形心矩和惯性矩精品PPT课件
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《材料力学惯性矩》课件
PART 04
惯性矩的应用
REPORTING
弯曲应力计算
总结词
在计算梁的弯曲应力时，惯性矩是一 个重要的参数。
详细描述
通过利用惯性矩的计算公式，可以确 定梁在承受垂直或水平力时的弯曲应 力分布。惯性矩的大小决定了弯曲变 形的程度，进而影响应力分布。
剪切应力计算
总结词
在分析剪切应力时，惯性矩起到关键作用。
建筑结构中的惯性矩问题
高层建筑在风力和地震作用下，需要具备足 够的惯性矩来抵抗侧向和扭转力。建筑设计 时需充分考虑不同方向的惯性矩，以确保结
构安全。
利用惯性矩优化结构设计
优化截面尺寸
根据工程需求，调整结构件的截面尺寸，以改变其惯性矩，从而提高结构的承载能力和 稳定性。
减重与加强
在满足强度要求的前提下，通过优化结构设计，减小不必要的材料使用，降低结构重量 。同时，对关键部位进行加强，提高其惯性矩，确保结构安全。
应力分析是研究物体在受力后内部应力的分布和大小
的过程。
方法
02 通过理论分析、实验测试和数值模拟等方法进行应力
分析。
重要性
03
确保结构在各种工况下的安全性和可靠性，防止因应
力集中、疲劳或过载等原因导致的断裂或失效。
应变分析
定义
应变分析是研究物体在外力作用下产生的变形和位移的过程。
方法
通过测量物体的尺寸变化、观察表面变形和利用有限元等方法进 行应变分析。
在稳定性分析中，惯性矩是评估结构稳定性 的重要参数。
详细描述
结构的稳定性与惯性矩的大小密切相关。通 过分析不同受力情况下惯性矩的变化，可以 预测结构的失稳趋势，并采取相应的措施提 高结构的稳定性。
PART 05
附录(惯性矩、静矩)ppt课件
4、平行移轴公式中，对形心轴的惯性矩最小。
5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。
材料力学
.
36
本章结束
材料力学
.
37
z1
z
y1
a
y
C
则 Iy 1 Iy 2 Iz Iy 2 Izc o s Iy zsin 2 Iy 2 Iz
a
同理
I z1
Iy
2
Iz
， I y1z1 0
两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所
有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任 一形心轴的惯性矩为常量。
z2
yC
z 20
对称轴上。
yC
A1y1 A2y2 A1 A2
② 求IzC
2 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 5 5 m m 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0
IzC =（200×203/12＋200×20×552）
＋（20×2003/12＋200×20×552）
Iy1、 Iz1、 I y1z1 都是角的有界周期函数
Iy1+Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数
材料力学
.
23
二、形心主惯性轴 形心主惯性矩
1、主惯性轴
若Iy1z1 = 0，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式
确定：
tan
20
2I yz Iy Iz
由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相
(已知b>a)：
（A）Iyz＞０ (C) Iyz=０
（B） Iyz<０ （D） Iy=Iz A
5、形心主惯性矩一个为最大，一个为最小。
材料力学
.
36
本章结束
材料力学
.
37
z1
z
y1
a
y
C
则 Iy 1 Iy 2 Iz Iy 2 Izc o s Iy zsin 2 Iy 2 Iz
a
同理
I z1
Iy
2
Iz
， I y1z1 0
两形心主惯性矩相等的几何图形，通过形心的所
有轴均为形心主惯性轴，且形心主惯性矩均相等。
此结论可推广到任意正多边形，即正多边形对任 一形心轴的惯性矩为常量。
z2
yC
z 20
对称轴上。
yC
A1y1 A2y2 A1 A2
② 求IzC
2 0 0 2 0 2 1 0 2 0 0 2 0 1 0 0 1 5 5 m m 2 0 0 2 0 2 0 0 2 0
IzC =（200×203/12＋200×20×552）
＋（20×2003/12＋200×20×552）
Iy1、 Iz1、 I y1z1 都是角的有界周期函数
Iy1+Iz1 = Iy＋ Iz = Ip = 常数
材料力学
.
