优选线性时不变系统的时域分析
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系统的时域分析 线性时不变系统的描述及特点 连续时间LTI系统的响应
s1 2，s2 3
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
y x (t ) K1e 2t K 2 e 3t
y(0)=yx(0)=K1+K2=1 y' (0)= y'x(0)= 2K13K2 =3
解得 K1= 6，K2= 5
y x (t ) 6e 2t 5e 3t , t 0
18
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y" (t)+4y ' (t) +4y (t) = 2f ' (t )+3f(t), t>0 系统的初始状态为y(0) = 2，y'(0) = 1， 求系统的零输入响应yx(t)。 解: 系统的特征方程为 系统的特征根为
2t
Be
4t
1 y (0) A B 1 3 解得 A=5/2，B= 11/6 1 y ' (0) 2 A 4 B 2 3
5 2t 11 4t 1 t y(t ) e e e , t 0 2 6 3
12
1 t e 3
系统的几个概念：
9
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
初始条件y(0)=1, y '(0)=2, 输入信号f (t)=et u(t)， 求系统的完全响应y(t)。
解:
(1) 求齐次方程y''(t)+6y'(t)+8y(t) = 0的齐次解yh(t)
11
[例] 已知某二阶线性时不变连续时间系统的动态方程
y" (t ) 6 y' (t ) 8 y(t ) f (t ), t 0
第二章线性时不变系统详解演示文稿
othxe(rw)ishe(t )d
2.3
线
求: y(t) x(t) h(t)
x( )h(t )d
x(t )h( )d
性 时 不
解：这里利用卷积 x的(t积分)h微(分)d性质。
xt xt ut ut T
变
h( )
2T
系
统
的
0
性 x(t)
质
(1)
0
2T
y(t)
2T
T
y
t
t
y
注意：①上述结论都是针对LTI而 言的； ②卷积运算必须收敛。
24
第二十四页，总共四十页。
例① 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：
x(t) 平方
乘2 y(t) 2x2 (t)
交换两个级联单元的顺序后
2.3
x(t )
y(t) 4x2 (t)
线
乘2
平方
性
时
系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统
23
第二十三页，总共四十页。
由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。具
体的推导过程看课本P78页。
2.3
xn h1n h2n xn h2n h1n
线
性
时
不
变 系
x(t) h1(t)
h2 (t) y(t) 结论：
统
LTI系统总响应与系统
的
级联的次序无关。
性 质
x(t) h2 (t)
y (t ) h1 (t )
将x(t)用一系列的矩形脉冲近似。
x(t)
2.2
连
x(k)
续
x (t)
时
间
2.3
线
求: y(t) x(t) h(t)
x( )h(t )d
x(t )h( )d
性 时 不
解：这里利用卷积 x的(t积分)h微(分)d性质。
xt xt ut ut T
变
h( )
2T
系
统
的
0
性 x(t)
质
(1)
0
2T
y(t)
2T
T
y
t
t
y
注意：①上述结论都是针对LTI而 言的； ②卷积运算必须收敛。
24
第二十四页，总共四十页。
例① 对于由两个单元级联构成的非线性系统如下：
x(t) 平方
乘2 y(t) 2x2 (t)
交换两个级联单元的顺序后
2.3
x(t )
y(t) 4x2 (t)
线
乘2
平方
性
时
系统总的响应发生了变化，所以级联的无序性只适用于线性系统
23
第二十三页，总共四十页。
由于卷积满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。具
体的推导过程看课本P78页。
2.3
xn h1n h2n xn h2n h1n
线
性
时
不
变 系
x(t) h1(t)
h2 (t) y(t) 结论：
统
LTI系统总响应与系统
的
级联的次序无关。
性 质
x(t) h2 (t)
y (t ) h1 (t )
将x(t)用一系列的矩形脉冲近似。
x(t)
2.2
连
x(k)
续
x (t)
时
间
2 线性时不变系统的时域分析(2)
i 1
n
当n=m时
h(t ) a (t ) ( ci e it )u (t )
i 1
n
式中各待定系数ci (i=1, 2, …, n)和a可将h(t)的表达式 及其各阶导数代入微分方程，利用方程式两端各奇异函数 项系数相匹配的方法求得。
例：设描述系统的微分方程为 y(t ) 4 y(t ) 3 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 求系统的冲激响应 h(t)。
2t 2t 2t 2t y ( t ) 2 Bt e B e , y ( t ) 2 B ( 1 2 t ) e 2 B e p p
2t 2t y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) ( 2 B 4 Bt 2 B 6 Bt 3 B 2 Bt ) e 4 e p p p
第2章 线性时不变系统的时域分析
2.1 线性时不变连续系统的时域解法； 2.2 连续时间冲激响应和阶跃响应；
2.3 卷积积分；
2.4 线性时不变离散系统的时域解法；
2.5 离散时间冲激响应和阶跃响应；
2.6 离散卷积和；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
LTI连续系统在时域分析的主要方法。
①微分方程表示法：对于LTI连续系统，即使在初始 条件下，它也允许使用叠加原理求解响应。但当系统的阶 升高时，计算会变得困难。 ②冲激响应表示法：通过冲激响应来描述一个LTI连 续系统。系统响应在冲激响应表示中呈显式关系。冲激响 应表示法还将系统分析的时域和变换域有效地联系起来。 ③状态变量表示法：用n个联立的一阶方程(即状态方 程组)从n个状态参数的角度来描述一个n阶系统。对于线性 系统，状态方程可以通过矩阵法求解。
n
当n=m时
h(t ) a (t ) ( ci e it )u (t )
i 1
n
式中各待定系数ci (i=1, 2, …, n)和a可将h(t)的表达式 及其各阶导数代入微分方程，利用方程式两端各奇异函数 项系数相匹配的方法求得。
例：设描述系统的微分方程为 y(t ) 4 y(t ) 3 y(t ) f (t ) 2 f (t ) 求系统的冲激响应 h(t)。
2t 2t 2t 2t y ( t ) 2 Bt e B e , y ( t ) 2 B ( 1 2 t ) e 2 B e p p
