第三章波动方程
大学物理5.3波动方程与波速
−
x) u
一维波动方程
∂ 2ξ
∂x 2
+
∂ 2ξ
∂y2
+
∂ 2ξ
∂z 2
= u12 ∂
2ξ (t,
∂t 2
r)
波动方程的三维形式
注意：
（1）此方程不限于简谐波
（2）任何一个物理量ξ，只要满足此方程，则该物
理量一定以波的形式传播，且波速为u 。
分析杆上传播的纵波
纵波传播时，杆中不同部位被拉伸和压缩
u= T
η
弦上的横波波速
弹性弦上的横波 固体中的横波
u= T
η
u=
G
ρ
T-弦中张力， G- 切变模量
η-单位长质量 ρ-体密度
流体中的声波
u= k
ρ 0
k-体积模量, ρ0-无声波时的流体
密度
杆上传播的纵波
Y
u = ρ Y-杨氏模量,ρ-材料密度
波速由媒质的性质决定!
∆x段的平均长应变: ∆l = ξ ( x + ∆x, t) − ξ ( x, t)
l
∆x
x
x+∆x
杆中纵波 o
∆x
x
x截面
x+∆x截面
∆l = ξ (x + ∆x, t) −ξ (x, t)
l
∆x
ξ (x,t)
ξ (x+∆ x, t)
令∆x → 0
lim ∆x → 0
ξ(x
+
∆x, t ) − ξ ( x, t )
∂ t2
∆x
F = Y ∂ξ
S ∂x
∆ x→0，得
∂ 2ξ ρ ∂ 2ξ
波动方程的标准形式
波动方程的标准形式
波动方程的公式分为正弦和余弦，其中正弦表达式为Y=Asin(ωt-kz+φ)，余弦表达式为为Y=ACOS[ω(t-kz)+φ]，其中z代表位移，φ是初相位。
波动方程也称波方程，是一种描述波动现象的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波等，在不同领域都有涉及，例如声学，电磁学，和流体力学等。
在实际应用中，波动方程的标准形式经常需要结合边界条件和初值条件来求解。
例如，对于一维的弦波振动问题，可以在波动方程中加入弦的边界条件和初始位移等条件来求解波动的形状和传播速度。
数学物理方程：第3章 波动问题的行波法
第3章 波动问题的行波法§3.1 二阶线性方程的分类与化简本节讨论：①两个自变量方程的分类与化简，②多个自变量方程的分类与化简⒈ 两个自变量方程的分类与化简二阶方程的一般形式 二阶变系数方程可写为1112220(,)2(,,,,)(,)xx xy yy x y Lu x y a u a u a u x y u u u f x y =+++Φ= (3.1.1)式中：11a 、12a 、22a 为x 、y 的函数，0(,,,,)x y x y u u u Φ为低阶导数项。
公式关于二阶导数项为线性的，即称方程为准线性的。
若0(,,,,)x y x y u u u Φ关于u 及其x u 、y u 为线性的，则称方程为线性的。
方程的变换 为了简化上述方程，作可逆变换：(,)(,)x y x y ξξηη=⎧⎨=⎩， (,)0(,)J x y ξη∂=≠∂， (,)(,)x x y y ξηξη=⎧⎨=⎩(3.1.2) 代入方程中，不难得到：11122212(,,,,)(,)Lu A u A u A u u u u f ξξξηηηξηξηξη=+++Φ= (3.1.3)式中： 22111112222x x y yA a a a ξξξξ=++ (3.1.4) 12111222()x x x y y x y y A a a a ξηξηξηξη=+++ (3.1.5)22221112222x x y yA a a a ηηηη=++ (3.1.6) 我们化简的目的是使得二次项的项数尽量少，并且值尽量为简单（如0ij A =或1ij A =±）。
顾及ij A 的表达式，取关于z 的一阶非线性偏微分方程2211122220x x y y a z a z z a z ++= (3.1.7)若该方程有解),(1y x z ϕ=、),(2y x z ψ=，则110A =及220A =；公式大大简化了。
第三章波动方程