23
二、形心主惯性轴 形心主惯性矩
1、主惯性轴
若Iy1z1 = 0，则 y1， z1 轴称为主惯性轴。其位置可由下式
确定：
tan
20
2I yz Iy Iz
由上式可求出相差90o的0，0+90o，分别对应于一对相
(已知b>a)：
（A）Iyz＞０ (C) Iyz=０
（B） Iyz<０ （D） Iy=Iz A
惯性矩抵抗矩面积矩PPT课件
1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到= 0 时；恰好有
I x0 y0
(
Ix
Iy 2
sin 20
I xy
cos 20
)
0
与 0 对应的旋转轴x 0 y 0 称为主惯性轴；平面图形对主轴之惯性矩主惯性矩。
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
第2页/共17页
例 I-1-1 是确定下图的形心。
解 ： 组合图形，用正负面积法解之。
y
1、用正面积法求解，图形分割及坐标如图（a）
C1（0，0）
C2 C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
I x y2dA
A
I y x2dA
A
二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。
I P r 2dA I x I y A
I xy xydA A
！如果 x 或 y 是对称轴，则，Ix y =0
第5页/共17页
§6-3 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似）
2
(
Ix
2
Iy
)2
I
2 xy
第11页/共17页
2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。平面图形对形心主轴 之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc
形心及惯性矩
圖 A-08
解答
01.(C) 02.(B) 03.(B) 04.(C) 05.(B) 06.(B) 07.(B) 08.(A)
- 86 -
§8-2 慣性矩の 觀 念 整 理
慣性矩與截面係數
1.面積一次矩(Q)：一平面內各小截面之面積與轉軸間之距離相乘，所得之代數和稱之。 2.面積二次矩(I)：一平面內各小截面之面積乘以與轉軸間距離之平方代數總和稱之。 3.慣性矩之特性： 材料之重心(形心)乃利用面積力矩法(源於力矩原理)求得。 慣性矩恒為正值，是純量而非向量。 慣性矩單位為長度之四次方。 任何截面形狀之最小慣性矩為：形心軸之慣性矩。 4.極慣性矩(J)：是指面積對其所在平面內兩互相垂直軸之慣性矩之總和。
圖 02
07.（B）如圖 03 所示，其單位 cm，試求其面積之形心( x ， y )約為： (A)(3，3) (B)(2.71，2.71) (C)(3，2.71) (D)(2.71，3)。
圖 03 08.（B）如圖 04 所示，試求其斜線面積之形心 y 約為： (A)4.75 ㎝ (B)5.0 ㎝ (C)5.25 ㎝ (D)5.5 ㎝。
。
17.（B）如圖 13 所示，斜線面積之形心之 x = y =？ (A) 0.27 r (B) 0.23r (C) 0.77 r (D) 0.73r 。
圖 13 18.（C）如圖 14 所示之圖形中，其面積形心
圖 14
y 為：
(A) 0.1cm (B) 2.1cm (C) − 0.98cm (D) − 1.38cm 。
公式＆技巧
形心求法
- 78 -
畫龍點睛の範例
【範例 8-1】 設A、B、C三質點之重量分別為18N、27N、45N，其平面座標依序為（2，5） 、 （7，−5） 、 （3，−7） ，座標長度單位為公尺，試求此三質點之重心座標位置 x 及 y 。 解析： ⇒ xi 即原點至該線段之 x 方向形心距離 ⇒ y i 即原點至該線段之 y 方向形心距離
形心 惯性矩
1)主轴:图形若对坐标轴的惯矩为零时,这对坐标轴就称为 主轴.且当主轴为形心轴时,就称为形心主轴.用α0来表示 主轴的方向. 2)主惯性矩:相对主轴的惯性矩就称为主惯性矩.
S yC A xC
SxC A yC
S y AxC Ai xCi xdA
A
S x AyC Ai yCi ydA
A
2.形心公式
xC
Ax
A
i i
yC
Ay
i
i
A
yC
ydA
A
A
xC
xdA
A
A
3.结论 当坐标轴过形心时，图形对自身形心轴的面积矩等于 零；反之，若图形对某轴的面矩为零时，此轴必过图形 的形心。
2
20
A1
• • •
Ⅱ
100 Ⅰ
z1 a1 30 zc
z2
100
•
A2
a2
2)求出A1和A2分别对自身形心 轴的惯性矩
b h 100 20 I z1 66.67 103 12 12
3 1 1 3
z
I z2
bh 201003 16.67 105 12 12
3 2 2
20
3.组合图形的形心和面积矩 1）组合图形 由简单图形（如三角形，圆形，矩形等）组合而成的 图形。
2）组合图形面积矩及形心的计算公式 等于各简单图形对同一轴的面积矩的代数和。即
S Z S Z 1 S Z 2 ... S Zn ydA ydA ...
