工业机器人静力及动力学分析

注：1）2008年春季讲课用；2）带下划线的黑体字为板书内容；3）公式及带波浪线的部分为必讲内容第3章工业机器人静力学及动力学分析3.1 引言在第2章中，我们只讨论了工业机器人的位移关系，还未涉及到力、速度、加速度。

由理论力学的知识我们知道，动力学研究的是物体的运动和受力之间的关系。

要对工业机器人进行合理的设计与性能分析，在使用中实现动态性能良好的实时控制，就需要对工业机器人的动力学进行分析。

在本章中，我们将介绍工业机器人在实际作业中遇到的静力学和动力学问题，为以后“工业机器人控制”等章的学习打下一个基础。

在后面的叙述中，我们所说的力或力矩都是“广义的”，包括力和力矩。

工业机器人作业时，在工业机器人与环境之间存在着相互作用力。

外界对手部（或末端操作器）的作用力将导致各关节产生相应的作用力。

假定工业机器人各关节“锁住”，关节的“锁定用”力与外界环境施加给手部的作用力取得静力学平衡。

工业机器人静力学就是分析手部上的作用力与各关节“锁定用”力之间的平衡关系，从而根据外界环境在手部上的作用力求出各关节的“锁定用”力，或者根据已知的关节驱动力求解出手部的输出力。

关节的驱动力与手部施加的力之间的关系是工业机器人操作臂力控制的基础，也是利用达朗贝尔原理解决工业机器人动力学问题的基础。

工业机器人动力学问题有两类：(1)动力学正问题——已知关节的驱动力，求工业机器人系统相应的运动参数，包括关节位移、速度和加速度。

(2)动力学逆问题——已知运动轨迹点上的关节位移、速度和加速度，求出相应的关节力矩。

研究工业机器人动力学的目的是多方面的。

动力学正问题对工业机器人运动仿真是非常有用的。

动力学逆问题对实现工业机器人实时控制是相当有用的。

利用动力学模型，实现最优控制，以期达到良好的动态性能和最优指标。

工业机器人动力学模型主要用于工业机器人的设计和离线编程。

在设计中需根据连杆质量、运动学和动力学参数，传动机构特征和负载大小进行动态仿真，对其性能进行分析，从而决定工业机器人的结构参数和传动方案，验算设计方案的合理性和可行性。

在离线编程时，为了估计工业机器人高速运动引起的动载荷和路径偏差，要进行路径控制仿真和动态模型的仿真。

这些都必须以工业机器人动力学模型为基础。

工业机器人是一个非线性的复杂的动力学系统。

动力学问题的求解比较困难，而且需要较长的运算时间。

因此，简化求解过程，最大限度地减少工业机器人动力学在线计算的时间是一个受到关注的研究课题。

在这一章里，我们将首先讨论与工业机器人速度和静力学有关的雅可比矩阵，然后介绍工业机器人的静力学问题和动力学问题。

3.2 工业机器人速度雅可比与速度分析3.2.1 工业机器人速度雅可比数学上雅可比矩阵(Jacobian matrix)是一个多元函数的偏导矩阵。

假设有六个函数，每个函数有六个变量，即：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===),,,,,(),,,,,(),,,,,(654321666543212265432111x x x x x x f y x x x x x x f y x x x x x x f y M(3-1) 可写成：Y ＝F (X )将其微分，得：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=∂∂++∂∂+∂∂=666226116666222211226612211111d d d d d d d d d d d d x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y x x f x x f x x f y ΛM ΛΛ (3-2) 也可简写成：X X F Y d d ∂∂= (3-3)式(3-3)中的(6×6)矩阵XF ∂∂叫做雅可比矩阵。

在工业机器人速度分析和以后的静力学分析中都将遇到类似的矩阵，我们称之为工业机器人雅可比矩阵，或简称雅可比。

一般用符号J 表示。

图3-1为二自由度平面关节型工业机器人（2R 工业机器人），其端点位置x ，y 与关节变量θ1、θ2的关系为：⎩⎨⎧++=++=)in(sin )cos(cos 2121121211θθθθθθs l l y l l x (3-4) 即：⎩⎨⎧==),(),(2121θθθθy y x x (3-5) 将其微分，得： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂+∂∂=∂∂+∂∂=22112211d d d d d d θθθθθθθθy y y x x x 将其写成矩阵形式为：(x ，y )T 图3-1 二自由度平面关节工业机器人⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=⎥⎦⎤⎢⎣⎡212121d d d d θθθθθθy y x xy x (3-6) 令： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡∂∂∂∂∂∂∂∂=2121θθθθy y x x J (3-7)式(3-6)可简写为：d X ＝J d θ (3-8)式中：⎥⎦⎤⎢⎣⎡=y x X d d d ；⎥⎦⎤⎢⎣⎡=21d d d θθθ 我们将J 称为图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人的速度雅可比，它反映了关节空间微小运动d θ与手部作业空间微小位移d X 之间的关系。

注意：d X 此时表示微小线位移。

若对式(3-7)进行运算，则2R 工业机器人的雅可比写为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J (3-9) 从J 中元素的组成可见，J 阵的值是θ1及θ2的函数。

