现代数值计算方法习题答

《数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学第一章习题答案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取并令可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。

计算方法习题集及答案(总结版)

雅克比法：
3 10 12 5
3 (k ) 2 (k ) x1( k +1) = − 5 x2 − 5 x3 −
，x
( k +1) 2
(k ) 1 (k ) =1 4 x1 − 2 x 3 + 5
18 i
，x
( k +1) 3 −4
(k ) 3 =−1 + 10 x (2 k ) + 5 x1
取初始向量 x
（2） x （3） x
3
= 1+ x2 =
，对应迭代公式 x 对应迭代公式 x
0
k +1
= 3 1 + x k2 ;
2
1 , x −1
k
+1 =
1 xk − 1
。
0
判断以上三种迭代公式在 x 解：（1） ϕ ( x) = 1 + x1
2
= 1 .5
的收敛性，选一种收敛公式求出 x
2 x3
−
2 3
= 1 .5
5
习题 3
1.
设有方程组
5 x1 + 2 x 2 + x3 = −12 − x1 + 4 x 2 + 2 x3 = 20 2 x − 3x + 10 x = 3 2 3 1
( k +1) (k )
∞
(1)
考察用 Jacobi 法，Gauss-Seidal 法解此方程组的收敛性； −x (2) 用 Jacobi 法及 Gauss-Seidal 法解方程组，要求当 x
1.
x
k +1 k k
'
<1
公式收敛

数值计算方法复习题

fuxiti例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

解答1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。

一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值，它们的有效位数分别有位，位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定？1）绝对误差，相对误差，有效数字，截断误差，舍入误差。

数值计算方法课后习题答案

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

数值计算方法答案

1数值计算方法习题一（2）习题二（6）习题三（15）习题四（29）习题五（37）习题六（62）习题七（70）2009．9，92习题一1．设x>0相对误差为2%，4x的相对误差。

解：由自变量的误差对函数值引起误差的公式：(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈得（1）()f x=11()()*2%1%22x xδδδ≈===；（2）4()f x x=时444()()'()4()4*2%8%xx x x xxδδδ≈===2．设下面各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出他们各有几位有效数字。

（1）12.1x =；（2）12.10x =；（3）12.100x =。

解：由教材9P关于1212.m nx a a a bb b=±型数的有效数字的结论，易得上面三个数的有效数字位数分别为：3，4，53．用十进制四位浮点数计算（1）31.97+2.456+0.1352；（2）31.97+（2.456+0.1352）哪个较精确？解：（1）31.97+2.456+0.1352≈21((0.3197100.245610)0.1352)fl fl⨯+⨯+=2(0.3443100.1352)fl⨯+=0.3457210⨯（2）31.97+（2.456+0.1352）21(0.319710(0.245610))fl fl≈⨯+⨯= 21(0.3197100.259110)fl⨯+⨯=0.3456210⨯易见31.97+2.456+0.1352=0.345612210⨯，故（2）的计算结果较精确。

4．计算正方形面积时，若要求面积的允许相对误差为1%，测量边长所允许的相对误差限为多少？3解：设该正方形的边长为x，面积为2()f x x=，由(())(())'()()()()f x xf x f x xf x f xδδ∆=≈解得(())()()'()f x f xxxf xδδ≈=2(())(())22f x x f xx xδδ==0.5%5．下面计算y的公式哪个算得准确些？为什么？（1）已知1x<<，（A）11121xyx x-=-++，（B）22(12)(1)xyx x=++；（2）已知1x>>，（A）y=，（B）y=；（3）已知1x<<，（A）22sin xyx=，（B）1cos2xyx-=；（4）（A）9y=（B）y=解：当两个同（异）号相近数相减（加）时，相对误差可能很大，会严重丧失有效数字；当两个数相乘（除）时，大因子（小除数）可能使积（商）的绝对值误差增大许多。

数值计算课后答案5

习题五解答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)120(8)4xdx n x =+⎰，(2)20sin (8)x xdx n π=⎰(3)1(4)n =⎰，(4)1(4)x e dxn -=⎰1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比较结果。

(1)120(4)4x dx n x =+⎰解：解：将区间［0，1］4等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）(1)矩形法。

