新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数复习(1)》精品

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九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版

九年级数学下册26.2二次函数知识点总结人教新课标版九年级数学下册 26.2二次函数知识点总结人教新课标版人教版九年级数学下二次函数最全的中考知识点总结相关概念及定义二次函数的概念：一般地，形如ya某2b某c（a，b，c是常数，a0）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数．二次函数ya某2b某c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量某的二次式，某的最高次数是2．⑵a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二次函数各种形式之间的变换二次函数ya某2b某c用配方法可化成：ya某hk的形式，其中2hb2a，k4acb4a2.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①ya某2；②ya某2k；③ya某h；④ya某hk；⑤ya某2b某c.22二次函数解析式的表示方法一般式：ya某2b某c（a，b，c为常数，a0）；顶点式：ya(某h)2k（a，h，k为常数，a0）；两根式：ya(某某1)(某某2)（a0，某1，某2是抛物线与某轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与某轴有交点，即b24ac0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数ya某2b某c图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数ya某2b某c化为顶点式ya(某h)2k，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点0，c、以及0，c关于对称轴对称的点2h，c、与某轴的交点某1，0，某2，0（若与某轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与某轴的交点，与y轴的交点.二次函数ya某的性质a的符号a02开口方向顶点坐标对称轴向上性质某00，00，0y轴时，y随某的增大而增大；某0时，y随某的增大而减小；某0时，y有最小值0．时，y随某的增大而减小；某0时，y随a0向下y某0轴某的增大而增大；某0时，y有最大值0．1二次函数ya某2c的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某00，c0，c2y轴时，y随某的增大而增大；某0时，y随某的增大而减小；某0时，y有最小值c．时，y随某的增大而减小；某0时，y随a0向下y轴某0某的增大而增大；某0时，y有最大值c．二次函数ya某h的性质：a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某hh，0h，02时，y随某的增大而增大；某h时，y某=h随某的增大而减小；某h时，y有最小值0．某ha0向下某=h时，y随某的增大而减小；某h时，y随某的增大而增大；某h 时，y有最大值0．二次函数ya某hk的性质a的符号a0开口方向顶点坐标对称轴向上性质某hh，kh，k时，y随某的增大而增大；某h时，y某=h随某的增大而减小；某h时，y有最小值k．某h 时，y随某的增大而减小；某h时，ya0向下某=h随某的增大而增大；某h时，y有最大值k．抛物线ya某2b某c的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；b2aa相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作某4acb（，）顶点坐标：2a4ab2.特别地，y轴记作直线某0.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.抛物线ya某b某c中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数ya某2b某c中，a作为二次项系数，显然a0．⑴当a0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；⑵当a0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．一次项系数b2在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴．⑴在a0的前提下，当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴左侧；，即抛物线的对称轴就是y轴；，即抛物线对称轴在y轴的右侧．⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b0时，当b0时，当b0时，b2ab2ab2a000，即抛物线的对称轴在y轴右侧；，即抛物线的对称轴就是y 轴；，即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置．总结：常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在某轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在某轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．总之，只要a，b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．求抛物线的顶点、对称轴的方法公式法：b2ya某22b4acbb某ca某2a4a2，∴顶点是b4acb，对称轴是直线某.（，）2a2a4a配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为ya某hk的形式，得2到顶点为(h,k)，对称轴是直线某h.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式一般式：ya某b某c.已知图像上三点或三对某、y的值，通常选择一般式.顶点式：ya某hk.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.22交点式：已知图像与某轴的交点坐标某1、某2，通常选用交点式：ya某某1某某2.直线与抛物线的交点y轴与抛物线ya某2b某c得交点为(0,c).与y轴平行的直线某h与抛物线ya某2b某c有且只有一个交点(h,ah2bhc).抛物线与某轴的交点:二次函数ya某2b某c的图像与某轴的两个交点的横坐标某1、某2，是对应一元二次方程a某2b某c0的两个实数根.抛物线与某轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与某轴相交；②有一个交点（顶点在某轴上）0抛物线与某轴相切；③没有交点0抛物线与某轴相离.平行于某轴的直线与抛物线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是a某2b某ck的两个实数根.一次函数yk某nk0的图像l与二次函数ya某2b某ca0的图像yk某nG的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同2ya 某b某c的解时l与G有两个交点;②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.抛物线与某轴两交点之间的距离：若抛物线ya某2b某c与某轴两交点为 A某1，0，B某2，0，由于某1、某2是方程a某b某c0的两个根，故2某1某2ba,某1某22ca2AB某1某2某1某2某1某24某1某224cbaab4aca2a二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达关于某轴对称ya某2b某c关于某轴对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk2关于某轴对称后，得到的解析式是ya某hk；2关于y轴对称ya某2b某c关于y轴对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk2关于y轴对称后，得到的解析式是ya某hk；2关于原点对称ya某2b某c关于原点对称后，得到的解析式是ya某2b某c；ya某hk关于原点对称后，得到的解析式是ya某hk；关于顶点对称ya某b某c关于顶点对称后，得到的解析式是ya某b某cya某hkb22a；关于顶点对称后，得到的解析式是ya某hk．4关于点m，n对称ya某hk2关于点m，n对称后，得到的解析式是ya某h2m2nk2总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步骤：2⑴将抛物线解析式转化成顶点式ya某hk，确定其顶点坐标h，k；⑵保持抛物线ya某2的形状不变，将其顶点平移到h，k处，具体平移方法如下：y=a某2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定点Q，直线y(a2)某2经过点Q,求抛物线的解析式。

初中数学九年级下册第二十六章《261二次函数》复习教案共9页

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《26.1二次函
数》复习教案
教后反思：
二次函数在初中函数的教学中占有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一。