2t 2t y ( t ) 3 y ( t ) 2 y ( t ) ( 2 B 4 Bt 2 B 6 Bt 3 B 2 Bt ) e 4 e p p p
第2章 线性时不变系统的时域分析
2.1 线性时不变连续系统的时域解法； 2.2 连续时间冲激响应和阶跃响应；
2.3 卷积积分；
2.4 线性时不变离散系统的时域解法；
2.5 离散时间冲激响应和阶跃响应；
2.6 离散卷积和；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
LTI连续系统在时域分析的主要方法。
①微分方程表示法：对于LTI连续系统，即使在初始 条件下，它也允许使用叠加原理求解响应。但当系统的阶 升高时，计算会变得困难。 ②冲激响应表示法：通过冲激响应来描述一个LTI连 续系统。系统响应在冲激响应表示中呈显式关系。冲激响 应表示法还将系统分析的时域和变换域有效地联系起来。 ③状态变量表示法：用n个联立的一阶方程(即状态方 程组)从n个状态参数的角度来描述一个n阶系统。对于线性 系统，状态方程可以通过矩阵法求解。
实验三 线性时不变(LTI)连续系统的时域分析
执行结果
实验任务 1：LTI系统的微分方程y''(t)+2y'(t)+y(t)=f'(t)+2f(t)，激励f (t)=e-2tε(t)，
（1） 利用 impulse 函数获得冲激响应； （2） 利用 lsim 函数求取零状态响应； （3） 用卷积分析法计算其零状态响应； 要求：在一个图形窗口里以 3 个子图形式绘制冲激响应和两种方法得到的零状 态响应的波形。 （4）改变系统的 a 系数矩阵，观察冲激响应和零状态响应时域波形的变化情况。 建议 a 系数向量分别如下取值讨论。
用。
一、实验目的
1. 掌握系统时域分析常用函数的使用方法； 2. 理解系统特征根对系统时域特性的影响；
二、实验原理及内容 2.1 连续系统的时域分析 2.1.1 连续系统时域分析的几个常用函数
设 LTI 连续时间系统的微分方程为
a 2 y''(t)+a 1 y'(t)+a 0 y(t)=b 2 f''(t)+b 1 f'(t)+b 0 f(t)
将积分变量离散化即将用n替代d用替代只要时域取样间隔足够小上式可近似为再把观察响应时刻离散化即将t用k替换只要足够小通常将fn简记为fnhkn简记为hknyk简记为yk这样上式便可表示为因此两个连续信号ft和ht的卷积yt可用ft和ht的取样信号f均取整数
实验三 线性时不变（LTI）连续系统的时域分析
2.1.2 连续信号卷积的近似计算
连续系统的零状态响应 y(t)可通过输入信号 f(t)与系统冲激响应 h(t)的卷积求 得；但是计算机只能处理数字信号，不能直接处理模拟信号，因此，卷积积分不 能直接用计算机计算。为了解决这个问题，可以将连续信号用取样信号来近似表 示，利用卷积和近似求得卷积积分。下面就连续信号卷积积分的近似计算进行简 单推导。
2 线性时不变系统的时域分析
h1(t) f(t) h2(t) y(t)
（3）卷积的结合律：
( f (t ) h1 (t )) * h2 (t ) f (t ) (h1 (t ) h2 (t ))
f(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲 激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲 激函数之和的情况。
设f(t)为无时限的信号，将它分解为一系列 宽度为 的窄脉冲之和。
于是特解为
全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e
2t
C2e
3t
e
t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得
C1 = 3 ，C2 = – 2
y(t ) 3e
y x (t ) C1e
1t
C2 e
2 t
... C n e
n t
② 特征方程的根为n重根
当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、
虚根、复数根) λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解
表达式为:
y x (t ) C1e 1t C2te 2t ... Cn t n1e nt
y (t ) f1 (t ) f 2
(i )
( j、j取正整数时为导数的阶次，取负 整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为：
（3）卷积的结合律：
( f (t ) h1 (t )) * h2 (t ) f (t ) (h1 (t ) h2 (t ))
f(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲 激函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲 激函数之和的情况。
设f(t)为无时限的信号，将它分解为一系列 宽度为 的窄脉冲之和。
于是特解为
全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e
2t
C2e
3t
e
t
其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得
C1 = 3 ，C2 = – 2
y(t ) 3e
y x (t ) C1e
1t
C2 e
2 t
... C n e
n t
② 特征方程的根为n重根
当特征方程的根(特征根)为n个重根(不论实根、
虚根、复数根) λ1=λ2=…=λn时，yx(t)的通解
表达式为:
y x (t ) C1e 1t C2te 2t ... Cn t n1e nt
y (t ) f1 (t ) f 2
(i )
( j、j取正整数时为导数的阶次，取负 整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为：
信号与系统概论PPT第二章线性时不变系统的时域分析2
卷积重要性质： 1) 信号与延迟冲激信号的卷积等于延迟信号
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
f t* t t0 f t t0
2) 信号与阶跃信号的卷积等于信号积分
f t*ut t0 f t* 1t t0 f t* t t0 1 f 1 t t0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
卷积重要性质： 3) 信号与冲激偶的卷积等于信号微分
t
2
t
2
*
r
t
2
r
t
2
r t r t r t r t
r t 2r t r t
f(t)
f(t)
1
1
=
0 t 22
(a)
0 t 22
(b)
f΄(t)
f (-1)(t)
1
2 0 2
τ
t
0
22
=
t
(c)
(d)
f(t)f(t) τ
-τ 0 τ t 22
m
f1 m f2 n m mMaxn,0
第三节 卷积与卷积和、解卷积