用矩形法公式计算（取2位小数）或者 (2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数）： (3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）：2、用复化梯形公式计算积分841dx x ⎰，由此计算ln2（注：841ln 2dx x=⎰），精度要求为410-。

解：8418ln8ln 4ln ln 24dx x =-==⎰，要求精度为410-，即误差不超过41102ε-=⨯。

将积分区间［4，8］n 等份，则步长844h n n -==在本题中，复化梯形公式的余项为2228484416()()()()12123r h f f f n nηηη--''''''=-=-=-注意到231(),(),()2f x f x x f x x x--'''==-=，所以在［4，8］区间上3()24f x -''≤⨯，则32232161621283346r n n n-⨯≤⨯⨯==⨯，要使42111062n -≤⨯，需有42421110310577.36757862n n n n n -≤⨯⇒≥⇒≥⇒≥⇒=。

3、用复合梯形公式计算积分()baf x dx ⎰，问将积分区间[a,b]分成多少等份，才能保证误差不超过ε（不计舍入误差）？解：对于复合梯形公式来说，如果()f x ''在积分区间上连续，则其余项为2(),[,]12b a r h f a b ηη-''=-∈，设max ()a x bM f x ≤≤''=，则322()()()1212b a b a Mr h f nη--''=≤ 令32()12b a Mn ε-≤，得n ≥即当1n =+时，能保证计算的精度要求。

计算方法习题集及答案第四版

位）。
解：
y次迭代公式
k
0
1
2
3
3.5
3.64
3.63
3.63
6. 试证用牛顿法求方程在[1,3]内的根是线性收敛的。解：
令
y次迭代公式故
从而，时，故，故牛顿迭代公式是线性收敛的 7. 应用牛顿法于方程, 导出求立方根的迭代公式，并讨论其收敛
性。
解：
相应的牛顿迭代公式为迭代函数，，则，
习题1.1
1. 什么叫数值方法？数值方法的基本思想及其优劣的评价标准如何？
数值方法是利用计算机求解数学问题近似解的方法 2. 试证明及
证明：（1）令
即又即 ⑵ 设，不妨设，令即对任意非零，有下面证明存在向量，使得，设，取向量。其中。显然且任意分量为，故有即证。 3. 古代数学家祖冲之曾以作为圆周率的近似值，问此近似值具有
解：（1）迭代公式，公式收敛
k
0
1
2
3
0
（2），，局部收敛 k0 1 2 3
0.25
0.25098 0.25098
456789
1.5 1.322 1.421 1.367 1.397 1.380 1.390 1.384 1.387 1.386
2. 方程在附近有根，把方程写成三种不同的等价形式：
（1）,对应迭代公式;
9
10
11
12
13
14
15
16
1.4650 1.46593 1.4653 1.46572 1.46548 1.46563 1.465534 1.465595
迭代公式（2）：
k
0
1
2
3

数值计算方法复习题

fuxiti例1证明方程1－x－sin x＝0在区间[0,1]内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×10－4的根要迭代多少次？证明令f(x)＝1－x－sin x，∵f(0)=1>0，f(1)=－sin1<0∴f(x)=1－x－sin x=0在[0，1]有根.又f'(x)=1－c os x>0(x∈[0.1]),故f(x)＝0在区间[0，1]内有唯一实根.给定误差限ε＝0.5×10－4，有只要取n＝14.例4选择填空题1. 设函数f(x)在区间[a,b]上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间[a,b]一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间[a,b]上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=ϕ(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=ϕ(x)的交点(B) y=x与y=ϕ(x)交点的横坐标(C) y=x与x轴的交点的横坐标(D) y=ϕ(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=ϕ(x), 满足x=ϕ(x)的x是方程的解，它正是y=x与y=ϕ(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A)(B)(C)(D)答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛.在(C)中，，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.例3填空选择题：1. 用高斯列主元消去法解线性方程组作第1次消元后的第2，3个方程分别为。