而二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成具有非常重要的推动作用。

新课标明确提出要培养“可持续发展的学生”，因此教师有组织、有目的、有针对性的引导学生并参入到学习活动中，鼓励学生采用自主学习，合作交流的研讨式学习方式，培养学生“动手”、“动脑”、“动口”的习惯与能力，使学生真正成为学习的主人。

因此本节课在基础知识之自我构建和基础演练环节中主要通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。

在基础知识之灵活运用和难题突破之思维激活环节让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。

在基础知识之实际应用和难点突破之聚焦中考环节让学生通过实际应用题目，了解到二次函数在生活中的广泛应用，通过学生独立观察、思考、交流，经历二次函数的建模过程，加深对二次函数的理解总之，在本节课中通过操作、观察、探究、交流、归纳等多种教学模式，并配合多媒体操作演示，师生互动，充分给学生以展示自我的机会和平台，很好地调动了学生主动参与课堂教学的积极性，激发了学生学习数学的热情培养了学生自主探究的能力，使之真正成为了学习的主人。

希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
1、有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。

2、实现自己既定的目标，必须能耐得住寂寞单干。

3、世界会向那些有目标和远见的人让路。

数学：第26章二次函数复习课件(新人教版九年级下)(共28张PPT)

y=-x²2x+3 （2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点 Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，请说明理由.
Q
(0,3)
(-3,0)
(1,0)
Q(-1,2)
(3) 设抛物线的对称轴与 x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使△CMP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．以M为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有两交点;以 C为圆心，MC为半径画弧，与对称轴有一个交点（MC 为腰）。作MC的垂直平分线与对称轴有一个交点（MC为底边）。
当 x=-2或x=3
时,y=0
当 -2<x<3
时,y<0
二次函数y=ax² +bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________
y -1 0 x
1
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
开口方向:向上a>0;向下a<0 对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号
如图，在同一坐标系中，函数y=ax+b与 y=ax2+bx(ab≠0)的图象只可能是（）
y y y y
o
x
o x
o x
o
x
A
B
C
D
施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道,其高度为 6米,宽度OM=12米,现以O点为原点,OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示, y (1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《二次函数》知识点总结及精品试题第一部分基础知识1.定义：一般地，如果是常数，，那么叫做x的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系.①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.①的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同.②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：，∴顶点是，对称轴是直线.（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,k)，对称轴是直线.（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用（1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样.（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：①时，对称轴为轴；②（即、同号）时，对称轴在轴左侧；③（即、异号）时，对称轴在轴右侧.（3）c的大小决定抛物线与轴交点的位置.当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点（0，c）：①，抛物线经过原点; ②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：.已知图像上三点或三对x、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线得交点为(0, c).（2）与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(,).（3）抛物线与x轴的交点二次函数的图像与x轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）抛物线与x轴相切；③没有交点抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是的两个实数根.（5）一次函数的图像l与二次函数的图像G的交点，由方程组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时l与G有两个交点; ②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与G没有交点.（6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线与x轴两交点为，由于、是方程的两个根，故第二部分典型习题１.抛物线y＝x2＋2x－2的顶点坐标是（ D ）A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ C ）Ａ．ab＞0，c＞0 Ｂ．ab＞0，c＜0 Ｃ．ab＜0，c＞0 Ｄ．ab＜0，c＜0第２,３题图第4题图３.二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（Ｄ）A．a＞0，b＜0，c＞0 B．a＜0，b＜0，c＞0C．a＜0，b＞0，c＜0 D．a＜0，b＞0，c＞0４.如图，已知中，BC=8，BC上的高，D为BC上一点，，交AB于点E，交AC于点F（EF不过A、B），设E到BC的距离为x，则的面积关于x的函数的图象大致为（Ｄ）５.抛物线与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为 4 ．6.已知二次函数与x轴交点的横坐标为、（），则对于下列结论：①当x＝－2时，y＝1；②当时，y＞0；③方程有两个不相等的实数根、；④，；⑤，其中所有正确的结论是①③第9题④ （只需填写序号）．7.已知直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ；一抛物线的解析式为.（1）若该抛物线过点B ，且它的顶点P 在直线上，试确定这条抛物线的解析式；（2）过点B 作直线BC ⊥AB 交x 轴交于点C ，若抛物线的对称轴恰好过C 点，试确定直线的解析式. 解：（1）或将代入，得.顶点坐标为21016100(,)24b b b +++-，由题意得，解得. （2）8.有一个运算装置，当输入值为x 时，其输出值为，且是x 的二次函数，已知输入值为,0,1时, 相应的输出值分别为5,,．（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围.解：（1）设所求二次函数的解析式为,则,即 ,解得故所求的解析式为:. （2)函数图象如图所示.由图象可得，当输出值为正数时，输入值的取值范围是或．9.某生物兴趣小组在四天的实验研究中发现：骆驼的体温会随外部环境温度的变化而变化，而且在这四天中每昼夜的体温变化情况相同．他们将一头骆驼前两昼夜的体温变化情况绘制成下图．请根据图象回答： ⑴第一天中，在什么时间范围内这头骆驼的体温是上升的?它的体温从最低上升到最高需要多少时间?⑵第三天12时这头骆驼的体温是多少? ⑶兴趣小组又在研究中发现，图中10时到22时的曲线是抛物线，求该抛物线的解析式．解：⑴第一天中，从4时到16时这头骆驼的体温是上升的它的体温从最低上升到最高需要12小时 ⑵第三天12时这头骆驼的体温是39℃ ⑶10.已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．是否存在实数a ，使得 △ABC 为直角三角形．若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：依题意，得点C 的坐标为（0，4）．设点A 、B 的坐标分别为（，0），（，0），由，解得，．∴ 点A 、B 的坐标分别为（-3，0），（，0）． ∴ ，，．∴ ，，．〈ⅰ〉当时，∠ACB ＝90°．由，得．解得．∴ 当时，点B 的坐标为（316，0），，，．于是．∴ 当时，△ABC 为直角三角形．〈ⅱ〉当时，∠ABC ＝90°．由，得．解得．当时，3943434-=⨯=-a ，点B （-3，0）与点A 重合，不合题意．〈ⅲ〉当时，∠BAC ＝90°．由，得．解得．不合题意．综合〈ⅰ〉、〈ⅱ〉、〈ⅲ〉，当时，△ABC 为直角三角形． 11.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2.（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值.