重要结论：信号与冲激信号（脉冲信号） 的卷积（卷积和），其结果就是对该信号 进行移位，位移量取决于冲激（脉冲）信 号出现的位置。该结论也可视作信号通过 移位系统得到的零状态响应。
f
t*δt
t0
f
t
δ
t0 d
f
t
注意此处的 处理方式
ut 1 t1e d ut 1 t1e d
0
0
1
1
e t 1
u t Hale Waihona Puke 1 et1u t 1
例2-8：计算 cost* t 1 t 1
解：
M
M
f t* wi t ti wi f t ti
线性时不变系统的时域分析
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2016/12/8
3
§2.2 单输入单输出连续系统的时域分析
1. 系统的微分方程及其经典解
任何线性时不变连续时间系统（Continuous-time LTI Systems）用微分方程来描述：
一元n阶常系数线性微分方程. 激励为e(t)(enter)，响应为 r(t)(result)
2016/12/8 4
系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统
将产生什么响应。 系统分析方法：为了确定一个线性时不变系统对给定激 励的响应，就要建立描述该系统的微分（或差分）方程， 并求出满足给定初始状态的解，即求得系统的响应。 系统的时域分析法：如果整个分析与计算过程都是在时 间域进行，即所涉及的函数的变量都是时间t(或n)，这就 是系统的时域分析法。时域方法比较直观，物理概念清 楚，是其它各种变换域方法的基础。 本章还要引入系统时域响应的重要概念：卷积运算。它 是联系时间域和变换域两种方法的纽带。在系统分析中， 卷积作为一个重要的概念，要求做到熟练掌握灵活运用。
2016/12/8
t0
11
(2)求零状态响应
激励： f (t ) t 2 对应的特解：y (t ) t 2 f
2t 2
非齐次方程的全解:
y(t) yn (t) yf (t) c1e c2e
t
2t
t 2t 2
2
因为零状态响应的 yzs (t )与y(t )具有相同的函数形式 所以将零初始条件： y(0) 0, y(t ) |t 0 0代入方程全解
2016/12/8
6
经典解法：微分方程的解分为两部分
例1
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
2016/12/8
3
§2.2 单输入单输出连续系统的时域分析
1. 系统的微分方程及其经典解
任何线性时不变连续时间系统（Continuous-time LTI Systems）用微分方程来描述：
一元n阶常系数线性微分方程. 激励为e(t)(enter)，响应为 r(t)(result)
2016/12/8 4
系统分析的主要任务是解决在给定的激励作用下，系统
将产生什么响应。 系统分析方法：为了确定一个线性时不变系统对给定激 励的响应，就要建立描述该系统的微分（或差分）方程， 并求出满足给定初始状态的解，即求得系统的响应。 系统的时域分析法：如果整个分析与计算过程都是在时 间域进行，即所涉及的函数的变量都是时间t(或n)，这就 是系统的时域分析法。时域方法比较直观，物理概念清 楚，是其它各种变换域方法的基础。 本章还要引入系统时域响应的重要概念：卷积运算。它 是联系时间域和变换域两种方法的纽带。在系统分析中， 卷积作为一个重要的概念，要求做到熟练掌握灵活运用。
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t0
11
(2)求零状态响应
激励： f (t ) t 2 对应的特解：y (t ) t 2 f
2t 2
非齐次方程的全解:
y(t) yn (t) yf (t) c1e c2e
t
2t
t 2t 2
2
因为零状态响应的 yzs (t )与y(t )具有相同的函数形式 所以将零初始条件： y(0) 0, y(t ) |t 0 0代入方程全解
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6
经典解法：微分方程的解分为两部分
例1
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) f (t ) 2 f (t )
第二章 线性时不变系统的时域分析
几种常见的激励信号，特解的形式见表 2.1所示。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
特解的求解过程一般是将表2.1中和激励
信号相对应、并具有待定系数 B 的特解 代入微分方程后求出待定系数 B，这样
也就求出了特解。
微分方程的齐次解和特解求出以后，其完全解的 形式也就确定下来了。但是，完全解中的待定系 数则需要由方程给定的初值来确定。
方程为
n
k 0
ak
d k y(t) dtk
0
n
特征方程为
a nk k
0
k 0
解此特征方程就可求得特征根。
根据特征根是单根、重根、共轭复根， 齐次解的形式也有所不同，一般有三种 情况。
⑴ 如果特征根 a1 、a2 、···an 都是单根，则 齐次解的形式为
n
Ck ekt
k 1
⑵ 如果在特征根中， 是 k 重特征根 am ， 则与 am 相对应的齐次解为:
微分方程的完全解、齐次解和特解是数 学上的名词；
在信号与系统的术语中，微分方程的解 就是系统的响应。
微分方程的完全解称为完全响应
齐次解称为自由响应（与激励信号无关）
特解称为强迫响应（和激励信号有关） 完全响应＝自由响应＋强迫响应
3.离散时间LTI系统的差分方程求解
（1）差分方程 离散系统的基本部件有移位器（也叫做延时器
线性时不变系统具有的线性和时不变性， 其响应必然是系统对这些基本信号响应 的组合。
连续时间LTI系统用微分方程描述； 离散时间LTI系统用差分方程描述。
1.连续时间LTI系统的微分方程及其求解
对连续时间LTI系统，如果 x(t) 为输入， y(t) 为输出，则描述输入和输出之间的
微分方程为：
为求得这些初值，我们将系统在激励信号加入前 瞬间的状态定义为系统的起始状态，记为 y(k)(0-)； 而将系统在激励信号加入后瞬间的状态定义为系 统的初始状态，记为y(k)(0+) ，确定系统完全响应 所需要的初值是初始状态 y(k)(0+)，（系统的初始 状态就是系统在 t=0+ 时刻的响应）。
信号与系统 第二章 线性时不变系统的时域分析
r
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
外加信号 常数A
特解 常数B
r 1i k t i r 1 i 1
tr
sin t或cos t
eλt
k1 cost k2 sin t keλt， λ不是方程的特征根 kteλt， λ是方程的特征根
k t
i 1 i
r 1
r 1i t
e ， λ是方程的r阶特征重根
一、微差分方程的建立以及经典解法
'' 1
di1 (t ) 1 t L i2 ( )d R2i2 (t ) f (t ) dt C
一、微差分方程的建立以及经典解法
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