拉普拉斯算子： 拉普拉斯算子： 1 ∂ 1 ∂ 1 ∂u ∂u ) + (sin α ∇ 2u = 2 ( r 2 r ∂r r ∂α ∂r r ⋅ sin α ∂α ∂u ∂ u ↓← = =0 ∂ α ∂β
2 1 ∂u ∂ 2 u 2 ∂u 2 ∂ u )= 2 + = 2 ( 2r +r 2 r ∂r r ∂r ∂r ∂r
13
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解 、
已知球面纵波传播波动方程如下： 已知球面纵波传播波动方程如下： ∂ 2ϕ − VP2 ∇ 2ϕ = 0 ∂t 2 此式是直角坐标系中的波动方程， 此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中， 坐标系中，即
为了定量地描述微观粒子的状态，量子力学中引入了 为了定量地描述微观粒子的状态， 波函数，并用ψ表示。一般来讲，波函数是空间和时间 波函数， 表示。一般来讲， 的函数，并且是复函数，即ψ=ψ(x，y，z，t)。 的函数，并且是复函数，
7
无限大、 3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
一、沿任意方向传播的平面波
如果使 t −
播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t 播的波，即向震源方向传播的波，称为聚会波。聚会波只存在于t为 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。 负值的情况，这与实际不合，则该波是不存在的。
16
因此，上式又可写为： 因此，上式又可写为：
ϕ=
ϕ
1 r ) = c1 ( t − r r VP
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。 第一组解： 第一组解：当 V = V p = ( λ + 2 µ ) / ρ 时，
数学物理方程03_波动方程初始问题的求解【OK】
数学物理方程
将上述初始条件代入达朗贝尔公式，即可得到：
x at x 1 1 [ ( x at ) ( x at )] ( s ) ds , t 2 a x at 2 a u ( x, t ) 1 [ ( x at ) (at x)] 1 x at ( s )ds, t x 2 2 a at x a
( x at ) 代表以速度a 沿x 轴负向传播的波
1
1 x at b. 只有初始速度时： u ( x, t ) ( )d x at 2a
u( x, t ) 1 ( x at ) 1 ( x at )
1 ( ) 为 ( ) 的积分原函数。
结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速
第 3章
波动方程初始问题的求解
——行波法 （达朗贝尔公式） （特征线积分法）
1
数学物理方程
达朗贝尔公式（行波法）[一维问题]
通解法中有一种特殊的解法―行波法, 即以自变量的 线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方 程类型的求解十分有效. 1 基本思想： 先求出偏微分方程的通解，然后用定解条件确定特解。 这一思想与常微分方程的解法是一样的。 2 关键步骤： 通过变量变换，将波动方程化为便于积分的齐次二阶 偏微分方程。
代入通解得： u( x, t ) [ ( x at ) ( x at )]
x at
x at
( s)ds
达朗贝尔公式
(3.1.2) 5
数学物理方程
（4）达朗贝尔公式的意义： a. 只有初始位移时，u ( x, t ) ( x at ) ( x at ) 2 ( x at ) 代表以速度a 沿x 轴正向传播的波
波动理论波动方程知识点总结
波动理论波动方程知识点总结波动方程是波动理论中的重要内容，研究波的传播和特性具有重要意义。
本文对波动方程的相关知识点进行总结，以帮助读者更好地理解和应用波动理论。
一、波动方程的基本概念波动方程是描述波的传播过程中波动量随时间和空间的变化关系的数学表达式。
