定积分的概念和可积条件
第7章第2节定积分存在的条件
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月6日星期一
i
ixi 0.
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
19
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
二、可积函数类（三类可积函数）
1. a,b上的连续函数在a,b上可积.
证明: 设f x 在a,b上连续。根据康托定理， f x在a,b上一致连续，
所以对任意的 0， 0,使对于
a,b上任意两点x', x'',只要 x' x'' ，
2020年4月6日星期一
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
21
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
2. 只有有限个第一类不连续点的函数是可积的. (即, 分段函数是可积的).
证明：设f x有k个不连续点：x1' , x2' ,L , xk'，则对于
任意的 0及 0，总存在适当小的 0，使 ，
2k
而对任何分法，当 maxxi 时，
n
S f i xi S
i 1
n
取极限 0，得
lim f
0 i1
i
xi I
可积准则1：f 在a,b可积 lim S S 0 0
2020年4月6日星期一
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16
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
定积分存在的条件
10
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
Mi Mi1 x'j xi1
Mi Mi2
xi
x
' j
M
m
x
' j
xi 1
xi
x
' j
M m xi xi1 M m p 1
M
m
p
1
2
p
1
M
m
2
另一方面，由定理1有
*
'
S L S L
2
于是将上面的两个不等式相加，得
'
S
L，S '
L
,及
0 S'－L
2
2
固定了p及 xi' 以后, 可取 (分法固定)
2020年4月8日星期三
海阔凭鱼跃,天高任鸟飞
7
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
min x1'
x0' ,
x2'
x1' , L
,
x'p
x
' p1
,
2 p 1 M m
（分法T 对应的小区间中最小的小区间长度）
证明: 设对于a，b有两个独立的分法，
对应的达布和分别记为 s1，s1及s2，s2， 我们来证明 s1 s2. 把两种分法的分点合并在一起，也是一种分法，
对应的达布和分别记为S3 , 及S3，于是由定理1知
S1 S3, S3 S2 . 而S3 S3 , 所以S1 S2.
(证毕)
2020年4月8日星期三
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5
循序渐进
§7.2 定积分存在的条件
6.1 定积分的概念及性质
b
b
b
（线性性)
f ( x)dx .
（积分区间具有可加性)
补充 不论 a , b, c 的相对位置如何,上式总成立.
四、定积分的性质
• 性质 4 性质 4
a1dx a dx b a .
b
b
b
•性质5 如果在区间[a, b]上 f (x)0, 则
a f (x)dx 0 (ab).
2
2
1
x dx （2） ln(1 x)dx 与
2
1
0
1
0
ln 2 (1 x)dx
2 x [1, 2] x x 时， ，由保序性可知 解 （1）当
可知
2
1
xdx x 2 dx ．
1
2
2
x ，由保序性 ) （2 ）当 x [0,1]时， ln(1 x ) ln (1
i 1,2, n
a
b xn x
解决步骤
(2) 取近似
在每个小区间上任 取一点 i 设函数在区间 a, b 上连续
y
xi 1 i xi
y f x 0
为高，以 xi为底， 以 f ( i ) 作 n 个小矩形，其面积分 别为 f i xi , 则 Ai f i xi (i 1,2,, n)
结
1. 定积分的实质: 特殊和式的极限.
思想 以直代曲、以常代变. 取极限. 方法 四步曲: 分割、取近似、求和、
3. 定积分的性质 (注意估值性质、积分中值定理的应用)
4. 典型问题 (1) 估计积分值; (2) 不计算定积分比较积分大小.
•推论1 如果在区间[a, b]上 f (x)g(x), 则
函数可积性
s(T2 ) s(T1 ) [mk ( x xk1 ) mk( xk x)] mk ( xk xk1 )
[Mk ( x xk1 ) Mk ( xk x)]
记作:
积分上限
b
n
a
f ( x)dx
lim
0 k 1
f (k ) xk
积分下限
定积分是 :
[a, b] 称为积分区间
积分和式的极限
2020/1/13
4
b
[例如] 曲边梯形的面积 A f ( x)dx a b 变速直线运动的路程 s v(t)dt a 定积分的“ ”定义：
1 D( x) 0
x为 有 理 数 x为 无 理 数
在[0, 1]上 不 可 积
[证]
任给[0,
1]的一个划
分xk
n k0
任 取k [ xk1 , xk ]是 有 理 数 (k 1,, n)
n
n
n
D(k )xk
k 1
xk
k 1
1
lim
0
作业
P44习题2.1: 2. 4. 8. P54习题2.2: 8. 9.
复习：P37—53 预习：P54—60
2020/1/13
1
第五讲 函数可积性
一、定积分的概念 二、可积性条件与可积类
2020/1/13
2
一、定积分的概念
黎曼积分定义：
设 函 数 f : [a, b] R, 对 区 间[a, b]
2020/1/13
第十讲 定积分的概念与性质 积分上限函数及其导数
b
o a
xi 1xi
(左矩形公式)
bx
a f ( x) dx y0x y1x yn1x
a ( y y y b 0 1 n 1 ) n
2.
a f ( x) dx y1x y2x yn x
a ( y y y ) b 1 2 n n
0 i 1
n
n
y
lim f ( i )xi
0 i 1
o a x1
xi 1 xi
i
机动
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结束
2) 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度 且
求在运动时间内物体所经过的路程 s.
解决步骤: a) 大化小. n 个小段 过的路程为 b) 常代变. 得 将它分成 在每个小段上物体经
2
则
2 i f (i )xi i2 xi 3 n
i n
下页 返回
1x
结束
注 1 n 2 1 1 f (i )xi 3 i 3 n(n 1)(2n 1) n i 1 n 6 i 1
n
1 1 1 (1 )(2 ) 6 n n
y
1 2 x 0
A5 b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
各部分面积的代数和（几何意义）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4、可积的充分条件:
定理1.
定理2.
且只有有限个间断点
(证明略)
例1. 利用定义计算定积分
解: 将 [0,1] n 等分, 分点为 取
y
yx
o
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
71定积分的概念与可积条件
y
y f( x )
A ?
a b
x b 所 围 成 .
o
x
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
o
a
（四个小矩形）
b
x o
a
（九个小矩形）
b
x
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系．
2 x x f ( ) x i i i i i xi ,
n
n
2
n
i 1
i 1
i 1
1 n 2 1n ( n 1 )( 2 n 1 ) i 1 3 i 3 n n i 1 n 6 i 1 n
n
2
1 1 1 1 , 2 6 n n
[ a , b ] 区 间 上 可 积 .
