函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用
般借助定义进行证明．
[解]
(1)当x＝y＝0时，有f(0)＋f(0)＝f(0)，
∴f(0)＝0. 令y＝－x，有f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0， ∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数． (2)在(－1,1)上任取x1，x2，令x1>x2，则 f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2) ∵x1>x2，∴x1－x2>0，∴f(x1－x2)<0. ∴f(x1)－f(x2)<0即f(x1)<f(x2)． ∴f(x)在(－1,1)上单调递减．
答案：<
5．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝ 2 ，试求f(x)的解析式． x＋1
解：当x<0时，－x>0， 2 此时f(x)＝f(－x)＝ ， －x＋1 2 ，x≥0， x＋1 ∴f(x)＝ 2 ，x<0. －x＋1 2 即f(x)＝ . |x|＋1
2
变式训练1 已知f(x)是R上的奇函数，且当x∈(0，＋ ∞)时，f(x)＝x(1＋ 式． 3 x )，求当x∈(－∞，0)时， f(x)的解析
解：设 x∈(－∞，0)，则－x∈(0，＋∞)． 由已知得 f(－x)＝－x(1＋ －x)＝－x(1－ x)． ∵f(x)是 R 上的奇函数， 3 ∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－f(－x)＝x(1－ x)． 即 f(x)＝x(1－ x)， 3 3 3 3
是增函数．故选B.
类型三 函数奇偶性与单调性的综合应用 [例3] 已知函数y＝f(x)的定义域为(－1,1)，并且对一
切x，y∈(－1,1)恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)；且当x>0时， f(x)<0； (1)判断该函数的奇偶性； (2)判断并证明该函数的单调性； (3)若f(1－m)＋f(1－m2)>0，求实数m的取值范围． [分析] 与单调性、奇偶性有关的抽象函数问题，一
函数奇偶性的应用
() 的解析式.
1. 函数 () 在 上为奇函数，且当 > 0 时， () = + 1 ，则当 < 0 时
， () = ___________.
−1
[解析] ∵ () 为奇函数，当 > 0 时， () = + 1 ，∴ 当 < 0 时， − > 0
【解析】由题意知,当 x<0 时,f(x)=-eax,则当 x>0 时,-x<0,f(-x)=-e-ax.
又因为 f(x)是奇函数,则当 x>0,f(x)=-f(-x)=e-ax.
又因为 f(ln 2)=8,则 f(ln 2)=e-aln 2=2-a=8,解得 a=-3.
4. 若函数 f(x)=
A.-3
函数奇偶性的应用
1. 求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用 () 为
奇函数 ⇔ (−) = −(), () 为偶函数 ⇔ () = (−) ，列式求解，也
可利用特殊值法求解.对于在 = 0 处有定义的奇函数 () ，可考虑列等式
(0) = 0 求解.
2. [2020年江苏卷]已知 = () 是奇函数，当 ≥ 0 时， () =
，
2
3
则 (−8) 的值是_________.
−4
2
3
[解析] (8) = 8 = 4 ，因为 () 为奇函数，所以 (−8) = −(8) = −4 .
3. 已知 f(x)是奇函数,且当 x<0 时,f(x)=-eax.若 f(ln 2)=8,则 a=
∵M=f(x)max=2+g(x)max,m=f(x)min=2+g(x)min,
函数奇偶性的性质应用
函数奇偶性的应用一、利用函数的奇偶性判断函数的单调性1 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性一致，偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．2 奇函数、偶函数的单调性的对称规律在不同区间内的自变量对应的函数值比较大小中作用很大．对于偶函数，如果两个自变量在关于原点对称的两个不同的单调区间上，即自变量的正负不统一，应利用图象的对称性将自变量化归到同一个单调区间，然后再根据单调性判断．例．若奇函数f(x)在[a，b]上是增函数，且有最大值M，则f(x)在[－b，－a]上是增函数，且有最小值－M.例．若偶函数f(x)在(－∞，0)上是减函数，则f(x)在(0，＋∞)上是增函数．例如果f(x)是R上的奇函数，且在[3,6]上有最大值4，最小值2，那么函数f(x)在[－6，－3]上的最大值和最小值各是多少？提示：奇函数的图象关于原点对称，联想图象可知函数f(x)在[－6，－3]上的最大值为－2，最小值为－4.例．若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，且f(1)<f(2)，则必有()A．f(－1)<f(－2) B．f(－1)>f(－2)C．f(－1)＝f(1) D．f(－2)＝f(1)解析：∵f(1)<f(2)，∴－f(1)>－f(2)．又已知f(x)是奇函数，∴f(－1)>f(－2)．答案：B例函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，图象必过点A．（a, －f(a)) B．（-a, －f(a))C．（a, f(－a)) D．（-a, －f(a))例．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是________．解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上递增，而2<3<π，∴f(π)>f(3)>f(2)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．答案：f(－π)>f(3)>f(－2)例．函数f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则下列各式成立的是()A．f(－2)>f(0)>f(1)B．f(－2)>f(1)>f(0)C．f(1)>f(0)>f(－2)D．f(1)>f(－2)>f(0)解析：∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，又∵f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f (－2)>f (1)>f (0)． 答案：B例．已知函数f (x )在区间[－5,5]上是奇函数，在区间[0,5]上是单调函数，且f (3)<f (1)，则( ) A ．f (－1)<f (－3) B ．f (0)>f (－1) C ．f (－1)<f (1) D ．f (－3)>f (－5)思路分析：要比较各函数值的大小，需判断函数在区间[－5,5]上的单调性，根据题意，应首先判断函数在区间[0,5]上的单调性．解析：函数f (x )在区间[0,5]上是单调函数，又3>1，且f (3)<f (1)，故此函数在区间[0,5]上是减函数． 由已知条件及奇函数性质，知函数f (x )在区间[－5,5]上是减函数． 选项A 中，－3<－1，故f (－3)>f (－1)． 选项B 中，0>－1，故f (0)<f (－1)．同理选项C 中f (－1)>f (1)，选项D 中f (－3)<f (－5)． 答案：A例．设f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数．若x 1＋x 2>0，x 2＋x 3>0，x 3＋x 1>0，则( ) A ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)>0 B ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0 C ．f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)＝0 D ．f (x 1)＋f (x 2)>f (x 3)解析：利用减函数和奇函数的性质判断． ∵x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2.