解: (1)Ａ（x 1，0）,B(x 2，0) . 则x 1 ，x 2是方程 x 2－mx ＋m －2＝0的两根. ∵x 1 ＋ x 2 ＝m , x 1·x 2 =m －2 ＜0 即m ＜2 ; 又AB ＝∣x 1 — x 2∣＝ , ∴m 2－4m ＋3=0 .解得：m=1或m=3(舍去) , ∴m 的值为1 . （2）M(a ，b)，则N(－a ，－b) . ∵M 、N 是抛物线上的两点,∴①＋②得：－2a 2－2m ＋4＝0 . ∴a 2＝－m ＋2 . ∴当m ＜2时，才存在满足条件中的两点M 、N. ∴ .这时M 、N 到y 轴的距离均为,又点C 坐标为（0，2－m ）,而S △M N C = 27 , ∴2××（2－m ）×=27 . ∴解得m=－7 .12.已知：抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0）．（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；（2）D 是抛物线与y 轴的交点，C 是抛物线上的一点，且以AB 为一底的梯形ABCD 的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E 是第二象限内到x 轴、y 轴的距离的比为5∶2的点，如果点E 在（2）中的抛物线上，且它与点A 在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使△APE 的周长最小?若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x ＝－2． ∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0），∴ 由抛物线的对称性，可得抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1， 0）， ∴ ．∴ t ＝3a ．∴ ．∴ D （0，3a ）．∴ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线上， ∵ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ ．∴ ． ∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为或．（3）设点E 坐标为（，）.依题意，，，且．∴ ．①设点E 在抛物线上，∴．解方程组得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧'-'．＝，＝452100y x∵ 点E 与点A 在对称轴x ＝－2的同侧，∴ 点E 坐标为（，）．设在抛物线的对称轴x ＝－2上存在一点P ，使△APE 的周长最小． ∵ AE 长为定值，∴ 要使△APE 的周长最小，只须PA ＋PE 最小． ∴ 点A 关于对称轴x ＝－2的对称点是B （－3，0）， ∴ 由几何知识可知，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．设过点E 、B 的直线的解析式为， ∴ 解得∴ 直线BE 的解析式为．∴ 把x ＝－2代入上式，得．∴ 点P 坐标为（－2，）． ②设点E 在抛物线上，∴ ．解方程组消去，得．∴ △＜0 . ∴ 此方程无实数根．综上，在抛物线的对称轴上存在点P （－2，），使△APE 的周长最小．解法二：（1）∵ 抛物线与x 轴的一个交点为A （－1，0）， ∴ ．∴ t ＝3a ．∴ ．令 y ＝0，即．解得，．∴ 抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标为（－3，0）．（2）由，得D （0，3a ）．∵ 梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且点C 在抛物线上，∴ C （－4，3a ）．∴ AB ＝2，CD ＝4． ∵ 梯形ABCD 的面积为9，∴ ．解得OD ＝3． ∴ ．∴ a ±1．∴ 所求抛物线的解析式为或．（3）同解法一得，P 是直线BE 与对称轴x ＝－2的交点．∴ 如图，过点E 作EQ ⊥x 轴于点Q ．设对称轴与x 轴的交点为F ．由PF ∥EQ ，可得．∴45251PF＝．∴ ． ∴ 点P 坐标为（－2，）．以下同解法一．13.已知二次函数的图象如图所示．（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M 的坐标．（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为l ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将△OAC 补成矩形，使△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）．解：（1）设抛物线的解析式， ∴ ．∴ ．∴ ．其顶点M 的坐标是．（2）设线段BM 所在的直线的解析式为，点N 的坐标为N （t ，h ），∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=-+=.214920b k b k ，．解得，．∴ 线段BM 所在的直线的解析式为． ∴ ，其中．∴ ．∴ s 与t 间的函数关系式是，自变量t 的取值范围是．（3）存在符合条件的点P ，且坐标是，．设点P 的坐标为P ，则．，．分以下几种情况讨论： i ）若∠PAC ＝90°，则．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)1()2(222222n m n m m m n ，解得：，（舍去）． ∴ 点． ii ）若∠PCA ＝90°，则．∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+++=++--=.5)2()1(222222n m n m m m n ，解得：（舍去）．∴ 点．iii ）由图象观察得，当点P 在对称轴右侧时，，所以边AC 的对角∠APC 不可能是直角．（4）以点O ，点A （或点O ，点C ）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA （或边OC ）的对边上，如图a ，此时未知顶点坐标是点D （－1，－2），以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F．图a 图b14.已知二次函数的图象经过点（1，－1）．求这个二次函数的解析式，并判断该函数图象与x轴的交点的个数．解：根据题意，得a－2＝－1.∴ a＝1．∴这个二次函数解析式是．因为这个二次函数图象的开口向上，顶点坐标是（0，－2），所以该函数图象与x轴有两个交点．15.卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分．在大桥截面1∶11000的比例图上，跨度AB＝5 cm，拱高OC＝0.9 cm，线段DE表示大桥拱内桥长，DE∥AB，如图（1）．在比例图上，以直线AB为x轴，抛物线的对称轴为y轴，以1 cm作为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系，如图（2）．（1）求出图（2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式，写出函数定义域；（2）如果DE与AB的距离OM＝0.45 cm，求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：，计算结果精确到1米）．解：（1）由于顶点C在y轴上，所以设以这部分抛物线为图象的函数解析式为．因为点A（，0）（或B（，0））在抛物线上，所以，得．因此所求函数解析式为．（2）因为点D、E的纵坐标为，所以，得．所以点D的坐标为（，），点E的坐标为（，）．所以．因此卢浦大桥拱内实际桥长为（米）．16.已知在平面直角坐标系内，O为坐标原点，A、B是x轴正半轴上的两点，点A在点B的左侧，如图．二次函数（a≠0）的图象经过点A、B，与y轴相交于点C．（1）a、c的符号之间有何关系?（2）如果线段OC的长度是线段OA、OB长度的比例中项，试证a、c互为倒数；（3）在（2）的条件下，如果b＝－4，，求a、c的值．解:（1）a、c同号．或当a＞0时，c＞0；当a＜0时，c＜0．（2）证明：设点A的坐标为（，0），点B的坐标为（，0），则．OC ．∴，，c据题意，、是方程的两个根．∴．由题意，得，即．所以当线段OC长是线段OA、OB长的比例中项时，a、c互为倒数．（3）当时，由（2）知，，∴ a＞0．解法一：AB＝OB－OA＝，∴．∵，∴．得．∴ c＝2.解法二：由求根公式，，∴，．∴．∵，∴，得．∴ c＝2．17.如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，⊙E经过原点O及A、B两点．（1）C是⊙E上一点，连结BC交OA于点D，若∠COD＝∠CBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP＝2，连结AP，试判断直线PA与⊙E的位置关系，并说明理由．解：（1）连结EC交x轴于点N（如图）．∵ A、B是直线分别与x轴、y轴的交点．∴ A（3，0），B．又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴ C是的中点．∴ EC⊥OA．∴．连结OE．∴．∴．∴ C点的坐标为（）．（2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为．∵ C（）．∴．∴．∴为所求．（3）∵，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴．∴ OD＝OB·tan30°－1．∴ DA＝2．∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等边三角形．∴∠DAP＝60°．∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直线PA是⊙E的切线．温馨提示-专业文档供参考，请仔细阅读后下载，最好找专业人士审核后使用！。

