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(整理)定积分练习题Doc1.

定积分复习复习要点：1 定积分的定义；()=_________baf x dx ⎰2．定积分的实质如果在区间[,]a b 上函数连续且有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积。

如果在区间[,]a b 上函数连续且有x)0f ≤（，那么定积分()ba f x dx ⎰表示由直线,x a x b ==（a b ≠），0y =和曲线()y f x =所围成的曲边梯形的面积的相反数。

如果在区间[,]a b 上函数连续且()f x 有正有负时，那么定积分()ba f x dx ⎰表示介于,x a x b ==（a b ≠）之间x 轴之上、下相应的曲边梯形的面积代数和。

()ba f x dx ∴=⎰阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）3定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1 ()=_______bakf x dx ⎰（其中k 是不为0的常数）性质2 []12()()=___________baf x fx dx ±⎰性质3()()()()b cbaacf x dx f x dx f x dx a c b =+<<⎰⎰⎰其中4微积分基本定理一般的，如果()f x 是闭区间[,]a b 上的连续函数，并且()()F x f x '=，那么()=()=_________1bab af x dx F x ⎰。

5.定积分的求法主要有：（1）定积分的定义（2）几何意义法：例如1-⎰（3）利用奇偶函数的性质求：若()f x 是[-a,a]上的奇函数，则()0a af x dx -=⎰；若()f x 是[-a,a ]上的偶函数，则()2()aaaf x dx f x dx -=⎰⎰。

（4）利用运算性质求（5）微积分基本定理典型例题例1 利用定积分的定义，计算320x dx ⎰例2计算下列定积分（1）a -a⎰ (2)10)-x dx ⎤⎦⎰（3）20(3+sin )x x dx π⎰ (4)1()d x ⎰(5)2x12(e -)xdx ⎰ (6)31⎰(7)x 220e dx ⎰ (8)+121-1e dx x ⎰(9)20cos2xcosx+sinxdx π⎰ (10)202sin dx x π⎰(11)23-2dx ⎤⎦⎰ (12)21(t+2)dx ⎰(13)220(sin +cos )22x x dx π⎰ （14）211x(x+1)dx ⎰ （15） 12xdx ⎰ （16）033+2edx x ⎰（17） 3-3(2x+3+3-2)dx x ⎰（18）1201+xdx x ⎰例3求由曲线x y x y x y 31,2,-=-==所围成图形的面积巩固练习1．若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．c <b <aD ．c <a <b2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( ) A.56 B.12 C.23 D.16 3.已知f (x )为偶函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．16 4.已知f (x )为奇函数且60⎰f (x )d x ＝8，则66-⎰f (x )d x 等于( )A ．0B ．4C ．8D ．165. .设2(01)()2(12)x x f x x x ⎧≤<=⎨-<≤⎩则20()f x dx ⎰=（）A.34B.45C.56D.不存在6．函数y ＝⎠⎛-xx (cos t ＋t 2＋2)d t (x >0)( )A ．是奇函数B ．是偶函数C ．非奇非偶函数D ．以上都不正确 7.(2010·烟台模拟)若y ＝0x ⎰(sin t ＋cos t sin t )d t ，则y 的最大值是( )A ．1B ．2C ．－72D ．08用S 表示图中阴影部分的面积，则S 的值是( )A ．⎠⎛ac f (x )d xB ．|⎠⎛ac f (x )d x |C ．⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛b c f (x )d xD ．⎠⎛b c f (x )d x －⎠⎛ab f (x )d x9.如图，阴影部分的面积是（）A ．32B ．329-C ．332 D ．33510．由直线x ＝12，x ＝2，曲线y ＝1x及x 轴所围成图形的面积为( )A.154B.174C.12ln2 D ．2ln2 11．函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1 (－1≤x <0)cos x (0≤x ≤π2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( )A.32B ．1C ．2 D.12例1（2）12．已知a ∈[0，π2]，则当⎰a 0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.13．⎠⎛-aa (2x －1)d x ＝－8，则a ＝________.14.已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1，若⎠⎛-11f (x )d x ＝2f (a )成立，则a ＝________.15．如果⎠⎛01f (x )d x ＝1，⎠⎛02f (x )d x ＝－1，则⎠⎛12f (x )d x ＝________.16. 221x x dx --⎰= 17. 已知221,[2,2]()1,(2,4]x x f x x x +∈-⎧=⎨+∈⎩,当k = 时, 340()3kf x dx =⎰成立 18．(2010·温州模拟)若f (x )是一次函数，且10⎰f (x )d x ＝5，10⎰xf (x )d x ＝176，那么21⎰f (x )xd x 的值是________． 19．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2及直线x ＝2所围成的面积，分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，则点P 的坐标为________．20．已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x＝－2.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．21已知⎰-+=-++11362)3(a dx b a ax x ，且dx b a ax x t f t)3()(03-++=⎰为偶函数，求b a ,22设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f 。

定积分练习题(打印版)

定积分练习题（打印版）一、基础计算题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} x^2 dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx$。

3. 计算定积分 $\int_{0}^{2} (3x - 2) dx$。

二、换元积分题1. 计算定积分 $\int e^{2x} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $\ln 2$。

2. 计算定积分 $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} dx$，其中上下限为 $0$ 到 $1$。

三、分部积分题1. 计算定积分 $\int x e^x dx$，上下限为 $0$ 到 $1$。

2. 计算定积分 $\int \sin x \cos x dx$，上下限为 $0$ 到$\pi$。

四、几何应用题1. 利用定积分计算圆 $x^2 + y^2 = 1$ 在第一象限内围成的面积。

2. 利用定积分计算抛物线 $y = x^2$ 与直线 $y = 4$ 所围成的面积。

五、物理应用题1. 假设一物体的加速度 $a(t) = 2t$，计算从 $0$ 到 $1$ 秒内物体的位移。

2. 假设一物体的力 $F(x) = 3x + 1$，计算从 $0$ 到 $2$ 米内物体所做的功。

六、综合题1. 利用定积分计算函数 $y = \sqrt{x}$ 与 $x$ 轴，以及直线$x = 1$ 所围成的面积。

2. 利用定积分计算函数 $y = \ln x$ 与 $x$ 轴，以及直线 $x = e$ 所围成的面积。

七、挑战题1. 计算定积分 $\int_{0}^{\pi/2} \sin^3 x \cos x dx$。

2. 计算定积分 $\int_{0}^{1} \frac{\ln x}{x} dx$。

答案提示：- 对于基础计算题，可以直接应用定积分的基本公式进行计算。

定积分练习题

第九章定积分练习题§1定积分概念习题1．按定积分定义证明：⎰-=ba ab k kdx ).(2．通过对积分区间作等分分割，并取适当的点集{}i ξ，把定积分看作是对应的积分和的极限，来计算下列定积分：（1）⎰∑=+=1012233)1(41:;ni n n i dx x 提示（2）⎰10;dx e x （3）⎰ba x dx e ; （4）2(0).(:bi adxa b xξ<<=⎰提示取§2 牛顿一菜布尼茨公式1．计算下列定积分：（1）⎰+10)32(dx x ；（2）⎰+-102211dx x x ；（3）⎰2ln e e x x dx ；（4）⎰--102dx e e xx ；（5）⎰302tan πxdx （6）⎰+94;)1(dx xx（7）⎰+40;1x dx（8）⎰eedx x x12)(ln 1 2．利用定积分求极限：（1）);21(1334lim n nn +++∞→ （2）;)(1)2(1)1(1222lim⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++∞→n n n n n n （3）);21)2(111(222lim nn n n n +++++∞→ （4）)1sin 2sin (sin 1lim nn n n n n -+++∞→ ππ3．证明：若f 在[a,b]上可积，F 在[a,b]上连续，且除有限个点外有F ＇（x ）=f (x),则有()()().ba f x dx Fb F a =-⎰§3 可积条件1．证明：若T ˊ是T 增加若干个分点后所得的分割，则∑∑∆≤∆'.''T Ti i i i χωχω2．证明：若f 在[a,b]上可积，[][][]上也可积在则ββ,,,,a f b a a ⊂.3.设f ﹑g 均为定义在[a,b]上的有界函数。

证明：若仅在[a,b]中有限个点处()(),χχg f ≠则当f 在[a,b]上可积时，g 在[a,b]上也可积，且()().χχχχd g a bd f a b ⎰⎰=3．设f 在[a,b]上有界，{}[],,b a a n ⊂.lim c ann =∞→证明：在[a,b]上只有() ,2,1=n a n 为其间断点，则f 在[a,b]上可积。