又∵f (x )是定义在R 上单调递减的奇函数， ∴f (x 1)<－f (x 2)．∴f (x 1)＋f (x 2)<0.同理，可得f (x 2)＋f (x 3)<0，f (x 1)＋f (x 2)<0.∴2f (x 1)＋2f (x 2)＋2f (x 3)<0. ∴f (x 1)＋f (x 2)＋f (x 3)<0. 答案：B例 （2009年陕西文科卷）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121()()0f x f x x x -<-．则 （ ）A ．(3)(2)(1)f f f <-< Ｂ．(1)(2)(3)f f f <-< Ｃ．(2)(1)(3)f f f -<< Ｄ．(3)(1)(2)f f f <<-答案：A例 定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0](x 1≠x 2)，有(x 2－x 1)·[f (x 2)－f (x 1)]>0.则当n ∈N ＋时，有( )A ．f (－n )<f (n －1)<f (n ＋1)B ．f (n －1)<f (－n )<f (n ＋1)C ．f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)D ．f (n ＋1)<f (n －1)<f (－n )思路分析：先判断出函数f (x )的单调性，再转化为同一单调区间内判断函数值的大小关系． 解析：由(x 2－x 1)[f (x 2)－f (x 1)]>0得f (x )在x ∈(－∞，0]为增函数． 又f (x )为偶函数，所以f (x )在x ∈[0，＋∞)为减函数． 又f (－n )＝f (n )且0≤n －1<n <n ＋1，∴f (n ＋1)<f (n )<f (n －1)，即f (n ＋1)<f (－n )<f (n －1)． 答案：C例．若y ＝(a －1)x 2－2ax ＋3为偶函数，则在(－∞，3]内函数的单调区间为________． 解析：a ＝0，y ＝－x 2＋3结合二次函数的单调性知． 答案：增区间(－∞，0)，减区间[0,3]例 定义在区间(－∞，＋∞)上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在区间[0，＋∞)上的图象与)(x f 的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：（1）f (b )－f (－a )＞g (a )－g (－b )； （2）f (b )－f (－a )＜g (a )－g (－b )； （3）f (a )－f (－b )＞g (b )－g (－a )； （4）f (a )－f (－b )＜g (b )－g (－a )． 其中成立的是（ ）A ． (1)与(4)B ． (2)与(3)C ． (1)与(3)D ． (2)与(4) 解析：根据函数)(x f 、)(x g 的奇偶性将四个不等式化简，得： （1）f (b )＋f (a )＞g (a )－g (b )； （2）f (b )＋f (a )＜g (a )－g (b )； （3）f (a )＋f (b )＞g (b )－g (a )； （4）f (a )＋f (b )＜g (b )－g (a )．再由题义，有 )(a f ＝)(a g ＞)(b f ＝)(b g ＞0)0()0(==g f ．显然（1）、（3）正确，故选C ．【技巧提示】 具有奇偶性的函数可以根据某个区间的单调性判定其对称的区间内的单调性，因而往往与不等式联系紧密．二. 求函数的函数值和函数解析式此类问题的一般解法是：(1)“求谁则设谁”，即在哪个区间求解析式，x 就设在哪个区间内． (2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f (x )的奇偶性写出－f (x )或f (－x )，从而解出f (x )例 已知函数y ＝f (x )是偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和是( ) A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 思路分析：以偶函数的图象特征进行判断．解析：∵偶函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，∴f (x )与x 轴的四个交点也关于y 轴对称．因此，若一根为x 1，则它关于y 轴对称的根为－x 1；若一根为x 2，则它关于y 轴对称的根为－x 2，故f (x )＝0的四根之和为x 1＋(－x 1)＋x 2＋(－x 2)＝0.∴应选D.例．已知()2f x ax bx 3a b =+++是偶函数，且定义域为[],a 22a -，则____,____;a b ==例.已知函数1().21xf x a =-+，若()f x 为奇函数，则a =________。
谈谈函数奇偶性的应用
思路探寻函数奇偶性是函数的重要性质之一，是指对于函数f (x )，若定义域内任意的x ，都有f (-x )=-f （x ）,则函数f (x )为奇函数；若都有f (-x )=f （x ），则该函数f (x )为偶函数.函数的奇偶性在高中数学解题中应用广泛，尤其在解不等式、求函数的值、求函数解析式时应用较多.对此，笔者就函数奇偶性在高中数学解题中的应用进行了探讨，以期对同学们解题有所助益.一、利用函数的奇偶性解不等式有些不等式问题较为复杂，很难快速找到解题的突破口，此时不妨仔细分析不等式左右两边式子的结构特征，构造恰当的函数，将不等式问题转化为函数问题，再利用函数的奇偶性去处理，这样便可使不等式问题顺利获解.例1.求证：x 1-2x ＜x 2(x ≠0).分析：此不等式若直接证明十分棘手，可结合不等式的特点构造出一个函数，利用偶函数的性质将不等式进行转化，则可以轻松证明结论.证明：设f (x )=x 1-2x -x 2(x ≠0),因为f (-x )=-x 1-2-x --x2=-x (1+12x -1)+x 2=x 1-2x -x 2=f (x ),所以f (x )为偶函数.当x ＞0时，1-x2＜0，可知f (x )＜0；当x ＜0时，-x ＞0,f (x )=f (-x )＜0,综上所述，当x ≠0时，恒有f (x )＜0，即x 1-2x ＜x 2(x ≠0).利用函数奇偶性解答不等式问题的关键在于,结合不等式的结构特征构造具有奇偶性的函数，以便利用函数的奇偶性将问题加以转化.二、利用函数的奇偶性求函数的值求函数的值问题是函数中的常见题目，常以选择题或填空题的形式出现.此类问题中常含有参数，为了快速求得函数的值，我们可以利用函数的奇偶性，将f (-x )用±f （x ）来替换，将函数式作整体处理，进而求得函数的值.这样不仅可以避免逐步讨论、求解参数的值，还可以简化运算，有利于提升解题的效率.例2.若f (x )=a x -a -x2+b ·log c (x +x 2+1)+x 2(其中a ,b ,c 为常数)，且f (-2)=5，试求f (2)的值.分析：本题直接求函数f (2)的值较为困难，可结合f (x )表达式的特点，将含x 的一部分构造成具有奇偶性的函数，利用函数的奇偶性进行处理，则不难求出函数f (2)的值.解：设g (x )=a x -a -x 2+b ·log c (x +x 2+1),则g (-x )=a -x -a x2+b ·log c (-x +(-x )2+1)=-g (x ),易知g (x )为奇函数，故有g (-2)=-g (2)，又因为f (x )=g (x )+x 2,则{f (-2)=g (-2)+4,f (2)=-g (2)+4,将两式相加可得f (-2)+f (2)=8，因为f (-2)=5，所以f (2)=3.三、利用函数的奇偶性求函数的解析式求解函数的解析式问题的方法较多，利用函数奇偶性是常用的方法.在求函数的解析式时，要首先根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，然后将f (-x )用±f （x ）来替换，这样便能快速求得函数的解析式.例3.已知f (x )与g (x )的定义域是｛x |x ∈R 且x ≠±1｝,若f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，且f (x )+g (x )=1x -1.试求f (x )与g (x )的解析式.解：因为f (x )是偶函数，所以f (-x )=f (x )，因为g (x )是奇函数，所以g (-x )=-g (x )，因为f (-x )+g (-x )=1-x -1,所以f (x )-g (x )=1-x -1①.由已知可得f (x )+g (x )=1x -1②.由①+②可得2f (x )=2x 2-1(x ≠±1)，所以f (x )=1x 2-1(x ≠±1)，所以g (x )=1x -1-1x 2-1=x x 2-1(x ≠±1).若已知函数是偶函数或奇偶数，则根据函数奇偶性的定义f (-x )=-f (x )或f (-x )=f (x )进行代换，便不难求出函数的解析式.在这一过程中，我们要注意把握奇函数或偶函数的定义域.总之，对于某些较为复杂的函数问题，同学们若能从函数的奇偶性入手，往往可以拓宽解题的思路.所以，在平时的学习中，同学们要熟练掌握函数的性质.(作者单位：江苏省江浦高级中学)谈谈函数奇偶性的应用邹大博48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数奇偶性（FunctionParity）是指一个函数可以经过一个变换，使其符号发生对称的变化的性质。