人教版数学九年级下第26章二次函数复习课件 (共23张PPT)

各种形式的二次函数的关系
左 y = a( x – h )2 + k 上
右
下
平
平
移
移
y = ax2 + k
y = a(x – h )2
上下平移 y = ax2 左右平移
结论: 一般地,抛物线 y = a(x-h)2+k与 y = ax2形状相同,位置不同。
练习：
1.抛物线y=x2向上平移 2 个单位，再向右平移 3 个单位可得到抛物线 yx26x11 。
课堂小结：
1、二次函数的概念：
二次函数的概念：函数y= ax2+bx+c (a、b、
c为常数，其中a ≠０ )叫做二次函数。 2、二次函数的图象：
二次函数的图象是一条抛物线。 3、二次函数的性质：
包括抛物线的三要素，最值，增减性。 4、二次函数的实践应用（数形结合）
具体体现在解决一些实际应用题中。
(4)若抛物线与x轴有两个交点，则m_＞__－__1_。
练习：
2.将函数y= x2+6x+7进行配方正确的结果应为（C）
Ay.(x3)22 By.(x3)22 Cy.(x3)22 Dy.(x3)22
练习：
3.抛物线的图像如下，则满足条件a＞0, b＜0, c＜0的是（ D ）
A
B
D C
练习：
A.
B.
C.
D.
中考链接：
2. 如图，抛物线的顶点P的坐标是（1，－ 3），则此抛物线对应的二次函数有（ B ）（A）最大值1 （B）最小值－3 （C）最大值－3 （D）最小值1
中考链接：
3. 已知抛物线的部分图象如图,则抛物线的对称轴为
直线x= 3 ,满足y＜0的x的取值范围是 1＜X＜5 ,

九年级数学下册第26章二次函数复习课件人教新课标版

时,y<0
二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则在下列各不等式中成立的个数是____________
y
-1
1
x
0
①abc<0 ②a+b+c < 0 ③a+c > b ④2a+b=0 ⑤ b2 - 4ac > 0
开口方向:向上a>0;向下a<0 对称轴:在y轴右侧a、b异号; 在y轴左侧a、b同号与y轴的交点:在y轴正半轴c>0;在y轴负半轴c<0 与x轴的交点:两个不同b2-4ac>0;唯一b2-4ac=0;没有b2-4ac<0 a+b+c由当x=1时的点的位置决定;a-b+c由当x=-1时的点的位置决定
y＝100－5x2， y=－2x2＋5x3－3 中
有 2 个是二次函数。
练习2、函数y (k 1)xk2 k是二次函数，
- 则k ___2____ .
点评：定义要点 (1)a≠0. (2)最高次数为2.
(3)代数式一定是整式.
3、抛物线 y 4x2 3 的对称轴及顶点坐标分
别是（ D ） A、y轴，（０，-4） B、x＝３，（０，４） C、x轴，（０，０） D、y轴，（０，３）
化简得配方得
y=(x-8)([100-10(x-10)] y= -10x2-280x -1600 y= -10(x-14)2 + 360
∴当 (x-14)2 =0时，即x=14时，y 有最大值是360
答：当定价为14元时，所获利润最大，最大利润是360元。
当堂练习
练习1、在 y＝－x2， y＝2x2－ 2 ＋3 ， x
6）、2a+b＞ 0.