一般形式为：∂²u/∂t² = v²∇²u其中，u表示波动量，t表示时间，v表示波速，∇²表示拉普拉斯算子。
二、波动方程的解法1. 分离变量法：将波动量u表示为时间和空间两个变量的乘积，将波动方程转化为两个偏微分方程，分别对时间和空间变量求解。
2. 化简为常微分方程：将波动方程应用于特定情境，通过适当的变换，将波动方程化简为常微分方程，再进行求解。
3. 利用傅里叶变换：将波动方程通过傅里叶变换或拉普拉斯变换转化为频域或复频域的代数方程，再进行求解。
三、波动方程的应用1. 声波传播：声波是由介质中的分子振动引起的机械波，通过波动方程可以描述声波在空气、水等介质中传播的特性，如声速、声强等。
2. 光波传播：光波是电磁波的一种，通过波动方程可以研究光的干涉、衍射、反射等现象，解释光的传播规律和光学器件的性质。
3. 地震波传播：地震波是地震过程中的弹性波，通过波动方程可以描述地震波在地球内部传播的规律，有助于地震监测和震害预测。
4. 电磁波传播：电磁波是由电场和磁场耦合产生的波动现象，在电磁学中应用波动方程可以研究电磁波在空间中传播的特性和应用于通信、雷达等领域。
5. 水波传播：水波是液体表面的波动现象，通过波动方程可以研究水波的传播和液面形态的变化，解释液体中的波浪、涌浪、潮汐等现象。
四、波动方程的性质和定解问题1. 唯一性：波动方程的解具有唯一性，即满足初值和边值问题的解是唯一的。
2. 叠加原理：波动方程具有线性叠加性质，一系统的波动解可以通过各个部分的波动解线性叠加而得到。
3. 边界条件：波动方程的求解需要给定适当的边界条件，例如固定端、自由端、吸收边界等，以确保解满足实际问题的物理要求。
大学物理-波动方程
通过将波动方程中的空间和时间变量分离，简化求解过程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时域信号转换为频域信号，便于分析波的频率 和振幅。
数值解法
对于复杂边界条件和初始条件，采用数值方法求解波动方程。
三维波动方程的应用
声波传播
研究声波在介质中的传播规律，如声呐、超声成像等。
光学研究
解释光波在介质中的传播规律，如折射、干涉、衍射等现象。
波动方程在声学中的应用
声波传播规律
波动方程可以用来描述 声波在空气、固体等介 质中的传播规律，如声 速、声压、声强等。
声学仪器设计
在声学仪器设计中，如 超声波探伤仪、声呐等， 需要利用波动方程来计 算和优化仪器的性能。
声音信号处理
在声音信号处理中，如 音频压缩、降噪等，可 以利用波动方程对声音 信号进行分析和变换。
数值解法
对于一些复杂的问题，可以通过 数值计算方法求解二维波动方程， 如有限差分法、有限元法等。
二维波动方程的应用
声波传播
在声学领域，二维波动方程可以用来描述声波在 固体、液体或气体中的传播规律。
地震波传播
在地球物理学中，二维波动方程可以用来模拟地 震波在地壳中的传播和散射。
电磁波传播
在电磁学领域，二维波动方程可以用来描述电磁 波在介质中的传播特性。
物理背景
波动方程基于物理原理，如牛顿第二定律和弹性力学 等，用于描述波在空间中的传播和变化。
建立过程
通过将物理原理和数学方法相结合，可以建立二维波 动方程的数学表达式。
二维波动方程的解法
分离变量法
通过将二维波动方程中的空间和 时间变量分离，将问题简化为求 解一系列一维方程。
傅里叶分析
利用傅里叶变换将时间和空间域 的函数转换为频率域的函数，从 而简化求解过程。
第三章波动方程
(1.2)的解u = u(t, x)可以表示为
n
u(t,
x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t,
x;
ti,
∆ti).
(1.14)
由于(1.12)是线性方程，所以w与∆ti成正比，也就是说，如果记w(t, x; τ )为如下齐次方
程的Cauchy问题
wtt − c2wxx = 0 (t > τ ), t = τ : w = 0, wt = f (τ, x)
0
于是，再利用(1.4)可知
ut|t=0 = w(0, x; 0) = 0.