A1 A2
ydA A y
3）求对整个截面形心ZC轴的惯性矩
2 I zC ( I z1 a12 A1 ) ( I z 2 a2 A2 )
惯性矩、抵抗矩、面积矩.ppt
tg2 0
2I xcyc I xc I yc
主惯性矩：I x0 I x I y
I y0
2
(
Ix
2
Iy
)2
I
2 xy
2、形心主轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩
2I
tg 2
xcyc
0
I I
xc yc
形心主惯性矩：
I
x
c0
I xc
C2
C1（0，0） 图（a） C2（-35，60）
C1
x
x
xi Ai
x 1
A1
x 2
A2
A
A1 A2
3510110 20.3 10110 8010
图（a）
y 6010110 34.7 10110 8010
y
2、用负面积法求解，图形分割及坐标
如图（b）
负面积
CC11 C2
x
C1（0，0） C2（5，5）
须 为
形
心
y
例6-3-1 求图示圆对其切线AB的惯性矩.
解 ：求解此题有两种方法：一是安
定义直接积分；二是用平行移轴
d
x定理等知识求。O来自建立形心坐标如图,求图形对形心轴
的惯性矩。
B
I
d
4
I
I
圆 2 I
P 32
xy
x
Ix
Iy
IP 2
d 4
64
I AB
Ix
d2A
d 4
64
d 4
4
5d 4
64
x
xi Ai
《材料力学惯性矩》课件
了解不同材料的弹性模量、泊松比和剪切 模量等力学性能参数，以便更好地理解和 应用材料力学的相关公式和定理。
掌握梁的弯曲和轴的扭转的基本 原理
通过学习梁的弯曲和轴的扭转的基本原理 ，掌握如何利用惯性矩解决工程实际问题 的方法和技巧。
实践应用
通过实践应用，将所学知识应用于解决实 际问题中，提高解决实际问题的能力和实 践经验。
计算方法
矩形截面
对于矩形截面，可直接计算其惯性矩。
圆环形截面
对于圆环形截面，其惯性矩等于圆环面积与圆周率π的乘积。
任意形状截面
对于任意形状截面，需要采用积分法计算其惯性矩。
分类与特性
分类
根据转动轴的位置，惯性矩可分为极惯性矩、静惯性矩和动惯性矩。
特性
惯性矩具有对称性，即当物体绕对称轴转动时，其惯性矩为零。此外，惯性矩 还具有叠加性，即多个物体组合时，其总惯性矩等于各个物体惯性矩之和。
航空航天器中的惯性矩应用
总结词
飞行稳定性、导航控制
详细描述
在航空航天器设计中，惯性矩对飞行稳定性和导航控制具有 重要影响。通过合理设计和控制航空航天器的惯性矩，可以 提高飞行器的飞行稳定性，保证导航控制的精度和可靠性， 确保飞行安全。
06 总结与展望
本章总结
惯性矩的概念
惯性矩是描述物体转动惯性的物理量，与物体的质量分布和旋转 轴的位置有关。
《材料力学惯性矩》PPT课件
目录
• 引言 • 材料力学基础 • 惯性矩概念 • 惯性矩的应用 • 案例分析 • 总结与展望
01 引言
课程简介
材料力学是研究材料在各种外力作用下产生的应 变、应力、强度、刚度和稳定性等行为的科学。
惯性矩是材料力学中的一个重要概念，它描述了 物体在受到外力矩作用时抵抗转动的能力。
最新形心矩和惯性矩精品课件
y1
2 y2
10
o x2
x
80
第八页，共32页。
§ І -2 极惯性(guànxìng)矩 惯性 (guànxìng)矩 惯性(guànxìng)积
z
定义(dìngyì)：
dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA
y 0
第九页，共32页。
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
n
Ai
y i
y
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai zi
z
i 1 n
Ai
i 1
第五页，共32页。
例 1-1 试确定图示截面(jiémiàn)心 C 的位置。
解：将截面(jiémiàn)分为 1，2 两个矩形。
y 10
取 x 轴和 y 轴分别(fēnbié)与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i1 n
组合截面的惯性矩和惯性积
一、 平行(píngxíng)移轴
公式
y
x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标
(zuòbiāo)系下的
o
xc , yc ——过坐截标面((zjiuémòibàinā)o的)。形心 c 且与 x ,
y
轴平 行的坐 标轴（形心轴）
dy
h
y
C
x
b
第十三页，共32页。
例 2 - 2 求圆形截面(jiémiàn)对其对称轴的惯 性矩 。
解：因为截面(jiémiàn)对其圆心 O 的
5.2 惯性矩和平行移轴公式ppt课件
同理
Iy IyC b2A Ix I y xCyC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
Ix IxC
Iy IyC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
精品课件
16
二、应用
解：
例
求
I
和
xC
I yC
200 yC
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
即：
Ix
Ai
2 x
Iy
Ai
2 y
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
I y ——图形对 y 轴的惯性半径 A
单位：m
精品课件
12
三、惯性半径
试问： 即： 注意：
IxAy2dAAix 2A yC2 ?