初中数学人教课标版九年级下册第二十六章二次函数《2二次函数》

(1) y=200(1+x)2，
即y=200x2+400x+200(X>0)
a=200，b=400,c=200
（2）y=6x2(X>0)
a=6，b=0,c=0
（3）S=-L2+30L(0<L<30)a=-1,b=30,c=0
提问：1．上述概念中的a为什么不能是0？
2．对于二次函数y=ax2+bx+c中的b和c可否为0？若b和c各自为0或均为0，上述函数的式子可以改写成怎样？你认为它们还是不是二次函数？
内容：《26.1二次函数(1)》
设计意图
本课的具体学习任务：本节课要学习的内容是二次函数所描述的关系，重点是通过分析实际问题，以及用关系式表示这一关系的过程，引出二次函数的概念，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。然后根据这种体验能够表示简单变量之间的二次函数关系，并能利用尝试求值的方法解决实际问题．让学生通过分析实际问题(探究橙子的数量与橙子树之间的关系)，从学生感兴趣的问题入手，并广泛联系多学科问题，使学生好奇而愉快地感受二次函数的意义，感受数学的广泛联系和应用价值．在教学中，让学生通过观察、思考、合作，交流，归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的建模思想。
2、化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x自变量的关系是__y=200(1+x)2，即y=200x2+400x+200(X>0)_
3、有一个矩形,它的长与宽的和为30cm,设长为L,矩形面积为S,则S与L的函数关系是___S=-L2+30L (0<L<30)
请大家先独立思考，再互相交流后回答
(三)情感态度与价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，数形结合能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

人教版数学九年级下册教案：第26章《二次函数》小结与复习(1)

第26章《二次函数》小结与复习（1）教学目标：理解二次函数的概念，掌握二次函数y ＝ax2的图象与性质；会用描点法画抛物线，能确定抛物线的顶点、对称轴、开口方向，能较熟练地由抛物线y ＝ax2经过适当平移得到y ＝a(x －h)2＋k 的图象。

重点难点：1．重点：用配方法求二次函数的顶点、对称轴，根据图象概括二次函数y ＝ax2图象的性质。

2．难点：二次函数图象的平移。

教学过程：一、结合例题精析，强化练习，剖析知识点1．二次函数的概念，二次函数y ＝ax2 (a ≠0)的图象性质。

例：已知函数是关于x 的二次函数，求：(1)满足条件的m 值；(2)m为何值时，抛物线有最低点?求出这个最低点．这时当x 为何值时，y 随x 的增大而增大?(3)m 为何值时，函数有最大值?最大值是什么?这时当x 为何值时，y 随x 的增大而减小?教师精析点评，二次函数的一般式为y ＝ax2＋bx ＋c(a ≠0)。

强调a ≠0．而常数b 、c 可以为0，当b ，c 同时为0时，抛物线为y ＝ax2(a ≠0)。

此时，抛物线顶点为(0，0)，对称轴是y 轴，即直线x ＝0。

(1)使是关于x 的二次函数，则m2＋m －4＝2，且m ＋2≠0，即：m2＋m －4＝2，m ＋2≠0，解得；m ＝2或m ＝－3，m ≠－2(2)抛物线有最低点的条件是它开口向上，即m ＋2＞0，(3)函数有最大值的条件是抛物线开口向下，即m ＋2＜0。

抛物线的增减性要结合图象进行分析，要求学生画出草图，渗透数形结合思想，进行观察分析。

强化练习；已知函数是二次函数，其图象开口方向向下，则m ＝_____，顶点为_____，当x_____0时，y 随x 的增大而增大，当x_____0时，y 随x 的增大而减小。

2。

用配方法求抛物线的顶点，对称轴；抛物线的画法，平移规律，例：用配方法求出抛物线y ＝－3x2－6x ＋8的顶点坐标、对称轴，并画出函数图象，说明通过怎样的平移，可得到抛物线y ＝－3x2。

新人教版九年级数学下册第26章__二次函数单元复习课件

2 y 2( x 1) 1的对称轴是 X=-1 3、抛物线，顶点坐标是 (-1,-
当x= -1 时，y有最大值，此值是 -1 。
，
1)
4、请写出一个二次函数解析式，使其图像的对称轴为x=1，并且开口向下。
y 2x 4x 1 ？
2
复习
求函数的解析式 1,已知在同一直角坐标系中，反比例函数 y=5/X与二次函数y=-x2+2x+c的图像交于点A(-1,m) （1）求m,c的值（2）求二次函数的对称轴和顶点坐标。
2，已知二次函数的顶点是（-1，2)且经过点（3，9）
求函数的解析式
2 3、抛物线 y＝x－4x＋c 的顶点在 x 轴，则 c 的值是（）
基础断下列各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;
y
C
O
A
B
x
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
1 y (32 2 x) x 2
x 2 (1) 8时
2
O
y x 16x 0 x 16
2
0-16 y 最大值 = 64 4 (-1)
• 六、（12分）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m，跨度为 10m，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。 ①求这条抛物线所对应的函数关系式。 ②如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？
（4）当x为何值时，y随x的增大而增大， X为何值时，y有最小值是多少？
(2)x=0或x=-4 解：由图像可知，顶点坐标是(-2，-1)，设函数关系式为：y a( x 2)2 1 (3)-4<x<0 过点(0，0) 所以，0=4a-1 1 即a= 4 1 故函数解析式是 y ( x 2) 2 1