(1)
t
i ( )d
1 (2) Li (t ) i2 (t ) R2i2 ' (t ) f ' (t ) C 1 ( R2i2 i2 ( )d ) 1 U C i2 (t ) y (t ) (3) i1 i2 i2 (4) R2 R1 R1
例题，已知线性时不变系统方程如下： y˝(t)+6y΄(t)+8y(t)= f(t), t>0. 初始条件y(0)=1， y΄(0)=2，输入信号f(t)=e-tu(t) , Q求系统的完全响应y(t)。
解：1）求方程的齐次解 特征方程为：m2+6m+8=0 显然特征根为：m1=-2，m2=-4
故原方程的齐次解为：yn(t)= Ae-2t+Be-4t
第二章__线性时不变(LTI)系统的时域分析-v1
第二章 线性时不变系统的时域分析
目录
§2.0 引言
§2.1 连续时间LTI系统的时域分析
§2.2 离散时间LTI系统的时域分析
§2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质
§2.4 LTI系统的微分、差分方程描述
§2.5 LTI系统的响应分解
§2.6 LTI系统的框图表示
2.0 引言
本章将讨论一种最基本而又极为有用的LTI系统的分析方 法——时域分析方法，即所涉及的信号的自变量都是关于 时间t（或n）的一种分析方法。
x(k) (t k)
k (k+1) t
0
2
k
t
图2-3 (t-k)的形式
图2-4 用矩形脉冲x(t)
2.1.2 卷积积分与单位冲激响应
卷积方法是LTI系统的最基本的分析方法， 是用于LTI系统求解对激励信号的响应。
2.1.2 卷积积分与单位冲激响应
为了说明其基本原理，考虑以下LTI系统。
图2-20 LTI系统的可逆性
LTI逆系统与原系统存在以下关系：
h(t ) * h1 (t ) (t ) h[n] * h1 [n] [n]
根据上式，可以构造LTI系统的可逆性及其逆系统。
2.3.2 LTI系统的稳定性
对于稳定的系统：有界的输入必产生有界的输出。
充要条件为：
|
观察 x(t ) * h(t ) x( ) h(t ) d 可得卷积的计算的图示法的一般步骤为：
2.1.3 卷积积分的图示法
1. 反转：卷积积分中 为积分变量，t 为参变量，将函数 x(t ) 和 h(t ) 的自变量用 代换，将 h( ) 以纵坐标轴为轴 线反转得 h( ) 。
目录
§2.0 引言
§2.1 连续时间LTI系统的时域分析
§2.2 离散时间LTI系统的时域分析
§2.3 单位冲激/脉冲响应与LTI系统性质
§2.4 LTI系统的微分、差分方程描述
§2.5 LTI系统的响应分解
§2.6 LTI系统的框图表示
2.0 引言
本章将讨论一种最基本而又极为有用的LTI系统的分析方 法——时域分析方法，即所涉及的信号的自变量都是关于 时间t（或n）的一种分析方法。
x(k) (t k)
k (k+1) t
0
2
k
t
图2-3 (t-k)的形式
图2-4 用矩形脉冲x(t)
2.1.2 卷积积分与单位冲激响应
卷积方法是LTI系统的最基本的分析方法， 是用于LTI系统求解对激励信号的响应。
2.1.2 卷积积分与单位冲激响应
为了说明其基本原理，考虑以下LTI系统。
图2-20 LTI系统的可逆性
LTI逆系统与原系统存在以下关系：
h(t ) * h1 (t ) (t ) h[n] * h1 [n] [n]
根据上式，可以构造LTI系统的可逆性及其逆系统。
2.3.2 LTI系统的稳定性
对于稳定的系统：有界的输入必产生有界的输出。
充要条件为：
|
观察 x(t ) * h(t ) x( ) h(t ) d 可得卷积的计算的图示法的一般步骤为：
2.1.3 卷积积分的图示法
1. 反转：卷积积分中 为积分变量，t 为参变量，将函数 x(t ) 和 h(t ) 的自变量用 代换，将 h( ) 以纵坐标轴为轴 线反转得 h( ) 。
信号与系统matlab实验线性时不变系统的时域分析(最新整理)
答案
1. x n hn u n u n 4 ;
nx=0:9;x=ones(1,length(nx)); nh=0:4;h=ones(1,length(nh)); y=conv(x,h); % 下限=下限1+下限2 ny_min=min(nx)+min(nh); % 上限=上限1+上限2 ny_max=max(nx)+max(nh); ny=ny_min:ny_max; subplot(3,1,1);stem(nx,x); xlabel('n');ylabel('x(n)');axis([ny_min ny_max 0 max(x)]); subplot(3,1,2);stem(nh,h); xlabel('n');ylabel('h(n)');axis([ny_min ny_max 0 max(h)]); subplot(3,1,3);stem(ny,y); xlabel('n');ylabel('x(n)*h(n)');axis([ny_min ny_max 0 max(y)]);
到连续卷积的数值近似，具体算法如下：
y=conv(x,h)*dt
% dt 为近似矩形脉冲的宽度即抽样间隔
例 2-2：采用不同的抽样间隔 值，用分段常数函数近似 x t u t u t 1 与
h t sin t u t u t π 的 卷 积 ， 并 与 卷 积 的 解 析 表 达 式
x(t)
h(t)
1 0.5
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t
1 0.5
0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 t
第2章信号与线性时不变系统的时域分析
• 空间矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间中如果能 找到一系列相互正交的信号，则以它们为基本信号，信号空间中的任 意一信号可以表示成它们的线性组合。
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2. 1确定信号的时域分解
• 2.正交函数集 • 正交函数的定义:设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个非零实函
的函数fcs(t)，称为共扼对称函数(the
conjugate-symmetric function)，这里的上标“*”表示共扼复数。
共扼对称实函数称为偶函数(the even func-tion)，用fe(t)表示，即偶 函数满足fe(t) = fe(-t)。具有性质fca(t) = -f*ca(-t)的函数fca(t) ，称为共 扼反对称函数(the conjugate-antisymmetric function)。共扼反对
• 性质4若信号为周期信号，相关函数也具有周期性，且频率与原信号 的频率相同。
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2. 3线性时不变系统微分(差分)方程分析
• 2. 3. 1微分(差分)方程的经典解法
