金老师教育-中考数学总复习：28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)

中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高）
【考纲要求】
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】
1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定．
2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题．
3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题．
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、等腰三角形
1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°．
要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条.
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形．
要点诠释：
(1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念；
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形．
考点二、直角三角形
1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形．
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.
要点诠释：
（1）直角三角形中，S Rt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高；
（2）圆内接三角形，当一条边为直径时，该三角形是直角三角形．
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边．【典型例题】
类型一、等腰三角形
1．（2020秋•自贡期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α．以OC为一边作等边三角形OCD，连接AC、AD．
（1）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；
（2）探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？
【思路点拨】（1）首先根据已知条件可以证明△BOC≌△ADC，然后利用全等三角形的性质可以求出∠ADO的度数，由此即可判定△AOD的形状；
（2）利用（1）和已知条件及等腰三角形的性质即可求解．
【答案与解析】
解：（1）∵△OCD是等边三角形，
∴OC=CD，
而△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，
∵∠ACB=∠OCD=60°，
∴∠BCO=∠ACD，
在△BOC与△ADC中，
∵，
∴△BOC≌△ADC，
∴∠BOC=∠ADC，
而∠BOC=α=150°，∠ODC=60°，
∴∠ADO=150°﹣60°=90°，
∴△ADO是直角三角形；
（2）∵设∠CBO=∠CAD=a，∠ABO=b，∠BAO=c，∠CAO=d，
则a+b=60°，b+c=180°﹣110°=70°，c+d=60°，a+d=50°∠DAO=50°，
∴b﹣d=10°，
∴（60°﹣a）﹣d=10°，
∴a+d=50°，
即∠CAO=50°，
①要使AO=AD，需∠AOD=∠ADO，
∴190°﹣α=α﹣60°，
∴α=125°；
②要使OA=OD，需∠OAD=∠ADO，
∴α﹣60°=50°，
∴α=110°；
③要使OD=AD，需∠OAD=∠AOD，
∴190°﹣α=50°，
∴α=140°．
所以当α为110°、125°、140°时，三角形AOD是等腰三角形．
【总结升华】此题主要考查了等边三角形的性质与判定，以及等腰三角形的性质和旋转的性质等知识，根据旋转前后图形不变是解决问题的关键．
举一反三：
【变式】把腰长为1的等腰直角三角形折叠两次后，得到的一个小三角形的周长是________．
【答案】.
2．已知: 如图, 菱形ABCD中, E、F分别是CB、CD上的点，BE=DF．
(1)求证:AE=AF．
(2)若AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，求证：△AEF为等边三角形．
【思路点拨】菱形的定义和性质.
【答案与解析】
(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD,∠B=∠D ，
又∵BE=DF，∴≌．
∴AE=AF．
(2)连接AC, ∵AE垂直平分BC，AF垂直平分CD，
∴AB=AC=AD，
∵AB=BC=CD=DA ,
∴△ABC和△ACD都是等边三角形．
∴, ．
∴．
又∵AE=AF ∴是等边三角形．
【总结升华】此题涉及到三角形全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质.
举一反三：【高清课堂：等腰三角形与直角三角形例4】
【变式】如图，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE=BD，连接CE、DE.
求证：CE=DE.
【答案】延长BD到F，使DF＝BC，连接EF，
∵等边△ABC，
∴AB＝BC＝AC，∠B＝60．
∵BF＝BD+DF，BE＝AB+AE，AE＝BD，BC＝DF，
∴BF＝BE，
∴等边△BEF，
∴EF＝BE，∠F＝∠B，
∴△BCE≌△FDE（SAS）．
∴CE＝DE．
类型二、直角三角形
3．（2020秋•东海县校级期中）如图，△ABC中，CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，E为AC上一点，且ME=MF．
（1）求证：BE⊥AC；
（2）若∠A=50°，求∠FME的度数．
【思路点拨】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得MF=BM=CM=BC，再求出
ME=BM=CM=BC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半证明；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠ABC+∠ACB，再根据等腰三角形两底角相等求出∠BMF+∠CME，然后根据平角等于180°列式计算即可得解．
【答案与解析】（1）证明：∵CF⊥AB，垂足为F，M为BC的中点，
∴MF=BM=CM=BC，
∵ME=MF，
∴ME=BM=CM=BC，
∴BE⊥AC；
（2）解：∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，
∵ME=MF=BM=CM，
∴∠BMF+∠CME=（180°﹣2∠ABC）+（180°﹣2∠ACB）
=360°﹣2（∠ABC+∠ACB）
=360°﹣2×130°
=100°，
在△MEF中，∠FME=180°﹣100°=80°．
【总结升华】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于（2）中整体思想的利用．
4．如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由．
【思路点拨】△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形,为证明全等提供了等线段的条件. 【答案与解析】猜测 AE ＝BD ，AE ⊥BD. 理由如下：
∵∠ACD ＝∠BCE ＝90°，
∴∠ACD ＋∠DCE ＝∠BCE ＋∠DCE ，即∠ACE ＝∠DCB ． ∵△ACD 和△BCE 都是等腰直角三角形， ∴AC ＝CD ，CE ＝CB ． ∴△ACE ≌△DCB （SAS ）． ∴AE ＝BD ，∠CAE ＝∠CDB ． ∵∠AFC ＝∠DFH ，
∴∠DHF ＝∠ACD ＝90°， ∴AE ⊥BD ．
【总结升华】两条线段的关系包括数量关系和位置关系两种. 举一反三：
【变式】 .以等腰三角形AOB 的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA 1，再以等腰直角三角形ABA 1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A 1BB 1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n 个等腰直角三角形的面积S n =________. 【答案】
.