定积分练习题

定积分练习题一、填空题1.由定积分的几何意义可知，定积分⎰-102d 1x x 的值是 .2.由定积分的几何意义知a x -=⎰_ _______.3.由定积分的几何意义知21d x x -=⎰__ ______. 4.由定积分的几何意义知sin d x x ππ-=⎰__ ______.5.一物体以速度23()v t t m s =+做直线运动，则物体在0t =到3t =这段时间内行进的路程为__ ______.6.比较大小，120d x x ⎰ _______130d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）7.比较大小，1x ⎰ ______1x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 8.比较大小，20sin d x x π⎰____320sin d x x π⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空） 9.比较大小，53ln d x x ⎰ _____523(ln )d x x ⎰.（用“≤”、“≥”或“=” 填空）10.120d sin d d x x x =⎰ .11.2dsin d d x x x =⎰ .12.20d sin d d xt t x =⎰ .13.02d sin d d x x x x =⎰ .14.220d sin d d x t t x =⎰ .15.()2de d x t t -=⎰________________________.16.1sin d d x t t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.17.20d d t t ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰_________________________.18.求极限211e d limln x t x tx→=⎰____________________.19.求极限203sin d limx x t t x→=⎰____________________.20.求极限203arctan d limxx t t x→=⎰.21.若11(2+)d 3ln 2a x x x=+⎰，则a 的值等于____________________.22.若(21)d 4a ax x --=⎰，则a =___________________.23.已知20()d 3f x x =⎰，则2[()+3]d f x x =⎰______________.24.由不等式222x y a +≤所确定区域的面积A = .25.由椭圆22221x y a b+=所围成图形的面积A = .26.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A = . 27.由圆x =0x =所围成图形的面积A = . 28.由曲线y x =，0x =，与直线2y =所围成图形的面积A = . 29.由曲线sin y x =与直线0y =,0,x x π==所围成图形的面积A = . 30.由曲线cos y x =与直线0y =,0,2x x π==所围成图形的面积A = .31.由不等式2214x y ≤+≤所确定区域的面积A = .二、单项选择题1.定积分1212ln d x x x ⎰值的符号为（）.（A ）大于零；（B ）小于零；（C ）等于零；（D ）不能确定.2.下列等于1的积分是（）.（A ）10d x x ⎰；（B ）10(1)d x x +⎰；（C ）11d x ⎰；（D ）101d 2x ⎰.3.1(+)d x x e e x -=⎰（）.（A ）1e e +；（B ）2e ；（C ）2e ；（D ）1e e -.4.220(sin +cos )d 22x xx π=⎰（）.（A ）2π；（B ）12π+；（C ）2π-；（D ）0,5.1(2+)d 2x k x =⎰，则k =（）.（A ）0；（B ）-1；（C ）1；（D ）2.6.10d x m e x =⎰与11d en x x=⎰的大小关系是（）. （A ）m n >；（B ）m n <；（C ）m n =；（D ）无法确定.7.下列式子中，正确的是（）.（A ）11230d d x x x x ≤⎰⎰；（B ）22211ln d ln d x x x x ≤⎰⎰；（C ）22211d d x x x x ≤⎰⎰；（D ）11d d xx e x e x -≤⎰⎰.8.已知自由落体运动的速度v gt =，则落体运动从0t =到0t t =所走的路成为（）.（A ）203gt ；（B ）20gt ；（C ）202gt ；（D ）206gt .9.积分中值定理()d ()()ba f x x fb a ξ=-⎰，其中（）.（A ）ξ是[,]a b 内任一点；（B ）ξ是[,]a b 内必定存在的某一点；（C ）ξ是[,]a b 内唯一的某一点；（D ）ξ是[,]a b 的中点. 10.设()f x 在[,]a b 连续，()()d xa x f t t ϕ=⎰，则（）.（A ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上的一个原函数；（B ）()f x 是()x ϕ的一个原函数；（C ）()x ϕ是()f x 在[,]a b 上唯一的原函数；（D ）()f x 是()x ϕ在[,]a b 上唯一的原函数. 11.设()d 0ba f x x =⎰且()f x 在[,]ab 连续，则（）.（A ）()0f x ≡；（B ）必存在x 使()0f x =；（C ）存在唯一的一点x 使()0f x =；（D ）不一定存在点x 使()0f x =.12.函数()f x 在[,]a b 上连续是()f x 在[,]a b 上可积的（）.（A ）必要条件；（B ）充分条件；（C ）充要条件；（D ）无关条件.13.下列各积分中能够直接应用牛顿—莱布尼茨公式的是（）.（A ）311d 2x x-⎰；（B ）30ln d x x ⎰；（C ）04tan d x x π⎰；（D ）22cot d x x ππ-⎰.14.极限0sin d limd xx x t tt t→=⎰⎰（）.（A ）-1；（B ）0；（C ）1；（D ）2.15.02sin xd t dt dx =⎰（）.（A ）2sin x ；（B ）2sin x -；（C ）22sin x x -；（D ）2sin t -. 16.定积分()()d ba x a xb x --=⎰（）.（A ）3()6b a -；（B ）3()6a b -；（C ）3()3b a -；（D ）336b a -.17.设函数()f x 在[,]a a -上的连续，则()d aa f x x -=⎰ （）.（A ）02()d af x x ⎰；（B ）0；（C ）0[()()]d a f x f x x +-⎰；（D ）0[()()]d af x f x x --⎰.18.已知()f x 为偶函数且60()d 8f x x =⎰，则66()d f x x -=⎰ （）.（A ）0；（B ）4；（C ）8；（D ）16. 19.222d x e x --=⎰（）.（A ）4222d u eu --⎰；（B ）22d te t --⎰；（C ）222d x e x -⎰；（D ）222d x e x --⎰. 20.由椭圆22194x y +=所围成图形的面积A =（）. (A) 6π； (B) 9π； (C) 12π； (D) 36π.21.由圆y =与直线0y =所围成图形的面积A =（）.(A) π； (B) 2π； (C) 3π； (D) 4π.22.由圆x =与直线0x =所围成图形的面积A =（）.(A)212a π； (B) 213a π； (C) 214a π； (D) 2a π. 23.由曲线sin y x =与x 轴，直线0x =，2x π=所围成图形的面积A =（）.(A)12； (B) 1； (C) 2； (D) 3． 24.由不等式22224a x y a ≤+≤所确定区域的面积A =（）.(A) 2a π； (B) 22a π； (C) 23a π； (D) 24a π. 25.设ln 1()()xx F x f t dt =⎰，其中()f x 为连续函数，则()F x '=（）.（A ）2111(ln )()f x f x x x +；（B ）1(ln )()f x f x +；（C ）2111(ln )()f x f x x x -；（D ）1(ln )()f x f x -.26.下面命题中错误的是（）.（A ）若()f x 在(,)a b 上连续，则()d ba f x x ⎰存在；（B ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必有界；（C ）若()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在[,]a b 上必可积；（D ）若()f x 在[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在[,]a b 上必可积.27.下列积分值为零的是（）.（A ）222cos d x x x ππ-⎰；（B ）220cos d x x x π⎰；．（C ）222sin d x x x ππ-⎰；（D ）022cos d x x x π-⎰.28.下列反常积分收敛的是（）.（A ）1x +∞⎰；（B ）211d x x +∞⎰；（C ）11d x x+∞⎰；（D ）1d x e x +∞⎰.29.下列反常积分收敛的是（）.（A ）ln d e x x x +∞⎰；（B ）1d lne x x x+∞⎰；（C ）21d (ln )ex x x +∞⎰；（D ）e x +∞⎰. 30.1211dx x -=⎰（）. （A ）2；（B ）-1；（C ）；（D ）不存在.三、判断题1.定积分的定义()()01lim nbi i a i f x dx f x λξ→==∆∑⎰中要求[,]a b 是任意分割，但i ξ必须是1[,]i i x x -的中点. （）2.定积分的几何意义是相对应的各曲边梯形面积之和. （）3.220sin 22sin 2xxdx x xdx πππ-=⎰⎰. （）4.定积分的值是一个确定的常数. （）5.若函数(),()f x g x 在区间[,]a b 上可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰.（）6.若[,][,]c d a b ⊂，则()()d bcaf x dx f x dx <⎰⎰. （）7.若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则函数()f x 在区间[,]a b 上有界.（）8. 11211112dx x x --=-=-⎰. （）9.2200xdx ππ==⎰⎰. （）10.若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分必等于零.（）四、计算题1.10(23)d x x +⎰． 2.2211()d x x x x-+⎰． 3.0(cos )d x x e x π-+⎰．4.x x x d )123(1024⎰-+．5.x a x a x a d ))((0⎰+-．6.x xx d )11(94+⎰．7.x x d 1123⎰--+． 8.3sin()d 3x x πππ+⎰． 9.(sin cos )d x x x π-⎰．10.3(sin sin 2)d x x x π-⎰． 11.x x d )sin 21(0⎰-π． 12.222cos d x x ππ-⎰．13.2(1cos )d πθθ-⎰． 14．π220cosd 2θθ⎰． 15.40sec tan d x x x π⎰．16.⎰+33/121d x x ． 17.⎰-21021d x x ．18.10⎰．19.221d 4x x +⎰． 20.2120d 1x x x +⎰．21.322d x ⎰． 22.x x x d 12134⎰-． 23.4120d 1x x x +⎰．24.212212d (1)x x x x ++． 25.11d (21)ex x x +⎰．26.221d (1)xx x + 27.251(1)d x x -⎰． 28.⎰-324)28(d x x． 29.x x x d 1sin /3/22⎰ππ．30.41x ⎰． 31.120arctan d 1xx x +⎰． 32.1d e x x⎰． 33.ln30 d 1xx e x e +⎰．34.2d x xe x ． 35.⎰+302d 1x x x ． 36.20sin cos d t t t π⎰．37.x x x d sin cos 04⎰π．38.20x π⎰． 39.102d x x e x ⎰．40.51x ⎰．41.41x ⎰． 42.x x xd 191⎰+．43.x xx d 4511⎰--． 44.x x d tan 302⎰π． 45.224cot d x x ππ⎰．五、证明题1．证明下列不等式：x x x x d cos d sin 4040⎰⎰≤ππ． 2．证明下列不等式：x x x x d )1(d e 11⎰⎰+≥．3．证明：当0=x 时，函数t t x I xt d e )(02⎰-=取得最小值.4.求证：1212141≤+≤⎰dx x. 5．证明不等式4/1022e 2d e e 22---≤≤-⎰x xx．6.设()f x 是以l 为周期的连续函数，证明：()d a l af x x +⎰的值与a 无关.7.设n 4 0()tan f n xdx π=⎰（n 为正整数），证明：1(3)(5)4f f +=． 8．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=aa x x a f x x f 0d )(d )(.9．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰=2020d )(cos d )(sin ππx x f x x f10．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰+=+x x x x x x/112121d 1d )0(>x .11．若函数)(x f 连续，证明⎰⎰-=-110d )1(d )1(x x x x x x m n n m .12．证明等式0()d [()()]d a aaf x x f x f x x -=-+⎰⎰13．⎰⎰=πππd )(sin 2d )(sin x x f x x xf ．14．设函数)(x f 在闭区间]10[，连续，且1)(<x f ，证明方程-x 21d )(0=⎰x t t f 在开区间)10(，有且仅有一个实根. 15.设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x '≤，1()()d xa F x f t t x a=-⎰，证明在(,)a b 内()0F x '≤. 16.已知()f x 是连续函数，证明：20()d [()(2)]d a af x x f x f a x x =+-⎰⎰．17.设连续函数()f x 是奇函数，证明： 0() d x f t t ⎰是偶函数．18.若()x f ''在[]π,0连续，()20=f ，()1=πf ，证明：()()0sin d 3f x f x x x π''+=⎡⎤⎣⎦⎰．19.设01()0()0xt f t dtx F x xx ⎧>⎪=⎨⎪=⎩⎰，其中()f x 在[)0,+∞上连续，单调递增，且(0)0f ≥，证明：()F x 在[)0,+∞上连续且单调递增。

