公理模式A2
–(P (QR)) ((PQ) (PR))
▪ 卢卡西维茨公理系统 ▪ Q(RQ)
▪ QQ 计算机学院
▪ (P(QR)) ((PQ) (PR))
▪ (QR) (R Q)
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缩写公式
▪ QR=(QR) ▪ QR= (QR) ▪ QR=(QR) (RQ) ▪ QR= (QR)
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公式复杂度
▪ 公式Q的复杂度表示为FC(Q)
• A1=α1
• A2=α2
• ….
• An=αn
(αn =Q)
▪ 每个αk满足以下条件之一，
▪ 推理序列
• 如果推理步骤序列
是推理A1序,A列2,…长A度nn，。则
• (1) α是公理；
▪ 推论：
• (2) α kΓ； • (3) 有i,j<k αk= αi αj由αi, αj用MP规则
计算机•学如院Γ果，Q则是Γ公├ 理Q 或 Q
主要内容
▪ 概述 ▪ 命题逻辑公理系统 ▪ 谓词逻辑公理系统 ▪ 公理系统性质 ▪ 理论与模型 ▪ 判定问题 ▪ 总结
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逻辑公理系统
▪ 公理系统
• 从一些公理出发，根据演绎法，推导出一系列定理，形成的演绎体 系叫作公理系统。
▪ 公理系统的组成：
• 符号集；
• 公式集
–公式是用于表达命题的符号串；
• 公理模式A3
–(Q R) (RQ)
▪ 推理规则(分离规则,MP规则)
• 从Q和QR推出R
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–Q和QR称为前提
–R称为结论
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公理系统
▪ 罗素公理系统 ▪ QQ Q ▪ QQR ▪ QRRQ ▪ (PQ)(PRQR)
▪ 弗雷格公理系统 ▪ Q(RQ) ▪ (P(QR)) ((PQ) (PR)) ▪ (P(QR)) (Q(PR)) ▪ (QR) (RQ) ▪ QQ
▪ 推理序列 • Γ=Q，公式集——前提 • A1、A2、A3 ——推理序列 • A3 ——结论
A1
QΓ
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演绎与推理序列
▪ 定义3.2 设Γ是合式公式集, Q是合 式公式，有推理步骤A1,A2,…An， 公式序列α1, α2,… αn ，其中
▪ Γ称为推演的前提集， 称α为结论
▪ A4=(P (QR)) ((PQ) (PR))
A2
▪ A5=(PQ) (PR) ▪ A6=(PQ)
计算机学院 A4=A3 A5 A6 Γ
▪ A7=(PR)
A5=A6→A7
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▪ ├ (P(QR))(Q(PR))
▪ A1=(P (Q R)) (( P Q)(P R))
A2
▪ A2= (( P Q)(P R))(Q(( P Q)(P R) ))
A1
▪ A3=(Q(( P Q)(P R))) (( Q( P Q)) (Q(P R))) A 2
▪ A4= ((P (Q R)) (( Q( P Q)) (Q(P R))))
A1, A2, A3├ A4
▪ A5=((P (Q R)) (( Q( P Q)) (Q(P R))))
▪
( (P (Q R)) ( Q( P Q)) (P (Q R)) (Q (P R))) A 2
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重要定理
▪ ├ (P(QR)) (Q(PR)) ▪ ├(Q R)((PQ)(PR)) ▪ ├(P Q)((QR)(PR)) ▪ ├QQ ▪ ├QQ ▪ ├ QQ ▪ ├ (QR)(QR) ▪ ├Q((QR) R)
▪ ├(QR)(RQ) ▪ ├(QR)(RQ) ▪ ├(Q R )(RQ) ▪ ├ Q(Q R) ▪ ├(QQ)(RQ) ▪ ├(QQ)Q
推出。
▪ 则称它为Q的从Γ的一个推演(演绎), 记为Γ├ Q。
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证明与定理
▪ 如果存在从Γ推演出Q，则记为Γ├Q 。 ▪ {Q1,Q2,…Qn}├Q简记为
• Q1,Q2,…Qn ├Q
▪ 如果Γ为空集 ，则记为├Q。
▪ 如则果 A1Γ,A├2,Q…，A并n称且为有的推一理个步证计骤算明机A。1学,A院2,…An， ▪ 如果├Q ，则Q称为定理。