类型三、综合运用
5 .（2012•牡丹江）如图①，△ABC 中．AB=AC ，P 为底边BC 上一点，PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE+PF=CH ．证明过程如下：
如图①，连接AP ．
∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB， ∴ABP S △=
12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=1
2
AB•CH．
又∵ABP ACP ABC S S S +=△△△， ∴
12AB•PE+12AC•PF=1
2
AB•CH．∵AB=AC，∴PE+PF=CH． （1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：
（2）填空：若∠A=30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF=3时，则AB 边上的高CH=______.点P 到AB 边的距离PE=________.
【思路点拨】运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键． 【答案与解析】
（1）如图②，PE=PF+CH ．证明如下： ∵PE⊥AB，PF⊥AC，CH⊥AB，
∴ABP S △=
12AB•PE，ACP S △=12AC•PF，ABC S △=1
2
AB•CH， ∵ABP S △=ACP S △+ABC S △， ∴
12AB•PE=12AC•PF +1
2
AB•CH， 又∵AB=AC， ∴PE=PF+CH；
（2）∵在△ACH 中，∠A=30°，
∴AC=2CH．
∵ABC S △=1
2
AB•CH，AB=AC ， ∴
1
2
×2CH•CH=49， ∴CH=7． 分两种情况：
①P 为底边BC 上一点，如图①． ∵PE+PF=CH，
∴PE=CH -PF=7-3=4；
②P 为BC 延长线上的点时，如图②． ∵PE=PF+CH， ∴PE=3+7=10．
故答案为7；4或10．
【总结升华】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中.
6．在△ＡＢＣ中，AC=BC，，点D为AC的中点．
（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连结CF，过点F作，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明．
（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．
【思路点拨】根据条件判断FH=FC,要证FH=FC一般就要证三角形全等.
【答案与解析】（1）FH与FC的数量关系是：．
延长交于点G，
由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF．
∴DG∥CB．
∵点D为AC的中点，
∴点G为AB的中点，且．
∴DG为的中位线．
∴．
∵AC=BC，
∴DC=DG．
∴DC- DE =DG- DF．
即EC =FG．
∵∠EDF =90°，，
∴∠1+∠CFD =90°，∠2+∠CFD=90°． ∴∠1 =∠2． ∵与都是等腰直角三角形， ∴∠DEF =∠DGA = 45°． ∴∠CEF =∠FGH = 135°． ∴△CEF ≌△FGH ． ∴ FH=FC ．
（2）FH 与FC 仍然相等．
【总结升华】对于特殊三角形的判定及性质要记住并能灵活运用，注重积累解题思路和运用数学思想和方法解决问题的能力和培养. 举一反三：
【高清课堂：等腰三角形与直角三角形 例7】
【变式】如图， △ABC 和△CDE 均为等腰直角三角形，点B,C,D 在一条直线上，点M 是AE 的中
点，下列结论：①tan ∠AEC=
CD
BC
; ②S ⊿ABC +S ⊿CDE ≥S ⊿ACE ; ③BM ⊥DM;④BM=DM.正确结论的个数是（ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【答案】D.