数学分析9定积分总练习题

第九章定积分总练习题1、证明：若φ在[0,a]上连续，f 二阶可导，且f ”(x)≥0，则有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt). 证：设T 为[0,a]的一个分割，其分点为n ka , k=0,1,…,n, 即x k =nka. 由f ”(x)≥0知f 凸，∴f(∑=n1k k )(x φn 1)≤∑=n1k k ))(x f(φn 1.即∑=n 1k k n a ))(x f(φa 1≥f(na)(x φa 1n 1k k ∑=). ∵f, φ在[0,a]上都可积，且f 连续， ∴令n →∞，有⎰a 0(t)) f(φa 1dt ≥f(⎰a(t) φa 1dt).2、证明下列命题.(1)若f 在[a,b]上连续增，F(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=∈⎰ a.x ，f(a)b].a,(x f(t)dt a -x 1xa ，则F 在[a,b]上增.(2)若f 在[0,+∞)上连续，且f(x)>0，则φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增.要使φ(x)在[0,+∞)上严格增，需要补充定义φ(0)=?证：(1)F ’(x)= ⎪⎩⎪⎨⎧=∈-⎰ a.x ，0b].a,(x a)-(x f(t)dt a -x f(x)2xa，根据积分中值定理知，存在ξ∈(a,x)，⎰xa f(t)dt =f(ξ)(x-a). 又f 在[a,b]上增， ∴F ’(x)=a-x )f(ξ-f(x)>0, x ∈(a,b]，∴F ’(x)≥0, x ∈[a,b]，∴F 在[a,b]上增.(2)任给x>0，有φ’(x)=2x0xx)f(t)dt (tf(t)dtf(x )f(t)dt x f(x )⎰⎰⎰- =2x0x0)f(t)dt (t)f(t)dt -(x f(x )⎰⎰.∵f(x)>0，∴(x-t)f(x)>0，∴⎰x0t)f(t)dt -(x >0，∴φ’(x)>0, x ∈(0,+∞)，∴φ(x)=⎰⎰x 0x0f(t)dttf(t)dt 在(0,+∞)上严格增. 又+→0x lim φ(x)=⎰⎰+→x 0x00x f(t)dttf(t)dt lim=f(x )x f(x )lim 0x +→=+→0x lim x=0， ∴只要补充定义φ(0)=c ≤0，则φ(x)在[0,+∞)上严格增.3、设f 在[0,+∞)上连续，且+∞→x lim f(x)=A. 证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x1lim=A. 证：∵+∞→x lim f(x)=A ，∴任给ε>0，存在M>0，使当x>M 时，有|f(x)-A|<2ε，又当T>M 时，|A f(x)dx T 1T 0-⎰|=T1|⎰⎰-T 0T0Adx f(x )dx | =T1|⎰T0A]dx -[f(x )|≤⎰T 0dx |A -f(x)|T 1=⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+⎰T M dx|A -f(x)|T 1 ≤⎰M 0dx |A -f(x)|T 1+2ε(1-TM). ∴只要取T 1=max{⎰M 0dx |A -f(x)|ε2, 2M}，则当T>T 1时，就有|A f(x)dx T 1T 0-⎰|<2ε+2ε=ε.∴⎰+∞→T 0T f(x)dx T 1lim =⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =A.4、设f 是定义在R 上的一个连续周期函数，周期为p ，证明：⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰p 0f(t)dt p 1. 证：令x=p λ，y=λt，则⎰x0f(t)dt x1=⎰p λ0y) y)d(λ f(λp λ1=⎰p 0y)dy f(λp 1=⎰p 0 t)dt f(λp 1. 由f(t)=f(t+np), n 为任意正整数，又np)f(t lim n ++∞→= t)f(λlim λ+∞→，∴⎰+∞→x0x f(t)dt x 1lim =⎰+∞→p 0λ t)dt f(λp 1lim =⎰++∞→p 0n )dt np f(t p 1lim =⎰p 0f(t)dt p1.5、证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.证：设连续的奇函数f ，连续的偶函数g ，则它们的原函数分别为： F(x)=⎰x0f(t)dt +C ，G(x)=⎰x0g(t)dt +C.∵F(-x)=⎰-x 0f(t)d(t)+C=⎰x 0f(-t)d(-t)+C=-)f(t)d(-t x 0⎰+C=⎰x0f(t)dt +C=F(x)， ∴连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数又G(-x)=⎰-x0g(t)dt +C=⎰x 0g(-x )d(-t)+C=⎰x 0g(x )d(-t)+C=-⎰x0g(x )dt +C ≠-G(x)， ∴仅当G(x)=⎰x 0g(t)dt 时，G(-x)=-⎰x0g(x )dt =-G(x)，即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数.6、证明许瓦尔兹不等式：若f 和g 在[a,b]上可积，则 (⎰ba f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .证：若f 和g 在[a,b]上可积，则f 2,g 2,fg 都可积. 且对于任何t, (f+tg)2也可积.∵(f+tg)2≥0，∴⎰+b a 2tg)(f =⎰ba 2(x )dx f +2t ⎰ba f(x )g(x )dx +t2⎰ba2(x )dx g ≥0.∴二元一次方程的判别式△=4(⎰ba f(x )g(x )dx )2-4⎰ba 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g ≤0.∴(⎰b a f(x )g(x )dx )2≤⎰b a 2(x )dx f ·⎰ba 2(x )dx g .7、利用许瓦尔兹不等式证明：(1)若f 在[a,b]上可积，则(dx f(x )ba ⎰)2≤(b-a)⎰ba 2(x )dx f ； (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则⎰ba f(x )dx ·⎰baf(x )dx≥(b-a)2； (3)若f,g 都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基不等式：21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰. 证：(1)记g(x)=1，∵f 和g 在[a,b]上可积，根据许瓦尔兹不等式，有 (dx f(x )ba ⎰)2 ≤⎰b a dx ·⎰b a 2(x )dx f =(b-a)⎰ba 2(x )dx f . (2)若f 在[a,b]上可积，且f(x)≥m>0，则f ,f1在[a,b]上也可积. 根据许瓦尔兹不等式，⎰b a f(x )dx ·⎰baf(x )dx ≥(⎰⋅b a dx f(x)1f(x))2=(b-a)2. (3)∵⎰+ba 2dx g(x ))(f(x )=⎰⎰⎰++ba 2ba ba 2(x )dxg f(x )g(x )dx 2(x )dx f≤⎰⎰⎰⎰+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+ba 221ba ba 22ba 2(x)dx g (x)dx g (x)dx f 2(x)dx f=221b a 221b a 2(x)dx g (x)dx f ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰⎰. ∴21ba 2dx g(x))(f(x)⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰≤21ba 2(x)dx f ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰+21ba 2(x)dx g ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎰.8、证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)>0，则 ln ⎪⎭⎫⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1. 证：在[a,b]中插入n-1个等分点a=x 0<x 1<x 2<…<x n =b. 记f(x i )=y i >0，于是由平均值不等式na-b (y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)n n 21y y y ⋯=(b-a)e )y ln y (ln n a-b a -b 1n 1⋯+⋅.两边取极限得：⎰ba f(x )dx =na-b limn +∞→(y 1+y 2+…+y n )≥(b-a)na -b lim n +∞→e)y ln y (ln na-b a -b 1n 1⋯+⋅=(b-a)e⎰balnf(x)dx a -b 1.∴⎰b a f(x)dx a -b 1≥e ⎰balnf(x)dx a -b 1，∴ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰b a f(x )dx a -b 1≥⎰b a lnf(x)dx a -b 1.9、设f 为R +上的连续减函数，f(x)>0；又设a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx .证明：{a n }为收敛数列. 证：∵f 为R +上的连续减函数，∴a n =∑=n1k f(k)-⎰n1f(x )dx =∑=n 1k f(k)-∑⎰=+1-n 1k 1k k f(x )dx ≥∑=n 1k f(k)-∑=+1-n 1k k)-1f(k)(k =f(n)>0，即数列{a n }有下界，又a n+1-a n =f(n+1)-⎰+1n nf(x )dx ≤f(n+1)-⎰++1n n1)dx f(n =0.∴{a n }为递减数列. 由单调有界定理知{a n }收敛.10、证明：若f 在[a,b]上可积，且处处有f(x)>0，则⎰ba f(x )dx>0. 证：∵在[a,b]上处处有f(x)>0，∴使f(x)≤0的点只有有限个，对[a,b]上任一分割T ，添加这些点为分点，则在每一个小区间(x i ,x i+1)上恒有f(x)>0， ∴⎰+1i ix x f(x)dx>0, (i=0,1,…,n) 其中x 0=a, x n+1=b.∴⎰baf(x )dx =∑⎰=+ni 1i if(x )dx >0.。