人教新课标九年级初三数学下册第26章二次函数压轴题总复习课件

(4) 由图象可知：
当-3 < x < 1时，y < 0 当x< -3或x>1时，y > 0 y
•
(-3,0)
(1,0) x 0
•
• • • (-1,-2)
3 (0,-– 2)
3、求抛物线解析式的三种方法
1、一般式：已知抛物线上的三点，通常设解 y=ax2+bx+c(a≠0) 析式为________________ 2,顶点式：已知抛物线顶点坐标（h, k）， y=a(x-h)2+k(a≠0) 通常设抛物线解析式为_______________
二次函数知识点导航：
• • • • • • • • 1、二次函数的定义 2、二次函数的图像及性质 3、求解析式的三种方法 4、a，b，c及相关符号的确定 5、抛物线的平移 6、二次函数与一元二次方程的关系 7、二次函数的应用题 8、二次函数的综合运用
1、二次函数的定义
• 定义： y=ax² ＋ bx ＋ c （ a 、 b 、 c 是常数， a ≠ 0 ） • 定义要点：①a ≠ 0 ②最高次数为2 ③代数式一定是整式
a=-2,b=4,c=0
4、a，b，c符号的确定
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定开口向上开口向下 a>0 a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定. 交点在x轴上方交点在x轴下方经过坐标原点
c>0
c<0 c=0
（3）b的符号：由对称轴的位置确定对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧对称轴是y轴
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定与x轴有两个交点与x轴有一个交点与x轴无交点 b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0 a、b同号 a、b异号 b=0

九年级数学下册《第二十六章二次函数复习课1》教学设计新人教版

11、某工厂第一年的利润是20万元，第三年的利润是y万元，与平均年增长率x之间的函数关系式是＿＿＿＿＿＿＿＿。
12、已知二次函数的图像关于直线y=3对称，最大值是0，在y轴上的截距是－1，这个二次函数解析式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
13、某学校去年对实验器材投资为2万元，预计今明两年的投资总额为y万元，年平均增长率为x。则y与x的函数解析式＿＿＿＿＿＿。
正确的序号是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.
18、（2006·武汉）已知抛物线y=ax2+bx+c（a>0）的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点为（x1，0），且0<x1<1，下列结论：①9a-3b+c>0；②b＜c；③3a+c>0，其中正确结论两个数有＿＿＿。
19、已知抛物线经过点（1，0），（-5，0），且顶点纵坐标为，这个二次函数的解析式＿＿＿＿＿＿＿＿＿。
D.圆的周长与圆的半径之间的关系
9、对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是（）
A．B．C．D．
10、二次函数y=x2图象向右平移3个单位，得到新图象的函数表达式是（）
Ａ.y=x2+3Ｂ.y=x2-3
Ｃ.y=（x+3）2Ｄ.y=（x-3）2
第Ⅱ卷（非选择题，共80分）
二、填空题（每小题4分，共40分）
B.二次函数自变量的取值范围是所有实数
C.二次方程是二次函数的特例
D.二次函数的取值范围是非零实数
8、下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（）
A、在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系
B.我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系
C.竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）