ix yC ?
ix yC
iy xC
精品课件
13
四、平行移轴公式
一、定理推导 二、应用
30 I
C而I xC NhomakorabeaI xC1
a 1
2 A1
200 157.5 30
200 303 5.5 7220 30m 0 4m
I
12
2.0310 7mm 4
xC1
a 1 57.5 x
C
a 2 57.5 xC2
I xC
I xC2
a 2
2 A2
30 2003 5.5 7220 30m 0 4m 3.9810 7mm 4
12
精品课件
17
例2
求
I
和
xC
I yC
解：
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
Iy IyC b2A Ix I y xCyC abA
——惯性矩和惯性积的平行轴定理
显然：
Ix IxC
Iy IyC
性质4：在平面图形对所有相互平行的坐标轴的惯性矩
中，以对形心轴的惯性矩为最小。
精品课件
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二、应用
解：
例
求
I
和
xC
I yC
200 yC
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
即：
Ix
Ai
2 x
Iy
Ai
2 y
ix
I x ——图形对 x 轴的惯性半径 A
iy
I y ——图形对 y 轴的惯性半径 A
单位：m
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三、惯性半径
试问： 即： 注意：
IxAy2dAAix 2A yC2 ?
ix yC ?
ix yC
iy xC
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四、平行移轴公式
一、定理推导 二、应用
30 I
C而I xC NhomakorabeaI xC1
a 1
2 A1
200 157.5 30
200 303 5.5 7220 30m 0 4m
I
12
2.0310 7mm 4
xC1
a 1 57.5 x
C
a 2 57.5 xC2
I xC
I xC2
a 2
2 A2
30 2003 5.5 7220 30m 0 4m 3.9810 7mm 4
12
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例2
求
I
和
xC
I yC
解：
IxC IxC IxC 6.0110 7mm 4
材料力学惯性矩ppt课件
取微面积dA=dzdy，则：I zy 0;
例5-3 圆形截面对其形心轴的惯性矩。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=2zdy,则：
2 R 2 2 2
I z y dA 2 y R y dy ; A R 4 64 D 4 由对称性：I y I z ; 由几何关系： 2＝y 2 z 2 , 64
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3
第二节 惯性矩和惯性积
一、极惯性矩： 定义：平面图形中任一微面积dA与它到坐 标原点Ｏ的距离ρ平方的乘积ρ2dA,称为该面积 dA对于坐标原点o的极惯性矩。
截面对坐标原点o的极惯性矩为：
I P 2 dA;
A
简单图形的极惯性矩可由定义式积分计算。
实心圆截面： I P 2dA 32 ; D 4 d 空心圆截面： I P (1 4 ); ( )
5
例5-2 求矩形截面对其对称轴的惯性矩和惯性积。 解：取yoz坐标系。取微面积dA=bdy,则：
bh3 I z y dA y bdy ; A h / 2 12
2 h/2 2
取微面积dA=hdz,则：
2 b/2 2
hb3 I y z dA z hdz ; A b / 2 12
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
I z1 y1 I zy abA ;
注意：y、z轴必须是形心轴。 二、转轴公式：
2
I z1 y1 dA ( y cos z sin ) 2 dA;
I z1
I y1
Iz Iy
R 4
D 4
I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
材料力学惯性矩ppt课件
z z1 z 2 117 2 17105 3.34105 cm4 ;
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9
小
结
S y z dA A zc ; 一、静矩： S z A y dA A yc ; A 性质：截面对某轴的静矩为零时，该轴必通过截面形心；
64 12 几何关系： I P 2 dA ( y 2 z 2 )dA I Z I y .