中考总复习：全等三角形—巩固练习（提高）
【巩固练习】
一、选择题
1． 已知等边△ABC 的边长为a ，则它的面积是（ ）
M
E
C
A
A ．a 2
B ．a 2
C ．a 2
D ．a 2
2．在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点E ，若AC 平分∠DAB ，AB=AE ，AC=AD ．那么在下列四个结论中：（1）AC ⊥BD ；（2）BC=DE ；（3）∠DBC=
1
2
∠DAB ；（4）△ABE 是正三角形，其中正确的是（ ） A ．（1）和（2） B ．（2）和（3） C ．（3）和（4） D ．（1）和（4）
3.如图，等腰三角形ABC 中，∠BAC=90°，在底边BC 上截取BD=AB ，过D 作DE ⊥BC 交AC 于E ，连接AD ，则图中等腰三角形的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
4.如图，三角形纸片ABC 中，∠B=2∠C ，把三角形纸片沿直线AD 折叠，点B 落在AC 边上的E 处，那么下列等式成立的是（ ）A ．AC=AD+BD B ．AC=AB+BD C ．AC=AD+CD D ．AC=AB+ CD
5．（2012•镇江）边长为a 的等边三角形，记为第1个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接得到一个正六边形，记为第1个正六边形，取这个正六边形不相邻的三边中点，顺次连接又得到一个等边三角形，记为第2个等边三角形，取其各边的三等分点，顺次连接又得到一个正六边形，记为第2个正六边形（如图），…，按此方式依次操作，则第6个正六边形的边长为（ ）
A.5
1
1()32
a ⨯ B ．
511()23a ⨯ C ．611()32a ⨯ D. 611()23
a ⨯ 6.（2020•本溪校级二模）如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE⊥AC 于E ，Q 为BC
延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，则DE 的长为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．不能确定
二、填空题
7．如图，C 为线段AE 上一动点(不与点A ，E 重合)，在AE 同侧分别作正三角形ABC 和正三角形CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ.以下五个结论：
① AD=BE ；② PQ ∥AE ；③ AP=BQ ；④ DE=DP ； ⑤ ∠AOB=60°. 恒成立的有______________(把你认为正确的序号都填上).
8．（2020•鄂尔多斯）如图，△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ，点M 在线段AB 上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足为G ，MG 与BC 相交于点H ．若MH=8cm ，则BG= cm ．
9.若直角三角形两直角边的和为3，斜边上的高为25
5
，则斜边的长为 .
10.如图，已知正方形ABCD的边长为2，△BPC是等边三角形，则△CDP的面积是_________；△BPD 的面积是_________.
11．如图，P是正三角形ABC 内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10.若将△PAC绕点A逆时针旋转后，
得到△P′AB ，则点P与点P′之间的距离为_________，∠APB=_________.
12．.以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，则第n个等腰直角三角形的面积S n=________.
三、解答题
13. 已知：在△ABC中，∠ABC=90°，点E在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中
点，连接BM，DM．
（1）如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
（2）如图2，若点E在BA延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明；
（3）若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
14. (1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,∠AOF＝90°.
求证：BE＝CF.
图1
(2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,
EF＝4.求GH的长.
图2
(3) 已知点E,H,F,G分别在矩形ABCD的边AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于点O,∠FOH＝90°,EF＝4.直
接写出下列两题的答案：
①如图3,矩形ABCD由2个全等的正方形组成,求GH的长；
②如图4,矩形ABCD由n个全等的正方形组成,求GH的长(用n的代数式表示).
图3图4
15．①如图1，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点,P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN=90°，求证：AM=MN．
下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．
证明：在边AB上截取AE=MC，连ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，
AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．
（下面请你完成余下的证明过程）
②若将①中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图2）,N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN=60°时，结论AM=MN是否还成立？请说明理由．
③若将①中的“正方形ABCD”改为“正边形ABCD…X”，请你做出猜想：
当∠AMN=_____________°时，结论AM=MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）
16.（2020秋•江阴市期中）如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C 的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．
（1）出发2秒后，求△ABP的周长．
（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？
（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】D.
2.【答案】B.
【解析】此题采取排除法做．
（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排
除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．
【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C= 45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=
90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此图中等
腰三角形共4个．
4.【答案】B.
【解析】根据题意证得AB=AE，BD=DE，DE=EC．据此可以对以下选项进行一一判定．选B.
5.【答案】A.
6.【答案】B.
