优选线性时不变系统的时域分析

x[n]
b0
w[n]
x[n]
y[n]
b0
y[n]
D b1
D -a1
D
-a1
b1
D
D
b2“直接I型”-a2
“直D接II型”
优选线性时不变系统的时域分 析
§2.4 卷积和
§2.4.1 卷积和的定义和求解
x[n] ... x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2] ...
x[n] x[k][n k]
k
H [n] h[n]
y[n] H x[n]
离散时间系统的任意激励信 号x[n]可以表示为单位样值
x[n] h[n]
hinv[n] w[n]
x[n]
恒等系统δ[n]
v[n]
系统的输出w[n]=x[n]
§2.5.3 LTI系统的因果性
➢对于连续时间因果LTI系统，有 h(t) 0 t 0
y(t) t x( )h(t )d
➢对于离散时间因果LTI系统，必有
h[n] 0 n 0
n
y[n] x[k]h[n k]
❖序列h[n]仅在 [N3, N4]间有非零数值，序列 长度L2=N4-N3+1，
❖卷积和y[n]=x[n]*h[n]仅在 [N1+N3, N2+N4] 间有非零数值，卷积和y[n]的序列长度 L=L1+L2-1。
§2.4.2 卷积和的性质
➢交换律 x[n]*h[n] h[n]* x[n]
➢分配律 x[n]*h1[n] h2[n] x[n]* h1[n] x[n]* h2[n]
❖系统方程
y[n] Kx[n]
❖单位冲激响应
h[n] K[n]
§2.5.2 系统的可逆性
➢如果系统的输入可由该系统的输出恢复 出来，则该系统是可逆的系统。如果一 个LTI系统可逆，那么就存在一个将原系
统的输出作为输入并能输出原系统的输 入信号的逆系统。
h(t)*hinv (t) δ(t)
h[n]*hinv[n] δ[n]
❖解：根据表2-3所示的列表规律，列表下所示，由 此可计算出：
o y[n]={1, 6, 10, 10, 20, 14, 13, 6}, (n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的序列长度
❖若序列x[n]仅在[N1, N2]间有非零数值，序 列长度L1=N2-N1+1；
k
§2.5.4 LTI系统的稳定性
➢稳定性：输入有界则输出必定有界 (BIBO)
❖连续时间LTI系统是稳定系统的充分必要 条件：单位冲激响应绝对可积
h[k]
k
❖离散时间LTI系统稳定性的充分必要条件：单位 样值响应绝对可和
h( ) d ຫໍສະໝຸດ Baidu
§2.6 LTI系统的框图表示
➢基本运算的部件及其框图表示
➢卷积和的计算过程
❖(1)以k作为自变量，画出x[k]和h[k]的信号波形。 ❖(2) 将h[k]以纵轴为对称轴反褶，得到h[-k]。 ❖(3) 将h[-k]随变量n平移得到h[n-k]。
o 如果n是负数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向左时移； o 如果n是正数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向右时移。
序列[n]的线性组合。
y[n]
H
x[n][n k]
k
卷积和
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
k
一个离散时间线性时不变系统对任意输入的响应可 以用系统单位样值响应的线性组合来表示。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-28】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
n
y[n] x[n]* h[n] x[k]h[n k]
k 0
❖假如x[n]或h[n]的第一项不是从n=0开始，则y[0] 是含有行和列的第零项之叉乘积项的两条对角线 之间各项的和。列表法特别适合于求两个有限长 序列的卷积和。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-30】 计算x[n]={1, 2, 0, 3, 2}(n=-2, -1, 0, 1, 2)与h[n]={1, 4, 2, 3}(n=-1, 0, 1, 2)的卷积和。
❖(4) 将x[k]和h[n-k]各对应点相乘。 ❖(5) 对某个选定的n值，将相乘后的各点值相加，
即得到了系统在n时刻的响应值y[n]。改变n值，重 复(3)、(4)、(5)步，直到计算出全部的y[n]的值。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-29】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的计算-列表法
➢结合律 x[n]*h1[n]* h2[n] x[n]* h1[n]* h2[n]
➢与[n]的卷积 x[n]*[n] x[n]
➢[n-n0]是n0点的延时器 x[n]*[n n0] x[n n0]
➢u[n]是累加器
n
x[n]*u[n] x[k]
k
§2.5 LTI系统性质
➢LTI系统的输入输出行为完全可以由 其单位冲激响应或单位样值响应来表 征。因此，系统的特性(如记忆性、 因果性、可逆性和稳定性)是与系统 的单位冲激响应或单位样值响应相联 系的，所以可以通过单位冲激响应或 单位样值响应对LTI系统的性质作进 一步的研究。
§2.5.1 无记忆的LTI系统
➢无记忆系统在任何时刻的输出只与该时刻的输 入有关；
➢有记忆系统在任何时刻的输出不仅与该时刻的 输入有关而且与该时刻以前的输入有关。
➢无记忆的连续时间LTI系统(充分必要条件)
❖系统方程
y(t) Kx(t)
❖单位冲激响应
h(t) K (t)
➢无记忆的离散时间LTI系统(充分必要条件)
(a) 倍乘器
(b) 加法器
x(t)
y(t)=x(t)+w(t)
x(t) a y(t)=ax(t)
x[n]
y[n]=x[n]+w[n]
x[n]
y[n]=ax[n]
w(t)
w[n]
(c) 连续时间系统的积分器 (d) 离散时间系统的延迟器
t
x(t)
y(t) x( )d
x[n]
y[n]=x[n-1]
D
§2.6 LTI系统的框图表示
➢离散时间LTI系统的框图表示
❖【例2-33】
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]