定积分典型例题20例标准答案

定积分典型例题20例答案例1 求33322321lim(2)n n n n n®¥+++．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x nD =，然后把2111n n n =×的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即33322321lim (2)n n n n n ®¥+++=333112lim ()n n n n nn ®¥+++=13034xdx =ò．例2 2202x x dx -ò=_________．解法1 由定积分的几何意义知，2202x x dx -ò等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ³) 与x 轴所围成的图形的面积．故2202x x dx -ò=2p．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （22t pp-££），则，则222x x dx -ò=2221sin cos t tdt pp --ò=22021sin cos t tdt p-ò=2202cos tdt pò=2p例3 （1）若22()x t x f x e dt -=ò，则()f x ¢=___；（2）若0()()xf x xf t dt =ò，求()f x ¢=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可()()()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ¢¢=-ò．解（1）()f x ¢=422x x xee---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()xf x x f t dt =ò，则可得可得()f x ¢=()()xf t dt xf x +ò．例4 设()f x 连续，且31()x f t dt x -=ò，则(26)f =_________．解对等式310()x f t dt x -=ò两边关于x 求导得求导得32(1)31f x x -×=，故321(1)3f x x-=，令3126x -=得3x =，所以1(26)27f =．例5 函数11()(3)(0)xF x dt x t =->ò的单调递减开区间为_________．解 1()3F x x ¢=-，令()0F x ¢<得13x>，解之得109x <<，即1(0,)9为所求．为所求．例6 求0()(1)arctan xf x t tdt =-ò的极值点．的极值点．解由题意先求驻点．于是()f x ¢=(1)arctan x x -．令()f x ¢=0，得1x =，0x =．列表如下：如下：故1x =为()f x 的极大值点，0x =为极小值点．为极小值点．例7 已知两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，其中处的切线相同，其中2arcsin 0()xt g x e dt -=ò，[1,1]x Î-，试求该切线的方程并求极限3lim ()n nf n ®¥．分析两曲线()y f x =与()y g x =在点(0,0)处的切线相同，隐含条件(0)(0)f g =，(0)(0)f g ¢¢=．解由已知条件得由已知条件得2(0)(0)0tf g e dt -===ò，且由两曲线在(0,0)处切线斜率相同知处切线斜率相同知2(arcsin )2(0)(0)11x x e f g x-=¢¢===-．故所求切线方程为y x =．而．而3()(0)3lim ()lim33(0)330n n f f n nf f n n®¥®¥-¢=×==-．例8 求 22sin lim(sin )x x x tdt t t t dt®-òò；分析该极限属于型未定式，可用洛必达法则．型未定式，可用洛必达法则．解 22000sin lim (sin )x x xtdtt t t dt ®-òò=2202(sin )lim(1)(sin )x x x x x x ®-××-=220()(2)lim sin x x x x ®-×-=304(2)lim 1cos x x x ®-×- =2012(2)lim sin x x x®-×=0．注此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．此处利用等价无穷小替换和多次应用洛必达法则．x (,0)-¥(0,1)1 (1,)+¥()f x ¢-＋－例9 试求正数a 与b ，使等式2021lim1sin xx t dt x b x a t®=-+ò成立．成立．分析易见该极限属于型的未定式，可用洛必达法则．解 20201lim sin x x t dt x b x a t ®-+ò=220lim 1cos x x a x b x ®+-=22001lim lim 1cos x x x b x a x ®®×-+201lim 11cos x x b xa ®==-，由此可知必有0lim(1cos )0x b x ®-=，得1b =．又由．又由 2012lim11cos x x xaa®==-，得4a =．即4a =，1b =为所求．为所求．例10 设sin 20()sin xf x t dt =ò，34()g x x x =+，则当0x ®时，()f x 是()g x 的（的（）． A ．等价无穷小．．等价无穷小． B ．同阶但非等价的无穷小．．同阶但非等价的无穷小． C ．高阶无穷小．．高阶无穷小．D ．低阶无穷小．解法1 由于由于 22300()sin(sin )cos lim lim ()34x x f x x x g x x x ®®×=+ 2200cos sin(sin )lim lim 34x x x x x x ®®=×+ 22011lim 33x x x ®==．故()f x 是()g x 同阶但非等价的无穷小．选B ．解法2 将2sin t 展成t 的幂级数，再逐项积分，得到的幂级数，再逐项积分，得到sin223370111()[()]sin sin 3!342x f x t t dt x x =-+=-+ò，则344340001111sin (sin )sin ()1342342lim lim lim ()13x x x x x x f xg x x x x ®®®-+-+===++．例11 计算21||x dx -ò．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -ò＝0210()x dx xdx --+òò＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时在使用牛顿－莱布尼兹公式时,,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如 33222111[]6dx x x --=-=ò，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界积区间内无界. .例12 设()f x 是连续函数，且1()3()f x x f t dt =+ò，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()baf x dx ò是常数（,a b 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而1()f t dt ò是常数，记1()f t dt a =ò，则，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==òò．所以所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以，所以 3()4f x x =-．例13 计算2112211x xdx x-++-ò．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解2112211x x dx x -++-ò=211112221111xxdx dx x x--++-+-òò．由于22211x x +-是偶函数，而211xx +-是奇函数，有112011x dx x-=+-ò, 于是于是 2112211x xdx x-++-ò=212411x dx x+-ò=2212(11)4x x dx x--ò=11200441dx x dx --òò由定积分的几何意义可知12014x dx p-=ò, 故2111022444411x xdx dx x p p -+=-×=-+-òò．例14 计算22()x d tf x t dt dx -ò，其中()f x 连续．连续．分析要求积分上限函数的导数，要求积分上限函数的导数，但被积函数中含有但被积函数中含有x ，因此不能直接求导，因此不能直接求导，必须先换必须先换元使被积函数中不含x ，然后再求导．，然后再求导．解由于由于220()xtf x t dt -ò=22201()2xf x t dt -ò．故令22x t u -=，当0t =时2u x =；当t x =时0u =，而2dt du =-，所以，所以22()x tf x t dt -ò=201()()2xf u du -ò=21()2x f u du ò，故220()x d tf x t dt dx -ò=201[()]2x d f u du dx ò=21()22f x x ×=2()xf x ．错误解答 22()x d tf x t dt dx -ò22()(0)xf x x xf =-=．错解分析这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式这里错误地使用了变限函数的求导公式，公式()()()xa d x f t dt f x dx¢F ==ò中要求被积函数()f t 中不含有变限函数的自变量x ，而22()f x t -含有x ，因此不能直接求导，而应先换元．导，而应先换元．例15 计算3sin x xdx pò．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 3s i n x x d x pò3(c o s )x d x p=-ò330[(c o s )](co s )x x x d x pp=×---ò 30cos 6xdx pp=-+ò326p=-．例16 计算1200ln(1)(3)x dx x +-ò．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-ò=101ln(1)()3x d x +-ò=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-×--+ò =101111ln 2()2413dx x x-++-ò 11ln 2ln324=-．例17 计算20sin x e xdx pò．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx pò20sin xxde p=ò220[sin ]cos xxe x e xdx p p=-ò220cos xe e xdx p p=-ò，（1）而2cos xe xdx pò20cos xxde p=ò2200[cos ](sin )xxe x e x dx p p=-×-ò 2sin 1xe xdx p=-ò，（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式可得）式可得2sin xe xdx pò220[sin 1]xe e xdx p p=--ò,故20sin xe xdx pò21(1)2e p=+．例18 计算10arcsin x xdx ò．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解10arcsin x xdx ò210arcsin ()2x xd =ò221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =×-ò 21021421x dx x p=--ò．（1）令sin x t =，则，则2121x dx x-ò2202sin sin 1sin t d t tp =-ò220sin cos cos t tdt tp=×ò220sin tdt p=ò 201cos 22t dt p-==ò20sin 2[]24t t p-4p =．（2）将（将（22）式代入（）式代入（11）式中得）式中得1arcsin x xdx =ò8p ．例19设()f x [0,]p 上具有二阶连续导数，()3f p ¢=且0[()()]cos 2f x f x xdx p¢¢+=ò，求(0)f ¢．分析分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx p ¢¢+ò00()sin cos ()f x d x xdf x p p¢=+òò[]0000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx pppp¢¢¢=-++òò()(0)2f f p ¢¢=--=．故 (0)f ¢=2()235f p ¢--=--=-．例20 计算2043dx x x +¥++ò．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +¥++ò=20lim 43t t dx x x ®+¥++ò=0111lim ()213t t dx x x ®+¥-++ò =011lim [ln ]23t t x x ®+¥++=111lim (ln ln )233t t t ®+¥+-+ =ln 32．。

定积分练习题

定积分练习题1基础题：一．选择题、填空题 1．下列等于1的积分是（）A ．dx x ⎰1B ．dx x ⎰+10)1(C ．dx ⎰101D ．dx ⎰10212．dx x |4|12⎰-=（）A ．321B ．322C ．323D ．325 3．曲线]23,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积（）A ．4B ．2C ．25D ．3 4．dx e ex x⎰-+1)(=（）A ．ee 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e e 1-5.若1xm e dx =⎰，11e n dx x =⎰，则m 与n 的大小关系是（）A ．m n >B ．m n <C ．m n =D ．无法确定6．由曲线21y x =-和x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果： ①121(1)x dx --⎰；②121(1)x dx --⎰；③1202(1)x dx -⎰；④0212(1)x dx --⎰．则S 等于（）A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④7.0(sin cos sin )xy t t t dt =+⎰，则y 的最大值是（）A ．1B ．2C ．72-D ．08. 若()f x 是一次函数，且1()5f x dx =⎰，117()6xf x dx =⎰，那么21()f x dx x⎰的值是．9．⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=≠⎰=0,0,)()(2x cx x dt t tf x F x,其中)(x f 在0=x 处连续，且0)0(=f 若)(x F 在 0=x 处连续，则=c （）。