四、定积分的几何意义
f( x ) 0 , f( x ) 0 ,
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
b
f(x ) dx A 曲边梯形的面积 a
的负值
b
A1
A2
A3
A4
f ( x ) dx A A A A 1 2 3 4 a
i 1 , 2 , , n [ q , q ] 典 型 小 区 间 为 ， （ ）
i 1 i
小 区 间 的 长 度 , x q q q ( q 1 ) i
i 1 , 2 , , n 取 ， （ ） q i
n 1 1 i1 q (q1 ) f (i )xi x i i 1 i 1 i 1 i i 1q
数学分析ch7-1定积分的概念和与可积条件
目录
• 定积分的概念 • 可积条件 • 定积分的应用 • 定积分与不定积分的关系
01 定积分的概念
定积分的定义
定积分是积分和的极限
定积分定义为积分区间[a,b]上，函数f(x)与直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边 梯形的面积，即对任意给定的正数ε，存在一个正数δ，使得当分割的区间长度 最大不超过δ时，积分和的绝对值不超过ε。
计算方法不同
定积分需要先找到被积函数的原函 数，再利用微积分基本定理计算； 而不定积分则直接对被积函数进行 不定积分运算。
定积分与不定积分的转换
利用微积分基本定理
通过求不定积分得到原函数，再利用定积分的定义计算出定 积分的值。
利用牛顿-莱布尼茨公式
将定积分转换为不定积分的计算，需要先找到被积函数的原 函数，再利用牛顿-莱布尼茨公式计算定积分的值。
在计算曲线长度时，我们需要确定曲线的起点和终点，并将其表示为连续可微的函数。然后， 我们可以利用这个函数来计算定积分，从而得到曲线的长度。
定积分在计算曲线长度方面具有广泛的应用，它可以用来计算各种曲线的长度，如圆弧、椭 圆弧、抛物线等。
04 定积分与不定积分的关系
定积分与不定积分的联系
两者都是积分，都是求解曲线 与x轴所夹的面积。
定积分的性质
线性质
∫(a,b)[k*f(x)+g(x)]dx=k*∫(a,b)f(x)d x+∫(a,b)g(x)dx，其中k和g(x)是常数。
区间可加性
下限函数的积分性质
∫(a,b)f(x)dx=∫(a,b)f[φ(t)]φ'(t)dt， 其中φ(t)是单调不减的函数，且 φ(a)=b，φ(b)=a。
高等数学练习题解析 第6章 定积分及其应用
第6章 定积分及其应用§6—1，2,3 定积分的概念、可积条件及定积分的性质A 类1．用被积函数f(x)=x 在[a,b]上连续，为便于计算，不妨把[a,b]分成n 等份，分点为,1,,2,1),(-=-+=n i a b n i a x i 每个区间长度为,,i i i x n ab x =-=∆ξ取1,2,,i n =，有和式 11()[()]nn i i i i b a if x a b a n n ξ==-∆=+-∑∑ )2)1((+-+-=n n n a b na n a b =)12)((nn a b a a b +-+- 当n 趋于无穷时，则上面和式极限为)(21)2)((22a b a b a a b -=-+-∑⎰=∞→-=∆=∴n i i i n b a a b x f xdx 122)(21)(lim ξ 2．利用定积分的几何意义，说明下列等式： a)⎰12xdx 表示直线y=2x 与x=1及x 轴所围面积，由三角形面积易知.1212121=⋅⋅=⎰xdx b)⎰-22cos ππxdx 表曲线y=cosx 从22ππ到-与x 轴所围面积，从图形知所围部分均在x 轴上半部分，且由对称性知它是从20π到所围面积的两倍，即⎰⎰=-222cos 2cos πππxdx xdx3．证明：∑⎰=→∆⋅=ni i i bax kf dx x kf 1)(lim )(ξλ⎰∑=∆==→b ani i i dx x kf x kf k )()(lim 1ξλ4．不妨设[,],()(),[,]\{}()()x a b f x g x x a b x f x g x ''''∈≠∈=且当时，则对任意分割.110b x x x x a n n =<<<<=- 总存在小区间不妨设为i i i i n n n n x x x ∆∈∆∆-'],[1使得对该分割有∑∑∑∑====∆+∆-∆=∆nk k k n k k k n k k k NK k kx x x x 1111''ωωωω（这里设)]),([inf )]([sup ')],([inf )]([sup ],[],[],[],[1111x f x f x g x g k k k k k k k k x x x x x x k x x x x x x k ----∈∈∈∈-=-=ωω∑∑≠=∆+∆-+∆-=ii i i n k nk k k n n n k k kx x x 1')'()'(ωωωωω∑=∆+∆-=nk k k n n n x x i i i 1')'(ωωω （1）时，当分割不妨设上可积，所以在δλεδδε<<∃>∀∴)()(,,0],[)(T b a x f 有εω<∆∑=nk k kx 1'（2）(')(')i i i i i i n n n n n n x x ωωωω-∆≤+∆[,][,][,][,](sup ()inf ()sup ()inf ())().x a b x a b x a b x a b f x g x f x f x T M λε∈∈∈∈≤-+-⋅< （3）其中[,][,][,][,]sup ()inf ()sup ()inf ()x a b x a b x a b x a b M g x g x f x f x ∈∈∈∈∆-+-由（1）（2）（3）得：∑∑==+=+<∆+∆-≤∆nk k k n n n nk k kM M x x x i i i 11)1(''εεεωωωω所以g(x)在[a,b]上可积，而()01()lim()nbkk zT k g x dx g x λξ→==∆∑⎰()0111lim [()()()]n nnk k k k k k T k k k g x f x f x λξξξ→====∆-∆+∆∑∑∑])()()([lim 1)(∑=→∆+∆-∆=nk k k n n n n T x f x f x g i i i i ξξξλ=⎰∑=∆=→bank k kT dx x f x f )()(lim1)(ξλ5．试将下列极限用定积分表示：（1）⎰∑===∞→1011lim xdx nin n i n 原式（2）∑⎰=∞→+=+=ni n dx x nin 1102211)(111lim 原式（3）⎰∑∑====∞→-∞→10111)cos(cos 1lim cos 1lim dx x n in n i n n i n n i n πππ原式6．根据定积分的性质，说明下列定积分哪一个的值较大：32)[12]a x x ≥在，上，且3222》，有222311x dx x dx <⎰⎰。
定积分的概念和性质
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分知识复习总结
