完全平方公式2
完全平方公式2
有人说：完全平方和公式与完全平方差公式可以统 一成一个公式，你认为有道理吗？结果中间的运算 符号的取决于什么？
问题1
计算出结果，说说你的发现：
(1) (a+b)2 (-a -b)2
(2)
1
(-2x - 4 y )2 ( - 1 y +4x)2
8
(a - b)2
(b - a)2
(-b +a)2
(-a +b)2
问题2
要求用公式进行计算，你会选用哪个公式？
1. 1032
2. 1982
问题2
计算. (a+b+2) (a+b-2)，这个题你能运用公式解答吗？
小慧的做法：设a+b=x,则题目变为: （x+2) (x-2)=x2-4=(a+b)2-4=a2+2ab+b2-4.
关键在于把两个因式中相同的部分看作一个整体，从而 实现三项式变二项式。
请仿照上述思路计算： （1） (a-b+2) (a-b-2) （2） (a-b+2)2
问题3
1.育英中学有两个方阵，分别为a行a列的男生方阵和b 行b列的女生方阵，实验中学只有一个（a+b)行(a+b） 列的方阵，育英中学和实验中学参加方阵的人数哪个 多？多多少？
2.由1题中获得的关系式：（a+b)2-(a2+b2)=2ab,解决下面问题： 已知 a+b=11, a2+b2=65, 求ab的值。
复习回顾
(a+b)2= a2 +2ab+b2
完全平方公式特征：
1.左边：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
完全平方公式(第2课时)
初三数学导学案课题：完全平方公式（二）一、学习目标：能熟练掌握平方差公式和完全平方公式及其相关计算。
二、学习过程：复习回顾：1、叙述完全平方公式的内容并用字母表示；叙述平方差公式的内容并用字母表示；2、用简便方法计算（1）1022（2）（3x-2y）2（3）（3x+2y）（3x-2y） (4) (100+1)(100-1)3、请同学们各编一个符合平方差公式、完全平方公式结构的计算题，并算出结果．【知识应用与能力形成】例1：计算(x-2y)(x+2y) –(x+2y)2 + 8y2(1)思考: 此题能使用几个公式？用同桌讲一讲，然后完成此题。
(2)解: (x-2y)(x+2y) –(x+2y)2 + 8y2===（3）总结一下解此题的收获。
例2 计算：(a+2b+3c)（a+2b-3c）解：(a+2b+3c)（a+2b-3c）=[(a+2b）+3c][(a+2b)- 3c]=（a+2b）2-（3c）2=思考：用以上办法计算(a+2b+3c)2（把a+2b看做公式中的a，把3c看做公式中的b）三．达标检测1、填空：(1)a+b+c=( )+c； (2)a-b+c=( )+c；(3)-a+b-c=-( )-c； (4)-a-b+c=-( )+c；(5)a+b-c=a+( ) (6)a-b+c=a-( )；(7)a-b-c=a-( )； (8)a+b+c=a-( ).2运用乘法公式计算：（l）()()x y z x y z++--（2）(21)(21)a b a b+++-（3）(23)(23)a b c a b c-++-（4）(1)(1)x y x y++--3．（1）与相等吗？答：（2）与相等吗？答:4.计算：（1）（x+2y-3）（x-2y+3）（2）（a+b+c）2（3）（x+3）2—x2 （4）（x+5）2-（x-2）（x-3）初三数学导学案课题：乘法公式复习（一）基本训练，巩固旧知1.填空：两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的 ，即 (a+b)(a-b)= ，这个公式叫做 公式.2.用平方差公式计算(1) (-m+5n)(-m-5n) (2) (3x-1)(3x+1) = = = =(3) (y+3x)(3x-y) (4) (-2+ab)(2+ab) = = = = = = 3.判断正误：对的画“√”，错的画“×”.(1)(a-b)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (2)(b+a)(a-b)=a 2-b 2； （ ） (3)(b+a)(-b+a)=a 2-b 2； （ ） (4)(b-a)(a+b)=a 2-b 2； （ ） (5)(a-b)(a-b)=a 2-b 2. （ ） 4.运用完全平方公式计算： (1) 219921100⨯ (2) (y-5)2(3) (-2x+5)2(4) (34x-23y)2（一）基本训练，巩固旧知 1.