(A).0=c ; (B).1=c ; (C).c 不存在； (D).1-=c .10．设⎪⎩⎪⎨⎧π<≤π=其余0x 3x sin )x (f ，则=⎰π02cos )(xdx x f ( ) （A ）43 （B ）43-（C ）1 （D ）－111．⎰202sin πdx x dxd =________ 12. 定积分 dx x x ⎰-π3sin sin 等于_______13. 定积分dx x x ⎰-π3cos cos 等于( )（A ） 0 （B ）23（C ） 34（D ） 34-14. 定积分⎰-2|cos sin |πdx x x 等于( )（A ） 0 （B ） 1 （C ） 12+ （D ） )12(2- 15.定积分dx x x ⎰-2223}1,,max{等于( )（A ） 0 （B ） 4 （C ）316（D ）129716.设,2arcsin )(,)1ln()(202dt tx g dt t x f xx ⎰⎰=+=则当0→x 时,)(x f 是)(x g 的( ) (A) 同阶无穷小,但不等价 (B) 等价无穷小 (C) 低价无穷小 (D) 高价无穷小17. ⎰-=xttdt ex F 0,cos )(则)(x F 在],0[π上有( )(A) )2(πF 为极大值,)0(F 为最小值(B) )2(πF 为极大值,但无最小值(C) )2(πF 为极小值,但无极大值 (D) )2(πF 为最小值,)0(F 为最大值综合题：11222520022(1)(2)ln(1)(3)(4cos )2x dx x dxx x x x dx x x -+--+--⎰⎰⎰212(8)()[0,2](2)1'(2)0()4''(2)f x f f f x dx x f x dx===⎰⎰已知函数在上二阶可导，且：，及，求：221sin (13)lim()xxx t dt tdt xx→++⎰⎰求极限2330(15)()ln 40:xt dy y y x x e dt y dx-=-++=⎰设隐函数由方程所确定，求2202(1)0(16)(),()00'(0).x t e dt x f x A f x x x A x f ⎧-⎪≠==⎨⎪=⎩⎰设问当为何值时，在点处可导，并求出定积分练习题2一．计算下列定积分的值（1）⎰--312)4(dx x x ；（2）⎰-215)1(dx x ；（3）dx x x ⎰+20)sin (π；（4）dx x ⎰-222cos ππ；（5）π220cos 2d θθ⎰（6）⎰+10)32(dx x ；（7）⎰+-102211dx x x ；（8）⎰2ln e e x x dx ；（9）⎰--102dx e e x x ；（10）⎰302t a n πx d x （11）⎰+94;)1(dx x x （12）⎰+40;1xdx（13）⎰eedx x x 12)(ln 1 （14）⎰205;2s i n c o s πx d x x （15）⎰20;s i n πx d x e x （16）⎰+202;s i n 1c o s πdx x x （17）⎰-+10;x x e e dx二．求下列极限：（1）⎰→x x dt t x 02;cos 1lim（2）.)(02222lim dte dt e x t xt x ⎰⎰∞→三．证明题1'()(,)(()'())()()xadf x x t f t d t f x f a dx-∞+∞-=-⎰（）设在上连续，证明：。

定积分应用练习题

定积分的应用练习题1. 抛物线22y x = 把圆228x y +=分为两部分，分别求出这两部分的面积。

2. 直线将椭圆2236x y y +=分成两部分，分别求出这两部分的面积。

3. 在抛物线21y x =-上找一点00(,)P x y ，其中00x ≠，过00(,)P x y 作抛物线的切线，使该切线与抛物线及两坐标轴所围成的图形的面积最小。

4. 从抛物线21y x =-上的点00(,)P x y 引另一条抛物线2y x =的切线，求该切线与2y x=所围成的图形的面积。

5. 求有抛物线24(0)y ax a =>与过焦点的弦所围成图形面积的最小值。

6. 求星形线33cos (02)sin x a t t y a tπ⎧=≤≤⎨=⎩所围成的图形的面积A ，全长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。

7. 求伯努利双纽线22cos 2a ρθ=的面积A ，及绕Ox 轴旋转的旋转体的体积和侧表面积。

8. 求圆域222()()x y b ab a +-≤>绕Ox 轴旋转而成的圆环体的体积。

9. （1）求曲线32y x x =-与2y x =所围成的图形的面积；（2）若该图形绕Oy 绕一周，求所得旋转体的体积。

10. 求螺线(0)m ae θρθπ=≤≤与Ox 轴所围成的面积A ，弧长L ，绕Ox 轴旋转一周所形成的旋转体的体积，和该旋转体的侧表面积。

11. 在曲线2(04)3y x =≤≤上人一点的密度等于该点至原点一段曲线的弧线长度，求其质量。

12. 半径为R ，长为l 的圆柱体平放在深度为2R 的水池中（柱体的侧面与水面相切），设柱体的密度为(1)ρρ>，问将柱体移出水中需要做多少功？13. 设半径为R ，高为h 的圆柱体水池盛满了水，若将水池中的水吸干，要做多少功？14. 将半径为的半圆形板竖直放入水中，是其直径与水面相齐。

（1）求该板一侧所受的压力；（2）欲使压力增加一倍，该板应下移多少米？15. 一根半径为R 的圆环金属丝，其线密度为ρ，以等角速度ω绕其某一条直径旋转，求金属丝的动能。