这种性质可以用于解决许多数学问题，特别是那些涉及到计算积分的问题，例如，计算圆周积分、椭圆积分等。
函数的奇偶性本质上是一种对称性质，它不是某一个函数的具体性质，而是函数人因变换后所拥有的性质。
其定义是：如果函数f(x)对于任意x，都有f(-x) = -f(x)，则称f(x)为奇函数，反之，如果f(-x)=f(x)，则称函数f(x)为偶函数。
一般来说，函数的奇偶性与函数的变换关系密切相关，函数的变换可以表示为改变函数的变量x的值或者改变函数的结果y值。
例如，函数f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)有对称性，因为当x取任意值时，它的关系式f(-x)=a(-x)2+b(-x)+c＝-ax2＋bx＋c＝-f(x)，所以函数f(x)是奇函数。
函数奇偶性具有许多应用，例如，利用它可以求解椭圆积分。
椭圆积分是由一个定义在椭圆上的函数与椭圆的面积累加求得的。
因为函数的奇偶性能满足对称性，所以可以利用这一性质，将椭圆分成两半来求解。
具体的操作是，首先用函数左半部分的面积累加求得积分值，然后再用函数右半部分的面积累加求得积分值，最后相加即可得到椭圆积分的结果。
函数奇偶性还可以用于求解圆周积分问题。
因为圆周积分一般是指求解圆周上函数的积分值，而利用函数奇偶性，可以把圆周分割成两部分，一部分是正玄轴到负玄轴的距离，另一部分是负玄轴到正玄轴的距离，从而将圆周积分转化为求解两个积分的和，从而更加容易求出解析解。
此外，函数奇偶性还可以用于对一些复杂的函数进行拆分，将多个复杂的函数拆分为若干个相对简单的函数，从而更容易求解。
例如，可以将多项式函数拆分为多个单项式函数，这样就可以更加方便地求解多项式函数。
最后，函数奇偶性也可以用于多元函数的研究。
对于多元函数，函数的奇偶性可以帮助我们更加清晰地理解函数的性质，从而更直观地求解多元函数的结果。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是指函数在其定义域内是否满足奇偶性质。
在数学中，奇数代表整数除以2的余数为1，偶数代表整数除以2的余数为0。
而在函数中，奇函数代表函数满足f(-x)=-f(x)，偶函数代表函数满足f(-x)=f(x)。
函数的奇偶性在数学中有着广泛的应用，如在对称性、曲线图像、解方程等方面都能够起到重要的作用。
下面将详细讨论函数奇偶性在不同应用领域的具体应用。
首先，在对称性方面，函数的奇偶性能够帮助我们判断函数关于y轴、x轴以及原点是否对称。
对于奇函数，它关于原点对称，即图像在原点处旋转180度后与原图像重合；对于偶函数，它关于y轴对称，即图像关于y轴对称；而对于一般的函数，如果既不是奇函数也不是偶函数，那么它不具备关于坐标轴的对称性。
其次，在曲线图像方面，函数的奇偶性能够帮助我们简化曲线图像的绘制和分析。
由于奇函数关于原点对称，所以当我们只需要绘制图像在原点右侧的部分，然后再将其关于原点对称得到的图像就是整个函数的图像；偶函数同样可以利用关于y轴的对称性简化图像的绘制。
这在许多实际问题中都起到了很大的帮助，特别是能够通过对图像的简化来更好地理解函数的性质。
再次，在解方程方面，我们可以利用函数的奇偶性来求解一些特定的问题。
例如，当我们需要求解一个方程f(x)=0时，如果函数是奇函数，即f(-x)=-f(x)，那么我们只需要找到一组解x0，然后就能得到对称的另一组解-x0。
同样地，如果函数是偶函数，即f(-x)=f(x)，我们只需要求解非负解，然后就能得到关于y轴对称的另一组解。
这对于简化解方程的过程非常有帮助。
此外，在积分计算方面，函数的奇偶性同样提供了一种简化计算的方法。
对于奇函数而言，它的在一个对称区间内的积分等于0，因为函数在区间的正负区域对称；而对于偶函数而言，它在一个对称区间内的积分可以化简为两倍的非负积分，因为函数在区间内的曲线图像关于y轴对称。
这种简化计算的方法在数学中经常被运用，能够提高计算的效率。
函数的奇偶性及其应用
1/10/2015
三、应用
1、求函数值 2、求具有奇偶性的分段函数的解析式
例2、已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=x(2-x), 求函数f(x)的解析式
解 f ( x)是定义在R上的奇函数
f ( x) f ( x), f (0) 0
当x 0时, x 0, 则f ( x) x[2 ( x)] x(2 x)
函数的奇偶性
1/10/2015
一、判断函数的奇偶性 1、定义法
定义域是否关于原点对称 f ( x) (1) 验证 f ( x ) 是否和 f ( x ) 相等， (2) f ( x ) f ( x ) 是否为 0,(3 ) ( f ( x) 0)是否为 1 f ( x) 判断分段函数的奇偶性时，一段一段地判断
3、函数奇偶性与单调性的综合 4、确定参数的值
ax2 1 例1：设f ( x) 是奇函数(a, b, c Z )且f (1) 2, bx c f (2) 3, 求a, b, c的值.
解：由题知，f ( x) f ( x),即b( x) c bx c,
解：由f (1 a ) f (1 a 2 ) 0得f (1 a ) f (1 a 2 ) f ( x) f ( x), x (1 , 1 ) f (1 a ) f (a 2 1) 又 f ( x)在(1 , 1 )上是减函数， 1 1 a 1 1 1 a 2 1 ，解得 0 a 1. 1 a a 2 1 故实数a的取值范围为（ 0， 1） .
1/10/2015
例 已知函数 f (x )，当 x ，y∈R 时，恒有 f (x ＋y)＝f (x )＋f (y)． (1)求证：f (x )是奇函数； (2)若 x>0 时，总有 f(x)<0，求证：f(x)在 R 上是减函数; (3)解不等式 f(2x-1)+f(x+2)<0 1 (4)如果 x>0，f (x )<0，并且 f (1)＝－ ，试求 f (x )在区间[ －2,6] 上的最值． 2
函数奇偶性的应用
2 2a a 1 2a 2a 3, 即3a 2 0, 解之得a . 3
2 2
P16 2 P18 5 2
又 f x 是奇函数，则f(-x)=-f(x) -x3 x 1 f ( x), 即f ( x) x3 x 1 当x 0时，f ( x) x3 x 1.又f ( x)是奇函数，故f (0) 0.
x3 x 1, x 0, f ( x) 0, x 0, x3 x 1, x 0.
解析：本题已知当x 0时，f ( x) x3 x 1, 求f ( x)的解析式，只需要求出 x 0及x 0的表达式即可，已知f ( x)是奇函数，则f ( x) f ( x), 利用这一 条件将x 0, 则 x 0, 用 x替换f ( x) x 2 x 1中的x，得 f ( x) ( x)3 ( x) 1 x3 x 1.
函数奇偶性的应用
1、利用函数奇偶性求函数解析式
例：已知函数f ( x)是定义在(, )上的偶函 数，当x (-,0)时，f(x)=x-x4 ; 当x 0, 时，f ( x)
解：当x (0, )时， x (, 0), 则f ( x) x ( x) 4 x x 4 .又 函数为偶函数， f ( x) f ( x), x (0, ) 从而在区间(0, )上的函数的表达式为f ( x) x x 4
2、求参数
且有f (2a a 1) f (2a 2a 3), 求a的取值范围.