(1.8)
(1.7)和(1.8)两式表明初始条件(1.2)式成立。 下面我们证明由(1.6)式定义的函数u = u(t, x)满足方程(1.1)。 由(1.6)及(1.4)易知
t
t
ut(t, x) = w(t, x; t) + wt(t, x; τ )dτ = wt(t, x; τ )dτ.
x
0,
k > 1,
其中ϕ0(0) = ψ(0)。 7. 求解下述边值问题
utt − uxx = 0, 0 < t < f (x),
u|t=x = u|t=f (x)
(1.15)
的解，则有
w(t, x; ti, ∆ti) = ∆tiw(t, x; ti).
(1.16)
于是，Cauchy问题(1.1)-(1.2)的解可以表示为
n
n
t
u(t, x)
=
lim
∆ti→0
i=1
w(t, x; ti, ∆ti)
=
lim
∆ti→0
i=1
第三章波动方程培训课件
2 U ( )gr a F d 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
V P 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2t2 VP22
2t2 VS2
5
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
12
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球 坐标系中，即
x rsic nos y rs in s in(0 r ,0 ,0 2 ) z rcos
前面是平行的。
▪ k1,k2,k3 是平面的法线方向数。有 k12k2 2k3 21
▪ 取负号时，表示随时间t的增加，波沿k方向前进，即延 迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即 提前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
8
二、沿X轴方向传播的平面波（即
kx
）
U Aex 2 p ik1xk2yk3zV td AieA co sisin
k1 1 ,k 2
U A exp
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v
A 2 exp
2i
x
Vt
w
A 3 exp
2i
u rer u rr r
偏微分方程 第3章 波动方程PPT课件
《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
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《偏微分方程》第3章 波动方程
地震波动方程
地震波动方程第三章地震波动方程现在，我们用前一章提出的应力和应变理论来建立和解在均匀全空间里弹性波传播的地震波动方程。
这章涉及矢量运算和复数，附录2对一些数学问题进行了复习。
3.1 运动方程（Equation of Motion）前一章考虑了在静力平衡和不随时间变化情况下的应力、应变和位移场。
然而，因为地震波动是速度和加速度随时间变化的现象，因此，我们必须考虑动力学效应，为此，我们把牛顿定律（maF ）用于连续介质。
3.1.1一维空间之振动方程式质点面上由于应力差的存在而使质点产生振动。
如图1-3所示，考虑一薄棒向x轴延伸，其位移量为u：Fig3-1则其作用力为“应力”X“其所在的质点面积”，所以其两边的作用力差为()()()dxds xx dx x ds ∂∂=-+σσσ惯量﹙inertia ﹚为22tu dxds ∂∂ρ所以得出xt u ∂∂=∂∂σρ22……………………………………………………... （3-1）其中ρ为密度﹙density ﹚，σ为应力﹙stress ﹚=xuE ∂∂。
3-1式表示，物体因介质中的应力梯度﹙stress gradient ﹚而得到加速度。
如果ρ与E 为常数，则3-1式可写为222221t uc x u ∂∂=∂∂…………………………………………………… （3-2） 其中ρEc =运用分离变量法求解（3-2）式，设u=F(x)T(t),(3-2)式可以变为T X c T X ''=''21设22ω-=''=''TT X X c则可得：cx iti eX eT ωω±±∝∝,考虑欧拉公式：)sin()cos(),sin()cos(t i t e t i t et i ti ωωωωωω-=+=-()()()()ct x cict x cict x cict x ciDeCeBeAeu ---+-++++=ωωωω （3-3）其中A,B,C,D 为根据初始条件和边界条件确定的常数。
第三章-三维波动方程的定解问题-2
深圳大学电子科学与技术学院
§3.2 三维波动方程的定解问题
2u utt 20
a2
2u x 2
(x, y, z)
2u y 2
2u z 2
,
- x, y, z
u (x, y, z)
t t0
深圳大学电子科学与技术学院
球坐标下的三维波动方程
z
r
x r sin cos
y
r
sin
sin
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第三章：行波法与积分变换法
§3.2 三维波动方程的定解问题
深圳大学电子科学与技术学院
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本章内容提要:
• 一维波动方程的达朗贝尔公式 • 三维波动方程的定解问题 • 拉普拉斯变换法 • 傅立叶变换法 • 积分变换法举例
参考了顾樵教授和孙秀泉教授的课件
y r sin sin
,
0
z
z r cos .