填空：完全平方公式(a+b)2= ，(a-b)2= . 2.运用乘法公式计算：(1) (a+2b-1)2(2) (2x+y+z)(2x-y-z) (3)(x+1)(x-3)-(x+2)2+(x+2)(x-2) (4) )32)(32(+--+y x y x3．先化简，再求值（8分）(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)，其中a=2， b=-14、17)5)(1()1(2=+---x x x 29、)10(13)13()52(222->++-x x x5已知：2,3==n m x x ，求n m x 23+ 的值。
完全平方的12个公式
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
完全平方公式 (2)
作业：
P27习题1.12 1. 2. 3. 4
做一做
(2) 第二天有 b 个女孩一起去了老人家， 老人一共给了这些孩子多少块糖？ b2 (3)第三天这(a + b)个孩子一起去看老人， 老人一共给了这些孩子多少块糖？(a+b)2
(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ (a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab
完全平方公式(2)
课前练习：利用完全平方差公式计算:
(1). (2x-3)2 =(2x)2-2· (2x)· 3+32 =4x2-12 x+9 (2). (4x+5y)2=(4x)2+2· (4x)· (5y)+(5y)2 =16x2+40xy+25y2
(3). (mn-a)2 =(mn)2-2· (mn)· a+a2 =m2 n2 –2mna+a2 (-2x)· 3+32 (4) (-2x-3)2 =(-2x)2-2· =4x2+12 x+9
解 : (1) (x+3)2-x2 =x2+6x+9-x2 =6x+9 (2) (a+b+3)(a+b-3) =[(a+b)+3][(a+b)-3] =(a+b)2-32 =a2+2ab+b2-9
(3)
(x+5)2-(x-2)(x-3) =x2+10x+25-(x2-5x+6) =x2+10x+25-x2+5x-6 =15x+19
14.2.2完全平方公式(二)
（1）m-3n+2a-b=m+（3n+2a-b）（2）2x-3y+2=-（2x+3y-2）
（3）a-2b-4c+5=（a-2b）-（4c+5）
板
书
设计
§14.2.2完全平方公式（二）
一、去括号法则：去括号时，如果括号前是正号，去掉括号后，括号里的每一项都不改变符号；如果括号前是负号，去掉括号后，括号里的各项都改变符号．
[生]添括号其实就是把去括号反过来，所以添括号法则是：
添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号．
也是：遇“加”不变，遇“减”都变．
[师]能举例说明吗？
[生]例如a+b-c，要对+b-c项添括号，可以让a先休息，括号前添加号，括号里的每项都不改变符号，也就是+（+b-c），括号里的第一项若系数为正数可省略正号即+（b-c），于是得：a+b-c=a+（b-c）；若括号前添减号，括号里的每一项都改变符号，+b改为-b，-c改为+c．也就是-（-b+c），于是得a+b-c=a-（-b+c）．添加括号后，无论括号前是正还是负，都不改变代数式的值．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P111练习1、2．
2．课本P112习题14.23、4．
Ⅳ．课时小结
通过本节课的学习，你有何收获和体会？
[生]我们学会了去括号法则和添括号法则，利用添括号法则可以将整式变形，从而灵活利用乘法公式进行计算．
[生]我体会到了转化思想的重要作用，学数学其实是不断地利用转化得到新知识，比如由繁到简的转化，由难到易的转化，由已知解决未知的转化等等．
15.2.2完全平方公式(2)
X2+4y2 a2-9b2
4x2-1/4
X2+6x
a2b2+8ab
1/9x2+2xy
根据完全平方公式可得到a2+b2=？
从上面可以得出什么规律？如果次 数不是2，是其它的数还成立吗？ 为什么？
小结
当堂检测
导学案P94:互动探究2.3.5.