解答1. 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到是应填写的内容。

一、解答下列问题：1) 数值计算中，最基础的五个误差概念（术语）是 , , , , .2) 分别用 2.718281， 2.718282 作数e 的近似值，它们的有效位数分别有位，位; 又取73.13≈ （三位有效数字），则≤-73.13 .3）为减少乘除法运算次数，应将算式32)1(7)1(51318---+-+=x x x y 改写成4）为减少舍入误差的影响，应将算式 9910- 改写成 5）递推公式 ⎪⎩⎪⎨⎧=-==-,2,1,110210n y y y n n如果取41.120≈=y 作计算，则计算到10y 时，误差有这个计算公式数值稳定不稳定？1）绝对误差，相对误差，有效数字，截断误差，舍入误差。

《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答

√
5 2
> 1, 故

2.8 提示: (1) A = 1 3 a > 1, ⇒ a3 − 14a + 12 > 0, Seidel 迭代收敛.
a > 0, a 2 − 1 > 0, ⇒ 2 , 当 |a| > 5 时, Jacobi 迭代收敛. (2) a3 − 14a + 12 > 0, a 所以, 当 a ≥ √ 14 时, A 对称正定, 从而 Gauss-
2
故 Jacobi 迭代, Gauss-Seidel 迭代均收敛. 2.13 提示: ρ(J ) = 0.9 < 1, 故迭代法收敛. 1 0 . 5 0. 5 2.14 提示: 容易验证 A = 0.5 1 0.5 是对称正定的, 故 Gauss-Seidel 迭代收敛, 但 2D − A = 0.5 0.5 1 1 −0.5 −0.5 −0.5 1 −0.5 不正定, 故 Jacobi 迭代发散. −0.5 −0.5 1 0 0 −1 3 2.15 提示: BJ = 1 0 0 . 特征方程 3λ + λ + 2 = 0, 特征值 λ1 = −0.478, λ2,3 = 1 2 0 3 3 故 Jacobi 迭代收敛. −1 −1 , 因为 ρ(BS ) = 1, 故 Gauss-Seidel 迭代发散. −1 −22 11 1 2.16 提示: (1) 将原方程组的系数矩阵调整为: 1 −4 2 , 显然为严格对角占优矩阵, 故 11 −5 −33 = 0
1 2
= 0 0 0 0 0

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值分析（p11页）4 试证：对任给初值x 0,0)a >的牛顿迭代公式112(),0,1,2,......k ak k x x x k +=+= 恒成立下列关系式：2112(1)(,0,1,2,....(2)1,2,......kk k x k x x k x k +-=-=≥=证明：（1）(21122k k k k k kx a x x x x +-⎫⎛-=+==⎪ ⎝⎭（2）取初值00>x ，显然有0>k x ，对任意0≥k ，a a x a x x a x x k k k k k ≥+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+2121216 证明：若k x 有n 位有效数字，则n k x -⨯≤-110218，而()k k k k k x x x x x 288821821-=-⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=-+ nnk k x x 2122110215.22104185.28--+⨯=⨯⨯<-∴>≥ 1k x +∴必有2n 位有效数字。

8 解：此题的相对误差限通常有两种解法. ①根据本章中所给出的定理：（设x 的近似数*x 可表示为m n a a a x 10......021*⨯±=，如果*x 具有l 位有效数字，则其相对误差限为()11**1021--⨯≤-l a x x x ，其中1a 为*x 中第一个非零数）则7.21=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221111=⨯⨯≤--x x e 71.22=x ，有两位有效数字，相对误差限为025.010221122=⨯⨯≤--x x e 3 2.718x =，有两位有效数字，其相对误差限为：00025.010221333=⨯⨯≤--x e x ②第二种方法直接根据相对误差限的定义式求解对于7.21=x ，0183.01<-e x∴其相对误差限为00678.07.20183.011≈<-x e x 同理对于71.22=x ，有003063.071.20083.022≈<-x e x 对于718.23=x ，有00012.0718.20003.033≈<-x e x备注：（1）两种方法均可得出相对误差限，但第一种是对于所有具有n 位有效数字的近似数都成立的正确结论，故他对误差限的估计偏大，但计算略简单些；而第二种方法给出较好的误差限估计，但计算稍复杂。