A A
圆形截面：I y I z
D 4
;
四、惯性积： I z y dA; zy A
五、平行移轴公式：
2 I z1 z a 2 A; y1 y b A;
S z Ai yci ;
i 1
S y Ai zci ;
i 1
n
四、组合截面形心公式：
yc
A y
i 1 i
n
ci
A
i 1
n
;
zc
A z
i 1 i
n
ci
i
A
i 1
n
;
i
例5-1 求图示T形截面形心位置。 解：取参考坐标轴y、z,由对称图形,zc=0。 分解图形为１、２两个矩形，则
I zy z y dA;
A
特点：①惯性积是截面对某两个正交 坐标轴而言。不同截面对同一对轴或同一截面对不同轴的惯性积 均不同。惯性积是代数值。 ②若截面有一根为对称轴,则该截面对包括此对称轴在 内的一对正交坐标轴的惯性积必为零。
4 4 单位： m , mm ;
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3
第二节 惯性矩和惯性积
形心矩和惯性矩_图文
2 Ix Iy
Ix Iy
I x1 y1
2 2 Ix Iy sin 2α I xy cos 2α 2
Ix
2 Iy
cos 2α I xy sin 2 α
cos 2α I xy sin 2α
上式称为转轴公式
y1 y
显然
x1
o
x
I x1 I y1 I x I y
i 1 n i 1
Ai x i
n
y1
o
y2
2 10
A1 y1 A2 y 2 y A1 A2
x2
80
x
矩形 1
A1 10 120 1200 mm
2
y
10
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2 1
x1
A2 10 70 700 mm
70 10 45mm x2 2
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1 y1
Ix Iy 2
2
y1
o
2
y2
10
x2
80
x
y 2 5mm
所以
x
A 1 x1 A 2 x 2 3 7 50 0 2 0 mm A1 A 2 1 9 00
A 1 y1 A 2 y 2 7 5 50 0 y 4 0 mm A1 A 2 1 9 00
y
10
1
x1
C( y, x )
i
计算组合截面形心坐标的公式如下：
y
A y
i 1 i
n
i
A
i 1
n
z
A z
截面的静矩和形心位置及惯性矩的计算课件
数值模拟与优化
利用数值模拟技术，如有限元方法、边界元方法等，可以更精确地计算 截面的静矩和形心位置及惯性矩，并在此基础上进行结构优化设计。
03
多学科交叉
未来研究可以结合多个学科领域，如物理学、化学、生物学等，以更全
面地理解截面的静矩和形心位置及惯性矩的本质和规律，推动相关领域
的发展。
感谢您的观看
THANKS
详细描述
对于任意形状截面，其静矩可以通过对截面进行微分， 然后计算每个微元面积与微元重心到截面边缘的距离乘 积，最后对所有微元的静矩进行积分得到。形心位置可 以通过对截面进行微分，然后计算每个微元的面积与微 元重心坐标的平均值得到。惯性矩可以通过对截面进行 微分，然后计算每个微元的面积、微元重心到截面边缘 的距离以及微元的转动惯量，最后对所有微元的转动惯 量进行积分得到。
矩值。
通过公式计算其半径和 圆周率，得出惯性矩值。
通过公式计算其长轴、 短轴和圆周率，得出惯
性矩值。
不规则截面
需采用数值分析方法进 行近似计算或通过实验
测量得出。
03
截面几何特性的应用
结构强度分析
静矩
静矩是截面内力的一个重要参数，用于计算截面在受力时的稳定性。静矩的计算公式为 ∫(y*dA)，其中y为截面各点到截面中心的距离，dA为面积微元。
形心位置
形心是截面的几何中心，其位置决定了截面的质量分布和转动惯量。形心位置可以通过积分 计算得到，公式为∫dA/A∫dxdy，其中A为截面面积。
惯性矩
惯性矩是衡量截面抗弯能力的重要参数，其计算公式为∫y^2dA，其中y为截面各点到形心距 离，dA为面积微元。
结构稳定性分析
结构失稳
当结构受到的外部载荷超 过其承载能力时，结构会 发生失稳，导致结构变形 甚至破坏。
《形心矩和惯性矩》课件
振动控制
振动控制是形心矩和惯性矩应用的另一个重要领域。在振动 控制中，形心矩和惯性矩用于描述物体的振动特性和响应。 通过合理地设计结构和选择材料，可以有效地抑制物体的振 动和噪音。