, 0 2 .
0y
x
d
dS r2
sin dd
球立体角元
dS r 2 sin d d 球 面 上 的 面 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元
dV dSdr r 2dr sin d d 球 的 体 积 元 r 2drd 球 的 体 积 元
r
r 2
u r
a
2
2u r 2
2 r
u r
a2
1 rΒιβλιοθήκη 2 (ru) r 22 ru a 2 2 (ru)
以 ru为函 数的一维
t 2
r 2 波动方程
ru f1(r at) f2 (r at)
数学中的波动方程
数学中的波动方程波动方程是数学中的一类偏微分方程，描述了波动现象在空间和时间上的变化规律。
它在物理学、工程学以及其他领域中有着重要的应用。
本文将介绍波动方程的定义、求解方法以及一些实际应用案例。
一、波动方程的定义波动方程是一种描述波动传播的数学模型。
一维波动方程可以表示为：∂²u/∂t² = v²∂²u/∂x²其中，u是波动的位移函数，t是时间，x是空间坐标，v是波速。
这个方程可以用来描述一维情况下的波动传播过程。
二、波动方程的求解方法波动方程是一个二阶偏微分方程，可以通过适当的数学方法求解。
其中一种常用的求解方法是分离变量法。
首先，我们假设波动函数u可以表示为时间项和空间项的乘积形式：u(x,t) = X(x)T(t)将上述形式代入波动方程中，得到两个分离后的常微分方程：X''(x)/X(x) = (1/v²)T''(t)/T(t) = -k²其中，k是一个常数。
解这两个常微分方程，我们可以得到波动方程的通解：u(x,t) = Σ[Aₙcos(kₙx) + Bₙsin(kₙx)]cos(ωₙt + φₙ)其中，Aₙ、Bₙ、φₙ是常数，ωₙ是角频率。
三、波动方程的实际应用波动方程在物理学和工程学中有着广泛的应用。
以下是一些实际应用案例：1. 声波传播：波动方程被用来描述声波在空气、水等介质中的传播过程。
通过求解波动方程，可以得到声波的传播速度、共振频率等信息，这对于声学工程和声学设备的设计非常重要。
2. 光波传播：波动方程也被用来描述光波在光学系统中的传播过程。
通过求解波动方程，可以研究光的折射、反射、干涉等现象，进而优化光学器件的设计。
3. 弦的振动：波动方程可以描述弦的振动行为。
通过求解波动方程，可以得到弦上各个点的振幅和频率分布情况，从而研究弦乐器的音色特性。
4. 地震波传播：地震波是地球内部能量释放后产生的波动现象。
医学超声原理 第三讲 波动方程及其解
（6）
p v v v
x t x
（7）
运动方程的近似简化
• 当超声波功率较低时，假设体元的密度变化为一 微小量，则有：
0 1且1 0
（8）
• 将上式代入（7），假设介质密度扰动很小，且质 点振动幅度不大，忽略高级小量，可得：
p x
0
v t
0
（9）
2、连续性方程
• 出发点2：另外，根据质量守恒定律，单位时间内离开体 积元的质量，等于体积元质量的减少，有：
二、 波动方程的解
