九年级数学圆知识点归纳

圆知识点归纳

一、圆的定义。

1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。

2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。

二、圆的各元素。

1、半径：圆上一点与圆心的连线段。

2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。

3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。

4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。

（1）劣弧：小于半圆周的弧。

（2）优弧：大于半圆周的弧。

5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。

6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。

7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。

三、圆的基本性质。

1、圆的对称性。

（1）圆是轴对称图形，它的对称轴是直径所在的直线。

（2）圆是中心对称图形，它的对称中心是圆心。

（3）圆是旋转对称图形。

2、垂径定理。

（1）垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（2）推论：

➢ 平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。

➢ 平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。

3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。

（1）同弧所对的圆周角相等。

（2）直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。

4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距

五对量中只要有一对量相等，其余四对量也分别相等。

5、夹在平行线间的两条弧相等。

6、设⊙O 的半径为r ，OP=d 。

7、（1

（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三

个点的距离相等。

（直角三角形的外心就是斜边的中点。）

8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。

直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。

2 9A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）。

则AB=221221)()(y y x x -+-

10、圆的切线判定。

（1）d=r 时，直线是圆的切线。

d = r 直线与圆相切。 d < r （r > 直线与圆相交。

d > r （r < 直线与圆相离。

d = r 点P 在⊙O 上

d < r （r > 点P 在⊙O 内 d > r （r < 点P 在⊙O 外

切点不明确：画垂直，证半径。

（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线。

切点明确：连半径，证垂直。

11、圆的切线的性质（补充）。

（1）经过切点的直径一定垂直于切线。

（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。

12、切线长定理。

（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个

（2）切线长定理。 ∵ PA 、PB 切⊙O 于点

A 、

B ∴PA=PB ，∠1=∠2。

13、内切圆及有关计算。

（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。

（2）如图，△ABC 中，

AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。

求：AD 、BE 、CF 的长。

分析：设AD=x ，则AD=AF=x ，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－x. 可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3

（3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b ，BC=a ，AB=c 。

求内切圆的半径r 。 分析：先证得正方形ODCE ， 12（2）

P 13(2)图 5-x E 6 7-

得CD=CE=r

AD=AF=b －r ，BE=BF=a －r

b －r ＋a －r=c

得r=2

c b a -+ （4）S △ABC =)(2

1c b a r ++ 14、（补充）

（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角，∠ABC=∠D 。

（2）相交弦定理。

圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

（3）切割线定理。

如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB ·PC 。

（4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC ·PD 。

15

（1）外离：d >r 1＋r 2， 交点有

个；

外切：d=r 1＋r 2， 交点有1个；

相交：r 1－r 2

内切：d=r 1－r 2， 交点有1个；

内含：0≤d

B （1）

C （2）

（3）C （4）图 D 相相离

相交两圆的连心线垂直平分公共弦。

相切两圆的连心线必经过切点。 16、圆中有关量的计算。

（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。 L==⨯R n π2360180

R n π （2）扇形的面积用S 表示。

S=36036022R n R n ππ=⨯ S=lR R R n 2

12180=⨯π （3）圆锥的侧面展开图是扇形。

r 为底面圆的半径，a 为母线长。

✧ 扇形的圆心角α=0360⨯a

r ✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2