新人教版九年级下册数学教案第26章二次函数小结与复习

第二十六章小结与复习一、本章学习回顾1．知识结构2．学习要点（1）能结合实例说出二次函数的意义。

（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。

（3）掌握二次函数的平移规律。

（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。

（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。

（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。

（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题。

3．需要注意的问题在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。

在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。

二、本章复习题A 组一、填空题01．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．02．抛物线2ax y =经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为． 03．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．04．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是；A 点关于y 轴的对称点C 是；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是．05．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是．06．把函数261x y -=的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位，所得新图象的函数关系式为． 07．已知二次函数m x x y +-=82的最小值为1，那么m 的值等于．08．二次函数322++-=x x y 的图象在x 轴上截得的两交点之间的距离为． 09．抛物线122--=x x y 的对称轴是，根据图象可知，当x 时，y 随x 的增大而减小．10．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，且经过点（-2，-2），则抛物线的函数关系式为．11．若二次函数c bx x y ++=2的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为．12．抛物线322--=x x y 的开口方向向，顶点坐标是，对称轴是，与x 轴的交点坐标是，与y 轴的交点坐标是，当x= 时，y 有最值是．13．抛物线c x x y ++=2与x 轴的两个交点坐标分别为)0,(1x ，)0,(2x ，若32221=+x x ，那么c 值为，抛物线的对称轴为．14．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上，且经过原点的抛物线．15．一条抛物线开口向下，并且与x 轴的交点一个在点A （1，0）的左边，一个在点A （1，0）的右边，而与y 轴的交点在x 轴下方，写出这条抛物线的函数关系式．二、选择题16．下列函数中，是二次函数的有（） ①221x y -= ②21x y = ③)1(x x y -= ④)21)(21(x x y +-= A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 17．若二次函数32)1(22--++=m m x m y 的图象经过原点，则m 的值必为（）A 、-1或3B 、-1C 、3D 、无法确定18．二次函数m x m x y 4)1(22++-=的图象与x 轴（）A 、没有交点B 、只有一个交点C 、只有两个交点D 、至少有一个交点19．二次函数222+-=x x y 有（）A 、最大值1B 、最大值2C 、最小值1D 、最小值220．在同一坐标系中，作函数23x y =，23x y -=，231x y =的图象，它们的共同特点是 A 、都是关于x 轴对称，抛物线开口向上（D ）B 、都是关于y 轴对称，抛物线开口向下C 、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点D 、都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点21．已知二次函数772--=x kx y 的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是（） A 、47->K B 、47-≥K 且0≠k C 、47-≥K D 、47->K 且0≠k 22．二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象（） A ．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到B ．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C ．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到D ．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高A 、4元或6元B 、4元C 、6元D 、8元（）24．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有（）A 、04,02>-<ac b aB 、04,02>->ac b aC 、04,02<-<ac b aD 、04,02<->ac b a25．抛物线1422-+=x x y 的顶点关于原点对称的点的坐标是（）A 、（-1，3）B 、（-1，-3）C 、（1，3）D 、（1，-3）三、解答题26．已知二次函数12212++=x x y ．（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；（2）求抛物线与x 轴、y 轴的交点；（3）作出函数图象的草图；（4）观察图象，x 为何值时，y ＞0；x 为何值时，y= 0；x 为何值时，y ＜0？27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．28．已知二次函数，当x=2时，y 有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．29．已知二次函数的图象与x 轴交于A （-2，0），B （3，0）两点，且函数有最大值2．(1)求二次函数的函数关系式；(2)设此二次函数图象的顶点为P ，求⊿ABP 的面积．30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：（1）0322=--x x ；（2）⎩⎨⎧-=--=x x y x y 213． 31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m （件）与每件的销售价x （元）满足一次函数：m=162-3x ．（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y 与每件的销售价x 间的函数关系式；（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？B 组一、选择题32．若所求的二次函数的图象与抛物线1422--=x x y 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为（ D ）A 、422-+-=x x yB 、)0(322>-+-=a a ax ax yC 、5422---=x x yD 、)0(322<-+-=a a ax ax y33．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ，当x=1时，函数y 有最大值，设),(11y x ，（),22y x 是这个函数图象上的两点，且211x x <<，则（）A 、21,0y y a >>B 、21,0y y a <>C 、21,0y y a <<D 、21,0y y a ><34．若关于x 的不等式组⎩⎨⎧-≤-≥ax a x 5153无解，则二次函数41)2(2+--=x x a y 的图象与x 轴（）A 、没有交点B 、相交于两点C 、相交于一点D 、相交于一点或没有交点二、解答题35．若抛物线)5(2342-+=--m x y m m的顶点在x 轴的下方，求m 的值． 36．把抛物线n mx x y ++=2的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是222+-=x x y ，求m 、n ．37．如图，已知抛物线3)5(2122-+-+-=m x m x y ，与x 轴交于A 、B ，且点A 在x 轴正半轴上，点B 在x 轴负半轴上，OA=OB ，（1）求m 的值；（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C 的坐标．38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线x=4；乙：与x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．C 组39．如图，已知二次函数n mx x y ++-=2，当x=3时有最大值4．（1）求m 、n 的值；（2）设这个二次函数的图象与x 轴的交点是A 、B ，求A 、B 点的坐标；（3）当y ＜0时，求x 的取值范围；（4）有一圆经过A 、B ，且与y 轴的正半轴相切于点C ，求C 点坐标．40．阅读下面的文字后，解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；（2）请你根据已有信息在原题中的矩形框内填上一个适当的条件，把原题补充完整．41．已知开口向下的抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于两点A （1x ，0）、B （2x ，0），其中1x ＜2x ，P 为顶点，∠APB=90°，若1x 、2x 是方程021)2(222=-+--m x m x 的两个根，且262221=+x x ．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的函数关系式．42．已知二次函数)1(3)2(2++-+-=m x m x y 的图象如图所示．（1）当m ≠-4时，说明这个二次函数的图象与x 轴必有两个交点；（2）求m 的取值范围；（3）在（2）的情况下，若6=⋅OB OA ，求C 点坐标；（4）求A 、B 两点间的距离；（5）求⊿ABC 的面积S ．。

初中数学九年级下册第二十六章《26.1二次函数》复习教案

新课标人教版初中数学九年级下册第二十六章《26.1二次函数》复习教案
教后反思：
二次函数在初中函数的教学中占有重要地位，它不仅是初中代数内容的引申，也是初中数学教学的重点和难点之一。

而二次函数的图像和性质体现了数形结合的数学思想，对学生基本数学思想和素养的形成具有非常重要的推动作用。

因此本节课在基础知识之自我构建和基础演练环节中主要通过开放性题的设置，发散学生思维，学生对二次函数的性质作出全面分析。

在基础知识之灵活运用和难题突破之思维激活环节让学生在教师的引导下，独立思考，相互交流，培养学生自主探索，合作探究的能力。

在基础知识之实际应用和难点突破之聚焦中考环节让学生通过实际应用题目，了解到二次函数在生活中的广泛应用，通过学生独立观察、思考、交流，经历二次函数的建模过程，加深对二次函数的理解
总之，在本节课中通过操作、观察、探究、交流、归纳等多种教学模式，并配合多媒体操作演示，师生互动，充分给学生以展示自我的机会和平台，很好地调动了学生主动参与课堂教学的积极性，激发了学生学习数学的热情培养了学生自主探究的能力，使之真正成为了学习的主人。

九年级下人教新课标第二十六章二次函数复习教学资料

初三数学期末复习一. 本周教学内容：期末复习及考前模拟［教学内容］第28章解直角三角形的复习本章知识结构锐角三角函数Rt ABC C A a c A b c A a b A b a △中，∠＝°定义正弦：余弦：正切：余切：查表或作用计算器求三角函数值反求角度90sin cos tan cot ====⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎫⎬⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎧⎨⎩性质同角三角函数关系平方关系：倒数关系：·商的关系互余两角三角函数关系：特殊角的三角函数值锐角的正、余弦的取值范围，及三角函数值的变化情况sin cos tan cot tan sin cos cot cos sin sin cos()cos sin()tan cot()cot tan()sin cos sin cos tan cot 2211909090900101A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A +====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪=-=-=-=-<<<<↑↑↓↑↓⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪利用直角三角形的性质解决问题已知两边已知一边一角应用理解：仰角、俯角、方向角、坡度、坡角定义⎧⎨⎩⎫⎬⎪⎭⎪()注：解Rt △的主要依据：角：∠＋∠°边：边角：，，，A B a b c A a c A b c A a b A b a =+=====⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪90222sin cos tan cot第7章圆的复习本章知识结构：圆的有关性质：圆的定义点和圆的位置关系点在圆外其中为点到圆心的点在圆上距离，为圆的半径点在圆内圆的确定：不共线的三个点确定一个圆三角形的外接圆⇔>⇔=⇔<⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪d r dd r rd r()()圆的对称性轴对称图形垂径定理及其推论中心对称图形旋转不变性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系()⎫⎬⎭⎧⎨⎪⎩⎪与圆有关的角圆心角圆周角定义定理三个推论圆内接四边形的性质弦切角⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪直线和圆的位置关系相交相切相离定义性质判定两个推论切线长定理圆外切四边形的性质弦切角定理及其推论⇔<⇔=⇔>⎧⎨⎪⎩⎪→⎧⎨⎪⎩⎪→⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪d rd rd r()和圆有关的比例线段相交弦定理及其推论切割线定理及其推论应用⎧⎨⎩⎫⎬⎭圆和圆的位置关系五种位置关系相交和相切的性质相切内切外切相交相离外离内含两圆的公切线外公切线内公切线相切在作图中的应用()()⇔=-⇔=+⎧⎨⎩⇔-<<+≥⇔>+⇔<-⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪d R rd R rR r d R r R rd R rd R r正多边形和圆正多边形的定义和两个定理正多边形的有关计算每个内角的度数公式分为个全等的直角三角形等分圆周画正多边形2n⎧⎨⎩⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()第13章函数及其图象的复习本章知识结构：函数及其图象：平面直角坐标系：坐标平面内所有的点与有序实数对是一一对应的。