• 2.3.1.1微分方程的经典解法 • 由微积分知识可知，微分方程式
• 的全解由齐次方程的通解yh(t) (或齐次解)和非齐次方程的特解yp(t)组 成。即
• 对线性时不变连续系统式(2. 3.1)，分别将激励δ(t)及其响应h(t)代入， 得
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2. 4线性时不变系统的冲激响应分析
• (1)当t>0时，由于δ(t)及其各阶导数均等于零，h(t>应满足齐次方程 • 同时，由于系统的因果性，h(t)又要满足 • h(t)应具有如下函数形式: • (2)根据方程两边函数项匹配的原则，h(t)的形式与m, n值的相对大小
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2. 1确定信号的时域分解
• 2.正交函数集 • 正交函数的定义:设f1(t)和f2(t)是定义在(t1, t2)区间上的两个非零实函
的函数fcs(t)，称为共扼对称函数(the
conjugate-symmetric function)，这里的上标“*”表示共扼复数。
共扼对称实函数称为偶函数(the even func-tion)，用fe(t)表示，即偶 函数满足fe(t) = fe(-t)。具有性质fca(t) = -f*ca(-t)的函数fca(t) ，称为共 扼反对称函数(the conjugate-antisymmetric function)。共扼反对
• 性质4若信号为周期信号，相关函数也具有周期性，且频率与原信号 的频率相同。
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2. 3线性时不变系统微分(差分)方程分析
• 2. 3. 1微分(差分)方程的经典解法
• 2.3.1.1微分方程的经典解法 • 由微积分知识可知，微分方程式
• 的全解由齐次方程的通解yh(t) (或齐次解)和非齐次方程的特解yp(t)组 成。即
• 对线性时不变连续系统式(2. 3.1)，分别将激励δ(t)及其响应h(t)代入， 得
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2. 4线性时不变系统的冲激响应分析
• (1)当t>0时，由于δ(t)及其各阶导数均等于零，h(t>应满足齐次方程 • 同时，由于系统的因果性，h(t)又要满足 • h(t)应具有如下函数形式: • (2)根据方程两边函数项匹配的原则，h(t)的形式与m, n值的相对大小
信号与线性时不变系统的时域分析解析
不等于特征根： p0et
等于r重特征根： r
pit iet
i0
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2.2 连续时间LTI系统的微分方程分析 （一）——经典求解法
cost或sin t
p1 cost p2 sin t 或p cost
r
r
tret cost 或tret sin t
pitiet cos t qitiet sin t
回目录
2.4 单位冲激响应
方程组，联立求解即可求解出n个待定系数。
回目录
2.2 连续时间LTI系统的微分方程分析 （一）——经典求解法
2.2.4 关于实际系统中的初始条件问题
在应用经典方法求解系统微分方程时，要 使用 t 0 时刻的初始条件来确定完全解中 的待定系数。
在实际系统中一般选择 t 0 为初始观测时刻，
而系统的激励是在 t 0 时刻加入的，因此，
同理有
y j 0 yx j 0
（2－12）
这表明，零输入响应 yx t是由系统的 0
初始条件引起的，因此 yx t 是
n
ak yxk t 0
k 0
（2－13）
满足 0 初始条件的解。
回目录
2.3 连续时间LTI系统的微分方程分析 （二）——双零法
因此， yx t 也具有与齐次解（2－8）
n
akk 0
再求出相应的特征根：
i ,i 1, 2, , n
最后根据特征根的具体情况写出齐次解的 一般形式。
回目录
2.2 连续时间LTI系统的微分方程分析 （一）——经典求解法
当特征根为单根时：
n
yn t ckeit （2－8）
当特征根i 为r重根时：
n
第2章 线性时不变连续系统的时域分析 内容
第2章 线性时不变连续系统的时域分析2.1 学习要求（1）会建立描述系统激励与响应关系的微分方程；（2）深刻理解系统的完全响应可分解为：零输入响应与零状态响应，自由响应与强迫响应，瞬态响应与稳态响应；（3）深刻理解系统的零输入线性与零状态线性，并根据关系求解相关的响应； （4）会根据系统微分方程和初始条件求解上述几种响应； （5）深刻理解单位冲激响应的意义，并会求解；（6）深刻理解系统起始状态与初始状态的区别，会根据系统微分方程和输入判断0时刻的跳变情况；（7）理解卷积运算在信号与系统中的物理意义和运算规律，会计算信号的卷积。
； 2.2 本章重点（1）系统（电子、机械）数学模型（微分方程）的建立； （2）用时域经典法求系统的响应； （3）系统的单位冲激响应及其求解；（4）卷积的定义、性质及运算，特别是()t δ函数形式与其它信号的卷积； （5）利用零输入线性与零状态线性，求解系统的响应。
2.3 本章的知识结构线性时不变系统时域经典法系统微分方程的求解系统微分方程的建立特解齐次解卷积法零状态零输入法零输入响应状态零状态响应输入单位冲激响应意义与求解卷积的求解性质与计算线性线性2.4 本章的内容摘要2.4.1系统微分方程的建立电阻：)(1)(t v Rt i R R =电感：dtt di Lt v L L )()(= )(d )(1)(0t i v Lt i L tL L +=⎰∞-ττ 电容：dtt dv Ct i C C )()(= ⎰+=tt L C C t i i C t v 0)(d )(1)(0ττ 2.4.2 系统微分方程的求解齐次解和特解。
齐次解为满足齐次方程t n t t h e c e c e c t y 32121)(λλλ+⋅⋅⋅++=当特征根有重根时，如1λ有k 重根，则响应于1λ的重根部分将有k 项，形如t k t k t k t k h e c te c e t c e t c t y 111112211)(λλλλ++⋅⋅⋅++=---当特征根有一对单复根，即bi a +=2,1λ，则微分方程的齐次解bt e c bt e c t y atat h sin cos )(21+=当特征根有一对m 重复根，即共有m 重ib a ±=2,1λ的复根，则微分方程的齐次解bt e t c bt te c bt c t y at m m at h cos cos cos )(121-+⋅⋅⋅++=bt e t d bt te d bt e d at m m at at sin sin sin 121-+⋅⋅⋅+++特解的函数形式与激励函数的形式有关。
线性时不变系统的时域分析
20
例2.3-1：若描述某系统的差分方程为
y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) f (n)
已知初始条件 y(0) 0, y(1) 2, 激励 f (n) 2n u(n),求y(n).