2 2
例、设f ( x)在R上是偶函数，在区间(-,0)上递增，
解： f ( x)在R上是偶函数，在区间(, 0)上递增， f ( x)在（0， +）上递增. 1 2 7 1 2 5 2 2a a 1 2(a ) 0, 2a 2a 3 2(a ) 0, 4 8 2 2 且f (2a 2 a 1) f (2a 2 2a 3),
了解函数的基本奇偶性
了解函数的基本奇偶性函数的奇偶性是数学中一个非常重要的概念，它与函数的图像、方程和性质密切相关。
了解函数的基本奇偶性对于理解和解决许多数学问题至关重要。
本文将介绍函数的奇偶性及其应用。
一、函数的奇偶性定义在数学中，任何一个函数都可以判断其奇偶性。
对于定义在实数域上的函数f(x)，如果对于任意实数x，有f(-x)=f(x)，则函数f(x)是偶函数；如果对于任意实数x，有f(-x)=-f(x)，则函数f(x)是奇函数；如果函数既不满足偶性也不满足奇性，则称其为一般函数或无奇偶性函数。
二、奇偶性函数的性质1. 偶函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。
（2）偶函数关于y轴对称，即其图像与y轴关于原点对称。
（3）偶函数在原点处有对称轴，即原点是其对称轴的一部分。
（4）偶函数乘以偶函数还是偶函数，偶函数乘以奇函数还是奇函数。
2. 奇函数的性质（1）奇次幂的多项式函数是奇函数；偶次幂的多项式函数是偶函数。
（2）奇函数关于原点对称，即其图像与原点关于原点对称。
（3）奇函数在原点处有旋转对称性。
（4）奇函数乘以奇函数还是偶函数，奇函数乘以偶函数还是奇函数。
三、奇偶性函数的应用1. 确定函数的奇偶性可以简化一些数学计算，特别是在求导、积分和解方程等问题中。
对于奇函数，若其在原点处取值为零，则其他与原点对称的点也为零；对于偶函数，若其在原点处取值为零，则关于原点对称的点也为零。
2. 函数的奇偶性可以帮助我们确定函数的对称性，以及函数图像在平面上的分布情况。
3. 偶函数的性质常用于解决对称性相关的问题，如求曲线的对称轴等；奇函数的性质常用于解决旋转对称性相关的问题，如求曲线的旋转中心等。
4. 在解方程中，可以利用奇偶性来帮助我们简化问题，特别是当方程中包含奇偶函数时。
四、总结了解函数的基本奇偶性对于数学的学习和问题求解至关重要。
通过分析函数的奇偶性可以简化计算，确定图像的对称性，解决对称性相关问题，并提供更多的数学思路和方法。
函数的奇偶性与周期性的应用
函数的奇偶性与周期性的应用函数是数学中的重要概念，它描述了数值之间的关系。
在实际问题中，我们经常会遇到需要研究函数的奇偶性和周期性的情况。
本文将讨论函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中的应用。
一、函数的奇偶性奇函数和偶函数是指具有特定对称性质的函数。
1. 奇函数奇函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = -f(x)。
奇函数具有关于原点对称的性质，即图像关于原点对称。
例如，常见的奇函数有正弦函数 sin(x) 和三角函数 tan(x)。
在实际问题中，奇函数的应用很广泛。
比如，当我们研究对称材料的性质时，可以使用奇函数来描述。
此外，奇函数在信号处理和电路设计中也有很多应用，可以用于滤波和调制等方面。
2. 偶函数偶函数是指满足以下条件的函数：对任意实数 x，有 f(-x) = f(x)。
偶函数具有关于 y 轴对称的性质，即图像关于 y 轴对称。
例如，常见的偶函数有余弦函数 cos(x) 和绝对值函数 |x|。
在实际问题中，偶函数也有许多应用。
比如，在对称图形的研究中，可以使用偶函数来描述图形的特性。
此外，偶函数在信号处理和图像处理中也有广泛应用，可以用于图像增强和去噪等方面。
二、函数的周期性周期函数是指在一定区间内具有重复性质的函数。
1. 周期函数的定义周期函数是指满足以下条件的函数：存在一个正数 T，对任意实数x，有 f(x+T) = f(x)。
周期函数的图像在一定区间内重复出现，具有明显的周期性。
常见的周期函数有正弦函数和余弦函数。
2. 周期函数的应用周期函数在实际问题中的应用非常广泛。
比如，当我们研究震动问题时，可以使用周期函数来描述物体的运动轨迹。
此外，在电路设计和信号处理中，周期函数也有很多应用，例如音乐信号的合成和调节。
总结：函数的奇偶性和周期性在数学和实际问题中起着重要作用。
通过研究函数的奇偶性，我们可以揭示问题中的对称性质，从而更好地理解问题。
而函数的周期性则描述了重复出现的模式，使我们能够分析问题的重复特征。
高一数学人必修一课件时函数奇偶性的应用
奇偶性在三角函数中的应用
三角函数的奇 偶性定义： sin(x)、cos(x)、 tan(x)的奇偶性
三角函数的奇偶 性性质：sin(-x) = sin(x)，cos(-x) = cos(x)，tan(-x) = -tan(x)
三角函数的奇偶 性应用：求解三 角方程、判断三 角函数的单调性、 求三角函数的最 值等
解析法：通过解析式判断其 奇偶性
特殊值法：通过选取特殊值 判断其奇偶性
奇偶性的性质
函数的奇偶性是指函数值与自变量之间 的关系
奇函数：f(-x)=-f(x)
偶函数：f(-x)=f(x)
非奇非偶函数：既不是奇函数也不是偶 函数
奇偶性的判断方法：通过观察函数图像 或利用定义进行判断
03
函数奇偶性的应用场景
奇偶性与函数极限的关系
奇偶性是函数极限存在的 必要条件
奇偶性可以帮助我们判断 函数极限是否存在
奇偶性在求解函数极限问 题时具有重要作用
奇偶性与函数极限的关系 是函数极限理论的重要内
容
奇偶性与积分的关系
奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分性质 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分公式 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分应用 奇偶函数与积分的关系：奇函数和偶函数的积分计算方法
函数图像的对称性质
偶函数：关于y轴对称
奇函数：关于原点对称
非奇非偶函数：既不关于原 点对称也不关于y轴对称
复合函数的对称性：根据奇 偶性判断复合函数的对称性
函数值的变化规律
奇函数：f(-x)=-f(x)， 函数值关于原点对 称
偶函数：f(-x)=f(x)， 函数值关于y轴对称
非奇非偶函数：既 不是奇函数也不是 偶函数，函数值没 有特定的对称性
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。
函数的单调性和奇偶性的综合应用
精品资料欢迎下载函数的单调性和奇偶性的综合应用知识要点：对称有点对称和轴对称：O点对称：对称中心O轴对称：数的图像关奇函于原点成点对称，偶函数的图像关于y 轴成轴对称图形。
1、函数的单调性：应用：若y f ( x) 是增函数， f ( x1 )应用：若y f ( x) 是减函数， f ( x1 )f (x2 )x1x2 f (x2 )x1x2相关练习：若 y f (x) 是R上的减函数，则 f (1) f ( a2 2 a 2 )2、熟悉常见的函数的单调性：y kx b 、y k、 y ax2bx cb在 (x相关练习：若 f ( x) ax ，g ( x),0) 上都是减函数，则 f (x)ax 2bx 在 (0,) 上是函x数（增、减）3、函数的奇偶性：定义域关于原点对称， f (x) f (x) f (x) 是偶函数定义域关于原点对称， f (x) f ( x) f ( x) 是奇函数（当然，对于一般的函数，都没有恰好f ( x) f ( x) ，所以大部分函数都不具有奇偶性）相关练习：（ 1）已知函数f ( x)ax2bx4a1是定义在 [a 1,2a] 上的奇函数，且 f (1) 5 ，求 a 、bb(2) 若f ( x)(K2) x2( K1)x 3 是偶函数，则 f ( x) 的递减区间是。
(3) 若函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，则 f (0)。