定积分典型例题

定积分典型例题11198(总10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--定积分典型例题例1 求3321lim)n n n →∞+．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ∆=，然后把2111n n n=⋅的一个因子1n乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即3321lim)n n n →∞+=31lim )n n n n →∞+=34=⎰．例2 0⎰=_________．解法1 由定积分的几何意义知，0⎰等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥)与x 轴所围成的图形的面积．故0⎰=2π．例18 计算21||x dx -⎰．分析被积函数含有绝对值符号，应先去掉绝对值符号然后再积分．解 21||x dx -⎰＝0210()x dx xdx --+⎰⎰＝220210[][]22x x --+＝52．注在使用牛顿－莱布尼兹公式时,应保证被积函数在积分区间上满足可积条件．如33222111[]6dx x x --=-=⎰，则是错误的．错误的原因则是由于被积函数21x 在0x =处间断且在被积区间内无界. 例19 计算220max{,}x x dx ⎰．分析被积函数在积分区间上实际是分段函数212()01x x f x x x ⎧<≤=⎨≤≤⎩．解 232122212010011717max{,}[][]23236x x x x dx xdx x dx =+=+=+=⎰⎰⎰例20 设()f x 是连续函数，且10()3()f x x f t dt =+⎰，则()________f x =．分析本题只需要注意到定积分()ba f x dx ⎰是常数（,ab 为常数）．解因()f x 连续，()f x 必可积，从而10()f t dt ⎰是常数，记10()f t dt a =⎰，则()3f x x a =+，且11(3)()x a dx f t dt a +==⎰⎰．所以2101[3]2x ax a +=，即132a a +=，从而14a =-，所以 3()4f x x =-．例21 设23, 01()52,12x x f x x x ⎧≤<=⎨-≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，02x ≤≤，求()F x , 并讨论()F x 的连续性．分析由于()f x 是分段函数, 故对()F x 也要分段讨论．解（1）求()F x 的表达式．()F x 的定义域为[0,2]．当[0,1]x ∈时，[0,][0,1]x ⊂, 因此23300()()3[]xxxF x f t dt t dt t x ====⎰⎰．当(1,2]x ∈时，[0,][0,1][1,]x x =, 因此, 则1201()3(52)xF x t dt t dt =+-⎰⎰=31201[][5]xt t t +-=235x x -+-，故32, 01()35,12x x F x x x x ⎧≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩． (2) ()F x 在[0,1)及(1,2]上连续, 在1x =处，由于211lim ()lim(35)1x x F x x x ++→→=-+-=, 311lim ()lim 1x x F x x --→→==, (1)1F =．因此, ()F x 在1x =处连续, 从而()F x 在[0,2]上连xu例22 计算21-⎰．分析由于积分区间关于原点对称，因此首先应考虑被积函数的奇偶性．解 21-⎰=211--+⎰⎰2是偶函是奇函数，有10-=⎰, 于是21-⎰=214⎰=04⎰=1044dx -⎰⎰由定积分的几何意义可知4π=⎰, 故2114444dx ππ-=-⋅=-⎰⎰．例23 计算3412e e ⎰．分析被积函数中含有1x及ln x ，考虑凑微分．解 3412e e ⎰=34e 3412e e⎰=⎰=3412e e =6π．例24 计算40sin 1sin xdx xπ+⎰．解 40sin 1sin x dx xπ+⎰=420sin (1sin )1sin x x dx x π--⎰=244200sin tan cos xdx xdx x ππ-⎰⎰ =244200cos (sec 1)cos d xx dx xππ---⎰⎰ =44001[][tan ]cos x x x ππ--=24π-例26 计算0a ⎰，其中0a >．解法1 令sin x a t =，则a⎰2cos sin cos tdt t tπ=+⎰201(sin cos )(cos sin )2sin cos t t t t dt t tπ++-=+⎰ 201(sin cos )[1]2sin cos t t dt t tπ'+=++⎰ []201ln |sin cos |2t t t π=++=4π．注如果先计算不定积分，再利用牛顿-莱布尼兹公式求解,则比较复杂，由此可看出定积分与不定积分的差别之一．例27 计算ln 0⎰．分析被积函数中含有根式，不易直接求原函数，考虑作适当变换去掉根式．解设u 2ln(1)x u =+，221udx du u =+，则ln 0⎰=22220(1)241u u u du u u +⋅=++⎰22222200442244u u du du u u +-=++⎰⎰ 22201284du du u =-=+⎰⎰4π-．例29 计算30sin x xdx π⎰．分析被积函数中出现幂函数与三角函数乘积的情形，通常采用分部积分法．解 30sin x xdx π⎰30(cos )xd x π=-⎰3300[(cos )](cos )x x x dx ππ=⋅---⎰30cos 6xdx ππ=-+⎰6π=-．例30 计算12ln(1)(3)x dx x +-⎰．分析被积函数中出现对数函数的情形，可考虑采用分部积分法．解 120ln(1)(3)x dx x +-⎰=101ln(1)()3x d x+-⎰=1100111[ln(1)]3(3)(1)x dx x x x +-⋅--+⎰ =101111ln 2()2413dx x x-++-⎰ 11ln 2ln324=-．例31 计算20sin x e xdx π⎰．分析被积函数中出现指数函数与三角函数乘积的情形通常要多次利用分部积分法．解由于2sin xe xdx π⎰20sin xxde π=⎰2200[sin ]cos xx e x e xdx ππ=-⎰220cos x e e xdx ππ=-⎰，（1）而20cos xe xdx π⎰20cos xxde π=⎰220[cos ](sin )xx e x e x dx ππ=-⋅-⎰20sin 1x e xdx π=-⎰，（2）将（2）式代入（1）式可得20sin xe xdx π⎰220[sin 1]x e e xdx ππ=--⎰,故20sin xe xdx π⎰21(1)2e π=+．例32 计算10arcsin x xdx ⎰．分析被积函数中出现反三角函数与幂函数乘积的情形，通常用分部积分法．解 10arcsin x xdx ⎰210arcsin ()2x xd =⎰221100[arcsin ](arcsin )22x x x d x =⋅-⎰21142π=-⎰．（1）令sin x t =，则21⎰220sin t π=⎰220sin cos cos ttdt tπ=⋅⎰220sin tdt π=⎰201cos 22t dt π-==⎰20sin 2[]24t t π-4π=．（2）将（2）式代入（1）式中得1arcsin x xdx =⎰8π．例33 设()f x 在[0,]π上具有二阶连续导数，()3f π'=且[()()]cos 2f x f x xdx π''+=⎰，求(0)f '．分析被积函数中含有抽象函数的导数形式，可考虑用分部积分法求解．解由于0[()()]cos f x f x xdx π''+⎰00()sin cos ()f x d x xdf x ππ'=+⎰⎰[]000{()sin ()sin }{[()cos ]()sin }f x x f x xdx f x x f x xdx ππππ'''=-++⎰⎰()(0)2f f π''=--=．故 (0)f '=2()235f π'--=--=-．，例35（00研）设函数()f x 在[0,]π上连续，且()0f x dx π=⎰，0()cos 0f x xdx π=⎰．试证在(0,)π内至少存在两个不同的点12,ξξ使得12()()0f f ξξ==．分析本题有两种证法：一是运用罗尔定理，需要构造函数0()()xF x f t dt =⎰，找出()F x的三个零点，由已知条件易知(0)()0F F π==，0x =，x π=为()F x 的两个零点，第三个零点的存在性是本题的难点．另一种方法是利用函数的单调性，用反证法证明()f x 在(0,)π之间存在两个零点．证法1 令0()(),0xF x f t dt x π=≤≤⎰，则有(0)0,()0F F π==．又00()cos cos ()[cos ()]()sin f x xdx xdF x xF x F x xdx ππππ==+⎰⎰⎰()sin 0F x xdx π==⎰，由积分中值定理知，必有(0,)ξπ∈，使得()sin F x xdx π⎰=()sin (0)F ξξπ⋅-．故()sin 0F ξξ=．又当(0,),sin 0ξπξ∈≠，故必有()0F ξ=．于是在区间[0,],[,]ξξπ上对()F x 分别应用罗尔定理，知至少存在1(0,)ξξ∈，2(,)ξξπ∈，使得12()()0F F ξξ''==，即12()()0f f ξξ==．例36 计算243dxx x +∞++⎰．分析该积分是无穷限的的反常积分，用定义来计算．解 2043dx x x +∞++⎰=20lim 43t t dx x x →+∞++⎰=0111lim ()213t t dx x x →+∞-++⎰ =011lim [ln ]23t t x x →+∞++=111lim (ln ln )233t t t →+∞+-+ =ln 32．例37计算3+∞⎰．解3+∞⎰2233sec tan sec tan d ππθθθθθ+∞=⎰⎰23cos 1d ππθθ==⎰ 例38计算42⎰分析该积分为无界函数的反常积分，且有两个瑕点，于是由定义，当且仅当32⎰43⎰均收敛时，原反常积分才是收敛的．解由于32⎰32lim aa +→⎰32lim aa +→⎰=32lim[arcsin(3)]aa x +→-=2π．43⎰=34lim bb -→⎰34lim bb -→⎰=34lim[arcsin(3)]b b x -→-=2π．所以42⎰22πππ=+=．例39计算0+∞⎰．分析此题为混合型反常积分，积分上限为+∞，下限0为被积函数的瑕点．解t =，则有+∞⎰＝50222(1)tdt t t +∞+⎰＝50222(1)dt t +∞+⎰，再令tan t θ=，于是可得 5022(1)dt t +∞+⎰＝25022tan (tan 1)d πθθ+⎰＝2250sec sec d πθθθ⎰＝230sec d πθθ⎰ ＝320cos d πθθ⎰＝220(1sin )cos d πθθθ-⎰ ＝220(1sin )sin d πθθ-⎰＝3/21[sin sin ]3πθθ-＝23．例40计算21⎰．解由于221114222222111()1112()d x x x dx dx x x x x x ---+-==+++-⎰⎰⎰，可令1t x x=-，则当2x =-时，2t =-；当0x -→时，t →+∞；当0x +→时，t →-∞；当1x =时，0t =；故有210142202211()()1112()2()d x d x x x dx x x x x x----=+++-+-⎰⎰⎰0222()22d t dt t t +∞--∞=+++⎰⎰ 21(arctan )2π=+ ．注有些反常积分通过换元可以变成非反常积分，如例32、例37、例39；而有些非反常积分通过换元却会变成反常积分，如例40，因此在对积分换元时一定要注意此类情形．例41 求由曲线12y x =，3y x =，2y =，1y =所围成的图形的面积．分析若选x 为积分变量，需将图形分割成三部分去求，如图5－1所示，此做法留给读者去完成．下面选取以y 为积分变量．解选取y 为积分变量，其变化范围为[1,2]y ∈，则面积元素为dA =1|2|3y y dy -=1(2)3y y dy -．于是所求面积为211(2)3A y y dy =-⎰=52．例42 抛物线22y x =把圆228x y +=分成两部分，求这两部分面积之比．解抛物线22y x =与圆228x y +=的交点分别为(2,2)与(2,2)-，如图所示5－2所示，抛物线将圆分成两个部分1A ，2A ，记它们的面积分别为1S ，2S ，则有1S =2222(8)2y y dy ---⎰=24488cos 3d ππθθ--⎰=423π+，218S A π=-=463π-，于是12S S =423463ππ+-=3292ππ+-．2x y =1y =3y x=o 1-3-321211-2-xy2y =图5－1342-2A 1A 12(2,2)-oxy22y x=228x y +=2-1-121-2-例43 求心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积．分析心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的图形如图5－3所示．由图形的对称性，只需计算上半部分的面积即可．解求得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=的交点为(,)ρθ=3(,)23π±，由图形的对称性得心形线1cos ρθ=+与圆3cos ρθ=所围公共部分的面积为A =223203112[(1cos )(3cos )]22d d πππθθθθ++⎰⎰=54π．例44 求曲线ln y x =在区间(2,6)内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成平面图形的面积最小（如图5－4所示）．分析要求平面图形的面积的最小值，必须先求出面积的表达式．解设所求切线与曲线ln y x =相切于点(,ln )c c ，则切线方程为1ln ()y c x c c-=-．又切线与直线2x =，6x =和曲线ln y x =所围成的平面图形的面积为图5－4A =621[()ln ln ]x c c x dx c -+-⎰=44(1)4ln 46ln62ln 2c c-++-+．由于dA dc =2164c c-+=24(4)c c --，令0dA dc =，解得驻点4c =．当4c <时0dAdc<，而当4c >时0dA dc >．故当4c =时，A 取得极小值．由于驻点唯一．故当4c =时，A 取得最小值．此时切线方程为：11ln 44y x =-+．例45 求圆域222()x y b a +-≤（其中b a >）绕x 轴旋转而成的立体的体积．解如图5－5所示，选取x 为积分变量，得上半圆周的方程为222y b a x =+-，下半圆周的方程为221y b a x =--．则体积元素为dV=2221()y y dx ππ-=224b a x dx π-．于是所求旋转体的体积为 3πθ=3cos ρθ=3211-xoy121-1xo y23121-45673ln y x=2x =6x =(,ln )c c (0,)b o222()(0)x y b a b a +-=>>xy1cos ρθ=+11V=4a b π-⎰=08b π⎰=284a b ππ⋅=222a b π．注可考虑选取y 为积分变量，请读者自行完成．例46 过坐标原点作曲线ln y x =的切线，该切线与曲线ln y x =及x 轴围成平面图形D ．（1）求D 的面积A ；图5－6计算，如图5－6所示．解（1）设切点横坐标为0x ，则曲线ln y x =在点00(,ln )x x 处的切线方程是0001ln ()y x x x x =+-．由该切线过原点知0ln 10x -=，从而0x e =，所以该切线的方程是1y x e=．从而D 的面积10()12y eA e ey dy =-=-⎰．例47 有一立体以抛物线22y x =与直线2x =所围成的图形为底，而垂直于抛物线的轴的截面都是等边三角形，如图5－7所示．求其体积．解选x 为积分变量且[0,2]x ∈．过x 轴上坐标为x 的点作垂直于x轴的平面，与立体相截的截面为等边三角形，其底边长为()A x 2=．于是所求体积为 V =20()A x dx ⎰=20⎰=。

定积分练习题

定积分练习题一、基本概念题1. 计算定积分 $\int_{0}^{1} (3x^2 + 4) \, dx$。

2. 计算定积分 $\int_{1}^{2} (x^3 2x) \, dx$。

3. 设函数 $f(x) = x^2 3x + 2$，求 $\int_{1}^{3} f(x) \,dx$。

4. 已知函数 $g(x) = \sqrt{1 x^2}$，求 $\int_{1}^{1} g(x) \, dx$。

5. 计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx$。

二、定积分的性质题6. 利用定积分的性质，计算 $\int_{0}^{2} (3x^2 + 4x) \,dx$。

7. 已知 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 2$，求 $\int_{1}^{2}f(x) \, dx$。