作业：
1、教材156-157页第3、4题 2、阅读与思考
a-b-c= a-(b+c)
教学目标
1.知道添括号法则。 2.能灵活应用添括号法则对式子进行变形， 并能综合利用乘法法则进行运算。
预习指导ห้องสมุดไป่ตู้
请同学们阅读课本P155完成下例问题： 1。完成导学案P93问题探究一 2。完成导学案P93问题探究一
2-4x x
+4=(
2 )
下面各式添上什么项才能成为一个完全平方 式
1. 完全平方公式：
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2. 口诀：
首平方，尾平方， 积的两倍放中央
15.2乘法公式
15.2.2 完全平方公式（2）
去括号：a+(b+c)= a+b+c
a-(b+c)= a-b-c
添括号：a+b+c= a+(b+c)
完全平方公式2
完全平方公式的使用： 完全平方公式的使用： 在做题过程中一定要注意符号问题和正确 认识a 表示的意义，它们可以是数、 认识a，b表示的意义，它们可以是数、也 可以是单项式还可以是多项式， 可以是单项式还可以是多项式，所以要记 得添括号。 得添括号。 解题技巧： 解题技巧： 在解题之前应注意观察思考， 在解题之前应注意观察思考，选择不同的 方法会有不同的效果，要学会优化选择。 方法会有不同的效果，要学会优化选择。
(a 解: (a+b+3) (a+b−3) −3 (a (a =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ] =( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 温馨提示： (a+b)看作一个 整体， 整体，解题中渗透了整体的 思想
合并同类项 平方差公式 单项式乘多项式.
观察 & 思考
解: (1) 方法一
完全平方公式
(x+3)2-x2 =x2＋6x+9-x2 6x+9=6x+9
(x+3)2-x2 =(x+3+x)(x+3=(x+3+x)(x+3-x) =(2x+3)·3=6x+9
学一学
三项能看成两项吗? ☾ 三项能看成b+3)(a-b-3) (1)(a-b+3)(a(2) (x-2)(x+2)-(x+1)(x-3) (x-2)(x+2)-(x+1)(x(3) (ab+1)2-(ab-1)2 (ab(4) (2x-y)2-4(x-y)(x+2y) (2x- 4(x-
完全平方公式(2)
里辛一中初一数学·完全平方公式（2）导学案【学习目标】1.掌握完全平方公式的常见变形及运用变形进行计算；2.会根据条件确定公式中字母系数的值；3.能利用公式进行简便计算；会计算三个数的完全平方；【学习重点】完全平方公式的常见变形及根据条件确定公式中字母系数的值。
一、自主学习1. 公式巧记：首平方，尾 ， 放中央。
2.计算：（1）()232y x +- （2）()232y x + （3）()()y x y x 3232+-+二、合作探究★探究1★简便计算1. 利用完全平方公式计算：（1）2102 （2）2197跟踪训练：（1）296 （2）263 （3）29982. 计算（1）22)3(x x -+ （2）)3)(3(-+++b a b a （3）)3)(2()5(2---+x x x跟踪训练：课本51页随堂练习（2）及52页习题6.15第1题★探究2★公式变形应用1.已知65-==+ab b a ，求下列各式的值。
（1）22b a +（2）22b ab a +- （3）()2b a - （4）b a 11+3.已知21=+x x ，求221x x +和441x x +的值。
三、展示提升---根据条件确定公式中字母系数的值 1.22)()(12+=++x x x ；（缺平方项） 2.若226k xy x ++是一个完全平方式，则k = 。
提示：关键弄懂缺哪项，总之一个标准的完全平方式222b ab a +±满足：平方项的底数乘积的2倍等于中间一项。
3.如果两数和的平方的结果是()2512+-+x a x ，求a 的值。
（缺乘积2倍项）跟踪训练1.已知()()4722=-=+b a b a ，，求22b a +和ab 的值。
2.若72522=+=+b a b a ，，且b a >，求b a -的值。
3.若922++kx x 是一个完全平方式，则k 的值为 。
四、课堂达标1.下列运算正确的是( )A.3x 2-2x 2=1B.(-2a)2=-2a 2C.(a+b)2=a 2+b 2D.-2(a-1)=-2a+2 【变式训练】下列运算，正确的是( )A.4a-2a=2B.a 6÷a 3=a 2C.(-a 3b)2=a 6b 2D.(a-b)2=a 2-b 2 2.如图，在边长为2a 的正方形中央剪去一边长为(a+2)的小正方形(a>2)，将剩余部分剪开拼成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为( )A. a 2+4B.2a 2+4aC.3a 2-4a-4D.4a 2-a-23.方程(4x+5)2-(4x+5)(4x-5)=0的解是( )A.x=-B.x=-C.x=-1D.x=14.