(4)函数 y f (x) 的奇偶性如下：画出函数在另一半区间的大致图像奇函数偶函数奇函数奇函数y y y yo x o x o x o x精品资料欢迎下载例题分析：4、单调性和奇偶性的综合应用【类型 1转换区间】相关练习：（ 1）根据函数的图像说明，若偶函数y f ( x) 在 (,0) 上是减函数，则 f ( x) 在 (0,) 上是函数（增、减）(2)已知 f ( x) 为奇函数，当x0时， f ( x)(1x) x ，则当x0 时， f (x)=(3)R 上的偶函数在(0,) 上是减函数， f (3) f ( a2a 1 )4(4) 设f (x)为定义在（(,) 上的偶函数，且 f (x) 在 [0,) 为增函数，则 f (2) 、 f () 、f (3) 的大小顺序是（）A. f () f (3) f (2)B. f () f (2) f (3)C. f () f (3) f (2)D. f () f (2) f (3)(5)如果奇函数 f (x) 在区间 [3,7] 上的最小值是5，那么 f ( x) 在区间 [ 7, 3]上 ()A.最小值是 5B. 最小值是－５C. 最大值是－５D. 最大值是 5(6)如果偶函数 f (x) 在 [3,7] 上是增函数，且最小值是－５那么 f (x) 在 [ 7,3]上是( )A.增函数且最小值为－５B. 增函数且最大值为－５C.减函数且最小值为－５D. 减函数且最大值为－５(7)已知函数 f ( x) 是定义在R 上的偶函数，且在(, 0)上 f (x) 是单调增函数，那么当x10 ， x20 且x1x20 时，有（）A. f (x1) f ( x2 )B. f ( x1 ) f (x2 )C. f ( x1) f ( x2 )D. 不确定(8)如果 f ( x) 是奇函数，而且在开区间( ,0) 上是增函数，又 f (2)0 ，那么 x f ( x) 0的解是（）A. 2 x 0 或 0 x2B. 2 x 0 或 x 2C. x 2 或 0 x 2D. x 3 或 x 3(9)已知函数f ( x)为偶函数，xR ，当 x0 时，f ( x)单调递增，对于x1，x2，有| x1|| x2|，则（）A. f ( x1)f ( x2)B.f ( x1) f ( x2)C.f ( x1)f ( x2 ) D. | f ( x1 ) | | f ( x2 ) |精品资料 欢迎下载5、单调性和奇偶性的综合应用【类型 2利用单调性解不等式】(1 相关练习： (1)已知y f ( x)是( 3,3)上的减函数，解不等式f (x 3) f (2 x)1 ,)2(0, 2 (2) 定义在( 1,1)上的奇函数f ( x)是减函数，且满足条件 f (1 a) f (1 2a) 0)，求 a的取值范围。
函数奇偶性的应用(新版教材)
函数奇偶性的应用基础知识1．判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法(1)__定义__法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )，或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f (x )f (－x )(f (－x )≠0)是否等于±1，等等．(2)__图像__法：奇(偶)函数的充要条件是它的图像关于原点(或y 轴)对称．(3)__性质__法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论要注意各函数的定义域)2．F 1(x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，F 2(x )＝f (x )－f (－x )为奇函数．(注：F 1(x )、F 2(x )的定义域是关于原点对称的区间)3．奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相__同__；偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相__反__.基础自测1．已知偶函数f (x )在区间(－∞，0]上单调递减，则满足f (2x －1)<f (13)的x 的取值范围是( A )A ．⎝⎛⎭⎫13，23B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C ．⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：由题意得|2x －1|<13，∴－13<2x －1<13，∴13<x <23，故选A ．2．若函数f (x )＝x 3，则函数g (x )＝f (－2x )在其定义域上是( D ) A ．单调递增的偶函数 B ．单调递增的奇函数 C ．单调递减的偶函数D ．单调递减的奇函数 解析：∵f (x )＝x 3，∴g (x )＝f (－2x )＝－8x 3.又g (－x )＝8x 3＝－g (x )，∴g (x )为奇函数．又∵f (x )＝x 3为增函数，∴g (x )＝－8x 3为减函数．3．已知函数f (x )是奇函数，x >0时，f (x )＝1，则f (－2)＝( C ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．±1解析：设x <0，则－x >0，f (－x )＝1.∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝1，f(x)＝－1(x<0)．∴f(－2)＝－1.4．偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上的图像如图，则函数f(x)的增区间为__[－1,0]和[1，＋∞)__.解析：由图像可知当x＞0时，f(x)在[0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵f(x)为偶函数，∴f(x)的图像关于y轴对称．∴f(x)在[－1,0]上单调递增，在(－∞，－1]上单调递减．故f(x)的增区间为[－1,0]和[1，＋∞)．5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，求实数a的值．解析：∵函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即(－x)2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|，∴|－x＋a|＝|x＋a|，即|x－a|＝|x＋a|，∴a＝0.关键能力·攻重难类型利用奇偶性求函数值┃┃典例剖析__■典例1(1)已知函数f(x)＝ax3＋bx－6，且f(－2)＝8，则f(2)＝__－20__.(2)已知f(x)，g(x)均为R上的奇函数，且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋2在区间(0，＋∞)上的最大值为8，则在区间(－∞，0)上的最小值为__－4__.思路探究：(1)可构造g(x)＝ax3＋bx，利用g(x)的奇偶性求解．(2)因为f(x)和g(x)的具体表达式并没有给出，因此应充分利用“f(x)，g(x)均为R上的奇函数”这一条件，构造一个新函数来间接求解．解析：(1)方法一令g(x)＝ax3＋bx，易知g(x)是奇函数，从而g(－2)＝－g(2)．由f(x)＝g(x)－6，得f(－2)＝g(－2)－6＝8，∴g(－2)＝14，∴g (2)＝－g (－2)＝－14， ∴f (2)＝g (2)－6＝－14－6＝－20. 方法二 由已知条件，得⎩⎪⎨⎪⎧f (－2)＝a ×(－2)3＋b ×(－2)－6 ①，f (2)＝a ×23＋b ×2－6 ②，①＋②得f (2)＋f (－2)＝－12. 又f (－2)＝8，∴f (2)＝－20.(2)由f (x )，g (x )均为R 上的奇函数，知af (x )＋bg (x )为R 上的奇函数．由F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(0，＋∞)上的最大值为8，得F (x )－2＝af (x )＋bg (x )在(0，＋∞)上的最大值为6.根据奇函数的性质可知F (x )－2＝af (x )＋bg (x )在(－∞，0)上的最小值为－6，故F (x )＝af (x )＋bg (x )＋2在(－∞，0)上的最小值为－6＋2＝－4. 归纳提升：利用函数奇偶性求函数值的解题思路已知f (a )求f (－a )的思路：判断f (x )的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用奇偶性找出f (a )与f (－a )的关系，若还有其他条件，可再利用其转化，进而求出f (－a )． ┃┃对点训练__■1．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)＝__3__. 解析：由题意知f (－1)＋g (1)＝－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝f (1)＋g (1)＝4，两式相加，解得g (1)＝3.类型 含有参数的函数的奇偶性的判断 ┃┃典例剖析__■典例2 设a 为实数，讨论函数f (x )＝x 2＋|x －a |＋1的奇偶性． 思路探究：以a 是否为0进行分类讨论． 解析：当a ＝0时，f (x )＝x 2＋|x |＋1， ∴f (－x )＝(－x )2＋|－x |＋1 ＝x 2＋|x |＋1＝f (x )，∴当a ＝0时，函数f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (1)＝2＋|1－a |，f (－1)＝2＋|1＋a |， 假设f (1)＝f (－1)，则|1－a |＝|1＋a |，(1－a )2＝(1＋a )2，∴a ＝0，这与a ≠0矛盾，假设f (－1)＝－f (1)，则2＋|1＋a |＝－2－|1－a |这显然不可能成立(∵2＋|1＋a |>0，－2－|1－a |<0)，∴f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，∴当a ≠0时，函数f (x )是非奇非偶函数．归纳提升：判断含参数的函数的奇偶性时，应注意对参数进行分类讨论，若函数为非奇非偶函数时，可用特值法进行判断． ┃┃对点训练__■2．已知函数f (x )＝x 2＋ax ，常数a ∈R ，讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由．解析：当a ＝0时， f (x )是偶函数； 当a ≠0时， f (x )是非奇非偶函数．