(2)假定声强不是太大，因此体积元的密度变化也 不是太大。这在超声用于诊断的时候都是能够满 足的。但在超声手术治疗等强功率超声情况下， 则直接应用(15)式将会产生较大的误差。 (3)在声波的传播过程中无热量的交换。也就是说， 声波的传播是在绝热条件下进行的。这一点，在 超声治疗等强功率而频率较低的超声情况下，很 难满足，应当注意。
A e j(tk ) 2
（17）
• 其中的参数关系为：
• 色散关系为
2 c
kf
（18）
c 1
k
0K
（19）
二、 波动方程的解
在应用这个波动方程的时候，绝不可以忘记导出 它所使用的几个假定： (1)假定媒质中传播横波比起纵波来小得可忽略不计。
通常在生物体软组织或水等剪切弹性模量极小 的媒质中是存在这种情况的。
p 1 v 0 t K x
（14）
4、波动方程
• 合并（9），（14），可得（自己推导）：
2p 1 2p 0 x 2 c 2 t 2
（15）
上式为声波的一维波动方程。
式中c为波速，其定义为
c 1
0K
（16）
波动方程
波动方程或称波方程是一种重要的偏微分方程，它通常表述所有种类的波，例如声波，光波和水波。
它出现在不同领域，例如声学，电磁学，和流体力学。
波动方程的变种可以在量子力学和广义相对论中见到。
历史上，象乐器那样的振动弦问题曾被很多科学家研究，包括达朗贝尔，欧拉，丹尼尔·伯努利，和拉格朗日。
标量u的波动方程的一般形式。
在这里，c通常是一个固定常数，即波的传播速度（空气中的声波约为330 m / s，请参见声速）。
对于琴弦振动，其范围可能很大：在紧缩状态下，其速度可慢至1 m / sec。
但是，如果c随波长变化，则应将其替换为相速度。
请注意，波可能会叠加在其他运动上（例如，声波在气流等移动介质中的传播）。
在这种情况下，标量u将包含马赫系数[1]（对于沿流动运动的波为正，对于反射波为负）。
u = u（x，t）是振幅，是在特定位置x和特定时间t处的波强度的度量。
对于空气中的声波，它是局部气压；对于振动弦，它是相对于静止位置的位移。
\ nabla ^ 2是相对于位置变量x的拉普拉斯算子。
请注意，u可以是标量或向量。
波动方程就是描述波动现象的偏微分方程，它的物理意义就太宽泛了。
不过波动方程一个很重要的性质是传播速度有限（不像热传导方程）。
电磁场的运动方程是波动方程这说明电磁相互作用只能以有限的速度传播（光速c），而没有瞬时的作用（即超距作用）。
这是导
致狭义相对论建立的一个重要思想。
3-波动方程
u=λ ν
可见，y = f (x, t) 称之波动表达式
y 同理,若波沿-x向传播, P点振动超前o点，
u
o p • 2021/6/7
•
yp(t) = yo (t +τ)
x
y
=
A
cos[ω(t
+
x u
)
+φ11 ]
一般地
yo振 = Acos(t+φ)
y波
A cos[ (t
x) u
]
在yo(t)已知时,求波动表式
纵波 振动方向∥ 波传播方向 疏,密交替
2021/6/7
2
横波与纵波演示 横波：质点振动方向与波的传播方向 相垂直的波. （仅在固体中传播 ）
2➢021/6/7特征：具有交替出现的波峰和波谷.3
纵波：质点振动方向与波的传播方向互 相平行的波.
（可在固体、液体和气体中传播）
➢2021/6特/7 征：具有交替出现的密部和疏部.4
x u
)
+φ]
在yo(t)已知时,求波动表式?
