【最新】高中数学-2018高考数学(文科)习题 第六章 数列 6-4-2 word版含答案

1．若a ，b 是函数f (x )＝x 2
－px ＋q (p >0，q >0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 D
解析 由题可知a ，b 是x 2－px ＋q ＝0的两根， ∴a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，故a ，b 均为正数． ∵a ，b ，－2适当排序后成等比数列， ∴－2是a ，b 的等比中项，得ab ＝4， ∴q ＝4.又a ，b ，－2适当排序后成等差数列， 所以－2是第一项或第三项，不防设a <b ， 则－2，a ，b 成递增的等差数列，
∴2a ＝b －2，联立⎩⎪⎨
⎪
⎧
2a ＝b －2，ab ＝4，
消去b 得a 2
＋a －2＝0， 得a ＝1或a ＝－2，又a >0， ∴a ＝1，此时b ＝4， ∴p ＝a ＋b ＝5， ∴p ＋q ＝9，选D.
2.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1,2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________.
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答案 3
n －1
解析 由3S 1,2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，则3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q
n －1
＝3
n －1
.
3．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，则S n ＝________. 答案 －1
n
解析 ∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1
S n ＋1
＝1，
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1，∴1
S n
＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，∴S n
＝－1n
.
4.设n ∈N *，x n 是曲线y ＝x
2n ＋2
＋1在点(1,2)处的切线与x 轴交点的横坐标．
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(1)求数列{x n }的通项公式； (2)记T n ＝x 21x 23…x 2
2n －1，证明：T n ≥14n .
解 (1)y ′＝(x 2n ＋2
＋1)′＝(2n ＋2)x
2n ＋1
，曲线y ＝x
2n ＋2
＋1在点(1,2)处的切线斜率为
2n ＋2，
从而切线方程为y －2＝(2n ＋2)(x －1)． 令y ＝0，解得切线与x 轴交点的横坐标x n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1
. (2)证明：由题设和(1)中的计算结果知
T n ＝x 21x 23…x 2
2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122⎝ ⎛⎭⎪⎫342…⎝ ⎛⎭
⎪
⎫2n －12n 2. 当n ＝1时，T 1＝1
4.
当n ≥2时，因为x
2
2n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫2n －12n 2＝2n －12
2n 2>
2n －12－12n 2
＝2n －22n ＝n －1
n
.
所以T n >⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×2
3
×…×n －1n ＝14n .
综上可得对任意的n ∈N *
，都有T n ≥14n
.
5．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x
的图象上(n ∈N *
)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ； (2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1
ln 2
，求数
列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n
b n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.解得d ＝a 8－a 7＝2.所以，S n ＝na 1＋
n n －1
2
d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n .
(2)函数f (x )＝2x
在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝(2a 2ln 2)(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－
1ln 2
. 由题意，a 2－1ln 2＝2－1
ln 2，解得a 2＝2.所以，d ＝a 2－a 1＝1.
从而a n ＝n ，b n ＝2n
.
所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n
2
n ，
2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1.因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n
2n ＝
2
n ＋1
－n －22
n
.所以，T n ＝2n ＋1
－n －2
2
n
. 6．已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b
n (n ∈N *
)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，
b 3＝6＋b 2.
(1)求a n 与b n ；
(2)设c n ＝1a n －1b n
(n ∈N *
)．记数列{c n }的前n 项和为S n .
①求S n ；
②求正整数k ，使得对任意n ∈N *
均有S k ≥S n . 解 (1)由题意a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，
知a 3＝(2)
b 3－b 2
＝8，又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，
所以数列{a n }的通项为a n ＝2n
(n ∈N *
)．
所以，a 1a 2a 3…a n ＝2
n n ＋1
2
＝(2)
n (n ＋1)．
故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *
)．
(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝1n ＋1－12n (n ∈N *
)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0， 当n ≥5时，c n ＝1n
n ＋1⎣
⎢⎡⎦
⎥⎤n
n ＋1
2
n
－1，
而n n ＋1
2n
－
n ＋1
n ＋2
2
n ＋1
＝
n ＋1
n －2
2
n ＋1
>0，
得
n n ＋1
2
n ≤
5·
5＋1
2
5
<1. 所以，当n ≥5时，c n <0.
综上，对任意n ∈N *
恒有S 4≥S n ，故k ＝4.
7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得S n ＝a m ，则称{a n }是“H 数列”．
(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n (n ∈N *
)，证明：{a n }是“H 数列”；
(2)设{a n }是等差数列，其首项a 1＝1，公差d <0.若{a n }是“H 数列”，求d 的值； (3)证明：对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *
)成立．
解 (1)证明：由已知，当n ≥1时，a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2
n ＋1
－2n ＝2n
.于是对任意的正整数
n ，总存在正整数m ＝n ＋1，使得S n ＝2n ＝a m .
所以{a n }是“H 数列”．
(2)由已知，得S 2＝2a 1＋d ＝2＋d .因为{a n }是“H 数列”，所以存在正整数m ，使得S 2
＝a m ，即2＋d ＝1＋(m －1)d ，于是(m －2)d ＝1.
因为d <0，所以m －2<0，故m ＝1，从而d ＝－1. 当d ＝－1时，a n ＝2－n ，S n ＝
n 3－n
2
是小于2的整数，n ∈N *
.
于是对任意的正整数n ，总存在正整数m ＝2－S n ＝2－n 3－n
2
，使得S n ＝2－m ＝a m .
所以{a n }是“H 数列”．因此d 的值为－1.
(3)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1＋(n －1)(d －a 1)(n ∈N *
)．令b n ＝na 1，c n ＝(n －1)(d －a 1)，则a n ＝b n ＋c n (n ∈N *
)．
下证{b n }是“H 数列”． 设{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝n n ＋1
2
a 1(n ∈N *)．于是对任意的正整数n ，总存在
正整数m ＝
n n ＋1
2
，使得T n ＝b m .所以{b n }是“H 数列”．
同理可证{c n }也是“H 数列”．
所以，对任意的等差数列{a n }，总存在两个“H 数列”{b n }和{c n }，使得a n ＝b n ＋c n (n ∈N *
)成立．。