数值计算方法(宋岱才版)课后答案

第一章绪论一本章的学习要求（1）会求有效数字。

（2）会求函数的误差及误差限。

（3）能根据要求进行误差分析。

二本章应掌握的重点公式（1）绝对误差：设x 为精确值，x *为x 的一个近似值，称e x x **=-为x *的绝对误差。

（2）相对误差：r e e x***=。

（3）绝对误差限：e x x ε***==-。

（4）相对误差限：r x x xxεε*****-==。

（5）一元函数的绝对误差限：设一元函数()()()0,df f x f x dx εε***⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭则。

（6）一元函数的相对误差限：()()1r df f x dx f εε****⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭。

（7）二元函数的绝对误差限：设一元函数()()(),0,f f x y f y y εε***⎛⎫∂==⋅ ⎪∂⎝⎭则。

（8）二元函数的相对误差限：()()()1r f f f x y x y f εεε******⎡⎤⎛⎫∂∂⎛⎫⎢⎥=⋅+⋅ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦。

三本章习题解析1. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别估计1123A X X X ***=及224X A X **=的相对误差限。

12341.1021,0.031,385.6,56.430x x x x ****====解：（1）1x *有5位有效数字，2x *有2位有效数字，3x *有4位有效数字，4x *有5位有效数字。

（2）1111123231312123,,,,A A AA x x x x x x x x x x x x ∂∂∂====∂∂∂由题可知：1A *为1A 的近似值，123,,x x x ***分别为123,,x x x 近似值。

所以()()111rA A Aεε***=()()()12311111123A A A x x x A X X X εεε*******⎡⎤⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭43123131212311111010100.215222x x x x x x x x x **-**-**-***⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦()222222424441,,,X A Ax A X x x x x ∂∂===-∂∂则有同理有2A *为2A 的近似值，2x *，4x *为2x ，4x 的近似值，代入相对误差限公式：()()222rA A Aεε***=()()24212224A A X X A X X εε*****⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫∂∂ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭()33542224411*********X X X X X **--***⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦2. 正方形的边长大约为100cm ，怎样测量才能使其面积误差不超过21cm ? 解：设正方形的边长为x ，则面积为2S x =，2dsx dx=，在这里设x *为边长的近似值，S *为面积的近似值：由题可知：()()1ds s x dx εε***=≤⎛⎫ ⎪⎝⎭即：()21x x ε**⋅≤ 推出：()10.005200xcm ε*≤=。

数值计算方法马东升等第版习题解答

第1章数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。

1．截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。

这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。

例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2．舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。

例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。

二．近似数的误差表示1．绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。

令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。

2．相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。

在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。

令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。

3．有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。

设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)

，。

第一章绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。

[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ，相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。

2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。

[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。

3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。

[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。

4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。

（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。

计算方法习题第一、二章答案

第一章误差1 问3。

142,3。

141,722分别作为π的近似值各具有几位有效数字？分析利用有效数字的概念可直接得出. 解 π=3。

141 592 65…记x 1=3。

142，x 2=3。

141，x 3=722。

由π- x 1=3.141 59…-3.142=-0。

000 40…知3411110||1022x π--⨯<-≤⨯ 因而x 1具有4位有效数字。

由π- x 2=3.141 59…-3。

141=—0.000 59…知2231021||1021--⨯≤-<⨯x π因而x 2具有3位有效数字.由π—722=3。

141 59 …-3.142 85…=-0。

001 26…知231021|722|1021--⨯≤-<⨯π因而x 3具有3位有效数字。

2 已知近似数x ＊有两位有效数字，试求其相对误差限. 分析本题显然应利用有效数字与相对误差的关系.解利用有效数字与相对误差的关系。

这里n=2,a 1是1到9之间的数字。

%5101211021|*||*||)(|1211*=⨯⨯≤⨯≤-=+-+-n ra x x x x ε3 已知近似数的相对误差限为0。

3%，问x ＊至少有几位有效数字？分析本题利用有效数字与相对误差的关系。

解 a 1是1到9间的数字。

1112*10)1(2110)19(21102110003%3.0)(--⨯+≤⨯+⨯=⨯<=a x r ε 设x*具有n 位有效数字，令—n+1=—1,则n=2，从而x ＊至少具有2位有效数字.4 计算sin1.2，问要取几位有效数字才能保证相对误差限不大于0。