若a-b=1，则代数式a 2-b 2-2b 的值为 .5.已知(m-n)2=8，(m+n)2=2，则m 2+n 2= .6.已知：x 2+y 2=25，x+y=7，且x>y ，则x-y= .7.利用完全平方公式计算：(1)482. (2)1032.8.先化简，再求值：[(a+b)2-(a-b)2]·a，其中a=-1，b=5.【变式训练】已知x2-4x-1=0，则代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值为.【培优训练】9.小明和小颖同时解答下面的习题，所用的方法不相同，但所得的结果相同，先阅读他们的解法，然后回答问题.计算：.小明的解答：(2a+12b)2(2a−12b)2===-(2ab)2 =16a4+2a2b2+b4-4a2b2=16a4-2a2b2+b4.小颖的解答：(2a+12b)2(2a−12b)2===16a4-2a2b2+b4.问题：(1)你认为谁的解法更简捷？从中你得到了什么启示？(2)计算(x-y)2(x+y)2.。
完全平方公式(二)公式变形试题讲解
1 1 2 3ab 2 （5） a +______+9b =（ a+3b）2 2 4
你会吗？
选择题 （1）如果x2+mx+4是一个完全平方公式， 那么m的值是（c）
A ．4
B．-4
C．±4
D．±8
（2）将正方形的边长由acm增加6cm，则 正方形的面积增加了（ c ） A．36cm2 B．12acm2
达标检测 反思目标
1.（ ）2=ｘ2＋６ｘｙ＋_____ 2.ａ2－ｋａｂ＋９ｂ2是完全平方式，则ｋ＝ _____． 3.计算（－ａ－ｂ）2结果是（ ） Ａ． a2－2ab+b2 Ｂ． a2+2ab+b2 Ｃ． a2+b2 Ｄ． a2－b2 4运用乘法公式计算 1 (1) ( x 1) 2 (2) 1052 (3) (a b 3)(a b 3)
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
拓展思维
更上一层
(1) (3a+__ )2=9a2－ ___ +16 D （2）代数式2xy-x2-y2= ( A.(x-y)2 B.(-x-y)2 C.(y-x)2 D.-(x-y)2 )
(a+b)2= a2 +2ab+b2 (a-b)2= a2 - 2ab+b2
2
5. x y 8, x y 4, 求xy. xy 12
完全平方式. 4 k
4k
k 4
是 4 2
拓展：
思考题：
1 已知： x 3 x 1 2 1 2 求： x 和 (x ) 2 x x
的值
完全平方公式(2)
榆林八中学生自主学习导学案班级________组号________姓名________ ☆厚德载物 自强不息☆ ☆厚德载物 自强不息☆一、学前准备1、叙述完全平方公式的内容并用字母表示；叙述平方差公式的内容并用字母表示；2、计算下列各题：（1）2)(y x + （2）2)23(y x - （3） 2)12(--t4、变式训练：1）．指出下列各式中的错误，并加以改正：（1）22(21)221a a a -=-+ （2）22(21)41a a +=+ （3）22(1)21a a a --=---2）．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 ，把它计算出来A 、()()x y y x +-+B 、()()a b b a --C 、()()ab x x ab +--33D 、()()n m n m +--◆分析：1、完全平方公式和平方差公式的不同： 形式不同：()2222b ab a b a +±=±; ()()22b a b a b a -=-+. 结果不同：完全平方公式的结果是三项，平方差公式的结果是两项； 2. 解题过程中要准确确定a 和b ，对照公式原形的两边, 做到不丢项、不弄错符号、2ab 时不少乘2。
二、探究新知 1、例：利用完全平方公式计算：（1）1022 （2）1972 2、练习：利用完全平方公式计算：（1）982 （2）2032 3、例：计算：22)3(x x -+ 方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项； 方法二：先利用平方差公式，再合并同类项。
练习：计算： 22)(y x y +- 科 目 数学 课 题 完全平方公式（2） 授课时间 2014.3设 计 人 乔璐璐、李军锋、 刘丽丽、 孙伟茹 学案序号 12学习目标能熟练掌握平方差公式和完全平方公式及其相关计算。
重 点 掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
难 点 掌握公式的结构特征和字母表示的广泛含义，正确运用公式进行计算。
完全平方公式2初备
课题第一章：整式的运算8、完全平方公式课型新授课课标与教材学生在已经学习了整式的加法、乘法，以及平方差公式的基础上，经历探索完全平方公式的过程，并能运用公式进行简单的计算。
整式是初中数学研究范围内的一块重要内容，整式的运算又是整式中的一大主干，乘法公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结。