定积分知识总结一、基本概念和性质（1）定义[]()[]())()(lim )()()(,,,,0max ...,)()(lim lim )(11111111011-=∞→-=----∞→∞→=∞→-⋅-⋅=-⋅≈=→-∞→==-⋅=⋅∑∑∑∑⎰i i ni i n i i ni i i i i i i i i i i i i i i i i n i nn i n ni iban x x f x x f S x x f S I S I S I x x I x x n b x x x a n b a x x f S dx x f ξξξξξ④求极限：即③求和：，上任取一点在上用矩形代替在上的代数面积为在②记时，要求当＜＜＜个小区间，区间分成①把的定义：[]dxx g dx x f dx x g x f ab babababa⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅+⋅-=⎰⎰⎰⎰)()()()(12βαβα②线性运算性质：①）定积分的性质（)()()(=⋅⋅-=⋅⎰⎰⎰aaabba dx x f dxx f dx x f()））（定要求的区间可积即可，不一其中，包含③区间的可加性：b a c c b a dxx f dx x f dx x f bccaba,,,()()()(∈⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰[][][][]⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅⋅≥≡=⋅≥⋅≥⋅≥≥⋅≥babababab abadxx g dx x f x g x f x g x f b a x g x f x f x f dx x f x f x f b a x f dxx g dx x f x g x f b a x g x f dx x f x f b a x f )()(),()(),()(,)(),(0:0)(00:0)(0)(0)(0)(,)()()(),()(,)()(0)(0)(,)(＞则：不恒等于且上连续，在区间推论：若区间上都等于则是指在整个；，也可能整个区间均为可能个别点上等于＞，则不恒等于，上连续，在⑥若则上可积且在，⑤若，则上可积且在④ [][][][][])()()(,,)()()()(,)(,)()()(,)(a b f dx x f b a b a x f a b M dx x f a b m M m b a x M x f m b a x f dxx f dx x f b a x f bababa ba-⋅=⋅∈-≤⋅≤-∈≤≤⋅≤⋅⎰⎰⎰⎰ξξ，使得：点上连续，则至少存在一在闭区间若⑨（积分中值定理）均为常数，则：，，，上可积，在⑧若上可积，则在⑦若二、微积分基本公式1、积分上限函数及其导数定义：设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，对于任意],[b a x ∈，)(x f 在区间],[x a 上也连续，所以函数)(x f 在],[x a 上也可积.显然对于],[b a 上的每一个x 的取值，都有唯一对应的定积分⎰xadt t f )(和x 对应，因此⎰xadt t f )(是定义在],[b a 上的函数.记为⎰=Φxadt t f x )()(，],[b a x ∈.称)(x Φ叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数.定理1：如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，则⎰=Φxadt t f x )()(在],[b a 上可导，且)()()()(b x a x f dt t f dxd x xa ≤≤==Φ'⎰定理2、3：如果)(x f 在区间],[b a 上连续，则它的原函数一定存在，且其中的一个原函数为⎰=Φxadt t f x )()(.2、牛顿——莱布尼茨公式定理4（微积分基本公式）如果函数)(x f 在区间],[b a 上连续，且)(x F 是)(x f 的任意一个原函数，那么⎰-=b aa Fb F dx x f )()()(.证 由定理5.2知，⎰=Φx adt t f x )()(是)(x f 在区间],[b a 的一个原函数，则)(x Φ与)(x F 相差一个常数C ，即C x F dt t f x a+=⎰)()(.又因为C a F dt t f a a+==⎰)()(0，所以)(a F C -=.于是有)()()(a F x F dt t f x a -=⎰.所以 ⎰-=baa Fb F dx x f )()()(成立.为方便起见，通常把)()(a F b F -简记为ba x F )(或b a x F )]([，所以公式可改写为)()()()(a F b F x F dx x f b a b a-==⎰三、定积分的积分法1、定积分的换元积分法定理1设函数)(x f 在区间],[b a 上连续，并且满足下列条件：（1）)(t x ϕ=，且)(αϕ=a ，)(βϕ=b ；（2）)(t ϕ在区间],[βα上单调且有连续的导数)(t ϕ'；（3）当t 从α变到β时，)(t ϕ从a 单调地变到b . 则有⎰⎰'=b adt t t f dx x f βαϕϕ)()]([)(上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点：①从左到右应用公式，相当于不定积分的第二换元法.计算时，用 把原积分变量 换成新变量 ，积分限也必须由原来的积分限 和 相应地换为新变量 的积分限 和 ，而不必代回原来的变量 ，这与不定积分的第二换元法是完全不同的.②从右到左应用公式，相当于不定积分的第一换元法（即凑微分法）.一般不用设出新的积分变量，这时，原积分的上、下限不需改变，只要求出被积函数的一个原函数，就可以直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值. 2、定积分的分部积分法设函数)(x u u =和)(x v v =在区间],[b a 上有连续的导数，则有)()()]()([)()(x du x v x v x u x dv x u bab ab a⎰⎰-=.上述公式称为定积分的分部积分公式.选取)(x u 的方式、方法与不定积分的分部积分法完全一样.四、定积分的应用1、定积分应用的微元法为了说明定积分的微元法，我们先回顾求曲边梯形面积A 的方法和步骤： (1)将区间],[b a 分成n 个小区间，相应得到n 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为i A ∆),2,1(n i =；(2)计算i A ∆的近似值，即i i i x f A ∆≈∆)(ξ（其中],[,11i i i i i i x x x x x --∈-=∆ξ）； (3)求和得A 的近似值，即i ni i x f A ∆≈∑=1)(ξ；(4)对和取极限得⎰∑=∆==→bai ni i dx x f x f A )()(lim 1ξλ.下面对上述四个步骤进行具体分析：第(1)步指明了所求量（面积A ）具有的特性：即A 在区间],[b a 上具有可分割性和可加性.第(2)步是关键，这一步确定的i i i x f A ∆≈∆)(ξ是被积表达式dx x f )(的雏形.这可以从以下过程来理解：由于分割的任意性，在实际应用中，为了简便起见，对i i i x f A ∆≈∆)(ξ省略下标，得x f A ∆≈∆)(ξ，用],[dx x x +表示],[b a 内的任一小区间，并取小区间的左端点x 为ξ，则A ∆的近似值就是以dx 为底，)(x f 为高的小矩形的面积（如图5.7 阴影部分），即dx x f A )(≈∆.