01％。

分析本题应利用有效数字与相对误差的关系。

解设取n 位有效数字，由sin1.2=0.93…，故a 1=9。

411*10%01.01021|*||*||)(-+-=≤⨯≤-=n ra x x x x ε解不等式411101021-+-≤⨯n a 知取n=4即可满足要求。

现代数值计算方法习题解答

现代数值计算方法习题答案习题一1、解：根据绝对误差限不超过末位数的半个单位，相对误差限为绝对误差限除以有效数字本身，有效数字的位数根据有效数字的定义来求.因此49×10-2：E = 0.005； r E= 0.0102； 2位有效数字. 0.0490 ：E = 0.00005；r E = 0.00102； 3位有效数字. 490.00 ：E = 0.005； r E = 0.0000102；5位有效数字. 2、解：722= 3.1428 …… ， π = 3.1415 …… ，取它们的相同部分3.14，故有3位有效数字.E= 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ；r E = 14.3E = 14.30013.0 = 0.00041. 3、解：101的近似值的首位非0数字1α= 1,因此有 |)(*x E r |)1(10121−−××=n < = 21× 10-4, 解之得n > = 5，所以 n = 5 . 4、证：)()(1)()(1)(*11**11**x x x nx E x n x E n n n−=≈−−)(11)()(1)()(*****11****x E nx x x n x x x x nx x E x E r nnnn n r =−=−≈=− 5、解：(1)因为=204.4721…… ，又=)(*x E |*x x −| = |47.420−| = 0.0021 < 0.01, 所以 =*x4.47. (2)20的近似值的首位非0数字1α = 4,因此有|)(*x E r |)1(10421−−××=n < = 0.01 , 解之得n > = 3 .所以，=*x 4.47. 6、解：设正方形的边长为x ,则其面积为2x y =，由题设知x 的近似值为*x = 10 c m .记*y 为y 的近似值，则)(20)(20)(2)(*****x E x x x x x y E =−=−= < = 0.1，所以)(*x E< = 0.005 c m . 7、解：因为)()(*1x x nx x E n n −≈−,所以n x nE x x x n xx E x E r nn nr 01.0)()()(*==−≈=. 8、解：9、证：)()()(**t gtE t t gt S S S E =−≈−=t t E gt t t gt S S S S E r )(22/)()(2**=−≈−= 由上述两式易知，结论. 10、解：代入求解,经过计算可知第(3)个计算结果最好.11、解：基本原则为：因式分解，分母分子有理化、三角函数恒等变形…… （1）通分；（2）分子有理化；（3）三角函数恒等变形.12、解：因为20=x ,41.1*0=x ,所以|*00x x −| < = δ=×−21021于是有|*11x x −| = |110110*00+−−x x | = 10|*00x x −| < =δ10|*22x x −| = |110110*11+−−x x | = 10|*11x x −| < =δ210类推有 |*1010x x −| < =810102110×=δ 即计算到10x ，其误差限为δ1010，亦即若在0x 处有误差限为δ，则10x 的误差将扩大1010倍，可见这个计算过程是不稳定的.习题二1、解：只用一种方法. （1）方程组的增广矩阵为：−−−−11114423243112M M M → −−−−1010411101110112M M M →−−−11041001110112M M M → 31=x , 12=x , 13=x . （2）方程组的增广矩阵为：−−−−−−017232221413M M M → −−247210250413M M M → −−147200250413M M M → 21=x , 12=x, 2/13=x . （3）适用于计算机编程计算.2、解：第一步：计算U 的第一行，L 的第一列，得611=u 212=u 113=u 114−=u3/1/112121==u a l 6/1/113131==u a l 6/1/114141−==u a l第二步：计算U 的第二行，L 的第二列，得3/1012212222=−=u l a u 3/213212323=−=u l a u 3/114212424=−=u l a u 5/1/)(2212313232=−=u u l a l 10/1/)(2212414242=−=u u l a l第三步：计算U 的第三行，L 的第三列，得10/37233213313333=−−=u l u l a u 10/9243214313434−=−−=u l u l a u 37/9/)(33234213414343−=−−=u u l u l a l第四步：计算U 的第四行，得370/9553443244214414444−=−−−=u l u l u l a u从而，−−−−3101141101421126 =−−137/910/16/1015/16/10013/10001−−−370/95500010/910/37003/13/23/1001126 由b LY =, 解得Y =（6，-3，23/5，－955/370）T . 