b
o xb
px
x
u沿＋x，P落后O，取“－” u沿－x, P超前O，取“＋”
y
在任意点yb(t)已知时,求波动表式
u y Acos[(t x - xb ) ]
b
u
o xb p x u沿＋x，P落后b，取“－”
x 2021/6/7
u沿－x, P超前b，取“24 ＋”
2021/6/7
13
二、波动表达式的物理意义
y = Acos[(t - x/u)+φ] 设沿＋x传
1 x一定(x=x1), t变化
-----x1处的质点在不同时刻的位移
六方各向异性介质波动方程
3.2.2、均匀弹性六方各向异性介质满足准 纵波的位函数
qP f 取位函数为： qP y f
nx x nz z 其中： t VqP
将
2 t
u 代入到3.2.1中波动方程有：
l lx lz y
通过讨论波平行对称轴和垂直对称轴传播的1分量波动方程可以知道质点偏振平行于各向同性面的波和垂直于各向同性面的波这两个波质点偏振的方向彼此正交波传播的速度前者较之后者要大即前者传播较之后者要快
第三章 六方各向异性介质波动方程
3.1 六方各向异性介质波动方程
3.1.1矩阵和分量形式的波动方程
各向异性介质本构、柯西、奈维尔三个方程分别是：
分量满足
2 u x d11lx2 d 66l y d55l z2 u x d12 d 66 l xl y u y d13 d 55 l xl z u z
Y分量波动方程： 2 u y d12 d 66 lxl y u x d 66l x2 d 22l y d 44l z2 u y
u y d 44lz2u y、u y d 44 / lz2u y uz d l u 、uz d33 / l u
2 33 z z 2 z z
矩阵形式：
u x d55 / u 0 y uz 0 0 d 44 / 0 ux 2 0 l u z y d33 / uz 0
---（2）
其中 D66 为物性矩阵；
当上述的物性矩阵取六方物质时，可以得到：
Q33 L36 D66 L63
A G F G B E F E C
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3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
▪ 一、沿任意方向传播的平面波
▪ 直接用位移向量所表示的波动方程式求解
UAexp2ik1xk2yk3zVtd
2t2 VP220
此式是直角坐标系中的波动方程，需转换到球坐 标系中，即
xrsin co s yrsin sin (0r ,0,02 ) zrco s
显然 r， x2y2z2
为矢量r和z轴之间的夹角， 为矢量r在 xoy平面上
的投影与x轴之间的夹角
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14
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
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11
3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
下面进一步讨论在地震勘探的初始和边界条件下，胀缩力divF和旋转 力rotF的作用下，求解波函数，并分析其性质（以纵波为主）
2.2.1 胀缩点震源条件下的球面纵波
1、初始和边界条件
初始条件：在均匀各向同性介质中，炸药爆炸后产生一个 均匀的力垂直作用在半径为a的球形空腔壁上。当 a或0 相 对无限大空间而言，这个震源可以看成是点震源，其力位 函数或者震源函数可以表示为
A3 V精品2A课3件 0
10
无限大、均匀各向同性介质中的波动方程的解有两组。
第一组解：当
VVp 时(，2)/
i
U
A1
exp( V
(
xVpt
))
vw0
沿x方向的位移分量不为零，其他方向的位移为零，即波的传播方向与位移 方向一致，所以称为平面纵波，也称为胀缩波，通常简称为P波。
第二组解：当 VVs 时，/
迟一个时间。
▪ 取正号时，表示随时间t的增加，波沿-k方向前进，即提 前一个时间
▪ 当K是任意矢量的，则平面法向量为任意方向的。即表 示沿任意方向传播的平面简谐波。
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二、沿X轴方向传播的平面波（即 kx）
U Aexp2ik1xk2yk3zVtd
k1
U
1 ,k 2 A exp
Aei Acosisin
0
(t
)
(
t
)
0
t0 0 t t t t
（初始条件）
（ t） 是震源力
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