通常称dx x f )(为面积元素，记为dx x f dA )(=.将(3),(4)两步合并，即将这些面积元素在],[b a 上“无限累加”，就得到面积A .即⎰=ba dx x f A )(.一般说来，用定积分解决实际问题时，通常按以下步骤来进行： （1）确定积分变量x ，并求出相应的积分区间],[b a ；（2）在区间],[b a 上任取一个小区间],[dx x x +，并在小区间上找出所求量F 的微元dx x f dF )(=；（3）写出所求量F 的积分表达式⎰=ba dx x f F )(，然后计算它的值.利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量F 一般应满足以下两个条件： ①F 是与变量x 的变化范围],[b a 有关的量；②F 对于],[b a 具有可加性，即如果把区间],[b a 分成若干个部分区间，则F 相应地分成若干个分量.2、定积分求平面图形的面积（1）直角坐标系下面积的计算(1)由曲线)(x f y =和直线0,,===y b x a x 所围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍，此处不再叙述.(2)求由两条曲线)(),(x g y x f y ==，))()((x g x f ≥及直线b x a x ==,所围成平面的面积A （如图5.8所示）.下面用微元法求面积A . ①取x 为积分变量，],[b a x ∈.②在区间],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，该区间上小曲边梯形的面积dA 可以用高)()(x g x f -，底边为dx 的小矩形的面积近似代替，从而得面积元素dx x g x f dA )]()([-=. ③写出积分表达式，即⎰-=badx x g x f A )]()([.⑶求由两条曲线)(),(y x y x ϕψ==，))()((y y ϕψ≤及直线d y c y ==,所围成平面图形（如图5.9）的面积. 这里取y 为积分变量，],[d c y ∈， 用类似 (2)的方法可以推出：⎰-=dcdy y y A )]()([ψϕ.（2）极坐标系下面积的计算设曲边扇形由极坐标方程)(θρρ=与射线)(,βαβθαθ<==所围成（如图5.13所示）.下面用微元法求它的面积A.以极角θ为积分变量，它的变化区间是],[βα，相应的小曲边扇形的面积近似等于半径为)(θρ，中心角为θd 的圆扇形的面积，从而得面积微元为θθρd dA 2)]([21=于是，所求曲边扇形的面积为 ⎰=βαθθρd A 2)]([21.3．定积分求体积 (1)旋转体的体积旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体.这条直线叫做旋转轴.设旋转体是由连续曲线)0)()((≥=x f x f y 和直线b x a x ==,及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成（如图5.15）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在],[b a 上任取一小区间],[dx x x +，相应薄片的体积近似于以)(x f 为底面圆半径，dx 为高的小圆柱体的体积，从而得到体积元素为dx x f dV 2)]([π=，于是，所求旋转体体积为dx x f V bax ⎰=2)]([π.(2)平行截面面积为已知的立体体积设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求，则该物体可用定积分求其体积.不妨设直线为x 轴，则在x 处的截面面积)(x A 是x 的已知连续函数，求该物体介于a x =和)(b a b x <=之间的体积（如图5.19）.取x 为积分变量，它的变化区间为],[b a ，在微小区间],[dx x x +上)(x A 近似不变，即把],[dx x x +上的立体薄片近似看作)(x A 为底，dx 为高的柱片，从而得 到体积元素dx x A dV )(=.于是该物体的体积为⎰=badx x A V )(.类似地，由曲线)(y x ϕ=和直线d y c y ==,及y 轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成（如图5.16），所得旋转体的体积为dy y V dcy ⎰=2)]([ϕπ.。
定积分的基本概念与可积函数类
定积分的基本概念与可积函数类黎曼积分一，摘要：本文先是从微积分的发展史开始讨论，从开普特第二定律到牛顿的变化量累积量再到莱布尼茨的特征三角，研究微积分思想的形成过程包括牛顿和莱布尼茨的积分思想与方法进而引出完整的以柯西，威尔斯特拉斯的极限ε-δ语言定义的定积分基本概念。
再着重分析了在黎曼积分定义前提下的可积函数类。
在讨论可积函数类的过程中主要分析了原函数（不定积分）与可积的关系，两类间断点与可积函数的关系以及间断点的个数与可积的关系。
在讨论的过程中我主要是通过举例说明,比如前者是通过证明连续函数有原函数，再证明教材中的牛顿莱布尼茨公式，引出了原函数存在是个比连续还强的条件。
即原函数存在一定可积，但可积不一定有原函数，比如黎曼函数。
再通过单调函数的（第一类间断点）可积性与黎曼函数（第一类间断点）的可积性与的函数f(x)=sin(1/x)（第二类间断点）的比较得出可积性对间断点的类别提出的要求。
即第一类间断点和第二类有穷间断点可能可积，对于无限间断点，无界肯定不可积。
再通过狄利克函数说明间断点的个数与可积性的关系，有限个间断点可积无限个间断点不可积。
当然上面说的所有的前提是在有界这个必要条件下的最后再补述了勒贝克积分与黎曼积分的关系，扩充可积条件。
在此处键入公式。
二，关于牛顿和莱姆尼茨的积分思想讲到定积分的基本概念就不得不说到微积分的发展历程，淡到微积分大家一定会想到两位数学界的伟人--------他们是英国的牛顿和德国的莱姆尼茨。
他们两分别独立从不同的角度思考终于发明了微积分，牛顿是从力学的运动的角度（物理学方面的求变化过程中的积累量。
例如，变速运动在一段时间【α,b】内行进的路程,变力使物体运动一段路程【α,b】所作的功等等。
），而莱姆尼茨则是从几何图形的角度着入研究的（主要是利用“特征三角形”从作曲线上任一点的切线进而求面积）。
虽然他们的积分思想有所差别，但他们的最终问题的根源却殊途同归回到了同一个问题上来了即蕴含在定积分概念中的基本思想----------有限逼近无限，以致促进了以后的极限方法的发展。
5.2.1 定积分的概念与可积条件
n
若极限
lim ∑ f (ξ i ) ∆ x i 存在，且极限值与分割 T 和 ξ i T →0
i =1
n
的取法无关，则称函数 f (x) 在 [a, b]上可积（或黎曼可积）， 极限值 J 称为 f (x) 在 [a, b]上的定积分，记为 积分上限
∫a
积分下限
b
f ( x) d x =
被积函数 被积表达式
b
b
b
（3）一般不能用 n → ∞ 来代替 T → 0 , 因为 n → ∞ 时未必有 T → 0 , 但 T → 0 时必定同时有
n → ∞.