8. 设 $f(x)$ 是奇函数，证明 $\int_{a}^{a} f(x) \, dx = 0$。

9. 已知 $\int_{0}^{1} (f(x) + g(x)) \, dx = 5$，$\int_{0}^{1} (f(x) g(x)) \, dx = 3$，求 $\int_{0}^{1} f(x) \, dx$ 和 $\int_{0}^{1} g(x) \, dx$。

三、定积分的计算题10. 计算 $\int_{0}^{\pi} x \cos x \, dx$。

11. 计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \ln(\sin x) \, dx$。

12. 计算 $\int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx$。

13. 计算 $\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt{1 x^2}} \, dx$。

14. 计算 $\int_{0}^{2} |x 1| \, dx$。

四、定积分的应用题15. 计算由曲线 $y = x^2$，直线 $x = 2$ 和 $y = 0$ 所围成的图形的面积。

定积分例题

定积分例题例1、计算dx x ⎰π20sin分析：可利用积分的可加性将绝对值去掉解：dx x ⎰π20sin ππππππ2020cos cos )sin (sin x x dx x xdx +-=-+=⎰⎰ 4)]1(1[)11(=--+---= 例2、计算dx xxe⎰12ln 解：dx x x e ⎰12ln 31ln 31ln ln 1312===⎰ee x x xd例3、计算下列定积分1、dx xe x⎰2022、⎰e xdx x 1ln分析：利用分部积分法，定积分的分部积分公式是⎰⎰-=baba bavdu uv udv ，它与不定积分的区别在于每一项都带有积分上、下限。

解：1、dx xe x ⎰202)(2222202202dx e xe x x x ⎰⎰-==4)44(444202=--=-=e e e e x2、⎰exdx x 1ln )ln ln (21ln 21121212x d x x x xdx e e e ⎰⎰-==)1(4121412121212212212--=-=-=⎰e e x e xdx e ee)1(41414122+=+=e e 例4、计算下列无穷限积分：1、dx e x ⎰+∞-03； 2、dx xx e⎰+∞ln 1分析：由定义知，⎰⎰+∞→+∞=ba b a dx x f dx x f )(lim )(，对于无穷限积分⎰+∞adx x f )(的求解步骤为①求常义积分)()()(a F b F dx x f ba-=⎰；②计算极限)]()([lim a F b F b -+∞→ 解：1、dx e x⎰+∞-03)31(lim lim 0303bx b bxb e dx e-+∞→-+∞→-==⎰31)1(lim 313=--=-+∞→b b e 2、dx xx e⎰+∞ln 1+∞===+∞→+∞→⎰be b b e b x x d x ln ln lim ln ln 1lim 说明此无穷积分dx xx e⎰+∞ln 1是发散的例5、设)(x f ''在],[b a 上连续，证明：)]()([)]()([)(a f a f a b f b f b dx x f x ba-'--'=''⎰分析：利用定积分的分部积分公式证明证明：⎰⎰⎰'-'='=''ba ba ba b a dx x f x f x x f xd dx x f x )()()()( ba x f a f ab f b )()()(-'-'= )]()([)]()([a f a f a b f b f b -'--'=。

不定积分和定积分习题

f ( x) f ( x)dx f x df x 1 2 f x C 2
1 cos x sin 2 x C 2 2 1 x sin x
2
不定积分 dx 2 x x 1
u x 1
1 3 ln x 1dx 3
2 x ln x 1 dx

不定积分

e cos 2 x 2 e sin 2 xdx
x x
e
x
cos 2 xdx cos 2 xde
x
e x cos 2 x 2 sin 2 xde x
2 d x x 1 1 3 dx 2 2 2 x x 1 2 x x 1 3 1 dx 2 ln x x 1 2 2 2 2 3 1 x 2 2
......

不定积分

e
3 x
x 3 ue
练习题（不定积分、定积分）
y f x 0
a
0
x
x+dx
b
不定积分

sin x 已知 f ( x) 的一个原函数为，求 f ( x) f ( x)dx 1 x sin x 2 sin x cos x sin x 解： f x 2 1 x sin x 1 x sin x
x
sin x cos x 1 d sin x 1 sin 4 x dx 2 1 sin 2 x 2 1 2 arctan sin x C 2 x 2 dx dx 2 x 2 x 2 x 2 1

定积分练习题及答案

第五章定积分(A 层次)1．⎰203cos sin πxdx x ； 2．⎰-adx x a x222； 3．⎰+31221xxdx ；4．⎰--1145x xdx ； 5．⎰+411x dx ； 6．⎰--14311x dx ；7．⎰+21ln 1e xx dx； 8．⎰-++02222x x dx； 9．dx x ⎰+π02cos 1；10．dx x x ⎰-ππsin 4； 11．dx x ⎰-224cos 4ππ； 12．⎰-++55242312sin dx x x xx ；13．⎰342sin ππdx x x； 14．⎰41ln dx x x ； 15．⎰10xarctgxdx ； 16．⎰202cos πxdx e x ； 17．()dx x x ⎰π2sin ； 18．()dx x e⎰1ln sin ；19．⎰--243cos cos ππdx x x ； 20．⎰+4sin 1sin πdx xx ； 21．dx x xx ⎰+π02cos 1sin ；22．⎰-+2111ln dx xxx ； 23．⎰∞+∞-++dx x x 4211； 24．⎰20sin ln πxdx ； 25．()()⎰∞+++0211dx x x dxα()0≥α。

(B 层次)1．求由0cos 0=+⎰⎰xyttdt dt e 所决定的隐函数y 对x 的导数dxdy 。

2．当x 为何值时，函数()⎰-=xt dt te x I 02有极值？3．()⎰x x dt t dxd cos sin 2cos π。

4．设()⎪⎩⎪⎨⎧>≤+=1,211,12x x x x x f ，求()⎰20dx x f 。

5．()1lim22+⎰+∞→x dt arctgt xx 。

6．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它,00,sin 21πx x x f ，求()()⎰=x dt t f x 0ϕ。

7．设()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=时当时当0,110,11x e x xx f x，求()⎰-21dx x f 。

定积分练习参考答案

第五章定积分一．判断题 1.定积分的定义=⎰badx x f )(ini ix x f i ∆∑=→∆)(10lim ξ说明[]b a ,可任意分法，iξ必须是[]i i x x ,1-的端点．（ ⨯ ） 2.定积分的几何意义是相应各曲边梯形的面积之和．（ ⨯ ） 3.xdx x xdx x 2sin 22sin 022⎰⎰=-πππ（ ⨯ ） 4. 定积分的值是一个确定的常数.（ √ ）5 若(),()f x g x 均可积，且()()f x g x <，则()()bbaaf x dxg x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）6. 若()f x 在[],a b 上连续，且2()0baf x dx =⎰，则在[],a b 上()0f x ≡ （ √ ）7.若[][],,c d a b ⊂，则()()db caf x dx f x dx <⎰⎰ （ ⨯ ）8. 若()f x 在[],a b 上可积，则()f x 在[],a b 上有界（ √ ）9. 21111112-=-=--⎰xdx x ( × )10. ⎰⎰==+ππ20200cos 22cos 1xdx dx x ( × )11.()()1ln 2ln ln 11212---==----⎰x dx x ( × ) 12. 若被积函数是连续的奇函数，积分区间关于原点对称，则定积分值必为零。

( √ )二．选择题1.下列等式中正确的是(B )(A) ()()x f dx x f dx d ba =⎰ (B) ()()x f dx x f dxd =⎰ (C)()()()xa d f x dx f x f a dx=-⎰ (D) ()()x f dx x f ='⎰ 2.已知()dt t x f x⎰+=222,则()='1f ( A )(A)3- (B)36- (C)3 (D)63- 3.设函数()dt t y x⎰-=1,则y 有( B )(A) 极小值21 (B) 极小值21- (C) 极大值21(D)极大值21- 4.设b a ,为常数,若1sin 1lim 02220=+-⎰→dt ta t x bx x x ,则( B )(A)1,4==b a (B) 1,2==b a (C)0,4==b a (D)1,2==b a 5．1-=⎰（ B ）； A ．3π B ．23π C ．43π D ．53π6．524x dx -=⎰（ C ）； A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 7．设()f x '连续，则变上限积分()xa f t dt ⎰是（ C ）；A ．()f x '的一个原函数B ．()f x '的全体原函数C ．()f x 的一个原函数D ．()f x 的全体原函数8．设函数()f x 在[,]a b 上连续，则由曲线()y f x =与直线,,0x a x b y ===所围平面图形的面积为（ C ）；A ．()ba f x dx ⎰ B ．()baf x dx ⎰C ．()baf x dx ⎰D ．()(),f b a a b εε-<<9．定积分()baf x dx ⎰是（ A ）； A 、一个常数 B 、()f x 的的一个原函数 C 、一个函数族 D 、一个非负常数10．下列命题中正确的是（ D ）（其中()f x ，()g x 均为连续函数）。

定积分练习题

1．利用定积分定义计算由抛物线12+=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。

3333333311()()()()3311()()()()33A B C D b a b a b a b a b a b a b a b a +++++--+--++、、、、答案：C2. 比较大小： 211)ln xdx ⎰与dx x ⎰212)(ln ， dx e x ⎰10)2与⎰+1)1(dx x 。

A B C D 、小于、小于、大于、小于、小于、大于、大于、大于答案：D3.20x d dx=⎰ 。

222A B C x x xD x 、、、、答案：A4.32x x d dx =⎰ 。

2222A B C D 、、、、答案：B5. cos 2sin cos()x xd t dt dx π=⎰ 。

2222(sin cos )cos(sin )(sin cos )cos(cos )(sin cos )sin(sin )(sin cos )cos(sin )A xBC x x x x x x x x x xD x ππππ+⋅-⋅-⋅-⋅、、、、答案：D 6. 20cos limxx t dt x→=⎰。