【解析】过P作PF∥BC交AC于F．
∵PF∥BC，△ABC是等边三角形，
∴∠PFD=∠QCD，△APF是等边三角形，
∴AP=PF=AF，
∵PE⊥AC，
∴AE=EF，
∵AP=PF，AP=CQ，
∴PF=CQ．
∵在△PFD和△QCD中，
，
∴△PFD≌△QCD（AAS），
∴FD=CD，
∵AE=EF，
∴EF+FD=AE+CD，
∴AE+CD=DE=AC，
∵AC=1，
∴DE=．
故选：B．
二、填空题
7．【答案】①②③⑤.
【解析】提示：证△ACD≌△BCE, △ACP≌△BCQ.
8．【答案】4.
【解析】如图，作MD⊥BC 于D ，延长DE 交BG 的延长线于E ， ∵△ABC 中，∠C=90°，CA=CB ， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°，
∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵MD∥AC，
∴∠BMD=∠A=45°，
∴△BDM 为等腰直角三角形 ∴BD=DM，
而∠GBH=22.5°， ∴GM 平分∠BMD， 而BG⊥MG，
∴BG=E G ，即BG=BE ，
∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E，
∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD，
∴在△BED 和△MHD 中，
，
∴△BED≌△MHD（AAS ）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4．
9．5【解析】设直角边为a,b,斜边为c ，则a +b =3，2
2
2
a b c +=，
11
22
ab c =⨯55，代入即可.
10．【答案】1， .
【解析】
∵△BPC 是等边三角形，∴∠PCD=30° 做PE ⊥CD,得PE=1，即△CDP 的面积是=1
2
×2×1=1； 根据即可推得BCD
BPD
BPC
PCD
S
S
S
S
+=+.
11．【答案】6 ，150°.
12．【答案】. 三、解答题
13.【答案与解析】
（1）结论：BM=DM ，∠BMD=2∠BCD ．
理由：∵BM 、DM 分别是Rt △DEC 、Rt △EBC 的斜边上的中线， ∴BM=DM=
1
2
CE ； 又∵BM=MC ，∴∠MCB=∠MBC ，即∠BME=2∠BCM ； 同理可得∠DME=2∠DCM ；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM ），即∠BMD=2∠BCD ．
（2）在（1）中得到的结论仍然成立．即BM=DM ，∠BMD=2∠BCD 证法一：∵点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点，
∴BM=
1
2EC=MC ，又点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点， ∴DM=1
2
EC=MC ，
∴BM=DM ；
∵BM=MC ，DM=MC ，
∴∠CBM=∠BCM ，∠DCM=∠CDM ，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM ）=2∠BCD ， 即∠BMD=2∠BCD ．
证法二：∵点M 是Rt △BEC 的斜边EC 的中点， ∴BM=
1
2EC=ME ； 又点M 是Rt △DEC 的斜边EC 的中点， ∴DM=
1
2
EC=MC ， ∴BM=DM ；
∵BM=ME ，DM=MC ，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，即∠BMD=2∠BCD．
（3）所画图形如图所示：
图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
14.【答案与解析】(1) 证明：
如图1，∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠EAB+∠AEB=90°.
∵∠EOB=∠AOF＝90°,
∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，
∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．
(2) 解：如图2,过点A作AM//GH交BC于M，
过点B作BN//EF交CD于N,AM与BN交于点O/，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF=BN,GH=AM，
∵∠FOH＝90°, AM//GH，EF//BN, ∴∠NO/A=90°,
故由(1)得, △ABM≌△BCN，∴AM=BN，
∴GH=EF=4．
(3) ①8．②4n．
15.【答案与解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM, ∴∠BEM=∠EMB=45°,
∴∠AEM=1355°,
∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°
在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（2）仍然成立．
在边AB上截取AE=MC，连接ME
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，
∴∠ACP=120°．
∵AE=MC，∴BE=BM
∴∠BEM=∠EMB=60°
∴∠AEM=120°．
∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，
∴∠AEM=∠MCN=120°
∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM
∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN
（3）
16.【答案与解析】解：（1）如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，
∴出发2秒后，则CP=2，
∵∠C=90°，
∴PB==，
∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．
（2）①如图2，若P在边AC上时，BC=CP=3cm，
此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；
②若P在AB边上时，有三种情况：
i）如图3，若使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，
所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；
ii）如图4，若CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，
作CD⊥AB于点D，
在Rt△PCD中，PD===1.8，
所以BP=2PD=3.6cm，
所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，
则用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；
ⅲ）如图5，若BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm 则所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；
综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形
（3）如图6，当P点在AC上，Q在AB上，则PC=t，BQ=2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t+2t﹣3=3，
∴t=2；
如图7，当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，
∴t﹣4+2t﹣8=6，
∴t=6，
∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．。