19
（4） 积分和的极限
与普通函数极限 (i) 积分和
n i =1 n
||T ||→ 0
lim
∑ f (ξ )∆x
i =1 i
n
i
= J
x → x0
lim h( x ) = A 的区别：
n
i
= b − a,
当 ξ i 取无理数时
i i = i 1= i 1
∑ D(ξ )∆x = ∑ 0 ⋅ ∆x =
i
0,
||T ||→ 0
lim
∑ D(ξ )∆x
i
0 =
所以该函数在区间 [a , b] 上不可积.
21
注：（5）可积性是函数的又一分析性质. 稍后(推论5.2.2) 就会知道连续函数是可积的.于是开头的两个实例都可用 定积分记号表示：
(1)分割：把 [a, b] 任意分为n个小段: [ xi −1 , xi ]( i = 1, 2, , n). (2)近似：在 [ xi −1 , xi ] 上任取一点 ξi , 物体从 xi −1 移到 xi 时 F ( x) 作的功 ∆Wi ≈ F (ξ i )( xi − = xi −1 ) F (ξ i )∆xi (3)求和：物体从 a 移到 b 时 F ( x)作的功近似为: W ≈ ∑ F (ξ i ) ∆xi
定积分的定义和计算
定积分的定义和计算定积分是微积分中的重要概念，用于计算曲线下的面积、质量、体积等物理量。
本文将介绍定积分的定义和计算方法，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。
一、定积分的定义定积分的定义可以通过分割求和的思想来解释。
给定一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上进行分割，将该区间划分为n个子区间，每个子区间的长度为Δx。
选取每个子区间中的一个点xi，然后计算函数在该点的函数值f(xi)。
将这些函数值乘以子区间的长度Δx，并对它们进行求和，得到一个近似值。
当我们让n趋近于无穷大时，所得到的近似值逐渐接近定积分的准确值。
定积分的定义可以表示如下：∫[a, b]f(x)dx = lim[n→∞]∑(i=1 to n)f(xi)Δx其中∫表示定积分的符号，[a, b]表示积分的区间，f(x)表示被积函数，dx表示自变量x的微小变化，lim表示极限操作，∑表示求和。
二、定积分的计算方法定积分的计算可以通过基本积分公式和定积分的性质来进行。
1. 基本积分公式定积分的计算可以利用基本积分公式，将被积函数直接进行积分。
例如，对于多项式函数、三角函数等常见函数，可以通过查表或运用基本积分公式来计算定积分的值。
2. 定积分的性质定积分具有一些重要的性质，可以简化计算过程。
（1）线性性质：若f(x)和g(x)是可积函数，a和b是常数，则有以下等式成立：∫[a, b][f(x) + g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[a, b]g(x)dx∫[a, b]af(x)dx = a∫[a, b]f(x)dx（2）区间可加性：若f(x)在区间[a, b]和[b, c]上是可积函数，则有以下等式成立：∫[a, c]f(x)dx = ∫[a, b]f(x)dx + ∫[b, c]f(x)dx（3）换元积分法：对于积分区间和被积函数都有一定条件的情况下，可以通过换元积分法简化计算过程，将积分转化为更容易处理的形式。
关于定积分定义及可积条件的讨论
摘 要 教 材 在 定 积分 的 定 义 中 。 通 常 特 别 强调 分 法 和 选 取 的 两 个 任 意 性 。利 用 此 定 义 讨 论 问 题 比 较 繁 琐 ． 因此 在 此 定 义 基 础 上 做 出进 一 步 讨 论 ． 即将 定 义 中分 法 的 任 意 性 用 特 殊 分 割来 代 替 ． 样 不 仅 给 解 决 问题 带来 了方 便 ． 且 可 这 而 以帮 助 大 家 更 深 刻地 理 解 和 掌 握 定 积分 定 义 的实 质 同 时 还 给 出 了一 个 可 积 的 充 分 必 要 条 件 ． 即 关 于 函 数 收 敛 的 Ｃ ｕｈ ａ ｃ ｙ收敛 准 则 ． 应用 此定 理 证 明 关 于 函 数 的 可 积 性 问 但 题相 当ｒ 烦 。 麻 由此我们对该定理做 出改进 ． 出一个 简单易 得
行 的 判定 定 理
这说明当『 Ｉ 时有 Ｓ — ，（ 一， 一０ （） ｓ ） ’ 由达布定理
ｓ Ｓ ｌ ＝＝。
充分性 ： Ｓ ｓ 设 ＝， 命此公共值为 ，由达布定理得 ，
ｌ ｉ ｍ Ｓ ） ｌ ｓ ） Ｉ （ ＝ ｉ ｍ （ ＝ ｌ ຫໍສະໝຸດ －￣ Ｉ ｌ ｄ ｌｌ ｌｌ Ｉ
（） １
借助华东师范大学数学分析定积分性质 １ 中的不等式
５
（ ≤ ） （ ≤． ） ） ｓ （
关 键 词 定 积 分 分 割 Ｃ ｕ ｈ 收敛 准 则 ａｃｙ