y(n) 3y(n 1) 2y(n 2) f (n) y(2) 3y(1) 2y(0) f (2) 2 y(3) 3y(2) 2y(1) f (3) 10
零输入响应
k
N
c nk i n
zsi
1
czsj
n j
rf
[n]
i 1
j k 1
零状态响应
k
N
Ci
nk
i n 1
c
j
n j
rf
(n)
i 1
j k 1
强迫响应
自由响应
36
1、零输入响应
输入为零，响应由齐次差分方程求得，是仅由初始 储能引起的响应。
注意： 确定零输入响应的系数时，必须用仅由初始状态引
k
N
r(n) rn (n) rf (n)
ci
n
k
i n 1
c j
n j
rf
(n)
i 1
jk 1
各系数由给定的N个初始条件确定 r(0), r(1), , r(N 1) 下面我们来看两道用经典法求解差分方程的例题。
30
例2.3-5： 求下示差分方程的完全解
r(n) 2r(n 1) e(n) e(n 1)
由电路运算基本规律：
i(t)R r(t) e(t)
i C dr(t)
dt
可得： dr(t) 1 r(t) 1 e(t)
dt RC
RC
其中：e(t为) 系统输入，r(为t) 系统输出。
实验3线性时不变系统的时域分析及MATLAB实现
4. roots函数
功能：计算齐次多项式的根。
调用格式：
r=roots（b）：计算多项式b的根，r为多项式的根。
5．impz函数
功能: 求离散系统单位脉冲响应,并绘制其时域波形。
调用格式:
impz(b ,a) :以默认方式绘出向量a , b 定义的离散系统的单位脉冲响应的离散时域波形.
impz(b ,a ,n) :绘出由向量a , b定义的离散系统在0—n (n必须为整数)离散时间范围内的单位序列响应的时域波形.
（2）掌握连续LTI系统单位冲激响应的求解方法。
（3）重点掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应。
（4）熟悉MATLAB的相关函数的调用格式和作用。
（5）会用MATLAB对系统进行时域分析。
二、主要函数简介
1.Impulse函数
功能：计算并画出系统的冲激响应。
调用格式：
Impulse（sys）：其中sys 可以是利用命令tf，zpk或ss建立的系统函数。
impz(b ,a ,n1：n2) : 绘出由向量a , b定义的离散系统在n1—n2 (n1 , n2必须为整数,且n1<n2)离散时间范围内的单位序列响应的时域波形。
y=impz(b , a , n1 ：n2): 并不绘出系统单位序列响应的时域波形,而是求出向量a , b定义的离散系统在n1—n2(n1 , n2必须为在整数,且n1<n2)离散时间范围内的单位序列响应的数值。
（3) 描述LTI离散系统的差分方程如下
， ，求该系统的单位脉冲响应 （ ），及零状态响应并画出其图形。
a=[2,2,1];b=[1,3,2];
impz(b ,a,6);
subplot(1,2,1);
功能：计算齐次多项式的根。
调用格式：
r=roots（b）：计算多项式b的根，r为多项式的根。
5．impz函数
功能: 求离散系统单位脉冲响应,并绘制其时域波形。
调用格式:
impz(b ,a) :以默认方式绘出向量a , b 定义的离散系统的单位脉冲响应的离散时域波形.
impz(b ,a ,n) :绘出由向量a , b定义的离散系统在0—n (n必须为整数)离散时间范围内的单位序列响应的时域波形.