01A B C D E F 、 -2 、 -1 、、、2 、-4答案：D7. 0ln(1sin )lim1cos xx t dt x→+=-⎰ 。

01A B C D E F 、 -2 、 -1 、、、2 、-4答案：D 8. 2220(1)limxt x x t e dtxe→+=⎰。

01A B C D E F 、 -2 、 -1 、、、2 、-4答案：D9. 当x 为何值时，函数⎰-=xt dt te x I 02)(有极值？。

01A B C D E F 、 -2 、 -1 、、、2 、-4答案：C 10.22411()x dx x+=⎰。

定积分练习题,DOC

1. 设连续函数f (x )>0，则当a <b 时，定积分⎠⎛a bf (x )d x 的符号( ) A ．一定是正的 B ．一定是负的C ．当0<a <b 时是正的，当a <b <0时是负的D ．以上结论都不对解析：由⎛b ⎛b【答案】 A由22,x x x +=解得两个交点坐标为（-1,0）和（0,0），利用微积分的几何含义可得封闭图形的面积为:23201111111((2)()|().32326S x x x dx x x --=-+=--=--=⎰6. 已知f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ，则当x ∈[－1,3]时，f (x )的最小值为________．解析： f (x )＝⎠⎛0x(2t －4)d t ＝(t 2－4t )| x 0＝x 2－4x ＝(x －2)2－4(－1≤x ≤3)，∴当x ＝2时，f (x )min ＝－4.答案：－47. 一物体以v (t )＝t 2－3t ＋8(m/s)的速度运动，在前30 s 内的平均速度为________．由∫－a 0[－f (x )]d x ＝274得a ＝－3.∴f (x )＝x 3－3x 2.10.已知f (x )为二次函数，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在[－1,1]上的最大值与最小值．解析： (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f ′(x )＝2ax ＋b .由f (－1)＝2，f ′(0)＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ a －b ＋c ＝2b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2－ab ＝0.∴f (x )＝ax 2＋(2－a )．又⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01[ax 2＋(2－a )]d x22)|2x -A ．2 B ．1 C ．3D ．4答案：C解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x2y ＝kx 消去y 得x 2－kx ＝0，所以x ＝0或x ＝k ，则阴影部分的面积为 ∫k 0(kx －x 2)d x ＝(12kx 2－13x 3) |k 0＝92. 即12k 3－13k 3＝92，解得k ＝3. 4. 一物体在力F (x )＝⎨⎪⎧10 (0≤x ≤2)(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x0),(0)0,f =02,a b ⨯+=6.（改编题）设20lg ,0(),3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰若((1))1,f f =则a 为。

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定积分练习题一．选择题、填空题1 p2 p3 p ....... n p1．将和式的极限 limP 1 ( p 0) 表示成定积分nn1 11 p dx 1 1 p dx 1 x pdxA ．dxB ． xC ． ( )D ． ()x11 0 1 0 x 0 n 2．将和式 lim (......... ) 表示为定积分nn 1 n 2 2n3．下列等于 1 的积分是1xdxB ． 11)dx11dx11A ． ( x C ． D ．dx24．14 | dx =| x 2A ．21B ．22C ．23D ．2533335．曲线 y cos x, x[0,3] 与坐标周围成的面积2C ．5A ． 4B ． 2D ． 321ex)dx =6． (e xA ． e 1B ． 2e2D ． e1eC ．ee7. 若 m1e xdx ， ne1dx ，则 m 与 n 的大小关系是（）1x（）．（）（）（）（）A ． mnB ． m nC ． m nD ．无法确定8.9．由曲线 yx 2 1 和 x 轴围成图形的面积等于S ．给出下列结果：11x 2)dx ；③ 21(1 x 2 )dx ．①( x21)dx ；② (1 (x21)dx ；④ 2111则 S 等于（） A ．①③B ．③④C ．②③D ．②④yx10. (sin t cost sin t )dt ，则 y 的最大值是（）A ． 1B ． 2C ．7 D ． 0217f ( x) 11.1 f ( x) dx 12 若 f ( x) 是一次函数，且5，xf ( x)dx，那么dx 的值是6 1x．15．设 f (x )sin xxf (x) cos2 xdx ( )3，则其余（A ）3（ B ）3（C ） 14417. 定积分等于 _______18. 定积分等于( )（A ）0 （B ）（C ）（D ）19. 定积分等于( )（ A ） 0（B ）（ C ）（ D ）20. 定积分等于 ( )（ A ） 0 （B ） 4 （ C ）（ D ）综合题：1x2 1(1)dx (2) ln(1 x)dxx2x 2（ D ）－ 112x cos 5x)dx(3) ( x 24 x 2 2(4)e dx2dxex(1 ln x)ln x(5)3(3 2x x 2 )2(6) 2tan 2x[sin 22x ln( x1 x2)]dx(7)2 1 dx224 x 2(14) 用定积分定义计算极限： lim(nn...n)2222 2nn1 n2nn定积分练习题1x) 1 x 2dx2.(1 ( )1（ A ）（ B ）（C ） 2（D ）243. 设 fC[0, 1]，且12 ，则 f (cos 2x) sin 2xdxf ( x)dx 2 ( )0 0（A ） 2 （B ）3 （ C ）4（D ）14. 设 f ( x) 在 [a,b] 上连续，且bf (x)dx 0 ，则（）。

a（ A ）在 [ a, b] 的某个子区间上， f ( x) 0 ；（ B ）在 [ a, b] 上， f ( x) 0 ；（ C ）在 [ a, b] 内至少有一点 c ， f (c) 0 ；（ D ）在 [ a, b] 内不一定有 x ，使 f ( x)0 。

25.x 3 2 x 2xdx =( )(A)4(22)4 (22 )4 2 8 2 (D) 4 2 8 21515353 51e xe xdx() 6..11(A)1 (B) 1 e(C)1 e(D)11 e1 e填空、选择题(1) 2 sin 8 xdx_______,2cos 7 xdx _______,x t sin tdt(2)lim0 ______;x)x 0 ln(1(3)2x 2 2x dx _______;1曲线 yx t(1的上凸区间是_______;(4) 1t )dt(5) 1 cos2xdx _______;设是连续函数，且，则： f ( x) ______;1x(1x 2005 )(e xe x )dx______; (7) 1(8) lim1 x 1)dt _______;ln(1xx 1t定积分练习题一．计算下列定积分的值321) 5 dx ；（3） 2 ( x sin x)dx ；（ 4） 2 cos 2 xdx ；（ 1） (4xx 2)dx ；（ 2） (x 112π111x 2e2（ 5）2cos 2d ( 2x 3) dx ；dx ； 0 2（6） 0 （7）1x 2 （ 8） edxx ln x；1 e x e x 3tan 2xdx9 1 4 dx（9）0 2 dx ；（10）0 （11） 4 ( x x )dx;（12）01 x ;e 1 (ln x) 2 dx2 52x 1 dx ;1x cos x sin 2xdx; （15） e sin xdx; （16）0 (x2 x 1)3 / 2（ 13） e （14）0 02 cos xdx; （18）1dx;（17）01 sin 2 0 e x e xx三．利用定积分求极限（ 1）lim n 1 1 1;(n 1) 2 ( n 2) 2 (n n) 2n（ 2）lim n(n2 1 2 1 1 2 );n 1 ( n 2) 2n定积分练习题一、填空题：如果在区间 [ a, b] 上, f (x) 1 ,则b1. f ( x)dx .a2.1(2 x 3)dx .设 f (x)x3. sin t 2dt ,则f ( x) .4. 设 f (x) 1 e t 2 dt ,则f ( x) .cosx5. 2cos5 xsin xdx 06. 2 sin 2n 1 xdx .27.1.1x3dx3x2 dx 38. 比较大小 ,1x3dx . 19. 由曲线 y sin x 与 x 轴,在区间 [0, ] 上所围成的曲边梯形的面积为.10. 曲线 y x2在区间 [0,1] 上的弧长为.二、选择题：1. 设函数 f(x)仅在区间 [0 ， 4] 3上可积，则必有f ( x) dx =[ ]23 13f ( x) dxA ．f (x)dx2 f ( x)dx B ．f (x)dx1C ． 53f (x)dx D ．103 f ( x)dxf (x)dx 5f ( x) dx1012x 2 dx ，则 [2.设I1= xdx ， I2= 1]A ．I 1I 2B ．I 1I 2C． I 1 I 2D． I 1I 23. y(t32) dt 则dyxxdxA ．2B ．-2C ．0D ．14.a3x) dx2, 则 ax(2A ．2B ．-1C．0D ．15. 设 f （ x ） =2(x0) 则 f (x) dx =[ ]x1x(x 0)1xdxB ． 2 12dxA ． 2 x112dx +1C ． x xdx D． xdxx2dx11xsin t 2dt6. limx 2x 0A ．1B ．1C ．0D ．123x7.F (x)e t costdt, 则 F ( x) 在 [ 0, ]上有 ( )(A) F ( ) 为极大值 , F (0) 为最小值F ( ) 为极大值 , 但无最小值22 (B) F ( ) 为极小值 , 但无极大值F ( ) 为最小值 , F (0) 为最大值229. 设 f ( x) 是区间 a, b 上的连续函数，且x 22f (t) dtx3 ，则 f (2)（）1(A) 2 (B) -2 (C)1 (D) 14410. 定积分=（）（ A ） 1（B ）（ C ）（ D ）11. 定积分 =（）（ A ）（ B ）（ C ）（D ）13. 设函数，则极限等于（）（ A ）（B ）（ C ）（ D ）不存在xx 2exf (tx)dt1，则 f ( x) 14. 设 f ( x) 为连续函数，且满足（）。

2（ A ）x e x（ B ） x e x（ C ） xe x（ D ） x e x15. 设正定函数 f C [ a , b) ， F ( x)xx 1 dt ，则 F ( x) 0 在f (t) dtf (x) ab( a , b) 内根的个数为( )（A ）0（B ）1 （C ） 2（ D ）3三．计算题：1.d x21 t 2dt2.2sin xdxdx(x t221dx0 e dt)3.4.lim2 x24x x 0te 2t dta1dx(a 0)4dx5.x 2 a 2 6.1xx1t21e x dx7.te 2dt8.。