对于n 个自由度的工业机器人，其关节变量可以用广义关节变量q 表示，q ＝[q 1 q 2 … q n ]T ，当关节为转动关节时，q i ＝θi ，当关节为移动关节时，q i ＝d i d q ＝[d q 1 d q 2 … d q n ]T 反映了关节空间的微小运动。

工业机器人手部在操作空间的运动参数用X 表示，它是关节变量的函数，即X ＝X (q )，并且是一个6维列矢量（因为表达空间刚体的运动需要6个参数，即三个沿坐标轴的独立移动和三个绕坐标轴的独立转动）。

因此，d X ＝[d x d y d z δφx δφy δφz ]T 反映了操作空间的微小运动，它由工业机器人手部微小线位移和微小角位移(微小转动)组成，d 和δ没差别，因为在数学上，d x =δx 。

于是，参照(3-8)式可写出类似的方程式，即：d X ＝J (q )d q (3-10)式中J (q )是6×n 的偏导数矩阵，称为n 自由度工业机器人速度雅可比矩阵。

它反映了关节空间微小运动d q 与手部作业空间微小运动d X 之间的关系。

它的第i 行第j 列元素为：qjq x q J i ij ∂∂=)()(， i ＝1，2，…，6；j ＝1，2，…，n (3-11) 3.2.2 工业机器人速度分析对式(3-10)左、右两边各除以d t ，得：tt d d )(d d q q J X = (3-12) 即q q J V &)(= (3-13)式中： V ——工业机器人手部在操作空间中的广义速度，V =X&； q &——工业机器人关节在关节空间中的关节速度；J (q )——确定关节空间速度q &与操作空间速度V 之间关系的雅可比矩阵。

对于图3-1所示2R 工业机器人来说，J (q )是式(3-9)所示的2×2矩阵。

若令J 1、J 2分别为式(3-9)所示雅可比的第一列矢量和第二列矢量，则式(3-13)可写成：2211θθ&&J J V +=式中右边第一项表示仅由第一个关节运动引起的端点速度；右边第二项表示仅由第二个关节运动引起的端点速度；总的端点速度为这两个速度矢量的合成。

因此，工业机器人速度雅可比的每一列表示其它关节不动而某一关节运动产生的端点速度。

图3-1所示二自由度平面关节型工业机器人手部的速度为：[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++-++-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=22121212112212121211212122121121221211)cos()c(cos )sin()sin(sin )cos()c(cos )sin()sin(sin θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ&&&&&&l l l l l l l l l l l l v v y x V 假如θ1及θ2是时间的函数，θ1=f 1(t )，θ2=f 2(t )，则可求出该工业机器人手部在某一时刻的速度V ＝f (t )，即手部瞬时速度。

反之，假如给定工业机器人手部速度，可由式(3-13)解出相应的关节速度，即：V J q 1-=& (3-14)式中：J -1称为工业机器人逆速度雅可比。

式(3-14)是一个很重要的关系式。

例如，我们希望工业机器人手部在空间按规定的速度进行作业，那么用式(3-14)可以计算出沿路径上每一瞬时相应的关节速度。

但是，一般来说，求逆速度雅可比J -1是比较困难的，有时还会出现奇异解，就无法解算关节速度。

通常我们可以看到工业机器人逆速度雅可比J -1出现奇异解的情况有下面两种：(1) 工作域边界上奇异。

当工业机器人臂全部伸展开或全部折回而使手部处于工业机器人工作域的边界上或边界附近时，出现逆雅可比奇异，这时工业机器人相应的形位叫做奇异形位。

(2) 工作域内部奇异。

奇异并不一定发生在工作域边界上，也可以是由两个或更多个关节轴线重合所引起的。

当工业机器人处在奇异形位时，就会产生退化现象，丧失一个或更多自由度。

这意味着在空间某个方向(或子域)上，不管工业机器人关节速度怎样选择手部也不可能实现移动。

[例3-1] 如图3-2所示二自由度平面关节型机械手。

手部某瞬沿固定坐标系X 0轴正向以1.0m/s 速度移动，杆长为l 1＝l 2＝0.5m 。

假设该瞬时θ1＝30︒，θ1＝-60︒。

求相应瞬时的关节速度。

解 由式(3-9)知，二自由度机械手的速度雅可比为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++-+--=)cos()cos(cos )sin()sin(sin 2122121121221211θθθθθθθθθθl l l l l l J 因此，逆速度雅可比为：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--++=-)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 121211212112122122211θθθθθθθθθθθl l l l l l l l J (3-15)图3-2 二自由度机械手手爪沿X 0方向运动⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=01y x v v V ，因此，由式(3-14)可得：⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--+--++==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-01)sin(sin )cos(cos )sin()cos(sin 12121121211212212221121θθθθθθθθθθθθθθl l l l l l l l V J &&& 因此rad/s)(2235.023)(-60 sin 5.0)60-03( cos sin )( cos 21211-=⨯-=︒⨯︒︒=+=θθθθl & rad/s 4235.0232)(-60 sin 5.0)60-03( cos )(-60 sin 5.003 cos sin )( cos sin cos 21212212=⨯=︒⨯︒︒-︒⨯︒-=+--=θθθθθθl l & 从以上可知，在该瞬时两关节的位置和速度分别为θ1＝30︒，θ2＝-60︒，1θ&＝-2rad/s ，2θ&＝4rad/s ，手部瞬时速度为1m/s 。