函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域关于原点对称． 当a ＝0时， f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )， ∴函数f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (1)＝1＋a ，f (－1)＝1－a ， ∴f (－1)≠f (1)，∴f (x )不是偶函数． f (－1)＋f (1)＝2≠0， ∴f (－1)≠－f (1)， ∴f (x )不是奇函数．∴f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．类型 函数奇偶性与图像的对称性的综合应用 ┃┃典例剖析__■典例3 (1)定义在R 上的函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，且f (x ＋2)为偶函数，则( A ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )的图像关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝__0__.解析：(1)因为f (x ＋2)为偶函数，所以其图像关于y 轴对称，由于f (x ＋2)的图像可由f (x )的图像向左平移2个单位长度得到，故f (x )的图像关于直线x ＝2对称．因为函数f (x )在(－∞，2)上是增函数，所以f (x )在(2，＋∞)上是减函数，所以f (－1)＝f (5)＜f (4)＝f (0)＜f (3)． (2)由f (x )是R 上的奇函数，得f (0)＝0.∵f (x )的图像关于直线x ＝12对称，于是f (x )＝f (1－x )，∴f (1)＝f (0)＝0，f (2)＝f (－1)＝－f (1)＝0，f (3)＝f (－2)＝－f (2)＝0，f (4)＝f (－3)＝－f (3)＝0，f (5)＝f (－4)＝－f (4)＝0，从而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0.归纳提升：(1)解决函数奇偶性与图像的对称性的综合问题时，要注意把已知函数的奇偶性按定义转化，再判断函数图像的对称轴或对称中心，也可利用图像变化关系得出函数图像的对称性．总之，要充分利用已知条件进行适当转化． (2)关于函数的对称性函数f (x )若对于任意x ∈R ，a 是常数， ①关于直线x ＝a 对称：⇔f (a ＋x )＝f (a －x )(f (2a －x )＝f (x ))， ②关于点(a ，b )对称：⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b (f (2a －x )＋f (x )＝2b )， 特别地：关于点(a,0)对称，则f (a ＋h )＝－f (a －h )． ┃┃对点训练__■3．求证：函数f (x )＝x －1x ＋1的图像关于(－1,1)对称．[证明] 任取h ∈R ，因为f (－1＋h )＝－1＋h －1－1＋h ＋1＝－2＋h h ，f (－1－h )＝－1－h －1－1－h ＋1＝－2－h－h ＝2＋hh，所以f (－1＋h )＋f (－1－h )＝－2＋h h ＋2＋h h ＝2.所以函数f (x )＝x －1x ＋1的图像关于(－1,1)对称．易混易错警示 忽略题目中的隐含条件致错 ┃┃典例剖析__■典例4 已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋b 是定义在区间[－2b,3b －1]上的偶函数，则函数f (x )的值域为__[1,5]__.错因探究：此处易忽略函数的定义域关于坐标原点对称这一隐含条件． 解析：∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即a ＝0. 又f (x )的定义域为[－2b,3b －1]，∴－2b ＋3b －1＝0，∴b ＝1. ∴f (x )＝x 2＋1，x ∈[－2,2]， ∴函数f (x )的值域为[1,5]．误区警示：f (x )是奇(偶)函数，包含两个条件：①定义域关于坐标原点对称；②f (－x )＝－f (x )(f (－x )＝f (x ))．切记不能漏掉①. 学科核心素养 奇偶性与单调性的综合应用1．比较大小问题，一般解法是利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化为与在同一单调区间上的自变量的函数值有关，然后利用单调性比较大小． 2．抽象不等式问题的解题步骤如下：(1)将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系； (2)利用单调性脱去符号“f ”，转化为解不等式(组)的问题．需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f ”时，需要转化为含有符号“f ”的形式，如0＝f (1)，f (x －1)＜0，则f (x －1)＜f (1)；偶函数中f (x )＝f (|x |)的灵活应用． ┃┃典例剖析__■典例5 已知函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数且是减函数，若f (m －1)＋f (1－2m )≥0，求实数m 的取值范围．思路探究：利用函数的单调性、奇偶性，化“抽象的不等式”为“具体的代数不等式”．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－2<m －1<2－2<1－2m <2，得－12<m <32.由函数f (x )是定义在(－2,2)上的奇函数及f (m －1)＋f (1－2m )≥0，得f (m －1)≥f (2m －1)． ∵函数f (x )在(－2,2)上是减函数， ∴m －1≤2m －1，得m ≥0. ∴实数m 的取值范围是[0，32)．课堂检测·固双基1．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )在[0，＋∞)上是增函数，则f (－2)、f (－π)、f (3)的大小关系是( A ) A ．f (－π)>f (3)>f (－2) B ．f (－π)>f (－2)>f (3) C ．f (－π)<f (3)<f (－2)D．f(－π)<f(－2)<f(3)解析：∵f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)在[0，＋∞)上是增函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，∴f(2)<f(3)<f(π)，即f(－π)>f(3)>f(－2)．2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(A) A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)的大小不确定解析：∵x2>－x1>0，f(x)是R上的偶函数，∴f(－x2)＝f(x2)．又f(x)在(0，＋∞)上是减函数，∴f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．3．偶函数f(x)在[0，＋∞)上是减函数，则f(－4)__≥__f(a2＋4)(a∈R)．(填：>、<、≥、≤)解析：由f(x)是偶函数可知f(－4)＝f(4)．∵a2≥0，∴a2＋4≥4.又∵f(x)在[0，＋∞)上是减函数，∴f(4)≥f(a2＋4)，即f(－4)≥f(a2＋4)．4．函数f(x)＝x(ax＋1)在R上是奇函数，则a＝__0__.解析：由奇函数定义知f(－x)＝－f(x)，∴－x(－ax＋1)＝－x(ax＋1)，∴2ax2＝0，x∈R恒成立，∴a＝0.A级基础巩固一、单选题(每小题5分，共25分)1．已知f(x)为奇函数，在区间[3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝(A)A．－15B．－13C．－5D．5解析：本题主要考查利用函数的单调性求函数的最值．因为函数在[3,6]上是增函数，所以f(6)＝8，f(3)＝－1，又函数f(x)为奇函数，所以2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8＋1＝－15，故选A．2．若偶函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，则下列关系式中成立的是( D ) A ．f (－32)<f (－1)<f (2)B ．f (－1)<f (－32)<f (2)C ．f (2)<f (－1)<f (－32)D ．f (2)<f (－32)<f (－1)解析：因为f (x )为偶函数，所以f (2)＝f (－2)，又－2<－32<－1，且函数f (x )在(－∞，－1]上是增函数，所以f (－2)<f (－32)<f (－1)，即f (2)<f (－32)<f (－1)，故选D ．3．