Ｔｈ Ｄｅ ｎ ｔ ｎ ｆ Ｄｅ ｉ ｉｅ ｎ ｅ ｒ ｌ ｎ Ｄｉｃ ｓ ｉ ｎ ｆ ｅ ｉ ｆ ｉｉ ｏ Ｆ ｔ Ｉ ｔ ｇ ａ ａ ｄ ｏ ｎ ｓ ｕ ｓｏ ｏ ｔ Ｃｏ ｄ ｔ ｎ ｏ ｎ Ｉ ｔｇ ａ ｌ ｕ ｃ ｏ ／ Ｌｕ Ｊｅ ｉｇ１ ｈｅ ｎ ｉ ｏ ｆ ａ ｎ ｅ ｒ ｂｅ Ｆ ｎ ｔ ｎ ／ ｉ ｉｂｎ ￣ ｉ ｉ ， Ｚ ａ ｇ Ｈｏ ｇｉ ｎ ｈｎ ｎｌ ａ 一 Ａｂ ｔ ａ ｔ Ｔ ｅ ｔｘ ｂ ｏ ｓｓｒ ｓ ｈ ｒ ｉ ａｙ ｃ ｏｃ ｅｗ ｅ ｅ ｓ ｒ ｃ ｈ ｅ ｔ ｏ ｋ ｔｅ ｓｔ ｅ ａ ｂ ｔ ｒ ｈ ｉｅ ｂ ｔ ｅ ｎ ｔ ｒ ｈ ｐ ｒｉｏ ｎ ｅｄ ｆ ｉｏ ｆｄ ｆ ｉ ｎｅ ｒｌ ｕ ｔ ｅ ｍｓ ａ ｔ ｎＴ ａ ｄｉ ｔ ｅ ｎｔ ｎｏ ｅ ｎｔ ｉｔｇａ， ｔｉｓ ｅ ｔ ｉ ｎ ｈ ｉ ｉ ｉ ｅ ｂ ｃ ｍｂ ｒ ｏ ｏ ｄ ｓ ｕ ｓ ｉｓ ｅ ｔ ｈ ｓ ｄ ｆ ｉ ｏ ． ｈ ｒ ｆ ｒ ， ｕ ｅ ｓ ｍｅ ｔ ｉｃ ｓ ｓ ｕ ｓ ｗｉ ｔ ｉ ｅ ｎ ｔ ｎ Ｔ ｅ ｅ ｏ ｅ ｈ ｉ ｉ ｔ ｉ ｐ ｐ ｒｒ ｐ ａ ｅ ｔ ｅ ｐ ｒｉ ｏ ｉ ｐ ｃ ａ ａ ｔ ｉ ｎ ｉ ｈ ｈ ｓ ａ ｅ ｅ ｌｃ ａｔ ｉｎ Ｔ ｗ ｔ ａｓ ｅ ｉ ｌ ｒ ｔ ｔ ｅ ｈ ｔ ｈ ｐ ｉｏ ｎ ｄ ｆ ｉ ｏ ｎ ｔ ｅ ｂ ｓ ｆｆ ｒ ｅ ｉｃ ｓ ｉｎ ． ｈ ｓ ｍｅ Ｉ ｄ ｉ ｎ ｔ ｅ ｎ ｔ ｎ ｏ Ｉ ａ ｅ ｏ ｔ ｒｄ ｓ ｕ ｓｏ ｓ ｉ ｉ ｉ ｌ ｕ ｈ Ｔ ｔ ｏ ｓ ｏ ｌ ｏ ｌ ｏ ｖ ｎ ｎ ｏ ｓ ｔｌ ｓ ｕ ｓ ｉ ｒ ｃ ｉｅｂ ｔ ａｓ ｅｐ ｕ ｏ ｎ ｙ ｃ ｎ ｉ ｅ ｔ ｔ ｅｔ ｉｓ ｅ ｎ ｐ ａ ｔ 。 ｕ ｌｏ ｈ ｌ ｆ ｌｆ ｒ ｅ ｃ ｔ ｅ ｅ ｄ ｒ ｏ ａｎ ｄ ｅ ｕ ｄ ｒ ｔｎ ｉ ｇ ｎ ｍａ ｔ ｒ ｈ ｈ ｒ ａ ｅ ｔ ｇ ｉ ａ ｅ ｐ ｎ ｅ ｓ ｄ ｎ ａ ｄ ａ ｓｅ ｔ ｅ ｅｓｎ ｅ ｏ ｈ ｅ ｎｔ ｎｅ ｒ１ ａ ｗｈｌ， ｉ ｐ ｐ ｒｇｖ ｓａ ｓｅ ｃ ｆｔｅ ｄ ｆ ｉ ｉｔｇａ． ｎ ｉ ｔ ｓ ａ ｅ ｉｅ ｎ ｉ ｅ Ｍｅ ｅｈ ｉ ｔｇ ａ ｌ ｎ ｃ ｓ ａｙ ｃ ｎ ｉ ｏ ｓ ｔ ｅ Ｃ ｕ ｈ ｃ ｉ ｒ ｎ ｏ ｒ ｎ ｅ ｒ ｂ ｅ ｅ ｅ ｓ ｒ ｏ ｄｔ ｎ －－ｈ ａ ｃ ｙ ｒｔ ｉ ｆ ｉ ｅｏ ｃ ｎ ｅ ｇ ｎ ｅ Ａｔ ｌｓ， ｉ ａ ｅ ｋ ｓ ａ ｉ ｌ ｔ ｅ ｒ ｍ ｉ ｏ ｖ ｒ ｅ ｃ ． ａ ｔ ｓ ｐ ｐ ｒ ｍａ ｅ ｓｍｐ ｅ ｈ ｏ ｅ ｗ ｔ ｈ ｔ ｈ ｉ ｒ ｖ ｍｅ ｔ ｅ ａ ｓ ｔ ｅ ａ ｔ ｈ ｔ ｈ ｅ ｐ ｌ ａｉｎ ｆ ｈ ｍｐ ｏ ｅ ｎ ｓ ｂ ｃ ｕ ｅ ｈ ｆ ｃ ｔ ａ ｔ ａ ｐ ｉ ｔ ｏ ｔ ｅ ｃ ｏ ｄ ｆ ｉ ｏ ｏ ｐ ｏ ｅ ｔ ｅ ｉ ｔｇ ａ ｌ ｓ ｕ ｓ ｏ ｕ ｃ ｉｎ ａ ｐ ａ ｅ ｎ ｔ ｎ ｔ ｒ ｖ ｎ ｅ ｒ ｂｅ ｉｓ ｅ ｆ ａ ｆ ｎ ｔ ｐ ｅ ｍ ｉ ｉ ｈ ｏ ｃ ｍｂ ｒｏ ． ｕ ｅ ｓ ｍｅ Ｋｅ ｒ ｓ ｄ ｆ ｉ ｔｇ ａ，ａ ｔ ｉ￣ｅ ｕ ｈ ｒ ｅ ｏ ｒ ｏ ｙ ｙ ｗｏ ｄ ｅ ｎ ｔ ｉ ｅ ｒ ｌ ｒｉ ｏ ａ ｅ ｙｃ ｉ ｒ ｎｆ ｎ － ｉ ｅｎ ｑ ｏ ｔ ｔｉ ｏｃ
华东师范大学数学系《数学分析》讲义定积分【圣才出品】
第9章定积分9.1本章要点详解本章要点■定积分的概念■牛顿-莱布尼茨公式■可积条件■定积分的性质■微积分基本定理/定积分计算重难点导学一、定积分概念1．问题提出背景类似计算曲边梯形面积的几何问题和求变力做功的力学问题，求解的思想方法可以用“分割，近似求和，取极限”来概括，这也是产生定积分概念的背景．2．定积分的相关定义（1）设闭区间[,]a b 上有1n +个点，依次为0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ，它们把[,]a b 分成n 个小区间1[,],1,2,,i i i x x i n -∆==L ，这些分点或这些闭子区间构成对[,]a b 的一个分割，记为{}01,,,n T x x x =L 或{}12,,,n ∆∆∆L小区间i ∆的长度为1i i i x x x -∆=-并记1||||max{}i i nT x ≤≤=∆称为分割T 的模．（2）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，对于的[,]a b 一个分割12{,,,}n T =∆∆∆L ，任取点,1,2,,i i i n ξ∈∆=L ，并作和式1()n i i i f x ξ=∆∑，称此和式为函数f 在[,]a b 上的一个积分和，又称黎曼和．（3）设f 是定义在[,]a b 上的一个函数，J 是一个确定的实数，若对任给的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[,]a b 的任何分割T ，以及在其上任意选取的点集{}i ξ，只要||||T δ<，就有1|()|ni i i f x J ξε=∆-<∑，则称函数f 在区间[,]a b 上可积或黎曼可积．数J 称为f 在[,]a b 的定积分或黎曼积分，记作()d ba J f x x =⎰其中f 称为被积函数，x 称为积分变量，[,]ab 称为积分区间，,a b 分别称为这个定积分的下限和上限．二、牛顿-莱布尼茨公式若函数f 在[,]a b 上连续，且存在原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈，则f 在[,]a b 上可积，且()d =()()ba f x x Fb F a -⎰上式称为牛顿-莱布尼茨公式．