由Y UX = , 解得X =（1，-1，1，－1）T . 3、（1）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断. 11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 301022123 = 4 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 3331=l 3632−=l 233=l 因此， L ＝−23633036332003. 第二步求解方程组LY = b . 解得Y = （335，36，2）T . 第三步求解方程组L T X = Y . 解得X =（0，2，1）T .（2）解：首先检验系数矩阵的对称正定性，这可以通过计算其各阶顺序主子式是否大于零来判断.11a ＝ 3 > 0,2223= 2 > 0, 1203022323 = 6 > 0,所以系数矩阵是对称正定的.记系数矩阵为A ，则平方根法可按如下三步进行：第一步分解：A = L L T . 由公式计算出矩阵的各元素：311=l 33221=l 3622=l 331=l 632−=l 333=l因此， L ＝−363036332003 . 第二步求解方程组LY = b . 解得Y = （335，66−，33）T. 第三步求解方程组L T X = Y . 解得X = （1，21，31）T. 4、解：对1=i , 2111==a d ；对2=i , 121−=t , 2121−=l ,252−=d ；对3=i , 131=t , 2732=t ,2131=l , 5732−=l ,5273=d .所以数组A 的形式为：−−−=527572102521002A 求解方程组LY = b . 解得Y = （4，7，569）T .求解方程组DL T X = Y . 解得X = （910，97，923）T .5、解：（1）设A = LU =1010000000000010010015432l l l l5432106000000000600006006u u u u u 计算各元素得： 51=u ,512=l , 1952=u , 1953=l , 19653=u , 65194=l , 652114=u , 211655=l , 2116655=u .求解方程组LY = d . 解得Y = （1，51−，191，651−，211212）T.求解方程组UX = Y . 解得X = （6651509，6651145，665703，665395−，665212）T.（2）设A = LU =100100132l l3211001u u u 计算各元素得：51=u ，512=l ，5242=u ，2453=l ，241153=u . 求解方程组LY = d . 解得Y = （17，553，24115）T. 求解方程组UX = Y . 解得X = （3，2，1）T . 6、证：（1）（2）相同. 因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛. （1）雅可比迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+−−=+k k k x x x14141)(3)(1)1(2+−−=+k k k x x x329292)(2)(1)1(3+−−=+k k k x x x高斯－赛德尔迭代公式：7107271)(3)(2)1(1+−−=+k k k x x x14141)(3)1(1)1(2+−−=++k k k x x x329292)1(2)1(1)1(3+−−=+++k k k x x x（2）雅可比迭代公式：545152)(3)(2)1(1+−=+k k k x x x 525351)(3)(1)1(2++−=+k k k x x x 5115152)(2)(1)1(3++=+k k k x x x 高斯－赛德尔迭代公式：545152)(3)(2)1(1+−=+k k k x x x 525351)(3)1(1)1(2++−=++k k k x x x5115152)1(2)1(1)1(3++=+++k k k x x x7、(1)证：因为此方程组的系数矩阵为严格对角占优矩阵，所以雅可比迭代法和相应的高斯－赛德尔迭代法都收敛。