同时，乘法公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过乘法公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处。
而且乘法公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算的重要教学重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算，进一步体会完全平方公式中字母的含义。
教学难点：培养学生综合分析问题解决问题的能力。
学情知识储备：学生通过对本章前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础。
学习优势：在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力；同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力。
学困生分析：学生的分析，归纳，总结以及求简意识存在差异教学目标知识目标、1经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力。
2、从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算。
3、了解完全平方公式的几何背景，培养学生的数形结合意识。
熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感。
能力目标1、熟记完全平方公式，并能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感。
2、能够运用完全平方公式解决简单的实际问题，能够运用完全平方公式进行一些数的简便运算。
3、会在多项式、单项式的混合运算中，正确运用完全平方公式进行计算情感目标：培养学生合作意识教学方法与媒体讲练结合、类比法、课件展示教具准备直尺、彩笔师生活动过程复备修改及设计意图一、回顾与思考活动内容：复习已学过的完全平方公式。
完全平方公式(二)
解: (a+b+3) (a+b−3) (a+b) −3 =[ (a+b) +3 ][ (a+b)− 3 ]
=( a+b )2−( 3 )2 =a2 +2ab+b2 − 9.
温馨提示：将(a+b)看作一个 整体，解题中渗透了整体的 思想
☾ 三项能看成两项吗? 平方差公式中的 相等的项(a)、
符号相反的项(b) 在本题中分别是什么？
.
把 1972 改写成 (a+b)2 还是(a−b)2 ? 1972 =(200-3)2 =2002-2×200×3+32
a，b怎样确定？
=40000-1200+9
=38809
随堂练习
1. 利用整式乘法公式计算： (1) 962 ； (2) 2032 .
例3
计算： (1) (x+3)2 - x2
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天他 们得到的糖果总数哪个多？多多少？为什么？ (a+b)2-(a2+b2)=a2+2ab+b2-a2-b2=2ab
做一做
有一位老人非常喜欢孩子，每当 有孩子到他家做客时，老人都要拿出 糖果招待他们。 来一个孩子，老人就给这个孩子一块 糖，来两个孩子，老人就给每个孩子 两块糖，来三个，就给每人三块糖， …… (3) 第三天这（a + b)个孩子一起去看老 人，老人一共给了这些孩子多少块糖？ (a+b)2
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樊城区学校年级学科导学案
班级姓名日期主备人张悦备课组长蹲点领导（签字）：
课题：14.2.2完全平方公式课型：新授课课时：第二课时
学习目标：
1.认识添括号法则．
2.利用添括号法则灵活应用完全平方公式．
3.利用去括号法则得到添括号法则，培养学生的逆向思维能力．
4.进一步熟悉乘法公式，体会公式中字母的含义．
5.鼓励学生算法多样化，培养学生多方位思考问题的习惯，提高学生的合作交流意识和创新精神．
重难点：理解添括号法则，进一步熟悉乘法公式的合理利用，在多项式的乘法中适当添括号达到应用公式的目的
基础落实★
1.如图，边长为(m+3)的正方形纸片剪出一个边长为m 的正方形之后，剩余部分又剪拼成一个矩形
(不重叠无缝隙)，若拼成的矩形一边长为3，则另一边长是（ ）
A ．2m+3
B ．2m+6
C ．m+3
D ．m+6 2.化简a ＋2b －b ，正确的结果是（ ）
A ．a －b
B ．－2b
C ．a ＋b
D ．a
3.若2a-b=2,则6+8a-4b=
计算:（x+3）2-x 2.
发展能力★★
计算：1.2)2(c b a +-
2. 22)()(c b a c b a ---++ 、
3.(2x+y+z)(2x –y –z).
提升素养★★★ 已知 求代数式 的值
31=-x 4)1(4)1(2++-+x x。