它也常写成()d =()b ba a f x x F x ⎰三、可积条件1.可积的必要条件若函数f 在[,]a b 上可积，则f 在上[,]a b 必定有界．2.可积的充要条件（1）可积准则函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的一个分割T ，使得()(T)S T s ε-<（2）可积准则的改述函数f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给0ε>，总存在相应的某一分割T ，使得i i T xωε∆<∑3.可积的充分条件（1）若f 为[,]a b 上的连续函数，则f 在[,]a b 上可积．（2）若是f 区间[,]a b 上只有有限个间断点的有界函数，则f 在[,]a b 上可积．（3）若f 是[,]a b 上的单调函数，则f 在[,]a b 上可积．四、定积分的性质1.定积分的基本性质（1）若f 在[,]a b 上可积，k 为常数，则kf 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a kf x x k f x x =⎰⎰（2）若f ，g 都在[,]a b 上可积，则f g ±在[,]a b 也可积，且()()[()()]d d d b b ba a a f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰（3）若,f g 都在[,]ab 上可积，则f ·g 在[a ，b ]上也可积．（4）f 在[,]a b 上可积的充要条件是：任给(,)c a b ∈，f 在[,]a c 与[,]c b 上都可积，此时又有等式()()()d d d b c ba a c f x x f x x f x x =+⎰⎰⎰（5）设f 为[,]a b 上的可积函数，若()0,[,]f x x a b ≥∈，则()d 0ba f x x ≥⎰推论：积分保不等式性若f 与g 为[,]a b ]上的两个可积函数，且()g(x),[,]f x x a b ≤∈，则有()()d d b ba a f x x g x x ≤⎰⎰（6）若f 在[,]ab 上可积，则||f 在[,]a b 上也可积，且()()d d b b a a f x x f x x≤⎰⎰2．积分中值定理（1）积分第一中值定理若f 在[,]a b 连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()d =()()b a f x x f b a ξ-⎰（2）推广的积分第一中值定理若f 与g 都在[,]a b 上连续，且()g x 在[,]a b 上不变号，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使得()()g()d =()d bba a f x x x f g x x ξ⎰⎰五、微积分学基本定理·定积分计算1．变限积分与原函数的存在性（1）定义设f 在[a ，b ]上可积，根据定积分的性质，对任何x ∈[a ，b ]，f 在[a ，x ]上也可积．于是，由（9-1）定义了一个以积分上限x为自变量的函数，称为变上限的定积分．类似地，又可定义变下限的定积分Φ与ψ统称为变限积分．（2）变限积分的性质①若f在[a，b]上可积，则由式（9-1）所定义的函数φ在[a，b]上连续．②原函数存在定理（微积分学基本定理）若f在[a，b]上连续，则由式（9-1）所定义的函数函在[a，b]上处处可导，且（3）重要定理①积分第二中值定理设函数f在[a，b]上可积，则：a．若函数g在[a，b]上减，且g（x）≥0，则存在ξ∈[a，b]，使得b．若函数g在[a，b]上增，且g（x）≥0，则存在η∈[a，b]，使得②推论设函数f在[a，b]上可积．若g为单调函数，则存在ξ∈[a，b]，使得2．换元积分法与分部积分法（1）定积分换元积分法若函数f在[a，b]上连续，φ在[α，β]上可积，且满足则有定积分换元公式（2）定积分分部积分法若u（x），ν（z）为[a，b]上的可微函数，且u′（x）和ν′（x）都在[a，b]上可积，则有定积分分部积分公式3．泰勒公式的积分型余项设函数f在点x0的某邻域U（x0）上有n＋1阶连续导函数．令x∈U（x0），则（1）积分型余项（2）拉格朗日型余项。
高中数学(人教版)定积分的概念与性质课件
b
a
f ( x )dx
积分上限
b
[a , b ]
积分区间
n
f ( i ) xi a f ( x) d x lim 0 i 1
积分下限 被 积 函 数
b
被 积 表 达 式
T2 T1
积 分 变 量
积 分 和
注 (1)
A f ( x )dx , s v ( t )dt .
a a
性质2 设 a c b , 则
b a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx
a c
c
b
可加性
不论a,b,c的相对位置如何,上述等式均成立
性质3 如果在区间 [a , b ]上 f ( x ) 1,那么
1dx dx b a
a a
a x 0 x1 x 2 x n 1 x n b .
