§2 二维离散型随机变量及其分布
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解 ⑴ 不放回的情况:利用乘法公式可计算得
3 2 3 P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0 X 0} ; 5 4 10 3 3 同理可求得 P{ X 0, Y 1} , P{ X 1, Y 0} , 10 10 X 1 0 1 P{ X 1, Y 1} , Y 10 3 3 0 所以 ( X , Y ) 的分布律为 10 10
i j
ij
所以 b 0.2 . 1知,0.7 a b 1 ,
X Y
1 0.2 0.1
0 0.1 0.1
1 0.3 0.2
⑵ 由⑴得 ( X , Y ) 的分布律为
0 1
故: P{X Y } P{X 0, Y 0} P{X 1, Y 1} 0.1 0.2 0.3 .
p
i j
ij
1.
5
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
P{X xi , Y y j } pij , i 1, 2,, j 1, 2, ,
则 ( X , Y ) 具有下列结论. 结论 2.1 结论 2.2
P{( X , Y ) D}
( xi , y j )D
性质 2.1
设二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
P{X xi , Y y j } pij , i 1, 2,, j 1, 2, ,
则有⑴ pij 0 , i 1, 2,, j 1, 2, ;⑵ 性质 2.1 不难验证,证明从略.
【注】 如果 pij (i 1, 2,, j 1, 2,) 满足性质 2.1 中的⑴和 ⑵,则 pij (i 1, 2, , j 1, 2,) 必能构成某二维离散型随机 变量 ( X , Y ) 的分布律.
p21
pi1
p22 pi 2 p2 j pi j
2
例 2.1
设同一品种的五个产品中,有两个次品,每次从中取一
个检验,连续两次.设 X 表示第一次取到的次品个数; Y 表示 第二次取到的次品个数.试分别就⑴不放回;⑵有放回两种情 况,求出 ( X , Y ) 的概率分布.
§2
二维离散型随机变量及其分布
一、二维离散型随机变量及其分布律的概念
定义 2.1 如果二维随机变量 ( X , Y ) 的所有可能取值为有限对 或可列对,就称 ( X , Y ) 为 二维离散型随机变量.
定义 2.2 设 ( X , Y ) 为二维离散型随机变量,其所有可能的取 值为 ( xi , y j ) ,其中 i 1, 2,, j 1, 2, ,且
pij ,其中 D 为任一平面区域.
( X , Y ) 的分布函数为
F ( x, y ) P X x, Y y
xi x y j y
p
ij
,
x , y .
6
例 2.2
已知二维随机变量 ( X , Y ) 的分布律为
X Y 0 1
1
0
1
来自百度文库
0.2 0.1
a 0.1
0.3 b
且 F (0,1.5) 0.5 .⑴ 求常数 a , b 的值;⑵ 计算 P{ X Y } .
解 ⑴ 由 F (0,1.5) P{X 0, Y 1.5} 0.5 ,得 0.4 a 0.5 , 故 a 0.1 . 又由
p
1
3 10
1 10
3
续解 ⑵ 有放回的情况:与⑴相仿,利用乘法公式可计算得
3 3 9 ; P{ X 0, Y 0} P{ X 0}P{Y 0 X 0} 5 5 25 6 6 同理可得: P{ X 0, Y 1} , , P{ X 1, Y 0} 25 25 4 ,故有放回的情况下, ( X , Y ) 的分布律为 P{ X 1, Y 1} 25 X 0 1 Y 9 6 0 25 25 6 4 1 25 25 4
P{X xi , Y y j } pij , i 1, 2,, j 1, 2, ,
就称上式为二维离散型随机变量 ( X , Y ) 的分布律或 X 和 Y 的 联合分布律,
1
二维离散型随机变量的分布律也记列表为
X
Y
x1
p11 p12 p1 j
x2
xi
y1 y2 yj