（2）掌握连续LTI系统单位冲激响应的求解方法。
（3）重点掌握用卷积法计算连续时间系统的零状态响应。
（4）熟悉MATLAB的相关函数的调用格式和作用。
（5）会用MATLAB对系统进行时域分析。
二、主要函数简介
1.Impulse函数
功能：计算并画出系统的冲激响应。
调用格式：
Impulse（sys）：其中sys 可以是利用命令tf，zpk或ss建立的系统函数。
impz(b ,a ,n1：n2) : 绘出由向量a , b定义的离散系统在n1—n2 (n1 , n2必须为整数,且n1<n2)离散时间范围内的单位序列响应的时域波形。
y=impz(b , a , n1 ：n2): 并不绘出系统单位序列响应的时域波形,而是求出向量a , b定义的离散系统在n1—n2(n1 , n2必须为在整数,且n1<n2)离散时间范围内的单位序列响应的数值。
（3) 描述LTI离散系统的差分方程如下
， ，求该系统的单位脉冲响应 （ ），及零状态响应并画出其图形。
a=[2,2,1];b=[1,3,2];
impz(b ,a,6);
subplot(1,2,1);
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➢卷积和的计算过程
❖(1)以k作为自变量，画出x[k]和h[k]的信号波形。 ❖(2) 将h[k]以纵轴为对称轴反褶，得到h[-k]。 ❖(3) 将h[-k]随变量n平移得到h[n-k]。
o 如果n是负数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向左时移； o 如果n是正数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向右时移。
x[n] h[n]
hinv[n] w[n]
x[n]
恒等系统δ[n]
v[n]
系统的输出w[n]=x[n]
§2.5.3 LTI系统的因果性
➢对于连续时间因果LTI系统，有 h(t) 0 t 0
y(t) t x( )h(t )d
➢对于离散时间因果LTI系统，必有
h[n] 0 n 0
n
y[n] x[k]h[n k]
优选线性时不变系统的时域分 析
§2.4 卷积和
§2.4.1 卷积和的定义和求解
x[n] ... x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2] ...
x[n] x[k][n k]
k
H [n] h[n]
y[n] H x[n]
离散时间系统的任意激励信 号x[n]可以表示为单位样值
x[n]
b0
w[n]
x[n]
y[n]
b0
y[n]
D b1
D -a1
D
-a1
b1
D
D
b2“直接I型”-a2
“直D接II型”
k
§2.5.4 LTI系统的稳定性
➢稳定性：输入有界则输出必定有界 (BIBO)
❖连续时间LTI系统是稳定系统的充分必要 条件：单位冲激响应绝对可积
h[k]
k
❖离散时间LTI系统稳定性的充分必要条件：单位 样值响应绝对可和
h( ) d
§2.6 LTI系统的框图表示
➢基本运算的部件及其框图表示
(a) 倍乘器
(b) 加法器
x(t)
y(t)=x(t)+w(t)
x(t) a y(t)=ax(t)
x[n]
y[n]=x[n]+w[n]
x[n]
y[n]=ax[n]
w(t)
w[n]
(c) 连续时间系统的积分器 (d) 离散时间系统的延迟器
t
x(t)
y(t) x( )d
x[n]
y[n]=x[n-1]
序列[n]的线性组合。
y[n]
H
x[n][n k]
k
卷积和
ห้องสมุดไป่ตู้
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
k
一个离散时间线性时不变系统对任意输入的响应可 以用系统单位样值响应的线性组合来表示。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-28】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
❖(4) 将x[k]和h[n-k]各对应点相乘。 ❖(5) 对某个选定的n值，将相乘后的各点值相加，
即得到了系统在n时刻的响应值y[n]。改变n值，重 复(3)、(4)、(5)步，直到计算出全部的y[n]的值。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-29】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的计算-列表法
➢结合律 x[n]*h1[n]* h2[n] x[n]* h1[n]* h2[n]
➢与[n]的卷积 x[n]*[n] x[n]
➢[n-n0]是n0点的延时器 x[n]*[n n0] x[n n0]
➢u[n]是累加器
n
x[n]*u[n] x[k]
k
§2.5 LTI系统性质
➢LTI系统的输入输出行为完全可以由 其单位冲激响应或单位样值响应来表 征。因此，系统的特性(如记忆性、 因果性、可逆性和稳定性)是与系统 的单位冲激响应或单位样值响应相联 系的，所以可以通过单位冲激响应或 单位样值响应对LTI系统的性质作进 一步的研究。
D
§2.6 LTI系统的框图表示
➢离散时间LTI系统的框图表示
❖【例2-33】
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]
❖系统方程
y[n] Kx[n]
❖单位冲激响应
h[n] K[n]
§2.5.2 系统的可逆性
➢如果系统的输入可由该系统的输出恢复 出来，则该系统是可逆的系统。如果一 个LTI系统可逆，那么就存在一个将原系
统的输出作为输入并能输出原系统的输 入信号的逆系统。
h(t)*hinv (t) δ(t)
h[n]*hinv[n] δ[n]
❖解：根据表2-3所示的列表规律，列表下所示，由 此可计算出：
o y[n]={1, 6, 10, 10, 20, 14, 13, 6}, (n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的序列长度
❖若序列x[n]仅在[N1, N2]间有非零数值，序 列长度L1=N2-N1+1；
n
y[n] x[n]* h[n] x[k]h[n k]
k 0
❖假如x[n]或h[n]的第一项不是从n=0开始，则y[0] 是含有行和列的第零项之叉乘积项的两条对角线 之间各项的和。列表法特别适合于求两个有限长 序列的卷积和。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-30】 计算x[n]={1, 2, 0, 3, 2}(n=-2, -1, 0, 1, 2)与h[n]={1, 4, 2, 3}(n=-1, 0, 1, 2)的卷积和。
§2.5.1 无记忆的LTI系统
➢无记忆系统在任何时刻的输出只与该时刻的输 入有关；
➢有记忆系统在任何时刻的输出不仅与该时刻的 输入有关而且与该时刻以前的输入有关。
➢无记忆的连续时间LTI系统(充分必要条件)
❖系统方程
y(t) Kx(t)
❖单位冲激响应
h(t) K (t)
➢无记忆的离散时间LTI系统(充分必要条件)
❖序列h[n]仅在 [N3, N4]间有非零数值，序列 长度L2=N4-N3+1，
❖卷积和y[n]=x[n]*h[n]仅在 [N1+N3, N2+N4] 间有非零数值，卷积和y[n]的序列长度 L=L1+L2-1。
§2.4.2 卷积和的性质
➢交换律 x[n]*h[n] h[n]* x[n]
➢分配律 x[n]*h1[n] h2[n] x[n]* h1[n] x[n]* h2[n]
❖(1)以k作为自变量，画出x[k]和h[k]的信号波形。 ❖(2) 将h[k]以纵轴为对称轴反褶，得到h[-k]。 ❖(3) 将h[-k]随变量n平移得到h[n-k]。
o 如果n是负数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向左时移； o 如果n是正数，则h[n-k]由h[k]的反褶信号向右时移。
x[n] h[n]
hinv[n] w[n]
x[n]
恒等系统δ[n]
v[n]
系统的输出w[n]=x[n]
§2.5.3 LTI系统的因果性
➢对于连续时间因果LTI系统，有 h(t) 0 t 0
y(t) t x( )h(t )d
➢对于离散时间因果LTI系统，必有
h[n] 0 n 0
n
y[n] x[k]h[n k]
优选线性时不变系统的时域分 析
§2.4 卷积和
§2.4.1 卷积和的定义和求解
x[n] ... x[1][n 1] x[0][n] x[1][n 1] x[2][n 2] ...