定义在R 上的奇函数f (x )，满足f ⎝⎛⎭⎫12＝0，且在(0，＋∞)上单调递减，则xf (x )＞0的解集为( B )A ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | x ＜－12或x ＞12B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0＜x ＜12或－12＜x ＜0C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 0＜x ＜12或x ＜－12D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－12＜x ＜0或x ＞12 解析：∵函数f (x )是奇函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f ⎝⎛⎭⎫12＝0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递减，且f (－12)＝0，∴当x ∈(－∞，－12)∪(0，12)时，f (x )＞0，当x ∈(－12，0)∪(12，＋∞)时，f (x )＜0.若xf (x )＞0，则x 与f (x )同号，则x ∈(－12，0)∪(0，12)．4．已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( B ) A ．π3B ．2π3C ．π6D ．5π6解析：由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x－2)，所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3.故选B ． 5．设定义在R 上的奇函数f (x )满足对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1<0，且f (2)＝0，则不等式3f (－x )－2f (x )5x ≤0的解集为( C )A ．(－∞，－2]∪(0,2]B ．[－2,0]∪[2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,0)∪(0,2]解析：∵在(0，＋∞)上，f (x 1)－f (x 2)x 2－x 1<0，∴f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1>0.∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为奇函数， ∴f (x )在(－∞，0)上单调递增．又f (2)＝0，则f (－2)＝0，示意图如图所示．∴3f (－x )－2f (x )5x ＝－5f (x )5x ＝－f (x )x ≤0，∴f (x )x ≥0，∴x ≥2或x ≤－2. 二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知f (x )在R 上是奇函数，且f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时， f (x )＝2x 2，则f (7)等于__－2__.解析：∵x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，∴f (1)＝2. 又∵x ∈R, f (x ＋4)＝f (x )， ∴f (－3＋4)＝f (－3)＝f (1)＝2， ∴f (3)＝－2.∴f (7)＝f (3＋4)＝f (3)＝－2.7．f (x )是定义在R 上的奇函数，且单调递减，若f (2－a )＋f (4－a )<0，则a 的取值范围为__a <3__.解析：∵f (2－a )＋f (4－a )<0，∴f (2－a )<－f (4－a )． 又∵f (x )为奇函数， ∴－f (4－a )＝f (a －4)， ∴f (2－a )<f (a －4)． 又∵f (x )是单调递减函数， ∴2－a >a －4，∴a <3.8．已知f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x >0时，f (x )的图像如图所示，则不等式x [f (x )－f (－x )]<0的解集为__(－3,0)∪(0,3)__.解析：∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )． ∴x [f (x )－f (－x )]＝2x ·f (x )<0.∴x 与f (x )异号，由题图及f (x )图像关于原点对称知，－3<x <0或0<x <3. 三、解答题(共20分)9．(6分)已知函数f (x )与g (x )满足f (x )＝2g (x )＋1，且g (x )为R 上的奇函数，f (－1)＝8，求f (1)．解析：∵f (－1)＝2g (－1)＋1＝8， ∴g (－1)＝72.又∵g (x )为奇函数，∴g (－1)＝－g (1)． ∴g (1)＝－g (－1)＝－72.∴f (1)＝2g (1)＋1＝2×(－72)＋1＝－6.10．(7分)已知函数f (x )是偶函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x －1，求满足f (x －1)<0的x 的取值范围．解析：设x <0，则－x >0，∴f (－x )＝－x －1， ∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )， 即f (x )＝－x －1(x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1 (x ≥0)－x －1 (x <0).∴f (x －1)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 (x ≥1)－x (x <1). 当x ≥1时，由f (x －1)＝x －2<0，得x <2，∴1≤x <2；当x <1时，由f (x －1)＝－x <0，得x >0，∴0<x <1，综上可知，满足f (x －1)<0的x 的取值范围为{x |0<x <2}．11．(7分)已知函数f (x )＝x 2＋a x，且f (1)＝2. (1)判断并证明函数f (x )在其定义域上的奇偶性；(2)证明：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；(3)求函数f (x )在区间[2,5]上的最大值和最小值．解析：(1)由题意知f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，是奇函数．证明如下：∵f (x )＝x ＋a x ，f (1)＝1＋a ＝2，∴a ＝1，∴f (x )＝x ＋1x. 又f (－x )＝－x －1x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数． (2)证明：任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且1<x 1<x 2，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫x 2＋1x 2－⎝⎛⎭⎫x 1＋1x 1＝(x 2－x 1)＋x 1－x 2x 2x 1＝(x 2－x 1)⎝⎛⎭⎫1－1x 1x 2.∵1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1>0，x 1x 2>1，1x 1x 2<1,1－1x 1x 2>0， ∴f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．∴f (x )在(1，＋∞)上为增函数．(3)∵f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴在区间[2,5]上，f (x )min ＝f (2)＝2＋12＝52，f (x )max ＝f (5)＝5＋15＝265.。
15函数奇偶性的典型应用
函数奇偶性的典型应用一、奇偶性的定义：奇函数：在定义域上)(-)-(x f x f =恒成立，奇函数的图象关于原点对称， 偶函数：在定义域上)()-(x f x f =恒成立，偶函数的图象关于y 轴对称，隐函数条件，奇偶函数的定义域必须关于原点对称。
即函数的定义域若为][b a ，，则0=+b a . 二、常见的奇偶函数类型（1）n x ，n 是奇数时为奇函数，n 是偶数时为偶函数， （2）kx sin 是奇函数，kx tan 是奇函数，kx cos 是偶函数， （3）x x a a --是奇函数，x x a a -+是偶函数， （4）cxb cxb a-+log 是奇函数，）（bx x b a±+221log 是奇函数， （5）||||a x a x --+是奇函数，||||a x a x -++是偶函数。
||x 是偶函数。
（6）常数函数c x f =)(，当0≠c 时，函数)(x f 为偶函数，当0=c 时，)(x f 为既是奇函数又是偶函数。
三、奇偶函数的性质1. 如果)(x f 为是奇函数，在0=x 处有意义，则f (0)=02. 如果)(x f 为是偶函数，则|)(|)-()(x f x f x f ==3. )(x f 是奇偶函数，则定义域关于原点对称，奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y 轴对称。
4. 若函数奇偶性有非零的零点，则零点必对称。