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a
10
参考答案
①求k的值
y
解：由图像可知，抛物
y0.1(xk)22.5
线过点(0,1.6) 即当x=0时，y=1.6
1.6=-0.1k2+2.5
K=±3 又因为对称轴是在y轴的
O
Bx
右侧，
即x=k>0 所以，k=3
③当x=6时， y=-0.1(6-3)2+2.5
②-0.1(x-3)2+2.5=0
解之得，x 1
3(x、2,0已),通知常抛设物解线析与式x 轴为的_y_=两_a_个(_x_-交x_1_点)_(x_(-_xx_12,_)0()a、≠0)
a
6
拓展训练
1.如下表，a,b,c满足表格中的条件，那么抛物线
yax2bxc的解析式是( )
A.yx23x4 B.yx23x5
√ C.yx24x4 +1)
a
9
学以致用
所示(连的云直港角) 坐丁标丁系推中铅，球铅的球出的手运高行度路为线1 .近6 m似,在为如抛图物
线 y0.1(xk)22.5
①求k的值
y
②求铅球的落点与丁丁 (0,1.6)
的距离
③一个1.5m的小朋友跑到
离原点6米的地方(如图)，
O
x
他会受到伤害吗？
x
A
B
C
√D
小结：双图象的问题，寻找自相矛盾的地方。即由一个图象得
出字母的取值范围，再去检验这个字母的符号是否适合另一个图象
a
5
知识要点（二）
求抛物线解析式的三种方法：
1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为 __y_=_a_x_2_+_b_x_+_c_(_a_≠_0_)
2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_y_=_a_(_x_-h__)2_+_k_(_a_≠_0_)
二次函数复习(1)
a
1
知识要点(一）
1 二次函数的概念, y=_a__x2__b__x__c__。
2 (a, b, c 是常__数_____, a _≠_0______ ),那么
32 抛物y叫线做y=xa的x2二+次bx函+数c 。的对称轴是
3 4
x
_____2_ba____,
顶点坐标是2ba,
OA=4， OB=1，∴点A（4，0），
点B（-1，0）
BO
Ax
又 ∵ ∠ACB=90° ∴OC2=OA·OB=4
∴OC=2，点C（0，-2）
C
∵抛物线与x轴交点坐标是（4，0）（-1，0）
∴可设这个二次函数解析式为y=a(x-4)(x+1)
又∵图像经过点C（0，-2） ∴ a(0-4)(0+1) = -2 ，a=
=8,x
2
=-2
所以，OB=8
=1.6 >1.5 所以，这个小朋友不会受到伤害。
故铅球的落点与丁丁的距离
是8米。
a
11
回顾反思之反思提高
1、本节课你印象最深的是什么？ 2、通过本节课的函数学习，你认为自己
还有哪些地方是需要提高的？ 3、在下面的函数学习中，我们还需要注意
哪些问题？
a
12
欢迎指导!
a
13
∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 ∴二次函数的解析式为y=-2(x-1)2+2
即： y=-2x2+4x
a
8
3、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴正、负半轴
分别交于A、B两点，与y轴负半轴交于点C。
若OA=4，OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解
析式。
y 解： ∵ 点A在正半轴，点B在负半轴
提示：仔细观察表中的数据，你能从中看出什么？
a
7
2、已知二次函数的最大值是2，图象顶点在直线 y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求二次函数的解析式。
解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴当y=2时，x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） ∴设二次函数的解析式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6）
y
C
O A Bx
小结：a 决定开口方向，c决定与y轴交点位置，b2 - 4ac 决定与x轴交点个数，a,b结合决定对称轴;
变变式式12：：若若抛抛物物线线yyaxx2243xx3a的2图1的象图如象图如，图则，
则△aA=BC的面积. 是
。
a
4
拓展思维
下列各图中可能是函数 y ax2 c
与 y a (a0,c0 )的图象的是( )
4acb2 4a
(
)
5
a
2
3 小结：
抛物线开口方向对称轴顶点
a>0 a<0
坐标
y=ax 2 y=ax 2+k
开开 y轴(x=0) ( 0,0 )
口口
( 0,k )
2
y=a(x- h)
向
向
( h,0 )
y=a (x-h)+2 k 上
下 x=h ( h,k )
a
3
基础演练
1. 如图,抛物线 y=ax2+bx+c,请判断下列各式的符号： ①a 0; ②c 0; ③b2 - 4ac 0; ④ b 0;