在机械、航空航天和电子产品等领域中，振动控制是一个重 要的研究方向。例如，在机械设计中，通过分析机器的形心 矩和惯性矩，可以优化机器的结构设计，降低机器的振动和 噪音，提高机器的工作效率和可靠性。
《形心矩和惯性矩》PPT课件
• 形心矩 • 惯性矩 • 形心矩与惯性矩的关系 • 形心矩和惯性矩的应用 • 总结与展望
01 形心矩
定义与性质
定义
形心矩是描述二维图形或三维实 体在某点处的质量分布情况的物 理量。
性质
形心矩具有方向性，其方向与形 心位置和形状有关；形心矩的大 小与形状、尺寸和密度有关。
计算方法
计算公式 矩形 圆形
简化计算
对于矩形，其关于某轴的惯性矩I=∫(y^2)∫(x^2)ρdxdy，其中ρ 为物体的密度，积分范围为整个物体的体积。
I=bh^3/12，其中b为宽度，h为高度。
I=πd^4/64，其中d为直径。
对于一些规则形状的物体，可以使用查表或公式进行简化计算 。
实例分析
计算方法
规则图形
对于规则图形，如矩形、圆形等，可 以直接使用公式计算形心矩。
不规则图形
对于不规则图形，需要先计算每个小 区域的形心，再根据质量分布情况计 算总形心矩。
实例分析
01
02
03
矩形
对于矩形，其形心矩可以 通过公式直接计算得出。
圆环
对于圆环，其形心矩的计 算需要考虑内外半径和质 量分布情况。
动力学分析
动力学分析是形心矩和惯性矩应用的 另一个重要领域。在动力学分析中， 形心矩和惯性矩用于描述物体的运动 特性和响应。通过分析物体的动力学 方程，可以预测物体在不同外力作用 下的运动轨迹、速度和加速度。
形心 惯性矩
I y1 I Z1 I y IZ 2 I y IZ 2 2 I y IZ 2 I y IZ 2 cos 2a I yz sin 2a cos 2a I yz sin 2a
I Y 1Z 1
I y IZ
sin 2a I yz cos 2a
3.主轴及主惯性矩:
返回
§I-2
惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(与转动惯量类似） 它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
I x y 2 dA
A
y
I y x 2 dA
注意：
A
x
dA y x
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同； 2）惯性矩永远为正值； 3）惯性矩的单位为m4;
2、惯性半径(单位为m) 表达式为
ix Ix A iy Iy A
y
x
dA y x
3、极惯性矩： 它是图形面积对极点的二次矩。
I P 2dA
A
2 x 2 y 2 I P ( x 2 y 2 )dA I y I x
A
IP Ix I y
图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
2.表达式：
惯性积
y
I yz yzdA
3.说明：
A
h
A1 A2
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； 2）惯性积可正，可负，可为零。 3）惯性积的单位：m4 4.结论：
z b b
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时图形对此轴的惯性积为零反之若图形对坐标系的惯性积为零时此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴
I Y 1Z 1
I y IZ
sin 2a I yz cos 2a
3.主轴及主惯性矩:
返回
§I-2
惯性矩、惯性积、极惯性矩
1、惯性矩：(与转动惯量类似） 它是图形面积与它对轴的距离的平方之积表达式为
I x y 2 dA
A
y
I y x 2 dA
注意：
A
x
dA y x
1）同一截面对不同的轴惯性 矩不同； 2）惯性矩永远为正值； 3）惯性矩的单位为m4;
2、惯性半径(单位为m) 表达式为
ix Ix A iy Iy A
y
x
dA y x
3、极惯性矩： 它是图形面积对极点的二次矩。
I P 2dA
A
2 x 2 y 2 I P ( x 2 y 2 )dA I y I x
A
IP Ix I y
图形对正交坐标轴的惯性矩之和等于它 对此二轴交点的极惯性矩
2.表达式：
惯性积
y
I yz yzdA
3.说明：
A
h
A1 A2