当t<0时，整个空间位函数有：
x,y,z,t0,(x,y,z,t)0 t
在t=0时，点震源开始作用，作用时间为Δt；
t>△t时，点震源作用完毕。
边界条件：因已假设弹性介质的空间是无限的，其内不 存在任何弹性分界面，故无边界条件。
▪ 各种算子在球坐标系中的表达式为：
2U()gra d F 2 tU 2
两边分别取散度和旋度，并且令
VP 2(2)/
VS2 /
则可得纵波方程和横波方程
2
t2
VP22
2
t2
VS2
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6
3 波动方程的解及地震波的特点
波动方程反映了物体波动过程的普遍规律。 波动方程的求解通常是和定解问题联系起来 考虑。波动方程的解就是波函数。
在不同的情况下可以得到不同的解，即波函 数有不同的形式。
无限大、各向同性 介质中的球面波
胀缩点震源——球面纵波 震 胀缩力
源 性 旋转力
质 旋转点震源——球面横波
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位移方程 物理含义
位移方程 物理含义
3
3 波动方程的解及地震波的特点
球面纵波的传播特点
视波长λ
波剖面
视波数k
关
振动图（实际记录） 视周期T 系
视频率f
地震波的动力学特点
能量密度
能量和球面扩散
球面纵波：在在均匀各向同性介质中激发点源，所产生 的胀缩力作用面具有球对称性，所产生的波前面是一个 球面，当研究任意一球半径r方向上的纵波的传播特点，
就可以代表其他方向的传播特点，称此为球面纵波。
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3.2 无限大、均匀各向同性介质中的球面波
2、坐标变换和球坐标下球面纵波的传播方程解
已知球面纵波传播波动方程如下：
▪ 若 k1xk2yk3为z常V数tc，t固定，该方程代表一个以
为法k向k1,量k2,的k3平面，波在每个这样的平面上必然有相同的
相位，即平面波是垂直于
平面传k1播x的k2。y 不k同3z的t，
有不同的波前面。平面波的波前面是平行的。
▪
是平面的法线方向数。有
▪ 取k负1,k号2,k时3，表示随时间t的增加，波沿kk12方k向22前k32进1，即延
Aei Acosisin
▪ 式中：A为振幅，决定位移的大小，ψ为波的相位. ▪ 2πf/V = w/V为简谐波参数，f频率，w圆频率，V波速。 ▪ i为虚数符号，仅考虑实数时为简谐波。 ▪ k1xk2yk3z 为 传V播 tc 项。 ▪ 此式表达的波函数为沿k方向传播的平面简谐波。
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3.1 无限大、均匀各向同性介质中的平面波
u0
i
v A2 exp[ V ( x Vst )]
i
w A3 exp[ V ( x Vs t )]
其位移方向与波的传播方向垂直，所以称为平面横波，也称为剪切
波，通常简称为S波。S波有两个质点振动方向：沿Z轴振动的S波分量
为垂直偏振剪切波，称为SV波，沿Y轴振动的S波为水平偏振剪切波，
称为SH波。
u A 1 exp
0 ,k 3 0
2i
x
Vt
2i
x
Vt
d
v A 2 exp2i xຫໍສະໝຸດ Vtw A 3 exp
2i
x
Vt
将上式代入波的N a vi2 eU r方 程()gra d F 2 tU 2
整理简化，并令体力F=0，可得
2A1 V2A1 0
A2 V2A2 0
3 波动方程的解及地震波的特点
本章包括：
▪ 无限大、均匀各向同性介质中的平面波 ▪ 无限大、均匀各向同性介质中的球面波 ▪ 地震波的动力学特点 ▪ 地震波的运动学特点
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1
3 波动方程的解及地震波的特点
无限大、均匀各向同 性介质中的平面波
P波—波动方程 S波—波动方程 SV波
SH波
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2
3 波动方程的解及地震波的特点
能流密度
球面扩散
地震波的谱分析（傅立叶变换 ）
应用
识别不同的地震波
精品课件 识别岩性
4
3 波动方程的解及地震波的特点
▪ ▪ ▪ 地震波的运动特点
惠更斯-夫列涅尔原理 射线积分理论-克希霍夫积分
▪
费马原理和波的射线
▪
时间场和视速度定理
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5
3 波动方程的解及地震波的特点
在均匀、各向同性、理想弹性介质中的弹性波方程为：