2) 取近似.
T1 t 0 t1 t 2 t n1 t n T2
2) 取近似.
T1
Ai f ( i ) x i
n
3) 求和. A A i f ( i )xi
i 1
n
si v ( i )t i
)x i 4) 取极限. A lim f ( i取极限
0
i 1
n
i 1
4) 取极限.
不同点： 背景不同
相同点： 方法相同
（一）引例
1．曲边梯形的面积 1) 分割. 在[a , b]中任意插入 n –1 个分点 2.变速直线运动的路程 1) 分割. 在[T1 , T2]中任意插入 n –1 个分点
b a
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n
S() f ( i )xi，i [xi1, xi ], i 1
如果当 0 时极限 lim S() 存在，且与划分 的具 0
体选取无关，也与 i 的选取无关，则称函数 f (x) 在 [a,b]
上是黎曼可积的，并称上述极限为 f (x) 在 [a,b] 上的定积分，
T2
t tn1
n
n
(3) 作和： S si v( i )ti
i 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi 1
n
S (4) 取极限：记
t
max {
1in
ti
},
lim
t 0
i 1
v( i
)ti
二、定积分的定义
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，在 [a,b] 上任意取分 点a x0 x1 xn b，我们称之为区间 [a,b] 的一个划分， 记作 ，同时记 xi xi xi1，x m1iaxn {xi}，称之为划分
S( ') S(), S( ') S().
证明： 不是一般性，设 ' 就比 多一个分点 x '，且
不妨设 x ' (xk1, xk ) ，则
n
k 1
n
S() Mixi Mixi Mk xk Mixi
i 1
i 1
ik 1
k 1
S( ') Mixi (x ' xk1) sup f (x)
记作：
b
f (x)dx
，
即
a
b
n
a
f (x)dx
lim S()
0
lim
0 i1
f (
i )xi.
f (x) 在 [a,b] 上黎曼可积也简称可积。
注：在上面的定义中我们假定 a b，如果 a b， 则作如下约定
b
a
a f (x)dx b f (x)dx.
积分上限
b a
n
f ( x)dx lim x0 i 1
若是匀速直线运动， 路程 = 速度
时间.
(1) 分割: T1 t0 t1 ti1 ti tn T2,
ti ti ti1, (i 1,2, , n)
(2) 近似： 任取 i [ti1, ti ],
si v( i )ti (i 1,2, , n)
T1
t1 t2
i
t ti1 i
分点为：a x0 x1 x2 xi1 xi xn b,
xi xi xi1 ( i 1,2, n ).
（2）近似：任取 i [ xi1 , xi ],
y
Si f (i )xi ( i 1,2, ,n )
y f (x)
f ( ) i
（3）作和：
n
n
S Si f ( i )xi
割圆术
割之弥细，所失弥少；割之又割， 以至于不可割，则与圆周，体而 无所失矣.
——刘徽
阿基米德（Archimedes， 约前287—212 ）
球体、圆柱体的体积和表面 积的计算公式，提出了抛物 线所围成的面积和弓形面积 的计算方法。最著名的还是 求阿基米德螺线（ρ=α×θ ）所围面积的求法，这种螺 线就以阿基米德的名字命名。
i 1
x[ xk1 ,x ']
n
(xk x ') sup f (x) Mixi
问题：求曲边梯形的面积。
y f (x)
a0
b
基本思想：分割---〉求和
f x0
f x2 f x1
f x3
x0 a x1
x2
x3 x4 b
n 8 的情形
n 16 的情形
n 32 的情形
一、引例
例1. 曲边梯形的面积
y
y f (x)
oa
bx
(1) 分割: 将区间[a,b]任意分为 n个子区间，
与达布小和。
显然有
n
S() f (i )xi S(), i [xi1, xi ], i 1, 2, , n. i 1
现设 , ' 都是区间 [a,b] 的划分，如果 的每一个 分点都包含在 ' 之中，则称 ' 是 的加细划分， 记作 ' 。
引理7.1.1 设 f (x) 是定义在区间 [a,b] 上的有界函数， , ' 是 [a,b] 的两个划分，且 ' ，则
在 [0,1] 上的可积性。
解：对于 [0,1] 的任何一个划分 : 0 x0 x1 xn 1，
每一个小区间 [xi1, xi ] 上既有有理数又有无理数，
如果每一个 i 都取有理数，则
n
n
n
S() D(i )xi 1• xi (xi xi1) 1,
i 1
i 1
i 1
如果每一个 i 都取无理数，则
i 1
i 1
a o
b x x1
x 2
3
xi1•xi
x
（4）取极限：
记
x
max {
1 i n
xi
},
i
n
S lim x0 i 1
f ( i )xi
例2. 变速直线运动的路程
设物体作直线运动, 已知速度 v v(t)是时间间隔 [T1,T2 ]上的连续
函数，且 v(t) 0 , 计算在这段 时间内物体所经过的路程.
f (i )xi
积分下限
被
积
函
数
积
被 积 式
分 变 量
[a,b]叫做积分区间
“ ”语言定义：
设函数 f (x) 在区间 [a, b] 上有界，如果存在常数 I
使得对任意的正数 总存在一个正数 使得对于区
间 [a, b] 的任何分划 ；a x0 x1 xn b，
只要
x
max
1i n
对于 [a,b] 的任何一个划分 : a x0 x1
xn b，记
Mi sup f (x),
x[ xi1,xi ]
mi
inf
x[ xi1,xi ]
f
(x),
i 1, 2, , n
n
S() Mixi , i 1
n
S() mixi , i 1
S()与 S() 分别称为划分 的达布（Darboux）大和
n
n
S() D(i )xi 0 • xi 0，
i 1
i 1
因此
lim S()
0
依赖于
i
的选取，
D(x) 在 [0,1] 上不可积。
三、黎曼可积的条件
设 f (x) 是定义在 [a,b] 上的有界函数，记
M sup f (x),
m inf f (x),
x[ a ,b ]
x[a,b]
xi
，则不论
i
在 [ xi1, xi ] 中怎
样选取，总有
n
f (i )xi I
i 1
成立，则称 I 是 f (x) 在区间 [a, b] 上的定积分，
记作：b f (x)dx a
比较：定积分与不定积分有何区别？
例7.1.1
讨论Dirichlet函数
1, D(x) 0,
x为有理数， x为无理数