数值计算方法课后习题答案吕同富

数值计算方法课后习题答案吕同富【篇一：《数值计算方法》(二)课程教学大纲】txt>课程编号： l124008课程类别：专业必修学分数： 3 学时数：48 适用专业：信息与计算科学应修(先修)课程：数学分析、高等代数一、本课程的地位和作用数值分析(二)为数值分析课程的第二部分，它是信息与计算科学专业的一门专业必修课。

主要内容包括函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程数值解法。

通过本课程的学习，学生将初步具备用计算机去有效地解决实际问题的能力。

二、本课程的教学目标通过本课程的学习，使学生了解和掌握求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题所涉及的各种常用的数值计算方法、数值方法的构造原理及适用范围。

本课程坚持理论与实践教学并重的原则，理论上主要讲述求解函数最佳逼近、数值积分、数值微分、常微分方程等问题的基本理论和基本方法。

与此同时，通过上机实验加深学生对各种计算方法的理解，为今后用计算机去有效地解决实际问题打下基础。

三、课程内容和基本要求(“*”记号标记难点内容，“▽”记号标记重点内容，“▽*”记号标记既是重点又是难点的内容)第六章函数最佳逼近 1．教学基本要求（1）理解：几类常用的正交多项式。

（2）掌握：最佳一致逼近和最佳平方逼近。

（3）掌握：曲线拟合的最小二乘法。

2．教学内容（1）*正交多项式。

（2）▽*最佳一致逼近。

（3）▽最佳平方逼近。

（4）正交多项式的逼近性质。

（5）▽曲线拟合的最小二乘法。

第七章数值积分 1．教学基本要求（1）理解：机械求积公式的基本思想、插值型求积公式的特点。

（2）掌握：newton-cotes求积公式、复合求积公式。

（3）掌握：romberg求积公式、gauss求积公式。

2．教学内容（1）*机械求积公式。

（2）▽newton-cotes求积公式。

（3）▽复合求积公式。

（4）变步长求积公式。

（5）▽romberg求积公式。

（6）▽*gauss求积公式第八章数值微分 1．教学基本要求（1）了解：数值微分的中点法。

数值计算方法》习题答案

《数值计算方法》课后题答案详解吉林大学第一章习题答案1. 已知(1)2,(1)1,(2)1f f f −===，求()f x 的Lagrange 插值多项式。

解：由题意知：()01201212001020211012012202121,1,2;2,1,1()()(1)(2)()()6()()(1)(2)()()2()()(1)(1)()()3(1)(2)(1)(2)()2162nj j j x x x y y y x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x l x x x x x x x x L x y l x ==−=====−−−−==−−−−+−==−−−−−+−==−−−−+−==×+×−∴∑()2(1)(1)131386x x x x +−+×=−+2. 取节点01210,1,,2x x x ===对x y e −=建立Lagrange 型二次插值函数，并估计差。

解11201201210,1,;1,,2x x x y y e y e −−======1)由题意知：则根据二次Lagrange插值公式得：02011201201021012202110.510.520.51()()()()()()()()()()()()()2(1)(0.5)2(0.5)4(1)(224)(43)1x x x x x x x x x x x x L x y y y x x x x x x x x x x x x x x x x e x x e e e x e e x −−−−−−−−−−−−=++−−−−−−=−−+−−−=+−+−−+22)Lagrange 根据余项定理，其误差为(3)2210122()1|()||()||(1)(0.5)|3!61max |(1)(0.5)|,(0,1)6()(1)(0.5),()330.5030.2113()61()0.2113(0.21131)(0.21130.5)0.008026x f R x x e x x x x x x t x x x x t x x x x t x R x ξξωξ−+≤≤==−−≤−−∈′=−−=−+=−==≤××−×−=∴取并令可知当时，有极大值3. 已知函数y =在4, 6.25,9x x x ===处的函数值，试通过一个二次插值函数求的近似值，并估计其误差。

现代数值计算方法习题答

《数值计算方法》习题答案

计算方法习题集及答案(总结版)

数值计算方法复习题

数值计算方法课后习题答案

数值计算方法答案

数值计算课后答案5

计算方法习题集及答案第四版

数值计算方法复习题

最新数值计算课后答案1

《现代数值计算方法(MATLAB版)》习题解答

数值计算方法习题答案(第二版)(绪论)

数值计算方法(宋岱才版)课后答案

数值计算方法马东升等第 版习题解答

数值计算方法课后习题答案(李庆扬等) (修复的)

计算方法 习题第一、二章答案

现代数值计算方法习题解答

数值计算方法课后习题答案吕同富

数值计算方法》习题答案

数值计算方法马东升等第版习题解答

计算方法习题第一、二章答案