1）同一图形对不同轴的惯性积不同； 2）惯性积可正，可负，可为零。 3）惯性积的单位：m4 4.结论：
z b b
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时，图形 对此轴的惯性积为零，反之，若图形对坐标系的惯性 积为零时，此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴。
当坐标系的两轴中的任一轴为图形的对称轴时图形对此轴的惯性积为零反之若图形对坐标系的惯性积为零时此坐标轴中必有一轴为图形的对称轴
附录惯性矩与惯性积_图文
推论： 若已知
y
则可确定z轴、y轴通过截面形心。
性质1：若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然 通过图形的形心；反之，若某轴通过图形的形心，则图 形对该轴的静矩等于零。形心一定位于对称轴上。
三、组合截面的静矩与形心
1
2
2
1
3
组合截面可以划分为若干个简单截面。
将任意截面划分为n组成部分。每一部
O
z 分的形心坐标为
3
1
n
根据静矩的定义：整个图形对某
2
一轴的静矩等于各个分图形对同一
轴的静矩之和。
y
推论：求组合截面图形形心公式
例题：求组合图形的形心
O1
y1
z
yc
C
y2
2
y
计算过程教材见323页例A-2。
整个图形的形心 C 的坐标为
FI-2 惯性矩 一、截面惯性矩
O
ry
z
z
A
dA
y²dA
ydA 图形对z轴的静矩
A
y
zdA 图形对y轴的静矩
A
静矩数值可能为正，可能为负，也可能为零。单位：
二、截面形心
O zc
yc y C
z
A
dA
点C(yc，zc)为平求静矩的另一公式
如果点C为直角坐标系的原点，y、z轴称为形心轴。
C
z
A
结论：平面图形对形心轴的静矩为零。
当y坐标轴逆时针转时a为正。
二、主轴与主惯性矩
主惯性轴——惯性积为零的一对正交轴，简称主轴
唯一吗？
确定主轴的方位 主惯性矩——图形对主惯性轴的惯性矩 形心主惯性轴——通过图形形心的主惯性轴 形心主惯性矩——图形对形心主惯性轴的惯性矩 图形的对称轴是形心主惯性轴
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逆時针转取为 + 号，
x1
顺時针转取为 – 号
o
x
I x1
Ix
Iy 2
Ix
I y cos 2α
2
I xy sin 2α
I y1
Ix
Iy 2
Ix
2
Iy
cos 2α
Байду номын сангаас
I xy
sin 2α
I x1 y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy
cos 2α
y y1
o
x1
x
上式称为转轴公式 显然
I x1 I y1 I x I y
一、 平行移轴公式
y x , y ——任意一对坐标轴
C —— 截面形心
a
（a , b ) _____ 形心 c 在 xoy 坐标系下的
坐标。
o
xc , yc ——过截面的形心 c 且与 x , y 轴平 行的坐 标轴（形心轴）
yc
C(a,b)
xc
b
x
Ix , Iy , Ixy _____ 截面对 x , y 轴的惯性矩和惯性积。
y 0
截面对 y ,z 轴的惯性矩分别为
Iy A z2dA Iz A y2dA
因为 ρ2 y2 z2
I p Aρ2 dA
所以 Ip = Ix + Iy
y
y
dA
x
x 0
截面对 x , y 轴的惯性积为
Ixy A xydA
惯性矩的数值恒为正，惯性积则可能为正值，负值，
也可能等于零。
y
i1
y A1 y1 A2 y2 A1 A2
y 10
x1 1
y1
o x2
80
y2
2 10 x
矩形 1 A1 10 120 1200mm2
x1 5mm
y1 60mm
矩形 2
A2 10 70 700mm2
x2
10
70 2
45mm
y2 5mm
y 10
1 x1
y1
o
2 y2
10
x2
x
80
若 x , y 两坐标轴中有一个为
dA y
截面的对称轴，则截面对 x , y 轴的 惯性积一定等于零 。
dx dx x
截面对 x , y 轴的惯性半俓为
iy
Iy , A
ix
Ix A
例 2 _ 1 求矩形截面对其对称轴 x , y 轴的惯性矩。
解：
dA = b dy
Ix
A
y2dA
h
2h 2
by2dy
二 、 截面的主惯性轴和主惯性矩
I x1y1
Ix
2
Iy
sin 2α