x[n] x[k][n k]
k
H [n] h[n]
y[n] H x[n]
离散时间系统的任意激励信 号x[n]可以表示为单位样值
x[n]
b0
w[n]
x[n]
y[n]
b0
y[n]
D b1
D -a1
D
-a1
b1
D
D
b2“直接I型”-a2
“直D接II型”
k
§2.5.4 LTI系统的稳定性
➢稳定性：输入有界则输出必定有界 (BIBO)
❖连续时间LTI系统是稳定系统的充分必要 条件：单位冲激响应绝对可积
h[k]
k
❖离散时间LTI系统稳定性的充分必要条件：单位 样值响应绝对可和
h( ) d
§2.6 LTI系统的框图表示
➢基本运算的部件及其框图表示
(a) 倍乘器
(b) 加法器
x(t)
y(t)=x(t)+w(t)
x(t) a y(t)=ax(t)
x[n]
y[n]=x[n]+w[n]
x[n]
y[n]=ax[n]
w(t)
w[n]
(c) 连续时间系统的积分器 (d) 离散时间系统的延迟器
t
x(t)
y(t) x( )d
x[n]
y[n]=x[n-1]
序列[n]的线性组合。
y[n]
H
x[n][n k]
k
卷积和
ห้องสมุดไป่ตู้
y[n] x[k]h[n k] x[n] h[n] x[k]h[n k]
k
k
一个离散时间线性时不变系统对任意输入的响应可 以用系统单位样值响应的线性组合来表示。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-28】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
❖(4) 将x[k]和h[n-k]各对应点相乘。 ❖(5) 对某个选定的n值，将相乘后的各点值相加，
即得到了系统在n时刻的响应值y[n]。改变n值，重 复(3)、(4)、(5)步，直到计算出全部的y[n]的值。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-29】
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的计算-列表法
➢结合律 x[n]*h1[n]* h2[n] x[n]* h1[n]* h2[n]
➢与[n]的卷积 x[n]*[n] x[n]
➢[n-n0]是n0点的延时器 x[n]*[n n0] x[n n0]
➢u[n]是累加器
n
x[n]*u[n] x[k]
k
§2.5 LTI系统性质
➢LTI系统的输入输出行为完全可以由 其单位冲激响应或单位样值响应来表 征。因此，系统的特性(如记忆性、 因果性、可逆性和稳定性)是与系统 的单位冲激响应或单位样值响应相联 系的，所以可以通过单位冲激响应或 单位样值响应对LTI系统的性质作进 一步的研究。
D
§2.6 LTI系统的框图表示
➢离散时间LTI系统的框图表示
❖【例2-33】
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]
y[n] a1y[n 1] a2 y[n 2] b0x[n] b1x[n 1] b2x[n 2]
❖系统方程
y[n] Kx[n]
❖单位冲激响应
h[n] K[n]
§2.5.2 系统的可逆性
➢如果系统的输入可由该系统的输出恢复 出来，则该系统是可逆的系统。如果一 个LTI系统可逆，那么就存在一个将原系
统的输出作为输入并能输出原系统的输 入信号的逆系统。
h(t)*hinv (t) δ(t)
h[n]*hinv[n] δ[n]
❖解：根据表2-3所示的列表规律，列表下所示，由 此可计算出：
o y[n]={1, 6, 10, 10, 20, 14, 13, 6}, (n=-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4)。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢卷积和的序列长度
❖若序列x[n]仅在[N1, N2]间有非零数值，序 列长度L1=N2-N1+1；
n
y[n] x[n]* h[n] x[k]h[n k]
k 0
❖假如x[n]或h[n]的第一项不是从n=0开始，则y[0] 是含有行和列的第零项之叉乘积项的两条对角线 之间各项的和。列表法特别适合于求两个有限长 序列的卷积和。
§2.4.1 卷积和的定义和求解
➢【例2-30】 计算x[n]={1, 2, 0, 3, 2}(n=-2, -1, 0, 1, 2)与h[n]={1, 4, 2, 3}(n=-1, 0, 1, 2)的卷积和。
§2.5.1 无记忆的LTI系统
➢无记忆系统在任何时刻的输出只与该时刻的输 入有关；
➢有记忆系统在任何时刻的输出不仅与该时刻的 输入有关而且与该时刻以前的输入有关。
➢无记忆的连续时间LTI系统(充分必要条件)
❖系统方程
y(t) Kx(t)
❖单位冲激响应
h(t) K (t)
➢无记忆的离散时间LTI系统(充分必要条件)
❖序列h[n]仅在 [N3, N4]间有非零数值，序列 长度L2=N4-N3+1，
❖卷积和y[n]=x[n]*h[n]仅在 [N1+N3, N2+N4] 间有非零数值，卷积和y[n]的序列长度 L=L1+L2-1。
§2.4.2 卷积和的性质
➢交换律 x[n]*h[n] h[n]* x[n]
➢分配律 x[n]*h1[n] h2[n] x[n]* h1[n] x[n]* h2[n]