5. 奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数在对称区间上单调性相反，6. 定义在R 上的奇函数)(x f 在开区间)0,+∞（是增函数，则在,0)(-∞也是增函数，则R 上不一定是增函数，若奇函数)(x f 在闭区间)[0,+∞是增函数，则在,0](-∞也是增函数，则R 上一定是增函数。
7. 奇函数的最大值为M ,最小值必为M -.8. 函数奇偶性的运算性质：奇+奇→奇，奇×奇→偶，奇×偶→奇，偶+偶→偶，偶×偶→偶 9. 若)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则函数)()()(h x bg x af x +=，当0=a 时，函数)(x h 为偶函数，当0=b 时，函数)(x h 为奇函数，其余为非奇非偶函数。
函数的奇偶性及其应用
函数奇偶性及其应用1. 函数奇偶性的概念定义1：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，如果（1）对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,则称)(x f 是偶函数；（2）对于)(x )(,f x f I x -=-∈∀都有,则称)(x f 是奇函数。
主要结论：（1）函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，则)(-x )(f x f +是偶函数；)(-x )(f x f -是奇函数。
（2）函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有定义，则)(x f 可以表示成一个偶函数和一个奇函数的和。
这是因为：2)()(2)()()(x f x f x f x f x f --+-+== （3）偶函数的图像关于y 轴对称；奇函数的图像关于原点对称。
（4）偶函数+偶函数=偶函数； 奇函数+奇函数=奇函数奇函数⨯偶函数=奇函数；定义2：设函数),(y x f 在关于y 轴区间D 上有定义，如果（1）对于)y (-x,),(f y x f y =∀都有,则称),(y x f 关于x 是偶函数；（2）对于)y (-x,),(f y x f y -=∀都有,则称),(y x f 关于x 是奇函数；2. 偶函数奇偶性与导数定理1：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有导数，则（1）如果)(x f 是偶函数,则)(x f '是奇函数；（2）如果)(x f 是奇函数,则)(x f '是偶函数；证明:仅证明(1) )(x f 是偶函数, 对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,在I 任取0x .xx f x x f x x f x x f x f x x ∆-∆-=∆--∆+-=-'→∆→∆)()(lim )()(lim )(0000000 )()()(lim 0000x f x x f x x f x '=∆--∆--=→∆ 得证.3. 函数奇偶性与变动上限的积分形式的原函数定理2：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上有连续，则（1）如果)(x f 是偶函数,则⎰xdt t f 0)(是奇函数； （2）如果)(x f 是奇函数,则⎰xdt t f 0)(是偶函数； 证明:仅证明(1) )(x f 是偶函数, 对于)(x )(,f x f I x =-∈∀都有,记⎰=xdt t f x F 0)()( 令s=-t⎰⎰⎰⎰----=-=--=--==x x x x x F s d s f s d s f s d s f dt t f x F 0000)()()()()()()()()( 得证.4. 函数奇偶性与不定积分定理3：设函数)(x f 在关于原点对称的区间I 上连续，如果)(x f 是奇函数，则⎰dx x f )(是偶函数。
函数的奇偶性及其应用
函数的奇偶性及其应用函数是数学中常见的概念，它描述了一种映射关系，即根据给定的输入值，得到相应的输出值。
函数的奇偶性是指函数图像在坐标系中的对称性质。
了解函数的奇偶性对于解题和分析函数性质具有重要的意义。
本文将就函数的奇偶性及其应用进行讨论。
一、函数的奇偶性函数的奇偶性即函数关于原点(0,0)的对称性质。
若函数满足$f(-x) =f(x)$，则称该函数为偶函数；若函数满足$f(-x) = -f(x)$，则称该函数为奇函数。
也就是说，对于偶函数来说，函数关于Y轴对称；对于奇函数来说，函数关于原点对称。
二、奇偶函数的性质1. 偶函数和奇函数的性质(1) 任意两个偶函数相加是偶函数，任意两个奇函数相加是奇函数。
(2) 偶函数乘以偶函数是偶函数，奇函数乘以奇函数是偶函数。
(3) 偶函数乘以奇函数是奇函数，奇函数乘以偶函数是奇函数。
(4) 偶数次幂的多项式函数是偶函数，奇数次幂的多项式函数是奇函数。
(5) 偶函数关于Y轴对称，奇函数关于原点对称。
2. 函数的奇偶性与代数运算的关系(1) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)+c$也是偶函数，其中$c$是常数。
(2) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)+c$也是奇函数，其中$c$是常数。
(3) 若$f(x)$是偶函数，则$f(x)\cdot c$仍是偶函数，其中$c$是常数。
(4) 若$f(x)$是奇函数，则$f(x)\cdot c$仍是奇函数，其中$c$是常数。
三、奇偶函数的应用1. 函数图像的性质分析通过函数的奇偶性，可以推导出函数图像关于Y轴或关于原点的对称性。
利用对称性可以简化函数图像的绘制和分析。
2. 奇偶函数在积分计算中的应用(1) 对于奇函数，其在关于原点对称的区间上的定积分为0，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=0$。
(2) 对于偶函数，其在关于Y轴对称的区间上的定积分可以通过积分区间的对称性进行简化，例如$\int_{-a}^{a}f(x)dx=2\int_{0}^{a}f(x)dx$。
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例3: 奇函数，求常数 m, n 的值
xm 若 f ( x) x 2 nx 1为定义在（-1，1）上的
1、函数f ( x) ( x a)(bx 2a)(a, b R)是偶函数， 且它的值域为（-,2],求函数f ( x)的解析式 .
ax 2 1 2、设函数f ( x) 是奇函数(a, b, c Z ) bx c 且f (1)=2，f (2) 3.求a, b, c的值。
已知函数f ( x)满足f (- x)=f ( x)，当a, b (,0] f (a) f (b) 时总有 0(a b).若f ( 2m 1) f (2m), a b 求m的取值范围.
邻水实验学校
魏正兵
学习目标
1．解函数奇偶性与图像对称性之间的 关系； 2．掌握函数奇偶性与其它性质的综合运 用； 3. 进一步感悟数形结合思想的运用。
自主学习： 一、对照学习目标，完成以下几个问题。 1、若f(x)是偶（奇）函数，且在[a,b]上递增，试 判断函数f(x)在[-b,-a]的单调性 . （奇相同偶相反） f ( x) 2、由f(-x)=f(x),可得f(-x)-f(x)= 0 或 f ( x) = 1 . (f(x)≠0); f ( x) 由f(-x)=-f(x),可得f(-x)+f(x)= 0 或 f ( x) = -1 . (f(x)≠0). 3、如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有 意义,那么一定有f(0) = 0 . 4、如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x) = f ( x ) .
考点一、利用函数的奇偶性求解析式 思考：利用函数的奇偶性求解析式时应注意什么?
例1：若f(x)是定义在R上的偶函数,当x 0 时,f(x)=x(1-x),求当x 0时，函数f(x)的解析式.
1、函数f ( x)是定义在 R 上的奇函数，当x 0时， f ( x)=-x 1, 则当x 0时f ( x)的解析式为（ B ） A.f ( x) x 1 B.f ( x) x 1 C.f ( x) x 1 D.f ( x) x 1
考点三、函数单调性与奇偶性的综合运用
例4、已知奇函数f ( x)在（0， +）上是增函数， 且f (1)=0，求不等式x[ f ( x) f ( x)] 0的解集。
例5、已知函数f ( x)是偶函数，且在[0,+)上单调递减. 若f (m) f (2), 求实数m的取值.
已知函数f ( x)是偶函数，且在(-,0] 上单调递增.若f (m 1) f (2 m), 求 实数m的取值.
2、已知函数f ( x)是定义在（-， +）上的偶函数， 当x (, 0)时，f ( x)=x x 4 , 求当x (0, )时f ( x) 4 ( f ( x ) x x ) 的解析式.
考点二、利用函数的奇偶性求参数值
例2：若f ( x) ax2 bx 3a b 是偶函数，且定义域 为a 1,2a 则 a= . b = .