I xy cos 2α
主惯性轴 —— 总可以找到一个特定的角 0 , 使截面对新坐标 轴 x0 , y0 的惯性积等于 0 , 则称 x0 , y0 为主惯轴。
主惯性矩——截面对主惯性轴的惯性矩。
形心主惯性轴 ——当一对主惯性轴的交点与截面的形心 重合时，则称为形心主惯性轴。
计算组合截面形心坐标的公式如下：
n
Ai
y i
y
i 1 n
Ai
i 1
n
Ai zi
z
i 1 n
Ai
i 1
例 1-1 试确定图示截面心 C 的位置。
解：将截面分为 1，2 两个矩形。
取 x 轴和 y 轴分别与截面 的底边和左边缘重合
n
x
Ai xi
i1 n
Ai
A1 x1 A1
A2 x2 A2
形心主惯性矩—— 截面对形心主惯性轴的惯性矩。
主惯性轴的位置：设 为主惯性轴与原坐标轴 之间的夹角，
则有 由此
I I x I y 2 sin 2 0 xy cos 2 0 0
tg 20
2I xy
Ix Iy
求出后，主惯性轴的位置就确定出来了。
§І-1 截面的静矩和形心位置
一、 定义
z
截面对 z , y 轴的静矩为：
dA
S z A ydA
z
S y AzdA
oy
y
静矩可正，可负，也可能等于零。
截面的形心 C 的坐标
公式为：
y A ydA S z
A
A
z
z
z
dA
c
z AzdA S y
o
y
y
A
A
y
Sz Ay
S y Az
若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心。
截面对形心轴的静矩等于零。
二 、 组合截面 由几个简单图形组成的截面称为组合截面
截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，就等于该截 面对于同一轴的静矩。
组合截面静矩的计算公式为
n
S
z
Ai
y i
i1
n
S y Ai zi i1
其中： Ai —— 第 i 个简单截面面积
(
y, i
zi)
——
第 i个简单截面的形心坐标
bh3 12
Ix A y2dA
y
Iy
hb3 12
dy
h
y
C
x
b
例 2 - 2 求圆形截面对其对称轴的惯性矩 。
解：因为截面对其圆心 O 的
极惯性矩为 y
Iρ
π d4 32
Ix Iy Iρ
x
Ix Iy
所以
Ix
Iy
π d4 64
§ І -3 惯性矩和惯性积的平行移轴公式 组合截面的惯性矩和惯性积
20 140
zc
20
1
yc
2
y
100
A1 20 140 A2 100 20
Z1 80 Z2 0
所以截面的形心坐标为
ZC
A1 Z1 A1
A2 Z2 A2
46.7mm
20 140
zc
20
1
yc
ZC
2
y
100
I1yC
1 12
20
1403
20
140
(80 46.7 )2
I
2 yC
1 12
100
203
100
20
(46.7)2
zc
20
I yC
I1yC
I
2 yC
12.12
106 m4
1
yc
ZC
2
20 140
y
100
§ І -4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩
一、 转轴公式
xoy 为过截面上的任 – 点建立的坐标系 x1oy1 为 xoy 转过 角后形成的新坐标系
y y1
惯性积。
组合截面的惯性矩，惯性积
n
I x I xi i1
n
I y I yi i1
n
I xy I xyi i 1
例 3 -1 求梯形截面对其形心轴 yc 的惯性矩。
解：将截面分成两个矩形截面。
截面的形心必在对称轴 zc 上。 取过矩形 2 的形心且平行 于底边的轴作为参考轴， 记作 y 轴 。
Ixc ,Iyc , Ixc yc —— 截面对形心轴 xc , yc 的惯性矩和惯性积。
则平行移轴公式为
y
yc
I x I xc a2 A
Iy Iyc b2 A
I xy I xcyc abA
a
C(a,b)
xc
ob
x
二、组合截面的惯性矩 惯性积
Ixi , Iyi , Ixyi —— 第 i个简单截面对 x ,y 轴的惯性矩、
所以
x
A1 x1 A 2 x2 A1 A2
37500 1900
20mm
y
A1 y1 A 2 y2 A1 A2
75500 1900
40mm
y 10
1 x1
C(y, x)
y1
2 y2
10
o x2
x
80
§ І -2 极惯性矩 惯性矩 惯性积
定义：
z dA
z
截面对 o 点的极惯性矩为
y
Ip Aρ2dA